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弹性力学平面问题(9~10)

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弹性力学第四章平面问题的极坐标解答

弹性力学第四章平面问题的极坐标解答

圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao

弹性力学-平面应力-平面应变问题

弹性力学-平面应力-平面应变问题

平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
THANKS
感谢观看
04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。

弹性力学课后答案

弹性力学课后答案

弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。

2－14 见教科书。

2－15 2－16 见教科书。

见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

(整理)采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题

(整理)采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题

采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。

对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。

本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。

二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。

本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。

由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。

学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。

1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。

首先推导平衡微分方程的极坐标形式。

考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为σρ 和τϕρ,则CD面上的应力分量为如果AD面上的应力分量为σϕ 和τρϕ ，则BC面上的应力分量为。

同时，体力分量在极坐标径向ρ 和环向 ϕ方向的分量分别为F bρϕ 和F bϕ 。

9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元

9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x

《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法

《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法

在非线性弹性力学中的应用
解决几何非线性问题
01
通过引入复变函数法，可以更精确地描述和分析材料
的几何非线性行为，如大变形、弯曲和扭转等。
分析材料非线性特性
02 复变函数法可用于研究材料的非线性本构关系，包括
弹性模量、泊松比和屈服强度等随应变变化的规律。
求解非线性弹性力学方程
03
利用复变函数法的数学工具，可以更有效地求解非线
03
典型应力集中问题的 复变函数解法
通过实例详细讲解复变函数法在求解 典型应力集中问题中的应用，如圆孔 、椭圆孔、矩形孔等孔边应力集中的 求解。
裂纹问题的复变函数解法
裂纹问题的定义和 分类
介绍裂纹的概念、分类以及裂 纹对材料和结构的影响，如疲 劳裂纹、脆性裂纹等。
复变函数法在裂纹 问题中的应用
阐述如何利用复变函数法求解 裂纹问题，包括裂纹尖端应力 场的求解、裂纹扩展的判据等 。
在迭代计算过程中，要判断 计算结果的收敛性。如果结 果不收敛，应调整计算参数 或改进算法。误差Fra bibliotek析程序实现
分析计算结果的误差来源， 如模型误差、离散化误差、 舍入误差等。尽量减小误差， 提高计算精度。
编写稳定、可靠的程序，实 现复变函数法的数值计算。 程序应具有良好的可读性和 可维护性。
06 复变函数法在弹性力学中 的拓展应用
04 复变函数法在平面问题中 的应用
应力集中问题的复变函数解法
01
应力集中问题的定义 和分类
阐述应力集中的概念，如孔边应力集 中、缺口应力集中等，以及不同类型 的应力集中对材料和结构的影响。
02
复变函数法在应力集 中问题中的应用
介绍如何利用复变函数法求解应力集 中问题，包括应力函数的构造、边界 条件的处理等。

03第三章 弹性力学中的平面问题


yx
yx y
dy
xy x dx
x
xy
Q
xy
c
dx
dy
x
x dx x
yx
y
x
o
力平衡
y y
?
1、力矩平衡：Mc=0
( xy dx dx dx) dy L xy dy L x 2 2 xy
z ( x y )
xy 2(1 ) xy
E
三、平面问题的方程组 平衡方程:
x yx f 0 x x y xy y f 0 y x y
?
几何方程:
u x v y y u v xy y x
P
p
S
x 若微平面的法线平行于某坐标轴，例如 Z轴，正应力表示为Z则可将剪应力 沿另两坐标轴分解， 得：zx、zy
o
y
应力正负规定
?
如果截面上的法线方向是沿坐标轴的正方向，则该截面 称为一个正面，截面上的应力以沿坐标轴正方向为正。
y
如果截面上的法线方向是沿坐 标轴的负方向，则该截面称为 一个负面，截面上的应力以沿 坐标轴负方向为正。
yx
y
x
xy
o
x
?
以均匀的单向拉伸为例。设P为轴向拉力，F0为横截面积，则法向 与拉伸轴成角的平面上的全应力大小为：
S
P
F0 cos
P cos 0 cos F0

