按应力求解平面问题

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平面应力问题

平面应力问题平面域A 内的基本方程:平衡微分方程（在A 内）几何方程（在A 内）物理方程（在A 内）即: S 上边界条件:应力边界条件在上）位移边界条件（在上）平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解0,0.yx x y xyσX x y σY y x ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ττ, , .x y xy u v v ux y x yεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂11(),(),2(1).x x y y y x xy xy σσσσE E Eεμεμμγτ⎫=-=-⎪⎪⎬+⎪=⎪⎭22()1()(a)12(1)x x y y y x xy xyE σεμεμE σεμεμE τγμ⎫=+⎪-⎪⎪=+⎬-⎪⎪=⎪+⎭{}[]{}2101011002(10, 2.18)x x y y xy xy σE σσD P ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎣⎦=•εμμεμμτγε式(),().x yx s x y xy s y l σm f m σl f ττ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭σs(),().s s u u v v ⎫=⎪⎬=⎪⎭us 2222y xy x y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂.1 ,12μμμμ-→-→E E 0,0.yx x y xyσx y σy x ∂⎫∂+=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪+=⎪∂∂⎭ττ22,y ΦσYy x∂=-∂.2yx Φτxy ∂∂∂-=22,x ΦσXx y∂=-∂二、基本假设 1、连续性假定假定物体是连续的。

因此，各物理量可用连续函数表示。

2、完全弹性假定a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。

b.线性弹性—应力与应变成正比。

即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。

3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此， E 、 μ等与位置无关。

4、各向同性假定假定物体各向同性。

E 、μ与方向无关。

平面问题的基本理论

平⾯问题的基本理论弹性⼒学⽹上辅导3平⾯问题的基本理论⼀、两类平⾯问题1.平⾯应⼒问题。

这类问题的条件是：弹性体是多厚度的薄板,体⼒、⾯⼒和约束都只有xy 平⾯内的量，都不沿Z向变化；并且⾯⼒和约束只作⽤于板边，在板⾯上没有任何⾯⼒和约束的作⽤。

平⾯应⼒问题特征是：⑴由于板⾯上⽆⾯⼒和约束作⽤，以及薄板很薄，可以得出（σz，τzx和τxy）=0（在平⾯域A内）。

因此，只有σx，σy，τxy三个平⾯内的应⼒分量。

⑵由于物体形状和外⼒、约束沿z向均不变化，因此应⼒分量只是X，y两变量的函数。

以后还可从物理⽅程得出，应变分量也只是X，y的函数；⽽从⼏何⽅程积分求位移可见，位移与Z有关。

归纳起来讲，所谓平⾯应⼒问题，就是只有平⾯应⼒分量（σx，σy和τxy）存在，且仅为X，y的函数的弹性⼒学问题。

例如，厚度较薄的浅梁和深梁，受上部荷载及⾃重的墙，以及有分缝的重⼒坝等，都属于平⾯应⼒问题，凡是符合上述这两点的问题，均属于平⾯应⼒问题。

2.平⾯应变问题这类问题的条件是：弹性体为常截⾯的很长柱体，体⼒、⾯⼒和约束条件与平⾯应⼒问题相似，只有xy平⾯内的体⼒、⾯⼒和约束的作⽤，且都不沿z向变化。

这个问题可以简化为平⾯应变问题。

平⾯应变问题特征是：⑴假想柱体为⽆限长时，则任⼀截⾯（z⾯）都是对称⾯，于是ω=0，只有平⾯位移分量u和v存在，因此，此问题可称为平⾯位移问题；同样由于对称性，εz =0和γzx，γzy=0（相应的τzx，和τzy=0），只有平⾯应变分量εx ，εy, τxy存在，所以此问题⼜称为平⾯应变问题。

