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2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．i 为虚数单位，复数12-=i iz 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=13222y x y A ，集合{}x y x B 42==，则=⋂B AA ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．)⎡+∞⎣D ．)+∞3．命题p ：“R x ∈∃0，02021x x <+”的否定p 为A ．R x ∈∀,x x 212≥+B ．R x ∈∀,x x 212<+C ．R x ∈∃0,02021x x ≥+D ．R x ∈∃0,02021x x >+4．5221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项是 A ．5B ．5-C ．10D ．10-5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，执行如右图所示的 程序框图，则输出的M 一定满足A ．2n nMS =B ．n S nM =C ．n S nM ≥D ．n S nM ≤6．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减A ．128[,]53B ．35[,]53C ．]38,58[D ．]512,58[8．,A B 是圆22:1O x y +=上两个动点，1AB =u u u r，32OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r ，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为正视图侧视图俯视图 A ．32B ．34C ．12D ．149． 函数11+=x y 的图像与函数)24(sin 3≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．4- B ．2-C ．8-D ．6-10．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A B 2=，0cos cos cos >C B A ，则bA a sin 的取值范围是A．⎝⎭ B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,43 C．12⎛ ⎝⎭ D．12⎫⎪⎪⎝⎭11．某棱锥的三视图如图所示， 则该棱锥的外接球的表面积为A ．12πB ．11πC ．14πD ．13π12．已知S 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点N M , 交y 轴于点Q P ,，若()411≥+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+OQ OP ON OM 恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为 A ．(]2,1B ．[)+∞,2 C．(D．)+∞2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．等比数列{}n a 中，318a =，5162a =，公比q = ．,14．利用随机模拟方法计算1=y 和2x y =所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，RAND a =1，RAND b =；然后进行平移和伸缩变换，()5.021-=a a ；若共产生了N 个样本点（ ，b ），其中落在所围成图形内的样本点数为1N ，则所围成图形的面积可估计为 （结果用N ，1N 表示）．15．设O 为抛物线：)0(22>=p px y 的顶点，F 为焦点，且AB 为过焦点F 的弦，若p AB 4=，则AOB ∆的面积为 ．16．)(x f 是定义在R 上的函数,其导函数为)(x f '．若2018)1(,1)()(=->'f x f x f ，则不等式12017)(1+>-x e x f (其中e 为自然对数的底数)的解集为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为正项数列，13a =，且111112()n n n n n n a a a a a a +++-=+*()n N ∈． （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若2(1)n ann n b a =+-⋅，求{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，早高峰时段93≤≤T ，[)5,3∈T 基本畅通；[)6,5∈T 轻度拥堵；[)7,6∈T 中度拥堵；[]9,7∈T 严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图如下．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡（记为迟到），否则能按时到岗打卡．单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至a多扣除40元，根据直方图求该人一周（按5天计算）所得考勤奖的分布列及数学期 望（假设每天的交通状况相互独立）．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PCD 底面ABCD ，CD PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，CD AB //，ο90=∠ADC ，1===PD AD AB ，2=CD ． （1）求证：平面⊥PBC 平面PBD ； （2）若()12-=，求二面角P BD Q --的大小．交通指数CPABD20．（本小题满分12分）已知F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，3=OF ，Q P ,分别为椭圆C 的上下顶点，且PQF ∆为等边三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 的两条互相垂直的直线21,l l 与椭圆C 分别交于异于点P 的点B A ,， ①求证：直线AB 过定点；②求证：以PB PA ,为直径的两个圆的另一个交点H 在定圆上，并求此圆的方程．21．（本小题满分12分）已知函数 e x , 直线1:+=x y l , 其中e 为自然对数的底．（1）当1=a ,0>x 时, 求证: 曲线221)()(x x h x f -=在直线l 的上方； （2）若函数)(x h 的图象与直线l 有两个不同的交点, 求实数a 的取值范围； （3）对于（2）中的两个交点的横坐标21,x x 及对应的a , 当21x x <时，求证：)e (e)e )(e ()e (e 21212122212x x xxxxa x x -<+---．()=h x a请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线3:14x t l y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24ρθ=-． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点(0,1)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求11PM PN+的值．,23．选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）已知,,x y z 为正实数，且2x y z ++=. （1）求证： 24422z xy yz xz -≥++；（2）求证：2222224x y y z x z z x y+++++≥.。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A. P⊆QB. Q⊆PC. P⊆∁R QD. Q⊆∁R P【答案】B【解析】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．此题只要求出x2＜4的解集{x|-2＜x＜2}，画数轴即可求出．此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．2.已知向量=（-3，2），=（-1，λ），且∥，则实数λ的值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：∵向量=（-3，2），=（-1，λ），且∥，∴，解得λ=．∴实数λ的值为．故选：C．利用向量平行的性质能求出实数λ．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a =2k π+⇒a =k π+（k ∈Z ）， 或2a =2k π-⇒a =k π-（k ∈Z ），故选：A ．本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a =+2k π代入cos2a 易得cos2a =成立，但cos2a =时，a =+2k π（k ∈Z ）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. 已知数列{a n }为等差数列，且a 5+a 9=，则t a na 7等于（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：数列{a n }为等差数列，且a 5+a 9=， 则：，解得：，所以：tan．故选：B ．直接利用等差数列的通项公式的应用和特殊角的三角函数的值求出结果．1本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，三角函数的特殊值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5. 