充要条件练习题

数学充要条件练习题高二数学充要条件训练题一、选择题(每小题6分，共42分)1.已知A和B是两个命题，假如A是B的充分但不必要条件，那么A是B的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：A B B A,B A等价于 A B.2.(2021浙江杭州二中模拟，4)2且b是a+b4且ab的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性明显，当a=5,b=1时，有a+b4,但2且b不成立.3.(2021北京西城区一模，5)设a、bR,则b是|b|的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：ab并不能得到a|b|.如2-5,但2|-5|,且a|b| ab.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2-x,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x-1或x0}.∵A B，p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：b是cd的充分不必要条件，和aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：b是cd的充分不必要条件等价于d a6.(2021全国大联考，2)不等式1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.?即不充分也不必要条件答案：A解析：当17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,b,cR)则关于x的不等式ax2+bx+cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax2+bx+c二、填空题(每小题5分，共15分)8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是_______ _______.答案：0解析：其充要条件为09.已知p:|x+1|2和q: 0,则p是q的__________________.(填充分不必要必要不充分充要条件既不充分又不必要?条件)答案：充分不必要解析：∵p:x-3或x1,q:x-4或x1,p:-31, q:-41.p是q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:xM,且xP,q:xP(P,M ).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：(2)(5)解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.三、解答题(1113题每小题10分，14题13分，共43分)11.设x、yR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明：充分性：假如xy=0,那么①x=0,y②y=0,x③x=0,y=0.因此|x+y|=|x| +|y|.假如xy0,即x0或x0.当x0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;当x0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+ y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,xy0.解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy0.12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a2-b2=1即a2=b2+1时，a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(aR),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .当a6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- 0,即a6.方程有两负根的充要条件是：即26.方程至少有一负根的充要条件是：26或a=6或a6,即a2.14.(1)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的充分条件?假如存在，求出p的取值范畴;(2)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的必要条件?假如存在，求出p 的取值范畴.解析：(1)当x2或x-1时，x2-x-20,由4x+p0得x- ,故- -1时,- -1 x2-x-2.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

高一数学充分条件与必要条件练习题题型一：判断充分，必要条件【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】 对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件【例3】 若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)，a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A ． 充分但不必要条件B ． 必要但不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分又不必要条件【例4】 若“a b c d ⇒>≥”和“a b e f <⇒≤”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c d ≤”是“e f ≤”的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【例5】 已知，，，a b c d 为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件【例6】 “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件典例分析【例7】 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例8】 “函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例9】 已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【例10】 “12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【例11】 “1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[1)，+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例12】 设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【例13】 “a b >”是“log log m m a n b n >”(01)≤m n <<成立的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【例14】 “a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【例15】 对于非零向量a ，b ，“0+=a b ”是“∥a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例16】 “αβ≠”是“cos cos αβ≠”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例17】 平面内两定点A 、B 及动点P ，命题甲是：“||||PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件【例18】 若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例19】 若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件【例20】 “2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例21】 甲：A B ，是互斥事件；乙：A B ，是对立事件，那么下列说法正确的是（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【例22】 用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件填空．⑴5x <是10x <的____________；10x <是5x <的____________；⑵两个三角形的面积相等是两个三角形全等的__________； ⑶x A ∈是x A B ∈的____________；⑷A B ⊆是A B B =的___________；⑸A ：12m =，B ：直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直，则A 是B 的 条件．⑹A ：|2|2x -<，B ：2450x x --<，则A 是B 成立的 条件；⑺A ：a ∈R ，||1a <，B ：x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的____________．【例23】 ⑴在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的___________．⑵对于实数x y ，，8x y +≠是2x ≠或6y ≠的___________． ⑶在ABC ∆中，sin sin A B >是tan tan A B >的____________．⑷已知x y ∈R ，，22(1)(2)0x y -+-=是(1)(2)0x y --=的____________． ⑸||||||x y x y +=+是0xy ≥的__________．【例24】 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空．⑴若a b ∈R ，，则0ab ≠是0a ≠的______条件； ⑵若a b ∈R ，，则220a b +≠是0a ≠的________条件；⑶若A B ，均是非空集合，则A B φ≠是A B ⊆的___________条件；⑷已知a b ，均为非零向量，则0a b ⋅>是a 与b 的夹角为锐角的__________条件； ⑸已知αβ，是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，则a 与b 没有公共点是αβ∥的__________条件；⑹不等式|1||2|x x m -++>的解集为R 是(52)()log m f x x -=为减函数的_________条件； ⑺在ABC ∆中，“0AB AC ⋅>”是“ABC ∆为锐角三角形”的__________条件； ⑻“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间[2)+∞，上为增函数”的_________条件；⑼若集合2{1}A m =，，{24}B =，，则“2m =”是“{4}A B =”的__________条件；⑽等比数列{}n a 中，“13a a <”是“57a a <”的__________条件；⑾11||22k ->是“函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ”的___________条件；⑿“ππ42α<<”是“tan ()log f x x α=在(0)+∞，内是增函数”的___________条件；⒀若a b c ∈R ，，，则“0a >且240b ac -<”是“对任意x ∈R ，有20ax bx c ++>”的________条件；⒁“3m =”是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的_________条件；⒂“b =a b c ，，三个数成等比数列”的__________条件；⒃两个向量相等是这两个向量共线的__________条件；⒄设函数2()|log |f x x =，则“01m <<”是“()f x 在区间(21)(0)m m m +>，上不是单调函数”的__________ 条件；【例25】 若x y ∈R ，，判断下面命题的真假⑴“2log (42)3xy x y +-=”是“2268250x y x y +-++=”成立的必要条件；⑵222x y +<是||||x y +<||||x y +的必要条件．题型二：充分，必要条件的求解【例26】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例27】 设a b ，表示直线，αβ，表示平面，则αβ∥的充分条件是（ ）A ．a b a b αβ⊥⊥∥，，B ．a b a b αβ⊂⊂，，∥C ．a b a b αββα⊂⊂，，∥，∥D ．a b a b βα⊥⊥⊥，，【例28】 设m n ，是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则αβ∥的一个充分而不必要条件是（ ）A ．m β∥且1l α∥B ．1m l ∥且2n l ∥C ．m β∥且n β∥D ．m β∥且2n l ∥【例29】 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）Ａ．存在一条直线α，a α∥，a β∥ Ｂ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥Ｃ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥ Ｄ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，a β∥，b α∥【例30】 直线12l l ，互相平行的一个充分条件是（ ）A ．12l l ，都平行于同一个平面B ．12l l ，与同一个平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．12l l ，都垂直于同一个平面【例31】 给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >．其中可以作为“若a b ∈R ，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 ．【例32】 设集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（ ）A ．1123m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，B ．0m ≠C ．11023m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，D ．103m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，【例33】 若不等式1x m -<成立的充分不必要条件是23x <<，则实数m 的取值范围是________；【例34】 集合1|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{|}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围可以是（ ） A ．20≤b -< B ．02≤b < C ．31b -<<-D ．12≤b -<【例35】 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．:p a c b d +>+， :q a b >且c d >B ．:11p a b >>， ():x q f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图像不过第二象限C ．:1p x =， 2:q x x =D ．:1p a >，():log =a q f x x （0>a ，且1≠a ）在()0+∞，上为增函数【例36】 已知条件p ：|1|2x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．3a -≤【例37】 给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,a b ∈R ，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 .【例38】 已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是 （ ） A.41{|}32m m -≤≤ B.1{|}2m m <C. 14{|}23m m -≤≤D. 4{|}3m m ≥【例39】 (1)(2)0x x -+<的一个必要不充分条件是 .【例40】 1xy>的一个充分不必要条件是（ ）A ．x y >B ．0x y >>C ．x y <D ．0y x <<【例41】 可以作为“若a b ∈R ，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是（ ）A ．0ab >B ．0a >或0b >C ．0a >且0b >D ．1ab >【例42】 直线1y kx =+的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（ ）A ．0k <B ．1k <-C ．1k <D ．2k >-【例43】 已知命题p ：1123x --≤；q ：22210(0)x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．【例44】 已知命题1:123x p --≤；22:210(0)q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，求实数m 的取值范围．【例45】 设αβ，是方程20x ax b -+=的两个实根，试分析21a b >>，是两根αβ，均大于1的什么条件？【例46】 求证：关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是2a ≥且||4b ≤．【例47】 设命题1|34:|≤-x p ;命题0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.题型三：充要条件【例48】 已知，a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例49】 在ABC ∆中，条件甲：A B <，条件乙：22cos cos A B >，则甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【例50】 已知a ∈R 且0a ≠，则“11a<”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例51】 设，a b ∈R ，则不等式a b >与11a b>都成立的充要条件是（ ） A ．0ab > B ．00，a b >< C ．0ab < D ．0ab ≠【例52】 已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例53】 若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例54】 设(32()log f x x x =++，则对任意实数a 、b ，0≥a b +是()()0≥f a f b +的（ ）．A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【例55】 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例56】 已知a 、b ∈R ，则a b >与11a b>同时成立的充要条件是 ．【例57】 函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ）A ．0ab =B ．0a b +=C ．a b =D ．220a b +=【例58】 给出下列命题：①实数0a =是直线21ax y -=与223ax y -=平行的充要条件；②若0，，a b ab ∈=R 是a b a b +=+成立的充要条件；③已知，x y ∈R ，“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是“若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠”；④“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”的否命题是假命题 ．其中正确命题的序号是_______．【例59】 设集合(){}R R U x y x y =∈∈，，，(){}20A x y x y m =-+>，，(){}0B x y x y n =+-，≤，那么点()(23)U P A C B ∈，的充要条件是（ ）A ．15m n >-<，B ．15m n <-<，C ．15m n >->，D ．1,5m n <->【例60】 设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是（ ）A ．()01f =B ．()00f =C ．()01f '=D ．()00f '=【例61】 下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是（ ）①:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点；②()():1f x p f x -=；():q y f x =是偶函数③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p A B A =；:U Uq B A ⊆．A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④【例62】 已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n ∈N 恒成立的充要条件 ．【例63】 已知关于x 的一元二次方程（m ∈Z ）：①2440mx x -+=；②2244450x mx m m -+--=． 求方程①和②都有整数解的充要条件．【例64】 设a b c ，，为ABC ∆的三边，求证：方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件为222a b c =+．【例65】 已知方程22(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

