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平面应力问题平面域A 内的基本方程:平衡微分方程（在A 内） 几何方程（在A 内）物理方程（在A 内）即: S 上边界条件:应力边界条件在 上）位移边界条件（在 上） 平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解0,0.yx x y xyσX x y σY y x ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ττ, , .x y xy u v v ux y x yεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂11(),(),2(1).x x y y y x xy xy σσσσE E Eεμεμμγτ⎫=-=-⎪⎪⎬+⎪=⎪⎭22()1()(a)12(1)x x y y y x xy xyE σεμεμE σεμεμE τγμ⎫=+⎪-⎪⎪=+⎬-⎪⎪=⎪+⎭{}[]{}2101011002(10, 2.18)x x y y xy xy σE σσD P ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎣⎦=•εμμεμμτγε式(),().x yx s x y xy s y l σm f m σl f ττ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭σs(),().s s u u v v ⎫=⎪⎬=⎪⎭us 2222y xy x y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂.1 ,12μμμμ-→-→E E 0,0.yx x y xyσx y σy x ∂⎫∂+=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪+=⎪∂∂⎭ττ22,y ΦσYy x∂=-∂.2yx Φτxy ∂∂∂-=22,x ΦσXx y∂=-∂二、基本假设 1、连续性假定假定物体是连续的。
因此，各物理量可用连续函数表示。
2、完全弹性假定a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。
3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此， E 、 μ等与位置 无关。
4、各向同性假定假定物体各向同性。
E 、μ与方向无关。
平面应变问题和平面应力问题的异同点1. 前言在我们讨论材料力学时，平面应变和应力这两个概念就像两个兄弟，性格各异却又密不可分。
想象一下，平面应变就像个爱静的书呆子，而平面应力则是那个热爱社交的朋友。
今天就来聊聊这两个家伙的异同，看看他们在我们生活中是怎么“打交道”的。
2. 平面应变问题2.1 定义与特征首先，平面应变问题指的是在某些条件下，材料在某个平面上的变形情况。
简单来说，就是我们常见的“拉伸”和“压缩”情景。
想象一下，像橡皮泥被捏扁了，表面看起来光滑，但内部却可能发生了复杂的变形。
在这种情况下，材料的某一方向的变形被假设为零，这样我们就能简单地处理问题。
2.2 应用场景说到应用，这平面应变可不简单！它常常出现在一些工程问题中，比如桥梁、隧道建设等，特别是在大规模的结构中。
想象一下，一个大桥的承重结构，所有的力都集中在某个平面上，这时应变问题就浮出水面了。
工程师们可得好好研究这个问题，才能保证桥梁的安全性。
3. 平面应力问题3.1 定义与特征转到平面应力问题，哎呀，这家伙可就热闹多了！它主要讨论在一个平面内的应力状态，简单来说，就是材料受到的各种力作用下的反应。
想象你在拥挤的地铁里被挤来挤去，那种“被压力包围”的感觉就是平面应力的典型表现。
这个时候，虽然我们也考虑了材料的厚度，但更关注的是在某个面上的力的分布。
3.2 应用场景在实际应用中，平面应力同样是不可或缺的。
很多时候，我们在设计零件，比如汽车车身或飞机机翼时，就会用到这个概念。
设计师们可得深思熟虑，确保在高速行驶时，这些材料能承受得住压力，绝不能让人有“毛毛的感觉”。
4. 异同点总结4.1 相似之处好啦，现在我们来看看这两个概念的相似之处。
首先，平面应变和应力都涉及到材料如何在外力作用下变形或反应，都是力学的基础。
其次，它们都为工程师提供了重要的分析工具，帮助他们设计出安全可靠的结构，真是一对“亲密无间”的兄弟。
4.2 不同之处不过，这两者的不同也挺明显的。
试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
平面应力问题和平面应变问题是固体力学中的两个重要概念，用于描述材料在二维平面内受力和变形的行为。
它们具有以下特点：
平面应力问题特点：
1.二维平面：平面应力问题假设材料在一个平面内受力，即只考虑材料在平
面内的应力分布，忽略沿垂直于该平面的应力分量。
2.平行应力：在平面应力问题中，只考虑平行于平面的应力分量，即沿着平
面的两个方向上的应力分量。
3.垂直应力：由于假设材料在平面外的应力分量为零，因此平面应力问题中
不考虑垂直于平面的应力分量。
4.线性弹性：平面应力问题通常基于线性弹性理论，即假设材料的应力-应
变关系是线性的。
平面应变问题特点：
1.二维平面：与平面应力问题类似，平面应变问题假设材料在一个平面内变
形，只考虑材料在平面内的应变分布，忽略垂直于该平面的应变分量。
2.平行应变：平面应变问题中，只考虑平行于平面的应变分量，即沿着平面
的两个方向上的应变分量。
3.垂直应变：与平面应力问题不同，平面应变问题中考虑垂直于平面的应变
分量。
4.线性弹性：平面应变问题通常基于线性弹性理论，假设材料的应力-应变
关系是线性的。
这些问题的特点使得对材料在二维平面内受力和变形行为进行简化和分析成为可能。
它们在工程学和材料科学中有广泛的应用，例如在结构力学、材料设计和应力分析中的应用。
