利用一元二次方程解决几何问题

用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。

设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。

3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。

4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。

5.一个矩形周长为56厘米。

1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。

2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。

知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。

求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。

一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。

它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。

2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。

3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。

这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1 一般图形的问题1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝9002．(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝63．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是________m.4．一个直角三角形的两条直角边相差 5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为________________．5．(自贡中考)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．知识点2 边框与甬道问题6．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )A．(20－x)(32－x)＝540B．(20－x)(32－x)＝100C．(20＋x)(32－x)＝540D．(20－x)(32＋x)＝5407．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147 m2，则休闲广场的边长是________m.8．如图所示，某小区计划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB垂直，另一条与AB平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽度．中档题9．(宁夏中考)如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A．x2＋9x－8＝0B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0D．2x2－9x＋8＝010．(襄阳中考)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?11．在高度为2.8 m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5 m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3 m2(铝合金条的宽度忽略不计)?12．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?综合题13．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°.AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．参考答案基础题1.B2.B3.124.2 cm 、7 cm5.设垂直于墙的－边长为x 米，由题意，得x(58－2x)＝200.解得x 1＝25，x 2＝4.∴另一边长为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米．6.A7.78.设甬路的宽度为x 米．依题意，得(40－2x)(26－x)＝144×6.解得x 1＝2，x 2＝44(不合题意，舍去)．答：甬路的宽度为2米． 中档题 9.C10.设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.依题意，得x(26－2x)＝80.解得x 1＝5，x 2＝8.当x ＝5时，26－2x ＝16>12(舍去)；当x ＝8时，26－2x ＝10<12.答：所建矩形猪舍的长为10 m ，宽为8 m ．11.设窗户的高为x m ，则窗户的宽为9.5－2x －0.53＝3－23x(m)，则根据题意列方程为：x(3－23x)＝3，解得x 1＝1.5，x 2＝3(不合题意，舍去)．所以窗户的高为1.5 m ，宽为3－23×1.5＝2(m)． 12.设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ．根据题意，得(x －2)·(2x －4)＝288.解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14.所以x ＝14，2x ＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m ，宽为14 m 时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2. 综合题13．(1)设x 秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2.根据题意，得x(5－x)＝4.解得x 1＝1，x 2＝4.∵当x ＝4时，2x ＝8>7，不合题意，舍去．∴x ＝1.(2)设x 秒后，PQ ＝5，则(5－x)2＋(2x)2＝25.解得x1＝0(舍去)，x2＝2.∴x＝2.(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得x(5－x)＝7.此方程无解．所以不能．周周练(21.2.3～21.3)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．小新在学习解一元二次方程时，做了下面几个填空题：(1)若x2＝9，则x＝3；(2)方程mx2＋m2x＝0(m≠0)，则x＝－m；(3)方程2x(x＋1)＝x＋1的解为x＝－1．其中，答案完全正确的有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个2．已知α，β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α，β为根的一元二次方程是( ) A．x2－5x＋6＝0B．x2－5x－6＝0C．x2＋5x＋6＝0D．x2＋5x－6＝03．(衡阳中考)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( ) A．－2 B．2C．4 D．－34．解方程3(x－1)2＝6(x－1)，最适当的方法是( )A．直接求解 B．配方法C．因式分解法 D．公式法5．多项式a2＋4a－10的值等于11，则a的值为( )A．3或7 B．－3或7C．3或－7 D．－3或－76．经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则一元二次方程x2－3x－4＝0的所有根是( )A．x1＝－1，x2＝－4B．x1＝－1，x2＝4C．x1＝1，x2＝4D．x1＝1，x2＝－47．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为( )A．50(1＋x)2＝60B．50(1＋x)2＝120C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝120D．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝1208．(哈尔滨中考改编)今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600 m2，那么扩大后的正方形绿地边长为( ) A．120 mB．100 mC．85 mD．80 m二、填空题(每小题4分，共24分)9．(聊城中考)一元二次方程x2－2x＝0的解是______________．10．一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根互为倒数，则c＝________．11．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝_______，x1x2＝_______．12．(南昌中考)已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________．13．已知：如图所示的图形是一无盖长方体的铁盒平面展开图.若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：____________．14．(巴彦淖尔中考)某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请___个队参赛．三、解答题(共44分)15．(20分)用适当的方法解下列方程：(1)(徐州中考)x2－2x－3＝0；(2)(x＋2)2＝2x＋4；(3)(3x＋1)2－4＝0；(4)4x 2－12x ＋5＝0；(5)4(x －1)2－9(3－2x)2＝0.16．(6分)当x 为何值时，32x 2＋14(x －1)和13(x －2)互为相反数？17．(8分)向阳村2013年的人均收入为12 000元，2015年的人均收入为14 520元．求人均收入的年平均增长率．18．(10分)(淮安中考)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元．请问她购买了多少件这种服装？参考答案1.A2.A3.A4.C5.C6.B7.D8.D9.x 1＝0，x 2＝2 10.1 11.7 3 12.25 13.x(x ＋1)＝3 14. 515.(1)x 1＝－1，x 2＝3.(2)x 1＝0，x 2＝－2.(3)x 1＝13，x 2＝－1.(4)x 1＝52，x 2＝12.(5)x 1＝74，x 2＝118. 16.∵32x 2＋14(x －1)和13(x －2)互为相反数，∴32x 2＋14(x －1)＋13(x －2)＝0.解得x 1＝－1，x 2＝1118.∴当x 为－1或1118时，32x 2＋14(x －1)和13(x －2)互为相反数． 17.设人均收入的年平均增长率为x ，根据题意得12 000(1＋x)2＝14 520.解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：人均收入的年平均增长率为10%.18.设购买了x 件这种服装，根据题意，得[80－2(x －10)]x ＝1 200.解得x 1＝20，x 2＝30.当x ＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．∴x ＝20.答：她购买了20件这种服装．。