小结：充要条件的证明一般分两步：证充分性即 证A =>B，证必要性即证B=>A一定要使题目与证明 中的叙述一致 本题的难点是分清：充分和必要二个命题
3．求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根 的充要条件.
小结：本题解答时，一是容易漏掉讨论方程二次项 系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证充分条 件.即以所求的必要条件代替充要条件.
充要条件(习题课)
岳阳市四中：易亚红
1.若A=>B且B推不出A，则A是B的充分非必要条件
2.若A推不出B且B=>A，则A是B的必要非充分条件
3.若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件
4.若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件， 也不是B的必要条件.
练习一
1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的 ___
［例1］已知p：|1－(x-1)/3 |≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0), 若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式 的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命 题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性. 知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的 文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变 得简单明了. 错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不 清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言 理解上的困难. 技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞 清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集 间的包含关系，进而使问题解决.
的( C ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

[基础巩固]1．(2022·邵阳模拟)“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由a ＝1可推出|a |＝1，由|a |＝1，即a ＝1或a ＝－1，推不出a ＝1，故“a ＝1”是“|a |＝1”的充分不必要条件．故选B.答案 B2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件．答案 B3．(多选)下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x ＝1，则x 2＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2解析 B 项中，x ＝1⇒x 2＝1；C 项中，当x ＝y ＜0时，x ，y 无意义；D 项中，当x ＜y ＜0⇒x 2＞y 2，所以C ，D 中p 不是q 的充分条件．答案 AB4．下列说法不正确的是________．(只填序号)①x 2≠1是x ≠1的必要条件；②x ＞5是x ＞4的充分不必要条件；③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充分条件；④x 2＜4是x ＜2的充分不必要条件．解析 若“x 2≠1，则x ≠1”的意思是“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x 2＝1的充分不必要条件，故①不正确；③中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，，则③不正确；②④正确．答案 ①③5．已知p ：1－x <0，q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析 p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但q ⇒/p ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的真子集，所以a <1.答案 {a |a ＜1}6．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：(1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ；(2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a <b ，q ：a b<1. 解析 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 是q 的充要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分不必要条件；在(3)中，若a <b <0，则推不出a b <1，反之若a b<1，当b <0时，也推不出a <b ，所以p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．[能力提升]7．(多选)下列命题中，p 是q 的充分条件的是( )A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x ＞2，q ：x ≥1D ．p ：a ＞b ，q ：ac 2＞bc 2解析 A 中，a ＝2是无理数，a 2＝2是有理数，所以p 不是q 的充分条件；B 中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p 是q 的充分条件；C 中，x ＞2，x ≥1，所以p 是q 的充分条件；D 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以p 不是q 的充分条件．答案 BC8．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案 A9．若A ＝{x |2a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |x <－3或x >1}，且A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为____________ .解析 因为A 是B 的充分不必要条件，所以A B ，又A ＝{x |2a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |x <－3或x >1}．因此2a ＋1≤－3或2a －1≥1，所以实数a 的取值范围是a ≤－2或a ≥1.答案 a ≤－2或a ≥110．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件？(2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件？解析 (1)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m 2≤－1，所以m ≥2. 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件．[探索创新]11．命题“对任意x 且1≤x ＜2，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a ＞4C ．a ≥1D ．a ＞1解析 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案 B。

