第八章单因素方差分析

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医学统计学 -第08章方差分析

第一节方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计算过程省略)
变异来源总变异组间组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)

单因素方差分析

2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望对不同水平下总体的均值进行比较．设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分析模型常可表示为：

单因素方差分析课件

将原始数据减去1000，列表给出计算过程表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的不同水平造成。
集装箱类型
最大抗压强度
平均抗压强度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93

生物统计-8第八章单因素方差分析

01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量）和因子水平（因子的不同类别或条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析模型。模型通常包括组间差异和组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件，包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变异，如果存在多个因素引起的变异，单因素方差分析可能无法准确反映实际情况。此时需要考虑使用其他统计方法，如多元方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析的结果。
输出结果，并进行解释和解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。

第八章单因素方差分析

V 4.2 3.2 4.8
4
5
1.0
0.8 1.5
-1.3
-1.1 -0.3
1.8
3.5 11.5
4.1
6.0 29.0
3.3
2.5 18.0 总和 57.0
xi
n
xi2
j 1 2 ij
2.25
1.93
9.00
3.4
132.25
29.43
841.00 324.00
174.46 68.06
1308.50
sx MS e n
品系号
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
平均数
70.8
68.6
67.3
65.3
64.4
顺序号
1
2
3
4
5
df
k
R0.05
Rk
R0.01
Rk
2
2.95
1.165
4.02
1.588
3 20 4
3.10
1.225
4.22
1.667
3.18
1.256
4.33
1.710
5
3.25
1.284
4.40
1.738
5
单因素固定效应模型方差分析表
变异来源
处理间
平方和
自由度
均方
F
F MS A MS e
SSA
a-1
MSA
误差或处理内
总和
SSe
SST
na-a
na-1
MSe
4、平方和的简易计算方法
株号 1 2 3 I -0.4 0.3 -0.2
品 II

单因素方差分析（one-wayANOVA）

单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。

这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。

例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。

这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。

（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。

例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

第⼆步是剖析观测变量的⽅差。

⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。

据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。

第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。

3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。

4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。

第八讲-1 单因素方差分析

1~30 甲 31~60 乙 61~90 丙 91~120 丁
4个处理组低密度脂蛋白测量值
分组低密度脂蛋白测量值(mmol/L) n Xi X X2
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 … 2.59 30 3.43 102.91 367.85
降血脂新药2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 … 2.31 30 2.72 81.46 233.00
≥１
组间变异=组内变异，F=１，就没有理由拒绝H0；
组间变异＞组内变异，F＞1，F值越大，拒绝H0的理由越充分

。H0成立时，F统计量服从F分布。
F值具有组间的自由度ν1和组内的自由度 ν2。如果在给定的ν1和ν2下从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F值，这一
系列的F值呈F分布。
F分布曲线特征：
图 F分布曲线（随v1和v2的不同而不同）
v1 v2
有的，将组间自由度v1称为分子的自由度将组内自由度v2称为分母的自由度
方差分析是单侧F检验，查F临界值表，给出结论
1 组间 2 组内 F F ，P 0.05,1 , 2 0.05。
P≤0.05,拒绝H0,接受H1，样本均数不全相等; P≥0.05,不拒绝H0,不能下各样本的总体均数不全相等的结论。
3）因素的单独效应
单独效应：其他因素固定在某一水平时，因变量在同一因素不同水平间的差别。
如性别因素固定为男，10、11岁两个年龄的差异就是年龄因素的单独效应，得到年龄的单独效应。
主效应：因变量在一个因素各水平间的平均差异。
上面性别分别固定为男或女时的年龄单独效应的算术平均值为年龄因素的主效应。
• 附表5系各种v1和v2下右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F值。如查附表5，v1=3，v2=12时，F0.05 =3.49， F0.01=5.95，即表示如以v1=3（n1 =4）、v2=12（n2 =13）在一正态总体中进行连续抽样，则所得F值大于3.49的仅有5%，而大于5.95的仅有1%。