已知变量x 、y 满足的约束条件，则z =3x +2y 的最大值为（ ）A. -3B.C. 4D. -5【答案】C【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由z =3x +2y ，则y =，平移直线y =，由图象可知当直线y =，经过点A 时，直线y =的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A（2，-1），此时z max=3×2-2=4，故选：C．作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．6.阅读如图的程序框图，输出结果s的值为（其中i为虚数单位，i2=-1）（）A. 1B. -1C. iD. -i【答案】D【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=i2019的值．S=i2019=（i4）504•i3=-i．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了程序框图的应用问题，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】D【解析】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，∴AD1∥BC1，∴∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则B1O=C1O==，BC1==2，BO==，∴cos∠C1BO===．∴∠C1BO=30°．∴异面直线AD1与BO所成角为30°．故选：D．推导出AD1∥BC1，从而∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AD1与BO所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y=x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（）A. 4B. 2C. 2D. 1【答案】A【解析】解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y=x，∴，解得，b=．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：==4故选：A．依题意可求得c，根据c=和渐线方程，联立求得a和b，进而根据通径求得答案．本题主要考查了双曲线的简单性质．双曲线的性质和公式较多，且复杂平时应加强记忆和训练．9.若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A.B.C. 2D.【答案】A【解析】解：几何体为不规则放置的四棱锥P=ABCD，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，∴几何体的体积：=．故选：A．作出几何体的直观图，将四棱锥分解成棱柱与两个小三棱锥计算体积．本题考查了棱锥的结构特征，三视图与体积计算，属于中档题．10.已知椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，P为椭圆上的一个动点，则P与定点B（-1，0）连线距离的最大值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】解：椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，可得：，解得a=，椭圆方程为：+x2=l，设p（cosθ，sinα），则P与定点B（-1，0）连线距离：==，当cosθ=时，取得最大值：．故选：C．利用椭圆的离心率求出a，然后设出P，然后利用两点间距离公式，转化求解最值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．11.已知点M，N、P，Q在同一个球面上，且MN=3，NP=4，MP=5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意，作图，易知∠PNM=90°，则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，由四面体Q-MNP的最大体积为10，可得O′Q=5，在△OO′P中，OP2=OO′2+O′P2，∴R2=（5-R）2+，得R=，∴该球的表面积为：=，故选：B．由三个边长可知MN，NP垂直，可知球心O的位置在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，作出图形，利用直角三角形得到关于半径的方程，即可得解．此题考查了球内接三棱锥问题，难度不大．12.已知函数f（x）=，则函数y=f（f（x））的零点个数为（）A. 6B. 7C. 9D. 10【答案】B【解析】解：x≤5时，f（x）=x3-x2-3x+2，f′（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1），令f′（x）=0，解得：x＞3或x＜-1，故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，5]递增，故f（x）极大值=f（-1）=，f（x）极小值=f（3）=-7，f（5）=，而f（-3）=-7，f（-2）=，f（0）=2，f（1）=-＜0，f（4）=-4，f（5）=，故存在x1∈（-3，-2），x2∈（0，1），x3∈（4，5）使得f（x）=0，x＞5时，f（x）在（5，+∞）递减，x→5时，f（x）→-2，画出函数f（x）的图象，如图示：，函数y=f（f（x））的零点个数即y=f（x）和y=x1，y=x2和y=x3的交点个数，结合图象f（x）和y=x1有4个交点，f（x）和y=x2的图象有3个交点，f（x）和y=x3的图象没有交点，故函数y=f（f（x））的零点个数为7个，故选：B．根据函数的单调性画出函数f（x）的图象，结合图象求出y=f（f（x）））的零点个数即可．本题考查了函数和方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆=1与双曲线=1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______．【答案】【解析】解：椭圆=1与双曲线=1有共同的焦点，可得a2+b2=4，即c=2，双曲线的离心率为2，所以a=1，则b=，所以双曲线=1的方程为：．故答案为：．求出焦点坐标，得到a，b的关系式，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.已知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则满足f（x2-2）＜f（1）的x的取值范围是______．【答案】（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）【解析】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则f（x2-2）＜f（1）⇒f（|x2-2|）＜f（1）⇒|x2-2|＞1，解可得：x＜-或-1＜x＜1或x＞，即x的取值范围为（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）；故答案为：（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）．根据题意，由函数的单调性以及奇偶性可得f（x2-2）＜f（1），解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．15.过点（-4，0）作直线L与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为______．【答案】x=-4或5x+12y+20=0【解析】解：圆x2+y2+2x-4y-20=0 即（x+1）2+（y-2）2=25，∴圆心（-1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得8=2∴d=3．当直线L的斜率不存在时，方程为x=-4，满足条件．当直线L的斜率存在时，设斜率等于k，直线L的方程为y-0=k（x+4），即kx-y+4k=0，由圆心到直线的距离等于3得=3，∴k=-，直线L的方程为5x+12y+20=0．综上，满足条件的直线L的方程为x =-4或5x+12y+20=0，故答案为：x=-4或5x+12y+20=0．先求出圆心和半径，由弦长公式求出圆心到直线的距离为d的值，检验直线ι的斜率不存在时，满足条件；当直线ι的斜率存在时，设出直线ι的方程，由圆心到直线的距离等于3解方程求得斜率k，进而得到直线ι的方程．本题考查利用直线和圆的位置关系求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．16.设数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n=2n+1，且S n=2019，若a2＜2，则n的最大值为______．【答案】62【解析】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n=2n+1，可得a1+a2=3，a3+a4=7，a5+a6=11，…，a29+a30=59，a31+a32=63，{a2k-1+a2k}的等差数列，首项为3，公差为4，数列{b k}的前k项和为T k，b k=a2k-1+a2k可得，T k==2k（k+1）＜2019，k∈N*，k＜32，T32=2112＞2019．由S n=2019，若a2＜2，则n的最大值为62，故答案为：62．a n+1+a n=2n+1，可得a1+a2=3，a3+a4=7，a5+a6=11，…，a29+a30=59，a31+a32=63，利用等差数列的求和公式即可可得S62，S63，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（c-2a）cos B+b cos C=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若=12，b=2，求a，c的值．