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理论力学-虚位移原理PPT课件

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第十四章虚位移原理.ppt

第十四章虚位移原理.ppt

非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0

第十四章理论力学PPT教学课件

第十四章理论力学PPT教学课件

2、运动分析：
虚位移（按虚
速度对应法分析）；
rrBA
BP AP
3、建立动力学关系：虚位移原理；
F A δrAF B δrB0
4、求解：
FAFBtan
2020/12/12
13
例14-2
已知：如图所示曲柄压榨机构中，M=50Nm，
OA=r，
BD=DC=ED=l， ； A
若杆重均不计、
B
忽略各处摩擦， E
W F r
（2）集中力偶的虚功： W M
2）约束力：
（1）光滑面、光滑铰链、固定端等约束力的功：
2020/12/12
s
F
做功均为零；
8
（2）滑动摩擦力的功： A、静滑动摩擦力的功：为零； 如：只滚不滑；
Fs
B、动滑动摩擦力的功：不为零； 4、理想约束：
1）做功为零的约束称为理想约束：光滑面、光滑铰 链、静滑动摩擦力等；
且机构在图示 求位：置求平压衡榨.力 P。
o M
D C
P
2020/12/12
14
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
15
第十四章 虚位移原理
虚位移原理 一种用动力学的原理求解静 力学问题的方法；
§14-1 约束 · 虚位移 · 虚功
一、几个基本概念：
1、自由度：空间物体在三维空间内自由运 动的程度；
2、完全自由的物体在三维空间内的自由度：
2020/12/12
1
完全自由的物体在空间可以沿三根独立的坐标
轴做移动运动、同时还可以绕三根坐标轴做转动运
故，非完全自由的物体的自由度为：6-约 束方程的个数。

理论力学虚位移原理 ppt课件

理论力学虚位移原理 ppt课件
虚位移原理
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )

《虚位移原理》课件

《虚位移原理》课件

05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反

理论力学PPT课件第8章 虚位移原理与能量法共83页

理论力学PPT课件第8章 虚位移原理与能量法共83页

2020/4/19
6
几何静力学存在的缺陷：
2020/4/19
1. 对可变系，必要非充分 2. 拆开研究，未知力多
7
虚位移原理的基本思想：
F1 a
F2 b
o
几何静力学的平衡方程
MO 0
F1aF2b0
2020/4/19
8
F1
a
b
F2
o
功能原理的方程
d T d W F 1 a F 2 b 0
i1,2,,3n(质 点 数 ） fj (xi，t) 0
j1,2,,s(约 束 数 )
2020/4/19
11
定常约束的例子——单摆
x2 + y2 = l2
约束方程中不显含时间t.
2020/4/19
12
非定常约束的例子——偏心转子的周期运动
如果已知转子的转动规律(例如以等角速度 旋转)，
这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：
F 1 a F 2 b 0
0 F1aF2b0
利用动能定理可以得到与几何静力学完全相同的平衡条件。
2020/4/19
9
§ 8.1 约束及其分类
一. 位形空间与约束 质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形。
建立抽象的3n维正交欧氏空间（x1,x2, …x3n), 称为 质点系的位形空间。
虚位移原理研究受约束的质点、质点系、刚体、 刚体系统在力系作用下的平衡规律。是研究非自由质 点系平衡问题的最一般的原理，又称分析静力学。
2020/4/19
2
几何静力学存在的缺陷：
F
E
γ L2
W
B L3 C W3
M W2
L1 αA

虚位移原理1-39页PPT精品文档

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F1aF2b0 （a）
s1a tgs2btg
F1与F2在相应位移上的功之和：
F1S1F2S2 0
（b）
（b）
条件（a）和条件（b）是等价的
猜想： 力平衡条件
虚位移
虚功
力在微小位移中所作的功来建立
虚位移原理
虚位移原理
用动力学方法建立受约束质点系平衡条件
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的

(c)FNi 0即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；
(d)
n
FNi
ri
0即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。
i1
二、虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要 条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
w n Fi ri 0
f j x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , t 0
j1,2,,s s为系统中的约束数目
5、应用实例 1.单面非完整约束应用实例---齿轮啮合 2.单面非完整约束应用实例---摩擦系统 3.单面几何约束应用实例----悬挂结构
i1
n
w (F xixiF yiyiF zizi)0 —解析式
i 1
证明：
（1）必要性
Fi FNi0
命题：如质点系平衡，则上式成立。
（ F iF N ） i r i 0
n(F i F N )i r inF ir inF Nir i 0

