2016年高考数学专题复习《充要条件2》测试题

高考数学难点2充要条件的判定习题与答案●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n}、{b n}满足：,求证：数列{a n}成等差数列的充要条件是数列{b n}也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.即有(2)必要性：∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，答案：充要条件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是、(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)。

难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A.ab =0B.a +b =0C.a =bD.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n +++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b ) =－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{bn }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性：当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310. 8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1, 根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0 方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。

充要条件（时间：25分，满分55分） 班级 姓名 得分一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C3．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴t an A tan B >1，故④真．4．“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A6．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合__________________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5；③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10.9．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分10．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x x －b x ≥0，－x x －b x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0，∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b 2≥2，∴b ≥4. 三、解答题11．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋32－4m 1－m >01－m m<0， ∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，∵{a n}为等比数列，∴a2a1＝a n＋1a n＝p，即p p－1p＋q＝p，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{a n}为等比数列的充要条件．。

鑫达捷1．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）（A ）原命题真，逆命题假 （B ）．原命题假，逆命题真（C ）．原命题与逆命题均为真命题（D ）．原命题与逆命题均为假命题 2. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的（ ） （A ）．充分非必要条件 （B ）．充分必要条件（C ）．必要非充分条件 （D ）．非充分非必要条件3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）（A ）0个 (B)．1个 (C)．2个 (D)．3个4．一次函数nx n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ） (A)．1,1m n ><且 (B)．0mn <(C)．0,0m n ><且 (D)．0,0m n <<且5.设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6.设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足（ ）（A ）||3a b +≤ （B ）||3a b +≥ （C ）||3a b -≤ （D ）||3a b -≥7. -1<x<1是｜x|<1的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8.若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则( )（A ）“x ∈C 是x ∈A ”的充分而不必要条件 （B ）“x ∈C 是x ∈A ”必要而不充分条件（C ）“x ∈C 是x ∈A ”充分必要条 件 （D ）“x ∈C 是x ∈A ”既不充分也不必要条件9、有下列四个命题：①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③、命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④、命题“若A B B =I ，则A B⊆”的逆否命题。

充要条件的测试题及答案1. 判断下列命题是否为充要条件，并说明理由。

(1) 若a > 0，则a² > 0。

(2) 若a² > 0，则a > 0。

2. 已知命题p："若x > 2，则x² > 4"，命题q："若x² > 4，则x > 2"，判断p和q是否互为充要条件。

3. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 4x + 4 = 0，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x² - 4x + 4 = 0。

4. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² + y² = 0，则x = 0且y = 0。

(2) 若x = 0且y = 0，则x² + y² = 0。

5. 已知命题p："若x > 0，则x² > 0"，命题q："若x² > 0，则x > 0"，判断p和q是否互为充要条件。

6. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 2x + 1 = 0，则x = 1。

(2) 若x = 1，则x² - 2x + 1 = 0。

7. 已知命题p："若x > 1，则x² > 1"，命题q："若x² > 1，则x > 1"，判断p和q是否互为充要条件。

8. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x³ = 8，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x³ = 8。

9. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 6x + 9 = 0，则x = 3。

(2) 若x = 3，则x² - 6x + 9 = 0。

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1. (2015·北京高考文科·T6)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.2.(2015·天津高考理科·T4)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.|x-2|<1的解为1<x<3,x2+x-2>0的解为x<-2,x>1,所以,“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.3.(2015·四川高考理科·T8)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】首先由3a>3b>3,看是否能推出log a3<log b3;再看由log a3<log b3,能否一定得出3a>3b>3.【解析】选B.由3a>3b>3,知a>b>1,所以log3a>log3b>0,所以,即log a3<log b3,所以3a>3b>3是log a3<log b3的充分条件;但是取a=,b=3也满足log a3<log b3,不符合a>b>1,所以3a>3b>3是log a3<log b3的不必要条件4. (2015·北京高考理科·T4)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先判断能否由“m∥β”推出“α∥β”,再判断能否由“α∥β”推出“m ∥β”,最后利用充分必要条件的定义可得结论.【解析】选B.当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.因此,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.5. （2015·安徽高考理科·T3）设p:1<x<2，q:则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】应用充分、必要条件的定义进行判断。

