1.2充要条件练习题

命题判断、充分条件、必要条件类型题数学思想：集合与补集，数型结合、正难则反一、判断命题的真假例1：（正面）设集合A，B，有下列四个命题。

①A⊈B⇔与对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B=φ；③A⊈B⇔B⊆A⊆⊆A⊈B⇔⊆⊆x⊆A⊆⊆⊆x⊆B⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆ ⊆ ⊆点评：正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要。

例2：判断下列命题的真假.（反面）（1）若a>b，则ac2>bc2；（2）正项等差数列的公差大于零。

解：（1）假命题，当c=0时，ac2=b c2；（2）假命题，如数列20，17，14，11，8.点评：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可。

例3：（利用等价命题判断命题的真假）命题“若a>-6，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4因为原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题。

因为其逆命题若“a>-3，则a>-6”为真命题，故选B。

点评：因为原命题与其逆否命题的真假性保持一致，原命题的否命题与原命题的逆命题也互为逆否命题，所以判断原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的真假性时，只需判断两组逆否命题中的各一个命题的真假性即可。

四种命题中，真命题的个数只能是0，2或4个。

二、判断充分条件、必要条件以及充要条件的方法例4：（集合思想）已知p:|x|<1.q:x2+x-20<0，试判断┐p是┐q的什么条件。

解：设p、q对应集合P，Q，则P={x|-1<x<1），Q={x|-5<x<4）.因为P⫋Q，所以p=>q，且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件。