§6.4 平面应力问题的近似性学习思路:对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。
但是问题的z方向应力和位移不同。
应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。
问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。
对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。
学习要点：1. 平面应变与平面应力问题；2. 平面应力问题与基本方程；3. 平面应力问题的误差；对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。
因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。
下表列出了两种平面问题的主要差别。
上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。
虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。
但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。
由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。
这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求这要求εz为x，y的线性函数，因此εz= ax+by+c，但平面应力问题又要求。
这要求σx+ σy满足线性分布。
这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。
这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。
由于平面应力问题εz≠0，这使得问题的求解困难相对。
为了简化分析，对于薄板问题，εz很小，可以认为εz近似为零。
这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。
对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。
假如重新假定应力分量σx，σy，τxy是x，y，z的函数，应力分量σz，τxz 和τyz仍然等于零，则可以选取新的应力函数求解平面应力问题。
如果上式中函数(x，y）为双调和函数，则应力函数ψ(x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。
显然，新的应力函数ψ(x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。
根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。
由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。
对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。
§6.5 应力函数的物理意义及边界条件表示学习思路:边界平衡条件要求弹性体趋近于边界的应力分量满足面力边界条件。
应力分量可以通过应力函数表达，因此应力函数也应该满足对应的边界条件。
将应力函数表达的边界条件积分，并且应用应力函数的性质，则可以得到应力函数的偏导数在边界的性质。
考虑应力函数全微分的积分，可以确定应力函数在边界的性质。
分析表明：边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y 轴负向的投影。
这是一个非常有用的结论，它能够帮助我们在半逆解法中确定应力函数的基本形式。
学习要点：1. 应力函数与面力边界条件；2. 应力函数的偏导数与边界条件；3. 应力函数与边界条件；4. 应力函数性质在体力为常量的条件下，弹性力学平面问题应力解法由三个未知函数简化为一个应力函数，从而将问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。
因此，应力函数的确定对于平面问题的求解是极为重要的。
本节将讨论应力函数表达的面力边界条件，并由此进一步分析应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点的的物理意义。
对于平面物体，如果应力分量满足面力边界条件，则边界应力函数满足设A为边界上任一定点，而B为边界上任一动点,如图所示。
边界上由A到B为正方向，也就是说物体在d s的左侧，边界法线方向余弦为因此边界条件可以表示为对于上述应力函数表达公式从定点A到动点B作积分，可得由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响的。
所以可以适当的选取a，b，c，使得应力函数(x，y)的一阶偏导数在定点A的值为零。
因此，上述公式可以简化为另外，根据应力函数的全微分对上式从定点A到动点B作分部积分，则积分并将应力函数边界条件公式代入上式，则整理并且将公式代入，可得由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响的。
所以我们适当的选取a，b，c，使应力函数(x,y)在定点的值为零。
因此上式可以简化为另外显然，上述公式的第一式表示由定点A到动点B边界上的面力对B点的合力矩，而第二和第三式分别表示由A到B边界面力的合力沿x，y轴的投影。
因此可以得出以下结论，边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y轴负向的投影。
这是一个非常有用的结论，将可帮助我们在逆解法中确定应力函数的基本形式。
上述公式也是应力函数表达的面力边界条件，和面力边界条件比较，三个公式中只有两个是独立的。
