2016年高考数学专题复习《充要条件2》测试题

高考数学难点2充要条件的判定习题与答案●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n}、{b n}满足：,求证：数列{a n}成等差数列的充要条件是数列{b n}也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.即有(2)必要性：∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，答案：充要条件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是、(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)。

难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A.ab =0B.a +b =0C.a =bD.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n +++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b ) =－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{bn }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性：当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310. 8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1, 根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0 方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。

充要条件（时间：25分，满分55分） 班级 姓名 得分一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C3．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴t an A tan B >1，故④真．4．“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A6．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合__________________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5；③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10.9．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分10．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x x －b x ≥0，－x x －b x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0，∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b 2≥2，∴b ≥4. 三、解答题11．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋32－4m 1－m >01－m m<0， ∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，∵{a n}为等比数列，∴a2a1＝a n＋1a n＝p，即p p－1p＋q＝p，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{a n}为等比数列的充要条件．。

m∈U， ? 4m≥0，
2m＋6≥0，
3
?
m≥
. 2
3 又集合 { m| m≥ 2} ．关于全集 U的补集是 { m| m≤－ 1} ，
所以实数 m的取值范围是 { m| m≤－ 1} ．
11．解： (1)
当
x>2 或
x<－ 1 时， x2－ x－ 2>0，由
4x＋p<0
得
p x<－ 4，故－
p 4≤－ 1 时，
答案： A
二、填空题
7．解析：∵
a＋ b＝ 1?
1＝ ( a＋ b) 2 ＝a2 ＋ 2ab＋ b2≥４ab?
1 ab≤ 4. ∴原命题为真，从而逆
1 否命题为真；若 ab≤ 4，显然得不出 a＋ b＝ 1，故逆命题为假，因而否命题为假．
答案： 1 1
8．解析： l 1⊥ l 2? 2a＋ ( a－ 1) ＝ 0，解得 a＝ 3.
1 答案： 3
a· b 9．解析：若向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角，则 cos θ ＝|a| · |b| >0，即 a·b>0；
a·b 由 a· b>0 可得 cos θ ＝ |a| · |b| >0，故 θ 为锐角或 θ ＝0°，故 p 是 q 的充分不必要条件．
3
答案：充分不必要
三、解答题
ab≤
. 4
它的逆命题、否命题、逆否命题
三个命题中，真命题的个数是 ________． 8．(2012 ·盐城模拟 ) 已知直线 l 1： ax－ y＋ 2a＋ 1＝ 0 和直线 l 2： 2x－ ( a－ 1) y＋ 2＝ 0( a∈ R)，则 l 1⊥ l 2 的充要条件是 a＝ ________. 9． p：“向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角”是 q：“ a· b>0”的 ________条件． 三、解答题 10．已知集合 A＝ { x| x2－ 4mx＋ 2m＋6＝ 0} ，B＝ { x| x<0} ，若命题“ A∩ B＝ ?”是假命题，

鑫达捷1．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）（A ）原命题真，逆命题假 （B ）．原命题假，逆命题真（C ）．原命题与逆命题均为真命题（D ）．原命题与逆命题均为假命题 2. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的（ ） （A ）．充分非必要条件 （B ）．充分必要条件（C ）．必要非充分条件 （D ）．非充分非必要条件3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）（A ）0个 (B)．1个 (C)．2个 (D)．3个4．一次函数nx n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ） (A)．1,1m n ><且 (B)．0mn <(C)．0,0m n ><且 (D)．0,0m n <<且5.设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6.设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足（ ）（A ）||3a b +≤ （B ）||3a b +≥ （C ）||3a b -≤ （D ）||3a b -≥7. -1<x<1是｜x|<1的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8.若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则( )（A ）“x ∈C 是x ∈A ”的充分而不必要条件 （B ）“x ∈C 是x ∈A ”必要而不充分条件（C ）“x ∈C 是x ∈A ”充分必要条 件 （D ）“x ∈C 是x ∈A ”既不充分也不必要条件9、有下列四个命题：①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③、命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④、命题“若A B B =I ，则A B⊆”的逆否命题。

充要条件的测试题及答案1. 判断下列命题是否为充要条件，并说明理由。

(1) 若a > 0，则a² > 0。

(2) 若a² > 0，则a > 0。

2. 已知命题p："若x > 2，则x² > 4"，命题q："若x² > 4，则x > 2"，判断p和q是否互为充要条件。

3. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 4x + 4 = 0，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x² - 4x + 4 = 0。

4. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² + y² = 0，则x = 0且y = 0。

(2) 若x = 0且y = 0，则x² + y² = 0。

5. 已知命题p："若x > 0，则x² > 0"，命题q："若x² > 0，则x > 0"，判断p和q是否互为充要条件。

6. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 2x + 1 = 0，则x = 1。

(2) 若x = 1，则x² - 2x + 1 = 0。

7. 已知命题p："若x > 1，则x² > 1"，命题q："若x² > 1，则x > 1"，判断p和q是否互为充要条件。

8. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x³ = 8，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x³ = 8。

9. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 6x + 9 = 0，则x = 3。

(2) 若x = 3，则x² - 6x + 9 = 0。

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1. (2015·北京高考文科·T6)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.2.(2015·天津高考理科·T4)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.|x-2|<1的解为1<x<3,x2+x-2>0的解为x<-2,x>1,所以,“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.3.(2015·四川高考理科·T8)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】首先由3a>3b>3,看是否能推出log a3<log b3;再看由log a3<log b3,能否一定得出3a>3b>3.【解析】选B.由3a>3b>3,知a>b>1,所以log3a>log3b>0,所以,即log a3<log b3,所以3a>3b>3是log a3<log b3的充分条件;但是取a=,b=3也满足log a3<log b3,不符合a>b>1,所以3a>3b>3是log a3<log b3的不必要条件4. (2015·北京高考理科·T4)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先判断能否由“m∥β”推出“α∥β”,再判断能否由“α∥β”推出“m ∥β”,最后利用充分必要条件的定义可得结论.【解析】选B.当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.因此,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.5. （2015·安徽高考理科·T3）设p:1<x<2，q:则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】应用充分、必要条件的定义进行判断。

