用一元二次方程解决传播问题含答案

巧用一元二次方程，助力疫情防控作者：***来源：《初中生世界·九年级》2022年第09期一元二次方程存在于我们生活的方方面面，以新冠肺炎疫情为背景的问题就有多种题型。

下面，我们通过三个问题，一起来看一下如何用一元二次方程解决此类问题。

一、传播问题例1 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了多少人？【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，那么一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，第二轮传染中有（x+1）x人被感染，根据经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎，即可得数量关系：原本携带病毒人数+第一次传染人数+第二次传染人数=总感染人数。

解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有（x+1）x人被感染。

根据题意，得1+x+（x+1）x=169，即（1+x）2=169。

解这个方程，得x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）。

答：每轮传染中平均每个人传染了12人。

【点评】用一元二次方程解决实际问题，主要是找准数量关系，而本题的关键点是一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，总的感染人数中原本携带病毒的人数不能忘記，然后才能正确列出一元二次方程。

本题中得出来的两个实数根需要进行检验，检查是否符合实际情况，对于不符合题意的答案，我们要舍去。

二、增长（降低）率问题例2 为了有效抗击新冠肺炎疫情，根据国家的政策，某市疫情防控应急指挥部要求全市符合新冠疫苗接种的人群应接尽接，为落实这一要求，某街道统计，7月份共有2500人接种，9月份增加到3600人，如果每月接种人数的增长率相同，求每月接种人数的平均增长率？【分析】设每月接种人数的平均增长率为x，首先有这样的数量关系：变化前的量×（1+平均增长率）=变化后的量。

一元二次方程传染病问题例题假设某传染病的传播模型可以用一元二次方程来描述，我们来解决一个与这个问题相关的实际例题。

假设某城市爆发了一种传染病，病毒的传播速度和人群的接触频率有关。

为了控制疫情，市政府采取了一系列的措施，包括隔离患者、提高人们的卫生意识等。

为了评估这些措施的有效性，我们希望用一元二次方程来模拟传染病的传播情况。

假设疫情爆发后，人们发现每天新增感染人数呈现出一个明显的二次函数规律，即每天新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程来描述。

我们来构建这个一元二次方程。

设t表示时间（天），S(t)表示累计感染人数，每天新增感染人数为S'(t)。

根据已知条件，我们假设新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程表示，即有：S'(t) = at² + bt + c其中a、b、c为常数，需要根据实际情况确定。

为了确定这些常数，我们需要已知的新增感染人数数据。

假设我们收集了连续7天的数据，如下所示：Day 1：新增感染人数为10人Day 2：新增感染人数为20人Day 3：新增感染人数为40人Day 4：新增感染人数为70人Day 5：新增感染人数为110人Day 6：新增感染人数为160人Day 7：新增感染人数为220人我们将这些数据带入方程中，可以得到如下方程组：a +b +c = 10 (1)4a + 2b + c = 20 (2)9a + 3b + c = 40 (3)16a + 4b + c = 70 (4)25a + 5b + c = 110 (5)36a + 6b + c = 160 (6)49a + 7b + c = 220 (7)为了解这个方程组，我们可以采用高斯消元法或矩阵方法进行求解。

在这里，我们采用矩阵方法。

将这个方程组转化成矩阵形式，有：[ 1 1 1 ] [ a ] [ 10 ][ 4 2 1 ] [ b ] [ 20 ][ 9 3 1 ] * [ c ] = [ 40 ][ 16 4 1 ][ 25 5 1 ][ 36 6 1 ][ 49 7 1 ]我们可以使用矩阵的逆来求解这个方程组。