⑵由于截⾯形状、体⼒、⾯⼒及约束沿z向均不变，因此，它们只是X，y 的函数。

由此可见，所谓平⾯应变问题，就是只有平⾯应变分量（εz ，εy和τxy，）存在，且仅为x，y的函数的弹性⼒学问题。

进⽽可认为，凡是符合这两点的问题，也都属于平⾯应变问题。

⼆、平衡微分⽅程平衡微分⽅程表⽰区域内任⼀点（x，y）的微分体的平衡条件。

第三章弹性力学平面问题的解析解法资料

ql z y l y l
ql x
xy y
—— 主要由剪力引起；
——由 q 引起（挤压应力）。
又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ y 不随 x 变化。推得：
y f ( y)
(2) 由应力分量表达式确定应力函数 ( x, y ) 的形式：
xf ( y ) f1 ( y ) (a) 2 x y 2 f ( y ) 积分得： x2 x f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) (b) 2
x , y , xy
的某种函数形式；，求 4 0
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
位移分量求解：
（1）将已求得的应力分量 x , y , xy 代入物理方程，求得应变分量
x , y , xy（具有待
（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。
半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及出φ(x,y) 的形式；假设部分应力分量
(e)
式中含有9个待定常数。
x2 ( Ay 3 By 2 Cy D) x( Ey 3 Fy 2 Gy) 2
A 5 B 4 ( y y Hy 3 Ky 2 ) 10 6
（ 2）
x , y , xy 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量

弹性力学A-06温度应力的平面问题

第六章温度应力的平面问题
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
（5）热传导微分方程
由热平衡原理，可知
（温度升高积蓄的热量）= （热流传入的热量）＋（热源供给的热量）
cdxdydz T dt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt
—— 热传导微分方程。
y
qx
dy
qx
qx x
dx
其中：
a c
O zx
y
zx dz dx
a —— 称为导温系数(又称为热扩散率)。单位：米2/时。
混凝土的导温系数 a = 0.003 ~ 0.005。
说明：
式中系数： , c, , a 均可近似地当作常数，但热源强度 W 一般不能
当作常量，而必须是 W W (t )
（1）热平衡原理
在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高所需的热量），等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。
（2）温度升高积蓄的热量
取如图微元体 dxdydz ，设微元体在dt时间内，温度由 T 升高到：
—— 热平衡原理 y
dy
T T dt
t
微元体积蓄的热量为：cdxdydz T dt
2T
2T x 2
2T y 2
2T z 2
0
此时，热传导微分方程成为：
( C)
T a 2T W （b）
t
c
T W （c）
t c
而此时的 T 就是绝热温升率。因此有 W
t
t
c t
有：
T a 2T —— 混凝土硬化发热期热传导微分方程

弹性力学：平面问题02 应力函数解答

总结：（多项式应力函数的性质）
（1）多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足4 0 。多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加
横截面保持平面 —— 材力中“平面保持平面”的假设成立。
（2）将下式中的第二式对 x 求二阶导数：
u
M EI
xy y
u0
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
1 2v M 常数说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲
x2 EI
率相同。即
1
2v x2
M EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u 0 xl
h y h
v 0 2
2
xl
由式（f）可知，此边界条件无法满足。
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
要使上式成立，须有
f1( y)
M EI
x
f 2( x)
(e)
式中：ω为常数。积分上式，得
f1( y) y u0
f2 ( x)
M EI
x2
x
v0
将上式代入式（d），得
u
M EI

5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解

2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2

y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3）再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
第三章弹性力学平面问题的解析解法
第四节第五节逆解法与半逆解法—多项式解答矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件：位移边界条件：应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为：（1）先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2）然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：

弹性力学第3章(徐芝纶第五版)

最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力问题
设有楔形体，左面垂直，顶角为α，下端无限长，受重力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力，（5）考察边界条件——本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法步骤：
⑴ 假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求

平面问题中一点的应力状态

已知X=q， y=0， xy = -2q，求： 1 ， 2 ，α1 1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为方向的正应力n为（b）已知那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时，若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x

( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
n
B
py
xy
2
x

xy

y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0

大学课程考试《弹性力学》作业考核试题

大学课程考试《弹性力学》作业考核试题试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分)1.应力函数必须是（）A.多项式函数B.三角函数C.重调和函数D.二元函数正确答案 :C2.在平面应力问题中（取中面作xy平面）则（）A.σz=0，w=0B.σz≠0，w≠0C.σz=0，w≠0D.σz≠0，w=0正确答案 :C3.弹性力学研究（）由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移A.弹性体B.刚体C.粘性体D.塑性体正确答案 :A4.在弹性力学中规定，线应变（），与正应力的正负号规定相适应。

