人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的表示法》PPT课件

[ 规 律 方 法 ] 1. 若 已 知 函 数 的 类 型 ， 可 用 待 定 系 数 法 求 解．由函数类型设出函数解析式，再利用题目中的条件列方 程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数． 2．对于已知f[g(x)]的表达式，求f(x)常用“换元法”，需特 别说明一点：需保证换元前后自变量的范围不变！否则易弄 错函数的定义域．
互动探究 探究点1 判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 提示 作垂直于x轴的直线，并沿x轴平移，如果图象始终与 此直线至多有一个交点，则此图形可以作为函数的图象，否 则不能作为函数的图象． 探究点2 任何一个函数都能用解析法表示吗？ 提示 不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因 素影响较大的函数关系就无法用解析法表示.
解 法一 由已知条件得f(0)＝1， f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 设x＝y，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二 令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 将－y用x代换到上式中得f(x)＝x2＋x＋1. [题后反思] 当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交 替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求 出函数解析式．具体取什么特殊值，根据题目特征而定．需要说 明的是依据这样的关系式不是都可以求出函数解析式的．
【活学活用2】 (1)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3)． (2)若二次函数f(x)满足：f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
解 (1)法一 令 x－1＝t，则 x＝t＋1， ∴g(t)＝g(x－1)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8， ∴g(x)＝2x＋8，∴g(3)＝2×3＋8＝14. 法二 令 x－1＝3，则 x＝4，∴g(3)＝2×4＋6＝14.

a23a0 0a3
1 . 下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) , 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )
A .f(x )x ,g (x )( x)2
B .f(x)x,g(x)x2
C .f(x)x,g(x)3x3
D .f(x ) |x 2 1 |,g (x ) |x 1 |
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
（2）函数的三要素： ， ，
。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ，
。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方 面的训练 .
3x
f(2)4p25 p2 63
设 x1x21 则 x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 1
f(x1)f(x2)2 3(x1x 21 1x2x 22 1)23(x1
x2)
x1x2 1 x1x2

0
f(x1)f(x2)
即 函 数 f ( x ) 在 ( , 1 ) 上 是 增 函 数 .
问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑

(2)用描点法可以作出函数的图象如图 2 所示． 由图可知 y＝2x (－2≤x≤1，且 x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞).
画函数图象的两种常见方法 (1)描点法： 一般步骤： ①列表——先找出一些(有代表性的)自变量 x，并计算出与这些自变量相对应的函数 值 f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
关于图象变换的常见结论有哪些？ 提示：(1)y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称． (2)y＝f(x)与 y＝－f(x)的图象关于 x 轴对称． (3)y＝f(x)与 y＝－f(－x)的图象关于点(0，0)对称． (4)y＝f(|x|)是保留 y＝f(x)的 y 轴右边的图象，去掉 y 轴左边的图象，且将右边图象沿 y 轴对折而成． (5)y＝|f(x)|是保留 y＝f(x)的 x 轴上方的图象，将 x 轴下方的图象沿 x 轴对折且去掉 x 轴下方的图象而成．
(3)函数 y＝x2 的图象向右平移 3 个单位可得函数 y＝(x＋3)2 的图象．( × )
提示：函数 y＝x2 的图象向右平移 3 个单位可得函数 y＝(x－3)2 的图象．
(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．( × )
提示：有些函数的图象不是一条连续不断的曲线，如 f(x)＝1x 的图象就不是连续的 曲线．
代换等式中的
x，构建关于
f(x)和
1 fx
的方
程组解方程组求出 f(x).
【解析】由题意知函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2f1x ＋3x，即 f(x)－2f1x ＝3x，用1x 代换

知识点一 列举法 把集合中的元素_一__一__列__举_出来，并用大括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做__列__举__法__．例如，方程(x＋1)(x－1)＝0 的解集 可以表示为{－1,1}．
1．列举法表示集合时的 4 个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物．
(2)可以写成{x|x＝3n＋1，n∈N*，且 1≤x≤100}，或{100 以内 被 3 除余 1 的正整数}．②
(3)可以写成{(x，y)|x±y＝0}．③ (4)可以写成{正方形}．④
①容易错写成{1,1}或{x＝1，y＝1}等，要注意代表元素的选取． ②若用描述法，一定要把限制条件 n∈N*，x＝3n＋1,1≤x≤100 都写出来． ③容易错写成{y＝x}． ④用描述法表示集合有两种，即文字描述和符号描述．
(2)审题要讨论 a、b 的符号． (3)元素是点．
类型二 描述法表示集合 例 2 用描述法表示下列集合，并指明是有限集还是无限集． (1)大于 5 小于 10 的所有有理数组成的集合； (2)被 3 除余 2 的正整数组成的集合； (3)反比例函数 y＝x－2 1的自变量的值组成的集合； (4)三角形的全体组成的集合．
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝
{(1,2)}，N＝{1,2}
A．①
B．②
C．③
D．以上都不对
解析：①M 表示点(3,2)，N 表示点(2,3); ②由元素的无序性知是 相等集合； ③M 表示一个元素点(1,2)，N 表示两个元素分别为 1,2.
答案：B
【解析】 (1)设元素为 x，则大于 5 小于 10 的有理数为 5<x<10 且 x∈Q，组成的集合用描述法可表示为{x∈Q|5<x<10}；无限集．

1．2 函数及其表示
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻
研习新知
•新知视界
• 1．分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
• 分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集．
• ①映射的三要素：原象、象、对应关系； • ②A中元素不可剩，B中元素可剩；
• ③多对一行，一对多不行； • ④映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射
• 其次，要准确把握映射与函数的关系：
• (1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上 引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射 的语言来叙述函数的问题．
• (2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言， A和B不一定是数集．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
x－1

