新考点二垂径定理

九年级数学垂径定理知识点数学是一门令我们既爱又恨的学科，而九年级的数学则是更加具有挑战性和深度的一门课程。

在九年级数学中，垂径定理是一个重要的知识点，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多有趣的应用。

在本文中，我们将一起来探索九年级数学中的垂径定理。

首先，我们来了解一下垂径定理的定义和概念。

垂径定理是几何学中的一个基本定理，它指出：“如果两条直线相交于一个点，并且其中一条直线垂直于另一条直线的过程中所产生的垂直线段与交点的距离相等，那么这两条直线是垂线。

”简单来说，垂径定理就是通过一个垂直线段来判断两条直线是否垂直的方法。

举个例子来说明垂径定理的应用。

假设有一个四边形的对角线相交于一个点，我们需要判断对角线是否垂直。

按照垂径定理，我们可以通过在交点处作一条垂直于对角线的线段，并将它延长至相邻的边上。

如果延长后的线段与相邻边的距离相等，那么我们可以断定对角线是垂直的；反之，如果距离不相等，则对角线不是垂直的。

通过这个简单的方法，我们可以快速判断一个四边形的对角线是否垂直。

垂径定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在实际生活中也有许多有趣的应用。

例如，我们在修建房屋时需要确保墙体垂直，这就需要使用垂径定理来检验墙体是否垂直。

另一个应用是在导航系统中，也需要使用垂径定理来计算地球上两点之间的最短距离。

除了应用方面，垂径定理还有着一些有趣的数学性质。

一个有趣的性质是，如果两条直线是垂线，那么它们的斜率乘积为-1。

这个性质是垂径定理的一个重要推论，通过它我们可以更直观地理解垂线的概念。

此外，垂径定理还与其他几何定理有着密切的关系。

例如，垂径定理与直角三角形定理、等腰直角三角形定理以及勾股定理之间有着紧密的联系。

通过运用这些定理，我们可以更好地理解垂径定理的应用，并解决一些复杂的几何问题。

在学习垂径定理时，我们还需要注意一些容易出错的地方。

例如，我们在判断两条直线是否垂直时，不能只通过一个垂直线段的长度是否相等来判断，还需要考虑这个线段是否垂直于另一条直线。

垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。

1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。

平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。

平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。

3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。

以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。

连接OA和OB。

由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。

△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。

由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。

考向4.8 垂径定理专题例（2020·浙江衢州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD=∠CBA．（2）求OE的长．（1）证明：∵AE=DE，OC是半径，∴AC CD=，∴∠CAD=∠CBA；（2）解：如图：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AE=DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC AC AB=，∴6 610 CE=，∴CE=3.6，∵OC=12AB=5，∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4．1、垂径定理是中考必考题，在填空、选择及大题中都要出现，理解并掌握其半径和弦的在位置关系垂直的前提下理解其数量关系。