A.伸长时为负，缩短时为负B.伸长时为正，缩短时为正C.伸长时为正，缩短时为负D.伸长时为负，缩短时为正正确答案 :C5.所谓“完全弹性体”是指（）A.材料应力应变关系满足虎克定律B.材料的应力应变关系与加载时间.历史无关C.本构关系为非线性弹性关系D.应力应变关系满足线性弹性关系6.用应变分量表示的相容方程等价于（）A.平衡微分方程B.几何方程C.物理方程D.几何方程和物理方程7.A.AB.BC.CD.D8.下列材料中，（）属于各向同性材料。

A.竹材B.纤维增强复合材料C.玻璃钢D.沥青9.关于薄膜比拟，下列错误的是（）。

A.通过薄膜比拟试验, 可求解扭转问题。

B.通过薄膜比拟, 直接求解薄壁杆件的扭转问题。

C.通过薄膜比拟, 提出扭转应力函数的假设。

D.薄膜可承受弯矩，扭矩，剪力和压力。

10.在平面应变问题中（取纵向作z轴）A.AB.BC.CD.D11.所谓“应力状态”是指A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B.一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C.3个主应力作用平面相互垂直；D.不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

12.下列力不是体力的是：（）A.重力B.惯性力C.电磁力D.静水压力13.下面不属于边界条件的是（）。

A.位移边界条件B.流量边界条件C.应力边界条件D.混合边界条件14.应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（）A.没有考虑面力边界条件B.没有讨论多连域的变形C.没有涉及材料本构关系D.没有考虑材料的变形对于应力状态的影响15.将两块不同材料的金属板焊在一起，便成为一块（）A.连续均匀的板B.不连续也不均匀的板C.不连续但均匀的板D.连续但不均匀的板16.应力不变量说明（）A.应力状态特征方程的根是不确定的B.一点的应力分量不变C.主应力的方向不变D.应力随着截面方位改变，但是应力状态不变17.在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于（）A.平衡微分方程B.几何方程C.物理关系D.平衡微分方程、几何方程和物理关系18.下列外力不属于体力的是（）A.重力B.磁力C.惯性力D.静水压力19.关于差分法，下列叙述错误的是（）。

弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答

界条件即可。平面问题的静力边界条件为：
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数（续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问的 E、换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题名位称移平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题悬臂梁一端受集中力作用简支梁受均匀分布荷载作用应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程为：
( x y ) 0
2
(6-12)