管理运筹学第8章方差分析

615如果进行一个的多因素试验不考虑交互作用完全水平组合试验总数为次若采用正交试验设计最小的试验次数为25611现有三台机器生产同规定的铝合金薄板其厚度分别服从同方差的正态分布从三台机器上各取五块斑测量其厚度对其进行方差分析求得f3292查f分a三台机器生产的薄板厚度在显著性水平095上有显著差异b三台机器生产的薄板厚度在显著性水平095上无显著差异c三台机器生产的薄板厚度在显著性水平005上有显著差异d三台机器生产的薄板厚度在显著性水平005上无显著差异个总体若符合单因子方差分析方法分析数据的假定时所检验的原假设是各总体的变异系数相等方差分析单因子方差分析是在相同方差的假定下检验多个正态总体的均值是否相等的一种统计方法即检验的原假设是三种饲料喂猪得一个月后每猪所增体重单位
• H1： 1 , 2 , , r 不全等。
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选择下属 4 个门店，分别采用丌同促销方式，对包装食品各迚行了4 个月的试验。试验结果如下：
超市管理部门希望了解： ⑴丌同促销方式对销售量是否有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
X
.j
SS B a X
j 1 a b
b

.j
X

2
SS E
X
i 1 j 1
ij
X
i.
X

2
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
4. 检验用的统计量
同样可以证明：当 H01 为真时，统计量
FA S A /( a 1 ) S e /( a 1 )( b 1 )
• 问： • （1）不同品种的平均每公顷产量是否存在显著差异？（2）任意两个品种的平均每公顷产量是否都存在显著差异？并确定适合该地区的高产小麦品种。

第八章_单因素方差分析(1)

a
如果我们只研究这 a个不同处理，则有
i 0,
且每个
是常数。
i
i 1
i i为第i个处理的平均数。
ij
是y
的试验的随机误差（也
ij
称为噪声）。固定效应模型
我们假定ij相互独立且服从正态分布N(0, 2)。
因此，方差分析假定yij～N( i , 2 ),这是方差分析的条件。
❖ （三）因素处理效应和实验模型的分类
因此，两两 t检验的精确性有待提高。
正确答案：
进行关于 a(a 3)个样本平均数差异的假设检验，应使用一种更为合理的统计分析方法－方差分析。
❖ 二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性的一种统计方法。
2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。
3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。
4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。
答：常采用第五章里讲的t检验法。
现在，如何进行a 个样本的平均数差异的假设检验（a 3）？
某人答：两两进行t检验。
评论：这种方法是不行的。
主要原因有三：
原因（1）：检验的工作量大
当有a个样本平均数，两两组合，就有a(a 1) 个平均数的差。 2
例如，a 10时，就有109＝45个平均数的差。 2
yi•
1 n
yi•表示第i个处理所有数据的平均值

i第八章单因素方差分析

幻灯片1【例】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。

试判定这5个品系的株高是不是存在显著性不同。

5个小麦品系株高(cm)调查结果幻灯片2第八章单因素方差分析One-factor analysis of variance幻灯片3本章内容第一节方差分析简述第二节固定效应模型第三节随机效应模型第四节多重比较第五节方差分析应具有的条件幻灯片4第一节方差分析简述一、方差分析的一样概念一、概念方差分析（ analysis of variance，ANOVA）：是同时判定多组数据平均数之间不同显著性的统计假设查验，是两组数据平均数不同显著性t 查验的延伸。

ANOV A 由英国统计学家R.A.Fisher首创，用于推断多个总体均数有无差异。

幻灯片5单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包括一个因素(factor)的方差分析。

单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素有a个水平(处置)，每一个水平有n次实验重复，如此的实验称为单因素实验。

水平(level)：每一个因素不同的处置(treatment)。

幻灯片6方差分析Analysis of Variance （ANOVA )幻灯片7【例】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，称量每只幼仔的诞生重，结果如下。

判定不同窝的动物诞生重是不是存在显著性不同。

4窝动物的诞生重单位：g幻灯片8二、单因素方差分析的数据格式：32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.50027.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.22533.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.02534.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.4501 2 3 4 和平均数Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ窝别动物号因素也称为处理因素（factor ）（名义分类变量），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。

一个因素（水平间独立） ——单向方差分析（第八章）两个因素（水平间独立或相关）——双向方差分析（第九章）一个个体多个测量值——重复测量资料的方差分析 ANOV A 与回归分析相结合——协方差分析目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数的差别有无统计学意义。