可编辑修改精选全文完整版1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a －b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a2R＞b2R，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．5．有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ．①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”． 因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．6．(2018·石家庄模拟)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A ．7．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B ．8．命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B ．要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C ．10．(2018·惠州第三次调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C ．11．(2018·贵阳检测)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A ．12．(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a ＞14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．命题p 等价于0＜a ＜4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝01＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＜0，则0≤a ＜4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件，故选A ． 13．下列命题中为真命题的是________． ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题．解析：对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故④为假命题．答案：②14．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：115．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②1．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝⎛⎭⎫0，π6⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2ab D ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/ x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.3．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B ．由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B ．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞25．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 6．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数． 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。

充要条件练习题1.以下哪个命题是正确的充要条件（）A. 如果一个数是偶数，那么它能被2整除。

B. 如果一个数是质数，那么它只有两个正因数。

C. 如果一个数是整数，那么它一定是正数。

D. 如果一个数是负数，那么它的平方是正数。

2.在三角形ABC中，以下哪个命题是“三角形ABC是等边三角形”的充要条件（）A. 三角形ABC的三个角都相等。

B. 三角形ABC的两条边相等。

C. 三角形ABC的周长是定值。

D. 三角形ABC的面积是定值。

3.对于函数f(x) = x2，以下哪个命题是“f(x)的值大于0”的充要条件（）A. x > 0B. x < 0C.x≠0D. x2 > 04.在集合论中，集合A是集合B的子集的充要条件是什么（）A. 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素。

B. 集合B中的每一个元素都是集合A中的元素。

C. 集合A和集合B有相同的元素个数。

D. 集合A和集合B的并集等于集合B。

5.在实数范围内，以下哪个命题是“方程ax2 + bx + c = 0有两个不相等的实数根”的充要条件（）A. a≠0B. b2 - 4ac > 0C.a,b,c都是实数D. a + b + c = 06.设a,b∈R，则“a > b”是“a2 > b2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数f(x) = log2(x2 - 3x + 2)，则“f(x)的定义域为R”是“x2 - 3x + 2 > 0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.若a,b∈R，则“a ≠=0或b≠0”是“ab ≠0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知p：x2 - 2x - 3≤0，q：1 - m ≤x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. m ≥2B. m > 2C. m≤2D. 0 < m ≤210.设A和B是两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么下列哪个选项是正确的（）A. A的真值必然导致B的真值，但B的真值不一定导致A的真值B. A的真值不一定导致B的真值，但B的真值必然导致A的真值C. A和B的真值总是相同的D. A和B的真值总是相反的。

充分条件和必要条件练习题1．设x R ∈，则“”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若a R ∈，则“0a =”是“cos sin a a >”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设x R ∈，且0x ≠， ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）A ．充分非必条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．设x R ∈，则“”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件6．若a ，b 为实数，则“0＜a b ＜1”是“b ＜） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．“0>>b a ”是“22b a >”的什么条件？（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．“1＜x ＜2”是“x＜2”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．12x <<“”是”“2<x 成立的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件10．A,B 是任意角,“A=B ”是“sinA=sinB ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．设a R ∈，则“1a <”是“11a>”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．“20x >”是“0x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．x=y ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．””是““00>≠x x 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．命题5:>x p ，命题3:>x q ，则p 是q 的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．“1x =”是“2210x x -+=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件17．若R a ∈，则“2a =”是“()()240a a -+=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件一、填空题18．已知条件p ：13x ≤≤，条件q ：2560x x -+<，则p 是q 的 条件．A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件参考答案1．A【解析】”是“2210x x +->”的充分不必要条件，故选A ．考点：充要条件．2．B【解析】即充分条件成立，但当ααsin cos >故必要条件不成立，综合选B.考点：1.正余弦函数的单调性；2.充分条件和必要条件的定义.3．A【解析】，得1x <-，由，解得01x <<或0x <，所以“A. 考点：充要条件的应用.4．A【解析】试题分析：因为当“2a >” 成立时,()2220,a a a a -=->∴ “22a a >” 成立. 即“2a >”⇒“22a a >” 为真命题；而当“22a a >” 成立时, ()2220a a a a -=->, 即2a >或0,2a a <∴>不一定成立, 即“22a a >”⇒“2a >”的充分非必要条件,故选A. 考点：1、充分条件与必要条件；2、不等式的性质.【方法点睛】本题主要考查不等式的性质及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.5．A【解析】试题分析：由得31<<x ，由220x x +->得1>x 或2-<x ，即是“220x x +->”的充分不必要条件，故选：A ．考点：充分条件与必要条件的判断.6．D【解析】 时，p 不能推出q ，当0,0b a <>时，q 不能推出p ，故是既不充分也不必要条件.考点：充要条件．7．A【解析】试题分析：当0>>b a 时，能推出22b a >，反过来，当22b a >不能推出0>>b a ，所以是充分不必要条件，故选A.考点：充分必要条件8．A【解析】试题分析：若“12x <<”，则“2x <”成立，反之不成立，所以“12x <<”是“2x <”的成立充分不必要条件.故选A.考点：充分条件和必要条件的判断.9．A【解析】试题分析：当12x <<时可得2x <成立，反之不成立，所以12x <<“”是”“2<x 成立的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件10．A【解析】试题分析：由B A =可得B A sin sin =，由B A sin sin =不一定有B A =，如：0=A ，π=B ，所以B A =是B A sin sin =的充分不必要条件.故选A.考点：充分条件、必要条件.11．B.【解析】 试题分析：111110001a a a a a->⇔->⇔>⇔<<，故是必要不充分条件，故选B ． 考点：1.解不等式；2.充分必要条件．12．B ．【解析】 试题分析：因为由20x >解得：0x >或0x <，∴“0x >或0x <”是“0x >”的必要而不充分条件．考点：充分必要条件．13．B【解析】或x y =-,所以是“x y =”的必要不充分条件．故B 正确．考点：充分必要条件．14．B【解析】 试题分析：00x x >⇒≠“”“”，反之不成立，因此选B ．考点：充要关系15．B【解析】试题分析：若5x >成立则3x >成立，反之当3x >成立时5x >不一定成立，因此p 是q 的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件16．A【解析】试题分析：当1x =时，2210x x -+=；同时当2210x x -+=时，可得1x =；可得“1x =”是“2210x x -+=”的充要条件．考点：充分、必要条件的判断．【易错点晴】本题主要考查的是一元二次不等式、对数不等式和集合的交集、并集和补集运算，属于容易题．解不等式时一定要注意对数的真数大于0和2x 的系数大于0，否则很容易出现错误．17．B【解析】 试题分析：若“2a =”，则“()()240a a -+=”；反之 “()()240a a -+=”，则2,a =或4a =-．故“2a =”是“()()240a a -+=”的充分不必要条件．考点：充分、必要条件的判断．18．C【解析】 试题分析：解不等式2560x x -+<得23x <<，由p ：13x ≤≤可知p 是q 的必要不充分条件条件考点：充分条件与必要条件。