所以┐q➩┐p，┐p⇏┐q，所以┐p是┐q的必要不充分条件。

点评：若给出两个条件，通过数轴或者veen图得到两个条件的范围大小，从而得出结论。

专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件1．（全国高考真题（理））设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．（2021·四川高三三模（理））命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”的否定p ⌝为（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x >B ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x ≤C ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x >D ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x ≥【答案】B 【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”是全称量词命题,所以其否定是存在量词命题，即0:(0,)p x ⌝∃∈+∞，00sin x x ≤．故选：B3．（2021·上海高三二模）设α：x >1且y >2，β：x +y >3，则α是β成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立，练基础当5x =，1y =时，满足3x y +>，但1x >且2y >不成立，故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件．故选：A ．4．（2021·江西高三三模（理））设x ∈R ，则"22x -<<"是"12x <<"的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】用集合法判断即可.【详解】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集，所以“22x -<<”是“12x <<”的必要不充分条件．故选：B.5．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知z 是复数，i 是虚数单位，则“z i =-”是“21z =-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果.【详解】∵z i =-，∴()221z i =-=-；∵21z =-，∴z i =±.故“z i =-”是“21z =-”的充分而非必要条件.故选：A.6．（2021·四川高三二模（文））若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“//l m ”、“//l α”之间的充分、必要关系.【详解】∵l ，m 是平面α外的两条不同的直线，//m α，∴若//l m ，则推出“//l α”；若//l α，则//l m 或l 与m 相交；∴若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的充分不必要条件.故选：A.7.（2021·北京高三二模）“0a ≤是”“函数ln ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当0x >时，令()0f x =，则ln 0x =，1x ∴=，当0x >时，()f x 有一个零点为1，函数()f x 只有一个零点，∴当0x ≤时，()2x f x a =-+无零点，即2x a >或2x a <，∴当0x ≤时，(]20,1x ∈，1a ∴>或0a ≤，0a ∴≤是函数()f x 只有一个零点的充分不必要条件，故选：A.8．（2021·四川泸州市·高三三模（理））“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2求出对应的m 值即可判断.【详解】若双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2，则当0m >且40m -<时，即4m >时，2=，解得5m =，当0m <且40m ->时，即0m <时，2=，解得1m =-，所以“双曲线C ：2214x y m m +=-的虚轴长为2”对应的m 值为5m =或1m =-，故“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的充分但不必要条件.故选：A.9．（2021·上海高三二模）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】当2ϕπ=时，()2cos 2f x x =，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，从而可得结果.【详解】当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∵()()()2cos 22cos 2f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数.当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A.10．（2021·四川高三三模（理））已知数列{}n a 为等比数列，“650a a >>”是“数列{}n a 为递增数列”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据等比数列的通项公式、数列的单调性，结合充分必要条件的定义分析可得答案.【详解】当650a a >>，则651a q a =>，且5140a a q=>，则数列{}n a 为递增数列；反之，当数列{}n a 为递增数列时，也有可能出现650a a >>，故为充分不必要条件.故选：B1.（2021·陕西汉中市·高三二模（文））直线:0l x y a -+=，圆C ：222x y +=，则“2a =”是“l 与圆C 相切”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案．【详解】圆C 的方程222x y +=，其圆心坐标为()0,0，半径为r =当2a =时，直线20l x y -+=:，圆心到直线的距离d r ===，此时，直线l 与圆C 相切，故充分性成立；当直线l 与圆C 相切时，圆心到直线的距离d ==所以2a =±，故必要性不成立，所以，“2a =”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件．故选：B ．2.（2021·江西高三其他模拟（文））“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）练提升A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】先求出方程221x ny +=表示焦点在x 轴 上的圆锥曲线对应的n 的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系.【详解】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·湖南高三三模）设a ，b ，m 为实数，给出下列三个条件：①33a b >：②22am bm >；③11a b<，其中使a b >成立的充分不必要条件是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①②③【答案】B 【解析】利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可【详解】解：对于①，当33a b >时，a b >成立，而当a b >时，33a b >成立，所以33a b >是a b >的充要条件，所以①不合题意；对于②，当22am bm >时，由不等式的性质可知a b >成立，而当a b >，0m =时，22am bm >不成立，所以22am bm >是a b >的充分不必要条件，所以②符合题意；对于③，当1,1a b =-=时，11a b <成立，而a b >不成立，当1,1a b ==-时，a b >成立，而11a b<不成立，所以11a b<是a b >的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，故选：B4．（2021·浙江高三月考）在ABC V 中，“ABC V 为钝角三角形”是“cos cos A B +>的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系.【详解】取2,63A C B ππ===，则21cos cos 2A B -+=<<，故“ABC V 为钝角三角形”推不出“cos cos A B +>若cos cos A B +>若A 为钝角或直角，则cos cos B A >-≥A 为锐角，同理B 为锐角.若2A B π+≥，则022B A ππ<-≤<，故cos cos sin 2A B B π⎛⎫≤-=⎪⎝⎭，所以sin cos cos cos B B A B +≥+>4B π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，矛盾.故2A B π+<即C 为钝角.故“cos cos A B +>能推出“ABC V 为钝角三角形”，故选：B.5．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））将函数()cos(2)6f x x π=-向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像的对应函数为()g x ，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的（）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】分别从3πϕ=及()g x 为奇函数出发，证明对方是否成立，从而验证二者的关系.