如何区分平面应力与平面应变问题

如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。

ﻫ平面应力:只在平面内有应力,与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。

ﻫ平面应变:只在平面内有应变,与该面垂直方向的应变可忽略,例如水坝侧向水压问题。

具体说来：ﻫ平面应力是指所有的应力都在一个平面内,如果平面是OXY平面,那么只有正应力σx,σy，剪应力τｘy(它们都在一个平面内）,没有σz,τyz，τｚx。

平面应变是指所有的应变都在一个平面内,同样如果平面是OＸY平面,则只有正应变εx，εy和剪应变γxy,而没有εz,γyz，γzx。

举例说来：ﻫ平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体,横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变;柱体的两端受固定约束。

平面应力问题讨论的弹性体为薄板,薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。

薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。

而且薄板的两个表面不受外力作用.
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若干平面问题汇总
平面问题分为平面应力和平面应变问题，平面应力问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远小于另外两个方向的尺寸；受力方面，外力平行于板面且不沿厚度方向变化。

平面应变问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远大于另外两个方向的尺寸;受力方面，外力平行于横截面且不沿长度方向变化。

不同的材料有不同的弹性模量，泊松比，其本构关系也不同。

相容方程的推导可知物体必须变形满足几何方程，且各个应变分量是互相关联的。

应力相容方程建立在应变相容方程的基础上，常体力下的相容方程是应力相容方程的一种特例。

应力函数的相容方程是建立在平衡微分方程的基础上，该方程又叫双重调和方程。

由单纯的几何方程推导出来应变相容方程，然后加上物理方程，发展成了应力相容方程。

由单纯的平衡微分方程推导出了双重调和方程。

平面问题的解法有位移法，应力法，混合法。

在体力为常量，用应力法求解平面问题的方法有逆解法和半逆解法。

逆解法先设定Ф函数，求应力分量，验算是否满足边界条件，不满足就修改Ф函数，直到满足。

半逆解法根据问题，实际状况，假定部分应力分量的函数形式，然后积分求出应力函数，回代求出全部应力分量，，验算是否满足边界条件，不满足就重新假定应力分量函数，直到满足。

圣维南原理：较小的面力的影响效应产生在接触范围域内，远离这个域，效应会降低到忽略不计。

、
工程科研方法：有限元法，实验法，解析法。

平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。

应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。

应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。

其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。

应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。

最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。

总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。

平面应力问题和平面应变问题的基本方程中嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——平面应力问题和平面应变问题的基本方程。

别担心，我会用最简单的语言来解释这个话题，让你轻松理解。

让我们来看看什么是平面应力问题和平面应变问题吧。

平面应力问题，就是指在一个平面内，物体受到的力分布不均匀，导致物体内部产生应力。

而平面应变问题呢，就是指在一个平面内，物体的形状发生变化，导致物体内部产生应变。

这两个问题看似复杂，但其实它们都是由一个基本方程组成的。

这个基本方程就是什么呢？嘿嘿，让我慢慢告诉你。

这个方程叫做胡克定律，它是由英国科学家胡克在18世纪发现的。

胡克定律告诉我们，一个物体受到的应力与其形变成正比，与材料的弹性模量成反比。

换句话说，一个物体受到的应力越大，它的形变就越大；而材料的弹性模量越大，它所能承受的应力就越大。

那么，我们如何运用胡克定律来解决平面应力问题和平面应变问题呢？这里我就给大家举个例子吧。

假设我们有一个矩形板子，它的长度是L,宽度是W,材料是弹性模量为E的金属。

现在我们在板子的四个角上分别施加了40牛顿的力，让板子发生形变。

我们想要知道板子发生了多大的形变。

我们需要计算出板子受到的总应力。

因为我们在四个角上分别施加了40牛顿的力，所以总应力就是40 * 4 = 160牛顿。

接下来，我们要用胡克定律来计算板子的形变。

根据胡克定律，我们可以得到：$\Delta L = F times E \div (A * L)$$\Delta W = F \times E \div (A * W)$其中，$\Delta L$表示板子的长度变化，$\Delta W$表示板子的宽度变化，F表示施加在板子上的力，E表示板子的弹性模量，A表示板子的面积。

将已知的数据代入公式，我们就可以得到：$Delta L = 160 times E \div (4 * A) = 40E \div A$$\Delta W = 160 \times E div (4 * A) = 40E \div A$所以，板子的长度和宽度分别发生了$40E \div A$的形变。

平面应变与平面应力
人们所感受到的，认知到的物质世界是三维的，然而在工程分析中，通常采用合理的二维近似以节省资源。

在众多仿真求解软件中也常常采用二维近似计算。

例如ABAQUS标准分析中的Plane Strain 和Plane Stress单元既是分别采用的平面应变和平面应力的近似假设。

在Plane Strain单元类型中，相关单元的3方向应变E33均为0；在Plane Stress单元类型中，相关单元的3方向应变S33均为0。

上述单元的应力，应变也取决于如下本构方程中的相关假设。

本构方程
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。

三维胡克定律的完整形式如下：
其中，E 是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。

平面应变
平面应变的情况比较简单，从三维公式中删除三个为零的应变分量就是平面应变状态。

通俗来讲，只有平面内有应力，与该面垂直的方向的应力可忽略（如，薄板拉压）。

平面应力
对于平面应力可以使用来消除，从而得到
横向应变(即厚度变化)计算为：。

通俗来讲，只有平面内有应变，与该面垂直的方向的应变可忽略（如，坝体侧向水压）。