充分条件与必要条件1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．所以“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B．2．(2020年佛山高一期末)“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x ＝1或x＝3，不是必要条件．故选A．3．(2021年荆州期末)x2＜9的必要不充分条件是()A．－3≤x≤3 B．－3＜x＜0C．0＜x≤3 D．1＜x＜3【答案】A【解析】x2＜9即－3＜x＜3.因为－3＜x＜3能推出－3≤x≤3，而－3≤x≤3不能推出－3＜x＜3，所以x2＜9的必要不充分条件是－3≤x≤3.4．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件【答案】BD【解析】因为A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac ＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；因为B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；因为C中“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；因为D中{a|a＜5}{a|a＜3}，故“a＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D为真命题．故选BD．5．(多选)已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是()A．r是q的充要条件B．p是q的充分条件而不是必要条件C．r是q的必要条件而不是充分条件D．r是s的充分条件而不是必要条件．【答案】AB【解析】由已知有p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，由此得r⇒q且q⇒r，A正确，C不正确，p⇒q，B正确，r⇒s且s⇒r，D不正确．故选AB．6．“m＝9”是“m＞8”的________条件，“m＞8”是“m＝9”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要条件必要不充分条件【解析】当m＝9时，满足m＞8，即充分性成立，当m＝10时，满足m＞8，但m＝9不成立，即必要性不成立，即“m＝9”是“m＞8”的充分不必要条件，“m＞8”是“m＝9”的必要不充分条件．7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．【答案】{a|a<1}【解析】p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，即p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.8．下列说法正确的是________(填序号)．①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．【答案】①【解析】①中，当x＞1时，有x>0，所以①正确；②中，当a＞b时，a3＞b3一定成立，但a3＞b3也一定能推出a＞b，即“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，所以②不正确；③中，当a＞b时，有A＞B，所以“a＞b”是“A＞B”的充分条件，所以③不正确．9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0.(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2.(3)p：a能被6整除；q：a能被3整除．(4)p：两个角不都是直角；q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q 是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．B级——能力提升练10．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0，即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0，(a －b )a 2可以为0，所以“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．11．已知a ，b 为实数，则“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“a ＋b >4”⇒“a ，b 中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A ．12．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0≤a ≤12 【解析】因为q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1＞1，解得0≤a ≤12. 13．(2020年大庆高一期中)已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：2＜x ＜3.若q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为________．【答案】{a |－1≤a ≤6} 【解析】因为p ：－4＜x －a ＜4，即a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x＜3.若q 是p 的充分条件，则{x |2＜x ＜3}⊆{x |a －4＜x ＜a ＋4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，即－1≤a ≤6.所以实数a 的取值范围为{a |－1≤a ≤6}．14．若集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }，试写出：(1)A ∪B ＝R 的一个充要条件；(2)A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件；(3)A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件．解：(1)集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }．(1)若A ∪B ＝R ，则b ≥－2，故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b ≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.C级——探究创新练15．已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α，β，证明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4＋b且|b|＜4的充要条件．证明：(1)充分性：由韦达定理，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|＜2×2＝4.设y＝x2＋ax＋b，则y＝x2＋ax＋b的图象是开口向上的抛物线．又|α|＜2，|β|＜2，所以当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，即有－(4＋b)＜2a＜4＋b.因为|b|＜4，所以4＋b＞0，即2|a|＜4＋b.(2)必要性：令y＝x2＋ax＋b，由2|a|＜4＋b，得当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，因为|b|＜4，所以方程y＝0的两根α，β同在{x|－2＜x＜2}内或无实根．因为α，β是方程y＝0的实根，所以α，β同在{x|－2＜x＜2}内，即|α|＜2且|β|＜2.。

例3：下列各命题中，哪些p是q的充要条件？
（4）p： = 1是一元二次方程 2 + + = 0的一个根，
q： + + = ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ≠ 0 .
⇒ ； ⇒ .
p是q的充要条件.
例3：下列各命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； p是q的充分不必要条件.
（4）p: > 0，q：＞ − 1.
充分不必要条件.
三、探究
你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
三、探究
你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
“四边形的两组对边分别平行” ⇒“四边形是平行四边形”
“四边形的两组对边分别平行” ⇐“四边形是平行四边形”
“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的充要条件.
p:两个三角形全等.
q:两个三角形的两角和其
中一角所对的边分别相等.
下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的
逆命题都是真命题？
1、若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角
所对的边分别相等.
p:两个三角形全等.
⇒
⇐
q:两个三角形的两角和其
中一角所对的边分别相等.
下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的
（2）p：一元二次方程 2 + + = 0有实根，q: 2 − 4 ≥ 0;充要条件.
（3）p: > ，q: 2 > 2 ;
（4）p: > 0，q：＞ − 1.
既不充分也不必要条件.
二、巩固练习
练习：下列各组命题中，p是q的什么条件？（请用“充分不必要条件”，“必

充分条件与必要条件练习题→ 充分理由
与必要理由练习题
充分条件与必要条件练题
充分条件与必要条件是推理中常用的概念，对于正确理解和运用它们至关重要。

下面是一些充分条件与必要条件的练题，帮助您加深对这两个概念的理解。

充分条件
1. 若一张学生证件上有校徽，那么该学生一定是本校的学生。

请写出该条件的充分条件和必要条件。

* 充分条件：学生证件上有校徽
* 必要条件：该学生是本校的学生
2. 因雪而停运的火车必须重新安排行程。

请写出该条件的充分条件和必要条件。

* 充分条件：火车因雪而停运
* 必要条件：需要重新安排行程
3. 若寒冷，则室外自来水管道可能会冻裂。

请写出该条件的充分条件和必要条件。

* 充分条件：寒冷
* 必要条件：室外自来水管道可能会冻裂
必要条件
1. 一辆车的继电器坏了，那么这辆车就无法启动。

请写出该条件的充分条件和必要条件。

* 充分条件：继电器坏了
* 必要条件：这辆车无法启动
2. 为了参加考试，学生必须报名。

请写出该条件的充分条件和必要条件。

* 充分条件：为了参加考试
* 必要条件：学生必须报名
3. 为了回家，我必须乘坐公交车。

请写出该条件的充分条件和
必要条件。

* 充分条件：为了回家
* 必要条件：我必须乘坐公交车
这些练题希望能帮助您更好地掌握充分条件与必要条件的概念。

通过多做题目和实际应用，您将能够更加自如地应用这两个概念进
行推理和逻辑思考。

逻辑判断必要条件推理讲解充分条件推理练习题TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】逻辑判断：必要条件推理讲解--------------------------------------------------------------------------------1.有一种观点认为“只要有足够的钱，就可以买到一切”。