21.3第1课时用一元二次方程解决传播问题与数字等问题1．元旦当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人(假设没有人重复收到)，则小明给多少人发了短信？设小明给x人发了短信，则可列方程为()A．x2＝157 B．(1＋x)2＝157C．1＋x＋x2＝157 D．x＋x2＝1572．某同学参加了学校统一组织的实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验．设每节课每名同学教会x名同学做实验，则x的值为()A．5 B．6C．7 D．83．某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64人患了该病．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2)如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少人未被传染(第三轮传染后仍未有治愈者)?4．若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为()A．16 B．17C．±16 D．±175．图21－3－1是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为________．图21－3－1 6．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数．7．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么比赛组织者应邀请多少个队参赛？解题方案：设比赛组织者应邀请x个队参赛．(1)用含x的代数式表示：每个队要与其他________个队各赛一场，又因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以一共有__________场比赛；(2)根据题意，列出相应方程：________________；(3)解这个方程，得______________；(4)检验：当________时，不符合题意，舍去；(5)答：比赛组织者应邀请________个队参赛．8．一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了21次手，则这次聚会的人数是()A．4 B．5C．6 D．79．一个小组有若干人，新年时互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有多少人？10．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场()A．4个B．5个C．6个D．7个11．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，将这个两位数的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数与原两位数的积为1612，那么这两个两位数中较大的两位数是()A．95 B．59 C．26 D．62 12．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推．已知经过两轮传播后，共有111人参与了该传播活动，则n＝________．13．某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？14．某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，求这个剧场每行有多少个座位．15．(1)从凸n(n＞3)边形的一个顶点出发的对角线有________条．(2)若一个凸多边形共有14条对角线，那么它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．参考答案1．C2．A3．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人．由题意，得1＋x ＋(1＋x )x ＝64. 解得x 1＝7，x 2＝－9(不符合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)600－(64＋7×64)＝88(人)．答：如果不及时控制，第三轮传染后学校还有88人未被传染．4．C [分析] 设较小的奇数为x ，则另一个奇数为x ＋2.根据题意，得x (x ＋2)＝63.解得x ＝7或x ＝－9，则另一个奇数为9或－7，∴这两个数的和为±16.故选C.5．144 [分析] 设最小数为x ，则最大数为x ＋16.根据题意，得x (x ＋16)＝192. 解得x 1＝8，x 2＝－24(不合题意，舍去)．故第一行的三个数为8，9，10，下面一行的三个数为15，16，17，再下面一行的三个数为22，23，24，所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.6．解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为x －3.由题意，得x 2＝10(x －3)＋x .解得x 1＝6，x 2＝5.当x ＝6时，x －3＝3；当x ＝5时，x －3＝2.答：这个两位数是36或25.7．(1)(x －1) 12x (x －1) (2)12x (x －1)＝7×4 (3)x 1＝8，x 2＝－7 (4)x ＝－7 (5)88．D [分析] 设这次聚会的人数是x .根据题意，得12x (x －1)＝21， 解得x 1＝7，x 2＝－6(不合题意，舍去)．故选D.9．解：设这个小组共有x 人．根据题意，得x(x－1)＝72.解得x1＝9，x2＝－8(不合题意，舍去)．答：这个小组共有9人．10．B[分析] 飞机场可以看作是点，航线可以看作是过点画的线段．设共有n个机场，则n（n－1）2＝10.解得n＝5或n＝－4(不合题意，舍去)．故选B.11．D12．10[分析] 由题意，得n＋n2＋1＝111.解得n1＝－11(不合题意，舍去)，n2＝10.13．解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．依题意，得1＋x＋(1＋x)x＝16.解得x1＝3，x2＝－5(不合题意，舍去)．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．(2)∵n轮感染后，有(1＋x)n台电脑被感染，∴(1＋3)n＝4n.当n＝3时，43＝64<100；当n＝4时，44＝256＞100.答：若病毒得不到有效控制，4轮感染后机房内所有电脑都被感染．14．解：设这个剧场每行有x个座位．根据题意，得x(x＋16)＝1161.解这个方程，得x1＝27，x2＝－43(不合题意，舍去)．答：这个剧场每行有27个座位．15．解：(1)(n－3)(2)设这个凸多边形是n边形．由题意，得n（n－3）2＝14.解得n1＝7，n2＝－4(不合题意，舍去)．答：这个凸多边形是七边形．(3)不存在．理由：假设存在有21条对角线的凸n边形．由题意，得n（n－3）2＝21.解得n ＝3±1772. 因为多边形的边数为正整数，而3±1772不是正整数，故不合题意． 所以不存在有21条对角线的凸多边形．。

