垂径定理

垂 径 定 理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造R t △OAE ）。

概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧1．过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm ，最短弦长为4cm ，则OM 的长为（ ）A 、cmB 、cmC 、2cmD 、3cm2．已知：如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8cm,OC=5cm, 则DC 的长为：A 、3cmB 、2.5cmC 、2cmD 、1cm3．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米．3、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.4．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(a) (b) (c) 图3(1)在上面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 第一问答案（AB 与CD 交于 （AB 与CD 交于 （AB 与CD 平行）⊙O 外一点） ⊙O 内一点） 图2－11. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A. 5OM 3≤≤B. 5OM 4≤≤C. 5OM 3<<D. 5OM 4<< 4、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm. 5、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.6、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BACBDC OA B E FD 3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C =900，AC =5cm ，BC =12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，求CD 的长.2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－21. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.图6－14. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.9、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.10、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.11、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.12、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

垂径定理的判定垂径定理是以三角形的垂径来判定三角形的关系的一种定理，主要涉及三角形的内角和外角的知识点，这也是判定三角形的一种简单形式，并且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛。

一、垂径定理的定义垂径定理的核心是三角形的垂径，即以三角形的边长和角度为基础构建的一种关系，其定义如下：在任意一个三角形中，当给定A角的夹角，则其余两个角按照以下关系判定：A角的余边（另外两条边）分别对应B角和C角，并且其关系如下：A角的余边平方之和等于B 角的余边乘以C角的余边的总和。

二、垂径定理的应用垂径定理可以用来解决一些常见的实际问题，比如可以用来计算三角形内角和外角之间的关系，例如：有一个三角形，其中A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，那么根据垂径定理，C角的夹角就可以用下面的公式来计算：C角的夹角 = 180° - B角的夹角 - A角的夹角 = 180° - 90° - 60° = 30°，从而可以计算出三角形所有角度的值。

垂径定理也可以用来计算三角形的边长，例如：若A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，且A角的余边为2，那么根据垂径定理，可以求得B角的余边 =(2 + 2) - 2 = 4，即B角的余边为4，从而可以得出三角形的边长。

三、垂径定理的表达垂径定理可以表达为数学式：a +b = c其中a为A角的余边，b为B角的余边，c为C角的余边，从根本上讲，就是三角形三条边长之和的平方等于第三条边长的平方加上夹角的余边的平方，因此从数学上可以看到，垂径定理是一种判定三角形关系的有效手段。

四、垂径定理的结论综上所述，垂径定理可以用来判断三角形的关系，是判定三角形的一种简单形式，而且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛，因此其实质就是三角形内角和外角之间的关系，以及三角形三边之和的平方等于第三边长的平方加上夹角的余边的平方，这也是垂径定理最主要的表达方式。

人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。

如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。

二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。

3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。

三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。

例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。

此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。

四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。

2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。

3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。

4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。

五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。

这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。

2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。

这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。

六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。

2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。

3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。

七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。

例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。

2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。

例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。

垂径定理判定
垂径定理是指，如果一个三角形的某一边的垂线（或称高线）与另一边相交于垂足，那么这个垂线的长度就等于对应边上的点到垂足的距离。

而垂径定理的判定方式，则取决于问题的具体形式和所给的条件。

以下是一些可能的情况：
- 已知三角形的三边长，判断三角形是否直角三角形：如果三边构成的三角形中，最长边的平方等于另外两边平方之和，则这个三角形是一个直角三角形，且最长边所对应的角为直角。

此时，垂足就是斜边上距离最长的点。

- 已知三角形的三个顶点坐标，判断三角形是否直角三角形：计算三个顶点之间的距离即可，如果存在一对边的长度平方之和等于第三边长度平方，则这个三角形是一个直角三角形。

此时，可以用两个顶点作为边上的点，然后计算该边上的垂足的坐标。

- 已知三角形的一边和与该边垂直的高线长度，判断三角形是哪种类型：计算高线长度是否等于对应边上的点到垂足的距离，若相等，则这个三角形是一个直角三角形；如果高线长度小于对应边上的点到垂足的距离，则这个三角形是一个锐角三角形；如果高线长度大于对应边上的点到垂足的距离，则这个三角形是一个钝角三角形。

- 已知三角形的两个角度和一边或两边，判断三角形是否直角三角形：通过三角函数（正弦、余弦、正切等）求出所有边长，然后判断是否满足勾股定理。

若满足，则这个三角形是一个直角三角形。

垂径定理是指，在一个曲线上，任意一点到曲线的切线的距离都是一样的。

它的10个推论是：1）曲线的切线方程是垂径定理的特例；2）曲线的切线方程可以由垂径定理推导出来；3）曲线的切线方程的斜率是曲线的切线的斜率；4）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；5）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；6）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；7）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；8）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；9）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；10）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根。

