2018版高中数学苏教版必修一学案：3.4.1 第2课时 用二分法求方程的近似解

第2课时用二分法求方程的近似解明目标、知重点 1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点．从而求得方程的近似解．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．[情境导学]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根，如何求得方程的根？探究点一二分法的概念思考1在上一节课例3中，我们已经知道函数f(x)＝ln x＋2x－6存在零点，那么如何找出这个零点？答我们可以将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，可以得到零点的近似值．思考2上节课，我们已经知道f(x)的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？答取区间(2,3)的中点2.5.思考3区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？答计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．思考4假设f(2.5)＝0说明什么？答若f(2.5)＝0，则2.5就是函数的零点．思考5如何进一步的缩小零点所在的区间？答再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．这样一来，零点所在的范围越来越小了．思考6若给定精确度0.1，如何选取近似值？答当精确度为0.1时，如果求得的区间(a，b)中，a，b的值精确到0.1的近似值都为c，则c为所求的近似值．小结二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．探究点二二分法求函数零点近似值的步骤思考1对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？答不能．因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.思考2通过对函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点近似值的探索过程，你能总结用二分法求一般函数f(x)零点近似值的步骤吗？答用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；2．求区间(a，b)的中点c；3．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；4．判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确到0.1)解原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：x 012345678…f(x)＝2x＋3x－7－6－2310214075142273…观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5)．再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)．由于1.375与1.437 5精确到0.1的值都为1.4，所以，原方程的近似解可取为1.4.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练1利用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．解方程2x＋x＝4可以化为2x＝4－x.分别画函数y＝2x与y＝4－x的图象，由图象可以知道，方程2x＋x＝4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解．设f(x)＝2x＋x－4，利用计算器计算得：f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，f(1.375)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.375,1.5)，f(1.437 5)>0，f(1.375)<0⇒x1∈(1.375,1.437 5)．因为1.375,1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，所以此方程的近似解为1.4.探究点三用二分法求方程的近似解思考如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？答对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．例2 求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确到0.1)解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有根，记为x0.取2与3的中点2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的中点2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)，因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为2.4.反思与感悟“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．跟踪训练2借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．(精确到0.1)解原方程即x＋lg x－3＝0，令f(x)＝x＋lg x－3，用计算器可算得f(2)≈－0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)·f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2,3)内有一个解．下面用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．取区间(2,3)的中点x1＝2.5，用计算器可算得f(2.5)≈－0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3)．再取区间(2.5,3)的中点x2＝2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5,2.75)．同理可得x0∈(2.5,2.625)，x0∈(2.562 5,2.625)．由于2.625与2.562 5精确到0.1的值都为2.6，所以原方程的近似解可取为2.6.1．下面关于二分法的叙述，正确的是________．(填序号)①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循；④只有在求函数零点时才用二分法．答案②解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．答案①解析由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．答案(1.25,1.5)解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内．4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________．(精确到0.1)答案 1.437 5(不唯一)解析因f(1.375)·f(1.437 5)<0，且由表知1.437 5与1.375精确到0.1的值都是1.4，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.437 5.[呈重点、现规律]1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.一、基础过关1．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε说法正确的是________．(填序号) ①ε越大，零点的精确度越高； ②ε越大，零点的精确度越低； ③重复计算次数就是ε； ④重复计算次数与ε无关． 答案 ②解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低． 2．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间________． ①(18，14)；②(14，12)；③(12，1)；④(1,2)． 答案 ③解析 f (18)＝－154<0，f (14)＝－52<0，f (12)＝－1<0，f (1)＝1>0，f (2)＝4>0，∴函数零点落在区间(12，1)上． 3．在用二分法求函数f (x )零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是________．①[1,4]；②[－2,1]；③[－2,2.5]；④[－0.5,1]． 答案 ④解析 因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]、[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有④在其中，故答案为④. 4．下列关于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]的叙述中，正确的个数为________． ①若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则(x 0,0)是f (x )的一个零点； ②若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；③函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值． 答案 0解析 ∵①中x 0∈[a ，b ]且f (x 0)＝0，∴x 0是f (x )的一个零点，而不是(x 0,0)，∴①错误；②∵函数f (x )不一定连续，∴②错误；③方程f (x )＝0的根一定是函数f (x )的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．5．已知函数f (x )的图象是不间断的，x 、f (x )的对应关系见下表，则函数f (x )存在零点的区间有________．答案 [2,3]，[3,4]，[4,5]解析 由于f (2)f (3)＝5×(－3)＝－15<0，f (3)f (4)＝(－3)×10＝－30<0，f (4)f (5)＝－50<0，所以函数f (x )存在零点的区间有[2,3]，[3,4]，[4,5]．6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋ln ⎝⎛⎭⎫x ＋12的零点时，第一次经计算f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 f ⎝⎛⎭⎫14 解析 由于f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上存在零点，所以x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12， 第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x 1＝0＋122＝14.7．确定函数12()log 4f x x x =+-的零点所在的区间．解 (答案不唯一)设112log y x =，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点， 当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，f (4)<0， 当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，f (8)＝1>0， ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．二、能力提升8.利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内________． ①(0.6,1.0)；②(1.4,1.8)；③(1.8,2.2)；④(2.6,3.0)． 答案 ③解析 设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．9.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调函数． f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.10．方程x 5－5x 2－lg x ＝0在区间(1,10)内的实数解的个数是________． 答案 1解析 设f (x )＝x 5－5x 2－lg x ， 由于f (1)＝－4<0，f (10)>0，而函数f (x )＝x 5－5x 2－lg x 在(1,10)内单调， 那么方程在区间(1,10)内的实数解的个数为1个．11．利用计算器， 求方程x 2－6x ＋7＝0的近似解(精确到0.1)． 解 设f (x )＝x 2－6x ＋7，通过观察函数的草图得：f (1)＝2＞0，f (2)＝－1＜0，∴方程x 2－6x ＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x 1， ∵f (1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x 1＜2，又∵f (1.5＋22)＝f (1.75)＝－0.437 5＜0，∴1.5＜x 1＜1.75，如此继续下去，得f (1)＞0，f (2)＜0⇒x 1∈(1,2)，f (1.5)＞0，f (2)＜0⇒x 1∈(1.5,2)， f (1.5)＞0，f (1.75)＜0⇒x 1∈(1.5,1.75)，f (1.5)＞0， f (1.625)＜0⇒x 1∈(1.5,1.625)f (1.562 5)>0，f (1.625)<0⇒x 1∈(1.562 5,1.625)∵1.562 5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x 2－6x ＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称； 第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币． ∴最多称四次． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根． 证明 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c .∵f (0)>0，∴c >0，则a >0.在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上至少各有一个零点，又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.。