一元二次方程实际应用导学案-第1课时-“传染问题+混怀比赛问题”导学探究回答下列问题:1.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染3个人.(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.(2)在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.2.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染x个人.(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.(2)在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.3.回忆、类比:用一元一次方程解决问题有哪些步骤?关键是什么? 你能类比出用一元二次方程解决问题的步骤吗?典例探究【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有121人患病，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=121，x=10或x=﹣12（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；（2）121+121×10=1331（人）．答：第三轮后将有1331人被传染．点评：本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．练1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？分析：设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．解答：解：由题意，得n+n2+1=111，解得：n1=﹣11（舍去），n2=10．故n的值是10．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．总结：传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播.解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．【例2】市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛?【解析】计算n支球队进行单循环比赛(每两队之间只赛一场)的总场数P，可这样来考虑:由于单循环赛中每一支球队都和其他的球队进行一场比赛，即每一支球队比赛(n-1)场，n个球队应赛n(n-1)场，但两个队之间只需比赛一场，故实际进行比赛的总场数P=12n(n-1)（n为不小于2的整数）解答：设应邀请n支球队参加比赛,则12n(n-1)=15[答案】6支练2．（2015•山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）A．39 B．40 C．50 D．60解：设九（1）班共有x人，根据题意得：x（x﹣1）=780，解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），答：九（1）班共有40名学生．故选B．总结: n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行2n(n-1)场比赛.夯实基础答案1．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8解：根据题意得：1+x+x（1+x）=49，解得：x=6或x=﹣8（舍去），则x的值为6．故选：B．2.（2015•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（）人患了该病．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．【解答】解：设每轮一人传染了x人，由题意得：1+x+（1+x）×x=121，（1+x）2=121，∵1+x＞0，∴1+x=11，x=10．∴每轮一人传染了10人；设最开始有y人被传染，则根据题意得：y+10y+10（y+10y）+10[y+10y+10（y+10y）]=2662，解得：y=2．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键.3．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有_______人被传染．解：设一个患者一次传染给x人，由题意，得x（x+1）+x+1=81，解得：x1=8，x2=﹣10（舍去），第三轮被传染的人数是：81×8=648人．故答案为：648．4．（2014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；∴x=9；答：每支支干长出9个小分支．5（2014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=49x=6或x=﹣8（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了6个人；（2）49×6=294（人）．答：第三轮将又有294人被传染．。

一元二次方程的应用二教学内容1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题： (1)na x A ，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．【例1】 某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．【例2】 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?知识精讲模块一：传播问题例题解析【例3】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?模块二：利率、利润问题知识精讲1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．例题解析【例7】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．模块三：面积问题知识精讲1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．例题解析【例8】一个长方形的对角线长的是10，面积是48，长方形的周长是________．传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式； （2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式【例12】 在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm /s 的速度5沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式 ．模块五：动态几何类问题知识精讲 例题解析A BCDP Q【例13】 有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【例14】 已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012hv tgt ，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求： （1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2） 多少时间以后爆竹落地?模块六：其他类问题例题解析ABCDPQRL【例15】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．【例16】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?随堂检测【习题1】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题2】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．【习题3】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【习题4】 一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量．A B CD【习题5】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题6】 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由ABCPQ【习题7】等腰直角三角形ABC 中， ∠ BAC =45°，CD ⊥ AB ，垂足为D ，CD =2，P 是AB 上的一动点(不与A 、B 重合)，且AP =x ，过点P 作直线l 与AB 垂直 ．（1） 设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与x 之间的函数关系式；（2） 当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3的两部分．A BC D L P。