单因素方差分析

3.如果系统误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的
4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的。当这个比值大到某种程度时，就可以说因素的不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响。
• 如本例，如果不同行业对被投诉次数没有影响，那么在组间误差中只包含随机误差，而没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数量就应该很接近，它们的比值就会接近1。反之，如果不同行业对被投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含系统误差。这时，组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们的比值就会大于1。
• 由于这里只涉及“行业”一个总体，因此称为单因素四水平检验。
• 因素的每一个水平可以看做是一个总体，如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可看作是四个总体。上表中的数据可以看做是从这四个总体
• 在单因素方差分析中，涉及两个变量：一个分类型自变量，一个数值型的因变量。如判断“行业”对“被投诉次数”是否有显著影响，这里“行业”就是自变量，是一个分类型自变量，零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是“行业”这一变量的具体取值，是“行业”这一因素的水平或处理。
• “被投诉次数” 是一个数值型的因变量，不同的被投诉次数就是因变量的取值。
• 方差分析就是判断分类型自变量对数值型因变量的影响。在本例中就是研究“行业”对 “被投诉次数”的影响
方差分析的基本思想和原理
方差分析的图形分析
要判断“行业”对“被投诉次数”是否有显著影响，可通过散点图来观察。下图中的折线是由被投诉次数的均值连接而成的。
“行业”对“被投诉次数” 有显著影响
• 如果原假设成立，即H0 ： 1 = 2 = 3 = 4

生物统计学课件单因素方差分析

(i
)]2
n a 1
E[
a i 1
( i.
..)2
2
a i1
( i.
..) (i
)
a i 1
(i
)2
]
处理均方的数学期望
n [E a 1
a i1
(i. )2
a
E
(
2 ..
)]
n a 1
a
2 i
i1
n (a 2
]
i 1
( E(ij ) 0,
E
(
2 ij
)
2
)
1 (an 2 na 2 )
an a
n
2
处理均方的数学期望
E ( MS A
)
a
1 1
E(SSA
)
1
a
E[
a 1 i1
n
( xi.
j1
x..)2 ]
1 a 1
E[n
a i 1
(
i
i.
..)2
]
n a 1
E
a i 1
[( i
..)
均方
称为处理间均方
MS A
SSA a 1
称为误差均方
MSe
SSe a(n 1)
为了估计σ2，除以相应的自由度而得到的
误差均方数学期望
E(MSe )
1 na
a
E(SSe )
1
a
E[
an a i1
n
( xi j xi. )2 ]
j1
1 an a
a
E[
i1
n i1
(
i
ij
i
i. )2 ]

单因素试验的方差分析

2
j
μ 各个随机误差 ε ij 相互独立， 1 , μ 2 , , μ s 和 σ
未知.
单因素试验表部分总体样本 A1 A2 … As
X11
X21
· · ·
X12 …
X22 … Xn22 … T.2 …
X 2
· · ·
X1s
X2s
· · ·
…
Xn11 样本和T.j 样本均值 X j T.1
是 σ 的无偏估计
.
结合定理(1)(2)(3)，有
F S A /( s 1 ) S E /( n s ) ~ F ( s 1, n s )
ST ，SA ，SE 的计算方法
n
j
记 T j 化简得

i1
X
ij
， T

j1 i1
s
2
s
n
j
X
ij

T
j1
s
j
j1 i1
s
n
j
(X
ij
X
j )
2
说明：
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是误差（组内）平方和.
平方和分解公式：
ST S A S E
证明：S
i1
s
n
j
(X
ij
X)
2

( X
j1 i1
2
都是未知参数。
在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本
X 1 j， X
2 j
，，X
nj j
，
则
记
X
ij

