8方差分析-单因素-固定模型

处理均方的数学期望
a a n n 2 [ E ( i . ) 2 a E ( ..2 )] i a 1 i 1 a 1 i 1
n 2 2 n a 2 (a a ) i a 1 n na a 1 i 1
a n 2 2 i a 1 i 1
F测验
若H0成立，则有：αi=0, i=1,2,…… a;此时E(MSA)=σ2； 若H0不成立，则E(MSA)>σ2,令
MS A F MSe
则当H0成立时，F ~ F(a-1, na-a)；否则F值有偏大的趋势 。因此可用F分布表对H0是否成立进行上单尾检验。
计算公式
方差分析的计算是比较繁杂的，因此常使用计算机进行计 算。公式为：
方差分析
方差分析是一种特殊的假设检验，是判断多组数据之间平 均数差异是否显著的。对多组数据若仍用前一章中的 t检验一 对对比较，会大大增加犯第一类错误的概率。例如有5组数据 要 比 较 ， 则 共 需 10 次 。 若 H0 正 确 ， 每 次 接 受 的 概 率 为 1-α=0.95,10 次都接受为 0.9510≈0.60, 因此 α′=1-0.60=0.40 ，即全 部比较中至少犯一次第一类错误的概率为 0.40，这显然是不能 接受的。
数学期望
从这两个数学期望来看，我们给 MSe 和 MSA 起的名字是有 道理的。MSe的期望是σ2，即随机误差ε的方差，说明它就是 随机误差的一个估计量；而MSA的期望是， n a 2 2