专题21.12 一元二次方程的应用—传播问题（拓展提高）一、单选题1．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）A ．9家B ．10家C ．10家或9家D ．19家【答案】B【分析】每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x 家公司参加，那么每个公司都要签订（x -1）份合同，但每两家公司签订的合同只有一份，所以签订的合同共有112x x -（）份．【详解】解：设有x 家公司参加，依题意可得， ()11452x x =-， 整理得：9002x x =--，解得：12109x =x =-，（舍去）．答：共有10家公司参加商品交易会．故选：B ．【点睛】本题考察了一元二次方程的应用以及不重复计数问题．两两之间互相签订合同，只能算一份，属于典型的不重复计数问题，解答过程中一定要注意舍去不符合题意的解．2．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张照片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A ．()12550x x +=B ．()12550x x -=C ．()212550x x +=D ．()125502x x -=⨯【答案】B【分析】如果全班有x 名学生，那么每名学生应该送的相片为（x -1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x （x -1）=2550．【详解】解：∵全班有x 名学生，∴每名学生应该送的相片为（x -1）张，∴x （x -1）=2550．【点睛】此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语．3．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染（）个人．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为361人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x=361．即可解答．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝361，解得，x＝18或x＝﹣20（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了18个人．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．4．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．5．九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（）A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870C．2x（x+1）＝870 D．(1)2x x＝870【答案】A【分析】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，然后根据题意可列出方程．【详解】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，∴全班共写：（x-1）x=870，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．6．在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C．12x（x+1）=253 D．12x（x-1）=253【答案】D【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，等量关系为：学生数×(学生数-1)×12=总握手次数.【详解】解：参加数学交流会的学生为x名，每个学生都要握手(x-1)次，因此列方程为12x(x-1)=253,故选D.【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键.二、填空题7．一个多边形的对角线的条数是20条，多边形的边数为________．【答案】8【分析】设多边形的边数是x，列式()3202x x-=，解出结果．【详解】解：设多边形的边数是x，这个多边形有x个角，每个角可以去连接除自己和相邻的两个以外的所有角，得到一条对角线，可以连()3x-条，则一共可以连接()3x x-条对角线，除去重复的是()32x x-条，列式：()3202x x-=，解得18x=，25x=-（舍去），故答案是：8．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列方程求解．8．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有x名同学则可列方程为________．【答案】x(x-1)=190【分析】根据题意x名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程．【详解】由题意得(1)190x x-=，故答案为：(1)190x x-=．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．9．某班师生十年后再次聚会，见面时相互握手一次，共握手1275次，问原来班级师生共________人．【答案】51【分析】设这次参加聚会的同学有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手12x（x-1）次，又知共握手1275次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解．【详解】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：12x（x-1）=1275，即：x2-x-2550=0，解得：x1=51，x2=-50（不符合题意舍去）所以，这次参加同学聚会的有51人．故答案为：51．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．10．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人患上流感，按这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有________人．【答案】36【分析】设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有（x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x 个人，则第二轮又有x（x+1）人患病，则两轮后有1+x+x （x+1）人患病，据此即可通过列方程求出流感的传播速度，然后计算3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有的人数就可以了．【详解】设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，根据题意有1+x+（x+1）x=144，解得x=11（负值舍去）．3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有3+3×11=36（人）．故答案是：36．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题是要十分注意的是题目中的“共有”二字，否则一定得出错误的结果．11．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为．【答案】x（x﹣1）＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0）．【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=2070．【详解】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，∴全班共送：（x﹣1）x＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0），故答案为x（x﹣1）＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0）．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．12．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，若设有x家公司出席了这次交易会，则可列方程为：.【答案】12x(x−1)=78.【分析】每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x家公司出席了这次交易会，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有12x（x-1）份，由此列出方程即可．