§ 1.2命题及充要条件A组2014—2015年模拟·基础题组限时:20分钟1.(2015北京海淀期中,6)设a,b∈R,则“ab>0且a>b”是“<”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2015天津一中月考,5)数列{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“数列{a n}为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2014福建宁德一模,2)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数4.(2014广东韶关二模,8)命题“a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是( )A.a,b∈R,若a≠b≠0,则a2+b2=0B.a,b∈R,若a=b≠0,则a2+b2≠0C.a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0D.a,b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠05.(2014北京大兴一模)“x>0”是“x+≥2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2014山东日照模考,5)“2a>2b”是“ln a>ln b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2014河北五个一名校联盟一模)已知p:x≥k,q:<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,-1]B组2014—2015年模拟·提升题组限时:25分钟1.(2014山东菏泽4月,10)已知a,b为实数,且ab≠0,则下列命题错误的是( )A.若a>0,b>0,则≥B.若≥,则a>0,b>0C.若a≠b,则>D.若>,则a≠b2.(2014北京西城一模,6)“m<8”是“方程-=1表示双曲线”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2014重庆六校下学期第三次诊断,2)下列结论正确的是( )A.若向量a∥b,则存在唯一的实数λ使得a=λbB.已知向量a,b为非零向量,则“a,b的夹角为钝角”的充要条件是“a·b<0”C.“若θ=,则cos θ=”的否命题为“若θ≠,则cos θ≠”D.若命题p:∃x∈R,x2-x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2-x+1>04.(2014安徽合肥3月,6)已知等比数列{a n}的公比为q,则“0<q<1”是“{a n}为递减数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2014陕西五校模拟,7)下列命题中正确的个数是( )①命题“∃x0∈R,+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;②“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”.A.1B.2C.3D.46.(2015山东菏泽期中,15)下列4个命题:①“如果x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sin A>”的充分不必要条件;④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号是.7.(2015黑龙江哈尔滨六中期中,16)给出下列四个命题:①△ABC中,A>B是sin A>sin B成立的充要条件;②当x>0且x≠1时,有ln x+≥2;③已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若S7>S5,则S9>S3;④若函数y=f为R上的奇函数,则函数y=f(x)的图象一定关于点F中心对称.其中所有正确命题的序号为.A组2014—2015年模拟·基础题组1.A 对于充分性的判断有两种方法.方法一:利用函数f(x)=,由ab>0,可知a,b同号,对于函数f(x)=而言,在(-∞,0)和(0,+∞)这两个区间内单调递减,由于a>b,a,b同号,则f(a)<f(b),即<;方法二:使用不等式性质,∵ab>0,∴>0,∵a>b,∴a·>b·,即>.对于必要性的判断,可以找出反例说明,如a<0且b>0,满足“<”,但不能推出“ab>0且a>b”.故选A.2.D 充分性:举反例,当a1<0,q>1时,满足q>1,但数列{a n}递减,即数列{a n}单调递增不成立.必要性:举反例,当a1<0,0<q<1时,满足数列{a n}递增,但q>1不成立.∴“q>1”是“数列{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.C 在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,互为逆否的命题是成对出现的,故真命题的个数和假命题的个数都是偶数.4.D a=b=0的否定为a≠0或b≠0;a2+b2=0的否定为a2+b2≠0,故选D.5.C 若x>0,则x+≥2成立,∴充分性成立.反之,若x+≥2,则≥0,则x>0,必要性成立.故选C.6.B 2a>2b等价于a>b,但a>b推不出ln a>ln b;而ln a>ln b等价于a>b>0,能推出2a>2b.7.B <1⇔>0⇔(x+1)(x-2)>0⇔x<-1或x>2.由已知可知p⇒q且q⇒/ p,画出数轴得k>2.故选B.B组2014—2015年模拟·提升题组1.C 选项A,由基本不等式可得:若a>0,b>0,则≥,故A正确;选项B,由有意义可得a,b不可能异号,结合≥可得a,b不同为负值,由ab≠0可得a≠0,b≠0,故可得a>0,b>0,故B正确;选项C,需满足a,b同为正数才成立,若a=-1,b=2,显然满足a≠b,但无意义,故C错误;选项D,把>的两边分别平方,整理可得(a-b)2>0,显然a≠b,故D正确.故选C.2.A 若方程-=1表示双曲线,则(m-8)(m-10)>0,解得m>10或m<8,故“m<8”是“方程-=1表示双曲线”的充分而不必要条件,故选A.3.C 原命题若p则q的否命题是若¬p则¬q.显然C正确.A项,当a=b时,λ有无数多个;B项,当a与b反向时,满足a·b<0,但a与b的夹角不是钝角;D项,¬p应为∀x∈R,x2-x+1≥0.4.D 若a1=-1,q=,则数列为-1,-,-,…,显然不是递减数列,故由“0<q<1”不能推出“{a n}为递减数列”;等比数列-1,-2,-4,-8,…显然为递减数列,但其公比q=2,不满足0<q<1,故由“{a n}为递减数列”不能推出“0<q<1”.综上,“0<q<1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选D.5.B 因为命题“∃x,p(x)”的否定为“∀x,¬p(x)”,因此①正确;若f(x)=cos2ax-sin2ax=cos 2ax的最小正周期为π,则=π,即a=±1,因此②正确;因为x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔a≤x+2在x∈[1,2]上恒成立⇔a≤(x+2)min,x∈[1,2],因此③不正确;易知“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0且a与b不共线”,故④不正确.6.答案①②解析对于①,“如果x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题是“如果x、y互为相反数,则x+y=0”,易知其是真命题,故①是真命题;对于②,“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“如果x2+x-6<0,则x≤2”,由x2+x-6<0解得-3<x<2,可知②是真命题;对于③,举反例,A=150°时,满足A>30°,但sin A=,故③是假命题;对于④,当函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数时,有f(0)=0或f(0)不存在,即φ=kπ(k∈Z)或φ=kπ+(k∈Z),故④是假命题.故只有①②是真命题.7.答案①③解析在△ABC中,A>B等价于a>b(a,b为角A,B的对边长),又利用正弦定理可知a>b等价于sin A>sin B,∴A>B是sin A>sin B成立的充要条件,①正确.当0<x<1时,ln x<0,ln x+=-≤-2,∴②不正确.S n为等差数列{a n}的前n项和,若S7>S5,则S7-S5=a6+a7>0,而S9-S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9=3(a6+a7),∴S9>S3,∴③正确.若函数y=f为R上的奇函数,则函数y=f(x)的图象一定关于点中心对称,故④不正确.所以只有①③正确.。