第3课时用一元二次方程解决几何图形等问题知识点1规则图形的面积问题1．某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为()A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝3752．从一块正方形的木板上锯掉一个2 m宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 m2，则原来这块正方形木板的边长是()A．8 m B．9 m C．10 m D．11 m3．直角三角形两直角边的长度比是3∶4，而斜边长等于10 cm，那么这个直角三角形的面积为________cm2.4．如图21－3－3，某工人师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为________．图21－3－35．如图21－3－4，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.图21－3－4知识点2边框与甬道问题6．2017·酒泉如图21－3－5，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2，若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是()图21－3－5A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝5707．如图21－3－6，小明家有一块长1.5 m、宽1 m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为________m.图21－3－68．在一张矩形床单的四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6 m2，已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽度．9．某小区有一块长18米，宽8米的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形花圃．为方便游人观赏，准备在花圃周边修建如图21－3－7所示的“两横三纵”人行通道，其中横向人行通道的宽度是纵向人行通道宽度的一半．设纵向人行通道的宽度为x米，当x 为何值时，花圃的面积之和为72平方米？图21－3－710．如图21－3－8，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH，若两正方形的面积之和为68 cm2，则矩形ABCD的面积是()图21－3－8A．24 cm2 B．21 cm2 C．16 cm2 D．9 cm211．小明家的餐桌桌面是长为160 cm，宽为100 cm的长方形，小明的妈妈准备设计一块桌布，其面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为x cm，则所列方程为()A．(160＋x)(100＋x)＝2×160×100B ．(160＋2x )(100＋2x )＝2×160×100C ．(160＋x )(100＋x )＝160×100D ．2(160x ＋100x )＝160×10012．如图21－3－9，有一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，其所占面积是整个地毯面积的1780.(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．图21－3－913．要在一块长52 m 、宽48 m 的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．图21－3－10①②分别是小亮和小颖的设计方案．(1)求小亮的设计方案中甬路的宽度；(2)求小颖的设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x 与小亮设计方案中x 的取值相同)图21－3－1014．已知：如图21－3－11，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度匀速运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s 的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5 cm?(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7 cm2？并说明理由．图21－3－111．A [解析] ∵游泳池的长为x m ， ∴宽可表示为(x －10)m ，根据矩形的面积公式，得x(x －10)＝375. 故选A .2．A [解析] 设原来这块正方形木板的边长是x m . 根据题意，得x(x －2)＝48，解得x 1＝8，x 2＝－6(不合题意，舍去)， ∴原来这块正方形木板的边长是8 m . 故选A . 3．244．2 m 2 [解析] 设大正方形的边长为x m ，则小正方形的边长为(x －1)m . 根据题意，得x(2x －1)＝15，解得x 1＝3，x 2＝－52(不合题意，舍去)．则x －1＝3－1＝2，∴裁剪后剩下的阴影部分的面积＝15－22－32＝2(m 2)． 故裁剪后剩下的阴影部分的面积为2 m 2. 5．解：设AB 为x m ，则BC 为(50－2x)m . 根据题意，得x(50－2x)＝300， 2x 2－50x ＋300＝0， 解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10时，50－2x ＝30＞25(不合题意，舍去)； 当x ＝15时，50－2x ＝20＜25(符合题意)．答：当AB 的长为15 m ，BC 的长为20 m 时，可使矩形花园的面积为300 m 2. 6．A [解析] 将两条纵向的道路向左平移，水平方向的道路向下平移，即可得草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－x)米，所以草坪的面积为新得矩形长与宽的乘积，即可列出方程．故选A .7．0.25 [解析] 设花色地毯的宽为x m ，那么地毯的面积＝(1.5＋2x)(1＋2x)m 2. 因为镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍， 所以(1.5＋2x)(1＋2x)＝2×1.5×1， 即8x 2＋10x －3＝0.解得x ＝0.25或x ＝－1.5(舍去)． 故花色地毯的宽为0.25 m .8．解：设花边的宽度为x m ．依题意，得 (2－2x)(1.4－2x)＝1.6，解得x 1＝1.5(不合题意，舍去)，x 2＝0.2. 答：花边的宽度为0.2 m .9．解：依题意可得(18－3x)(8－2×12x)＝72，解得x 1＝2，x 2＝12(不合题意，舍去)．答：当x 的值为2时，花圃的面积之和为72平方米． 10．C11．B [解析] 由题意，得桌布的面积为160×100×2 cm 2，桌布的长为(160＋2x)cm ，宽为(100＋2x)cm ，则(160＋2x)(100＋2x)＝2×160×100.12．解：(1)设配色条纹的宽度为x 米．依题意，得 2x ×5＋2x ×4－4x 2＝1780×5×4，解得x 1＝174(不符合题意，舍去)，x 2＝14.答：配色条纹的宽度为14米．(2)配色条纹部分的造价：1780×5×4×200＝850(元)，其余部分的造价：(1－1780)×5×4×100＝1575(元)，∴总造价为850＋1575＝2425(元)． 答：地毯的总造价是2425元．13．]解：(1)根据小亮的设计方案列方程，得 (52－x)(48－x)＝2300.解这个方程，得x 1＝2，x 2＝98(不合题意，舍去)． 答：小亮的设计方案中甬路的宽度为2 m .(2)过点A 作AI ⊥CD ，过点H 作HJ ⊥EF ，垂足分别为I ，J ，如图所示．∵AB ∥CD ，∠1＝60°， ∴∠ADI ＝60°. 又∵BC ∥AD ，∴四边形ADCB 是平行四边形， ∴BC ＝AD. 由(1)得x ＝2， ∴BC ＝HE ＝2 m ＝AD.在Rt △ADI 中，利用勾股定理可得AI ＝ 3 m . 同理可得HJ ＝ 3 m .52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299(m 2)． 答：小颖的设计方案中四块绿地的总面积为2299 m 2.14．解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积为4 cm 2，此时，AP ＝x cm ，BP ＝(5－x)cm ，BQ ＝2x cm .由S△PBQ＝12BP·BQ，得12(5－x)·2x＝4，整理，得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.当x＝4时，2x＝8>7，说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去．答：1 s后，△PBQ的面积为4 cm2.(2)仿照(1)，由BP2＋BQ2＝PQ2，得(5－x)2＋(2x)2＝52，整理，得x2－2x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2.答：2 s后，PQ的长度为5 cm.(3)不能．理由：仿照(1)，得12(5－x)·2x＝7，整理，得x2－5x＋7＝0，Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×7＝25－28＝－3<0，∴此方程无实数根，∴△PBQ的面积不能为7 cm2.。

