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i第八章单因素方差分析 (1)

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One-Way_ANOVA单因素方差分析_图文

One-Way_ANOVA单因素方差分析_图文

固定效应模型
xij i ij i 1, 2, , a j 1, 2, , n
其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离 差的正负值相抵，因此

i 1
n
i
0
如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至 少有一个αi≠0。因此，零假设为： H 0 ： α1＝ α2＝ … ＝ αa＝ 0 备择假设为： HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
65.8
326.5 65.3
63.9
322.0 64.4
68.5
336.5 67.3
71.0
354.0 70.8
67.5
343.0 68.6
•因变量(响应变量):连续型的数值变量株高 •因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件 •一个因素：“品系” 单因素方差分析 •水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理” •五个水平：品系I-V •重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验 •五次重复
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K≥3） 之间的差异是否显著
方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成 变量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体 方差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总 体平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平 均数进行两两之间的比较。
i 1 j 1 i 1 j 1
a
n
2
x
i 1 j 1
a
n
ij
xi xi x xi x xij xi 0

生物统计-8第八章单因素方差分析

生物统计-8第八章单因素方差分析

01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。

单因素方差分析

单因素方差分析

基 本 概 念
试验指标——试验结果。 试验结果。 试验指标 试验结果 因素——影响一个试验的指标变化的原因。 影响一个试验的指标变化的原因。 因素 影响一个试验的指标变化的原因 可控因素——在影响试验结果的众多因素中， 可控因素——在影响试验结果的众多因素中，可人为 在影响试验结果的众多因素中 控制的因素。 控制的因素。 水平——可控因素所处的各种不同的状态。每个水 可控因素所处的各种不同的状态。 水平 可控因素所处的各种不同的状态 平又称为试验的一个处理。 平又称为试验的一个处理。 单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变， 如果在一项试验中只有一个因素改变， 单因素试验 如果在一项试验中只有一个因素改变 其它的可控因素不变， 其它的可控因素不变，则该类试验称为 单因素试验。 单因素试验。
r
因此， 因此， X i1 , X i 2 ,... X ir 相互独立，且与 X i同分布。 相互独立， 同分布。 我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不 同水平对试验指标是否有影响。 同水平对试验指标是否有影响。
单因素试验资料表
重复 1 ... r
列和 Ti • = ∑ X ij
j =1
例：五个水稻品种单位产量的观测值 品种 重复 1 2 3
3
A1
A2
A3
A4
A5
41 39 40
xij
33 37 35
105
38 35 35
108
37 39 38
114
31 34 34
99
∑
xi
120
∑∑x
i = 1 j =1
3
5
3
ij
= 546
15 = 36.4
j =1

第八章 单因素方差分析

第八章 单因素方差分析

V 4.2 3.2 4.8
4
5
1.0
0.8 1.5
-1.3
-1.1 -0.3
1.8
3.5 11.5
4.1
6.0 29.0
3.3
2.5 18.0 总和 57.0
xi
n
xi2
j 1 2 ij
2.25
1.93
9.00
3.4
132.25
29.43
841.00 324.00
174.46 68.06
1308.50
sx MS e n
品系号
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
平均数
70.8
68.6
67.3
65.3
64.4
顺序号
1
2
3
4
5
df
k
R0.05
Rk
R0.01
Rk
2
2.95
1.165
4.02
1.588
3 20 4
3.10
1.225
4.22
1.667
3.18
1.256
4.33
1.710
5
3.25
1.284
4.40
1.738
5
单因素固定效应模型方差分析表
变异来源
处理间
平方和
自由度
均方
F
F MS A MS e
SSA
a-1
MSA
误差或处理内
总和
SSe
SST
na-a
na-1
MSe
4、平方和的简易计算方法
株号 1 2 3 I -0.4 0.3 -0.2
品 II

单因素方差分析步骤（1）

单因素方差分析步骤（1）

单因素方差分析步骤：对于只有一种因素影响的资料，例如本例只检测血型这一种变量是否影响肺活量。

我们先确立假设和确立检验标准H0：假设不同血型的人的肺活量是有差异的H1：假设不同血型的人的肺活量是没有差异的。

第一步：选择检验方式第二步：确定比较方式第三布：在选项里选择描述方式第四步：得出结果：由本图可知，p》0.05，可知肺活量的总体方差无差异，方差齐则可做方差分析再有下图可知：p= 0.789是大与0.05的，所以不是小概率事件，不拒绝H0，所以认为不同血型的人的肺活量是没有差异的。