第2课时用二分法求方程的近似解课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到题目要求；否则重复(2)～(4)．一、填空题1．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.2．下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．(填序号)3．对于函数f (x )在定义域内用二分法的求解过程如下：f (2 007)<0，f (2 008)<0，f (2 009)>0，则下列叙述正确的是________．(填序号) ①函数f (x )在(2 007,2 008)内不存在零点； ②函数f (x )在(2 008,2 009)内不存在零点；③函数f (x )在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个； ④函数f (x )在(2 007,2 008)内可能存在零点．4．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间________．5．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0,2]上的零点有____个．6．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则下列各式中正确的是________．(填序号) ①f (x 1)<0，f (x 2)<0；②f (x 1)<0，f (x 2)>0； ③f (x 1)>0，f (x 2)<0；④f (x 1)>0，f (x 2)>0.7．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]； ⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).8.x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.70)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确到为0.1)．二、解答题log x＋x－4的零点所在的区间．10．确定函数f(x)＝1211．设函数g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.(1)证明：g(x)在区间(－1,0)内有一个零点；(2)求出函数g(x)在(－1,0)内的零点(精确到0.1)．能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为________．13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？1．函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使f (x )＝0的实数；从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标；若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相切，则零点x 0通常称为不变号零点； 若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相交，则零点x 0通常称为变号零点．注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f (a )·f (b )<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．2．关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f (a )·f (b )的值比较容易计算且f (a )·f (b )<0. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f (x )＝g (x )的根，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，函数F (x )的零点即为方程f (x )＝g (x )的根．2．5.2 用二分法求方程的近似解作业设计 1．0.625解析 由题意知f (x 0)＝f (1＋22)＝f (1.5)，代入解析式易计算得0.625.2．②③④解析 由①中的图象可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即①中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义． 3．④4．(1.25,1.5)解析 ∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25.又∵f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0， 则方程的根落在区间(1.25,1.5)内． 5．1解析 f (x )＝(x －1)2(x ＋1)＝0，x 1＝1，x 2＝－1，故f (x )在[0,2]上有一个零点． 6．②解析 ∵f (x )＝2x－1x －1，f (x )由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1， ＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f (x 1)<f (x 0)＝0， 又∵x 2>x 0，∴f (x 2)>f (x 0)＝0. 7．③④⑤ 8．[2,2.5)解析 令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)． 9．0.7解析 因为0.70与0.6875精确到0.1的近似值都为0.7. 10．解 (答案不唯一)设y 1＝12log x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．(1)证明g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.∵g(－1)＝2>0，g(0)＝－3<0，∴g(x)在区间(－1,0)内有一个零点．(2)解g(－0.5)>0，g(0)<0⇒x∈(－0.5,0)；g(－0.5)>0，g(－0.25)<0⇒x∈(－0.5，－0.25)；g(－0.5)>0，g(－0.375)<0⇒x∈(－0.5，－0.375)；g(－0.437 5)>0，g(－0.375)<0⇒x∈(－0.437 5，－0.375)．因此，x≈－0.4为所求函数g(x)的零点．12．0解析∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。