2、本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC∽△BCA是解题关键．1、垂径定理的理解：垂直定理是指在弦与半（直径）垂直的前提下形成的数量关系；2、涉及的知识点有：勾股定理、面积问题、相似、全等、等腰三角形的“三线合一”、圆周角与圆心角关系等等；3、涉及到的数学思想：方程思想、转化思想等等；一、单选题1．（2021·广东增城·一模）如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（）A．1.5 B．2 C．3 D．4.52．（2021·湖北黄冈·一模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．965πD．39105π3．（2021·黑龙江香坊·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A7B．7C．6 D．84．（2021·河南安阳·模拟预测）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（）A ．6.5B ．5.5C ．3.5D ．2.55．（2021·全国·模拟预测）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，AB CD ⊥于E ，下列说法错误的是（ ）A ．CE DE =B ．AC AD = C ．OE BE = D ．2∠=∠COB BAD 6．（2021·四川·成都市树德实验中学二模）如图，在半径为5的O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EC EB 、．若2CD =，则EC 的长为（ ）A ．215B ．8C ．210D ．213二、填空题 7．（2021·黑龙江香坊·三模）△ABC 为半径为5的⊙O 的内接三角形，若弦BC =8，AB =AC ，则点A 到BC 的距离为_____．8．（2021·西藏日喀则·二模）如图，已知⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠ACD=22.5°，若CD=6cm ，则AB 的长为_____cm ．9．（2021·湖北咸宁·一模）如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取3AD cm =，10DB cm =，以DB 为直径作O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是__________cm ．10．（2021·上海崇明·一模）如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为()1,y ，点A 的坐标为()1,0-，那么点B 的坐标为___________．11．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学一模）如图将⊙O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB 的长为_______．12．（2021·江苏·南通田家炳中学二模）AB 是O 的弦，OM AB ⊥，垂足为M ，连接OA ．若60AOM ∠=︒，3OM =，则弦AB 的长为______．三、解答题13．（2021·河南·一模）已知如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，15A ∠=︒，半径为2，则弦CD 的长为多少？14．（2021·河北承德·一模）如图，△ABC 中，AB=AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ．（1）求证：∠BAC=2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小．一、填空题1．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为4，圆心O 到弦AB 的距离为2，则AOC ∠的度数为______．2．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为________ ． 3．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长度为__．4．（2020·江苏南通·中考真题）已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为_____cm ．5．（2021·辽宁朝阳·中考真题）已知⊙O 的半径是7，AB 是⊙O 的弦，且AB 的长为73，则弦AB 所对的圆周角的度数为__________．6．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，⊙O 的直径AB ＝4，P 为⊙O 上的动点，连结AP ，Q 为AP 的中点，若点P 在圆上运动一周，则点Q 经过的路径长是______．7．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）AB 是O 的弦，OM AB ⊥，垂足为M ，连接OA ．若AOM 中有一个角是30°，23OM =，则弦AB 的长为_________．8．（2021·贵州黔东南·中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量的弧AB 的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6cm ，AB ＝6.4cm ，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 _________cm ．9．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以()23M ，为圆心，AB 为直径的圆与x 轴相切，与y 轴交于A ，C 两点，则点B 的坐标是____________．10．（2021·江苏南京·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．11．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，23AB =，点C 是⊙O 上的一个动点，且60ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．12．（2021·青海西宁·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，10CD =，2BE =，则O 的半径OC =_______．13．（2021·四川德阳·中考真题）在锐角三角形ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝2，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是 __________________．14．（2021·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线32333y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．15．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．16．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝23，则阴影部分面积S 阴影＝_____．17．（2021·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆形木材的直径___________寸；18．（2020·浙江·中考真题）如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，CD ＝8．AB ＝10，则CD 与AB 之间的距离是_____．19．（2020·湖北襄阳·中考真题）在⊙O 中，若弦BC 垂直平分半径OA ，则弦BC 所对的圆周角等于_________°．20．（2019·宁夏·中考真题）如图，AB 是圆O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，若210AB =，则圆O 的半径为_____．21．