随机区组设计资料的方差分析2.如果对四种饲料对猪体重增加量有无差异进行分析，则可将猪随机分组，本例中以a代表分组，b代表饲料，x代表体重增加量如图：对于这种资料分析，应选用单变量方差分析，主要是影响因素是多样的，主要描述的是体重增加量。

那么我们首先应1、确定假设：对于处理组：H0，假设三种处理方式体重增加量是相等的H1，假设三种处理方式体重增加量是不等的。

对于区组：H0，假设三组之间体重增加量是相等的H1，假设三组之间体重增加量是不等的。

2、确立检验标准a=0.053、计算统计量F F1=MS处理/MS误差F2=MS区组/MS误差4、确定p值，做出推断结论。

第一步：选择分析方式第二步：选择确立因变量，本题描述的是体重增加量，故选用x，确立区间，处理措施。

如图：第三步：确定模型，本题为确定区组a与处理措施b的交互作用，因此选用a，b交互模式。

如图：如需作图比较分组a 与处理措施b 的交互作用对体重影响有无差异可添加对比组，如图：确定观察均值的两两比较，主要针对与各分组的均值比较，及各处理方式的均值比较：在选项里设定输出，描述统计及方差齐性检验，显示分组及处理方式的均值。

最后得出结果：有本图可知F＜3，p＞0.05，可知各组间方差齐，可做方差检验。

如下图所示，可知p≥0.05，统计无差异，所以可知，三种处理方式对体重增加是无差异的。

单因素方差分析（one-wayANOVA）

单因素方差分析（one-wayANOVA）

单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。

这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。

例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。

这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。

（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。

例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

第⼆步是剖析观测变量的⽅差。

⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。

据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。

第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。

3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。

4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。

单因素方差分析

单因素方差分析
例如：考察4种不同教法对立定跳远成绩的影响 试验中唯一的可控制因素——教法 因素的不同水平 ——4中不同的教法
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。

应用统计学8-方差分析(1)

应用统计学8-方差分析(1)

Yi = µi + ε i
（ 8-1）
其中， μi 纯属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为在 Ai条件下Yi的理论平均). εi 是试验误差(也称为随机误差)。
2 ε ~ N ( 0 , σ ) 且相互独立，则 Yi ~ N ( µ i , σ 2 ) 假定 i
且也是相互独立的
第八章
第八章
方差分析
8. 2 单因素试验的方差分析
数学模型和数据结构 参数点估计 分解定理 自由度 显著性检验 多重分布与区间估计
第八章
方差分析
8. 2. 1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1， A2， …， Ak对Y的影响(如k 种型号对维修时间的影响)，设想在固定的 条件Ai下作试验。所有可能的试验结果组成一个总体Yi (i=1， 2， …， k)，它是一个随机变量，可以把它分解为两部分
第八章
方差分析
8. 2. 2 参数点估计
2 , , , , µ α α α σ 估计参数 1 2 k 和
估计方法：最小二乘法
最小偏差平方和原则：使观测值与真值的偏差平方和 达到最小
第八章
偏差平方和
方差分析
8. 2. 2 参数点估计
2 S ε = ∑∑ ε ij = ∑∑ (Yij − µ i ) 2 = ∑∑ (Yij − µ − α i ) 2 i =1 j =1 k m
eij = Yij − Y i
第八章
最小二乘估计量
方差分析
8. 2. 2 参数点估计
ˆ =Y µ ˆ i = Yi − Y α µ ˆ i = Yi
可以证明，这三个估计量均为参数μ、 αi和μi的无偏估计量

最新11-第8章 单因素方差分析汇总

最新11-第8章 单因素方差分析汇总

11-第8章单因素方差分析仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢140+第八章 单因素方差分析第一节 方差分析的基本问题一、方差分析要解决的问题t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验；而多个平均数间的差异显著性检验，必须用方差分析法。