第2课时用二分法求方程的近似解1.结合实例，了解二分法求方程近似解的思想．2.理解函数与方程相互转化的数学思想方法，会用二分法求简单的函数零点(方程的根)的近似解．3.能够正确理解精确度与精确到的区别，掌握求方程近似解的一般方法．[学生用书P63]1．二分法条件(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)<0方法不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．()(3)二分法只可用来求函数的零点．()★★答案★★：(1)×(2)×(3)×2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以选取的初始区间是() A．[－2，1]B．[－1，0]C．[0，1] D．[1，2]★★答案★★：A3．下列函数中，必须用二分法求其零点的序号是________． ①y ＝x ＋7；②y ＝5x －1； ③y ＝log 3x ；④y ＝⎝⎛⎭⎫12x－x . ★★答案★★：④4．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋ln ⎝⎛⎭⎫x ＋12的零点时，第一次经计算f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．★★答案★★：⎝⎛⎭⎫0，12 f ⎝⎛⎭⎫14二分法概念的理解[学生用书P64]下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是________．(填序号)【解析】 题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x 轴的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件，判断是否可以使用二分法．【★★答案★★】 ②使用“二分法”所具备的条件“二分法”与判定函数零点的知识密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．1.(2019·苏州质检)下列图中4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是________(填序号)．解析：①有一个零点为区间左端点，零点右侧函数值为正，左侧无函数值；②有零点但零点左右函数值同号，④的图象在R上不连续，它有三个零点均不是变号零点，③的图象连续且4个零点均为变号零点，可使用二分法．★★答案★★：①②④用二分法求方程的近似解[学生用书P65]用二分法求方程x2－5＝0的正的近似解(精确到0.1)．【解】设f(x)＝x2－5，则f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0.所以x2－5＝0的正根x0∈(2.2，2.4)．因为(2.2，2.4)的中点为x1＝2.3，而f(2.3)＝0.29>0，所以f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3)．再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5>0.因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2，2.25)．因为(2.2，2.25)的中点为x3＝2.225，f(2.225)≈－0.049<0.因为f(2.225)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.225，2.25)，取(2.225，2.25)中点，x4＝2.237 5，f(2.237 5)≈0.006>0.因为f(2.225)·f(2.237 5)<0，所以x0∈(2.225，2.237 5)．因为2.225与2.237 5精确到0.1的近似值均为2.2.所以所求近似解为2.2.利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(a，b)；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．2.方程为2x＝3－x，用二分法求方程的近似解．解：如图所示，由函数y＝2x与y＝3－x的图象，可以发现，方程2x＝3－x有唯一解，并且这个解在(0，2)上，又当x＝1时，有21＝3－1＝2.所以方程2x＝3－x有唯一解x＝1.应用型问题[学生用书P65]在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？【解】如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10 km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD 中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．3.某电视台有一档娱乐节目猜物品的价格，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格．1．对二分法的理解二分法是不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．零点所在区间的变化规律(1)已知条件：函数y ＝f (x )的零点x 0∈[a ，b ]，c ＝a ＋b2.(2)零点所在区间的变化规律．(不妨设f (a )<0，f (b )>0)f (c ) 图示 零点所在区间 f (c )＝0c 就是零点 f (c )<0 (c ，b ) f (c )>0(a ，c )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．[解析] 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2， 解得b ＝4， c ＝2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0，所以方程f (x )＝x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＝f （x ）＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋4x ＋2＝x . 分别解得x ＝2，x ＝－1，x ＝－2.故应填3. [★★答案★★] 3本题易出现以下错解： 由f (－4)＝f (0)得： －4b ＋c ＋16＝c ，① 由f (－2)＝－2得： －2b ＋c ＋4＝－2，② 由①②得b ＝4，c ＝2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0，由f (x )＝x 得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2. 所以应填2.以上错解忽视了当x >0时，f (x )＝2.f (x )为分段函数，故方程f (x )＝x 表示在不同限定条件下的多个方程，忽视这一点，则会导致错误结论．1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x解析：选C .对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0，即函数f (x )＝|x |存在零点，但当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )>0，所以f (x )＝|x |的函数值非负，即函数f (x )＝|x |有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点，故选C.2．若函数f (x )在[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f (a )f (b )<0，f (a )f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>0，则( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，a ＋b 2上有零点B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上有零点C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，a ＋b 2上无零点D ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上无零点解析：选B .由f (a )f (b )<0，f (a )f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>0可知f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2f (b )<0，根据零点存在性定理可知f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上有零点．3．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间________．解析：由零点存在性定理得方程的根落在区间(1.25，1.5)． ★★答案★★：(1.25，1.5)4．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经过计算，f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．