（其中a＜c）【答案】解：（Ⅰ）已知等式（c-2a）cos B+b cos C=0，利用正弦定理化简得：（sin C-2sin A）cos B+sin B cos C=0，整理得：sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos B，即sin（B+C）=sin A=2sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B=，则B=60°；（II）由=12，得：ac cos B=12，①又由（I）知B=60°，∴ac=24，②由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos B，将b=2及①代入得：a2+c2=52，∴（a+c）2=a2+c2+2ac═52+2×24=100，∴a+c=10，③由②③知a、c是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根，解此方程，并由c＞a得：a=4，c=6．【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B的值，即可确定出B的度数；（II）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式ac cos B=12，记作①，把B的度数代入求出ac的值，记作②，然后利用余弦定理表示出b2，把b，ac及cos B的值代入求出a2+c2的值，利用完全平方公式表示出（a+c）2，把相应的值代入，开方求出a+c 的值，由②③可知a与c为一个一元二次方程的两个解，求出方程的解，根据c大于a，可得出a与c的值．此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．同时注意完全平方公式的灵活运用．18.数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n（neN*）（Ⅰ）证明：数列{S n}为等比数列，并求S n；（Ⅱ）若b n=1ga2n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）证明：a1=2，a n+1=S n（neN*），a n+1=S n+1-S n=S n，即为S n+1=2S n，可得数列{S n}为首项为2，公比为2的等比数列，则S n=2n；（Ⅱ）a n+1=S n=2n，即a n=2n-1，n≥2，b n=1ga2n=lg22n-1=（2n-1）lg2，则前n项和T n=lg2•（1+3+…+2n-1）=n2lg2．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式：a n+1=S n+1-S n=S n，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式和等差数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（I）若PA=PD，求证：AD⊥PB；（II）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出的值．【答案】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（-2，，0），设=λ（0＜λ＜1），则M（-2λ，λ，（1-λ）），平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=，则，∵二面角M-BQ-C大小为60°，∴=，解得λ=，此时=．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明AD⊥PB；（Ⅱ）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查平面与平面垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20.在圆O：x2+y2=4上取一点P，过点P作x轴的线段PD，D为垂足，当点P在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试问在E上是否存在两点M，N关于直线l：y=kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2=4，得x2+4y2=4．所以E的方程为=1．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y=-x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2-8mkx+4k2（m2-1）=0，△=（-8mk）2-16（k2+4）k2（m2-1）＞0，化为：k2+4＞k2m2．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，依题意OM⊥ON，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，又y1y2=（-x1+m）（-x2+m）=x1x2-（x1+x2）+m2∴x1x2+y1y2=（1+）x1x2-（x1+x2）+m2=0，（1+）-•+m2=0，解得：k2=．由MN的中点（，）在直线y=kx+上，∴=k•+，=k•+，化为：+=0，把k2=代入上式化为：10m2+m-6=0，解得m=（舍去），或-．∴k2==2，解得k=．满足k2+4＞k2m2．即满足△＞0．∴在E上存在两点M，N关于直线l：y=kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点．直线MN的方程为：y=x-．【解析】（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2=4，可得E的方程．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y=-x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2-8mkx+4k2（m2-1）=0，△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2）．利用根与系数可得x1+x2，x1x2，依题意OM⊥ON，可得•=0，即x1x2+y1y2=0，化为k2=．由MN的中点（，）在直线y=kx+上，可得=k•+，代入化简解出即可得出．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、向量垂直与数量积的关系，考查推理论证能力、运算求解能力、化归与转化思想方法，属于难题．21.已知函数f（x）=ln x+（x-1）（ax-a-1）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n对任意正整数n 均成立，其中e为自然对数的底数．【答案】（1）解：当a=0时，f（x）=ln x+1-x，（x＞0），．可得∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）的最大值为f（1）=0；（2）解：f′（x）=（ax-a-1）+（x-1）•a=．．∵x＞1∴x-1＞0故：①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（1，+∞）单调递减，而f（1）=0，∴f（x）＜0，不符合题意，②当a0时，，f（x）在（1，+∞）单调递增，在（而f（1）=0，∴f（x）＞0，不符合题意，③当0＜a0时，时，f′（x）≤0，f（x）在（1，）单调递减，而f（1）=0，∴此时f（x）＜0，不符合题意，综上所述：a的取值范围[，+∞）（3）证明：要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明，等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得ln x＞（x-1）[1-（x-1）]在（1，+∞）恒成立．令x=1+，k=1，2，3，…n．则∴ln（1+）．∴ln+ln+…+ln+…ln=．∴．ln+ln+…+ln+…ln．成立．∴（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．成立．【解析】（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的导数，利用单调性求最大值；（Ⅱ）求得f′（x）=．分：当a≤0时，当a0时，当0＜a0时，讨论即可．（Ⅲ）要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得ln x＞（x-1）[1-（x-1）]在（1，+∞）恒成立．令x=1+，k=1，2，3，…n．利用，即可证明本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第3问难度比较大，是一道综合题．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x-2|，（k∈R），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-6ρsinθ+8=0．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2有四个公共点，求k的取值范围．【答案】解：（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入曲线C2的极坐标方程可得x2+y2-2x-6y+8=0，因此，曲线C2的普通方程为（x-1）2+（y-3）2=2；（2）曲线C1的方程可化为，由于曲线C1与曲线C2有四个公共点，则k＞0且：直线kx-y-2k=0与曲线C2相交，则有，化简得k2-6k-7≥0，解得k≥7．直线kx+y-2k=0与曲线C2相交，则有，化简得k2+6k-7≥0，解得k≥1．综上所述，实数k的取值范围是[7，+∞）．