从这个观点可以推出下面哪个结论？()A.有些东西，即使有足够的钱，也不能买到，如友谊、健康、爱情等B.如果没有足够的钱，那么什么也买不到C.有一件我买不到的东西，便说明我没有足够的钱D.有钱要比没钱好.C【解析】题干是充分条件：足够的钱→买到一切，可以由此推出的只能是：买不到→没有足够的钱。

其他情况都是错误的推理，因此，答案为C项“有一件我买不到的东西，便说明我没有足够的钱”。

2.如果不能保证四小时睡眠，那么大脑将不能得到很好的休息；如果大脑没有得到很好的休息，那么第二天大部人都会感觉到精神疲劳。

因此，可以推断()。

A.只要大脑得到充分休息，就能消除精神疲劳B.大部人的精神疲劳源于睡眠不足C.如果你只睡眠三个小时，那么第二天一定会精神疲劳D.如果大脑得到了很好的休息，则必然保证了四小时的睡眠.D【解析】充分条件的推理过程：不能保证四小时睡眠→大脑不能很好休息→第二天疲劳。

A项，大脑充分休息→消除疲劳，否前推否后，错误；B项，疲劳→睡眠不足，后推前，错误；C项，否前推否后，错误；D项，否后推否前，是正确推理。

因此，答案选D项。

3.某大学进行论文比赛，得第一名的只能有一个人。

究竟谁得第一名？在对甲、乙、丙、丁、戊、己六个参赛者进行名次预测时，四人作了如下预测：甲：取得第一名的要么是我，要么是乙。

乙：取得第一名的要么是甲，要么是丙。

丙：如果不是戊取得第一名，就一定是己取得第一名。

丁：第一名决不会是甲。

比赛结束后，发现只有一个人的预测是正确的。

专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件1．（全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．（2021·四川高三三模（理））命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”的否定p ⌝为（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x > B ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x ≤ C ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x > D ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x ≥【答案】B 【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】因为命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”是全称量词命题,所以其否定是存在量词命题，即0:(0,)p x ⌝∃∈+∞，00sin x x ≤． 故选：B3．（2021·上海高三二模）设α：x >1且y >2，β：x +y >3，则α是β成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】练基础解：若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立，当5x =，1y =时，满足3x y +>，但1x >且2y >不成立， 故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件． 故选：A ．4．（2021·江西高三三模（理））设x ∈R ，则"22x -<<"是"12x <<"的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】用集合法判断即可. 【详解】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集， 所以“22x -<<”是“12x <<”的必要不充分条件． 故选：B.5．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知z 是复数，i 是虚数单位，则“z i =-”是“21z =-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果. 【详解】∵z i =-，∴()221z i =-=-； ∵21z =-，∴z i =±.故“z i =-”是“21z =-”的充分而非必要条件. 故选：A.6．（2021·四川高三二模（文））若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“//l m ”、“//l α”之间的充分、必要关系. 【详解】∵l ，m 是平面α外的两条不同的直线，//m α，∴若//l m ，则推出“//l α”；若//l α，则//l m 或l 与m 相交；∴若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的充分不必要条件. 故选：A.7.（2021·北京高三二模）“0a ≤是”“函数ln ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当0x >时，令()0f x =，则ln 0x =，1x ∴=， 当0x >时，()f x 有一个零点为1， 函数()f x 只有一个零点，∴当0x ≤时，()2x f x a =-+无零点，即2x a >或2x a <， ∴当0x ≤时，(]20,1x ∈，1a ∴>或0a ≤，0a ∴≤是函数()f x 只有一个零点的充分不必要条件，故选：A.8．（2021·四川泸州市·高三三模（理））“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2求出对应的m 值即可判断.【详解】若双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2，则当0m >且40m -<时，即4m >时，2=，解得5m =，当0m <且40m ->时，即0m <时，2=，解得1m =-，所以“双曲线C ：2214x y m m +=-的虚轴长为2”对应的m 值为5m =或1m =-，故“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的充分但不必要条件.故选：A.9．（2021·上海高三二模）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 当2ϕπ=时，()2cos2f x x =，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，从而可得结果.【详解】 当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∵()()()2cos 22cos2f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数. 当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件， 故选：A.10．（2021·四川高三三模（理））已知数列{}n a 为等比数列，“650a a >>”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据等比数列的通项公式、数列的单调性，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】当650a a >>，则651a q a =>，且5140aa q=>，则数列{}n a 为递增数列； 反之，当数列{}n a 为递增数列时，也有可能出现650a a >>，故为充分不必要条件. 故选：B1.（2021·陕西汉中市·高三二模（文））直线:0l x y a -+=，圆C ：222x y +=，则“2a =”是“l 与圆C 相切”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案． 【详解】圆C 的方程222x y +=，其圆心坐标为()0,0，半径为r =当2a =时，直线20l x y -+=:，圆心到直线的距离d r ===，此时，直线l 与圆C 相切，故充分性成立；当直线l 与圆C 相切时，圆心到直线的距离d ==所以2a =±，故必要性不成立，所以，“2a =”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：B ．练提升2.（2021·江西高三其他模拟（文））“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】先求出方程221x ny +=表示焦点在x 轴 上的圆锥曲线对应的n 的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系. 【详解】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >， 故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·湖南高三三模）设a ，b ，m 为实数，给出下列三个条件：①33a b >：②22am bm >；③11a b<，其中使a b >成立的充分不必要条件是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．①②③【答案】B 【解析】利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可 【详解】解：对于①，当33a b >时，a b >成立，而当a b >时，33a b >成立，所以33a b >是a b >的充要条件，所以①不合题意；对于②，当22am bm >时，由不等式的性质可知a b >成立，而当a b >，0m =时，22am bm >不成立，所以22am bm >是a b >的充分不必要条件，所以②符合题意；对于③，当1,1a b =-=时，11a b <成立，而a b >不成立，当1,1a b ==-时，a b >成立，而11a b<不成立，所以11a b<是a b >的既不充分也不必要条件，所以③不合题意， 故选：B4．（2021·浙江高三月考）在ABC 中，“ABC 为钝角三角形”是“cos cos A B +>的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系. 【详解】取2,63A C B ππ===，则121cos cos 22A B -+=<<故“ABC 为钝角三角形”推不出“cos cos A B +>若cos cos A B +>若A 为钝角或直角，则cos cos B A >≥A 为锐角，同理B 为锐角. 若2A B π+≥，则022B A ππ<-≤<，故cos cos sin 2A B B π⎛⎫≤-=⎪⎝⎭，所以sin cos cos cos B B A B +≥+>4B π⎛⎫+> ⎪⎝⎭.故2A B π+<即C 为钝角.故“cos cos A B +>能推出“ABC 为钝角三角形”，故选：B.5．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））将函数()cos(2)6f x x π=-向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像的对应函数为()g x ，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】 分别从3πϕ=及()g x 为奇函数出发，证明对方是否成立，从而验证二者的关系.【详解】 当3πϕ=时，()cos[2()]sin 236g x x x ππ=+-=-，易知()g x 为奇函数，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的充分条件；当 “()g x 为奇函数”时，()cos[2()]cos(22)66g x x x ππϕϕ=+-=+-，则必有26232k k ππππϕπϕ-=+⇒=+，k Z ∈， 故3πϕ=只是其中一个值，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的不必要条件；故选：A6．【多选题】（2020·全国高一课时练习）下列命题是真命题的为（ ） A ．2,10x R x ∀∈--< B ．,,n Z m Z nm m ∀∈∃∈=C ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得213234x x =-+ 【答案】ABC 【解析】根据题意，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A ，2,0x R x ∀∈-≤，所以210x --<，故A 选项是真命题； 对于B ，当0m =时，nm m =恒成立，故B 选项是真命题；对于C ，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C 选项是真命题. 