用一元二次方程解决问题(2)

教学过程复习预习1.列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)列一元二次方程解决实际问题的关键是由已知条件确定等量关系.(2)列一元二次方程解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量之间的数量关系)；设(直接方法或间接方法设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中分析的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验)；验（检验所求方程的解能否保证满足实际问题中的存在意义）答(写出所求问题答案).2.几何面积问题三角形面积=底乘高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘宽；不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。

二知识讲解考点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是全方面审题；二是把分析问题中的数量关系，并列出等量关系式；三是正确求解方程并检验方程的根是否符合实际意义。

例题精析【例题1】【题干】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【答案】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【解析】考查一元二次方程的几何面积应用问题，已知矩形面积求满足条件的长和宽的优化设计；围墙MN最长可利用25m是解决本题的易错点；矩形周长的长、宽关系是解决本题的关键．【例题2】【题干】某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽。

（2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，共需要费用多少元？【答案】解：（1）设游泳池的宽为x米，则长为2x米，（2x+2+5+1）(x+2+2+1+1)=1798整理，得：解得：（不合舍去）由得∴游泳池的长为50米，宽为25米。

一元二次方程的应用1．某地区2014年投入教育经费2500 万元，2016年投入教育经费3025万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017 年该地区将投入教育经费多少万元．2．白溪镇2012年有绿地面积公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到公顷．（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到100公顷3．某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080 元的利润，应将销售单价定位多少元4．水果店张阿姨以每斤2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4 元的价格出售，每天可售出100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20 斤，为保证每天至少售出260 斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；2）销售这种水果要想每天盈利300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元5 •某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施•经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多6•某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x>40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元.7 •利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽.8.)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2住肩墻9•如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2,求小路的宽.10.某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.11 •李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1) 要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝(2) 李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2,你认为他的说法正确吗请说明理由.参考答案与试题解析1．某地区2014年投入教育经费2500 万元，2016年投入教育经费3025万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017 年该地区将投入教育经费多少万元．【考点】一元二次方程的应用增长率问题．菁优网版权所有【解答】解：设增长率为X,根据题意2015年为2500 （1+x）万元，2016年为2500（1+x）2 万元．则2500（1+x）2=3025，解得x==10%或x=-（不合题意舍去）.答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025X（1+10%）=（万元）.故根据（1）所得的年平均增长率，预计20 1 7年该地区将投入教育经费万元.2.白溪镇2012年有绿地面积公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到公顷.（ 1 ）求该镇2012 至2014 年绿地面积的年平均增长率；2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到100 公顷考点】一元二次方程的应用增长率问题．菁优网版权所有【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为X,根据意，得（1+x）2=解得：x1=, x2=-（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得（1+）=公顷，答：2015年该镇绿地面积不能达到 1 00公顷．【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．3．某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080 元的利润，应将销售单价定位多少元【考点】一元二次方程的应用销售问题．菁优网版权所有【解答】解：降价x元，则售价为（60 - x）元，销售量为（300+20X件,根据题意得，（60- x-40）（300+20x）=6080,解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4,即定价为56元,答：应将销售单价定位56元.【点评】本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键•此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.4•水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200X斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元【考点】一元二次方程的应用销售问题•菁优网版权所有【解答】解：(1)将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+oTTX20=100+200(斤)；(2)根据题意得：(4 - 2 -x)( 100+200x) =300,解得：x=I或x=1，当x=2时，销售量是100+200X22=200v 260;当x=1时，销售量是100+200=300 (斤).•••每天至少售出260斤，二x=1.答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润.第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解.5. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多【考点】一元二次方程的应用销售问题.菁优网版权所有【解答】解：(1)设每件衬衫应降价x元，根据题意得(40 - x)( 20+2x) =1200，整理得2x2 - 60x+400=0解得x1=20, x2=10.因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20 元．答：每件衬衫应降价20 元．( 2)设商场平均每天赢利y 元，则y= (20+2x)( 40 - x)=-2x2+60x+800=- 2( x2- 30x- 400) =- 2[( x- 15) 2- 625]=- 2( x- 15) 2+1250．•••当x=15时，y取最大值，最大值为1250.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】( 1)当降价20 元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10 元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；( 2)要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式.6. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40 元时，销售量是600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出10 件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x>40）,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元.【考点】一元二次方程的应用销售问题•菁优网版权所有【解答】解：（1）（2）- 10x2+1300x- 30000=10000,解之得：x1=50 x2=8Q答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润.【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W与x的函数关系.7 •利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽.【考点】一元二次方程的应用几何图形问题•菁优网版权所有【解答】解：设垂直于墙的一边为x米，得：x (58 - 2x) =200解得：x1=25, x2=4•••另一边为8米或50米.答：当矩形长为25米时，宽为8米；当矩形长为50米时，宽为4 米.【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.。