【详解】当3πϕ=时，()cos[2()sin 236g x x x ππ=+-=-，易知()g x 为奇函数，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的充分条件；当 “()g x 为奇函数”时，()cos[2()]cos(22)66g x x x ππϕϕ=+-=+-，则必有26232k k ππππϕπϕ-=+⇒=+，k Z ∈，故3πϕ=只是其中一个值，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的不必要条件；故选：A6．【多选题】（2020·全国高一课时练习）下列命题是真命题的为（ ）A ．2,10x R x ∀∈--<B ．,,n Z m Z nm m∀∈∃∈=C ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得213234x x =-+【答案】ABC 【解析】根据题意，依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A ，2,0x R x ∀∈-≤，所以210x --<，故A 选项是真命题；对于B ，当0m =时，nm m =恒成立，故B 选项是真命题；对于C ，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C 选项是真命题.对于D ，因为()2223122-+=-+≥x x x ，所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题. 故选：ABC.7．【多选题】（2021·湖南常德市·高三一模）下列说法正确的是（ ）A ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-…B ．二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为32C ．已知直线a ⊂平面α，则“l a //”是//l α”的必要不充分条件D ．函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称【答案】AD 【解析】根据特称命题的否定求解方法可判断A ；令1x =代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B ；由于直线l 与α的关系不确定故能判断C ；判断()f x π-是否等于()f x ，就能判断D 是否正确．【详解】解：对于A ：命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-≤，故A 正确；对于B ：二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为55(12)3+=，故B 错误；对于C ：已知直线a ⊂平面α，由于直线l 与α的关系不确定，故“l a //”是//l α”的既不必要不充分条件，故C 错误；对于D ：由于x 关于2x π=的对称点为x π-，故1()sin sin f x x x=+，满足11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-，故函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称，故D 正确.故选：AD ．8．【多选题】（2021·湖南高三月考）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ）A ．若两直线的斜率相等，则两直线平行B ．若5x >，则10x >C ．已知a →是直线a 的方向向量，n →是平面α的法向量，若a α⊥，则a n →→⊥D ．已知可导函数()f x ，若0()0f x '=，则()f x 在0x x =处取得极值【答案】BD 【解析】只需判断必要性是否成立即可.【详解】对于A ，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立;对于B ，x > 10时，x > 5,所以必要性成立;对于C ，若a n →→⊥，则a //a 或a ⊂a ，所以必要性不成立;对于D ，f (x )在0x x =处取得极值时，必有0()0f x '=，必要性成立.故选： BD9.（2021·四川高三三模（文））已知函数2()2f x x ax b =-+，()x R ∈.下列四个命题：①a R ∃∈，使()f x 为偶函数；②若(0)(2)f f =，则()f x 的图象关于直线1x =对称；③若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数；④若220a b -->，则函数()()2h x f x =-有两个零点.其中所有真命题的序号是___________.【答案】①③【解析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.【详解】若()f x 为偶函数，则22()2()2f x x ax b f x x ax b -=++==-+，则22222224()0x ax b x ax b ax x b ++=-+⇒+=对x R ∀∈恒成立，则0a =，故①正确；(0)f b =，(2)44f a b =-+，若(0)(2)f f =，即44b a b =-+，则441b a b a =-+⇔=或4422b a b a b -=-+⇔-=，若取0,2a b ==-，则2()2f x x =-关于0x =对称，②错误；若20a b -≤，函数22y x ax b =-+的判别式2440a b ∆=-≤，即220y x ax b =-+≥，22()22f x x ax b x ax b =-+=-+，由二次函数性质，知()f x 在区间[,)a +∞上是增函数，③正确；取0,4a b ==-，满足220a b -->，则22()4242f x x x =-=⇔-=或2-，解得x =，即()()2h x f x =-有4个零点，④错误；故答案为：①③10．（2021·浙江高一期末）命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是_______________；设a ，b ，c 分别是ABC V 的三条边，且a b c ≤≤．我们知道ABC V 为直角三角形，那么222+=a b c ．反过来，如果222+=a b c ，那么ABC V 为直角三角形．由此可知，ABC V 为直角三角形的充要条件是222+=a b c ．请利用边长a ，b ，c 给出ABC V 为锐角三角形的一个充要条件是______________．【答案】x R ∃∈，210x x ++≤222a b c +> 【解析】根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出ABC V 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>.【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是x R ∃∈，210x x ++≤；设a ，b ，c 是ABC V 的三条边，且a b c ≤≤，ABC V 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>.证明如下：必要性：在ABC V 中，C ∠是锐角，过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图：根据图象可知()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-+-2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-++-⋅=+-⋅<+，即222AB AC BC <+，222a b c +>可得证.充分性：在ABC V 中，222a b c +>，所以C ∠不是直角.假设C ∠是钝角，如下图：过点A 作AD BC ⊥，交BC 延长线于点D ，则()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-++2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-+++⋅=++⋅>+，即222AB AC BC >+，222a b c +<，与222a b c +>矛盾.故C ∠为锐角，即ABC V 为锐角三角形.1．(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．2．（2019·天津高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件．故选B ．3．（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ）αβαβ∥αβ∥αβαβαβ∥练真题A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．（2020·北京高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121k k k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.5．（2018·浙江省高考真题）已知两条直线和平面，若，则是的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件0, 0a >b>a b +≥4a b +≤4a b ≤+≤4ab ≤=1, =4a b 4ab ≤=5>4a+b 4a b +≤4ab ≤,a b αb α⊂//a b //a αC ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当时，若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，故为假命题；若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，故也为假命题；故是的既不充分又不必要条件故选：D6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，b α⊂//a b a α//a αa α⊂//a α////a b a α⇒//a αa b //a b a b //a b ////a a b α⇒//a b //a α所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.。