§ 1.2命题及充要条件A组2014—2015年模拟·基础题组限时:20分钟1.(2015北京海淀期中,6)设a,b∈R,则“ab>0且a>b”是“<”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2015天津一中月考,5)数列{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“数列{a n}为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2014福建宁德一模,2)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数4.(2014广东韶关二模,8)命题“a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是( )A.a,b∈R,若a≠b≠0,则a2+b2=0B.a,b∈R,若a=b≠0,则a2+b2≠0C.a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0D.a,b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠05.(2014北京大兴一模)“x>0”是“x+≥2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2014山东日照模考,5)“2a>2b”是“ln a>ln b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2014河北五个一名校联盟一模)已知p:x≥k,q:<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,-1]B组2014—2015年模拟·提升题组限时:25分钟1.(2014山东菏泽4月,10)已知a,b为实数,且ab≠0,则下列命题错误的是( )A.若a>0,b>0,则≥B.若≥,则a>0,b>0C.若a≠b,则>D.若>,则a≠b2.(2014北京西城一模,6)“m<8”是“方程-=1表示双曲线”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2014重庆六校下学期第三次诊断,2)下列结论正确的是( )A.若向量a∥b,则存在唯一的实数λ使得a=λbB.已知向量a,b为非零向量,则“a,b的夹角为钝角”的充要条件是“a·b<0”C.“若θ=,则cos θ=”的否命题为“若θ≠,则cos θ≠”D.若命题p:∃x∈R,x2-x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2-x+1>04.(2014安徽合肥3月,6)已知等比数列{a n}的公比为q,则“0<q<1”是“{a n}为递减数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2014陕西五校模拟,7)下列命题中正确的个数是( )①命题“∃x0∈R,+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;②“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”.A.1B.2C.3D.46.(2015山东菏泽期中,15)下列4个命题:①“如果x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sin A>”的充分不必要条件;④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号是.7.(2015黑龙江哈尔滨六中期中,16)给出下列四个命题:①△ABC中,A>B是sin A>sin B成立的充要条件;②当x>0且x≠1时,有ln x+≥2;③已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若S7>S5,则S9>S3;④若函数y=f为R上的奇函数,则函数y=f(x)的图象一定关于点F中心对称.其中所有正确命题的序号为.A组2014—2015年模拟·基础题组1.A 对于充分性的判断有两种方法.方法一:利用函数f(x)=,由ab>0,可知a,b同号,对于函数f(x)=而言,在(-∞,0)和(0,+∞)这两个区间内单调递减,由于a>b,a,b同号,则f(a)<f(b),即<;方法二:使用不等式性质,∵ab>0,∴>0,∵a>b,∴a·>b·,即>.对于必要性的判断,可以找出反例说明,如a<0且b>0,满足“<”,但不能推出“ab>0且a>b”.故选A.2.D 充分性:举反例,当a1<0,q>1时,满足q>1,但数列{a n}递减,即数列{a n}单调递增不成立.必要性:举反例,当a1<0,0<q<1时,满足数列{a n}递增,但q>1不成立.∴“q>1”是“数列{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.C 在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,互为逆否的命题是成对出现的,故真命题的个数和假命题的个数都是偶数.4.D a=b=0的否定为a≠0或b≠0;a2+b2=0的否定为a2+b2≠0,故选D.5.C 若x>0,则x+≥2成立,∴充分性成立.反之,若x+≥2,则≥0,则x>0,必要性成立.故选C.6.B 2a>2b等价于a>b,但a>b推不出ln a>ln b;而ln a>ln b等价于a>b>0,能推出2a>2b.7.B <1⇔>0⇔(x+1)(x-2)>0⇔x<-1或x>2.由已知可知p⇒q且q⇒/ p,画出数轴得k>2.故选B.B组2014—2015年模拟·提升题组1.C 选项A,由基本不等式可得:若a>0,b>0,则≥,故A正确;选项B,由有意义可得a,b不可能异号,结合≥可得a,b不同为负值,由ab≠0可得a≠0,b≠0,故可得a>0,b>0,故B正确;选项C,需满足a,b同为正数才成立,若a=-1,b=2,显然满足a≠b,但无意义,故C错误;选项D,把>的两边分别平方,整理可得(a-b)2>0,显然a≠b,故D正确.故选C.2.A 若方程-=1表示双曲线,则(m-8)(m-10)>0,解得m>10或m<8,故“m<8”是“方程-=1表示双曲线”的充分而不必要条件,故选A.3.C 原命题若p则q的否命题是若¬p则¬q.显然C正确.A项,当a=b时,λ有无数多个;B项,当a与b反向时,满足a·b<0,但a与b的夹角不是钝角;D项,¬p应为∀x∈R,x2-x+1≥0.4.D 若a1=-1,q=,则数列为-1,-,-,…,显然不是递减数列,故由“0<q<1”不能推出“{a n}为递减数列”;等比数列-1,-2,-4,-8,…显然为递减数列,但其公比q=2,不满足0<q<1,故由“{a n}为递减数列”不能推出“0<q<1”.综上,“0<q<1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选D.5.B 因为命题“∃x,p(x)”的否定为“∀x,¬p(x)”,因此①正确;若f(x)=cos2ax-sin2ax=cos 2ax的最小正周期为π,则=π,即a=±1,因此②正确;因为x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔a≤x+2在x∈[1,2]上恒成立⇔a≤(x+2)min,x∈[1,2],因此③不正确;易知“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0且a与b不共线”,故④不正确.6.答案①②解析对于①,“如果x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题是“如果x、y互为相反数,则x+y=0”,易知其是真命题,故①是真命题;对于②,“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“如果x2+x-6<0,则x≤2”,由x2+x-6<0解得-3<x<2,可知②是真命题;对于③,举反例,A=150°时,满足A>30°,但sin A=,故③是假命题;对于④,当函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数时,有f(0)=0或f(0)不存在,即φ=kπ(k∈Z)或φ=kπ+(k∈Z),故④是假命题.故只有①②是真命题.7.答案①③解析在△ABC中,A>B等价于a>b(a,b为角A,B的对边长),又利用正弦定理可知a>b等价于sin A>sin B,∴A>B是sin A>sin B成立的充要条件,①正确.当0<x<1时,ln x<0,ln x+=-≤-2,∴②不正确.S n为等差数列{a n}的前n项和,若S7>S5,则S7-S5=a6+a7>0,而S9-S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9=3(a6+a7),∴S9>S3,∴③正确.若函数y=f为R上的奇函数,则函数y=f(x)的图象一定关于点中心对称,故④不正确.所以只有①③正确.。