02 充分条件与必要条件1．“3x >”是“不等式220x x ->”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．2．“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ． 3．“6απ=”是“3tan 3α=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若6απ=，则3tan 63π=；若3tan 3α=，则6k απ=π+，推不出6απ=．所以“6απ=” 是“3tan 3α=”成立的充分不必要条件．故选A ．4．“2a =”是“直线2y ax =-+与14ay x =-垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】两直线垂直，所以1,24aa a -⋅=-=±，所以是充分不必要条件. 5．已知条件1)(:2++=mx x x f p 在区间),21(+∞上单调递增，条件34:-≥m q ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，函数2()1f x x mx =++在区间),21(+∞上单调递增，所以1122m m -≤⇒≥-，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.6．在ABC △中，“cos cos cos 0A B C ⋅⋅<”是“ABC △为钝角三角形”的 A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力．解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了．解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误，将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起，从而误判得出不正确的答案．7．在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由125a a a ，，成等比数列，得2111()(4)a d a a d +=+，即2(2)2(24)d d +=+，解得0d =或4d =，所以“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的充分不必要条件．8． 已知向量a ，b ，则“∥a b ”是“||||||-=-a b a b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设a ，b 的夹角为θ，故22()(||||)||||||||||⎧-=--=-⇔⎨≥⎩a b a b a b a b a b||||(1cos )0||||θ⋅⋅-=⎧⇔⎨≥⎩a b a b ||⇔=0b 或cos 1θ=，故是必要不充分条件，故选B.9．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】依题意有,/p r r ⇒⇒,,p r s s q ⇒⇒，∴p r s q ⇒⇒⇒． 但由于r 推不出p ，∴q 推不出p ．故p 是q 的充分不必要条件.10．设函数(),y f x x =∈R ，“|()|y f x =是偶函数”是“)(x f y =的图象关于原点对称”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B11．“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切2222|2|21(1)a b a b -+⇔=⇔-+=+-b a =⇔或4-=-b a ，故为充分不必要条件，选A.12．已知命题p ：111<-x ，q ：0)1(2>--+a x a x ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是A ．]1,2(--B ．]1,2[--C ．]1,3[--D ．),2[+∞-【答案】A 【解析】()()12102101,211x x x x x x x -<⇒<⇒-->⇒<>--，记{|1,2}P x x x =<>； 2(1)()(1)x a x a x a x +--=+-0>，记{|()(1)0}Q x x a x =+->.因为p 是q 的充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集.当0a >时，Q 的解集是{|,1}x x a x <->，此时P 不可能是Q 的真子集；当10a -<<时，Q 的解集是{|,1}x x a x <->，此时P 不可能是Q 的真子集；当1a =-时，Q 的解集是1x ≠，符合题意；当1a <-时，Q 的解集是{|1,}x x x a <>-，只需2,2a a -<>-，综上所述，(2,1]a ∈--.13．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x ．已知ABC △的三边边长为,,()a b c a b c ≤≤，定义它的倾斜度为max{,,}min{,,}a b ca b c l b c a b c a=⋅，则“1l =”是“ABC △为等边三角形”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分14．下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是．①:2p m <-或26;:3m q y x mx m >=+++有两个不同的零点；②():1;:()()f x p q y f x f x -==是偶函数；③:cos cos ;:tan tan p q αβαβ==； ④:;:UUp AB A q B A =⊆.【答案】①④题意；③当:cos cos p αβ=成立时，取2cos cos 2αβ==，2sin 2α=，2sin 2β=-，tan tan αβ≠，故命题:tan tan q αβ=不成立， 不符合题意； ④当:p AB A =成立时，则,,:U UUUA B B A q B A ⊆∴⊆∴⊆符合题意，故正确的有①④，故答案为①④.15．（2017年高考某某卷）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．16．（2017年高考卷）设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A17．（2017年高考某某卷）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ． 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．18．（2016年高考某某卷）已知函数f (x )=x 2+bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -.令2t x bx =+，则(())()f f x f t ==2222(),244b b b t bt t t +=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b -，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())f f x x =的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A.【方法点睛】解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化． 19．（2016年高考某某卷）设{n a }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 20．（2016年高考卷）设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由||||=a b 无法得到||||+=-a b a b ，充分性不成立；由||||+=-a b a b ，得0⋅=a b ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.21．（2016年高考某某卷）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a与直线b相交，则,αβ一定相交，若,αβ相交，则a，b可能相交，也可能平行，故选A.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和其他知识相结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及空间想象能力等.。