解析：由二分法得，x 0∈(0，0.5)，第二次应计算区间(0，0.5)中点处函数值的正负情况，即计算f (0.25)．★★答案★★：(0，0.5) f (0.25)5．求函数f (x )＝|x |－cos x ，x ∈(－∞，＋∞)的零点个数．解：问题等价于求方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)上根的个数．设y 1＝|x |，y 2＝cos x ，在同一坐标系内作出y 1、y 2的图象，如图． 当x >π2时，y ＝|x |>π2>1，y ＝cos x ≤1，当x <－π2，y ＝|x |>π2>1，y ＝cos x ≤1.故两函数图象只在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内有两个交点．故函数f (x )＝|x |－cos x 在(－∞，＋∞)内只有两个零点．[学生用书P 119(单独成册)])[A 基础达标]1．用二分法求函数f (x )＝2x －3的零点时，初始区间可选为( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C .f (－1)＝－52<0，f (0)＝－2<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝1>0，f (3)＝5>0，则f (1)·f (2)<0，即初始区间可选(1，2)．2．下列关于函数f (x )，x ∈[a ，b ]的判断中，正确的是( ) A ．若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则x 0是f (x )的一个零点 B ．若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0的近似值C ．函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点D ．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A .使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B 不正确；f (x )＝0的根也一定是函数f (x )的零点，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确．3．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是( )A ．(2，4)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．无法确定解析：选B .因为f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0，所以f (3)·f (4)>0，所以x 0∈(2，3)．4．用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，1.75)D ．(1.75，2)解析：选B .由f (1.25)<0，f (1.5)>0得f (1.25)·f (1.5)<0，易知函数f (x )的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f (x )的一个零点x 0∈(1.25，1.5)，即方程x 3＋3x －7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B .5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1，4]B ．[－2，1] C.⎣⎡⎦⎤－2，52 D ．⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选D .因为第一次所取的区间是[－2，4]， 所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，所以第三次所取的区间可能为⎣⎡⎦⎤－2，－12，⎣⎡⎦⎤－12，1，⎣⎡⎦⎤1，52，⎣⎡⎦⎤52，4. 6．已知二次函数f (x )＝x 2－x －6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且f (1)＝－6<0，f (4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1，4]内有零点，用二分法求解时，取(1，4)的中点a ，则f (a )＝________．解析：显然(1，4)的中点为2.5，则f (a )＝f (2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25. ★★答案★★：－2.257.根据下表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________.解析：令f (x )＝＝2.72－3＜0，f (2)＝7.39－4＞0，f (3)＝20.09－5＞0，所以f (1)·f (2)＜0，故函数f (x )的一个零点位于区间(1，2)内，即方程e x －x －2＝0的一个根所在区间为(1，2)．★★答案★★：(1，2)8．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下表，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4)；⑤(4，5)；⑥(5，6)；⑦(6，＋∞)．★★答案★★：③④⑤9．求方程x2－2x－1＝0的正的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，画出函数图象的简图．(如图所示)经计算知，f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2，3)，f(2)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2，2.5)，f(2.25)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.25，2.5)，f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.375，2.5)．f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x1∈(2.375，2.437 5)，因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的正的近似解为x1≈2.4.10．求方程x(x－1)(x＋1)＝1的所有近似解．(精确到0.1)解：原方程可化为x3＝x＋1，作出函数y＝x3及y＝x＋1的图象如图所示，易知两函数图象仅有一个公共点，即方程x3＝x＋1有且只有一个解．设f(x)＝x3－x－1，则由f(1)<0，f(2)>0可知，方程x3＝x＋1的解位于区间(1，2)内，由二分法可求得近似解为1.3.[B能力提升]1．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确到0.01时，所需二分区间的次数最少为()A．5 B．6C．7 D．8解析：选C.开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n.因为精确到0.01，所以12n<0.01，又n ∈N *，所以n ≥7，且n ∈N *，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.2．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N )上，当|a n －b n |<m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n2与真实零点a 的误差最大不超过________．解析：设a ∈⎣⎡⎦⎤a n ，a n ＋b n 2，则a n ＋b n 2－a n ＝b n －a n 2<m 2，则x 0－a ≤a n ＋b n 2－a n <m2.★★答案★★：m23．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？解：第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．所以最多称四次．4．(选做题)求方程3x ＋xx ＋1＝0的近似解(精确到0.1)． 解：原方程可化为3x －1x ＋1＋1＝0，即3x ＝1x ＋1－1.在同一平面直角坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x 与h (x )＝1x ＋1－1的简图，如图所示：因为g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1，0)且只有一个交点，所以原方程只有一解x ＝x 0.令f (x )＝3x ＋x x ＋1＝3x －1x ＋1＋1，因为f (0)＝1－1＋1＝1>0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33<0，所以x 0∈(－0.5，0)． 用二分法求解，列表如下：中点值中点(端点)函数值 取值区间 f (－0.5)<0，f (0)>0 (－0.5，0) －0.25f (－0.25)≈0.426 5>0(－0.5，－0.25)所以原方程的近似解可取为－0.4.。