一元二次方程的应用一、平均增长（下降）率问题变化前数量×（1 x ）n ＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg ，2003年平均每公顷产8450kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？二、花边、路宽问题1.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8m ，宽为5m. 如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？2.一块长方形草地的长和宽分别为20m 和15m ，在它四周外围环绕着宽度相等的小路. 已知小路的面积为246 m 2，求小路的宽度.3.新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直)， 其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面积的6511. 则甬路宽为多少米？三．面积问题1.同乐小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m ，(1) 花圃的面积能达到180m 2吗？(2) 花圃的面积能达到200m 2吗？(3) 花圃的面积能达到250m 2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．2．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?四．商品销售问题售价—进价=利润 单件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额1.某水果超市经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ A B C D2．新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？3.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。

4.3用一元二次方程解决问题（1）目标导航：知识要点：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．学习要点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．基础巩固题1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A．37B．5 C．38D．74、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm26、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？九 年级 练数 学 习同步9、如图，在ΔABC 中，∠B=90º，AB=4cm ，BC=10cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以1cm/s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1？AB P C思维拓展题10、如图所示，在一个长为32米，宽为20米的矩形空地上，建造一个草坪，并修筑等宽且互相垂直的两条路，要使草坪的面积为540米2，求路的宽度。

一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。

4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

第6讲 一元二次方程应用（二）1. 懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；2. 懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；3. 懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。

知识点 1：销售利润问题 ：（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a 元，少买y 件。

若涨价y 元，则少买的数量为知识点2：几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a ，BC 的长为b,则知识点3 ：动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.件y ab【题型 1销售利润问题】【典例1】（2022秋•信宜市校级期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）y与x之间的函数关系式为；（2）当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？（3）若超市要想获利2210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？【变式1-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？【变式1-2】（2022秋•顺德区期中）佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台430元的价格进货一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为71250元时，微波炉的销售单价应定为多少？【变式1-3】（2023•临川区校级一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：40455560销售单价x（元/千克）80705040销售量y（千克）（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？【典例2】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【变式2-1】（2023春•西湖区校级期中）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）当销售量为30件时，产品售价为元/件；（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【变式2-2】（2023春•余姚市校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？【变式2-3】（2022秋•宁德期末）随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率；（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？【题型2 几何面积问题】【典例3】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式3-1】（2023•大连一模）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，若矩形绿地的面积为36m2，求矩形垂直于墙的一边，即AB的长．【变式3-2】（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．【变式3-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？【题型3 动点与几何问题】【典例4】（2022•霍林）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【变式4-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB ＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q 均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（）A．1秒B．4秒C．1秒或4秒D．1秒或秒【变式4-2】（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q 从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P 停止运动．（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？【变式4-3】（2022•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？1．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（）A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50 2．（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×303.（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．4．（2020•西藏）列方程（组）解应用题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．5.（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？6.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．7.（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．1．（2022秋•大渡口区校级期末）某网店以每件100元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为120元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出5件，每件商品售价为多少元时，该网店日盈利可达到800元？设每件商品售价为x元时，该网店日盈利可达到800元，则可列方程为（）A．（20﹣x）（30+5x）＝800B．（20﹣x）（30+x）＝800C．（x﹣100）（630﹣5x）＝800D．（x﹣100）（630﹣x）＝800 2．（2022秋•河北区期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（）A．50B．60C．50或60D．100 3．（2022秋•江岸区校级月考）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（）A．10B．8C．7D．54．（2022秋•甘井子区校级月考）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．5．（2021秋•平定县期末）如图所示，某景区计划在一个长为36m，宽为20m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336m2，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？6．（2021秋•昌图县期末）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．7．（2021秋•平山区校级月考）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为320元？8．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）EF =cm，GH=cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长10．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6cm？11．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？12．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C 出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？。

