用函数观点看一元二次方程(1)

用函数观点看一元二次方程一知识讲解（提高）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数y=o?+法+w0）与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题.【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数y=心？+"+c（aWO）的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0,求^,+人工+0二。

中x的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与X轴的交点的个数由&2一的值来确定的.(1)当二次函数的图象与X轴有两个交点时，A=i-2-4t7C>0,方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，A=i2-4^=0,方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，A=A2-4^<0,方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛物线J=ax2+/?x+c(aWO)与y轴交点和一次函数与一次函数y=丘+4(Z。

0)的交点问题.抛物线y+bx+c(a#0)与y轴的交点是(0,c)., [y=kx+b x,抛物线y=+法+。

(aWO)与一次函数y=阮+4(kWO)的交点个数由方程组< ,[y=ax+bx+c 的解的个数决定.当方程组有两组不同的解时o两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时o两函数图象只有一个交点；当方程组无解时o两函数图象没有交点.总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题.要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想,即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程+W+c=0(以=0)的步骤：1.作二次函数y=ax+M4-C(L Z H0)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2.确定一元二次方程+岳:+c=0(。

人教版数学九年级上册22.2《用函数观点看一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《用函数观点看一元二次方程（1）》的内容，是在学生学习了函数和一元二次方程的基础上进行的。

本节课的主要内容是引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程，让学生通过观察、分析和探究，体会一元二次方程与二次函数之间的关系，提高学生解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过函数和一元二次方程的知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但在运用函数的观点来解决实际问题时，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系，会用函数的观点来认识和解决一元二次方程问题。

2.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程。

2.难点：如何引导学生运用函数的观点来解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和探究，发现一元二次方程与二次函数之间的关系。

2.运用案例教学法，让学生在实际问题中体会和运用函数的观点解决问题。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程和二次函数的案例，用于引导学生分析和讨论。

2.准备多媒体教学设备，用于展示和分析一元二次方程和二次函数的图像。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程。

例如，展示一些二次函数的图像，让学生观察图像与一元二次方程之间的关系。

2.呈现（10分钟）教师展示一些一元二次方程，让学生尝试用函数的观点来解释和解决这些问题。

教师引导学生观察一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

用函数观点看一元二次方程例1、二次函数（1）y ＝x 2＋x －2；（2）y ＝x 2－6x ＋9；（3）y ＝x 2－x ＋0的图象如图26.2－2所示。

（1）以上二次函数的图象与x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？（2）当x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c ++的图像与x 轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c ++=0的根。

归纳 一般地，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，（1）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根。

（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

一、填空题1.如果抛物线y=－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m=______. 2.二次函数y=－2x 2+x －21，当x=______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”).3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0.图1图24.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y=2x 2－6x+m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 二、选择题13.关于二次函数y=ax 2+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①当c=0时，函数的图象经过原点; ②当b=0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是a b ac 442;④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx+c=0必有两个不相等的实根( )A.0个B.1个C.2个D.3个14.已知抛物线y=ax 2+bx+c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c －8=0的根的情况是 A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根; C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根.15.抛物线y=kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A.k>－47; B.k ≥－47且k ≠0; C.k ≥－47; D.k>－47且k ≠016.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形A BCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB=x m ，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )A.424 mB.6 mC.15 mD.25 m图4 图5 图617.二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( ) A.1 B.3 C.4 D.618.无论m 为任何实数，二次函数y=x 2+(2－m)x+m 的图象总过的点是( ) A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3)19.为了备战2012英国伦敦奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax2+bx+c(如图5所示)，则下列结论正确的是( )①a<－601 ②－601<a<0③a －b+c>0 ④0<b<－12aA.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题26.求下列二次函数的图像与x 轴的交点坐标,并作草图验证.(1)y=12x 2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+427若二次函数y=-12x2+bx+c 的图象与x 轴相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?28. 已知抛物线L;y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 都不等于0), 它的顶点P 的坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点是M(0,c)我们称以M 为顶点,对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线,直线PM 为L 的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x 2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x 2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L 与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点x 2>x 1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D 两点,且AB=CD,请求出a 、b 、c 应满足的条件.[来源:学.科.网]29.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图像与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？31.现有铝合金窗框材料8米,准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度AB 必须小于窗户的高度BC).已知窗台距离房屋天花板2.2米.设AB 为x 米,窗户的总面积为S(平方米).(1)试写出S 与x 的函数关系式; (2)求自变量x 的取值范围.FD BC A E32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n(n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m ？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.。