1、检验过程繁琐一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C 10＝次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。

2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 12X -X s如表8-1，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。

进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。

可见在用t检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。

3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。

假设每一对检验接受零假设的概率都是1-α＝0.95，而且这些检验都是相互独立的，那么10对检验都接受概率是(0.95)10＝0.60，犯错误的概率α׳=1-0.60=0.40犯I型错误的概率明显增加。

由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。

二、方差分析的几个概念方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。

这种方法是将a个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。

第八章_单因素方差分析(1)

第八章_单因素方差分析(1)

a
如果我们只研究这 a个不同处理，则有
i 0,
且每个
是常数。
i
i 1
i i为第i个处理的平均数。
ij
是y
的试验的随机误差（也
ij
称为噪声）。固定效应模型
我们假定ij相互独立且服从正态分布N(0, 2)。
因此，方差分析假定yij～N( i , 2 ),这是方差分析的条件。
❖ （三）因素处理效应和实验模型的分类
因此，两两 t检验的精确性有待提高 。
正确答案：
进行关于 a(a 3)个样本平均数差异的假 设检验， 应使用一种更为合理的 统计分析方法－方差分 析。
❖ 二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分 解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性 的一种统计方法。
2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或 处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。
3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验 指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。
4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。
答：常采用第五章里讲的t检验法。
现在，如何进行a 个样本的平均数差异的假设检验（a 3）？
某人答：两两进行t检验。
评论：这种方法是不行的。
主要原因有三：
原因（1）：检验的工作量大
当有a个样本平均数，两两组合，就有a(a 1) 个平均数的差。 2
例如，a 10时，就有109＝45个平均数的差。 2
yi•
1 n
yi•表示第i个处理所有数据的平均值

单因素方差分析

单因素方差分析
3.如果系统误差明显地不同于随机误差，则均值就是 不相等的；反之，均值就是相等的
4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的。 当这个比值大到某种程度时，就可以说因素的不 同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因 变量有影响。
• 如本例，如果不同行业对被投诉次数没 有影响，那么在组间误差中只包含随机 误差，而没有系统误差。这时，组间误 差与组内误差经过平均后的数量就应该 很接近，它们的比值就会接近1。反之， 如果不同行业对被投诉次数有影响，在 组间误差中除了包含随机误差外，还会 包含系统误差。这时，组间误差平均后 的数值就会大于组内误差平均后的数值， 它们的比值就会大于1。
• 由于这里只涉及“行业”一个总体，因此称为单 因素四水平检验。
• 因素的每一个水平可以看做是一个总体，如零售 业、旅游业、航空公司、家电制造业可看作是四 个总体。上表中的数据可以看做是从这四个总体
• 在单因素方差分析中，涉及两个变量：一个 分类型自变量，一个数值型的因变量。如判 断“行业”对“被投诉次数”是否有显著影 响，这里“行业”就是自变量，是一个分类 型自变量，零售业、旅游业、航空公司、家 电制造业是“行业”这一变量的具体取值， 是“行业”这一因素的水平或处理 。
• “被投诉次数” 是一个数值型的因变量，不 同的被投诉次数就是因变量的取值。
• 方差分析就是判断分类型自变量对数值型因 变量的影响。在本例中就是研究“行业”对 “被投诉次数”的影响
方差分析的基本思想和原理
方差分析的图形分析
要判断“行业”对“被投诉次数”是否有显著影响，可通 过散点图来观察。下图中的折线是由被投诉次数的均值连 接而成的。
“行业”对“被投诉次数” 有显著影响
• 如果原假设成立，即H0 ： 1 = 2 = 3 = 4