日常生活中一元二次方程的应用当今社会正处在市场经济的时代，我们的日常生活中经常会遇到各种经营、销售、利润、房产等问题．我们知道数学来源于生活，又应用于我们的生活，新课程的改革实验也要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，下面我们就最近所学的“一元二次方程在日常生活中应用“看两个实例，以求对同学们有所帮助．问题1：联华超市将进货单价为40元的商品如果按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理的话，为了赚得8000元的利润，你觉得售价应定为多少？这时应进货多少个？分析：我们知道商品的定价和进货量应该根据市场的行情而定，如果定价过高，超越了消费者心理承受力的话，恐怕消费者无人问津，销售商只能自认倒霉了；定价过低的话，利润过低、甚至亏本的话，销售商也就划不来的．上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5000元，无法完成利润8000元的目标，所以只有提高单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润5000元任务．解：设该种商品的单价为（50+x ）元，则每个的利润是[]40)50(-+x 元，销售数量为（500-10x ）个，由题意得方程：[]8000)10500(40)50(=--+x x ；整理得：0300402=+-x x ；解之得：101=x ，302=x故这个商品的单价可定为60元时，其进货量为500-10×10=400个；当这个商品的单价定为80元时，其进货量为500-10×30=200个．注：如果同学们以后学了二次函数内容的话，还可以知道当单价定为70元时，获得的最大利润为8100元．问题2：某地开发区为改善居民的住房条件，每年要建一批新的住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积=该区人口总数该区住房总面积，单位平方米/人）． 该开发区2002年至2004年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，请根据此提供的信息解答下面问题：（1）该区2003年和2004年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少平方米？（2）由于经济发展需要，预计到2006年底，该地区人口总数将比2004年底增加2万，为使到2006年底地区人均住房面积达到11平方米/人，试求2005年和2006年这两年该地区住房总面积的年增长率应达到百分之几？分析：随着我们国家经济迅速发展，经济实力的不断强大，广大人民的住房条件正在得到不断的改善，生活水平正在得到不断地提高．我们从上述问题的图象中可以获取一些信息：解：（1）2004年比2003年增加的住房多，多增加了7.4平方米．0 2002 2003 2004 99.610平方米/年开发区近三年人均住房面积变化曲线0 172004 2003 2002 年20万人开发区近三年人口变化图（2）设住房总面积年平均增长率应达到x ，由题意得：)220(11)1(2002+⨯=+x ；解得：101.01==x ℅；1.22-=x （不合题意，舍去）．答略．应该说一元二次方程在日常生活中的应用应该说是非常广泛的，还有诸如储蓄、利税问题等，同学们有兴趣的话还可以作更多的研究．。

一元二次方程应用题解题例题一、面积问题例题1：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长。

解析：1. 设截去的小正方形的边长为x cm。

2. 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。

3. 根据长方体底面积公式S =长×宽，可列出方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。

- 展开式子得：4800-160x - 120x+4x^2=1500。

- 整理得4x^2-280x + 4800 - 1500=0，即4x^2-280x+3300 = 0。

- 两边同时除以4得x^2-70x + 825=0。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-70，c = 825），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 先计算Δ=b^2-4ac=<=ft(-70)^2-4×1×825=4900 - 3300=1600。

- 则x=(70±√(1600))/(2)=(70±40)/(2)。

- 解得x_1=(70 + 40)/(2)=55，x_2=(70-40)/(2)=15。

- 因为80-2x>0，60 - 2x>0，当x = 55时，80-2x=80 - 110=- 30<0（舍去）。

- 所以截去的小正方形的边长为15cm。

二、增长率问题例题2：某公司去年的营业额为1000万元，计划今年的营业额比去年增长20%，实际营业额比计划营业额增长了x，结果实际营业额达到了1440万元，求x的值。

解析：1. 计划营业额为1000×(1 + 20%)=1000×1.2 = 1200万元。

2. 因为实际营业额比计划营业额增长了x，所以实际营业额为1200(1 + x)万元。

用一元二次方程解决问题（2）学习目标：1、能够掌握巧设未知数，解题过程化繁为简。

；2、能够理解与增长或减低的百分率有关问题的数量关系，并列出方程解；3、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，增强数学应用意识。