02 充分条件与必要条件1．“3x >”是“不等式220x x ->”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．2．“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ． 3．“6απ=”是“3tan 3α=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若6απ=，则3tan 63π=；若3tan 3α=，则6k απ=π+，推不出6απ=．所以“6απ=” 是“3tan 3α=”成立的充分不必要条件．故选A ．4．“2a =”是“直线2y ax =-+与14ay x =-垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】两直线垂直，所以1,24aa a -⋅=-=±，所以是充分不必要条件. 5．已知条件1)(:2++=mx x x f p 在区间),21(+∞上单调递增，条件34:-≥m q ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，函数2()1f x x mx =++在区间),21(+∞上单调递增，所以1122m m -≤⇒≥-，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.6．在ABC △中，“cos cos cos 0A B C ⋅⋅<”是“ABC △为钝角三角形”的 A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力．解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了．解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误，将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起，从而误判得出不正确的答案．7．在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由125a a a ，，成等比数列，得2111()(4)a d a a d +=+，即2(2)2(24)d d +=+，解得0d =或4d =，所以“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的充分不必要条件．8． 已知向量a ，b ，则“∥a b ”是“||||||-=-a b a b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设a ，b 的夹角为θ，故22()(||||)||||||||||⎧-=--=-⇔⎨≥⎩a b a b a b a b a b||||(1cos )0||||θ⋅⋅-=⎧⇔⎨≥⎩a b a b ||⇔=0b 或cos 1θ=，故是必要不充分条件，故选B.9．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】依题意有,/p r r ⇒⇒,,p r s s q ⇒⇒，∴p r s q ⇒⇒⇒． 但由于r 推不出p ，∴q 推不出p ．故p 是q 的充分不必要条件.10．设函数(),y f x x =∈R ，“|()|y f x =是偶函数”是“)(x f y =的图象关于原点对称”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B11．“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切2222|2|21(1)a b a b -+⇔=⇔-+=+-b a =⇔或4-=-b a ，故为充分不必要条件，选A.12．已知命题p ：111<-x ，q ：0)1(2>--+a x a x ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是A ．]1,2(--B ．]1,2[--C ．]1,3[--D ．),2[+∞-【答案】A 【解析】()()12102101,211x x x x x x x -<⇒<⇒-->⇒<>--，记{|1,2}P x x x =<>； 2(1)()(1)x a x a x a x +--=+-0>，记{|()(1)0}Q x x a x =+->.因为p 是q 的充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集.当0a >时，Q 的解集是{|,1}x x a x <->，此时P 不可能是Q 的真子集；当10a -<<时，Q 的解集是{|,1}x x a x <->，此时P 不可能是Q 的真子集；当1a =-时，Q 的解集是1x ≠，符合题意；当1a <-时，Q 的解集是{|1,}x x x a <>-，只需2,2a a -<>-，综上所述，(2,1]a ∈--.13．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x ．已知ABC △的三边边长为,,()a b c a b c ≤≤，定义它的倾斜度为max{,,}min{,,}a b ca b c l b c a b c a=⋅，则“1l =”是“ABC △为等边三角形”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分14．下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是．①:2p m <-或26;:3m q y x mx m >=+++有两个不同的零点；②():1;:()()f x p q y f x f x -==是偶函数；③:cos cos ;:tan tan p q αβαβ==； ④:;:UUp AB A q B A =⊆.【答案】①④题意；③当:cos cos p αβ=成立时，取2cos cos 2αβ==，2sin 2α=，2sin 2β=-，tan tan αβ≠，故命题:tan tan q αβ=不成立， 不符合题意； ④当:p AB A =成立时，则,,:U UUUA B B A q B A ⊆∴⊆∴⊆符合题意，故正确的有①④，故答案为①④.15．（2017年高考某某卷）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．16．（2017年高考卷）设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A17．（2017年高考某某卷）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ． 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．18．（2016年高考某某卷）已知函数f (x )=x 2+bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -.令2t x bx =+，则(())()f f x f t ==2222(),244b b b t bt t t +=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b -，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())f f x x =的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A.【方法点睛】解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化． 19．（2016年高考某某卷）设{n a }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 20．（2016年高考卷）设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由||||=a b 无法得到||||+=-a b a b ，充分性不成立；由||||+=-a b a b ，得0⋅=a b ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.21．（2016年高考某某卷）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a与直线b相交，则,αβ一定相交，若,αβ相交，则a，b可能相交，也可能平行，故选A.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和其他知识相结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及空间想象能力等.。