1.2充分条件与必要条件A组1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案：B2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.答案：C4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.答案：C5.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过原点;而当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z.答案：A6.指数函数f(x)=(3-a)x是单调递增函数的充要条件是.解析：由指数函数的性质可得,要使该函数为增函数,只要3-a>1,即a<2.答案：a<27.已知a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么¬a是¬b的条件.解析：由已知条件可知a⇒b,∴¬b⇒¬a.∴¬a是¬b的必要条件.答案：必要8.下面两个命题中,p是q的什么条件?(1)p:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)a,b∈R,p:x>a2+b2,q:x>2ab.解(1)在△ABC中,因为b2>a2+c2,所以cos B=<0,所以B为钝角,即△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2<a2+c2.所以p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,所以p⇒q.反之,若x>2ab,则不一定有x>a2+b2,即p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”作答).(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:,q:a∥b;(2)p:|x|=|y|,q:x=-y;(3)p:直线l与平面α内两条平行直线垂直,q:直线l与平面α垂直;(4)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,q:h(x)为偶函数.解(1)由向量平行公式可知p⇒q,但当b=0时,a∥b不能推出,即q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y,所以p q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q,但由线面垂直的定义可知:q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(4)若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所以p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.10.已知实数p:x2-4x-12≤0,q:(x-m)(x-m-1)≤0.(1)若m=2,则p是q的什么条件;(1)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解实数p:x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,q:(x-m)(x-m-1)≤0,解得m≤x≤m+1,令A=[-2,6],B=[m,m+1],(1)若m=2,则B=[2,3],所以p是q的必要不充分条件;(2)若q是p的充分不必要条件,即B⫋A,则解得-2≤m≤5,∴m∈[-2,5].B组1.m=是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由圆心(1,0)到直线x-y+m=0距离d=,得m=或m=-3,故选A.答案：A2.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x=4,则a=(4,3),所以|a|==5;若|a|=5,则=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：A3.以q为公比的等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“q>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在等比数列中,若a1<a3,则a1<a1q2.∵a1>0,∴q2>1,即q>1或q<-1.若q>1,则a1q2>a1,即a1<a3成立.∴“a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选B.答案：B4.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为l⊥α,m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立;当l⊥m且l⊥n时,m,n⊂α,不一定有m与n相交,所以l⊥α不一定成立,故必要性不成立.答案：A5.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：令f(x)=cos x+m-1=0,得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的充分不必要条件.答案：A6.在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的条件.解析：由,得,因此b2=ac,a2=bc,c2=ab,可得a=b=c,故△ABC是等边三角形;反之,若△ABC是等边三角形,则一定有.故命题p是命题q的充要条件.答案：充要7.给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件.其中真命题是.(写出所有真命题的序号)解析：∵a=-2,b=-3时,a>b,而a2<b2,∴a>b对a2>b2不具备充分性,故①错误;∵lg a=lg b⇒a=b,∴具备充分性,故②错误;∵|x|=|y|⇒x2=y2,x2=y2⇒|x|=|y|,∴“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件,③正确;∵在△ABC中,(1)当A,B均为锐角或一个为锐角一个为直角时,sin A>sin B⇔A>B.(2)当A,B有一个为钝角时,假设B为钝角,∵A+B<π⇒A<π-B⇒sin A<sin B,与sin A>sin B矛盾,∴只能A为钝角.∴sin A>sin B⇒A>B;反过来A>B,A为钝角时,π-A>B⇒sin A>sin B,∴④正确.答案：③④8.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a1=p-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1),当n=1时也成立.于是=p(p≠0且p≠1),即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1),因为p≠0且p≠1,所以=p.因为{a n}为等比数列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。