【解析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入曲线C2的极坐标方程可求出曲线C2的直角坐标方程；（2）将曲线C1的方程表示为分段函数的形式，由题意得直线kx-y-2k=0与直线kx+y-2k=0与曲线C2都相交，然后列不等式即可求出k的取值范围．本题考查曲线的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时考查了计算能力，属于中等题．23.已知关于x的不等式|x-a2|+|x+2a-5|＜5．（Ⅰ）当a=时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）a=时，|x-|+|x-2|＜5，故或或，解得：-＜x＜，故不等式的解集是{x|-＜x＜}；（2）若不等式有实数解，则|x-a2|+|x+2a-5|≤|x-a2-x-2a+5|=|a2+2a-5|＜5．解得：0＜a＜2，即a的范围是（0，2）．【解析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三一模考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递减，故排除.故选B.3. 设是等差数列的前项和，若,，那么等于（）A. 4B. 5C. 9D. 18【答案】B【解析】等差数列中，所以，从而，，所以，故选B.4. 已知，，则（）A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】∵，∴故选D5. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】，即。
依题意可得，直线方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆所截得的弦长为，故选D.....................6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】由，，可推出与平行、相交或异面，由可推出∥.故选B7. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有，代入直线得，所以，故选.8. 设是数列的前项和，若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，解得.当时，，，则，即.∴数列是首项为，公比为的等比数列∴故选C.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】D【解析】由三视图的俯视图可知，三棱锥的底面为等腰直角三角形，故体积为.故选.10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A. 111B. 117C. 118D. 123【答案】B【解析】因为，所以，所以回归直线方程为，当时代入，解得，故选B.11. 已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设与圆相切于点，则因为，所以为等腰三角形，设的中点为，由为的中点，所以，又因为在直角中，，所以①又②，③故由①②③得，，故本题选C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到，由双曲线定义有，列方程即可求离心率的值.. 12. 设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若因为是函数是极大值点，所以即，所以若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，综上，故选A.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知正方形边长为2，是的中点，则______.【答案】2【解析】根据题意.故正确答案为.14. 若实数满足，则的最大值为_______.【答案】5【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率_______.【答案】【解析】设，∵直线与抛物线相交于不同两点∴，，则两式相减得∵是中点∴∴故答案为.16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.【答案】【解析】由于，且为钝角，故，由正弦定理得，故.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数.（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得的值域；（2）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积.试题解析：（1）由题意知，由.∵∴∴∴（2）∵∴∵∴∵，∴由余弦定理可得∴∴18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：，其中0.025 0.15 0.10 0.005 0.025 0.010 0.005 0.0015.024 2.0726.6357.879 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给数据，可得列联表；（2）根据关联表，代入公式计算，与临界值比较即可得出结论.试题解析：(1)(2)所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.19. 如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.（1）当是中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】（1）取中点，连结，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点，以点为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.【试题解析】（1）取中点，连结，则∥且.因为当为中点时，∥且，所以∥且.所以四边形为平行四边形，∥，又因为，，所以平面；（2）假设存在满足条件的点，设.以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，平面的法向量，平面的法向量，，解得，所以存在满足条件的点，此时.20. 已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点.（1）若，求的长；（2）为坐标原点，，满足，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得关于的一元二次方程，由及韦达定理可得的值，从而求出弦长；（2）由可得，即，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出的值，从而求出直线的方程. 试题解析：(1)由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为联立，得∵∴，则∴(2)∵∴∴，即设直线的方程为，联立，得∴，∴，即∴或∴直线的方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】（1）当时，利用导数可求得函数在上递减，在上递增，故最小值为.（2）根据函数的定义域为非负数，得到，由于导函数是否有零点由的正负还确定，故将分成三种情况，讨论函数的单调区间和最小值，由此求得实数的取值范围.【试题解析】（1）当时,.（2）①时, 不成立②时, ,在递增, 成立③时, 在递减, 递增设,,所以在递减,又所以综上: .【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用导数和不等式恒成立来求参数的取值范围.由于函数的导数是个分式的形式，故要将导函数进行通分，通分之后由于分母为正数，故只需要考虑分子的正负，结合一元二次函数的图象与性质，将分类讨论后利用最小值可求得的范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意利用转化公式可得曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）将原问题转化为三角函数问题可得曲线上的点到曲线的距离的最大值.试题解析：（1）由，得，则，即∴曲线的参数方程为（为参数）由（为参数）消去参数，整理得曲线的普通方程为.（2）设曲线上任意一点，点到的距离∵∴∴曲线上的点到曲线的距离的最大值为23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，不等式等价于，两边平方即可求得解集；（2）对分类讨论，去掉绝对值符号得函数的解析式，可得函数的最小值为，再结合基本不等式即可求出的最小值.试题解析：（1）当时，不等式为两边平方得，解得或∴的解集为（2）当时，，可得，∴∴，当且仅当，即，时取等号.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三数学上学期第一次验收考试试题理（扫描版）