用二分法求方程的近似解江苏省南菁高级中学 花敏教学目标：1、知识目标：理解用二分法求方程近似解的原理；能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

2、能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法； 在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法； 培养学生利用信息技术和计算工具的能力。

3、情感目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力； 让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。

教学重点：能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

教学难点：方程近似解所在初始区间的确定。

教学过程：一、【游戏引入】同学们，现在是幸运52现场直播，下面进行一个猜数字游戏：给定1～100这100个自然数，计算机随机出一个1～100之间的整数，通过操作键盘让同学们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”。

【讨论】1、任给一个1～100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？2、为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中。

）上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。

这种思想就是二分法。

设计意图：通过做游戏，来提高学生的学习兴趣，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想。

【感受领悟】在刚才的游戏中，我们体会到了二分法的用处，你还能列举一些二分法在实际生活中的应用吗？如：翻字典查英语单词(类似二分法)；输电线路的故障检测（如：一条电缆上有15个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？） 设计意图：通过列举实例，让学生进一步领悟二分法的思想，并感受到数学与生活的密切联系。

二、【揭示课题】我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。

如：类似3lg =+x x 的方程，我们现在不会解。

课题：用二分法求方程的近似解
教学目标
知识与技能
通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。

过程与方法
能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。

情感、态度及价值观
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

重点难点
重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

难点：恰当使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。

教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
板书设计
教学反思。

§33 用二分法求方程的近似解主备：韩梅花 审核：马佩珊 做题：姜荣华一、教学重、难点用二分法求方程的近似解；“二分法”理论的理解.二、新课导航1． 对于方程lg 3x x =-要求出这个方程的解是困难的，我们能否求出这个方程的近似解？2. 探索求方程2210x x --=近似解（精确到0.1）的方法.3．二分法：像上面这种求方程近似解的方法称为二分法．二分法的步骤：二分法是求一元二次方程近似解的常用方法，运用二分法的前提是要先判断 ．三、合作探究活动1 利用计算器，求方程lg 3x x =-的近似解．活动2 作出函数3y x =与31y x =-的图象，并写出方程331x x =-的近似解 （精确到0.1）．活动3 求方程24xx +=的近似解（精确到0.1）．变：①求证方程24x x +=在区间（1，2）上有解． ②若022=--k x x 在[]3,0上有实数根，求k 的取值范围。