高中数学高考总复习充分必要条件习题(附参考答案)一、选择题1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析]a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件．(理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由|x－1|<2得－2<x－1<2，∴－1<x<3；由x(x－3)<0得0<x<3.因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．2．(2010·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．3．(文)已知数列{a n}，“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝3x＋2上”是“{a n}为等差数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2010·南充市)等比数列{a n }中，“a 1<a 3”是“a 5<a 7”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件[答案] C[解析] 在等比数列中，q ≠0，∴q 4>0，∴a 1<a 3⇔a 1q 4<a 3q 4⇔a 5<a 7.4．(09·陕西)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 由m >n >0可以得方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.5．(文)设集合A ＝{x |x x －1<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵A ＝{x |0<x <1}，∴A B ，故“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件，选A. (理)(2010·杭州学军中学)已知m ，n ∈R ，则“m ≠0或n ≠0”是“mn ≠0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵mn ≠0⇔m ≠0且n ≠0，故选A.6．(文)(2010·北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4. (理)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θ＝0或cos θ＝－12， ∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A. 7．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0即m ＝12或m ＝－2，∴m ＝12是两直线相互垂直的充分而不必要条件． 8．(2010·浙江宁波统考)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A ．l 1⊥m ，l 1⊥nB ．m ⊥l 1，m ⊥l 2C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ∥n ，l 1⊥n[答案] B[解析] 当m ⊥l 1，m ⊥l 2时，∵l 1与l 2是β内两条相交直线，∴m ⊥β，∵m ⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m ⊥l 1，m ⊥l 2.9．(2010·黑龙江哈三中)命题甲：⎝⎛⎭⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由条件知甲：(21－x )2＝⎝⎛⎭⎫12x ·2x 2， ∴2(1－x )＝－x ＋x 2，解得x ＝1或－2；命题乙：2lg(x ＋1)＝lg x ＋lg(x ＋3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＝x (x ＋3)x ＋1>0x >0x ＋3>0，∴x ＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．10．(2010·辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0故f (x )在点x 0处切线斜率为0∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值∴f (x )≥f (x 0)恒成立故C 选项为假命题，选C.[点评] 可以用作差法比较．二、填空题11．给出以下四个命题：①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题．②命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆命题．③设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件．④命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题，其中真命题的序号是________．[答案] ②③④[解析] ①∵p ∨q 为真，∴p 真或q 真，故p ∧q 不一定为真命题，故①假．②逆命题：若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ，∵A ∪B ＝B ，A ⊆B ，∴A ∩B ＝A ，故②真．③由条件得，b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°，或B ＝120°.故③真； ④否命题：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数，这是一个真命题，假若f (－x )为奇函数，则f [－(－x )]＝－f (－x )，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，与条件矛盾．12．(文)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域．有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集；其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ①④[解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．(理)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] ①整数a ＝2，b ＝4，a b不是整数； ②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p ：不等式⎝⎛⎭⎫13x ＋4>m >2x －x 2对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] ∵⎝⎛⎭⎫13x ＝4>4,2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴要使⎝⎛⎭⎫13x ＋4>m >2x －x 2对一切x ∈R 都成立，应有1<m ≤4；由f (x )＝－(7－2m )x 在R 上是单调减函数得，7－2m >1，∴m <3，∵p 且q 为真命题，∴p 真且q 真，∴1<m <3.14．(2010·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )满足：(1)对任意x ∈(0，＋∞)，恒有f (2x )＝2f (x )成立；(2)当x ∈(1,2]时，f (x )＝2－x .给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f (2m )＝0；②函数f (x )的值域为[0，＋∞)；③存在n ∈Z ，使得f (2n ＋1)＝9；④“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a ，b )⊆(2k,2k ＋1)．其中所有正确结论的序号是________．[答案] ①②④[解析] 对于①，f (2)＝0，又f (2)＝2f (1)＝0，∴f (1)＝0，同理f (4)＝2f (2)＝0，f (8)＝0……f (1)＝2f (12)＝0， ∴f (12)＝0，f (14)＝0…… 归纳可得，正确．对于②④当1<x ≤2时，f (2x )＝4－2x ，而2<2x ≤4，∴当2<x ≤4时，f (x )＝4－x同理，当4<x ≤8时，f (x )＝8－x ……∴当2m －1<x ≤2m 时，f (x )＝2m －x ，故②正确，④也正确．而③中，若f (2n ＋1)＝9，∵2n <2n ＋1≤2n ＋1∴f (x )＝2n ＋1－x ，∴f (2n ＋1)＝2n ＋1－2n －1＝9，∴2n ＝10，∴n ∉Z ，故错误．三、解答题15．已知c >0.设命题P ：函数y ＝log c x 为减函数．命题Q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，求c 的取值范围．[解析] 由y ＝log c x 为减函数得0<c <1当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，因为f ′(x )＝1－1x 2， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，在(1,2]上为增函数．∴f (x )＝x ＋1x在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值为f (1)＝2 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，由函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．得2>1c ，解得c >12如果P 真，且Q 假，则0<c ≤12如果P 假，且Q 真，则c ≥1所以c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)． 16．给出下列命题：(1)p ：x －2＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(3)已知四边形M ，p ：M 是矩形；q ：M 的对角线相等．试分别指出p 是q 的什么条件．[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q ⇒/ p .∴p 是q 的充分不必要条件．17．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且q ≠1)，求数列{a n }成等比数列的充要条件．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1，由于p ≠0，q ≠1，∴当n ≥2时，{a n }为公比为p 的等比数列．要使{a n }是等比数列(当n ∈N *时)，则a 2a 1＝p . 又a 2＝(p －1)p ，∴(p －1)p p ＋q＝p ，∴p 2－p ＝p 2＋pq ，∴q ＝－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0，且p ≠1，且q ＝－1.再证充分性：当p ≠0，且p ≠1，且q ＝－1时，S n ＝p n －1.当n ＝1时，S 1＝a 1＝p －1≠0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1.显然当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝(p －1)p n －1，n ∈N *，∴a n a n －1＝p (n ≥2)，∴{a n }是等比数列． 综上可知，数列{a n }成等比数列的充要条件是p ≠0，p ≠1，且q ＝－1.(理)(2010·哈三中模拟)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋ln x －ax ＋a . (1)若x ＝2为函数极值点，求a 的值；(2)若x ∈(1,3)时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)＋1x －a ，由f ′(2)＝0得，a ＝32； (2)当a ≤1时，∵x ∈(1,3)，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －(1＋a )≥2－2＝0成立，所以函数y ＝f (x )在(1,3)上为增函数，对任意的x ∈(1,3)，f (x )>f (1)＝0，所以a ≤1时命题成立；当a >1时，令f ′(x )＝(x －1)＋1x －a ＝0得，x ＝(a ＋1)±(a ＋1)2－42，则函数在 (0，(a ＋1)－(a ＋1)2－42)上为增函数，在((a ＋1)－(a ＋1)2－42，(a ＋1)＋(a ＋1)2－42)上为减函数，在((a ＋1)＋(a ＋1)2－42，＋∞)上为增函数，当a ≤73时，1≤(a ＋1)＋(a ＋1)2－42≤3，则f (1)>f ((a ＋1)＋(a ＋1)2－42)，不合题意，舍去．当a >73时，函数在(1,3)上是减函数，f (x )<f (3)<0，不合题意，舍去． 综上，a ≤1.。