2.6 应用一元二次方程第1课时 利用一元二次方程解决几何问题1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程．2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤．(重点)3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(重点)阅读教材P52～53，完成下列问题：(一)知识探究1．列方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；(2)“设”：设元，也就是设________；(3)“________”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”：求出所列方程的________；(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题________；(6)“答”：就是写出答案．2．解决与几何图形有关的一元二次方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．(二)自学反馈要为一幅长29 cm ，宽22 cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？ 利用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系，此题是利用矩形的面积公式作为相等关系列方程．活动1 小组讨论例 如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 的中点．一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)解：连接DF.∵AD ＝CD ，BF ＝CF ，∴DF 是△ABC 的中位线．∴DF ∥AB ，且DF ＝12AB. ∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝200海里，∴DF ⊥BC ，DF ＝100海里，BF ＝100海里．设相遇时补给船航行x 海里，那么DE ＝x 海里，AB ＋BE ＝2x 海里，EF ＝AB ＋BF －(AB ＋BE)＝(300－2x)海里．在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得x 2＝1002＋(300－2x)2，整理，得3x 2－1 200x ＋100 000＝0.解这个方程，得x 1＝200－10063≈118.4，x 2＝200＋10063(不合题意，舍去)． 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里． 解本题的关键是找到等量关系，利用勾股定理列方程求解．活动2 跟踪训练 1．从正方形铁片上截去2 cm 宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48 cm 2，则原来的正方形铁片的面积是( )A ．8 cmB ．64 cmC ．8 cm 2D ．64 cm 22．将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A ．7 mB ．8 mC ．9 mD ．10 m3．用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？如果能，说明围法．4．如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144 m 2，求马路的宽．这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．活动3 课堂小结用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．【预习导学】(一)知识探究1．(2)未知数 (3)列 (4)解 (5)有意义(二)自学反馈设镜框边的宽度为x cm ，则有(29＋2x)(22＋2x)＝(14＋1)×(29×22)，即4x 2＋102x －159.5＝0，解得x 1＝1.48，. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.(1)设此长方形的宽为.根据题意，得x(20－x)＝75，解得x 1＝5，.(2)不能．理由：由题意，得x(20－x)＝101，即x 2－20x ＋101＝0.∵Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴此方程无实数解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．4．假设三条马路修在如图所示位置．设马路宽为x ，则有(40－2x)(26－x)＝144×6，化简，得x 2－46x ＋88＝0，解得x 1＝2，x 2＝44.由题意，知40－2x ＞0，26－x ＞0，则x ＜20.故x 2＝44不合题意，应舍去，∴．第2课时 利用一元二次方程解决营销问题会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．(重点)阅读教材P54～55，完成下列问题： (一)知识探究 1．单件商品利润＝________－________.2．利润率＝利润进价＝售价－进价进价. 3．售价＝进价×(1＋________)4．总利润＝每件商品的________×商品的________．(二)自学反馈某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．如果每天盈利1 600元，每件应降价多少元？活动1 小组讨论例 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元．调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元．如果设每台冰箱降价x 元，那么每台冰箱的定价就是(2 900－x)元，每台冰箱的销售利润为(2 900－x －2 500)元，平均每天销售冰箱的数量为(8＋4×x 50)台．这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决． 解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得(2 900－x －2 500)(8＋4×x 50)＝5 000. 解这个方程，得x 1＝x 2＝150.2 900－150＝2 750.所以，每台冰箱应定价为2 750元．利用一元二次方程解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．活动2 跟踪训练1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6 125元，每件商品应降价( )A ．3元B ．2.5元C ．2元D ．5元2．某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为( )A ．20%或－220%B ．40%C ．－220%D ．20%3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2 100元．4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？活动3 课堂小结找准题目中的等量关系，会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．【预习导学】(一)知识探究1．售价进价 3.利润率 4.利润销量(二)自学反馈设每件应降价x元，根据题意，得(44－x)(20＋5x)＝1 600.整理得x2－40x＋144＝0.解这个方程，得x1＝4，x2＝36(不合题意，舍去)．答：每件服装应降价4元．【合作探究】活动2跟踪训练1．B 2.D 3.204．设每件降价x元，则每件销售价为(60－x)元，每星期销量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080，解得x1＝1，x2＝4.因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取x＝4.所以定价为60－x＝56(元)．答：应将销售单价定为56元．。