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2 xy
式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。
例题
已知薄板有下列形变关系：
x Axy, y By3 , xy C Dy2
式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。解答：（1）相容条件
x 将形变分量代入应变协调条件（相容方程） 2 2 y x xy
位移用变形─应力表示，须通过积分，
不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未
知项，因此位移边界条件用应力分量来表示
时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，
只考虑全部为应力边界条件的问题,
即 (s sσ , su 0) 。
⑶ 在A内求解应力的方程平衡微分方程（2个）。 (a)
补充方程─从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出 : 从几何方程中消去位移 u ， v ，得相容方程（形变协调条件）：
EA y 2GDy f x 0 2 1 若满足平衡微分方程，必须有 E ( Ax 3By3 ) f 0 y 2 1
例
图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 x 和剪应力 xy 的表达式，并取挤压应力 y =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。
而不能满足这个方程, 那么, 由三个几何方程中的任何两个求出的位移分量, 将与第三个几何方程不能相容。这就表示, 变形以后的物体就不再是连续的, 而将发生某些部分互相脱离或互相侵入的情况。
相容方程几何意义
不相容举例
例： x
0 y 0 xy Cxy
u v 0, 0 x y
1.按应力求解平面应力问题
（1）取 σ x , σ y , xy 为基本未知函数；
（2）其他未知函数用应力来表示:
平面应力问题的基本方程
平衡微分方程
x yx fx 0 x y y xy f y 0 y x
物理方程
几何方程
将上式整理得：
2 f x f y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 ) （2）平面应变情形将上式中的泊松比μ代为： 1 ，得
（2-23）
应力表示的相容方程（平面应力情形）
2
2 y
2 xy
其中
x 0, 2 y
2
2 y x
2
0
2 xy xy
0
所以满足相容方程，符合连续条件。
解答：
（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为
E E 3 x ( ) ( Axy By ) x y 2 2 1 1 E E 3 y ( ) ( Axy By ) y x 2 2 1 1
§2-8 按应力求解平面问题
弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求解,按应力求解和混合求解。
按应力求解平面问题——平衡微分方程本来就不包含应变分量和位移分量,应当保留。于是,只须由三个
几何方程中消去位移分量,得出三个应变分量之间的
一个关系式, 再将三个物理方程代入这个关系式,使它只包含应力分量。
Байду номын сангаас
+ -
b
c
-
+ d
对于多连通物体：我们总可以作适当的截面使它变成单连通物体，则上述的结论也完全适用。具体地说，如果应变分量满足应变协调方程，则在此被割开以后的区域里，一定能求得单值连续的函数。但对求得的位移分量，当x，y点分别从截面两侧趋向于截面上某一点时，一般说它们将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持为连续体，则必须加上补充条件。
（2-18）
例下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它
们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 （ a） x y , y y , xy xy3 ; 22 4 2 2 （2） x C ( x y ), y Cy , xy 2Cxy; （ b）解（1）将式（a）代入平衡方程： x xy 3 2 2 1 4 fx 0 ( x y y ) x y x y 2 4 （2-2） yx y fy 0 2 2 x y 2 2 ( y y )
2 2 1 f x f y x y x 2 y 2 ( x y ) 1
2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0
（2-24）应力表示的相容方程（平面应变情形）
注意：当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即
（2-25）
用应力表示的相容方程：
f x f y (σ x σ y ) (1 )( ), x y
2
(c)
其中
2 2 2 2. x y 2
(4) 应力边界条件－－假定全部边界上均为应力边界条件 ( s sσ ,su 0) 。
x 2 2 y x
2
2 y
2 xy . xy
(b)
平面应力问题
变形协调方程或相容方程
u x x
v y y
v u xy x y
要使得满足几何方程的位移存在且是单
值的,应变分量之间必须满足一定的条件
平面应力问题
变形协调方程或相容方程
（1） x
3xy 3xy 0
2 2
x
y
y y 0
3 3
2 2
—— 满足
3 y 2 3x 2 3 y 2 0
∴ 式（a）不是一组可能的应力场。
将式（a）代入相容方程：
x 2 y 2 ( x y ) 0
D
D
F
3.按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
说明：
（2-2）
（2）相容方程（形变协调方程）
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
u x x
将
v y y
v u xy x y
x对y偏导数两次，将 y 对x偏导数两次，将 xy 分别对x和y偏导数两次
x 3u 3v 3u u v 2 2 2 2 y x xy yx xy y x
归纳：
按应力求解平面应力问题，应力 σ x , σ y , xy 必须满足下列条件：（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 s sσ上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条件.
（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。
例三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D 点共点（连续），变形后三连杆在 D ② ③ ① 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。
（2-22）
x fx y x 2 xy 2 x f x 2 yx x x
将上述两边相加：
xy
2 xy
x

fy
xy

2 y y

f y y
（2-2） 2 x 2 y f x f y 2 2 （b ） 2 xy y x y x
1 x y E 1 y y x E 21 xy xy E u x x v y y v u xy x y
x
变形用应力表示（物理方程）。
（1） x
（ a）（ b）
x 2 2 y x xy 2 x 2 xy 2 y 2C 2C 0 2 2 y xy x
2
2 y
2 xy
x 2 2C 2C 0 2 y x xy
2
2 y
因此，对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件,只有加上补充条件,条件才是充分的。
2. 变形协调方程的应力表示
（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：
2 2 ( x y ) 2 ( y x ) 2 y x 2(1 )
2 xy
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
2 2 y f x f y x ( x y ) 2 ( y x ) (1 ) 2 2 2 y x y x y x 2 2
xy G xyG (C Dy 2 )
（3）平衡微分方程
解答：
（3）平衡微分方程
其中
x EA y, 2 x 1 xy yx 0, 2GDy x y
x yx fx 0 x y y xy fy 0 y x y E 3 ( Ax 3 By ) 2 y 1
（平面应力情形）（2-23）（3）边界条件：
（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
例下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它