高考数学模拟试卷复习试题课时提升作业(五)充要条件的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件.2.(·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.3.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选D.当ab<0时,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立.4.(·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.5.(·烟台高二检测)已知a,b∈R,ab≠0,则“a>0,b>0”是“≥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a>0,b>0时由基本不等式可得≥.当且仅当a=b时取等号.反之,当≥时,由有意义结合a,b≠0,可得a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,而当a<0,b<0时<0与≥矛盾.故必有a>0,b>0成立,故“a>0,b>0”是“≥”的充要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(·郑州高二检测)等差数列{an}的首项为a,公差为d,其前n项和为Sn,则数列{Sn}为递增数列的充要条件是.【解题指南】若{Sn}为递增数列,则Sn+1>Sn(n∈N*),据此转化求解.【解析】由Sn+1>Sn(n∈N*)⇔(n+1)a+d>na+d(n∈N*)⇔dn+a>0(n∈N*)⇔d≥0且d+a>0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a>0.答案:d≥0且d+a>07.(·三明高二检测)直线x+y+m=0与圆(x1)2+(y1)2=2相切的充要条件是.【解析】直线x+y+m=0与圆(x1)2+(y1)2=2相切⇔圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于⇔=⇔|m+2|=2⇔m=4或0.答案:m=4或0【补偿训练】“x22x>0”的充要条件是.【解析】x22x>0⇔x·(x2)>0⇔x>2或x<0.答案:x>2或x<08.下列命题:①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;②“b24ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为R”的充要条件;③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.其中真命题的序号为.【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;②不等式解集为R的充要条件是a<0且b24ac<0.故②为假命题;③当a=2时,两直线平行,反之,两直线平行,=,所以a=2,因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件;④lgx+lgy=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0.所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然.因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.综上可知,真命题是④.答案:④三、解答题(每小题10分,共20分)9.求方程3x210x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件.【解析】方程3x210x+k=0有两个同号且不相等的实根等价于解得0<k<,所以方程3x210x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件0<k<.10.(·南京师大附中高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=1.【证明】充分性:当q=1时,a1=S1=p1;当n≥2时,an=SnSn1=pn1(p1),且n=1时也成立.于是==p(p≠0且p≠1),即{an}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;当n≥2时,an=SnSn1=pn1(p1).因为p≠0且p≠1,所以当n≥2时,==p,可知等比数列{an}的公比为p.故==p,即p1=p+q,解得q=1.综上可知,q=1是数列{an}为等比数列的充要条件.【误区警示】本题易弄错充分性与必要性而导致错误.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(·福建高考)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解题指南】小集合推出大集合.【解析】选A.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为A点,而B点也在圆上,S△OAB=·sin∠AOB=sin∠AOB,因此∠AOB必为直角,所以S△OAB=的等价条件是k=±1.2.(·西安高二检测)函数f(x)=a+sinx+cosx有零点的充要条件为()A.a≤2B.a≥2C.2<a<2D.2≤a≤2【解析】选D.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点⇔方程a+sinx+cosx=0有实数根⇔方程a=sinx+cosx 有实数根,由于a=sinx+cosx=2sin(x+60°),所以2≤a≤2,即2≤a≤2.【延伸探究】本题改为函数没有零点的充要条件为.【解析】函数f(x)=a+sinx+cosx有零点⇔方程a+sinx+cosx=0有实数根⇔方程a=sinx+cosx有实数根.由于a=sinx+cosx=2sin(x+60°),所以2≤a≤2,即2≤a≤2.所以函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点的充要条件为a<2或a>2.答案:a<2或a>2二、填空题(每小题5分,共10分)3.(·佛山高二检测)数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件为.【解析】依题意,an+1an=d,且=q(d,q为常数),对一切正整数n都成立,则qanan=d,所以an(q1)=d对一切正整数n都成立,故d=0,q=1,数列{an}为常数列.由于an=0不是等比数列,所以数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列{an}是非零常数列.答案:数列{an}为非零常数列4.(·广州高二检测)设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是.【解析】由题意知函数f(x)=|log2x|=要使f(x)在区间(m2,2m)内有定义且不是单调函数,则0≤m2<1<2m,所以2≤m<3.答案:[2,3)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(·汕头高二检测)已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.【解析】当{an}是等差数列时,因为Sn=(n+1)2+c,所以当n≥2时,Sn1=n2+c,所以an=SnSn1=2n+1,所以an+1an=2为常数.又a1=S1=4+c,所以a2a1=5(4+c)=1c,因为{an}是等差数列,所以a2a1=2,所以1c=2.所以c=1,反之,当c=1时,Sn=n2+2n,可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)为等差数列,所以{an}为等差数列的充要条件是c=1.6.(·烟台高二检测)设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,证明:“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.【解题指南】从充分性与必要性两个方面证明.【证明】充分性:由a2=b(b+c)=b2+c22bccosA可得1+2cosA==.即sinB+2sinBcosA=sin(A+B).化简,得sinB=sin(AB).由于sinB>0且在三角形中,故B=AB,即A=2B.必要性:若A=2B,则AB=B,sin(AB)=sinB,又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(AB)=sinAcosBcosAsinB.所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA).因为A,B,C为△ABC的内角,所以sin(A+B)=sinC,即sinC=sinB(1+2cosA).所以=1+2cosA=1+=,即=.化简得a2=b(b+c).所以“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.【补偿训练】已知{an}为等差数列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n项和为Sn.求证:a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件是k=6.【证明】设数列{an}的公差为d,由题意得解得所以an=2+2(n1)=2n,由此得Sn===n(1+n).充分性:当k=6时,a1=2,ak=a6=12,Sk+2=S6+2=S8=8×9=72,因为===,所以a1,a6,S6+2成等比数列,即a1,ak,Sk+2成等比数列.必要性:由a1,ak,Sk+2成等比数列,得=a1Sk+2,从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k25k6=0,解得k=1(舍去)或k=6.综上可知,k=6是a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件.高考数学高三模拟试卷试题压轴押题通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A．12C ．12-D．-2．已知函数()3xf x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12B．2C．2D．24．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425B ．12C ．23D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A C D ．210．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y +=．AVCB图213．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b ()km ，则这辆车的行驶速度为km/h ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为．15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数占本组的概率 [20,30) 40 28 0.7[30,40) n 27 0.9[40,50) 10 4 b[50,60] 20 a 0.1 （1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积C 1 ABA 1B 1D 1C D MNBA CDEG图3频率/组距 0.01 c0.04 0.03之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．图4一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc+-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯ (3)分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ==．…………………………………………6分由正弦定理2sin aR A=，…………………………………………………………………………………7分得2sin 2142a R A ==⨯⨯=．…………………………………………………………………8分由（1）设7a k =，即k =所以5b k ==3c k ==．………………………………………………………………10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=12=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC的面积为…………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分 根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=，解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分C 1 ABA 1B 1D 1C DMN在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以1AM ANAA AB=， 所以1MN A B ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MND C ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分 从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DD C ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． C 1 A B A 1B 1D 1C D M N延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =． 所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以111191333222AMN DD C V V -⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分 从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分 ①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分 ②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-，解得1011k =，不合题意．..........................................................................................13分 综上可知，存在11k =符合条件． (14)分20．（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++， 所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分 依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分 所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x'=++221ax x x ++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中1x =，2x =．因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分 综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r-+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =分 因为()220044y x =--，所以AB =…………………………………………………………………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭，所以AB 的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =分=． (11)分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分 当532t =时，max 4AB =，当14t =时，min AB =所以AB 的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴。