（2020·青海·中考真题）已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，//AB CD ，8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为________cm ．22．（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，AB 是半圆的直径，C 为半圆的中点，(2,0)A ，(0,1)B ，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点C ，则k 的值为________．23．（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝_____．∆是O的内接正三角形，点O是圆心，点D，24．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，ABC∠的度数是____度．E分别在边AC，AB上，若DA EB=，则DOE25．（2020·黑龙江穆棱·5⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S△ACP=______．二、解答题26．（2021·山东临沂·中考真题）如图，已知在⊙O中，AB BC CD＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．27．（2021·北京·中考真题）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，AD BC⊥于点E．∠=∠；（1）求证：BAD CADOE=，（2）连接BO并延长，交AC于点F，交O于点G，连接GC．若O的半径为5，3求GC和OF的长．28．（2021·浙江·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠是AD所对的圆周角，∠=︒．30ACD（1）求DAB∠的度数；（2）过点D作DE ABAB=，求DF的长．⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若41．C【分析】先根据垂径定理得到AD＝CD，则OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到BC的长．解：∵OD⊥AC，∴AD＝CD，而OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴BC＝2OD＝2×1.5＝3．故选：C．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．2．B解：试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AM=12AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=132，则可求周长．解：连接OA，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AM=12AB=6，∵OM：MD=5：8，∴设OM=5x ，DM=8x ，∴OA=OD=13x ，∴AM=22OA OM -=12x=6，∴x=12，∴OA=132， ∴⊙O 的周长=2π•OA=13π.故选B ．3．B【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC ，在RT △OCE 中应用勾股定理即可． 解：试题解析：由题意连接OC ，得OE=OB-AE=4-1=3，CE=DE= 22OC OE -=7， CD=2CE=27，故选B ．4．C【分析】连接OB ，作OM ⊥AB 与M ．根据垂径定理和勾股定理，求出OP 的取值范围即可判断．解：连接OB ，作OM ⊥AB 与M ．∵OM ⊥AB ，∴AM =BM =12AB =4， 在直角△OBM 中，∵OB =5，BM =4，∴2222543OM OB BM =--．∴35OP ≤<，故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．5．C【分析】根据垂径定理解题.解：CD 为O 的弦，AB CD ⊥于E ，CE ED ∴=，AC AD =，BC BD =，2CD BD ∴=2COB BAD ∴∠=∠故选项A 、B 、D 正确，无法判断OE BE =，故选项C 错误，故选：C【点拨】本题考查垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 6．D【分析】由垂径定理和勾股定理得4AC BC ==，再证OC 是△ABE 的中位线，得26BE OC ==，然后由勾股定理求解即可．解：∵⊙O 的半径为5，∴OA ＝OD ＝5，∵CD ＝2，∴3OC OD CD =-=，∵OD ⊥AB ， ∴4AC BC =，∵OA ＝OE ，∴OC 是△ABE 的中位线，∴BE ＝2OC ＝6，∴EC ==故选：D ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7．8或2【分析】分两种情况考虑：当三角形ABC 为锐角三角形时，过点A 作AH 垂直于BC ，根据题意得到AH 过圆心O ，连接OB ，在直角三角形OBH 中，由OB 与BH 长，利用勾股定理求出OH 的长，进而可求出AH 的长；当三角形ABC 为钝角三角形时，同理求出AH 的长即可；解：作AH ⊥BC 于H ，连结OB ，如图，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=4，AH必过圆心，即点O在AH上，在Rt△OBH中，OB=5，BH=4，∴OH=22OB BH-=3，当点O在△ABC内部，如图1，AH=AO+OH=5+3=8，当点O在△ABC内部，如图2，AH=AO﹣OH=5﹣3=2，∴综上所述，点A到BC的距离为8或2，故答案为8或2．【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理及其推论，熟练掌握三角形的外接圆的性质和垂径定理是解答关键，还要注意分类讨论.8．32【分析】连接AO，如图，由OA=OC得到∠OCA=∠CAO=22.5°，则利用三角形外角性质可得∠AOD=45°，接着根据垂径定理得到AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得22OE AE AO==，322AE=，所以AB=2AE=32.解：如图，连接AO，OA=OC，∴∠OCA=∠CAO=22.5°，∴∠AOD=45°，∵CD⊥AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，而CD=6，∴OA=3，则2OE AE AO==32=根据垂径定理，232AB AE == . 故答案为32 .【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质．9．6【分析】过O 点作OH EF ⊥于H ，连OF ，根据垂径定理得EH FH =，在Rt AOH 中，358AOAD OD ，30A ∠=︒，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到142OH OA ，再利用勾股定理计算出HF ，由2EF HF 得到答案．解：过O 点作OH EF ⊥于H ，连OF ，如图则EH FH =，在Rt AOH 中，358AO AD OD ，30A ∠=︒，则142OH OA ，在Rt OHF 中，4OH =，5OF =，则223HFOF OH ， 则26EF HF cm ．故答案为6．【点拨】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．10．()3,0【分析】连接P A 、PB ，作PF AB ⊥于点F ，再根据圆的垂径定理即可得出答案． 解：如图，连接P A 、PB ，作PF AB ⊥于点F ，根据题意可知OF =1，再由垂径定理可知，AF =BF =AO +OF =2，所以OB =OF +BF =1+2=3，即B 点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．．【点拨】本题考查垂径定理．作出PF AB ⊥，再结合垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解答本题的关键．11．