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2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，λ），且∥，则实数λ的值为（）A．1B．C．D．23．（5分）“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a5+a9＝，则tan a7等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知变量x、y满足的约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．﹣3B．C．4D．﹣56．（5分）阅读如图的程序框图，输出结果s的值为（其中i为虚数单位，i2＝﹣1）（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y＝x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（）A．4B．2C．2D．19．（5分）若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A．B．C．2D．10．（5分）已知椭圆+x2＝l（a＞1）的离心率e＝，P为椭圆上的一个动点，则P 与定点B（﹣1，0）连线距离的最大值为（）A．B．2C．D．311．（5分）已知点M，N、P，Q在同一个球面上，且MN＝3，NP＝4，MP＝5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则该球的表面积是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（f（x））的零点个数为（）A．6B．7C．9D．10二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．（5分）已知椭圆＝1与双曲线＝1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．14．（5分）已知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则满足f（x2﹣2）＜f（1）的x的取值范围是．15．（5分）过点（﹣4，0）作直线L与圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则L的方程为．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n＝2n+1，且S n＝2019，若a2＜2，则n的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（c﹣2a）cos B+b cos C ＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若＝12，b＝2，求a，c的值．（其中a＜c）18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝S n（neN*）（Ⅰ）证明：数列{S n}为等比数列，并求S n；（Ⅱ）若b n＝1ga2n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD 的中点．（I）若P A＝PD，求证：AD⊥PB；（II）若平面P AD⊥平面ABCD，且P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．20．（12分）在圆O：x2+y2＝4上取一点P，过点P作x轴的线段PD，D为垂足，当点P 在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试问在E上是否存在两点M，N关于直线l：y＝kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（x﹣1）（ax﹣a﹣1）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n对任意正整数n均成立，其中e为自然对数的底数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x﹣2|，（k∈R），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6ρsinθ+8＝0．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2有四个公共点，求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣a2|+|x+2a﹣5|＜5．（Ⅰ）当a＝时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数a的取值范围．2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．【解答】解：∵向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，λ），且∥，∴，解得λ＝．∴实数λ的值为．故选：C．3．【解答】解：当a＝+2kπ（k∈Z）时，cos2a＝cos（4kπ+）＝cos＝反之，当cos2a＝时，有2a＝2kπ+⇒a＝kπ+（k∈Z），或2a＝2kπ﹣⇒a＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．4．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且a5+a9＝，则：，解得：，所以：tan．故选：B．5．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝，平移直线y＝，由图象可知当直线y＝，经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，﹣1），此时z max＝3×2﹣2＝4，故选：C．6．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝i2019的值．S＝i2019＝（i4）504•i3＝﹣i．故选：D．7．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，∴AD1∥BC1，∴∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B1O＝C1O＝＝，BC1＝＝2，BO＝＝，∴cos∠C1BO＝＝＝．∴∠C1BO＝30°．∴异面直线AD1与BO所成角为30°．故选：D．8．【解答】解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y＝x，∴，解得，b＝．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：＝＝4故选：A．9．【解答】解：几何体为不规则放置的四棱锥P＝ABCD，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，∴几何体的体积：＝．故选：A．10．【解答】解：椭圆+x2＝l（a＞1）的离心率e＝，可得：，解得a＝，椭圆方程为：+x2＝l，设p（cosθ，sinα），则P与定点B（﹣1，0）连线距离：＝＝，当cosθ＝时，取得最大值：．故选：C．11．【解答】解：由题意，作图，易知∠PNM＝90°，则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，由四面体Q﹣MNP的最大体积为10，可得O′Q＝5，在△OO′P中，OP2＝OO′2+O′P2，∴R2＝（5﹣R）2+，得R＝，∴该球的表面积为：＝，故选：B．12．【解答】解：x≤5时，f（x）＝x3﹣x2﹣3x+2，f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），令f′（x）＝0，解得：x＞3或x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，5]递增，故f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（x）极小值＝f（3）＝﹣7，f（5）＝，而f（﹣3）＝﹣7，f（﹣2）＝，f（0）＝2，f（1）＝﹣＜0，f（4）＝﹣4，f（5）＝，故存在x1∈（﹣3，﹣2），x2∈（0，1），x3∈（4，5）使得f（x）＝0，x＞5时，f（x）在（5，+∞）递减，x→5时，f（x）→﹣2，画出函数f（x）的图象，如图示：，函数y＝f（f（x））的零点个数即y＝f（x）和y＝x1，y＝x2和y＝x3的交点个数，结合图象f（x）和y＝x1有4个交点，f（x）和y＝x2的图象有3个交点，f（x）和y＝x3的图象没有交点，故函数y＝f（f（x））的零点个数为7个，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．【解答】解：椭圆＝1与双曲线＝1有共同的焦点，可得a2+b2＝4，即c＝2，双曲线的离心率为2，所以a＝1，则b＝，所以双曲线＝1的方程为：．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则f（x2﹣2）＜f（1）⇒f（|x2﹣2|）＜f（1）⇒|x2﹣2|＞1，解可得：x＜﹣或﹣1＜x＜1或x＞，即x的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（﹣1，1）∪（，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣1，1）∪（，+∞）．15．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0 即（x+1）2+（y﹣2）2＝25，∴圆心（﹣1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得8＝2∴d＝3．当直线L的斜率不存在时，方程为x＝﹣4，满足条件．当直线L的斜率存在时，设斜率等于k，直线L的方程为y﹣0＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，由圆心到直线的距离等于3得＝3，∴k＝﹣，直线L的方程为5x+12y+20＝0．综上，满足条件的直线L的方程为x＝﹣4或5x+12y+20＝0，故答案为：x＝﹣4或5x+12y+20＝0．16．【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n＝2n+1，可得a1+a2＝3，a3+a4＝7，a5+a6＝11，…，a29+a30＝59，a31+a32＝63，{a2k﹣1+a2k}的等差数列，首项为3，公差为4，数列{b k}的前k项和为T k，b k＝a2k﹣1+a2k可得，T k＝＝2k（k+1）＜2019，k∈N*，k＜32，T32＝2112＞2019．由S n＝2019，若a2＜2，则n的最大值为62，故答案为：62．