理论力学--虚位移原理 ppt课件

理论力学--虚位移原理 ppt课件

用类似求微分的方法求虚位移的投影：
zi zi (q1, q2 , , qk )
xi

xi q1
q1

xi q2
q2


xi qk

qk

yi

yi q1
q1

yi q2
q2


yi qk

qk

zi

zi q1
q1

zi q2
q2
完整、双面、定常约束
r FRi


r ri
0
质点开始运动
r Fi

rri

r FNi
rri

0
因
r FNi
问题：具有理想约束的质点系， 在给定位置保持平衡，则所 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？
平衡时主动力的虚功
rr
之和为零
平衡：Fi FNi 0 (i 1,L , n)
n
r (Fi

r FNi
)
•

r ri

0
i 1

r ri
r Fi
i
n
r Fi
•
r ri

n
r FNi
研究 该平衡问题
图示杠杆平衡，求F1与F2关系
平衡条件：
MC(F) 0
F1a F2b 0 （a）
能否研究诸力做功，而得到平衡条件？
动力学分析方法
构造“功”：假定系统运动了微小角度
则： s1 a tan
s2 b tan
1
F a F b 0 （a）

理论力学PPT课件第8章虚位移原理与能量法

理论力学PPT课件第8章虚位移原理与能量法
理论力学ppt课件第8章虚位移原理与能量法
目录
虚位移原理 能量法 拉格朗日方程 哈密顿原理 最小作用量原理
01
CHAPTER
虚位移原理
03
与实际位移的区别
实际位移会改变系统的能量和状态，而虚位移不会。
01
虚位移
系统在平衡状态下的一种假设的、微小的位移，不改变系统的内能。
02
特点
虚位移是约束允许的、可以无限接近的、无穷小且不改变系统能量的位移。
虚位移概念
虚位移原理
对于一个处于平衡状态的完整系统，所有主动力在虚位移上所做的功之和等于零。
表述公式
$ΣF_{i}δr_{i} = 0$
解释
该公式表示系统在平衡状态下，主动力在任意虚位移上所做的功之和为零。
虚位移原理的表述
判断系统平衡状态
通过计算主动力在虚位移上所做的功之和，如果结果为零，则系统处于平衡状态。
哈密顿量是系统的总动能和总势能之和，加上约束条件的势能。
该原理适用于完整约束和非完整约束系统，是经典力学中最基本的原理之一。
哈密顿原理的表述
哈密顿原理与拉格朗日方程的关系
01
哈密顿原理和拉格朗日方程是经典力学中两个重要的基本原理，它们之间存在密切的联系。
02
拉格朗日方程是从哈密顿原理推导出来的，描述了系统运动状态随时间的变化规律。
哈密顿原理是更一般的原理，可以推导出拉格朗日方程，也可以推导出其他形式的运动方程。
03
哈密顿原理在经典力学中有着广泛的应用，例如在分析力学、振动分析、稳定性分析等领域。
在振动分析中，哈密顿原理可以用来描述振动系统的能量分布和传播规律。
哈密顿原理的应用实例
在分析力学中，哈密顿原理可以用来求解约束系统的运动轨迹和运动状态。

理论力学第十六章虚位移原理优秀课件

理论力学第十六章虚位移原理优秀课件

Fi + FNi = 0 Fi · ri + FNi · ri =0 ∑Fi · ri + ∑FNi · ri = 0 理想约束 ∑FNi · ri = 0
∑Fi · ri = 0
Fi mi FNi
ri
m2
m1
Fi ——主动力 FNi——约束反力 ri——虚位移
§16-4 虚位移原理
∑Fi · ri = 0
dr ——实位移 r ——虚位移
M dre
dr
r
M1
2. 虚 功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
W = F· r W = M·
3. 理想约束
质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我 们把这种约束系统称为理想约束。
∑FNi · ri = 0
§16-4 虚位移原理
例 题 1 已知：OA=r , AB=l, 不计各杆质量。
求： 平衡时F与M 间的关系。
rA
解： 取系统为研究对象
A
∑Fi · ri = 0
M
O
WF M FrB 0
由运动学关系可知： rA rB
rA
r
rB
F
B
WF
M
FrB
(M r
F )rA
0
F M /r
例 题2
已知：菱形边长为 a , 螺距为 h，顶角为 2 ，主动力偶为 M.
令系统有任意一组虚位移
系统的总虚功为
δ ri (i 1,2,,n)
(Fi FNi miai ) δri 0
i
(i 1,2,, n)
(Fi FNi miai ) δri 0
i
利用理想约束条件

