第3章 平面应力和平面应变

试述平面应力问题和平面应变问题的特点。

平面应力问题和平面应变问题是固体力学中的两个重要概念，用于描述材料在二维平面内受力和变形的行为。

它们具有以下特点：
平面应力问题特点：
1.二维平面：平面应力问题假设材料在一个平面内受力，即只考虑材料在平
面内的应力分布，忽略沿垂直于该平面的应力分量。

2.平行应力：在平面应力问题中，只考虑平行于平面的应力分量，即沿着平
面的两个方向上的应力分量。

3.垂直应力：由于假设材料在平面外的应力分量为零，因此平面应力问题中
不考虑垂直于平面的应力分量。

4.线性弹性：平面应力问题通常基于线性弹性理论，即假设材料的应力-应
变关系是线性的。

平面应变问题特点：
1.二维平面：与平面应力问题类似，平面应变问题假设材料在一个平面内变
形，只考虑材料在平面内的应变分布，忽略垂直于该平面的应变分量。

2.平行应变：平面应变问题中，只考虑平行于平面的应变分量，即沿着平面
的两个方向上的应变分量。

3.垂直应变：与平面应力问题不同，平面应变问题中考虑垂直于平面的应变
分量。

4.线性弹性：平面应变问题通常基于线性弹性理论，假设材料的应力-应变
关系是线性的。

这些问题的特点使得对材料在二维平面内受力和变形行为进行简化和分析成为可能。

它们在工程学和材料科学中有广泛的应用，例如在结构力学、材料设计和应力分析中的应用。

平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。

应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。

应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。

其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。

应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。

最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。

总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。

平面应力问题和平面应变问题的基本方程中嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——平面应力问题和平面应变问题的基本方程。

别担心，我会用最简单的语言来解释这个话题，让你轻松理解。

让我们来看看什么是平面应力问题和平面应变问题吧。

平面应力问题，就是指在一个平面内，物体受到的力分布不均匀，导致物体内部产生应力。

而平面应变问题呢，就是指在一个平面内，物体的形状发生变化，导致物体内部产生应变。

这两个问题看似复杂，但其实它们都是由一个基本方程组成的。

这个基本方程就是什么呢？嘿嘿，让我慢慢告诉你。

这个方程叫做胡克定律，它是由英国科学家胡克在18世纪发现的。

胡克定律告诉我们，一个物体受到的应力与其形变成正比，与材料的弹性模量成反比。

换句话说，一个物体受到的应力越大，它的形变就越大；而材料的弹性模量越大，它所能承受的应力就越大。

那么，我们如何运用胡克定律来解决平面应力问题和平面应变问题呢？这里我就给大家举个例子吧。

假设我们有一个矩形板子，它的长度是L,宽度是W,材料是弹性模量为E的金属。

现在我们在板子的四个角上分别施加了40牛顿的力，让板子发生形变。

我们想要知道板子发生了多大的形变。

我们需要计算出板子受到的总应力。

因为我们在四个角上分别施加了40牛顿的力，所以总应力就是40 * 4 = 160牛顿。

接下来，我们要用胡克定律来计算板子的形变。

根据胡克定律，我们可以得到：$\Delta L = F times E \div (A * L)$$\Delta W = F \times E \div (A * W)$其中，$\Delta L$表示板子的长度变化，$\Delta W$表示板子的宽度变化，F表示施加在板子上的力，E表示板子的弹性模量，A表示板子的面积。

将已知的数据代入公式，我们就可以得到：$Delta L = 160 times E \div (4 * A) = 40E \div A$$\Delta W = 160 \times E div (4 * A) = 40E \div A$所以，板子的长度和宽度分别发生了$40E \div A$的形变。

