集合与函数概念复习PPT课件

新课标A版数学必修①·人教A 版第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性【学习目标】1.理解单调性的概念.2.会判断函数在某个区间上的单调性.3.会求函数的单调区间.【核心提示】重点：函数单调性的定义.难点：函数单调性的判断.【学法指导】1.先通过对已熟悉的数图象的分析直观感知升降变化，再进一步通过对应值表量化这种变化，进而抽象出单调性的概念.2．结合例题了解由图象确定单调区间及判断数在对应区间上单调性的方法.3.易错点：讨论单调区间时，忽略定义域.基础学习探究1 函数的单调性1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x的增大，y的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2.画出下列函数的图象,观察其变化规律：（1）f(x) = x（2）f(x) = x2①从左至右图象上升还是下降______?②在区间__________上，随着x的增大，f(x)的值随着____①在区间__________上，f(x)的值随着x的增大而______②在区间__________上，f(x)的值随着x的增大而______归纳得出：函数y =x 2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有x 12＜x 22.即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数.3.y=x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？4.从上面的观察分析，能得出什么结论？【归纳】从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性.1.增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.2.减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.1. 函数的单调性增函数示意图减函数示意图注意：①函数的单调性是在定义域I内的某个区间D上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)(或(x1)>f(x2)).3．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.题型1 求函数的单调区间例1如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2）,[-2,1), [1，3）,[3,5].其中y=f(x)在[-5,-2），[1，3）上是减函数，在区间[一2，1)，[3，5]上是增函数.练习：①课本P32 练习:1—3.2.设f(x)在R 上是减函数,则()A.f(1)>f(2)B.f(-1)<f(a)C.f(0)<f(a)D.f(1)<f(2)3.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是()A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4]【解析】选A.【解析】选C.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是()A.y=−1x B.y=x C.y=x 2 D.y=1-x【解析】选D.4.已知(a,b)是函数y=f(x)的单调增区间,且x1,x 2∈(a,b),若x1<x2,则有()A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2) D.以上都正确5.函数f(x)=x2+2x+1的单调递减区间是________.【解析】选A.【解析】(-∞,-1).题型2 函数单调性的证明例2 物理学中的玻意耳定律P= kV （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强P 将增大. 试用函数的单调性证明之.4.判断（或证明）函数单调性的步骤①取值：设x1，x2∈D，且x1<x2.②作差、变形：作差f(x1)－f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.④判断：根据定义作出结论.练习：1. 课本P 32 4.2. 证明函数f(x)= ,x∈(-∞,0)是减函数.1x2.证明函数f(x)= ,x∈(-∞,0)是减函数.【证明】设x 1,x 2∈(-∞,0)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)= 因为x 1,x 2∈(-∞,0),所以x 1·x 2>0,又x 1<x 2,所以x 2-x 1>0,则>0,所以f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),故f(x)= 在(-∞,0)上是减函数.1x211212x x 11,x x x x --=⋅2112x x x x -⋅1x【规律总结】用定义证明函数单调性的变形技巧(1)因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解.(2)通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解.(3)分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.-11021x y例3 作出函数f(x)=-x 2+2|x|+1的图象并指出它的的单调区间及增减性.解：函数在区间(-∞,-1]和(0,1]上是增函数.函数在区间(-1,0]和(1,-∞)上是减函数.作业：课本P 39习题1—2y =f(x)y =−f(x)y =kf(x)y =1f(x)y =f(x)(f(x)>0)y =f x +k y =[f x ]2，ቊk >0，f(x)k <0，f(x)，ቊf(x)>0，f(x)f(x)<0，f(x)y =f[g x ]y =f x +g(x)同增为增，同减为减.增增、减减为增，增减、减增为减.常见函数单调性练：作出函数f(x)=ቊ−x −3,x ≤1(x −2)2+3,x >1的图象，并指出函数的单调区间.由图可知,函数的单调减区间为(-∞，1]和(1，2)；单调增区间为[2，+∞).解:f(x)=ቊ−x −3,x ≤1(x −2)2+3,x >1的图象如图所示：题型2 函数单调性的应用 1. 已知函数f(x)=ax 2-2x+2.(1)若f(x)的单调减区间为(-∞,4),求a 的取值范围.(2)若f(x)在区间(-∞,4)上为减函数,求a 的取值范围.解:(1)由题意知a 0,1a .144,a⎧⎪=⎨=⎪⎩＞得(2)由f(x)在区间(-∞,4)上为减函数,说明(-∞,4)只是函数f(x)的一个减区间.当a=0时,f(x)=-2x+2在(-∞,4)上单调递减,故成立.当a≠0时,由得0<a≤ .综上可知0≤a≤ .a 0,14,a ⎧⎪⎨≥⎪⎩＞14142.已知函数f(x)=cx−1x+1(c 为常数),且f(1)=0.(1)求c 的值.(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数.解:(1)因为f(1)= =0,所以c=1,即c 的值为1.c 12-x 121x 1x 1-=-++(1)(1)x 1x 1---++()()122112x x 112[]20x 1x 1x 1x 1--=⋅++++＜，1222(2)f(x)= ,在[0,2]单调递增,证明如下:任取x 1,x 2∈[0,2],且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)= = 即f(x 1)<f(x 2),所以,f(x)在[0,2]上单调递增.【解析】设-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)= 因为-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0, (x 12-1)(x 22-1)＞0,又a>0,所以f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在(-1,1)上为减函数.22x 1x 1---()()()()2112x 1x 1x 1x 1----1212ax ax ()()2212121222221212a x x x x 1ax x ax ax x ax -+--+==，4.讨论函数f(x )=ax x 2−1(a >0)在(-1,1)上的单调性.(2)函数在(0，2)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2<2，则f(x 1)-f(x 2)= 因为0<x 1<x 2<2，所以0<x 1x 2<4，所以x 1x 2-4<0，x 1-x 2<0，121244x x x x +--()()()122112112244x x x x x x (1)x x x x =-+-=--()121244x x ()x x =-+-()121212x x 4x x x x -=-解:(1)把(1,5)代入函数f(x)得f(1)=1+m =5,解得m =4.5.已知函数f(x )=x +m x ,且此函数图象过点(1,5).(1)求实数m 的值.(2)判断函数f(x )在(0,2)上的单调性?并用定义证明你的结论.【规律总结】函数单调性应用的两个关注点(1)单调性的定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.课堂小结1.知识归纳:●判断（或证明）函数单调性的步骤。