虚位移原理 哈工大理论力学课件

虚位移原理 哈工大理论力学课件
C M3
B
M2
D
M
A
解：
3
C
M 3 rC
3
Fs B 2 M 2
rC
M
r
A
虚功方程
－Fs rC cos 45 M M 22 M33 0
虚位移之间的关系 2 R＝ 2R rC＝ 4R
rC r 3 R 3R 3 R
Fs
2 4R
(M
M2)
虚位移原理习题课
一、求主动力之间的关系
FBx(2l sin k0l cos k03l cos F3l cos 0
解得
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
例15-3
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力FA与FB 之间的关系。
解:
(1)
给虚位移
rA, rB ,
Fi ri 0
由
FA rA
FBrB
0
rB cos rA sin ( rA, rB 在
A
,B
连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA rB cot FB rB
即 FA FB tan
——直接法（几何法）
(2) 用解析法. 建立坐标系如图.
Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
WN WNi FNi ri 0
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长 的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.
§ 15-2 虚位移原理
设质点系处于平衡,有
Fi FNi 0
即
Fi
ri
FNi
ri
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1. 完整约束和非完整约束
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
xA r
约束类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
1. 完整约束和非完整约束
约束方程：
x r( s ic n o s s i)n 0
y r( s is n in c o) s0
非完整约束
x，y、z 为球心坐标。 θ、φ、ψ 为欧拉角。
可能位移 — 约束允许的位移，用Δr表示，它只需满足约束 条件。 虚位移也可表述为：
定常约束情况下的可能位移，非定常情况下假想约束
“冻结”时的可能位移，用r表示。
以后我们改称系统的位置为位形。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面的 曲面方程：
z
f(x,y,z)0
A（x, y, z)
z
y
x
x
y
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
三、约束的类型
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
zn;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x .n,;y n,z n;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
●显含坐标对时间的导数的约束方程是微分方程，如果这方程不可积分 成有限形式，则相应的约束称为非完整约束（或非全定约束）只要质点系 中存在一个非完整约束，这个系统便称为非完整系统。
一、约束 对非自由质点系的位置、速度之间预先加入的
限制条件，称为约束。 二、约束方程
约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质 点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方 程称为约束方程。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
球面摆
点M被限制在以固定点O为球 y 心、l为半径的球面上运动。 如取固定参考系Oxyz，则点M的
动力学
虚位移原理
西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽
第六章 虚位移原理
动力学
第 六 章
虚 位 移 原 理
第理六论章力学虚位移原理
§6–1 概 述 §6–2 约束和约束方程 §6–3 虚位移·自由度 §6–4 虚功·理想约束 §6–5 虚位移原理 §6– 6 广义坐标·广义坐标形式的
虚位移原理
目录
§6-1 概 述
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在 约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点 系的平衡条件。
因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的 各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束与约束方程 约束的类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
●如果约束方程可以积分成有限形式，则这样的约束称为完整约束。方 程中不显含坐标对时间的导数的约束为几何约束。当然，几何约束也属于 完整约束。几何约束的一般形式为：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
● 由不等式表示的约束称为单面约束（或可离约束）。
x2y2z2l2
● 由等式表示出的约束称为双面约束（或不可离约束）。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2y2z2l2
第六章 虚位移原理
双面约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2y2z2l2
第六章 虚位移原理
单面约束
§6-3 虚位移·自由度
虚位移 自由度
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
一、虚位移
质点或质点系在给定瞬时不破坏约束而为约束所许可 的任何微小位移，称为质点或质点系的虚位移。
真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学 方程、初始条件和约束条件。
一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该 物体受到约束反力的作用；而另一方面，约束也容许物体 有可能沿另一些方向获得位移。
当质点系平衡时，主动力与约束反力之间，以及主动 力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种 关系都可以作为质点系平衡的判据。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力 之间的关系表出刚体的平衡条件。
坐标x，y，z满足方程
x2y2z2l2
这就是加于球面摆的约束方程。
x φ
o
θl
z
M
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲柄连杆机构
y
这个质点系的约束方程可表示成
xA 2yA 2 r2
(x B x A )2 (y B y A )2 l2
A
r
l
B
Oφ
x
yB 0
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标， 这一坐标完全确定了此质点系的位置。
(j1,2,..,.s)
● 如果约束方程中含时间t，这种约束称为非定常约束或不 稳定约束。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
x2 y2 l02
x 2y 2 (l vt)2
0
0
定常约束
第六章 虚位移原理
非定常约束
§6-2 约束和约束方程
3．双面约束和单面约束
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
约束类型
第六章 虚位移原理
非完整约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
● 如果约束方程中不含时间t，这种约束称为定常约束或稳 定约束。
定常约束一般形式为
fj(x1, y1,z1;...xn;,yn,zn;x 1,y 1,z 1,..xn.,y;n,zn;)0