►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件． 一般地，假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．明显，假如p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p(x)}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0相互垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．2．(2022·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：由于当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。

充要条件的应用(30分钟50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·郑州高二检测)在△ABC中,“A>B”是“a>b”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在△ABC中,A>B⇔a>b.【触类旁通】此题中“A>B”假设换为“sinA>sinB”,其结论又如何呢?【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,因此,a>b⇔sinA>sinB.2.(2021·荆门高二检测)钱大姐常说“廉价没好货”,她这句话的意思是:“不廉价”是“好货”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“好货不廉价”是“廉价没好货”的逆否命题,依照互为逆否命题的真假一致取得:“好货不廉价”是真命题.因此“好货”⇒“不廉价”,但“不廉价”“好货”,因此“不廉价”是“好货”的必要不充分条件.3.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】由于“a≠1或b≠2”推“a+b≠3”不方便判定真假,因此利用原命题与逆否命题的真假等价性,转化到逆否命题的真假判定上来,从而使问题易于解决.【解析】选B.记p:a≠1或b≠2,q:a+b≠3,q:a+b=3,p:a=1且b=2,因为q p 但p ⇒q, 因此q 是p 的必要不充分条件,即p 是q 的必要不充分条件.应选B.4.(2021·北京高考)设a,b 是实数,那么“a>b ”是“a 2>b 2”的 ( )A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选D.“a>b ”推不出“a 2>b 2”,例如,2>-3,但4<9;“a 2>b 2”也推不出“a>b ”,例如,9>4,但-3<2.5.(2021·杭州高二检测)假设a,b 都是实数,那么“√a -√b >0”是“a 2-b 2>0”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选√a √b >0⇔√a >√b ⇔a>b ≥0⇒a 2>b 2,但a 2>b 2a>b ≥0,如a=-2,b=-1,故√a -√b >0是a 2-b 2>0的充分没必要要条件.6.(2021·武汉高二检测)不等式1x −1<1的解集记为p,关于x 的不等式x 2+(a-1)x-a>0的解集记为q,假设p是q 的充分没必要要条件,那么实数a 的取值范围是( )A.(-2,-1]B.[-2,-1]C.(-∞,-2]∪[-1,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)【解析】选A.由题意知p:x>2或x<1;而x 2+(a-1)x-a>0,可化为(x+a)(x-1)>0,假设-a>1,那么q:x<1或x>-a.由p 是q 的充分没必要要条件. 如图得1≤-a<2即-2<a ≤-1,假设-a ≤1,那么q:x<-a 或x>1.由p 是q 的充分没必要要条件,如图得,-a=1,综上得:-2<a ≤-1.【变式训练】已知命题p:2x x −1<1;命题q:(x+a)(x-1)<0,假设p 是q 的充要条件,那么a 的值为( ) B.-1【解析】选C.因为2xx −1<1⇔2x −x +1x −1<0⇔-1<x<1, 又因为p ⇔q,因此(x+a)(x-1)<0的解是-1<x<1,故a=1.二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·南昌高二检测)假设p:x 2-1>0,q:(x+1)(x-2)>0,那么p 是q 的 条件(填“充分没必要要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又没必要要”其中一个).【解题指南】化简p 与q,判定q 是p 的什么条件即可.【解析】p:x 2-1>0⇔x 2>1⇔x>1或x<-1,q:(x+1)(x-2)>0⇔x>2或x<-1,故q ⇒p,但p q,因此q 是p 的充分没必要要条件,因此p 是q 的充分没必要要条件.答案:充分没必要要8.已知条件p:|x-1|>a和条件q:2x2-3x+1>0,那么使p是q的充分没必要要条件的最小整数a= ________.【解析】依题意a>0.由条件p:|x-1|>a 得x-1<-a,或x-1>a,因此x<1-a,或x>1+a.由条件q:2x 2-3x+1>0,得x<12,或x>1. 要使p 是q 的充分没必要要条件,即“假设p,那么q ”为真命题,逆命题为假命题,应有{1−a ≤12,1+a ≥1,解得a ≥12. 令a=1,那么p:x<0,或x>2,现在必有x<12, 或x>1.即p ⇒q,反之不成立.答案:1【变式训练】设n ∈N +,一元二次方程x 2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .【解析】一元二次方程x 2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n ≥0⇔n ≤4.又n ∈N +,那么n=4时,方程x 2-4x+4=0,有整数根2;n=3时,方程x 2-4x+3=0,有整数根1,3;n=2时,方程x 2-4x+2=0,无整数根;n=1时,方程x 2-4x+1=0,无整数根.因此n=3或n=4.答案:3或49.已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,s 是r 的必要条件,q 是r 的充分条件,q 是s 的必要条件.现有以下命题:①s 是q 的充要条件;②p 是q 的充分条件而不是必要条件;③r 是q 的必要条件而不是充分条件;④p 是s 的必要条件而不是充分条件;⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件. 那么正确命题序号是 . 【解析】由p 是r 的充分条件而不是必要条件,可得p ⇒r,由s 是r 的必要条件可得r ⇒s,由q 是r 的充分条件得q ⇒r,由q 是s 的必要条件可得s ⇒q,故可得推出关系如下图,据此可判定命题①②④正确.