－x
x<1
x≥1
＝(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
，则f(f
解析：f(1)＝ 1－1＝0， ∴f(f(1))＝f(0)＝0.
答案：A
3．设A＝{0,1,2,4}，B＝ 12，0，1，2，6，8
下列对应关系能构成A到B的映射的是(f：x→(x－1)2
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已

❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．

研探新知
有限集、无限集
设里程为x 公里，票价为y 元，则：
2 ， 0 x 5
y

3 4
5 x 10
10 x 15
5 15 x 20
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研探新知
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思考3: 该函数用列表法怎样表示？
里程x （公里）
票价y （元）
（0，5] 2
（5，10] （10，15] （15，20]
3
4
5
研探新知
思考4: 该函数用图象法怎样表示？
y
5 4 3 2 1
O
5 10 15 20 x
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研探新知
思考5: 上面的函数称为分段函数,一般地，分段函数的解析式有
什么特点？试举例说明。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写
函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分
别注明各部分的自变量的取值情况。
2, 0 x 5,
y

3,5 x 10, 4,10 x 15,
5,15 x 20.
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课堂练习
1 、设周长为20cm 的矩形的一边长为x cm，面积为S cm 2,那么 x 与S 的对应关系是否为函数？若是,试用适当的方法表示出来。
2 、国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20 ，付邮资
80分，超过20 而不超过40 付邮资160分，每封 （0＜x ≤100）
的信函应付邮资为多少？（单位：分）
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课堂小结 理解函数的三种表示方法，在具体的实际问

答案
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重点突破
题型一 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； 解 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1) 所示.
解析答案
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又∵f[f(x)]＝4x－1，∴a2x＋ab＋b＝4x－1，
即aa2b＝＋4b，＝－1，
a＝2， 解得b＝－13
或ab＝ ＝－ 1. 2，
∴f(x)＝2x－13或 f(x)＝－2x＋1.
解析答案
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(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x). 解 ∵f(x)是二次函数， ∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1，得c＝1， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x. 左边展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
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栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
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知识点 函数的三种表示方法
自主学习
表示 法
解析
再由表知x＝1.
解析答案
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3.作出下列函数图象并求其值域. (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3). 【解析】(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点 (如图①)，由图象知，y∈Z.
(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)， 由图象知，y∈[－5,3).
因忽略函数的定义域而出错
复习课件
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法课 件新人教A版必修1
2021/4/17
高中数学第一章集合与函数概念122函数的表示法第1课时 函数的表示法课件新人教A版必修1
1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
目标定位
1.掌握函数的三种表示方 法：解析法、图象法、列表 法. 2.会根据不同的需要选择恰 当方法表示函数.
联系
解析、列 表和图象 三法各有 优缺点， 面对实际 问题时根 据需要恰 当选择
2.作函数图象时应注意以下几点 (1)在定义域内作图. (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线 来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标 轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
系.
2.对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对 应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域. (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散 的点. (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选 取的自变量要有代表性.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示.( ) (2)一个函数可以用不同的表示方法来表示.( ) (3) 函 数 的 图 象 一 定 是 定 义 区 间 上 一 条 连 续 不 断 的 曲 线.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)×

1997 73 142.7
③下图是我国人口出生率变化曲线．
[解析] 它们都表示函数，其中①是用解析法，②是 用列表法，③是用图象法表示函数关系的．
函数的三种表示方法
例 1 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求 售出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象 法、解析法表示出来.
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线 来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标 轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心 点．
练习2
(1)(2016·潍坊高一检测)y＝x＋|xx|的图象是图中的( )
(2)作出下列函数的图象，并指出其值域． ①y＝x2＋x(－1≤x≤1)． ②y＝2x(－2≤x≤1，且 x≠0)．
(2)可设 f(x)＝ax＋b，(a≠0) 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3， ∴aa2b＝＋4b，＝3， 解得ab＝ ＝21， ， 或ab＝＝－－23，. 故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
[思路分析] (1)画函数的图象时首先要注意的是什么？ (2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？
[解析] (1)列表：
x
0
1 2
1
3 2
2
y12345
当 x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观 察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表
x2345…
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数 y＝2x的一部分，观察

5．函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的定义域是_[_－__1_，__0_) __∪__(0_，__2_]_，值域是_[－__1_，__1_)_．
探究点一 函数的表示方法 某同学购买 x(x∈{1，2，3，4，5})张价格为 20 元的 科技馆门票，需要 y 元．试用函数的三种表示方法将 y 表示成 x 的函数．
[变条件]画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或 x<－1)． 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或 x<－1)是抛物线 y＝x2 －x 去掉－1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图(2)．
作函数图象的基本步骤 (1)列表：取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列 表表示； (2)描点：在平面直角坐标系中描出表中相应的点； (3)连线：用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图 象.
3.作出下列函数的图象： (1)y＝x＋2，|x|≤3； (2)y＝x2－2，x∈Z 且|x|≤2.
2．y 与 x 成反比，且当 x＝2 时，y＝1，则 y 关于 x 的函
数关系式为( C )
A．y＝1x
B．y＝－1x
C．y＝2x
D．y＝－2x
3．若 f(x＋2)＝2x＋3，则 f(3)的值是( C )
A．9
B．7
C．5
D．3
4．已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于___3_____． x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3
第一章 集合与函数概念
1 . 2 . 2 函数的表示法
第 1 课时 函数的表示法
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．2．会 根据不同的需要选择恰当方法表示函数．