垂径定理1.弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5）平行弦夹的弧相等。

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。

2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。

3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）A 3cmB 2.5cmC 2cmD 1cm2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是( )A 、1.5B 、2C 、2.5D 、33、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O 过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC∆的内部，090,1,6BAC OA BC ∠===，则圆O 的半径为（ ） Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213AOB C第3题图 4、（2011年浙江杭州六模）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π-8 B . 8π-16 C.16π-16 D. 16π-325.（2011年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB =120m ，C 是AB 弧上一点，OC ⊥AB 于D ，CD =20m ，则该弯路的半径为________米6. （2011浙江慈吉 模拟）如图，△ABC 内接于⊙O , ∠B=42°, 则∠OCA=__________.7．（2011年杭州市西湖区）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的宽口AB 是 mm ．8.（2011年北京中考）一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ）9.（2011年北京四中中考模拟19）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点；C A B OC A BO 第4题O C B A 第6题图 B A 8mm 第7题D C B A O 第5题图（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；10.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．AB与CD间距离为。

第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。

一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言表述为：如图，在中，若⊙O 直径CD ⊥AB ，则AE=BE ，弧AD=弧BD,弧AC=弧BC 。

诠释：垂径定理可改述为：一条直线若满足：①过圆心（CD 是直径）；②垂直于弦（CD ⊥AB ）；则可推出：③平分弦（AE=BE ）；④平分弦所对的优弧（弧AC=弧BC ）；⑤平分弦所对的劣弧（弧AD=弧BD ）.事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备上述五个条件中的任何两个，就可以推出其余三个。

譬如：（1）①② ⇒③④⑤（即是定理）；（2）①③ ⇒②④⑤.即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）②③ ⇒①④⑤.即：弦的垂直平分线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （4）①④ ⇒②③⑤.即：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.通常把上面的（2）、（3）、（4）叫做垂径定理的推论. 聪明的读者朋友，相信你还能写出余下的结论.特别说明：（1）推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直.（2）垂径定理是根据圆是对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧 相等和一条弦是直径的重要依据. 【应用】例（福建福州）. 如图，⊙O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 解析：过圆心O 作OC AB ⊥于C ，（如图3）则4OC cm =又由垂径定理得12AC AB ==3cm ， 在Rt AOC 中，由勾股定理得：2222345OA AC OC =+=+=即⊙O 的半径长为5cm ，选C.点评：（1）解有关圆的问题时，时常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定规律，利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”（往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例）；（2）垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径R 、圆心到弦的距离OB Ad 、弦长a 和弓形高h 等数量的计算.这些量之间的关系是222()2ar d =+，r d h =+.根据这些关系，在a 、r 、d 、h 四个量中，知道其中任何两个量，就可以求出其余的两个量.【练习】1、（江西无锡）如图1，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于C ，若25cm AB =，1cm OC =，则⊙O 的半径长为cm ． 2、湖南怀化）圆的半径为13cm ，两弦AB CD ∥，24cm AB =，10cm CD =，则两弦AB CD ，的距离是（ ） Ａ．7cm Ｂ．17cm Ｃ．12cm Ｄ．7cm 或17cm .3、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块图14、高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A.5 B.7 C.537 D. 737 5、兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．6、如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，BD=200cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 7、每位同学都看到过日出时美丽的景色.图6是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A. 0.4厘米/分 B. 0.5厘米/分 C. 0.6厘米/分 D. 0.7厘米/分图6 OD ABC图3 DBAO C图4OMN G图5图2二、垂径定理解题应用举例（一）利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系 【例1】 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ）A.80°B. 50°C. 40°D. 20° 分析：本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。

垂径定理 - 几何定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。

基本信息∙中文名称垂径定理∙别称圆的垂径定理∙表达式OA=OB∙应用学科数学∙适用领域范围制图目录1 垂径定理概念2 其他资料2.1 圆的有关性质2.2 知识点2.3 大纲要求3 相关示例4 相关推论展开1 垂径定理概念2 其他资料2.1 圆的有关性质2.2 知识点2.3 大纲要求3 相关示例4 相关推论+1QQ空间新浪微博腾讯微博百度贴吧人人豆瓣垂径定理概念编辑本段垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧其他资料编辑本段圆的有关性质知识点一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素：垂径定理1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：⌝平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

⌝平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。