平面应变与平面应力
人们所感受到的，认知到的物质世界是三维的，然而在工程分析中，通常采用合理的二维近似以节省资源。

在众多仿真求解软件中也常常采用二维近似计算。

例如ABAQUS标准分析中的Plane Strain 和Plane Stress单元既是分别采用的平面应变和平面应力的近似假设。

在Plane Strain单元类型中，相关单元的3方向应变E33均为0；在Plane Stress单元类型中，相关单元的3方向应变S33均为0。

上述单元的应力，应变也取决于如下本构方程中的相关假设。

本构方程
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。

三维胡克定律的完整形式如下：
其中，E 是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。

平面应变
平面应变的情况比较简单，从三维公式中删除三个为零的应变分量就是平面应变状态。

通俗来讲，只有平面内有应力，与该面垂直的方向的应力可忽略（如，薄板拉压）。

平面应力
对于平面应力可以使用来消除，从而得到
横向应变(即厚度变化)计算为：。

通俗来讲，只有平面内有应变，与该面垂直的方向的应变可忽略（如，坝体侧向水压）。

平面应力和平面应变
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。

平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。

平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。

具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。

平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。

举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。

薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。

平面应力问题和平面应变问题的异同点平面应力问题和平面应变问题是力学中的重要课题，它们是探索物质承受拉力、压力等外力的变形情况和应力情况的基本方程，也是很多工程的重要参考依据。

不同于立体应力问题和立体应变问题，平面应力问题和平面应变问题是二维问题，具有相对简单的结构，只考虑物体周围两个平面上的力和变形器件。

首先，当讨论平面应力问题和平面应变问题的异同点时，最显著的区别在于他们的物理本质：前者是探索物质在外力作用下的变形特性，后者是探索物质在外力作用下的应力特性。

平面应力及平面应变是机械传动力学最基本的现象，它们是物体承受外力作用而引起的变形和应力之间的密切联系。

其次，当进一步研究它们的异同点时，可以发现，它们在计算方法上也有着不同，平面应变问题一般求解使用平面位移，而平面应力问题则需要利用平面应力的不变量来求解。

此外，从它们的求解结果上来看，由于平面应力问题只考虑物体两个平面上的力，因此它的解析解只有四个方程，而平面应变问题的解析解则有八个方程，不仅考虑了每个平面上的位移量，还考虑到物体的旋转量。

最后，从解决它们问题的作用上来看，平面应力问题和平面应变问题都可以帮助我们研究物质在外力作用下的变形特性和应力特性，让我们对物质的本构关系有更加清晰的认识。

由于两类问题具有不同本质，因此在解决它们时，也需要采用不同的计算方法，从而得到不同的求解结果，进而帮助我们更好的发掘物质在外力作用下的变形和应力的特性。

从上面的分析可以看出，平面应力问题和平面应变问题虽然在物理本质上有着不同，但是它们在求解方法和解决作用上也有着一定的异同点。

因此，在研究物质在外力作用下的变形特性和应力特性时，可以通过求解平面应力问题和平面应变问题，从而更直观的发现物质的本构关系，为用物理方法分析材料的性能、设计新材料提供了重要依据。

试比较平面应力和平面应变问题的异同点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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平面应变问题和平面应力问题的异同点1. 前言在我们讨论材料力学时，平面应变和应力这两个概念就像两个兄弟，性格各异却又密不可分。