a 1 i 1

i
除了有代表随机误差的 σ2 外，还有一项是各水平主效应的 平方和，即它代表了各处理间差异的大小。
x SST x na i 1 j 1
2 ij
a
n
2 ..
x 1 2 SS A xi . n i 1 na
a
2 ..
SSe SST SSA
测验结果
MSA = 5×127.24 = 636.2, MSe = 216.5/4 = 54.125,
MS A F 11.754 MSe
xi . xi j
i 1 n
第i水平所有观察值的和
固定的表示法
1 xi . xi . n
x.. xij
i 1 i 1 a n
第i水平均值
全部观察值的和
1 x.. x.. an
总平均值
n 1 Si2 ( xij xi .) 2 第i水平上的子样方差。 n 1 i 1
用符号表示，上式可写成： SST = SSA + SSe 其中符号的意义为： SST：总平方和； SSA处理间平方和； SSe：误差平方和，或处理内平方和。
自由度分解
它们的自由度分别为 总变异自由度 an–1,
处理间变异自由度 a–1 误差变异自由度 a(n–1)，
即自由度也作了相应分解： an – 1 = a –1 + a(n – 1)
误差均方数学期望
a n a n a 1 2 E[ ij 2 i. i j n i2 .] an a i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 a n a 1 2 E[ ij n i2 .] an a i 1 j 1 i 1 2 1 ( an 2 na ) an a n 2 2 ( E ( ij ) 0, E ( ij ) 2)
方差分析的基本思想
那就是不再对数据进行一对对的比较，而是对总体的 方差进行分解，首先分离出随机误差所导致的变差，然后 再将处理所引起的变差与它相比较， 如果处理的变差明显大于随机误差，则说明各水平间的差 异不能用随机误差解释，应认为各水平间有明显差异； 否则则说明各水平间的不同可以认为是随机误差引起，即各 水平间没有差异。这样就对多组实验之间的差异一次完成了 检验，从而避免了多次检验引起的犯错误可能大大升高的问 题。
线性统计模型描述每一观察值
xij=+i+ij, i=1, 2 …… a, j=1, 2, …… n 其中：总平均数；i：i水平主效应；ij：随机误差。 要求ij ~N(0,σ 2)，且互相独立。注意这里要求各水平有共同的 方差σ 2。
固定因素和随机因素
单因素方差分析的目的就是检验各i是否均相同。 由于因素可分为固定因素和随机因素，它们会对方 差分析的过程产生不同的影响，我们分别加以讨论。
固定因素模型（例） 4种不同的配合饲料饲养 30日令的小鸡，10天后计算平均日增 重，得以下数据：
饲料
1 2 3 4
55
日增重值Xij
49 62 45 51
61
71 85
58
65 90
52
56 76
68
73 78
70
59 69
4种饲料的效果是否相同？
固定模型的统计假设
固定因素模型，因为在配合饲料中，每种饲 料的营养成份是固定的，它的效果也应是固定的，固定模型 的统计假设为： H0：αi = 0, i = 1, 2 …… a HA: αi ≠ 0, 至少对某一I
总变差分解为各构成部分之和
方差分析的基本思想，就是将总变差分解为各构成部分之和， 然后对它们作统计检验。即：
a n
2 ( x x ..) i j i 1 i 1 a
( xi j xi . xi x ..) 2
i 1 j 1
n
总变差分解为各构成部分之和
2 ( x x ..) n ( x x ..) ( x x ) ij i. ij i. 2 2 i 1 i 1 i 1 j 1 a a a n
查F分布表，得：F0.95(3, 16) = 3.24, F0.99(3, 16) = 5.29 ∵ F>F0.99，∴拒绝H0，差异极显著。即：这4种饲料的增重 效果差异极显著。
还应进行多重比较
这就是方差分析中最简单的单因素固定模型的分 析方法。对固定模型来说，如果结果是差异显著，一 般还应进行多重比较，具体方法稍后介绍。
方差分析中术语
固定因素---- 该因素的水平可准确控制，且水平固定后， 其效应也固定。例如温度，化学药物的浓度，动植物的品 系，等等。 随机因素---- 该因素的水平不能严格控制，或虽水平 能控制，但其效应仍为随机变量。农虑的因素之外，其他原因所引起的 实验结果的变化。它可分为系统误差和随机误差： 系统误差------：误差的组成部分，在对同一被测量的多次测 试中，它保持不变或按某种规律变化。它的原因可为已知， 也可为未知，但均应尽量消除。 随机误差------：误差的组成部分，在对同一被测量的多次测 试中，它受偶然因素的影响而以不可预知的方式变化。它无 法消除或修正。
处理均方的数学期望
E ( MS A ) 1 E ( SS A ) a 1 a n 1 E[ ( xi. x ..) 2 ] a 1 i 1 j 1
a 1 E[n ( i i. ..) 2 ] a 1 i 1 a n E [( i ..) ( i )] 2 a 1 i 1 a a a n 2 E[ ( i . ..) 2 ( i. ..) ( i ) ( i ) 2 ] a 1 i 1 i 1 i 1
一次比较作出判断
方差分析则是把所有这些组数据放在一起，一次比较就对 所有各组间是否有差异作出判断。如果没有显著差异，则认为 它们都是相同的；如发现有差异，再进一步比较是哪组数据与 其他数据不同。这样，就避免了使α 大大增加的弊病。
方差分析中术语
.因素---- 可能影响试验结果，且在试验中被考查的原因或原因组 合。有时也可称为因子。例如温度、湿度、药物种类等。 水平------ 因素在试验或观测中所处的状态。例如温度的不同值， 药物的不同浓度等。 处理----- 实验中实施的因子水平的一个组合。
均方
称为误差均方
SS A MS A a 1
SSe MS e a(n 1)
称为处理间均方
误差均方数学期望
E ( MSe ) 1 E ( SSe ) na a a n 1 E [ ( xi j xi . ) 2 ] an a i 1 j 1
a n 1 E [ ( i ij i i . ) 2 ] an a i 1 i 1 a n 1 E [ ( ij i . ) 2 ] an a i 1 i 1 a n 1 2 E [ ( ij 2 ij i . i2 . )] an a i 1 j 1
单因素方差分析
单因素方差分析是指我们需要研究的因素只有一个，这 一因素可以有几个不同的水平，我们的目标就是要看看这些 水平的影响是否相同。为了在有随机误差的情况下进行比较 ，各水平都应有一定数量的重复。
固定的表示法
a：因素的水平数 n：每一水平的重复数 xij：第i水平的第j次观察值。1≤i≤a, 1≤j≤n