对于D ，因为()2223122-+=-+≥x x x ，所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题. 故选：ABC.7．【多选题】（2021·湖南常德市·高三一模）下列说法正确的是（ ）A ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-B ．二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为32C ．已知直线a ⊂平面α，则“l a //”是//l α”的必要不充分条件D ．函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称【答案】AD 【解析】根据特称命题的否定求解方法可判断A ；令1x =代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B ；由于直线l 与α的关系不确定故能判断C ；判断()f x π-是否等于()f x ，就能判断D 是否正确．【详解】解：对于A ：命题:0,1∃<->xp x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-≤，故A 正确；对于B ：二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为55(12)3+=，故B 错误； 对于C ：已知直线a ⊂平面α，由于直线l 与α的关系不确定， 故“l a //”是//l α”的既不必要不充分条件，故C 错误； 对于D ：由于x 关于2x π=的对称点为x π-，故1()sin sin f x x x=+，满足11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-， 故函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称，故D 正确.故选：AD ．8．【多选题】（2021·湖南高三月考）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ） A ．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B ．若5x >，则10x >C ．已知a →是直线a 的方向向量，n →是平面α的法向量，若a α⊥，则a n →→⊥ D ．已知可导函数()f x ，若0()0f x '=，则()f x 在0x x =处取得极值 【答案】BD 【解析】只需判断必要性是否成立即可.【详解】对于A ，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立; 对于B ，x > 10时，x > 5,所以必要性成立;对于C ，若a n →→⊥，则a //a 或a ⊂a ，所以必要性不成立;对于D ，f (x )在0x x =处取得极值时，必有0()0f x '=，必要性成立. 故选： BD9.（2021·四川高三三模（文））已知函数2()2f x x ax b =-+，()x R ∈.下列四个命题： ①a R ∃∈，使()f x 为偶函数；②若(0)(2)f f =，则()f x 的图象关于直线1x =对称； ③若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数； ④若220a b -->，则函数()()2h x f x =-有两个零点. 其中所有真命题的序号是___________. 【答案】①③ 【解析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可. 【详解】若()f x 为偶函数，则22()2()2f x x ax b f x x ax b -=++==-+，则22222224()0x ax b x ax b ax x b ++=-+⇒+=对x R ∀∈恒成立，则0a =， 故①正确；(0)f b =，(2)44f a b =-+，若(0)(2)f f =，即44b a b =-+，则441b a b a =-+⇔=或4422b a b a b -=-+⇔-=， 若取0,2a b ==-，则2()2f x x =-关于0x =对称，②错误； 若20a b -≤，函数22y x ax b =-+的判别式2440a b ∆=-≤，即220y x ax b =-+≥，22()22f x x ax b x ax b =-+=-+，由二次函数性质，知()f x 在区间[,)a +∞上是增函数，③正确；取0,4a b ==-，满足220a b -->，则22()4242f x x x =-=⇔-=或2-，解得x =，即()()2h x f x =-有4个零点，④错误；故答案为：①③10．（2021·浙江高一期末）命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是_______________；设a ，b ，c 分别是ABC 的三条边，且a b c ≤≤．我们知道ABC 为直角三角形，那么222+=a b c ．反过来，如果222+=a b c ，那么ABC 为直角三角形．由此可知，ABC 为直角三角形的充要条件是222+=a b c ．请利用边长a ，b ，c 给出ABC 为锐角三角形的一个充要条件是______________．【答案】x R ∃∈，210x x ++≤ 222a b c +>【解析】根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出ABC 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>.【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是x R ∃∈，210x x ++≤；设a ，b ，c 是ABC 的三条边，且a b c ≤≤，ABC 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>. 证明如下：必要性：在ABC 中，C ∠是锐角，过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图：根据图象可知()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-+- 2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-++-⋅=+-⋅<+，即222AB AC BC <+，222a b c +>可得证.充分性：在ABC 中，222a b c +>，所以C ∠不是直角.假设C ∠是钝角，如下图：过点A 作AD BC ⊥，交BC 延长线于点D ，则()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-++ 2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-+++⋅=++⋅>+，即222AB AC BC >+，222a b c +<，与222a b c +>矛盾.故C ∠为锐角，即ABC 为锐角三角形.1．(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．2．（2019·天津高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 练真题D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件．故选B ．3．（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．（2020·北京高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； 0, 0a >b>a b +≥4a b +≤4a b ≤+≤4ab ≤=1, =4a b 4ab ≤=5>4a+b 4a b +≤4ab ≤(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121k k k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.5．（2018·浙江省高考真题）已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件故选：D6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题； 对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题， 14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题. 故答案为：①③④.。

1.2充要条件练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章第2课时一、选择题1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C.2．m＝3是直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x－y＋m＝0距离d＝|3＋m|2＝3得，m＝3或－33，故选A.3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为A∪B＝C，故“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．4．“lg x>lg y”是“x<y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y；而x＝2，y＝0时，x>y⇒/ lg x>lg y，故“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件．5．设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那么甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x－2|<3得－1<x<5，∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5⇒/ 0<x<5，∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a 与b夹角不是钝角．8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.三、解答题9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋32－4m 1－m >01－m m<0，∴m >1或m <0， 即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ， ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p p －1p ＋q＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C.3．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．4．“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.二、填空题5．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．6．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎨⎧ x x －b x ≥0，－x x －b x <0. 若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0，∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b 2≥2，∴b ≥4. 三、解答题7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0－2a <0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况． 8．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由x ＋210－x≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎨⎧ 1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。