生物统计学课件单因素方差分析

生物统计学课件单因素方差分析

(i
)]2
n a 1
E[
a i 1
( i.
..)2
2
a i1
( i.
..) (i
)
a i 1
(i
)2
]
处理均方的数学期望
n [E a 1
a i1
(i. )2
a
E
(
2 ..
)]
n a 1
a
2 i
i1
n (a 2
]
i 1
( E(ij ) 0,
E
(
2 ij
)
2
)
1 (an 2 na 2 )
an a
n
2
处理均方的数学期望
E ( MS A
)
a
1 1
E(SSA
)
1
a
E[
a 1 i1
n
( xi.
j1
x..)2 ]
1 a 1
E[n
a i 1
(
i
i.
..)2
]
n a 1
E
a i 1
[( i
..)
均方
称为处理间均方
MS A
SSA a 1
称为误差均方
MSe
SSe a(n 1)
为了估计σ2，除以相应的自由度而得到的
误差均方数学期望
E(MSe )
1 na
a
E(SSe )
1
a
E[
an a i1
n
( xi j xi. )2 ]
j1
1 an a
a
E[
i1
n i1
(
i
ij
i
i. )2 ]

第八章 方差分析(1)

第八章 方差分析(1)
2.处理内误差(sum of squares for error)，记为SSE § 因素的同一水平下数据误差的平方和 比如，施用A种氮肥下水稻产量的误差平方和
§ 只包含随机误差
3.处理间误差(sum of squares for category)，记为SSC § 因素的不同水平之间数据误差的平方和 比如，不同氮肥下水稻产量之间的误差平方和
2.由误差平方和除以相应的自由度求得 3.三个平方和对应的自由度分别是
▪ SST 的自由度为nk-1，其中nk为全部观察值的个数 ▪ SSt的自由度为k-1，其中k为因素水平的个数 ▪ SSe 的自由度为k（n-1）
8 - 21
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
计算均方 MS
1.处理间均方：SSt的均方，记为MSt，计算公式为
▪SST=(242+302+…+212）-13833.8= 402.2
8 - 15
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
处理间误差SSt
2、各组平均值 与x总i 平(i均值1,2的,离差, k平) 方和
x
反映各总体的样本均值之间的差异程度
该平方和既包括随机误差，也包括系统误差
计算公式为
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
ni
xij xi 2
i1 j1
i1
i1 j1
SST = SSC + SSE
▪ 前例的计算结果
402.2=301.2+101.0
8 - 20
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
均方(Mean square)
1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值 多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均 方，记为MS

单因素试验的方差分析

单因素试验的方差分析
2
j
μ 各个随机误差 ε ij 相互独立， 1 , μ 2 , , μ s 和 σ
未知.
单因素试验表 部分总体 样 本 A1 A2 … As
X11
X21
· · ·
X12 …
X22 … Xn22 … T.2 …
X 2
· · ·
X1s
X2s
· · ·
…
Xn11 样本和T.j 样本均值 X j T.1
是 σ 的无偏估计
.
结合定理(1)(2)(3)，有
F S A /( s 1 ) S E /( n s ) ~ F ( s 1, n s )
ST ，SA ，SE 的计算方法
n
j
记 T j 化简得

i1
X
ij
， T

j1 i1
s
2
s
n
j
X
ij

T
j1
s
j
j1 i1
s
n
j
(X
ij
X
j )
2
说明：
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是 误差（组内）平方和.
平方和分解公式：
ST S A S E
证明：S
i1
s
n
j
(X
ij
X)
2

( X
j1 i1
2
都是未知参数。
在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本
X 1 j， X
2 j
， ，X
nj j
，
则
记
X
ij

i第八章单因素方差分析

i第八章单因素方差分析

第二节 固定效应模型
一、线性统计模型
yij i ij
要检验a个处理效应的相等性，就要判断各αi是否为0。
H0：α1= α2 =……= αa =0
HA：αi ≠ 0
（至少有1个
i）
若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值是由总
平均数加上随机误差构成；
若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平
34.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.450
33.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.025
27.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.225
32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.500
2、单因素方差分析的数据格式：
Y1
Y2
Y3
均数、处理效应及误差三部分构成。
总变异
处理间 (组间)变异
误差或处理内 (组内)变异
1. 总变异是测量值yij与总的均数间的差异。
2. 处理间变异是由处理效应引起的变异。 3. 处理内变异是由随机误差引起的变异。
用离均差平方和的平均（均方、方差）反映变异的大小
二、平方和与自由度的分解
1. 总平方和(total sum of squares, SST): 每
著性t 检验的延伸。
ANOVA 由 英 国 统 计 学 家 R.A.Fisher 首 创 ， 用 于 推 断多个总体均数有无差异。
单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）： 研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析 。单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素
有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复
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幻灯片1【例】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。

