高中数学第六章推理与证明61合情推理和演绎推理612类比基础达标湘教版2-2.

6．1.1 合情推理(一)——归纳1.了解归纳的含义，能利用归纳进行简单的推理．2.了解归纳在数学发现中的作用．1．合情推理合乎情理的推理．合情推理多种多样，最常见的就是归纳和类比．2．归纳的定义由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳．3．归纳的特征归纳是由特殊到一般，由具体到抽象的推理．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳是由一般到一般的推理过程．( )(2)归纳得出的结论具有或然性，不一定正确．( )答案：(1)×(2)√2．观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________________________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)3．由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10，可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2，即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22.归纳在几何图形中的应用如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝________，a n ＝________(n >1，n ∈N *)．【解析】 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N *)．【答案】 15 3n －3归纳推理在图形中的应用策略1.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析：选B.把1，3，6，10，15，21，…依次记为a1，a2，…，则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.2．根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．解析：观察图形的变化规律可得：图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n 边各增加(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.答案：n2－n＋1归纳在不等式中的应用对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．【解】当n＝1时，21>12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23<32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25>52；当n＝6时，26>62；…归纳猜想，当n＝3时，2n<n2；当n∈N＋，且n≠3时，2n≥n2.本例中如果只算前4项，可能产生错误的猜想：当n≥2时，2n≤n2，错误的原因在于处理的项数太少．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为________________________．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜116归纳在数列中的应用已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1，2，3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n .【解】 (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31.(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1， a 3＝7＝23－1， a 4＝15＝24－1， a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n ∈N ＋)．猜想通项公式时，首先从整体形式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等运算寻找规律．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n(n ∈N ＋)．1．归纳推理具有发现新知识和探索真理的功能，在数学学习中有预测答案，探索解题思路的作用．对于较复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的方法，预测结论，从而找到解决问题的途径．2．根据归纳推理得出的结论不一定是正确的，要确定其正确性，还需要进一步验证． 3．一般来说，能够进行归纳推理的前提是：若干个特殊的结论具有相同的形式和结论，进而推广到所有的一般情形．1．给出下列推理：①由A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足||PA |－|PB ||＝2a <|AB |，得点P 的轨迹为双曲线；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为S ＝ab π；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 其中是归纳推理的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.由题意知只有②是归纳推理．2．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于( ) A ．2nB.12n (n ＋1) C ．2n －1D ．2n－1解析：选C.a 0＝1，a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2a 1＝2，a 3＝a 0＋a 1＋a 2＝2a 2＝4，a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＝8，….猜想当n ≥1时，a n ＝2n －1.3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4 ，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.[A 基础达标]1．观察数列1，5，14，30，x，…，则x的值为( )A．22 B．33C．44 D．55解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即a n＝a n－1＋n2，所以x＝30＋52＝55.2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：选C.从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.3．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：选B.由1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； …归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同． 所以123 456×9＋7＝1 111 111.5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C.设图(1)中数列1，3，6，10，…的通项为a n ，则a 1＝1，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n .所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2(n ≥2)．当n ＝1时，有a 1＝1×（1＋1）2＝1，所以a n ＝n （n ＋1）2.图(2)中数列1，4，9，16，…的通项为：b n ＝n 2. 故所给四个选项中只有1 225满足a 49＝49×502＝b 35＝352＝1 225.故选C.6．观察下列各式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析：由已知四个式子可分析规律(n＋2)2－n2＝4n＋4.答案：(n＋2)2－n2＝4n＋47．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________．解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2，4，8，16，…，故其通项公式为b n＝2n.所以当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x（2n－1）x＋2n.答案：x（2n－1）x＋2n9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n.解：因为S n＝n2·a n(n≥2)，a1＝1，所以S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝23×2.S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3.S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n （n ＋1）.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，所以S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，所以1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)． [B 能力提升]11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 … A ．809 B ．853 C ．785D ．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.12．将全体正整数排成一个三角形数阵(如图)：按照以上排列的规律，第n (n ≥3，n ∈N *)行从左向右的第3个数为________． 解析：前(n －1)行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2(个)，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋6213．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，求第五个等式． 解：由于1＝12，2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－ sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－ sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α －14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。