课时作业(三)[学业水平层次]一、选择题1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(2014·镇海高二检测)已知命题甲：“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋c b ＝2”，则命题甲是命题乙的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若a b ＋c b ＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分条件．【答案】 A3．(2014·湖南省株洲二中期中考试)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】 A4．(2014·山东省实验中学月考)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】本题综合考查函数零点与充要条件的判断．当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】 B二、填空题5．“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac ＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】必要不充分6．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．【解析】 若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(3－a )x ＋2(a －1)y ＋6＝0平行，则需满足1×2(a －1)－a ×(3－a )＝0，化简整理得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2，经验证得当a ＝－1时，两直线平行，当a ＝2时，两直线重合，故“a ＝－1”是“l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(3－a )x ＋2(a －1)y ＋6＝0平行”的充要条件．【答案】 充要7．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数”的________．【解析】 本题考查命题的充要条件的判断．(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在[12，＋∞)上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间[12，＋∞)上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．【答案】 (1)③ (2)①三、解答题8．(2014·陕西省西工大附中月考)下列各题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC ，p ：sin A >12，q ：A >π6.【解】 (1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |， 所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为A ∈(0，π)时，sin A ∈(0,1]，且A ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y ＝sin A 单调递增，A ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，y ＝sin A 单调递减，所以sin A >12⇒A >π6，但A >π6 sin A >12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．9．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】 充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B .即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A－B＝B，sin(A－B)＝sin B，sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B. ∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．∵A、B、C为△ABC的内角，∴sin(A＋B)＝sin C，即sin C＝sin B(1＋2cos A)．∴sin Csin B＝1＋2cos A＝1＋b2＋c2－a2bc＝b2＋c2－a2＋bcbc，即cb＝b2＋c2＋bc－a2bc.化简得a2＝b(b＋c)．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．[能力提升层次]1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C 的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A D，故选A.【答案】 A2．(2014·马鞍山四校联考)设有如下命题：甲：相交两直线l、m 在平面α内，且都不在平面β内．乙：l、m中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．那么当甲成立时()A．乙是丙的充分不必要条件B．乙是丙的必要不充分条件C ．乙是丙的充分必要条件D ．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】 当l 、m 中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l 、m 中也至少有一条与β相交，否则若l 、m 都不与β相交，又都不在β内，则l ∥β，m ∥β，从而α∥β，与α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.【答案】 C3．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________.【解析】 因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，所以2－t <－1，即t >3.【答案】 (3，＋∞)4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.【证明】 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ， 即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． 因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p . 因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ，即p 2－p p ＋q ＝p . 所以－p ＝pq ，即q ＝－1. 所以数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。

20道高中数学充分条件，必要条件判断练习题（含答案）1.设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件2.“ 11()()33a b <”是“22log log a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.不等式01>-xx 成立的一个充分不必要条件是( ) 1.>x A 1.->x B 101.<<-<x x C 或 101.><<-x x D 或4、设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．在实数范围内，使得不等式110x->成立的一个充分而不必要的条件是( ) A ．1x < B ． 02x << C ．01x << D ． 103x << 7.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8．“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.设,a b 为非零向量,则“//a b ”是“a 与b 方向相同”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.“43m =”是“直线x －my ＋4m －2＝0与圆224x y +=相切”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12已知p ：（x -1）（x -2）≤0，q ：log 2（x +1）≥1，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13．已知 “命题”是“命题”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．14、“0a =”是“复数(),a bi a b R +∈为纯虚数”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 ．设a b 、是非零向量，则“=2a b ”是“=||||a b a b ”成立的A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件16.已知向量，则“”是“与反向”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件17、设集合{}A x x a =<，{}3B x x =<，则“3a <”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18.设R x ∈，则“1<2x ”是“1<lg x ”的 （)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19．“1a ≥”是“()()1,,ln 1x x x a ∃∈+∞--<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2:()3()p x m x m ->-2:340q x x +-<m 17m m ><-或17m m ≥≤-或71m -<<71m -≤≤20．在ABC ∆中，“A B >”是“cos cos A B <”的 ( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案1.B.∵,,a b c 为正数，∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则()222+->a b ab c ，即()2222+>+>a b c ab c ，>a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件，故选：B2.B3.A4.A5.【答案】A【解析】【分析】先找出y x a a >及log log a a x y >的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】由a>1,得y x a a > 等价为x>y; log log a a x y >等价为x>y>0故“y x a a > ”是“log log a a x y >”的必要不充分条件故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．6.D7.A【解析】【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110ab>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b <”的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.9.C10.B11.A12A13.B14【答案】B【解析】试题分析：0a =,00b a bi =⇒+=为实数；复数(),a bi a b R +∈为纯虚数0,00a b a ⇒=≠⇒=，所以“0a =”是“复数(),a bi a b R +∈为纯虚数”的必要不充分条件，选B.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．15.B16【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件故选C17.A18.B19.B20.A。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.2.2 充要条件同步练习题【基础演练】题型一：充要条件的概念若p ⇒q 且q ⇒p ，即有p ⇔q ，则称p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件），判断两个命题是否是互为充要条件，就是看它们是否能互推，请用以上知识解决1-3题。

1. 设命题p ：1x 、2x 是方程0c bx ax 2=++（0a ≠）的两实根，命题q ：ab x x 21=+，则p 是q 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 在下列四个结论中，正确的有①4x 2>是8x 3-<的必要而不充分条件；②在△ABC 中，222BC AC AB =+是△ABC 为直角三角形的充要条件；③若a 、b R ∈，则0b a 22≠+是a 、b 全不为零的充要条件；④若a 、b R ∈，则0b a 22≠+是a 、b 不全为零的充要条件。

A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③ 3. 函数()()),0[x c bx x x f 2∞+∈++=是单调函数的充要条件是A. 0b ≥B. 0b ≤C. 0b >D. 0b <题型二：逆否法判断命题的正确性此法实际上是一个“正难则反”的方法策略，当某个命题较难判断真伪时，可以考虑去判断它的充要条件的真伪，即去研究它的等价命题，请用以上方法解决4-6题。

4. 若命题“若p ，则q ”为真，则┐p 是┐q 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果b a ≥是d c >的充分而不必要条件，f e ≤是b a <的必要而不充分条件，则A. d c <是f e ≥的必要而不充分条件B. d c ≤是f e >的充分而不必要条件C. d c ≥是f e <的必要而不充分条件D. d c ≤是f e ≤的充分而不必要条件6. 已知p ：231x 1≤--，q ：()0m 0m 1x 2x 22>≤-+-，若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围。