4、进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

学习重点：列方程解应用的关键——找出等量关系。

学习难点：检验所得结果是否符合实际意义。

学习过程：一、情境和探究：情境1、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．分析：若一次降价百分率为x，则一次降价后零售价为原来的(1－x)倍，即56(1－x)元；第二次降价百分率仍为x，则第二次降价后的零售价为56(1－x)的(1－x)倍．解设平均降价百分率为x，根据题意，得56(1－x)2＝31.5．解这个方程，得x1=0.25，x2=1.75．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意，符合本题要求的是x=0.25=25%．答：每次降价百分率为25%．情境2、甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天．．传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这．．传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？二、实践和探讨：1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．3、某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48.3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？三、拓展和提高：某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=利润年初投入资金×100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．解:（1）∵年获利率=利润年初投入资金×100%,∴第一年年终的总资金是(50+50p)万元，即50 (1+p)万元.（2）则依题意得：50 (1+p) (1+p+10%)=66把(1+p)看成一个整体，整理得：(1+p)2+0.1(1+p)-1.32=0，解得：1+p=1.2或1+p=-1.1，∴p1=0.2，p1=-2.1 (不合题意舍去).∴p=0.2=20%.∴第一年的年获利率是20%.四、归纳和小结：1、这堂课你学到了什么？2、通过这堂课你有什么体会？五、布置作业：课后作业：课课练P75-77；家庭作业：半张讲义。

一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题（1）一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。

解设这两个月的平均增长率是x。

，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。

答这两个月的平均增长率是10%。

说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。

对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。

二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31。

因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。

答需要进货100件，每件商品应定价25元。

说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。

三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的`年利率。

（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x。

一元二次方程的应用二教学内容1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题： (1)na x A ，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．【例1】 某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．【例2】 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?知识精讲模块一：传播问题例题解析【例3】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?模块二：利率、利润问题知识精讲1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．例题解析【例7】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．模块三：面积问题知识精讲1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．例题解析【例8】一个长方形的对角线长的是10，面积是48，长方形的周长是________．传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式； （2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式【例12】 在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm /s 的速度5沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式 ．模块五：动态几何类问题知识精讲 例题解析A BCDP Q【例13】 有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【例14】 已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012hv tgt ，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求： （1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2） 多少时间以后爆竹落地?模块六：其他类问题例题解析ABCDPQRL【例15】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．【例16】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?随堂检测【习题1】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题2】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．【习题3】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【习题4】 一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量．A B CD【习题5】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题6】 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由ABCPQ【习题7】等腰直角三角形ABC 中， ∠ BAC =45°，CD ⊥ AB ，垂足为D ，CD =2，P 是AB 上的一动点(不与A 、B 重合)，且AP =x ，过点P 作直线l 与AB 垂直 ．（1） 设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与x 之间的函数关系式；（2） 当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3的两部分．A BC D L P。