第五课时：§充要条件教学目的：①知识目标：理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义；能够判断给定的两个命题的充要关系。

②能力目标：能够利用本节知识解决和代数、几何、三角等高中数学有关的问题；③情感目标：进一步培养逻辑思维能力，理解数学的严谨性。

教学重点、难点及其突破：高考对本节内容的考查，主要是以代数、几何、三角等高中数学的各个方面内容为载体，判断两个命题间的充要关系，这也就是节课的重点，也是难点。

学习中要注意各知识点的联系。

教学方法：讲授法。

高考要求及学法指导：基本的逻辑知识是人们认识和研究问题不可缺少的工具．高考中主要考查命题与命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力，这里尤其要重视反证法的应用。

教学过程：一、知识点复习：（一）判断命题充要条件有如下三种常用方法：1、定义法；2、等价法：即利用与非B非A；B A与非A非B；A B与非B非A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法：3、利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B：(1)若A B，则p是q成立的充分条件．(2)若A=B，则p是q成立的充要条件．(3)若A B，则p是q成立的充分不必要条件．(4)若A B，且B A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．（二）四种命题1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q(p q)；逆命题：若q则p(q)；否命题：若则 ()逆否命题：若则 ()2、四种命题的关系3、一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：(Ⅰ)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(Ⅱ)原命题为真，它的否命题不一定为真；(Ⅲ)原命题为真，它的逆否命题一定为真；(Ⅳ)逆命题为真，否命题一定为真；（三）充要条件1、如果p成立则q成立，即，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果p成立则q成立，且q成立则p成立，即，则称p是q的充分必要条件．2、充要关系的判断我们常用推出符号“”来判断两个命题之间的充要关系。