一元二次方程与几何问题 篇一：一元二次方程与几何问题 已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边 形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH， 若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？ 如图， 将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开， 再把△ ABC 沿着 AD 方向平移， 得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？ 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形， 则 BE 的长为？ 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 ∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能， 请说明理由． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm， （1）当 x 为何值时，点 P、N 重合； （2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． 1 / 10（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长； 若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B， 另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由． 如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终 点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒． （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的 值； 若不存在，请说明理由． 如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发， 运动时间为 t（s）． （1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由． 如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周 长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？ 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到 达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后， （1）求出△ PBQ 的面积； （2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值． （3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在， 求出 t 的值，若不存在，说明理由． 例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？ （2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前 进， 2 / 102 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移 动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间 为 t 秒， （1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s， 则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？ （2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从 点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速 度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ BP 例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在 线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每 秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒， （1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ （2）当 t 为何值时，△ APQ 的面积为个平方单位？ 5 24 篇二：一元二次方程与几何问题 已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边 形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH， 若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？ 如图， 将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开， 再把△ ABC 沿着 AD 方向平移， 得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？ 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形， 则 BE 的长为？ 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 3 / 10∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能， 请说明理由． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm， （1）当 x 为何值时，点 P、N 重合； （2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长； 若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B， 另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由． 如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终 点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒． （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的 值； 若不存在，请说明理由． 如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发， 运动时间为 t（s）． （1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由． 如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 4 / 10向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周 长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？ 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到 达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后， （1）求出△ PBQ 的面积； （2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值． （3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由． 例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？ （2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前 进， 2 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移 动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间 为 t 秒， （1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s， 则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？ （2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正 以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从 点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速 度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ P 5 / 10例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在 线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每 秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒， （1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ 篇三：一元二次方程与几何运动问题 一元二次方程与几何运动问题 1 动态几何图形中边长的表示：1)题设运动时间为 t，表示出动点有关边长。