试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。

5个小麦品系株高(cm)调查结果株号品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345和平均数64.665.364.866.065.8326.565.364.565.364.663.763.9322.064.467.866.367.166.868.5336.567.371.872.170.069.171.0354.070.869.268.269.868.367.5343.068.6幻灯片2第八章单因素方差分析One-factor analysis of variance幻灯片3本章内容第一节方差分析简述第二节固定效应模型第三节随机效应模型第四节多重比较第五节方差分析应具备的条件幻灯片4第一节方差分析简述一、方差分析的一般概念1、概念方差分析（ analysis of variance，ANOVA）：是同时判断多组数据平均数之间差异显著性的统计假设检验，是两组数据平均数差异显著性t 检验的延伸。

幻灯片5单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。

单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复，这样的实验称为单因素实验。

水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。

幻灯片6方差分析Analysis of Variance （ANOVA )ANOV A 由英国统计学家，用于推断多个总体均数有无差异。

幻灯片7【例】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，称量每只幼仔的出生重，结果如下。

判断不同窝的动物出生重是否存在显著性差异。

4窝动物的出生重 单位：g幻灯片82、单因素方差分析的数据格式：因素也称为处理因素（factor ）（名义分类变量），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。

一个因素（水平间独立） ——单向方差分析（第八章）两个因素（水平间独立或相关）——双向方差分析（第九章）一个个体多个测量值——重复测量资料的方差分析 ANOV A 与回归分析相结合——协方差分析目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数的差别有无统计学意义。

32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.50027.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.22533.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.02534.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.4501 2 3 4 和 平均数Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ窝 别 动物号幻灯片9二、不同处理效应与不同模型 1、方差分析中每一观测值的描述 ——线性统计模型yij ：在第i 水平下的第j 次观测值；μ：总平均数，是对所有观测值的一个参数；αi ：处理效应，是仅限于对第i 次处理的一个参数； εij ：随机误差成分。

幻灯片102、①固定效应：由固定因素所引起的效应。

②固定因素：所研究因素各个水平是经过特意选择的，这样的因素称为固定因素。

固定因素的水平可以严格地人为控制，在水平固定之后，它的效应值也是固定的。

③固定模型：处理固定因素所用的模型。

幻灯片113、①随机效应：由随机因素所引起的效应。

②随机因素：所研究因素各个水平是从该因素水平总体中随机抽出的，这样的因素称为随机因素。

随机因素的水平是不能严格人为控制的，在水平确定之后，它的效应值并不固定。

③随机模型：处理随机因素所用的模型。

... yi1 yi2 yi3 ... yij (i)Yi … ya1 ya2 ya3 … yaj … yany31 y32 y33 ... y3j (3)y21 y22 y23 ... y2j (2)y11 y12 y13 ... y1j (1)1 2 3 … j … n平均数Ya Y3 Y2 Y1•1y •2y •3y •i y •a y 在固定模型中，方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，不能将结论扩展到未加考虑的其它水平上。

幻灯片12第二节 固定效应模型 一、线性统计模型要检验a 个处理效应的相等性，就要判断各αi 是否为0。

H0：α1= α2 =……= αa =0HA ：αi ≠ 0 （至少有1个i ）若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值是由总平均数加上随机误差构成；若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平均数、处理效应及误差三部分构成。

幻灯片13● 总变异是测量值yij 与总的均数间的差异。

● 处理间变异是由处理效应引起的变异。

● 处理内变异是由随机误差引起的变异。

用离均差平方和的平均（均方、方差）反映变异的大小 幻灯片14二、平方和与自由度的分解1. 总平方和(total sum of squares, SST): 每个测量值与总平均数离差的平方和的总和，反应了一组数据总的变异程度。

计算公式为：dfT=N-1=an-1校正项(校正系数，correction)： 幻灯片152. 处理间平方和(sum of squares among treatments, SSA): 各个处理组的平均数与总平均数离差的平方和，SSA 反映了各处理组均数的变异程度。