课时训练4 充要条件【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么⌝A是⌝B的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：“A⇒B”⇔“⌝B⇒⌝A”,“B A”等价于“⌝A⌝B”.2.(浙江杭州二中模拟，4)“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性显然，当a=5,b=1时，有a+b>4,ab>4,但“a>2且b>2”不成立.3.(北京西城区一模，5)设a、b∈R,则“a>b”是“a>|b|”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件解析：a>b并不能得到a>|b|.如2>-5,但2<|-5|,且a>|b|⇒a>b.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2≥-x,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x≤-1或x≥0}.∵A B，∴p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：“a≥b是c>d的充分不必要条件”，和“a<b⇔e≤f”那么“c≤d”是“e≤f”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：“a≥b是c>d的充分不必要条件”等价于“c≤d⇒a<b且a<bc≤d”,即c≤d⇒e≤f但e≤f c≤d,故选A.π成立是不等式（x-1）tanx>0成立的6.(全国大联考，2)不等式1<x<2（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必答案：A解析：当1<x<2π时，x-1>0,tanx>0,即tan （x-1）tanx>0,但当x=45π时，（x-1）tanx=(45π-1)×1>0,而45π∉(1,2π),故选A. 7.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a>0,b,c ∈R )则“关于x 的不等式ax 2+bx+c<x 有实数解”是“此抛物线顶点在直线y=x 下方”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax 2+bx+c<x 有实数解⇔(b-1)2-4ac>0,顶点（-a b ac a b 44,22-）在直线y=x 下方⇔-ab ac a b 4422->⇔(b-1)2>4ac+1,故选B. 二、填空题（每小题5分，共15分）8.方程3x 2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.答案：0<k<325 解析：其充要条件为⎪⎩⎪⎨⎧>>-=∆.03,012102k k ⇔0<k<325. 9.已知p:|x+1|>2和q:4312-+x x >0,则⌝p 是⌝q 的__________________.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）答案：充分不必要解析：∵p:x<-3或x>1,q:x<-4或x>1,∴⌝p:-3≤x≤1,⌝q:-4≤x≤1.∴⌝p是⌝q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x>-3;(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行；（4）p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:x∈M,且x∈P,q:x∈M∪P(P,M≠∅).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________. 答案：（2）（5）解析：（1）（4）中p是q的必要不充分条件;（3）中p是q的充要条件；（2）（5）满足题意.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.设x、y∈R,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|；当x<0,y<0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,y ∈R ,得（x+y ）2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2,|xy|=xy,∴xy ≥0.解法二：|x+y|=|x|+|y|⇔(x+y)2=(|x|+|y|)2⇔x 2+y 2+2xy=x 2+y 2+2|xy|⇔xy=|xy|⇔xy ≥0.12.已知a,b 是实数，求证：a 4-b 4=1+2b 2成立的充分条件是a 2-b 2=1,该条件是否是必要条件？证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a 2-b 2=1即a 2=b 2+1时，a 4-b 4=(b 2+1)2-b 4=2b 2+1.∴a 4-b 4=1+2b 2成立的充分条件是a 2-b 2=1又a 4-b 4=1+2b 2,故a 4=(b 2+1)2. ∴a 2=b 2+1，即a 2-b 2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x 的方程：（a-6）x 2-(a+2)x-1=0.(a ∈R ),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=-81.当a ≠6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x 1x 2=-61-a <0,即a>6.方程有两负根的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=•<-+=+≥-++=∆,061,062,0)6(4)2(21212a x x a a x x a a 即2≤a<6.∴方程至少有一负根的充要条件是：2≤a<6或a=6或a>6,即a ≥2.14.(1)是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.解析：(1)当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0得x<-4p ,故-4p ≤-1时, “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件.（2）不存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件.。

充要条件的测试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项正确描述了充要条件？A. 条件A是条件B的充分条件B. 条件A是条件B的必要条件C. 条件A是条件B的充要条件D. 条件A是条件B的既不充分也不必要条件答案：C2. 如果A⇒B，B⇒A，则A和B的关系是：A. A是B的充分条件B. A是B的必要条件C. A是B的充要条件D. A与B互为独立条件答案：C二、判断题1. 如果A是B的充分条件，那么B也是A的必要条件。

（）答案：错误2. 如果A是B的必要条件，那么B是A的充分条件。

（）答案：正确三、简答题1. 解释什么是充要条件，并给出一个例子。

答案：充要条件指的是两个条件之间存在一种相互依赖的关系，即一个条件的存在必然导致另一个条件的存在，反之亦然。

例如，一个数是偶数（条件A）是它能够被2整除（条件B）的充要条件。

2. 区分“充分条件”和“必要条件”并给出各自的例子。

答案：充分条件指的是一个条件的存在足以保证另一个条件的存在，但不是唯一的保证。

例如，一个数是偶数是它能够被2整除的充分条件。

必要条件指的是一个条件的存在是另一个条件存在所必需的，但不是充分的。

例如，一个数能够被2整除是它为偶数的必要条件。

四、应用题1. 如果x > 0是x² > 0的充分条件，判断x < 0是否是x² > 0的必要条件。

答案：不是。

因为x < 0时，x²仍然是正数，但x > 0是x² > 0的充分条件，意味着x² > 0时，x一定大于0，但x < 0时x² > 0并不成立，所以x < 0不是x² > 0的必要条件。