2π【分析】连接OA 、OB ，作OC ⊥AB 于C ，根据翻转变换的性质得到OB=OA ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB ，根据弧长公式计算即可．解：连接OA 、OB ，作OC ⊥AB 于C ，由题意得，OC=12OA ， ∴∠OAC=30°，∵OA=OB ，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°， ∴12032180180n r AB πππ⨯===， 故答案为：2π．【点拨】本题考查的是弧长的计算、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．6【分析】利用垂径定理得到AM BM =，由60AOM ∠=︒，利用正切求出AM ，得到AB 的长．解：如图，OM AB ⊥，AM BM ∴=，∵60AOM ∠=︒，3OM = ∴tan 333AM OM AOM =∠，26AB AM ∴==，故答案为6．【点拨】本题主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．同时也考查了解三角形．13．2【分析】根据垂径定理得到CE =DE ，∠CEO =90°，根据圆周角定理得到∠COE =30°，根据直角三角形的性质得到CE =12OC =1，最后由垂径定理得出结论． 解：∵O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE DE =，90CEO ∠=︒，∵15A ∠=︒，∴30COE ∠=︒，在Rt OCE 中，2OC =，30COE ∠=︒， ∴112CE OC ==，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半） ∴22CD CE ==．【点拨】本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．14．（1）见解析；（2）67.5°或72°【分析】（1）连接OA ．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD=CB ，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD ．②若CD=CB ，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD ．③若DB=DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：（1）连接OA ，如下图1所示：∵AB=AC，∴AB AC，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67．5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67．5°或72°．【点拨】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意分类讨论思想的应用．1．45︒【分析】先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 解：由题意得：OC AB ⊥，4AB =，122AC AB ∴==， 2OC =，AC OC ∴=，Rt AOC ∴是等腰直角三角形，45AOC =∴∠︒，故答案为：45︒．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．2．123解：试题分析：圆心为O ，AB 为弦，半径与弦的交点为C ，则OC ⊥AB ，OA=12，OC=6，根据勾股定理可得AC=63，所以AB=2AC=123.考点：垂径定理.3．3【分析】连接OC ，由垂径定理可求出CH 的长度，在Rt △OCH 中，根据CH 和⊙O 的半径，即可由勾股定理求出OH 的长．解：连接OC ，Rt △OCH 中，OC=12AB=5，CH=12CD=4； 由勾股定理，得：2222543OC CH --；即线段OH 的长为3．故答案为：3．【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．12【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝12AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝22135＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为：12．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．60°或120°【分析】∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，过O点作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH＝732，则利用余弦的定义可求出∠OAH＝30°，所以∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝60°，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝120°．解：∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，过O点作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝12AB73，在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝AHOA＝73273∴∠OAH＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBH＝∠OAH＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝1∠AOB＝60°，2∵∠ADB＋∠ACB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故答案为60°或120°．【点拨】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．6．2π【分析】连接OQ，以OA为直径作⊙C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长．解：连接OQ．在⊙O中，∵AQ=PQ，OQ经过圆心O，∴OQ⊥AP．∴∠AQO=90°．∴点Q在以OA为直径的⊙C上．∴当点P在⊙O上运动一周时，点Q在⊙C上运动一周．∵AB=4，∴OA=2．∴⊙C的周长为2π．∴点Q经过的路径长为2π．故答案为：2π【点拨】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键．7．12或4【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可. 解：∵OM⊥AB，∴AM=BM，若∠OAM=30°，则tan∠OAM=2333 OMAM AM==，∴AM=6，∴AB=2AM=12；若∠AOM=30°，则tan∠AOM=3323AM AMOM==，∴AM=2，∴AB=2AM=4.故答案为：12或4.【点拨】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论.8．4【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC，作AC的中垂线，与直线CD的交点就是圆心，已知圆心即可作出圆；连接圆心与A，根据勾股定理即可求得半径．解：如图，连接OA ，∵CD 是弦AB 的垂直平分线， ∴1 3.22AD AB ==， 设圆的半径是r ．在直角△ADO 中， 3.2 1.6AO r AD DO r ===-，， ．根据勾股定理得，()2223.2 1.6r r =+- ，∴4r =故答案为：4【点拨】本题主要考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键．9．(4,35)-【分析】如图，连接BC ，设圆与x 轴相切于点D ，连接MD 交BC 与点E ，结合已知条件，则可得BC MD ⊥，勾股定理求解EM ，进而即可求得B 的坐标．