用一元二次方程解决实际问题习题精选（二）一、选择题（每题4分，共24分）1．大成游乐园规定：如果一个人参加游戏，则给这个人一个奖品；如果两个人参加游戏，则给每人两个奖品；如果三个参加游戏，则给每个人三个奖品；……如果设x 个人参加游戏，给出奖品一共有36个，则参加游戏的人数为【】A ．4B ．6C ．8D ．102．如图1所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m 2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76米的栅栏围成，若设栅栏AB 的长为xm ，则下列各方程中，符合题意的是【】A ．21x （76－x ）＝672；B ．21x （76－2x ）＝672；C ．x （76－2x ）＝672；D ． x （76－x ）＝672．3．裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m ，下列各式中，正确表示这个商店第一季度的总利润的是【】A ．50[m 2＋3m ＋3] 万元；B ．50＋50（1＋m ）2万元；C ．50＋50（1＋2m ）万元；D ．50＋50（1＋m ）＋50（1＋m ）2万元．4．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是【】A ．－19B ．5C ．17D ．515．小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于【】.A ．15厘米2B ．30厘米2C ．45厘米2D ．60厘米26．如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ．动点P 、Q 分别从点A 、B 同时开始移动，点P 的速度为1 cm ／秒，点Q 的速度为2 cm ／秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是【】A ．2秒钟B ．3秒钟C ． 4秒钟D ． 5秒钟二、填空题（每题4分，共24分）7．如图3所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147m 2，则休闲广场的边长是m ．8．在一幢高125m 的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度h （m ）与时间t （s ）大致有如下关系：h ＝125－5t 2．秒钟后苹果落到地面．9．一个数的平方等于它本身，你认为这个数是．10．2007年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的队伍共有支．11．中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数． 只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．如果设羊的只数为x ，则根据民歌的大意，你能列出的方程是．12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22*a b a b =-，根据这个规则，方程(2)50*x +=的解为．三、解答题13．放铅笔的V 形槽如图4，每往上一层可以多放一支铅笔，现有190支铅笔，则要放多少层？14．2003~2005年陕西省财政收入情况如图5所示．根据图中的信息，解答下列问题：（1）陕西省这三年财政收入共为多少亿元？（2）陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约为多少？（精确到1%）图4（备用数据27.1326528=，13.1415528=精确到1%）15．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？16．如图6，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？17．图7是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图7中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的2倍．这块休闲场所南北长18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为168m2，请问主干道的宽度为多少米？18．一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的对话，请你阅读完后再解答下列问题． 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：()012)(8222=+---x x x x小明：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？ 老师：这样，原方程可整理为012872234=++--x x x x ，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？小亮：老师，我发现方程中x -2x 是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好，如果我们把x -2x 看成一个整体，用y 来表示，即x -2x =y ，那么原方程就变成01282=+-y y ． 全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程01282=+-y y 的根是61=y ，22=y小丽：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根31=x ，22-=x ，23=x ，14-=x ，嗬，有这么根啊！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK ，换元法真神奇！ 现在，请你用换元法解下列分式方程061512=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x19．如图8，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，每一横行共有块瓷砖，每一坚列共有块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式（不要求写自变量n 的取值范围）；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？参考答案 1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．B 7．7 8．5 9．0或110．15 11．x 2+2x+1=100 12．31=x ，71-=x13．解：设190支铅笔，可放x 层．21n （n －1）=190解之得，201=n ，191-=n （不符题意，舍去）答：设190支铅笔，可放20层．14．（1）这三年财政收入为1296亿元；（2）设陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约x ，那么依据题意得326（1+x ）2=528解之得，27.0=x ，27.22-=x （不符题意，舍去）答：陕西省2003~2005年财政收入的年平均增长率约27%．15．解：设要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x 元，依据题意得（120－x ）（100+2x ）=14000整理得，020*******=+-x x图8解这个方程，得201=x 502=x答：每箱应降价20元或50元，可使每天销售饮料获利14000元．15．解：设t 秒后，点P 和点Q 的距离是10 cm ，则AP =3t ，CQ =2t ，过点P 作PE ⊥CD 于E ，所以四边形APDE 是矩形，所以AD =PE =6cm ，EQ=16－2t －3t=16－5t ．在直角三角形PQE 中，PQ 2=PE 2+EQ 2，100=62+（16－5t ）2， 解这个方程，得581=t ，5241=t ． 答：58秒或524秒后，点P 和点Q 的距离是10 cm17．解：设主干道的宽度为2xm ，则其余道路宽为xm依题意得：（16－4x ）（18－4x ）=168，整理，得11=x ，2152=x ， 当2152=x 时，16－4x<0，不符题意，故舍去．x=1时，2x=2．答：主干道的宽度为2米．18．解：设y x x =-1，收原方程可化为0652=+-y y ，得61=y ，12-=y ，当61=y 时，61=-x x ，得56=x 当11-=y 时，11-=-x x ，得21=x 经检验：21=x ，56=x 都是原方程的根． 19．（1）n+3，n+2；（2）y=（n+3）（n+2），即y=n 2+5n+6；（3）当y=506时，n 2+5n+6=506，解之得，n 1=20，n 2=－25（舍去）；（4）白瓷砖块数是420块，黑瓷砖块数为86块，共需1604元；（5）n （n+1）= （n+3）（n+2）－n （n+1），化简为n 2－3n －6=0，解得n 1=2333+，n 1=2333-（舍去），因为n的值不为正整数，所以不存在黑、白瓷砖块数相等的情形。

一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?三、平均变化率问题增长率（1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?六、相互问题（传播、循环）11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?(3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一留作纪念，全班共送了3080照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从省某港出发来。