想象一下，平面应变就像个爱静的书呆子，而平面应力则是那个热爱社交的朋友。

今天就来聊聊这两个家伙的异同，看看他们在我们生活中是怎么“打交道”的。

2. 平面应变问题2.1 定义与特征首先，平面应变问题指的是在某些条件下，材料在某个平面上的变形情况。

简单来说，就是我们常见的“拉伸”和“压缩”情景。

想象一下，像橡皮泥被捏扁了，表面看起来光滑，但内部却可能发生了复杂的变形。

在这种情况下，材料的某一方向的变形被假设为零，这样我们就能简单地处理问题。

2.2 应用场景说到应用，这平面应变可不简单！它常常出现在一些工程问题中，比如桥梁、隧道建设等，特别是在大规模的结构中。

想象一下，一个大桥的承重结构，所有的力都集中在某个平面上，这时应变问题就浮出水面了。

工程师们可得好好研究这个问题，才能保证桥梁的安全性。

3. 平面应力问题3.1 定义与特征转到平面应力问题，哎呀，这家伙可就热闹多了！它主要讨论在一个平面内的应力状态，简单来说，就是材料受到的各种力作用下的反应。

想象你在拥挤的地铁里被挤来挤去，那种“被压力包围”的感觉就是平面应力的典型表现。

这个时候，虽然我们也考虑了材料的厚度，但更关注的是在某个面上的力的分布。

3.2 应用场景在实际应用中，平面应力同样是不可或缺的。

很多时候，我们在设计零件，比如汽车车身或飞机机翼时，就会用到这个概念。

设计师们可得深思熟虑，确保在高速行驶时，这些材料能承受得住压力，绝不能让人有“毛毛的感觉”。

4. 异同点总结4.1 相似之处好啦，现在我们来看看这两个概念的相似之处。

首先，平面应变和应力都涉及到材料如何在外力作用下变形或反应，都是力学的基础。

其次，它们都为工程师提供了重要的分析工具，帮助他们设计出安全可靠的结构，真是一对“亲密无间”的兄弟。

4.2 不同之处不过，这两者的不同也挺明显的。

平面应力和平面应变1． 平面应力在三维应力分布中，如果作下列假定无关与z 、、xy y x yz xz z τσσττσ0=== 1-1就得到了平面应力问题。

这种情况发生在薄板边界处受到平行于板面、并且沿厚度均匀分布的力作用的时候如图。

这时，在板的上下表面处，z σ、xz τ、yz τ为零（z 为板的法向），并认为沿着整个厚度方向它们也等到于零（因为厚度很小）。

应力状态只须用仅与x 、y 有关的x σ、y σ、xy τ来描述，称为平面应力情况。

此时，这三个应力分量与z 无关，即沿着板厚度保持不变。

平面应力问题的所有方程可以从相应的三维方程并结合式1-1得到：平衡方程 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y y xy x xy x f y x f y x σττσ 1-2 边界条件 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=--y xy xy x m l Y m l X σττσ 1-3 应变--位移方程 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x v y u y v x u xy y x γεε 1-4 应力--应变方程 ()()⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=G E v E v xy xy x y y y x x τγσσεσσε 1-5 这里()v E G +=12是剪切模量，在结构的矩阵分析中，常把1-5式写成矩阵形式。

即()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v E τσσγεε1201011称对 1-6 或者，反之用应变表示应力，则有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v vE γεετσσ21010112称对 或记： {}[]{}εσD = 1-7其中： []⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21010112v v v E D 称对 1-8 协调方程 y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 1-9 此外，还必须注意下面两点：1） 在平面应力状态中0=z σ，而0≠z ε，事实上有()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==+-=00yz xzy x z E v γγσσε 2）平面应力假定下，方程式1-1是违背了某些协调条件的。

平面应力问题和平面应变问题的异同点应力和应变是力学中的基本概念，其有效的分析和研究在工程课题中应用十分广泛。

普通的力学问题，一般可以由应力问题和应变问题之间的关系得出明确的结论。

针对平面的力学问题，应力问题和应变问题是理解和解决其本质问题的必要条件，本文将对平面应力问题和平面应变问题的异同点进行探讨。

首先，从定义上来看，平面应力问题主要是指针对指定的结构体，平面性质的应力问题，而平面应变问题则是指针对指定的结构体，平面性质的应变问题。

从研究对象和对象体上来看，平面应力问题主要应用于研究形状为矩形或平面的结构体，而平面应变问题则主要应用于研究形状为平面的结构体。

其次，从学习目的来看，平面应力问题的研究主要是为了解结构体内静止元素的应力分布，而平面应变问题的研究则是解决结构体内被控制的变形元素的应变分布。

另外，平面应力问题和平面应变问题在研究上均以几何元素为处理对象，平面应力问题都是分析几何元素的拉力，而平面应变问题则是分析几何元素的变形。

此外，平面应力问题主要是由应力的概念来解释结构体的行为，因此，其研究的目的是解决结构体内应力的分布，而平面应变问题则是由应变的概念来解释结构体的行为，因此，其研究的目的是解决结构体内应变的分布。

最后，从计算方法上来看，平面应力问题和平面应变问题在计算方法上也有所不同。

平面应力问题一般采用经典力学理论，通过对所采用的力学模型进行分析和求解，以得到应力的分布情况；而平面应变问题，则一般采用分块表征法，从而获得平面应变的分布情况。

总之，平面应力问题和平面应变问题主要是指在平面上研究应力和应变的分布情况，是理解和解决力学问题的重要环节，不仅在研究对象、学习目的等方面有很大的不同，而且计算方法也大相径庭，因此，平面应力问题和平面应变问题具有较为明显的异同点。

第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。

在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。

§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。

平衡方程(2.40)可简化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yyxy x xyxx f y x f y x σσσσ (3.1)变形协调方程(2.63)只余下yx x y xy yyxx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂222222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。

根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。

平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε,)(yy xx zz Eσσνε+-= (3.3)利用(2.95)式，虎克定律可以写成⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。

此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。