6．1.2 类 比基础达标 限时20分钟1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适( )． A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C2．给出下面四个类比结论 ( )． ①实数a ，b ，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0②实数a ，b ，有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；类比向量a ，b ，有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ③实数a ，有|a |2＝a 2，类比向量a ，有|a|2＝a 2④实数a ，b 有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b 有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0 其中类比结论正确的命题个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D3．三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，其中a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角 形内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为( )．A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h 答案 C4．如图(1)有面积关系S△PA1B1S△PAB ＝PA1·PB1PA·PB ，则图(2)有体积关系VP －A1B1C1VP －ABC＝________.答案 PA1·PB1·PC1PA·PB·PC 5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结论为________．解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积6．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC ，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC ，SAC ，SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解 在△DEF 中(如图)，由正弦定理得d sin D ＝e sin E ＝f sin F. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3成立． 综合提高 限时25分钟7．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ≠0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是( )．A．b5b7＞b4b8B．b7b8＞b4b5C．b5＋b7＜b4＋b8D．b7＋b8＜b4＋b5答案 C8．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比得到的结论正确的个数是()．A．0 B．1C．2 D．3解析①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1>0，但复数a与b不能比较大小．答案 C9．定义：a b，b c，c d，d a的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)则图中甲、乙运算式可表示为________．答案d b，c a10．.(2010·广东汕头)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AEEB＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．解析△ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF.∴ACBC＝S△ACES△BCE＝AEEB，类比：在三棱锥A－BCD中，过直线AB作一平面垂直于CD，并交CD于点H，则∠AHB是二面角A－CD－B的平面角，连结EH，则EH是∠AHB的角平分线．∴AEEB＝AHBH＝S△ACDS△BCD.答案AEEB＝S△ACDS△BCD11．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和S n，则有如下性质：①通项：a n＝a m＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m、n、p、q∈N＋)；③若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p(m、n、p∈N＋)；④S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．解在等比数列{b n}中，公比为q，前n项和为S n，则可以得到：①通项：b n＝b m·q n－m(真命题)；②若m＋n＝p＋q，则b m·b n＝b p·b q(m，n，p，q∈N＋)(真命题)；③若m＋n＝2p，则b m·b n＝b2p(m，n，p∈N＋)(真命题)；④S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列(真命题)．12．(创新拓展)(2011·福建)设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.分析映射①②③是否具有性质p.解a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．对于①，f1(m)＝x－y∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)．λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．∴①具有性质p.对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)．又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)不恒成立故②不具有性质p.对于③，f3(m)＝x＋y＋1，f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1 ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1) ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1.∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)③具有性质p.。

6．1.3 演绎推理6．1.4 合情推理与演绎推理的关系基础达标限时20分钟1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A ．①②③ B ．②③④ C ．②④⑤D ．①③⑤解析 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理． 答案 D2．“因对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 答案 A3．对a ＞0，b ＞0，a ＋b ≥2ab.若x ＋1x≥2x ·1x ，则x ＋1x≥2，以上推理 过程中的错误为( )．A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误答案 B4．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：________________________________________________. 小前提：_________________________________________________. 结论：_________________________________________________.答案 一次函数的图象是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线5．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足(1)f (9)＝2；(2)对∀a ，b ∈(0，＋∞)，有f (ab )＝f (a )＋f (b )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________. 解析 由题设f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b a ＝f (a )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝f (b )－f (a )．取a ＝b ＝1，得f (1)＝0.又f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝2，∴f (3)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (1)－f (3)＝0－1＝－1. 答案 －16．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属；(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃.一个标准大气压下气温升到0 ℃，冰会融解；(3)直角三角形中a 2＋b 2＝c 2，在△ABC 中AC 2＋BC 2＝AB 2，所以△ABC 是直角三角形； (4)两直线平行，同位角相等，如果∠A 和∠B 是两平行直线的同位角，那么∠A ＝∠B .解 (1)所有的金属都导电，(大前提) 树枝不导电，(小前提) 树枝不是金属．(结论)(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃，(大前提) 一个标准大气压下气温升到0℃，(小前提) 冰融解．(结论)(3)直角三角形中a 2＋b 2＝c 2，(大前提) △ABC 中AC 2＋BC 2＝AB 2，(小前提) △ABC 是直角三角形．(结论)(4)两直线平行，同位角相等，(大前提) ∠A 和∠B 是两平行直线的同位角，(小前提) ∠A ＝∠B .(结论)综合提高限时25分钟7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )．A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析 f (a )＝a 3＋sin a ＋1，f (－a )＝－a 3－sin a ＋1 ∴f (a )＋f (－a )＝2，f (－a )＝2－f (a )＝2－2＝0.答案 B8．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析 ∵x 、y 、z ＞0，∴x ＋1x ≥2，y ＋1y ≥2，z ＋1z ≥2，∴a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ≥6，因此a ，b ，c 至少有一个不小于2. 答案 C9．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：___________________________________________________________， 这个命题的真假是________________________________． 答案 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题10．在平面内，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶811．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 2≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，f (x )对一切实数x ∈R ，恒有f (x )≥0，则Δ＝4－8(a 21＋a 2)≤0， ∴a 21＋a 2≥12.(1)已知a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明． (1)解 已知a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 则a 21＋a 2＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 2＋…＋a 2n ，f (x )对一切实数x ∈R ，恒有f (x )≥0，则Δ＝4－4n (a 21＋a 2＋…＋a 2n )≤0， ∴a 21＋a 2＋…＋a 2n ≥1n.12．(创新提高)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，求出a 1，a 2，a 3，a 4，猜想{a n }的通项公式并给出证明 解 由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)．可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 2＋12a 2，解得a 2＝2，同理a 3＝3，a 4＝4，猜想a n ＝n . 证明 S n ＝12a 2n ＋12a n ①S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，(当n ≥2时)②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0， ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1，又a 1＝1，故数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等差数列， 故a n ＝n .。