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（Ⅰ）已知等式（c﹣2a）cos B+b cos C＝0，利用正弦定理化简得：（sin C﹣2sin A）cos B+sin B cos C＝0，整理得：sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B＝，则B＝60°；（II）由＝12，得：ac cos B＝12，①又由（I）知B＝60°，∴ac＝24，②由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，将b＝2及①代入得：a2+c2＝52，∴（a+c）2＝a2+c2+2ac═52+2×24＝100，∴a+c＝10，③由②③知a、c是一元二次方程t2﹣10t+24＝0的两个根，解此方程，并由c＞a得：a＝4，c＝6．18．【解答】解：（Ⅰ）证明：a1＝2，a n+1＝S n（neN*），a n+1＝S n+1﹣S n＝S n，即为S n+1＝2S n，可得数列{S n}为首项为2，公比为2的等比数列，则S n＝2n；（Ⅱ）a n+1＝S n＝2n，即a n＝2n﹣1，n≥2，b n＝1ga2n＝lg22n﹣1＝（2n﹣1）lg2，则前n项和T n＝lg2•（1+3+…+2n﹣1）＝n2lg2．19．【解答】（I）证明：∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设＝λ（0＜λ＜1），则M（﹣2λ，λ，（1﹣λ）），平面CBQ的一个法向量是＝（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为＝（x，y，z），则，取z＝，则，∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴＝，解得λ＝，此时＝．20．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2＝4，得x2+4y2＝4．所以E的方程为＝1．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y＝﹣x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2﹣8mkx+4k2（m2﹣1）＝0，△＝（﹣8mk）2﹣16（k2+4）k2（m2﹣1）＞0，化为：k2+4＞k2m2．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，依题意OM⊥ON，∴•＝0，∴x1x2+y1y2＝0，又y1y2＝（﹣x1+m）（﹣x2+m）＝x1x2﹣（x1+x2）+m2∴x1x2+y1y2＝（1+）x1x2﹣（x1+x2）+m2＝0，（1+）﹣•+m2＝0，解得：k2＝．由MN的中点（，）在直线y＝kx+上，∴＝k•+，＝k•+，化为：+＝0，把k2＝代入上式化为：10m2+m﹣6＝0，解得m＝（舍去），或﹣．∴k2＝＝2，解得k＝．满足k2+4＞k2m2．即满足△＞0．∴在E上存在两点M，N关于直线l：y＝kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点．直线MN的方程为：y＝x﹣．21．【解答】（1）解：当a＝0时，f（x）＝lnx+1﹣x，（x＞0），．可得∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）的最大值为f（1）＝0；（2）解：f′（x）＝（ax﹣a﹣1）+（x﹣1）•a＝．．∵x＞1∴x﹣1＞0故：①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（1，+∞）单调递减，而f（1）＝0，∴f（x）＜0，不符合题意，②当a0时，，f（x）在（1，+∞）单调递增，在（而f（1）＝0，∴f（x）＞0，不符合题意，③当0＜a0时，时，f′（x）≤0，f（x）在（1，）单调递减，而f（1）＝0，∴此时f（x）＜0，不符合题意，综上所述：a的取值范围[，+∞）（3）证明：要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明，等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得lnx＞（x﹣1）[1﹣（x﹣1）]在（1，+∞）恒成立．令x＝1+，k＝1，2，3，…n．则∴ln（1+）．∴ln+ln+…+ln+…ln＝．∴．ln+ln+…+ln+…ln．成立．∴（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，代入曲线C2的极坐标方程可得x2+y2﹣2x﹣6y+8＝0，因此，曲线C2的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2；（2）曲线C1的方程可化为，由于曲线C1与曲线C2有四个公共点，则k＞0且：直线kx﹣y﹣2k＝0与曲线C2相交，则有，化简得k2﹣6k﹣7≥0，解得k≥7．直线kx+y﹣2k＝0与曲线C2相交，则有，化简得k2+6k﹣7≥0，解得k≥1．综上所述，实数k的取值范围是[7，+∞）．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）a＝时，|x﹣|+|x﹣2|＜5，故或或，解得：﹣＜x＜，故不等式的解集是{x|﹣＜x＜}；（2）若不等式有实数解，则|x﹣a2|+|x+2a﹣5|≤|x﹣a2﹣x﹣2a+5|＝|a2+2a﹣5|＜5．解得：0＜a＜2，即a的范围是（0，2）．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三一模数学(理)第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三一模数学（理）一、单选题 1．设集合，集合，则（ ） A. B. C. D.2．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（ ） A.B.C.D.3．设是等差数列的前项和，若,，那么等于（ ）A. 4B. 5C. 9D. 184．已知()0cos15,sin15OA =u u u v ， ()cos75,sin75OB =u u u v，则AB =u u u v （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 15．过原点且倾斜角为3π的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A. 3B. 2C. 6D. 236．设l ， m 是两条不同的直线， α， β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是 A. l ∥α， m ⊥β， α⊥β B. l ⊥α， m ⊥β， α∥β C. l ∥α， m ∥β， α∥β D. l ∥α， m ∥β， α⊥β7．函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B. C. D. 8．设是数列的前项和，若,则（ ）A.B.C.D.9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D.10．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A. 111B. 117C. 118D. 12311．已知为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13．已知正方形边长为2，是的中点，则______.14．若实数满足，则的最大值为_______. 15．直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率_______.16．已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.三、解答题17．已知函数.（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积.18．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育第5页共10页◎第6页共10页锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：，其中0.0250.150.10.0050.0250.0100.0050.0015.0242.0726.6357.8795.0246.6357.87910.82819．如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.（1）当是中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.第7页共10页◎第8页共10页20．已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点.（1）若，求弦长；（2）为坐标原点，，满足，求直线的方程.21．已知函数. （1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的第9页共10页◎第10页共10页方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.第11页共10页◎第12页共10页参考答案1．C【解析】∵集合，集合∴故选C. 2．B【解析】对于，是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递减，故排除. 故选B. 3．B【解析】等差数列中，所以，从而，，所以，故选B.4．D【解析】∵()0cos15,sin15OA =u u u v ， ()0cos75,sin75OB =u u u vu u u r u u u r u u u r∴()()22=-=︒-︒+︒-︒=-︒= AB OB OAcos75cos15sin75sin1522cos601故选D5．D【解析】2240+-=，即()22x y x-+=。