四、提高拓展1．方程21lg 22x x -=的实数根的个数 ．五、知识网点§33 用二分法求方程的近似解作业班级 姓名 学号 得分 日期一、填空题1．方程2|1|x x -=的解的个数是 ．2．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是 ，该函数的零点是 ．3．已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表：则函数f(x)存在零点的区间是____ __．4．方程20xe x --=在实数范围内的解有 个．5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是 ．6．函数f (x )＝lg x ＋x －3有零点的区间(.1)k k +，其中k Z ∈，则k = ． 7．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数 ．8．若方程210x x --=在区间(,)a b （,a b 是整数，且1b a -=）上有一根，则a b += ．二、解答题9．已知函数()25x f x x =+-．（1）判断该函数的单调性；（2）说明方程250x x +-=在区间(1,2)上有实数根．10．若关于x 的方程0542511=-⋅-+-+-m x x 有实根，求m 取值范围．三、错题剖析。

让学生学会学习第三十一课时用二分法求方程的近似解【学习导航】知识网络学习要求1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2．能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．自学评价1．二分法对于在区间上连续不断，且满足()f a ⋅)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[,]a b ，验证()f a ⋅)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间(,)a b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ② 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε：即若ε<-||b a ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．【精典范例】例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）． 【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为(2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为 (2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<.如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但听课随笔让学生学会学习尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 零点所在区间区间中点函数值区间长度]3,2[ 0)5.2(>f 1 ]5.2,2[ 0)25.2(<f 0.5 ]5.2,25.2[ 0)375.2(<f 0.25 ]5.2,375.2[0)4375.2(>f0.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数lg y x =和3y x =- 的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与3y x =-的图象可以发现，方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个解在区间(2,3)内.【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程24xx +=的近似解（精确到0.1）． 【解】方程24xx += 可以化为24xx =-． 分别画函数2xy =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24x x +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.追踪训练一1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5-- 4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+听课随笔让学生学会学习【选修延伸】一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q rm m m++=++，其中0m >，求证：（1）()01mpf m <+)；（2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解． 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1mm +是区间(0,1) 内的数，且()01mpf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1mm +，1）来处理．【解】（1）2()[()()]111m m m pf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q rpm m m m =++++ 2[](1)2pm ppm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++22(1)(2)p mm m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01mpf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r=,(1)f p q r =++．①当0p >时，由（1）知()01mf m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01mf m <+,所以()f x 在（0，1mm +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1mm +,1）内有解．②当0p <时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是( ) A ．1[,)8-+∞ B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1[,1)8-2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是 ；3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是________________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试求函数()y f x =的零点；⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由．听课随笔让学生学会学习。

2.5.2用二分法求方程的近似解（2）教学目标：1．进一步理解二分法原理，能够结合函数的图象求函数的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及数形结合在实际问题中的应用．2．通过本节内容的学习，渗透无限逼近的数学思想及数学方法．教学重点：用图象法求方程的近似解；教学难点：图象与二分法相结合．教学方法：讲授法与合作交流相结合．教学过程：一、问题情境1．复习二分法定义及一般过程；2．二分法求方程近似解的前提是确定根存在的区间，如何能迅速地确定呢？二、学生活动利用函数图象确定方程lg x＝3－x解所在的区间．三、建构数学1．方程的解的几何解释：方程f(x)＝g(x)的解，就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标．2．图象法解方程：利用两个函数的图象，可精略地估算出方程f(x)＝g(x)的近似解，这就是图象法解方程．注：（1）在精确度要求不高时，可用图象法求解；（2）在精确度要求较高时，先用图象法确定解存在的区间，再用二分法求解．3．数形结合：数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微。

”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。

数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。

四、数学运用例1 利用函数图象确定方程lg x ＝3－x 的近似解．例2 在同一坐标系作出函数y ＝x 3与y ＝3x －1的图象，利用图象写出方程x 3－3x ＋1＝0的近似解(精确到0.1)．变式训练：（1）用二分法求方程3310x x -+=的近似解(精确到0.1)．（2）用Excel 求方程3310x x -+=的近似解(精确到0.1)．例3 在同一坐标系中作出函数y ＝2x 与y ＝4－x 的图象，利用图象写出方程24x x +=的近似解(精确到0.1)．练习：（1）方程lg x ＝x －5的大于1的根在区间(a ，a ＋1)内，则正整数a ＝ ．再 结合二分法，得lg x ＝x －5的近似解约为 （精确到0.1）．（2）用两种方法解方程2x 2＝3x －1．五、要点归纳与方法小结1．方程解的几何解释；2．先用图象确定范围，再用二分法求方程的近似解；3．数形结合思想．六、作业课本P 81－4，5．。