函数的概念(第一课时)PPT课件

例3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(0)和f [f (0)]； 解 f(0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f(1)＝2×1＋1＝3. (2)求函数 g(x)＝01，，xx为为无有理理数数， 的定义域，值域； 解 x为有理数或无理数，故定义域为R. 只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}.
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念

思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进 了350km，这个说法正确吗？
不正确。
对应关系应为S=350t，其中，t A1 {t | 0 t 0.5}, s B1 {s | 0 s 175}
问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
注意： 1.区间（a,b）,必须有b>a 2.区间只能表示数集 3.区间不能表示单元素集 4.区间不能表示不连续的数集 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
1.初中学习的函数的定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
2.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数 y ax b,(a 0)
（2）正比例函数
y k , (k 0) x
（3）反比例函数 y kx, (k 0)
（4）二次函数 y ax2 bx c,(a 0)
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示 为 S=350t。

基础 梳理
解析：A.定义域不同；B.定义域不同；C.虽然自变量所用 字母不同，但两个函数的定义域和对应法则都分别相同，因此 是同一个函数；D.对应法则不同． 答案：C
思考 应用 1．怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？
解析： 由函数近代定义知， 我们要检验两个变量之间是否具有函 数关系， 只要检验： ①定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数 栏 目 集；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都 链 接 能确定唯一的函数值．
2．形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数，它的图 象为抛物线．
例如：已知f(x)＝x2＋2x＋3，函数值为6时，相对应的自变 x＝1或x＝－3 量的值为____________ ．
栏 目 链 接
基础 梳理 3 ．一般地，设 A、 B是非空的数集，如果按照某个确定的 对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：A→B就称为从集合A到集 合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函 数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 例如：正方形边长为 x，与 x的值相对应的面积为 y，把 y表 y＝x2 {x|x＞0} ； 示为 x 的函数： ____________ ；该函数的定义域为 ________ 16 {y|y＞0} ；当边长为 4 的时候，面积为 ________ 值域为 ________ ；当面 2 积为4的时候，相应的边长为________ ．
链 时，{x|a≤x≤b} 接
自测 自评 1 ． 下列各图中，可表示函数 y ＝ f(x) 的图象的只可能是 ( D )

余弦函数：y=cos(x)
正切函数：y=tan(x)
余切函数：y=cot(x)
正割函数：y=sec(x)
余割函数：y=csc(x)
函数的运算
第三章
函数的加法、减法、乘法、除法
加法：将两个函数相加，得到新的函数 减法：将两个函数相减，得到新的函数 乘法：将两个函数相乘，得到新的函数 除法：将两个函数相除，得到新的函数
函数的实际应用
第四章
函数在实际问题中的应用
数学建模：函数是数学建模的重要 工具，可以用于描述和解决实际问 题
经济问题：函数在经济学中用于描 述和预测经济现象，如供需关系、 价格波动等
添加标题
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添加标题
物理问题：函数在物理问题中广泛 应用，如力学、光学、热力学等
工程问题：函数在工程问题中用于 描述和优化设计，如结构设计、控 制系统设计等
绘制函数图像 标注关键点和特殊点 检查图像是否正确
函数图像的变换
平移变换：函 数图像沿x轴或 y轴移动
伸缩变换：函 数图像沿x轴或 y轴拉伸或压缩
旋转变换：函 数图像绕原点 旋转一定角度
对称变换：函 数图像关于x轴 或y轴对称
复合变换：以 上变换的组合， 如先平移再旋 转等
函数图像的几何意义
函数图像是函 数值的集合， 表示函数在某 一范围内的取
第二章
一次函数
定义：形如y=kx+b的函数，其中 k和b为常数
应用：广泛应用于物理、化学、生 物等学科
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：直线函数，斜率为k，截距 为b
例子：y=2x+1，y=3x-2等
二次函数

( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.

→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③

∴2aa＋＝b1＝，－1，
即ab＝ ＝12－，32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
(3)在 f(x)＝2f1x· x－1 中， 将 x 换成1x，则1x换成 x，
得 f1x＝2f(x)· 1x－1，
由fx＝2f1x· x－1， f1x＝2fx· 1x－1，
解得 f(x)＝23 x＋13.
答案
2 (1)lgx－1(x>1)
解析 (1)f56＝3×56－b＝52－b， 若52－b<1，即 b>32时， 则 ff56＝f52－b＝352－b－b＝4， 解之得 b＝78，不合题意舍去． 若52－b≥1，即 b≤32，则 ＝4，解得 b＝12.
(2)当 x<1 时，ex－1≤2，解得 x≤1＋ln 2， 所以 x<1.
当 x≥1 时， ≤2，解得 x≤8，所以 1≤x≤8.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝2，得 c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 则 2ax＋a＋b＝x－1，
2．下列给出的四个对应中： ①A＝B＝N*，对任意的 x∈A，f：x→|x－2|； ②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的 x∈A，f：x→x12； ③A＝B＝R，对任意的 x∈A，f：x→3x＋2； ④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x ＋y. 其中对应为函数的有________(填序号)．
第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B 级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．