哈三中2016-2017学年度上学期高三学年期末考试理科综合试卷考试时间:150分钟本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第33～40题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cu 64Ti 48第I卷(共126分)一、选择题：（本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1.下列关于人体细胞的叙述，错误的是（）A.人正常体细胞的分裂次数是有限的B.细胞骨架由蛋白质纤维组成，与细胞的运动、物质运输、信息传递等密切相关C.细胞中衰老的线粒体可被溶酶体分解清除D.细胞膜中的磷脂分子由胆固醇、脂肪酸和磷酸组成2.已知鱼鳔是一种半透膜。
向鱼鳔内注入适量的20%的淀粉溶液，排出鱼鳔内的空气，扎紧开口，将其浸在盛有3%的淀粉溶液烧杯中，下列正确表示烧杯内淀粉溶液浓度随时间变化趋势的示意图是（）3.下列科学研究过程中，采用的核心技术相同的一组是①研究豚鼠胰腺腺泡细胞中分泌蛋白合成和分泌②研究人鼠细胞融合证明细胞膜的流动性③用T2噬菌体侵染大肠杆菌证明DNA是遗传物质④建构种群“J”型增长的数学模型A．①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ①②③4.下列有关免疫的叙述，正确的是( )A.抗原刺激浆细胞合成分泌抗体B.吞噬细胞可吞噬病原体，也可加工处理病原体使抗原暴露C.系统性红斑狼疮和艾滋病均为自身免疫病D.免疫活性物质均由免疫细胞产生5. 瓶插鲜花鲜重的变化与衰败相关,鲜重累积增加率下降时插花衰败。
下图为细胞分裂素和蔗糖对插花鲜重的影响,下列叙述错误的是（）A. 蔗糖和细胞分裂素都有延缓衰败的作用B. 蔗糖可为花的呼吸作用提供更多的底物C. 同时添加蔗糖和细胞分裂素不利于插花保鲜D. 第5 天花中脱落酸的含量应该是清水组最高6.经 X 射线照射的紫花香豌豆品种,其后代中出现了几株开白花植株,下列叙述错误的是（ ）A. X 射线不仅可引起基因突变,也会引起染色体变异B. 基因突变与染色体结构变异都导致碱基序列的改变C. 白花植株的出现是对环境主动适应的结果,有利于香豌豆的生存D. 通过杂交实验,可以确定是显性突变还是隐性突变7．化学是一门充满神奇色彩的科学。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三第二次模拟考试考试理科数学试题(word)开始输入n , a 1,a 2, … , a nk =1, M = a 1x = a k x ≤M ?M = xk ≥n ?k = k +1是 否否2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．i为虚数单位，复数12-=i i z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=13222y x y A ，集合{}xyx B 42==，则=⋂B AA ．3,3⎡-⎣ B ．3⎡⎣ C．)3,⎡-+∞⎣D ．)3,⎡+∞⎣3．命题p ：“Rx∈∃0，0221x x<+”的否定⌝p 为A ．R x ∈∀,xx 212≥+ B ．R x ∈∀,xx 212<+ C ．R x∈∃0,0221x x ≥+ D ．R x∈∃0,0221x x >+4．5221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项是A ．5B ．5-C ．10D ．10-5．已知数列{}na 的前n 项和为nS ，执行如右图所示的程序框图，则输出的M 一定满足 A ．2nnM S= B ．nSnM=C ．nSnM≥ D ．nSnM≤6．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减7．如果实数yx ,满足关系⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤-+44004y x y x y x 则512--+x y x 的取值范围是A ．128[,]53B ．35[,]53C ．]38,58[ , , ,1 111正视图侧视图俯视图D ．]512,58[8．,A B 是圆22:1O xy +=上两个动点，1AB =u u u r ，32OC OA OB=-u u u r u u u r u u u r ，M 为线段AB 的中点，则OC OM⋅u u u r u u u u r 的值为A ．32B ．34C ．12D ．149． 函数11+=x y 的图像与函数)24(sin 3≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于A ．4-B ．2-C ．8-D ．6-10．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A B 2=，0cos cos cos >C B A ，则bA a sin 的取值范围是 A ．3362⎛ ⎝⎭B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,43 C ．13,22⎛ ⎝⎭D ．312⎫⎪⎪⎝⎭11．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A ．12πB ．11πC ．14πD ．13π12．已知S 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点N M , 交y 轴于点QP ,，若()411≥+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+OQ OP ON OM 恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为A ．(]2,1B ．[)+∞,2C ．(2D ．)2,⎡+∞⎣二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．等比数列{}na 中，318a =，5162a=，公比q = ．14．利用随机模拟方法计算1=y 和2x y =所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，RANDa=1，RAND b =；然后进行平移和伸缩变换，()5.021-=a a ；若共产生了N 个样本点（ ，b ），其中落在所围成图形内的样本点数为1N ，则所围成图形的面积可估计为 （结果用N ，1N 表示）．15．设O 为抛物线：)0(22>=p px y 的顶点，F 为焦点，且AB 为过焦点F 的弦，若p AB 4=，则AOB ∆的面积为 ．16．)(x f 是定义在R 上的函数,其导函数为)(x f '．若2018)1(,1)()(=->'f x f x f ，则不等式12017)(1+>-x ex f (其中e 为自然对数的底数)的解集为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文a ,字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}na 为正项数列，13a =，且111112()n n n n n n a a a a a a +++-=+*()n N ∈．（1）求数列{}na 通项公式； （2）若2(1)n a n nnb a =+-⋅，求{}nb 的前n 项和nS ．18．（本小题满分12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，早高峰时段93≤≤T ，[)5,3∈T 基本畅通；[)6,5∈T 轻度拥堵；[)7,6∈T 中度拥堵；[]9,7∈T 严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图如下．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡（记为迟到），否则能按时到岗打卡．单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至多扣除40元，根据直方图求该人一周（按5天计算）所得考勤奖的分布列及数学期望（假设每天的交通状况相互独立）．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PCD 底面ABCD ，CDPD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，CD AB //，ο90=∠ADC ，1===PD AD AB ，2=CD ．0.100.16 0.20 0.24 3 组距4 5 6 7 8 9（1）求证：平面⊥PBC 平面PBD ； （2）若()12-=，求二面角P BD Q --的大小．20．（本小题满分12分）已知F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，3=OF ，Q P ,分别为椭圆C 的上下顶点，且PQF ∆为等边三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 的两条互相垂直的直线21,l l 与椭圆C 分别交于异于点P 的点B A ,，①求证：直线AB 过定点；②求证：以PB PA ,为直径的两个圆的另一个交点H在定圆上，并求此圆的方程．CPABD21．（本小题满分12分）已知函数 e x , 直线1:+=x y l , 其中e 为自然对数的底．（1）当1=a ,0>x 时, 求证: 曲线221)()(x x h x f -=在直线l 的上方；（2）若函数)(x h 的图象与直线l 有两个不同的交点, 求实数a 的取值范围；（3）对于（2）中的两个交点的横坐标21,x x 及对应的a ,当21x x <时， 求证：)e (e )e )(e ()e (e21212122212x x x x x x a x x -<+---．()=h x a请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线3:14x tl y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24ρθ=-．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点(0,1)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求11PMPN+的值．23．选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）,已知,,x y z 为正实数，且2x y z ++=.（1）求证：24422z xy yz xz -≥++； （2）求证：2222224x y y z x z z x y +++++≥.。