高中数学高考总复习充分必要条件习题(附参考答案)一、选择题1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析]a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件．(理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由|x－1|<2得－2<x－1<2，∴－1<x<3；由x(x－3)<0得0<x<3.因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．2．(2010·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．3．(文)已知数列{a n}，“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝3x＋2上”是“{a n}为等差数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2010·南充市)等比数列{a n }中，“a 1<a 3”是“a 5<a 7”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件[答案] C[解析] 在等比数列中，q ≠0，∴q 4>0，∴a 1<a 3⇔a 1q 4<a 3q 4⇔a 5<a 7.4．(09·陕西)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 由m >n >0可以得方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.5．(文)设集合A ＝{x |x x －1<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵A ＝{x |0<x <1}，∴A B ，故“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件，选A. (理)(2010·杭州学军中学)已知m ，n ∈R ，则“m ≠0或n ≠0”是“mn ≠0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵mn ≠0⇔m ≠0且n ≠0，故选A.6．(文)(2010·北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4. (理)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θ＝0或cos θ＝－12， ∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A. 7．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0即m ＝12或m ＝－2，∴m ＝12是两直线相互垂直的充分而不必要条件． 8．(2010·浙江宁波统考)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A ．l 1⊥m ，l 1⊥nB ．m ⊥l 1，m ⊥l 2C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ∥n ，l 1⊥n[答案] B[解析] 当m ⊥l 1，m ⊥l 2时，∵l 1与l 2是β内两条相交直线，∴m ⊥β，∵m ⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m ⊥l 1，m ⊥l 2.9．(2010·黑龙江哈三中)命题甲：⎝⎛⎭⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由条件知甲：(21－x )2＝⎝⎛⎭⎫12x ·2x 2， ∴2(1－x )＝－x ＋x 2，解得x ＝1或－2；命题乙：2lg(x ＋1)＝lg x ＋lg(x ＋3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＝x (x ＋3)x ＋1>0x >0x ＋3>0，∴x ＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．10．(2010·辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0故f (x )在点x 0处切线斜率为0∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值∴f (x )≥f (x 0)恒成立故C 选项为假命题，选C.[点评] 可以用作差法比较．二、填空题11．给出以下四个命题：①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题．②命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆命题．③设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件．④命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题，其中真命题的序号是________．[答案] ②③④[解析] ①∵p ∨q 为真，∴p 真或q 真，故p ∧q 不一定为真命题，故①假．②逆命题：若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ，∵A ∪B ＝B ，A ⊆B ，∴A ∩B ＝A ，故②真．③由条件得，b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°，或B ＝120°.故③真； ④否命题：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数，这是一个真命题，假若f (－x )为奇函数，则f [－(－x )]＝－f (－x )，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，与条件矛盾．12．(文)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域．有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集；其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ①④[解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．