定义域
f:x 2x1
值域
函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+1
-3
-5
-2
-3
-1
-1 f(x)2x1
0
1
1
3
2
5
3
7 对应法则
对应法则施
加的运算对
f ( 3 ) 2 （ 3 ） 象 1 5
对应法 则
运算对象
运算内容：乘以2加一
象，即y的值
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(a )f,(a 1 )
练习：
g(x) 2x3 5x2 3x2,求g(3),
h(x) | 4x|,求h(8),h(a) x2
1 r(x) 3
x5,求r(3),r(6)
x
已知函数
x 2
f
(x)


x
2

2
x
(1)求 f ( 2 ) , f的( 1值);
2
集合B中有唯一元素和A中某个元素对应
开平方
B
A
3
300
-3
2
450
-2 1
600
-1
900
求正弦
A
一对多不是映射
求平方
B
1
1
-1
一对一是映射
A
乘以2
1
2
4
-2
2
3 -3
9
3
多对一是映射
一对一是映射
集合A中任何一个元素都在B中有对应
乘以2加1
A
1
3
5
1B
2 3 4 5 6 7
集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对 应，不能称为映射。

A={t|0≤t≤26} B={h|0≤h≤845}
§1.2.1函数的概念
(2) 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年 的变化情况：
§1.2.1函数的概念
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（ % ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
A={1991，1992，1993,1994, 1995, 1996, 1997，1998,1999,2000,2001} B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
记作: y=f(x),xA
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).

(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B 中元素对应．
24
[解] (1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素 ±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一 元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
43
1．判断两个函数相同 函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此， 判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完 全一致的两个函数才算相同．
44
2．对函数定义的再理解 (1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不 存在．如 y＝ 11－x＋ x－3就不是函数；集合 A 中的元素是实数，即 A≠∅且 A⊆R.
5若 fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题 有意义.
34
2．下列函数的定义域不是 R 的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝x2
C．y＝1x
D．y＝2x
C [A 中为一次函数，B 中为二次函数，D 中为正比例函数，定
义域都是 R；C 中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是 R.]
35
17
(1)C [选项 A 中，由于 f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝x 两函数对应法则不 同，所以它们不是同一函数；
选项 B 中，由于 f(x)＝x 的定义域为 R，g(x)＝xx2的定义域为{x|x≠0}， 它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项 C 中，f(x)＝3 x3＝x，g(x)＝x 的定义域和对应法则完全相同， 所以它们是同一函数；

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第三章 函数的概念与性质
(2)①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为 R. 不相等． ②对应关系不同，f(x)＝ 1x，g(x)＝ x.不是同一个函数． ③定义域、对应关系都相同．同一个函数． ④对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.不是同一个函数． 【答案】 (1)B (2)③
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第三章 函数的概念与性质
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函 数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示 自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形．
(－∞，4)．
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第三章 函数的概念与性质
已知全集 U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁UA 用区间表示为 ________． 解析：∁UA＝{x|x≤1 或 x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3， ＋∞)． 答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
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第三章 函数的概念与性质
下图中能表示函数关系的是________．
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第三章 函数的概念与性质
⑤若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问 题有意义． (2) 第 (1) 题 易 出 现 化 简 y ＝ x ＋ 1 － 1－x ， 错 求 定 义 域 为 {x|x≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．

3.1.1 函数的概念
函数符号y＝f(x) 是由德国数学 家莱布尼兹在18世纪引入的． 显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2 中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的 真子集;在问题4中,值域 B4={0.3669,0.3681,0.3817, 0.3569,0.3515, 0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集 B4={r｜0＜r≤1}的真子集．
3.1.1 函数的概念
一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于 集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应 关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函 数 (function).记作: y=f(x),xA.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 (range).
3.1.1 函数的概念
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义 域是R,值域也是R,对应关系f把 R中的任意一个数 x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx当a＞0时,B { y| 4ac b2 } ;当a<0时, 4a
3.1.1 函数的概念
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是 R,值域是B={y | y≤25}.对应关系f把R中的任意一个 数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10}, 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝ x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0<x<10},y的 取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长 方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).