2. 证明如果A是B的充要条件，那么B也是A的充要条件。

答案：如果A是B的充要条件，根据充要条件的定义，A⇒B且B⇒A。

这意味着如果A成立，则B必然成立；反之，如果B成立，则A也必然成立。

开卷速查(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 级 基础巩固练1．[2015·唐山市一中期中]“a ＝2”是“∀x ∈(0，＋∞)，ax ＋18x≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：若a ＝2，则∀x ∈(0，＋∞)，2x ＋18x ≥22x ×18x ＝1，即充分性成立；若∀x ∈(0，＋∞)，ax ＋18x ≥1成立，即a ≥1x －18·1x 2＝－18⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －42＋2成立，得a ≥2，即必要性不成立，故选A. 答案：A2．已知f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为f (x )，g (x )均为偶函数，可推出h (x )为偶函数，反之，则不成立，如f (x )＝x 、g (x )＝－x ，则h (x )＝0.故选B.答案：B3．[2015·“江淮十校”联考]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：若f (x )是奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )，不一定有φ＝π2成立；反之，若φ＝π2，则f (x )是奇函数，故选B.答案：B4．下列选项中正确的是( )A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋1ln x ≥2B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题解析：当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时ln x ＋1ln x ≤－2，A 错；当|a n ＋1|＞a n 时，{a n }不一定是递增数列，但若{a n }是递增数列，则必有a n ＜a n ＋1≤|a n ＋1|，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错，故选B.答案：B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则“A ＜B ”是“cos2A ＞cos2B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由大边对大角可知，A ＜B ⇔a ＜b .由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，故a ＜b ⇔sin A ＜sin B .而cos2A ＝1－2sin 2A ，cos2B ＝1－2sin 2B ，又sin A＞0，sin B＞0，所以sin A＜sin B⇔cos2A＞cos2B.所以a＜b⇔cos2A＞cos2B，即“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故选C.答案：C6．命题p：|x＋2|＞2；命题q：13－x＞1，则綈q是綈p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：解|x＋2|＞2，即x＋2＜－2或x＋2＞2，得x＜－4或x＞0，所以p：x＜－4或x＞0，故綈p：－4≤x≤0；解13－x＞1，得2＜x＜3，所以q：2＜x＜3，綈q：x≤2或x≥3.显然{x|－4≤x≤0}{x|x≤2，或x≥3}，所以綈q是綈p的必要不充分条件，故选B.答案：B7．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)等于() A．1B．2C．3D．4解析：原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2，故选B.答案：B8．已知集合A ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －6＜1}，B ＝{x |log 4(x ＋a )＜1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －6＜1，即x 2－x －6＞0，解得x ＜－2或x ＞3，故A ＝{x |x ＜－2，或x ＞3}；由log 4(x ＋a )＜1，即0＜x ＋a ＜4，解得－a ＜x ＜4－a ，故B ＝{x |－a ＜x ＜4－a }，由题意，可知B A ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________.解析：∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根，∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n . ∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2.∴n ＝3或n ＝4.答案：3或410．已知p ：－x 2＋6x ＋16≥0，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)．(1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由－x 2＋6x ＋16≥0，解得－2≤x ≤8；所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为－2≤x ≤8.(2)方法一：若q 为真，可由x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)，解得2－m ≤x ≤2＋m (m ＞0)．若p 是q 成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m ，2＋m ]的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，2－m ≤－2，2＋m ≥8(两等号不同时成立)，得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6.方法二：设f (x )＝x 2－4x ＋4－m 2(m ＞0)，若p 是q 成立的充分不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，f (－2)≤0，f (8)≤0(两等号不同时成立)，解得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6.B 级 能力提升练11．[2014·陕西]原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真 B.假，假，真C ．真，真，假 D.假，假，假解析：因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.答案：B12．如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若[x ]＝[y ]，则|x －y |＜1；反之，若|x －y |＜1，如取x ＝1.1，y ＝0.9，则[x ]≠[y ]，即“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的充分不必要条件．答案：A13．[2015·福州三中期中]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)A ＝{x |2＜x ＜3}．当a ＝12时，B ＝{x |12＜x ＜94}，∴∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}．∴(∁U B )∩A ＝{x |94≤x ＜3}．(2)由p 是q 的充分条件，知p ⇒q ，则A ⊆B ，又∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3≤a 2＋2，∴a ≤－1或1≤a ≤2. 故a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．。

高考总复习充分必要条件习题高中数学高考总复充分必要条件题，包括选择题。

1.已知a、b都是实数，那么“a^2>b^2”是“a>b”的充分必要条件。

解析：a^2>b^2不能推出a>b，而a>b也不能推出a^2>b^2，因此是充分必要条件。

2.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件。

解析：|x-1|<2得-2<x-1<2，因此-1<x<3；x(x-3)<0得0<x<3，因此“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件。

3.若向量a=(x,3)(x∈R)，则“x=4”是“|a|=5”的充分必要条件。

解析：当x=4时，|a|=√(4^2+3^2)=5；当|a|=√(x^2+3^2)=5时，解得x=±4，因此“x=4”是“|a|=5”的充分必要条件。

4.“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y=3x+2上”是“{an}为等差数列”的充分必要条件。

解析：点Pn(n，an)在直线y=3x+2上，即an=3n+2，因此能推出{an}是等差数列，因此是充分必要条件。

5.“a10，因此a1<a3⇔a1q^4<a3q^4⇔a5<a7，因此是充要条件。

6.“m>n>0”是“方程mx^2+ny^2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。

6.(2010·北京东城区) "x =" is a sufficient but not necessary n for the n y = sin2x to achieve its maximum value at x = 4/π.解析：When x = 4/π。

y = sin2x reaches its maximum value。

but when y = sin2x reaches its maximum value。