解：如图，连接BC ，设圆与x 轴相切于点D ，连接MD 交BC 与点E ，则MD x ⊥轴，AB 为直径，则90ACB ∠=︒，BC MD ∴⊥，//BC x ∴轴，()23M ，，3MB MD ∴==，2CE EB ==， 2222325ME MB EB ∴=-=-=，CB 4=，35DE MD ME ∴=-=-，//BC x 轴，(4,35)B ∴-．故答案为：(4,35)-．【点拨】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．10．5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴OC AB ⊥∴14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，∵2cm CD =∴(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点拨】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．11．4334【分析】阴影面积由弓形ADB 面积加上△MNB 的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出△MNB 的最大面积，由M ,N 为AB ,BC 的中点，所以MN 是△ABC 的中位线，所以△BMN ∽△BAC ，所以S △BMN =14S △ABC ，求出△ABC 的最大面积即可，而AB 边为定值，当点C 到AB 的距离最大，三角形面积最大，当CM ⊥AB 时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值．解：连接OA ,OB ，连接OM ，如图∵60ACB ∠=︒ ,∴2120AOB ACB ∠=∠=︒，∵M 为AB 中点，∴OM ⊥AB ，132AMBM AB ,60AOM BOM∴30OAM ∠=︒,设OM =x ，则AO =2x ，在Rt △AOM 中222,OM AM AO 即 222(3)(2)x x += ， 解得x =1， 即1,2OM AO ,S 弓形ADB =S 扇形OADB AOB S =2120214231336023，∵M ,N 为边AB ,BC 的中点，∴MN ∥AC ，∴BMNBAC , ∴14BMN ABC S S ,当C ,O ,M 在同一直线上时，△ABC 的面积最大，由垂径定理可知，AC =BC ,又∵∠ACB =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC =,在Rt △ACM 中， 2222(23)(3)3CMAC AM ,∴ABC S的最大值为：132⨯=, ∴1133=33444BMN ABC S S , ∴阴影面积的最大值为：4334333434． 故填：4334． 【点拨】本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积． 12．294【分析】设半径为r ，则OC OB r ==，得到2OE r =-，由垂径定理得到5CE =，再根据勾股定理，即可求出答案．解：由题意，设半径为r ，则OC OB r ==，∵2BE =，∴2OE r =-，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，∴点E 是CD 的中点，∵10CD =，∴1052CE ==， 在直角△OCE 中，由勾股定理得222OC CE OE =+， 即2225(2)r r =+-，解得：294r =． 故答案为：294． 【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．13．2323h <+ 【分析】如图，BC 为O 的弦，2OB OC ==，证明OBC ∆为等边三角形得到60BOC ∠=︒，则根据圆周角定理得到30BAC ∠=︒，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则90DCB EBC ∠=∠=︒，当点A 在DE 上（不含D 、E 点）时，ABC ∆为锐角三角形，易得323CD BC ==，当A 点为DE 的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图，根据垂径定理得到AH BC ⊥，所以1BH CH ==，3OH =，则23AH =+，然后写出h 的范围． 解：如图，BC 为O 的弦，2OB OC ==，2BC =，OB OC BC ∴==，OBC ∴∆为等边三角形，60BOC ∴∠=︒，1302BAC BOC ∴∠=∠=︒， 作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则90DCB EBC ∠=∠=︒，∴当点A 在DE 上（不含D 、E 点）时，ABC ∆为锐角三角形，在Rt BCD ∆中，30D BAC ∠=∠=︒，323CD BC ∴==，当A 点为DE 的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图，A 点为DE 的中点，∴AB AC =，AH BC ∴⊥，1BH CH ∴==，33OH BH ∴==，23AH OA OH ∴=+=+，h ∴的范围为2323h <+．故答案为2323h <+．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．14．【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=12AB，可求OA=2，OD在Rt△AOD中，由勾股定理AD=△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求AC解：过O作OE⊥AB于C，∵AB为弦，∴AC=BC=12AB，∵直线y与O相交于A，B两点，∴当y=0x=，解得x=-2，∴OA=2，∴当x=0时，y=∴OD在Rt△AOD中，由勾股定理AD=∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，∴△OAC∽△DAO，AC AOAO AD=即2AOACAD===，∴AB=2AC故答案为【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．15．2【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可解：连接OB 、OC 、作OD ⊥AB∵60A ∠=︒∴∠BOC =2∠A =120°∵OB =OC∴∠OBC =30°又75B ∠=︒∴∠ABO =45°在Rt △OBD 中，OB =1∴BD ==22∵OD ⊥AB ∴BD =AD 2∴AB 22【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键16．23π 【分析】连接OC ．证明OC ∥BD ，推出S 阴＝S 扇形OBD 即可解决问题．解：连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴BC BD =，CE ＝DE 3∴∠COD ＝∠BOD ，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，∴∠COB ＝60°，∵OC ＝OB ＝OD ，∴△OBC ，△OBD 都是等边三角形，∴OC ＝BC ＝BD ＝OD ，∴四边形OCBD 是菱形，∴OC//BD ，∴S △BDC ＝S △BOD ， ∴S 阴＝S 扇形OBD ， ∵OD ＝sin 60ED ︒＝2， ∴S 阴＝2602360π••＝23π， 故答案为：23π． 【点拨】本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．17．26【分析】延长DC ，交⊙O 于点E ，连接OA ，由题意易得DE 即为⊙O 的直径，1CD =寸，10AB =寸，则有5AC =寸，设OA =x 寸，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 解：延长DC ，交⊙O 于点E ，连接OA ，如图所示：由题意得CD ⊥AB ，点C 为AB 的中点，1CD =寸，10AB =寸，∴DE 为⊙O 的直径，∴5AC =寸，设OA =x 寸，则()1OC x =-寸，∴在Rt △AOC 中，222AC OC OA +=，即()22251x x +-=，解得：13x =，∴圆形木材的直径为26寸；故答案为26．【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．18．