答案:①②④【变式训练】已知p,q,r 是三个命题,假设p 是r 的充要条件且q 是r 的必要条件,那么q 是p 的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选是r 的充要条件且q 是r 的必要条件,故有p ⇔r ⇒q,即p ⇒q,q p,因此q 是p 的必要不充分条件.三、解答题(每题10分,共20分)10.(2021·贵阳高二检测)命题p:x>0,y<0,命题q:x>y,1x >1y,那么p 是q 的什么条件? 【解析】p:x>0,y<0,那么q:x>y,1x >1y成立; 反之,由x>y,1x >1y ⇒y −xxy >0,因y-x<0,得xy<0,即x,y 异号,又x>y,得x>0,y<0.因此“x>0,y<0”是“x>y,1x >1y”的充要条件. 11.已知a,b,c 均为实数,求证ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【证明】①充分性.假设ac<0,则Δ=b 2-4ac>0.因此方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,设其两根为x1,x2,因为ac<0,因此x 1·x 2=c a <0,即x 1,x 2的符号相反.因此方程有一个正根和一个负根.②必要性.假设方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设其两根为x 1,x 2,不妨设x 1<0,x 2>0,那么x 1·x 2=c a <0,因此ac<0.由①②知ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.(2021·大庆高二检测)已知a,b ∈R,那么“a>b ”是“(12)a<(12)b”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.因为a>b ⇔(12)a<(12)b,因此a>b 是(12)a<(12)b的充要条件.2.(2021·珠海高二检测)已知向量a =(x-1,2),b =(2,1),那么a ⊥b 的充要条件是( ) =-12 =-1=5 =0【解析】选⊥b ⇔a ·b =0,又因为a ·b =(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2×1=2x,因此x=0,应选D.3.函数f(x)=a+sinx+√3cosx 有零点的充要条件为( )≤2 ≥-2<a<2 ≤a≤2【解析】选D.函数f(x)=a+sinx+√3cosx有零点⇔方程a+sinx+√3cosx=0有实数根⇔方程-a=sinx+√3cosx有实数根,由于-a=sinx+√3cosx=2sin(x+60°),因此-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.【触类旁通】此题改成函数没有零点的充要条件为.【解析】函数f(x)=a+sinx+√3cosx没有零点⇔方程a+sinx+√3cosx=0没有实数根⇔方程-a=sinx+√3cosx没有实数根.由于-a=sinx+√3cosx=2sin(x+60°),因此-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.因此函数f(x)=a+sinx+√3cosx没有零点的充要条件为a<-2或a>2.答案:a<-2或a>24.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),以下结论正确的选项是( )①Δ=b2-4ac≥0是那个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4ac=0是那个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4ac>0是那个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4ac<0是那个方程没有实根的充要条件.A.③④B.②③C.①②③D.①②④【解题指南】可利用Δ=b2-4ac的值判定方程根的情形,Δ=0方程有两相等实根;Δ>0方程有两不等实根;Δ<0方程无实根.【解析】选D.①对,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;②对,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;③错:Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0;④对,Δ<0⇔方程ax 2+bx+c=0无实根,应选D.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·天津高二检测)已知直线l 1:x+ay+6=0和l 2:(a-2)x+3y+2a=0,那么l 1∥l 2的充要条件是a= .【解析】由1×3-a ×(a-2)=0得,a=3或-1,而a=3时,两条直线重合,因此a=-1. 答案:-1【触类旁通】此题中“l 1∥l 2”假设换为“l 1⊥l 2”,其结论又如何呢?【解析】因为l 1⊥l 2,因此1×(a-2)+3a=0,因此a=12. 6.数列{a n }既是等差数列又是等比数列的充要条件为 .【解析】依题意,a n+1-a n =d,且a n +1a n =q(d,q 为常数),对一切正整数n 都成立,那么qa n -a n =d,因此a n (q-1)=d 对一切正整数n 都成立,故d=0,q=1,数列{a n }为常数列.由于a n =0不是等比数列,因此数列{a n }既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列{a n }是非零常数列. 答案:数列{a n }为非零常数列三、解答题(每题12分,共24分)7.求函数f(x)=ax 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的充要条件.【解题指南】解答此题需对a 分a=0和a ≠0两种情形求解.【解析】当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数,当a ≠0时,f(x)为二次函数,其图象是抛物线,对称轴方程为x=1−a a =1a -1,假设f(x)在(-∞,4]上为减函数,那么有{a >0,1a −1≥4,即0<a ≤15,综上可知,当0≤a ≤15时,f(x)在(-∞,4]上为减函数, 反之,当f(x)在(-∞,4]上单调递减时,0≤a ≤15. 因此函数f(x)在区间(-∞,4]上为减函数的充要条件是0≤a ≤15. 8.(2021·深圳高二检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n =(n+1)2+c,探讨{a n }是等差数列的充要条件.【解析】当{a n }是等差数列时,因为S n =(n+1)2+c,因此当n ≥2时,S n-1=n 2+c,因此a n =S n -S n-1=2n+1,因此a n+1-a n =2为常数.又a 1=S 1=4+c,因此a 2-a 1=5-(4+c)=1-c,因为{a n }是等差数列,因此a 2-a 1=2,因此1-c=2.因此c=-1,反之,当c=-1时,S n =n 2+2n,可得a n =2n+1(n ≥1,n ∈N *)为等差数列,因此{a n }为等差数列的充要条件是c=-1.。