人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》这部分内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法的基础上进行教学的。

这部分内容主要是让学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程，培养学生运用函数观点解决问题的能力。

教材通过引入函数的概念，让学生理解一元二次方程和函数之间的关系，从而提高学生解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，包括一元二次方程的解法。

但是，对于如何从函数的角度来理解和认识一元二次方程，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。

2.培养学生运用函数观点解决问题的能力。

3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解一元二次方程和函数之间的关系。

2.难点：如何引导学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，通过师生互动，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。

2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的解法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程。

让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与一元二次方程相关的问题，引导学生运用函数观点解决问题。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用函数观点解决问题的能力。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了用函数观点看待一元二次方程，还可以用其他方法来理解和解决问题吗？激发学生的思维，培养学生的创新能力。

从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。

一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。

而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。

对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。

当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。

而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。

当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。

此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。

具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。

同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。

针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。

4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。

用函数观点看一元二次方程一元二次方程是数学中的重要内容，通过函数的观点来看待一元二次方程可以更加深入地理解其性质和解法。

在本文中，将从函数的角度出发，探讨一元二次方程的定义、特点以及解法，并结合具体例子进行说明。

我们来回顾一下函数的概念。

函数是数学中的基本概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

在一元二次方程中，我们可以将自变量视为方程中的未知数，因变量视为方程的解。

通过这种角度，我们可以将一元二次方程看作是一个函数关系。

一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0。

其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

在函数的观点下，我们可以将一元二次方程看作是一个关于x的二次函数。

而二次函数的图象是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负性。

接下来，我们来讨论一元二次方程的特点。

首先，一元二次方程在解的个数上有一些特殊性。

根据韦达定理，一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。

一元二次方程在图象上也有一些特点。

根据二次函数的性质，当a 大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

同时，方程的解对应了抛物线与x轴的交点，这些交点被称为方程的根。

根的个数和位置与方程的系数有关，可以通过观察方程的图象来判断方程的解的情况。

我们来探讨一元二次方程的解法。

求解一元二次方程的一种常见方法是配方法。

通过变形、配方和化简，我们可以将一元二次方程转化为完全平方式，从而求得方程的解。

另一种常见的解法是使用求根公式，即利用判别式和一些公式来求解方程的根。

除了这些常见的解法，我们还可以利用图象的性质来求解一元二次方程。

通过观察抛物线与x轴的交点，我们可以直观地得到方程的解。

这种方法在一些特殊情况下尤为有效，例如当方程的系数为整数或有理数时。

通过函数的观点来看待一元二次方程，我们可以更加深入地理解其性质和解法。

用函数观点看一元二次方程撰稿：庄永春责编：张晓新一、目标认知学习目标1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.重点1．体会方程与函数之间的联系.2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.难点1．探索方程与函数之间关系的过程.2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.二、知识要点梳理知识点一、二次函数与一元二次方程的关系1．函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.2．函数与直线的公共点情况方程的根的情况.函数与直线的公共点情况方程的根的情况.知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1．作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数2．由二次函数图象与的交点位置，确定交点的横坐标的取值范围；3．利用计算器计算方程的近似根.三、规律方法指导求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根：(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根。

《用函数的观点看一元二次方程》教案《用函数的观点看一元二次方程》教案一、教学目标：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

二、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

三、教学方法：启发引导合作交流四：教具、学具：课件五、教学媒体：计算机、实物投影。

六、教学过程：检查预习引出课题预习作业：1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0;(4) x2－2x－2=0.2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解.师生行为：教师展示预习作业的.内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。

设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。

【《用函数的观点看一元二次方程》教案】。