§6.6 逆解法与多项式应力函数学习思路:弹性力学问题的求解归结为在给定边界条件下求解双调和方程。
由于偏微分方程的求解是相当困难的，因此使用逆解法求解。
逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。
逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。
学习要点：1. 逆解法与线性应力函数；2. 二次和三次应力函数与边界条件；3. 四次应力函数与边界应力条件；平面问题的求解方法，归结为给定边界条件下求解双调和方程。
偏微分方程的求解是相当困难的，对于某些矩形平面物体，可以使用逆解法求解。
逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。
逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。
1．一次多项式(x,y)=ax+by+c不论系数取何值，都能满足双调和方程，其应力分量为因此，一次多项式应力函数对应无应力应力状态。
这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y的线性函数，将不影响应力分量的值。
2．二次多项式(x, y)=ax2+bxy+cy2不论系数取何值，都能满足双调和方程，应力分量为二次多项式应力函数对应于均匀应力状态，如图所示。
如仅a，b，c≠0，分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态。
3．三次多项式(x, y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3不论系数取何值，都能满足双调和方程，对应的应力分量为三次多项式应力函数的边界应力分布，如图所示。
对应于线性边界应力。
如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0，其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态。
4．四次多项式(x,y)= ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4若使四次多项式满足双调和方程，其系数需满足关系式3a + c + 3e = 0因此四次多项式应力函数只能有四个独立的系数，设应力函数为即其独立的系数仅为四个，对应的应力分量为边界面力，如图所示。
四次多项式应力函数对应于二次应力分布状态，如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0。
该应力状态由矩形板边界上三部分面力产生，1. 在边界上，作用有均匀分布的切应力2. 在x=0的边界上，作用有按抛物线分布的切应力3. 在x=l，作用有按抛物线分布的切应力和线性分布的正应力。
对四次多项式构成的应力函数，其边界上的应力分量的分布可以是均匀的，线性分布的或者是二次抛物线分布的。
6.7 悬臂梁受集中力作用学习思路:本节应用平面问题的基本方程讨论悬臂梁的弯曲应力、变形和位移。
通过问题的分析，全面介绍平面问题应力函数求解方法。
作为一个典型的平面应力问题，问题求解的关键是确定应力函数。
首先分析悬臂梁的边界条件，根据悬臂梁弯矩分布建立应力函数的基本表达式。
然后应用变形协调方程确定应力函数。
再通过面力边界条件确定待定常数。
分析所得悬臂梁的弯曲应力解与材料力学解是一致的。
弯曲应力确定后，通过本构方程可以确定应变分量；利用几何方程可以得到位移偏导数公式。
由于应力分量是协调的，积分可得位移基本表达式。
至于表达式中的待定系数，需要通过位移边界条件确定。
由于悬臂梁力学模型给定的位移边界条件太强硬，因此分析中假设端面约束仅为排除刚体位移。
学习要点：1. 悬臂梁作用集中力；2. 边界条件与应力函数；3. 悬臂梁应力；4. 悬臂梁变形；5. 悬臂梁位移推导；6. 悬臂梁端面位移边界；7. 边界条件一；8. 边界条件二；本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。
设梁的跨度为l，高度为h，厚度为一个单位，自重忽略不计。
首先讨论梁的弯曲应力。
对于悬臂梁，建立坐标系如图所示。
则梁的边界条件为该边界条件要完全满足非常困难。
但深入分析发现，只要梁是细长的，则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次要边界。
根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面稍远处的应力并无实质性的影响。
因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的条件。
此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。
固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。
这样问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。
因为在梁的上下边界上，其弯矩为F(l-x)，即力矩与(l-x)成正比，根据应力函数的性质，设应力函数为其中f(y)为y的任意函数。
将上述应力函数代入变形协调方程，可得即，积分可得由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。
所以，应力函数为将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量将上述应力分量代入面力边界条件，可以确定待定系数。
在上下边界，自动满足。
而，则要求在x= l边界上，自动满足。
而，则要求联立求解上述三式，可得注意到对于图示薄板梁，其惯性矩。
所以应力分量为所得应力分量与材料力学解完全相同。