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列出一元二次方程．2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为__5___cm.知识点1：一般图形的面积问题1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C)A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m2．用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B)A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝643．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，7_cm___．4．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.解：设AB＝x m，则BC＝(50－2x) m，根据题意得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15 m，BC为20 m的矩形知识点2：边框与通道问题5．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( A)A．(20－x)(32－x)＝540B．(20－x)(32－x)＝100C．(20＋x)(32－x)＝540D．(20－x)(32＋x)＝540,第5题图),第6题图) 6．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．7．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3 cm8．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( B)A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144 m29．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( A)A．2－ 3 B．2＋ 3C．2＋ 5 D.5－2,第9题图),第11题图) 10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为__1___米．11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1(2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能。

专题1.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题的理解！【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（）A．B．C．D．2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当s时，的面积为．3．（2023春•驻马店期末）如图，已知AG CF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3 ，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为．4．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题：(1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P 从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时PDQ的面积为40cm26．（2023·浙江金华·九年级期中）如图，在中，厘米，厘米，于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求的长；（2）当的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．7．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在矩形中，点是上的一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰好落在的平分线上时，的长为．2．（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始秒时，点P和点Q的距离是．（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）3．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）求的长．（3）当时，①求的值；②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．5．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）如图，在ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，MON 的面积为？6．（2023春·浙江·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．7．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求当t＝0.5s时，APQ的面积；（3）当APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．8．（2023春·广东惠州·九年级惠州一中校考开学考试）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8）(1)当t＝1时，试求PE的长；(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；(3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值．9．（2023春·九年级单元测试）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，若，两点同时出发，运动时间为．(1)连接，，，当为何值时，面积为(2)当点在上运动时，是否存在这样的的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【类型3 利用一元二次方程解决坐标系中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，边在x轴上，点B的坐标是，D为边上一个动点，把沿折叠，若点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则点的坐标为（）A．B．C．D．3．（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图①，在中，于D，，，，点E 是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G、H在上，设，连接．(1)设矩形的面积为，的面积为，令，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围）(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为，，当为等腰三角形时，求点M的坐标．4．（2023春·广东佛山·九年级佛山市华英学校校考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，．(1)求出__________；(2)若平分，求点的坐标；(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.5．（2023春·广东江门·九年级江门市福泉奥林匹克学校校考期中）已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）(1)如图1，当t为何值时，DOE的面积为6；(2)如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE；(3)如图3，过点D作DG OB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构成等腰三角形，求出此时t的值6．（2023春·浙江·九年级期中）如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）．(1)求线段的长，及点的坐标；(2)为何值时，的面积为；(3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值．7．（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，A，B点的坐标分别为（0，4），（-4，0），点坐标为，点是射线BO上的动点，满足BE=1.5OP，以，为邻边作．（1）当m=2时，求出PE的长度；（2）当m﹥0时，是否存在m的值，使得的面积等于ABO面积的，若存在求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q′，点Q′刚好落在AB上时，求m的值（直接写出答案）．8．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．(1)求和的长；(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．9．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，已知，点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上．在中，边的角平分线交于点D．（1）求两点的坐标；（2）若点M是直线上的一个动点，点是坐标平面上的点，以点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；（3）如图2，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动：同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向移动，连结，设移动时间t秒．当t为何值时，是直角三角形．10．（2023春·重庆·九年级重庆市育才中学校联考期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．(1)求直线l的解析式．(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．11．（2023春·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：________，________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．