高中数学（必修一）第一章 充要条件 练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．若命题“若a M ∈，则b M ∉”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（ ）A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉2．设x ∈R ，则“2x >”是“21x <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知下列四组陈述句：①p ：集合(){}**|3A x y x y x y =+=∈∈N N ，，，；q ：集合{(1,2)}． ①p ：集合A B C A ⊆⊆⊆；q ：集合A B C ==．①p ：{}21x x x n n ∈=+∈Z ，；q ：{}61x x x n n ∈=-∈N ，．①p ：某中学高一全体学生中的一员；q ：某中学全体学生中的一员．其中p 是q 的必要而不充分条件的有( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①4．已知,R a b ∈，则“1a >或1b >”是“2a b +>”的（ ）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要 5． “2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件7．命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．4a ≥B ．3a ≥C ．2a ≥D ．1a ≥8．若α，β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且l α⊂，则“l β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合{}{}22,1A xx x B x a x a =-≤=≤≤+∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,2- D ．[]1,1-二、填空题10．下列说法错误的是_________________①若0xy ≥，则x y x y +>+①若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠①“2a b x +>是x >的充分不必要条件 ①“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+”11．直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是__________.12．已知p ：210x ≤≤，q ：11a x a -<<+，R a ∈，且p 是q 成立的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________．三、多选题13．下列选项中，p 是q 的充要条件的是（ ）A ．p ：0xy >，q ：0x >，0y >B ．p ：A B A ⋃=，q ：B A ⊆C ．p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形存在两角相等D ．p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分四、解答题14．已知集合{|211}A x a x a =-≤≤+，{|03}B x x =≤≤．(1)若a ＝1，求A B ；(2)给出以下两个条件：①A ①B ＝B ；①“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a 的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）参考答案与解析：1．D【分析】原命题与其逆否命题同真假,故找出题设命题的逆否命题即可.【详解】命题“若a M ∈,则b M ∉”的逆否命题为:“若b M ∈,则a M ∉”,因为原命题与其逆否命题同真假,故由原命题为真命题可知其逆否命题为真命题,故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查命题间的真假关系,属于基础题.2．A 【分析】根据分式不等式的解法求21x <的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】当21x<时，有0x <或2x >， 所以2x >是21x <的充分条件，但不是必要条件. 故选：A3．D【分析】逐个判断是否有q p ⇒且p q 即可．【详解】①若**3x y x y +=∈∈N N ，，，则12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，①{(1,2),(2,1)}A =，即p ：{(1,2),(2,1)}A =；故q p⇒且p q ，即p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①若A B C A ⊆⊆⊆，则根据子集的性质可得A B C ==，即p ：A B C ==；故p 是q 的充要条件，不符题意；①对于21x n n =+∈Z ，，当31n k k =-∈Z ，时，61x k k =-∈Z ，， 故{}61x x n n =-∈N ， {}21x x n n =+∈Z ，，①p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①易知p q ⇒且q p ，即p 是q 的充分而不必要条件，不符合题意；综上，p 是q 的必要而不充分条件的有①①．4．B【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】当1a >或1b >时，如2a =，3b =-，此时1a b +=2<，因此不充分， 若1a ≤且1b ≤，则2a b a b +≤+≤，因此是必要的．即为必要不充分条件．故选：B ．5．D【分析】根据余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当2x π=时，函数cos 2cos 1y x π===-，故充分性不成立；当函数cos 2y x =取得最大值时，22,Z x k k π=∈，即,Z x k k π=∈，故必要性也不成立，综上可得：“2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．6．B【分析】利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足. 故选：B7．A【分析】充分不必要条件是指由结果不能推出条件，故放宽条件即可.【详解】由题知，命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，满足[1,3]x ∀∈-，22x x a -≤.则当[1,3]x ∈-时，222(1)13x x x -=--≤，所以命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，3a ≥.经验证，A 选项符合题意；8．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定分析判断即可.【详解】若l α⊂，l β∥，则平面α和平面β可能平行，也可能相交；若l α⊂，αβ∥，则l β∥，所以“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选：C ．9．D【分析】根据二次不等式的求解，结合集合关系的区间端点大小关系求解即可【详解】{}()(){}[]222101,2A x x x x x x =-≤=-+≤=-∣∣，因为B A ⊆，故112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤ 故选：D10．①①①【分析】①当,x y 均为正数时结论是错误的；①220x y +≠出,x y 不同时为0，故正确；①只有0a ，0b 时，2a b x +>才可推出，x > ①命题的否定只否定结论，故错误.【详解】对于选项①：若0x ，0y ，则||||||x y x y +=+，故①错误；对于选项①：若0x =且0y =，则220x y +=，所以：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠，故①正确；对于选项①：当0a ，0b 时，若2a b x +>，则x >题中没有说明,a b 的范围，所以是不充分，当x >时，2a b x +>不一定成立，如：2,8,4a b x ==>=，2a b x +>为2852x +>=，不成立，故“2a b x +>是x >的即不充分也不必要条件，故①错误；对于选项①：“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃>，1x e x +”，故①错误.故答案为:①①①11．0m =或1m =-【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】当m=0时，两直线为y=2与x= -1，此时两直线垂直;当2m -1=0，即m=12时，两直线为x= -4与3x+12y+3=0，此时两直线相交不垂直;当m≠0且m ≠12时，两直线的斜截式方程为233,2121m y x y x m m m m -=-=----, 由两直线垂直可知3121m m m -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得m= -1， 故两直线垂直的充要条件是0m =或1m =-.【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，本题的关键是由两直线垂直得出参数m 的取值，易错点是忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误,12．[]3,9【分析】根据题意可得()1,1a a -+ []2,10，即可建立不等关系求解.【详解】因为p 是q 成立的必要非充分条件，所以()1,1a a -+ []2,10，所以12110a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得39a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]3,9.故答案为：[]3,9.13．BC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由0xy >，得0x >，0y >或0x <，0y <，故P 不是q 的充要条件，故A 错误； 对于B ：由A B A ⋃=，则B A ⊆，若B A ⊆则A B A ⋃=，故P 是q 的充要条件，故B 正确；对于C ：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P 是q 的充要条件，故C 正确；对于D ：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p 不是q 的充要条件，故D 错误； 故选：BC14．(1){|03}A B x x ⋃=≤≤ (2)1[,)2+∞【分析】（1）由并集定义计算；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆，然后分类讨论：A =∅与A ≠∅两类求解；若选择①，得A 是B 的真子集，同样分类A =∅与A ≠∅求解．（1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤， 所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意； 当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 若选择①，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ． 当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．。