(理)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] ①整数a ＝2，b ＝4，a b不是整数； ②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p ：不等式⎝⎛⎭⎫13x ＋4>m >2x －x 2对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] ∵⎝⎛⎭⎫13x ＝4>4,2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴要使⎝⎛⎭⎫13x ＋4>m >2x －x 2对一切x ∈R 都成立，应有1<m ≤4；由f (x )＝－(7－2m )x 在R 上是单调减函数得，7－2m >1，∴m <3，∵p 且q 为真命题，∴p 真且q 真，∴1<m <3.14．(2010·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )满足：(1)对任意x ∈(0，＋∞)，恒有f (2x )＝2f (x )成立；(2)当x ∈(1,2]时，f (x )＝2－x .给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f (2m )＝0；②函数f (x )的值域为[0，＋∞)；③存在n ∈Z ，使得f (2n ＋1)＝9；④“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a ，b )⊆(2k,2k ＋1)．其中所有正确结论的序号是________．[答案] ①②④[解析] 对于①，f (2)＝0，又f (2)＝2f (1)＝0，∴f (1)＝0，同理f (4)＝2f (2)＝0，f (8)＝0……f (1)＝2f (12)＝0， ∴f (12)＝0，f (14)＝0…… 归纳可得，正确．对于②④当1<x ≤2时，f (2x )＝4－2x ，而2<2x ≤4，∴当2<x ≤4时，f (x )＝4－x同理，当4<x ≤8时，f (x )＝8－x ……∴当2m －1<x ≤2m 时，f (x )＝2m －x ，故②正确，④也正确．而③中，若f (2n ＋1)＝9，∵2n <2n ＋1≤2n ＋1∴f (x )＝2n ＋1－x ，∴f (2n ＋1)＝2n ＋1－2n －1＝9，∴2n ＝10，∴n ∉Z ，故错误．三、解答题15．已知c >0.设命题P ：函数y ＝log c x 为减函数．命题Q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，求c 的取值范围．[解析] 由y ＝log c x 为减函数得0<c <1当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，因为f ′(x )＝1－1x 2， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，在(1,2]上为增函数．∴f (x )＝x ＋1x在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值为f (1)＝2 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，由函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．得2>1c ，解得c >12如果P 真，且Q 假，则0<c ≤12如果P 假，且Q 真，则c ≥1所以c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)． 16．给出下列命题：(1)p ：x －2＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(3)已知四边形M ，p ：M 是矩形；q ：M 的对角线相等．试分别指出p 是q 的什么条件．[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q ⇒/ p .∴p 是q 的充分不必要条件．17．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且q ≠1)，求数列{a n }成等比数列的充要条件．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1，由于p ≠0，q ≠1，∴当n ≥2时，{a n }为公比为p 的等比数列．要使{a n }是等比数列(当n ∈N *时)，则a 2a 1＝p . 又a 2＝(p －1)p ，∴(p －1)p p ＋q＝p ，∴p 2－p ＝p 2＋pq ，∴q ＝－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0，且p ≠1，且q ＝－1.再证充分性：当p ≠0，且p ≠1，且q ＝－1时，S n ＝p n －1.当n ＝1时，S 1＝a 1＝p －1≠0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1.显然当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝(p －1)p n －1，n ∈N *，∴a n a n －1＝p (n ≥2)，∴{a n }是等比数列． 综上可知，数列{a n }成等比数列的充要条件是p ≠0，p ≠1，且q ＝－1.(理)(2010·哈三中模拟)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋ln x －ax ＋a . (1)若x ＝2为函数极值点，求a 的值；(2)若x ∈(1,3)时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)＋1x －a ，由f ′(2)＝0得，a ＝32； (2)当a ≤1时，∵x ∈(1,3)，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －(1＋a )≥2－2＝0成立，所以函数y ＝f (x )在(1,3)上为增函数，对任意的x ∈(1,3)，f (x )>f (1)＝0，所以a ≤1时命题成立；当a >1时，令f ′(x )＝(x －1)＋1x －a ＝0得，x ＝(a ＋1)±(a ＋1)2－42，则函数在 (0，(a ＋1)－(a ＋1)2－42)上为增函数，在((a ＋1)－(a ＋1)2－42，(a ＋1)＋(a ＋1)2－42)上为减函数，在((a ＋1)＋(a ＋1)2－42，＋∞)上为增函数，当a ≤73时，1≤(a ＋1)＋(a ＋1)2－42≤3，则f (1)>f ((a ＋1)＋(a ＋1)2－42)，不合题意，舍去．当a >73时，函数在(1,3)上是减函数，f (x )<f (3)<0，不合题意，舍去． 综上，a ≤1.。