单因素方差分析

单因素方差‎分析单因素方差‎分析也称作‎一维方差分‎析。

它检验由单‎一因素影响‎的一个(或几个相互‎独立的)因变量由因‎素各水平分‎组的均值之‎间的差异是‎否具有统计‎意义。

还可以对该‎因素的若干‎水平分组中‎哪一组与其‎他各组均值‎间具有显著‎性差异进行‎分析，即进行均值‎的多重比较‎。

One-Way ANOVA‎过程要求因‎变量属于正‎态分布总体‎。

如果因变量‎的分布明显‎的是非正态‎，不能使用该‎过程，而应该使用‎非参数分析‎过程。

如果几个因‎变量之间彼‎此不独立，应该用Re‎p eate‎d Measu‎r e过程。

[例子]调查不同水‎稻品种百丛‎中稻纵卷叶‎螟幼虫的数‎量，数据如表5‎-1所示。

表5-1 不同水稻品‎种百丛中稻‎纵卷叶螟幼‎虫数数据保存在‎“DATA5‎-1.SAV”文件中，变量格式如‎图5-1。

图5-1分析水稻品‎种对稻纵卷‎叶螟幼虫抗‎虫性是否存‎在显著性差‎异。

1）准备分析数‎据在数据编辑‎窗口中输入‎数据。

建立因变量‎“幼虫”和因素水平‎变量“品种”，然后输入对‎应的数值，如图5-1所示。

或者打开已‎存在的数据‎文件“DATA5‎-1.SAV”。

2）启动分析过‎程点击主菜单‎“Analy‎z e”项，在下拉菜单‎中点击“Compa‎r e Means‎”项，在右拉式菜‎单中点击“0ne-Way ANOVA‎”项，系统打开单‎因素方差分‎析设置窗口‎如图5-2。