2018年高考理科数学二模试题（哈三中有答案）
5 15D．15
5．正三棱柱ABc—A1B1c1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与Bc1所成角的余弦值为
A．
B．
c．
D．
6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则
A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数
B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数
c．的最小正周期为，且在上为单调递增函数
D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数
7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的
外接球半径为
A．
B．
c．
D．
8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为c，若，，则抛物线的方程为
A．
B．
c．
D．
9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为。
2018年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考据号码填写清楚；（2）选择题一定使用 2B 铅笔填涂 , 非选择题一定使用 0.5 毫米黑色笔迹的署名笔书写 , 字体工整 , 笔迹清楚；（3）请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效，在底稿纸、试题卷上答题无效；（ 4）保持卡面洁净，不得折叠、不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、刮纸刀．第 I 卷（选择题,共60分）一、选择题 (共 12 小题，每题5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的． )1．i为虚数单位，复数2iz 在复平面内对应的点所在象限为i 1A ．第二象限B．第一象限C．第四象限 D ．第三象限2．已知会合x 2 y2 1，会合 B x y 2 4x，则A B Ay32A ．3, 3 B．0, 3 C．3, D ．3, 3．命题p：“x0 R ， x02 1 2x0”的否认p为A ．x R,x2 1 2xB ．x R,x2 1 2xC．x0R,x02 1 2x0 D ．x0R,x02 1 2x0154．2 x 2 的睁开式中常数项是开始x入n, a1 ,a 2, ⋯ , a nA ． 5B ． 5k =1, M = a 1C ． 10D ． 10x = a kx ≤M ?k = k +1否5．已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，履行如右图所示的是M = x程序框图，则输出的 M 必定知足否k ≥n ?是出 MA ． S nnM B ． S nnM束2C ． S n nMD ． S nnM．设函数 f (x) sin( x ) cos( x )(0,) 的最小正周期为 ，且 f ( x)f (x) ，62则A ． f ( x) 在 0,单一递减B ． f ( x) 在 0,单一递加32C ． f ( x) 在, 3单一递加D ． f ( x) 在 , 单一递减 442x y4,x y 127．假如实数x, y知足关系 xy,的取值范围是则54x y4 0,xA ． [12 , 8]B ． [ 3 , 5]C ． [ 8 , 8]D ． [ 8 ,12]5 35 35 35 58． A, B 是圆 O : x 2 y 2 1上两个动点， AB 1， OC 3OA 2OB ， M 为线段 AB 的中点，则OC OM 的值为A ．3B ．3C ．1D ．124249y1 的图像与函数 y 3 sin x( 4 x 2)的图像全部交点的横坐标之和等于． 函数x 1A ． 4B ． 2C ． 8D ． 610． ABC 的三个内角 A,B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 B2 A ， cosAcosB cosC0 ，则asin A的取值范围是 bA ．3 , 3 B ．3 , 3 C ． 1 ,3D ．3 , 1624 22 26 211．某棱锥的三视图以下图，则该棱锥的外接球的表面积为A ． 12πB ． 11πC ． 14πD ． 13π11 正视图侧视图11俯视图12．已知 S 为双曲线x2y 2 1( a 0,b0) 上的随意一点，过 S 分别引其渐近线的平行线，分别交 x 轴于a 2b 2点 M , N 交 y 轴于点 P, Q ，若1 14 恒成立，,OMOP OQON则双曲线离心率e 的取值范围为A ． 1,2B ． 2,C ． 1,2D ． 2,2018 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题 , 共 90 分）二、填空题（共 4 小题，每题5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的地点上．）14．利用随机模拟方法计算y 1和y x2所围成图形的面积．第一利用计算机产生两组0 ~1 区间的均匀随机数， a1 RAND ，b RAND ；而后进行平移和伸缩变换， a 2 a1 0.5 ；若共产生了 N 个样本点（，），此中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估b a计为（结果用 N ，N1表示）．15．设O为抛物线：y2 2 px( p 0) 的极点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦，若 AB 4 p ，则 AOB 的面积为．16．f ( x)是定义在R 上的函数,其导函数为 f (x)．若f (x) f (x) 1, f (1) 2018 ，则不等式f ( x) 2017e x 1 1(此中 e 为自然对数的底数)的解集为．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12 分）已知数列 a n 为正项数列， a1 3，且an 1 a n 2(11 ) (n N*)．a nan 1 a n a n 1（ 1）求数列a n通项公式；（ 2）若b 2a n ( 1) n a ，求n的前 n 项和 S n．n nb18．（本小题满分12 分）交通拥挤指数是综合反应道路网通畅或拥挤的观点，记交通拥挤指数为T ，早顶峰时段3 T 9 ，T 3,5基本通畅；T 5,6轻度拥挤；T 6,7中度拥挤； T 7,9 严重拥挤，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图以下．（ 1）据此直方图估量早顶峰时段交通拥挤指数的中位数和均匀数；（ 2）某人上班路上遇中度拥挤或严重拥挤则不可以按规准时间打卡（记为迟到），不然能按时到岗打卡．单位规定每周考勤奖的基数为 50 元，无迟到再给予奖励 50多扣除 40 元，依据直方图求该人一周（按 5 天计算）所得考勤奖的散布列及数学希望（假定每日的交通情况相互独立）．频次组距0.240.200.160.100 3 4 5 6 7 8 9交通指数19．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面 PCD底面ABCD，PD CD ，底面 ABCD 是直角梯形， AB // CD ，ADC 90 ，AB AD PD 1，CD 2 ．（ 1）求证：平面PBC平面PBD；（ 2）若PQ 2 1 PC ，求二面角Q BD P 的大小．PD CA B20．（本小题满分 12 分）已知 F 为椭圆C:x2 y 2 1(a b 0) 的右焦点，OF3 ， P, Q 分别为椭圆 C 的上下顶a 2b 2点，且 PQF 为等边三角形．（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）过点P的两条相互垂直的直线l1 ,l 2与椭圆C分别交于异于点P 的点A, B，①求证：直线 AB 过定点；②求证：以 PA, PB 为直径的两个圆的另一个交点H 在定圆上，并求此圆的方程．21．（本小题满分12 分）已知函数 h(x)x1 , 此中 e为自然对数的底．a e,直线 l : y x（ 1）当a 1, x 0 时,求证: 曲线 f ( x) h( x) 1x 2在直线 l 的上方；2（ 2）若函数h(x)的图象与直线l 有两个不一样的交点,务实数a的取值范围；（ 3）关于（ 2）中的两个交点的横坐标x1 , x2及对应的a,当 x1 x2时，求证： 2(e x2 e x1 ) (x2 x1 )(e x2 e x1 ) a(e2x2 e2 x1 )．请考生在22、 23 二题中任选一题作答，假如都做，则按所做的第一题记分. 22．选修 4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10 分）x 3t ,在直角坐标系xoy 中，直线l :1 （ t 为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴y 4t成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos2 4 ．（ 1）求曲线C的直角坐标方程；（）点P(0,1) ，直线l 与曲线 C 交于M , N ，求 1 12PM 的值．PN23．选修 4-5:不等式选讲（本小题满分10 分）已知 x, y, z 为正实数，且x y z 2. （ 1）求证： 4 z2 4 xy 2 yz 2xz ；（ 2）求证：x2 y2 y2 z2 x2 z2 4 .z x y·11·11 / 13·12·12 / 13欢迎接见“高中试卷网”——·13·13 / 13。