12．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．专题1.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题的理解！【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设AP＝x cm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝P A＝x cm，然后根据▱PQCR 的面积为ABC面积的一半列方程求解即可．【详解】解：设AP＝x cm，则PB＝（8−x）cm，∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，∴∠A＝45°，∵PR BC，∴∠APR＝90°，∴PR＝P A＝x cm，∵▱PQCR的面积为ABC面积的一半，∴，解得：，∴点P移动的路程为4cm．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键．2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当s时，的面积为．【答案】或【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．【详解】解：∵在等腰中，，，∴，，．∵于点．∴设当时间为秒时，的面积为．当时，，，，即，解得：或（舍去）．当时，，，，即，解得：或（舍去）．综上所述：当或秒时，的面积为．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．3．（2023春•驻马店期末）如图，已知AG CF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3 ，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为．【答案】或【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D点为AB中点，∴AD=BD，∴结合∠ADP=∠BDE可得APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根据PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．4．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题：(1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1(2)不存在，理由见解析【分析】（1）当时，利用直角三角形的性质建立方程，解方程即可得；（2）假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，从而可得，过点作于点，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，再利用三角形的面积公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得出答案．【详解】（1）由题意得：，，为等边三角形，，当点到达点时，，则，∵，，，即，解得，符合题意；（2）不存在，使四边形的面积是面积的，理由如下：假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，由（1）得：，，如图，过点作于点，，，，整理得：，此方程根的判别式为，方程无解，所以假设不成立，即不存在，使四边形的面积是面积的．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，正确建立关于时间的方程是解题关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P 从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时PDQ的面积为40cm2【答案】(1)（12﹣2t）；4t(2)t＝2或4【分析】（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中点，∴BH=BC＝12cm，DH是ABC的中位线，∴DH AB＝6cm，根据题意，得-（12﹣2t）-（24﹣4t）×6-2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，PBQ的面积是40cm2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．6．（2023·浙江金华·九年级期中）如图，在中，厘米，厘米，于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求的长；（2）当的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t的值为2或或，使得S PMD=S ABC．【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×=15即可求出t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2-CD2∴AD=12cm．（2）AP=t，PD=12-t，又∵由PDM面积为PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S PMD=S ABC．①若点M在线段CD上，即0≤t≤时，PD=12-t，DM=5-2t，由S PMD=S ABC，即×(12−t)(5−2t)＝5，2t2-29t+50=0解得t1=12.5（舍去），t2=2．②若点M在射线DB上，即≤t≤12．由S PMD=S ABC得(12−t)(2t−5)＝5，2t2-29t+70=0解得t 1＝，t 2＝．综上，存在t的值为2或或，使得S PMD=S ABC．【点睛】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．7．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC 上)，设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．【答案】(1) t＝4 (2) t＝6【分析】分别根据运动方式列出面积S1,S2关于t的函数关系，第一问令面积相等，第二问配方求最值. 【详解】解：S1＝×8×t＝8t，S2＝t(8－t)＝－2t2＋16t，(1)由8t＝－2t2＋16t，解得t1＝4，t2＝0(舍去)，∴当t＝4秒时，S1＝S2(2)∵S1＋S2＝8t＋(－2t2＋16t)＝－2(t－6)2＋72，∴当t＝6时，S1＋S2最大，最大为72【点睛】关于x的两次三项式，可以配方化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值,必要是需要引入二次函数的内容求最值.8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或2时，重叠面积为8．【分析】（1）先求出ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S ABC＝×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与P AD的面积和＝t2+×6×（6﹣t），∵△PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝6×6﹣t2＝8，解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去），综上，t的值为或2时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在矩形中，点是上的一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰好落在的平分线上时，的长为．【答案】或【分析】过点A1作A1F⊥BC于F，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设CF==x，从而得出BF= 7－x，CA1=，然后根据折叠的性质可得AB==5，再利用勾股定理求出x，即可求出结论．【详解】解：过点A1作A1F⊥BC于F∵四边形ABCD为矩形，平分∴∴△为等腰直角三角形，设CF==x则BF=BC－CF=7－x，CA1==由折叠的性质可得AB==5在Rt中，即解得：x1=3，x2=4∴CA1=或故答案为：或．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．2．（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始秒时，点P和点Q的距离是．（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）【答案】2或【分析】设当P、Q两点从出发开始x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时，，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设当P、Q两点从出发开始x秒时，点P和点Q的距离是，此时，，如图，过作于，∵四边形是矩形，∴四边形，是矩形，∴，，∴，则，根据题意得：，解得：，．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．3．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．【分析】（1）过点P作于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出的底和高，代入面积公式即可求得；【详解】（1）解：过点P作于E，设x秒后，点P和点Q的距离是．，∴，；∴经过或，P、Q两点之间的距离是；（2）解：连接．设经过后PBQ的面积为．①当时，，∴，即，解得；②当时，，，则，解得，（舍去）；③时，，则，解得（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）求的长．（3）当时，①求的值；②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）①2；②，，【分析】（1）根据已知证明即可得证；（2）根据题，当时，，令时，即可求得；（3）①当到达点时，点到达点，此时,则，令求得，可得，结合已知条件可得；②由①可得，是等边三角形，分情况讨论，当在上，时，根据含30度角的直角三角形的性质，可得；当时，过点分别作，垂足为,可得四边形是矩形，分别求得,根据勾股定理列出方程，解一元二次方程即可，当时，如图，过点作于点,同理通过勾股定理求得，当点在上时，观察图形可知不存在直角三角形．【详解】四边形是平行四边形；即四边形是平行四边形；（2）依题意，设点运动的路程为，的长度为，。