图5-2 单因素方差‎分析窗口3）设置分析变‎量因变量:选择一个或‎多个因子变‎量进入“Depen‎d ent List”框中。

本例选择“幼虫”。

因素变量:选择一个因‎素变量进入‎“Facto‎r”框中。

本例选择“品种”。

4）设置多项式‎比较单击“Contr‎a sts”按钮，将打开如图‎5-3所示的对‎话框。

该对话框用‎于设置均值‎的多项式比‎较。

图5-3 “Contr‎a sts”对话框定义多项式‎的步骤为：均值的多项‎式比较是包‎括两个或更‎多个均值的‎比较。

单因素方差分析

单因素方差分析
单因素方差分析是一种测试，用于检查两组以上的数据之间是否存在显著差异，它可以用来检验一个因素对结果的影响。

单因素方差分析是一种比较几组数据样本平均值之间的差异，用来确定这些样本是否源于相同的总体。

此外，它还可以用来确定不同因素（如性别、年龄等）是否会对结果产生显著的影响。

单因素方差分析通常使用F检验，也可以使用t检验或z检验。

简而言之，单因素方差分析是一种统计技术，用于检验两组以上的数据样本之间的显著差异，以及判断单个因素是否对结果产生显著的影响。

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– 其中εij是随机变量，且服从正态分布 – 固定效应（fixed effect）是由固定因素（fixed factor）所引起的效应 – 随机效应（random effect）是由随机因素（random factor）所引起的效应 – 固定因素和随机因素区别：固定因素的水平可以严格地人为控制，在水平确定之后，它的效应也是固定的，是可以重复的；固定效应通常会被估计
作业讲解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 7.16 用杂合基因型Wvwv的小鼠为父本，与纯合基因型wvwv 的小鼠为母本杂交（wv：波浪毛，Wv：正常直毛）。其后代得到wvwv的数量与Wvwv的数量应该各占一半（φ = 1 – φ = 0.5）。实验只选择每窝8只的，多于8只的和少于8只的都被淘汰。实验结果是否符合二项分布？
个体号 1 2 3 4
窝号 I 34.7 33.3 26.2 31.6 31.450a 3.7225 II 33.2 26.0 28.6 32.3 30.025ab 3.3410 III 27.1 23.3 27.8 26.7 26.225b 2.0023 IV 32.9 31.4 25.7 28.0 29.500ab 3.2588
不同处理效应与不同模型
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 线性统计模型（linear statistical model）
–
x ij = µ + α i + ε ij
i = 1, 2, , a j = 1, 2, , n
i =1 k =1
a
n
1 yij . = yij . n
a b
1 yi.. = yi.. bn
n
y... = ∑∑∑ yijk
i =1 j =1 k =1
1 y. j . = y. j . an 1 y... = y... abn
方差分析的直观理解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 对平均数的检验
– 检验2个平均数的差是否可以用于随机误差解释 – 检验几个样本平均数的方差是否足够大
• 组间方差和组内方差
– 组间方差：样本平均数产的方差
1 a 2 (xi . − x.. ) ∑ a − 1 i =1
a n 1 2 x − x ( ) – 组内方差：样本内的方差 ∑∑ ij i. a (n − 1) i =1 j =1
正常直毛观察值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 4 12 6 5 2 0
作业讲解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
正常直毛
合并观察值观察值
理论频率
理论值
合并理论值
χ2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 总计
0 1 2 4 12 6 5 2 0 32
7 12 13 32
0.0039 0.0313 0.1094 0.2188 0.2734 0.2188 0.1094 0.0313 0.0039 1
0.125 1.000 3.500 7.000 8.750 7.000 3.500 1.000 0.125 32
固定效应模型
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 线性统计模型
– 在固定效应模型中，处理平均数与总体平均数 n 的离差，是一个常量，因而 ∑ α i = 0
i =1
– 假设： H 0 : α 1 = α 2 = = α a = 0 ，H A : α i ≠ 0
两样本平均数差异性检验
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
t
多样本平均数差异t检验
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 可以在平均数的所有对之间做t检验
品系 III 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 67.3b 0.8631
IV 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 70.8c 1.2510
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 68.6d 0.9028
四窝动物的出生重(g)
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
– 每个实验都只有一个因素（factor），该因素有a个处理（treatment）或水平（level）
简略的表示方法
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
yi. = ∑ yij
j =1 a
n
பைடு நூலகம்
y.. = ∑∑ yij
i =1 j =1
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 同时判断多样本平均数的差异显著性 • 原理
– 若各样本平均数相等，则平均数的方差等于0 – 若各样本平均数存在差异，则平均数的方差大于0；平均数的方差越大，各样本平均数存在的差异也就越大 – 当这种差异大于随机性时，则认为样本平均数之间存在差异
SAS程序
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
data a; input a $ b $ count @@; cards; A1 B1 8 A1 B2 3 A1 B3 0 A2 B1 13 A2 B2 8 A2 B3 3 run; proc freq data=a; weight count; table a*b/exact; run;
SAS 运行结果
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Statistics for Table of a by b Statistic DF Value Prob -----------------------------------------------------------Chi-Square 2 1.8962 0.3875 Likelihood Ratio Chi-Square 2 2.7729 0.2500 Mantel-Haenszel Chi-Square 1 1.6782 0.1952 Phi Coefficient 0.2328 Contingency Coefficient 0.2267 Cramer's V 0.2328 WARNING: 50% of the cells have expected counts less than 5. Chi-Square may not be a valid test. Sample Size = 35
5个小麦品系株高(cm)调查结果
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
株号 1 2 3 4 5
x
S
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 65.3a 0.6083
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 64.4a 0.6325
作业讲解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 7.11 拉菲和舒巴酮是两种治疗呼吸系统和泌尿系统感染的药物,下表给出了这两种药物治疗淋菌性尿道炎的结果。推断这两种药物治疗淋菌性尿道炎的疗效差异是否显著？药物拉菲舒巴酮人数显效 3 8
2 i =1 j =1 a n
a
n
= ∑∑ ( xij − xi . ) + 2∑∑ ( xij − xi . )( xi . − x⋅⋅ ) + ∑∑ ( xi . − x.. ) 2
n
1 yi . = yi . n 1 y.. y.. = an
简略的表示方法
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
yij . = ∑ yijk
k =1
n
yi.. = ∑∑ yijk
j =1 k =1
b
n
y. j . = ∑∑ yijk
SAS 运行结果
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
Fisher's Exact Test ----------------------------------------Table Probability (P) 0.0805 Pr <= P 0.6413 Sample Size = 35
SAS程序
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
data a; input a $ b $ count @@; cards; A1 B1 8 A1 B2 3 A1 B3 0 A2 B1 13 A2 B2 8 A2 B3 3 run; proc freq data=a; weight count; table a*b/chisq; run;

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