【详解】解：设有x家公司出席了这次交易会，依题意，得12x(x−1)=78.故答案为：12x(x−1)=78.【点睛】本题考查了一元二次的应用.13．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都有一条航线，一共有15条航线，若设这个航空公司有x个飞机场，则可列方程为_____________________.【答案】1x(x1)15 2-=【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：飞机场数×（飞机场数-1）=15×2.【详解】设这个航空公司共有飞机场共有x个，x(x−1)=15×2，12x(x−1)=15.故答案为12x(x−1)=15.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据题意找出等量关系列出一元二次方程.14．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人．【答案】11【分析】设每轮传染中平均一人传染x人,那么经过第一轮传染后有x人被感染,那么经过两轮传染后有x （x+1）+x+1人感染，又知经过两轮传染共有288人被感染由此列出方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染不超过x人，由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，解得：x1=11，x2=-13，答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．三、解答题15．某高校有300台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，_________轮感染后机房内所有电脑都被感染．【答案】(1)每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；(2)5【分析】(1)设每轮感染中平均一台会感染x 台电脑，则第一轮后共有(1+x)台被感染，第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即(1+x)2台被感染，利用方程即可求出x 的值即可；(2)结合(1)得出n 轮后共有(1+x)n 台被感染，进而求出即可．【详解】解：(1)每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，第一轮传播过后感染的电脑数为：(1+x )台，第二轮传播过后感染的电脑数为：(1+x )+x (1+x )=(x +1)²台，2(1)16+=x解得3x =或5x =-，其中5x =-舍去，答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；(2) ∵由(1)可知，n 轮后，有(1+x)n 台电脑被感染，故(1+3)n =4n ，∵n=4时，44=256，n=5时，45=1024，∵256＜301＜1024，故经过5轮后所有电脑都被感染，答：5轮感染后机房内所有电脑都被感染．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键．16．某象棋比赛，每名选手都要与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分．有四位观众统计了比赛中全部选手得分总数，分别是2017，2070，2018，2078，经核实，只有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？【答案】这次比赛的选手共有46名．【分析】全部选手的得分等于一个参赛选手比赛的总局数乘以2分，设比赛的人数是x 则比了12x （x-1）局，根据题意列出方程解答即可．【详解】解：设这次比赛共有x 名选手．由题意可知，无论胜负，每局两名选手得分总和均为2分，x 名选手比赛的总局数为1(1)2x x -， 所以得分总数为(1)x x -．因为x 是正整数，且大于1，所以x ，1x -是两个连续的正整数．不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是2070， 则1(1)220702x x -⨯=， 解得1246,45x x ==-（舍去）．答：这次比赛的选手共有46名．【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系解决问题．17．为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x 个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x 个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个 人参与了本次活动．（1）x 的值是多少？（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？【答案】（1）10；（2）再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【分析】（1）第一轮转发了x 个人，第二轮转发了x 2个人，根据两轮转发共有111人参与列出方程求解即可；（2）根据103=1000，104=10000可得第四轮转发后参与人数会超过10000人，即可得答案．【详解】（1）∵第一轮转发了x 个人，第二轮转发了x 2个人，∴1+x+x 2=111，解得：110x =，211x =-（舍），∴x 的值为10．（2）∵103=1000，104=10000，1+102+103＜10000，∴第四轮转发后参与人数会超过10000人，∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键．18．我们知道，“传销”能扰乱一个地区正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．你了解传销吗？某非法传销组织由头目一人可发展若干数目的下线成员，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人．问，在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？【答案】在每轮发展中平均一个成员发展下线20人．【分析】设在每轮发展中平均一个成员发展下线x 人，根据一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设在每轮发展中平均一个成员发展下线x 人，依题意，有21421x x ++=，解得120x =，221x =-（舍去）．答：在每轮发展中平均一个成员发展下线20人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．19．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？【答案】(1) 每轮传染中平均一个人传染了10个人;(2) 过三轮后将有1331人受到感染．【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）将x =10代入（x +1）3中即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：（x +1）2=121解得：x 1=10，x 2=﹣12（不合题意，应舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．（2）当x =10时，（x +1）3=（10+1）3=1331．答：经过三轮后将有1331人受到感染．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？【答案】(1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.(2) 经过三轮培植后共有480 000个有益菌. 【分析】（1）设每轮分裂中，平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，则根据题意可得60(1+x)2=24000，求解即可解答；（2）根据（1）可得经过三轮培植后有60×(1+x)3个有益菌，结合x的值即可解答.试题解析：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌【详解】（1）根据题意，得60(1+x)2=24 000.解得x1=19，x2=-21(不合题意，舍去).答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.（2）经过三轮培植后，得60(1+19)3=60×203=480 000(个).答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌.。