3【分析】过点O 作OH ⊥CD 于H ，连接OC ，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt △OCH 中，利用勾股定理即可求解．解：过点O 作OH ⊥CD 于H ，连接OC ，如图，则CH ＝DH ＝12CD ＝4，在Rt △OCH 中，OH 2254-3，所以CD 与AB 之间的距离是3．故答案为3．【点拨】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 19．120°或60°【分析】根据弦BC 垂直平分半径OA 及OB=OC 证明四边形OBAC 是矩形，再根据OB=OA ，OE=12求出∠BOE=60°，即可求出答案.解：设弦BC 垂直平分半径OA 于点E ，连接OB 、OC 、AB 、AC ，且在优弧BC 上取点F ，连接BF 、CF ，∴OB=AB ，OC=AC ，∵OB=OC ，∴四边形OBAC 是菱形，∴∠BOC=2∠BOE ，∵OB=OA ，OE=12, ∴cos ∠BOE=12，∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，∴∠BFC=12∠BOC=60°，∴ 弦BC 所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120°或60°.【点拨】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键. 20．32．【分析】连接OA ，设半径为x ，用x 表示OC ，根据勾股定理建立x 的方程，便可求得结果．解：解：连接OA ，设半径为x ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，23OC x ∴=，OC AB ⊥， 1102AC AB ∴= 222OA OC AC -=，222()103x x ∴-=， 解得，32x =．故答案为32．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．21．7或1．【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 同一侧时，当两条弦位于圆心O 两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE 和OF 的长度，即可得到答案．解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE ⊥CD ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，连接OC ，OA ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∴E 、F 分别为CD 、AB 的中点，∴CE=DE=12CD=3cm ，AF=BF=12AB=4cm ，在Rt △AOF 中，OA=5cm ，AF=4cm ，根据勾股定理得：OF=3cm ，在Rt △COE 中，OC=5cm ，CE=3cm ，根据勾股定理得：OE═4cm ，则EF=OE -OF=4cm -3cm=1cm ；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm ，综上，弦AB 与CD 的距离为7cm 或1cm ．故答案为：7或1．【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．22．94 【分析】连接CD ，并延长交x 轴于点P ，分别求出PD ，PO ，CD 和PC 的长，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，求出PF ，CF 的长，进一步得出点C 的坐标，从而可得出结论． 解：连接CD ，并延长交x 轴于点P ，如图，∵C 为半圆的中点，∴CP ⊥AB ，即∠ADP =90°又∠AOB =90°∴∠APD =∠ABO∵A （2，0），B （0，1）∴AO =2，OB =1 ∴2222125AB AO BO +=+= ∴152AD AB == 又1tan 2PD OB A AD OA === ∴115522PD AD === ∴5535PC PD CD =+= ∴2222555()()424AP PD AD =++ ∴53244OP AO AP =-=-= 过点C 作CF ⊥x 轴于点F ， ∴sin sin 5CF AO APD ABO PC AB ∠=∠=== ∴353255CF PC == ∴22223533()()424PF PC CF --∴333442OF OP PF =+=+== ∴点C 的坐标为（32，32） ∵点C 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上 ∴339224k =⨯=， 故答案为：94 【点拨】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C 坐标是关键．23．【分析】根据垂径定理得到AD ＝DC ，由等腰三角形的性质得到AB ＝2OD ＝2×2＝4，得到∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝12×90°＝45°，求得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，求得AD ＝AB ＝4，于是得到DC ＝AD ＝4，根据勾股定理即可得到结论．解：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC ，∵BO ＝CO ，∴AB ＝2OD ＝2×2＝4，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝90°，∴BE EC =，∴∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝12×90°＝45°，∵EA ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝4，∴DC ＝AD ＝4，∴AC ＝8，∴BC故答案为【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．解：连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH≅△OAM（HL）．∴∠OAH=∠OAM．又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA≅△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．又∵∠C=60°以及同弧AB，∴∠AOB=∠DOE=120°．故本题答案为：120．【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．25．12或32或92【分析】作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，连接OD、OB，则可以求出OE、OF 的长度，进而求出OP的长度，进一步得PE与PF长度，最后可求出答案.解：如图所示，作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，∴AE =BE =1AB 2=2，DF=CF=12CD =2， 在Rt OBE △中，∵5BE=2，∴OE=1，同理可得OF=1，∵AB 垂直于CD ，∴四边形OEPF 为矩形，又∵OE =OF =1，∴四边形OEPF 为正方形，又∵ACP S △ 有如图四种情况，∴（1）ACP S △=12AP∙CP=12×1×3=32， （2）ACP S △=12AP∙PC=12×1×1=12， （3）ACP S △=12PC∙PA=12×3×3=92， （4）ACP S △=12AP∙PC=12×3×1=32， 故答案为：12或32或92【点拨】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键. 26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB =∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE =BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据BC CD 得到BC =CD ，从而证明菱形．。