6．1.1 归纳基础达标限时20分钟1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大答案 A2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，a n}的子集个数为( )A．n B．n＋1C．2n D．2n－1解析集合{a1}的子集有∅，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测n个元素的集合的子集有2n个，故选C.答案 C3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析由数塔运算积的知识易得B为真．答案 B4．n个连续自然数按规律排列下表：0 3 → 47 → 811…↓↑↓↑↓↑1 →2 5 → 69 → 10根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．解析观察特例规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数例，由2,3,4知2010到2012为↑→，故答案为↑→.答案↑→5．已知2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…， 若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为实数)，推测a ＝________，b ＝________. 答案 6 356．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．解 n ＝1,2,3,4时，S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.猜想：S n ＝nn ＋1.证明如下：1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 综合提高限时25分钟7．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 解析 当n ＝1时，值为0， 当n ＝2时，值为0， 当n ＝3时，值为2， 当n ＝4时，值为0， 当n ＝5时，值为6. 答案 C8．(2011·某某)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )． A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为 5 625，511的末四位数字为8 125,512的末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，∴52 011＝54×501＋7末四位数字为8125. 答案 D9．(2011·某某)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x3x ＋4， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x7x ＋8， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________. 解析 先求分母中x 项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n. ∴f n (x )＝x2n－1x ＋2n.答案x2n－1x ＋2n10．(2011·某某)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72， 所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)211．观察以下等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，sin 240°＋cos 270°＋sin 40°·cos 70°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34.…写出反映一般规律的等式，并给予证明． 解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)： sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°) ＝sin 2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋32sin α ·cos α－12sin 2α＝sin 2α＋34 cos 2α＋14sin 2α－32sin α·cos α＋32sin α·cos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.12．(创新拓展)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，求a 2，a 3，a 4并猜想数列的通项公式，并给出证明． 解 {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24， a 4＝2a 32＋a 3＝25，…， 所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．此猜想正确． 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项， 公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n－1)12＝n2＋12，即通项公式a n＝2n＋1(n∈N＋)．。

6.1.1 归纳
1．关于归纳推理下列说法正确的是
( )
A ．归纳推理是一般到一般的推理
B ．归纳推理是一般到特殊的推理
C ．归纳推理的结论一定是正确的
D ．归纳推理的结论不一定正确
答案 D
2．由2＋13＋1＞23，1＋35＋3＞15，3＋0.57＋0.5＞37
，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是( ) A.
c ＋b a ＋b >c a B.1＋1n ＋1>1n
C ．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则
b ＋
c a ＋c ＞b a D ．若a ＞b ＞0，c ＞0，则
b ＋
c a ＋c ＞b a
答案 D 3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________．
答案 32
4．观察下列不等式：|2＋3|≤|2|＋|3|，|(－3)＋5|≤|－3|＋|5|，|－2－3|≤|－2|＋
|－3|，|4＋4|≤|4|＋|4|，归纳出一般结论为______________________(x ，y ∈R )． 答案 |x ＋y |≤|x |＋|y |
解析 观察易发现：两个实数和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和，即|x ＋y |≤|x |＋|y |.
1．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系，前提正确，其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．
2．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，因此，由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论不一定真实，因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，
通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.。