该面的正应力 和平行于该面的剪应力 分别为
S cos 0 cos 2 S sin 0 sin cos

5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解


2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2


y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：

弹性力学平面问题

第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y

弹性力学第二章平面问题的基本理论


圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论
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（1）平衡方程
（2-2）
（2）相容方程（形变协调方程）
说明：
（1）对位移边界问题，不易按应 力求解。
（2）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
（2-18）
y yx
水坝的应力边界条件。
左侧面：
代入应力边界条件公式
右侧面：
代入应力边界条件公式，有
对O点的力矩等效： x方向力等效：
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 y方向力等效：
注意： 必须按正向假设！
§2-10 常体力情况下的简化
2019/12/7
弹性力学
主讲 ：张 盛 能源科学与工程学院
上讲回顾（引言）
§2-5 物理方程


弹性模量， 泊松比
§2-6 边界条件

应力边界，位移边界，混合边界
§2-7 圣维南原理

静力等效， 原理应用
2019/12/7
2
1. 平衡微分方程
平面问题的基本方程
3. 物理方程
2. 几何方程
（2-2）
（2-15）
课堂练习与讨论
• 例8：
• 例9：图示矩形截面悬臂梁，在自由
端受集中力P作用，不计体力。试根据 材料力学公式，写出弯曲应力 和剪 应力 的表达式，并取挤压应力 20=109/，12/然7 后说明这些表达式是否代表Z正S 确 解。
例8 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它
（2-2）
将 (b) 代入 (a) ，得：
将 上式整理得：
（2）平面应变情形
将 上式中的泊松比μ代为：
力情形）
（2-24）
应力表示的相容方程 （平面应变情形）
注意： 当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即
（2-25）
3、按应力求解平面问题的基本方程
代入平衡微分方程：
式（a）满足平衡方程和相容方程？ 式（a）是否满足边界条件？
（2-2）
显然，平衡微分方程满足。
代入相容方程：
0
式（a）满足相容方程。 再验证，式（a）是否满足边界条件？
上、下侧边界：
右侧边界：
左侧边界：
—— 满足
——满足 ——近似满足
近似满足 结论：式（a）为正确解
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出
调，才能求得这些位移分量。
例：
其中：C为常数。
由几何方程得：
积分得：
由几何方程的第三式得：
显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。
2、变形协调方程的应力表示
（1）平面应力情形 将物理方程代入相容方程，得：
（a） 利用平衡方程将上述化简：
将上述两边相加：
（b）
（2-15） （2-22）
（a）
（2）
解 （2） 将式（b）代入应变表示的相容方程：
（b）
式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。
例9 图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据
材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤
压应力
=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。
解 材料力学解答：
（a）
说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。
（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。
（3）按位移求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程：
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（2-20） （2-17）
（2-21）
§2-9 按应力求解平面问题
• 相容方程
2019/12/7
（2-9）
4. 边界条件 位移：
（平面应力问题） （2-17）
应力：
（2-18）
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出
y yx
水坝的应力边界条件。
左侧面：
代入应力边界条件公式
右侧面：
代入应力边界条件公式，有
对O点的力矩等效： x方向力等效：
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 y方向力等效：
2019/12/7
ZS
1. 平衡微分方程
平面问题的基本方程
3. 物理方程
2. 几何方程
（2-2）
（2-15）
（2-9）
4. 边界条件 位移：
（平面应力问题） （2-17）
应力：
（2-18）
2、弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、
v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力
与形变分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分 量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出
形变分量与位移。
（3）混合求解
以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将， 并求出这些未知量，再求出其余未知量。
们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。
（1）
（a）
（2）
解 （1） 将式（a）代入平衡方程：
（b）
（2-2）
—— 满足 将式（a）代入相容方程：
∴ 式（a）不是一组可能 的应力场。
例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它
们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。
（1）
ZS
按应力求解平面问题的未知函数：
平衡微分方程：
（2-2） 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程，从形变、形 变与应力的关系建立补充方程。
1、变形协调方程（相容方程）
将几何方程：
（2-9）
作如下运算：
显然有：
（2-22） —— 形变协调方程（或相容方程）
即：
必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协
3、按位移求解平面问题的基本方程
（1）将平衡方程用位移表示
由应变表示的物理方程
将几何方程代入，有
（2-19）
（a）
将式(a)代入平衡方程，化简有
（2-20）
（2）将边界条件用位移表示
位移边界条件： 应力边界条件：
（2-17）
将式（a）代入，得
（a）
（2-21）
式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程
注意： 必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
可见，与前面结果相同。
x
y
注意： 必须按正向假设！
本讲主要内容
§2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程
（重点） §2-10 常体力情况下的简化
2019/12/7
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§2-8 按位移求解平面问题