第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。

垂径定理及其20个推论垂径定理及其20个推论是几何学中的基本定理，它描述了圆与其内接三角形的关系。

下面是垂径定理及其20个推论的详细解释：垂径定理：在一个圆中，任意一条直径与其上的任意一条弦垂直。

推论1：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的两个直角三角形互为相似三角形。

推论2：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边等于圆的半径。

推论3：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边的平方等于两直角边的乘积。

推论4：在一个圆中，任意两条垂直的弦所对的弧互补。

推论5：在一个圆中，两条交叉的弦所对的四个弧互补。

推论6：在一个圆中，一条弦和其所对的弧上的两个角互补。

推论7：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。

推论8：在一个圆中，两条相交弦所对的角相等。

推论9：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弧所对的角。

推论10：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弦所对的弧所对的角。

推论11：在一个圆中，两条相交弦所对的角等于其所对的弧所对的角。

推论12：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。

推论13：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等。

推论14：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等。

推论15：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等于圆的半径。

推论16：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等于圆的半径。

推论17：在一个圆中，两个相对的角所对的弦的平方等于两个相对角的余弦的差的平方。

推论18：在一个圆中，一条弦所对的角等于其所对的弧所对的角。

推论19：在一个圆中，一条弦所对的角互补。

推论20：在一个圆中，一条弦所对的角是其所对的弧的一半。

垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。

下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。

1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。

其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。

2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。

首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。

根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。

3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。

下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。

首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。

b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。

c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：薛子坤课题垂径定理及其直线与圆、圆与圆的位置关系教学目标1、能理解并运用垂径定理及相关推论。

2、掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的相关概念3、根据相关知识判定直线与圆、圆与圆的位置关系4、掌握切线的判定定理及其圆的有关性质重点、难点1、垂径定理及相关推论的运用。

2、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断。

考点及考试要求能理解并运用垂径定理及相关推论，并能根据相关性质进行综合应用教学内容27.3 垂径定理一、知识要点：要点1：圆的轴对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

要点2：弓形的概念由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形要点3：垂径定理如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。

要点4：垂径定理的推论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。

（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。

（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线必经过圆心，并平分这条弦所对的弧。

（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并垂直于这条弦。

（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并平分这条弦。

说明一：在圆中，当一条直线：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的弧（包括优弧和劣弧）.在这四种关系中，只要有两种关系成立，则其余两种关系也成立。

其中当（1）（3）成立时，注意只有在这条弦不是直径的情况下，才有（2）（4）成立说明二：1中若不规定“这条弦不是直径”，那么后面的两个结论，即这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧就不一定成立 二、例题讲解例1：M 是弦CD 的中点，EM 过圆心O ，已知CD=4cm ，EM=6cm ，求CED 弧所在圆的半径例2：⊙O 中的两条弦AB 、CD 相交于点P ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且PE=PF ，求证：AB=CD例3：P 是⊙O 外一点，过点P 的两条直线分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，又E 、F 分别是AB 弧、CD 弧的中点，联结EF ，交AB 、CD 于点M 、N ，请判断△PMN 的形状，并证明你的结论O DCEM POBAEDCF N MACPDBE F例4、如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。