计算公式为：dfA=a-1（含有误差成分）处理均方(treatment mean square ，MSA)：处理间平方和除以自由度。

在随机模型中，方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上，是对水平总体的推断。

处理间 (组间)变异总变异误差或处理内 (组内)变异SST = SSA + SSedfT = dfA + dfe处理内变异：随机误差处理间变异：处理因素＋随机误差幻灯片18One-Factor ANOVAPartitions of Total VariationTotal Variation SSTVariation Due to Treatment SSBVariation Due to Random Sampling SSW=+●Commonly referred to as:●Sum of Squares Within, or●Sum of Squares Error, or●Within Groups Variation●Commonly referred to as:●Sum of Squares Among, or●Sum of Squares Between, or●Sum of Squares Model, or●Among Groups Variation幻灯片19均方差，均方(mean square，MS)幻灯片20三、检验统计量F，做F单侧上尾检验当F<Fα时，接受零假设H0：α1=α2=……=αa=0，各处理平均数之间差异不显著，认为MSA与MSe差异不大，产生的变异是由随机误差造成的；当F>Fα时，拒绝零假设，处理平均数间差异显著，MSA显著高于MSe，产生的变异是由处理因素造成的。

幻灯片21F 值与F分布，四、方差分析表单因素固定效应模型方差分析表F均方自由度平方和变差来源处理间MSA/ MSeMSAa-1SSAa(n-1)MSe误差或处理内SSena-1SST总和幻灯片23五、方差分析的指导思想与基本原理方差分析的指导思想：是将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部分，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。

幻灯片24方差分析的基本原理：将总平方和分解为处理平方和和误差平方和，根据相应的自由度，得到相应的均方；处理均方反映处理因素所造成的方差的大小，误差均方反映随机因素(误差)所造成的方差的大小；处理均方除以误差均方反映处理效应的显著性。

幻灯片25六、单因素方差分析与成组数据t检验的异同单因素方差分析成组数据 t 检验相同平均数差异显著性检验平均数差异显著性检验两个平均数差异的检验多个平均数差异的分析不同利用平均数的差利用平均数的方差计算统计量t计算统计量F七、实例【例8.1】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。

试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。

株号品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345和平均数64.665.364.866.065.8326.565.364.565.364.663.763.9322.064.467.866.367.166.868.5336.567.371.872.170.069.171.0354.070.869.268.269.868.367.5343.068.6解：①列出方差分析计算表：（编码法 -65）序号品系ⅠⅡⅢⅣⅤ1 2 3 4 5 -0.40.3-0.21.00.81.52.251.93-0.50.3-0.4-1.3-1.1-3.09.003.42.81.32.11.83.511.5132.2529.436.87.15.04.16.029.0841.00174.464.23.24.83.32.518.0324.0068.06总和57.01308.50277.28幻灯片28③列出方差分析表：不同小麦品系株高方差分析表F均方自由度平方和变差来源42.2332.940.78 4 20 131.74 15.58 品系间 误 差﹡﹡24 147.32 总 和﹡α=0.05 ﹡﹡α=0.01F4,20,0.05=2.866 F4,20,0.01=4.431 F>F0.01 ④ 结论：选定的5个不同小麦品系的株高差异极显著。

幻灯片29 下结论注意：当组数为2时，完全随机设计的方差分析结果与两样本均数比较的t 检验结果等价，对同一资料,有： 幻灯片30第三节 随机效应模型一、随机效应模型的方差分析1、方差分析的程序与固定效应模型方差分析的程序一样。

2、随机效应模型方差分析所得结论适用于水平的总体，固定效应模型方差分析所得结论只适用于所选定的a 个水平。

幻灯片31 二、实例【例8.2】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，称量每只幼仔的出生重，结果如下。

判断不同窝的动物出生重是否存在显著性差异。

4窝动物的出生重 单位：g32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.50027.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.22533.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.02534.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.4501 2 3 4 和 平均数Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ窝 别 动物号幻灯片32 解：① 列出方差分析计算表 (-30) ：② 计算各项平方和： 幻灯片33③ 列出方差分析表： 动物出生重方差分析表F3,12,0.05=3.49 F<F0.05 ④ 结论：不同窝别动物的出生重没有显著差异。