一元二次方程的应用解决几何形状问题一元二次方程是数学中常见的一类方程，拥有广泛的应用领域。

在解决几何形状问题时，一元二次方程也扮演着重要的角色。

本文将讨论一元二次方程在几何形状问题中的应用，并探讨其解决问题的方法。

一、直线与抛物线交点的问题考虑一个几何形状问题，要求找到一条直线与一个抛物线的交点。

此类问题可以通过一元二次方程的解来轻松求解。

假设直线的方程为y = mx + c，抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。

将直线方程代入抛物线方程，可以得到一元二次方程ax^2 + (b - m)x + (c - c) = 0。

通过求解这个一元二次方程，可以得到交点的横坐标x。

将其带入直线方程，可以求解出交点的纵坐标y。

因此，一元二次方程为解决直线与抛物线交点问题提供了有效的方法。

二、求解几何形状的顶点坐标在几何形状中，有些形状可以用一元二次方程来表示。

其中，抛物线是一种常见的形状。

求解抛物线的顶点坐标，也可以通过一元二次方程来实现。

一元二次方程的标准形式为y = ax^2 + bx + c。

在标准形式中，a代表开口的方向和抛物线的形状，b代表抛物线在x轴上的平移，c代表抛物线与y轴的交点。

通过求解一元二次方程，可以得到抛物线的顶点坐标。

顶点坐标为(-b/(2a)，-Δ/(4a))，其中Δ为二次方程的判别式。

三、通过一元二次方程求解三角形面积三角形是几何学中的基本形状，而一元二次方程在求解三角形面积的问题中也大有作为。

以一个具体问题为例，假设已知三角形的三个顶点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)。

根据三角形的面积公式S = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|，可以将三角形面积问题转化为一元二次方程的求解问题。

以求解三角形的面积为目标，可以通过一元二次方程求解出其中涉及的x和y的值。

将这些值代入面积公式，可以得到三角形的面积。