2019中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第21课时 三角形的基础知识

2018届中考数学全程演练第二部分图形与几何第七单元三角形第24课时直角三角形和勾股定理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届中考数学全程演练第二部分图形与几何第七单元三角形第24课时直角三角形和勾股定理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018届中考数学全程演练第二部分图形与几何第七单元三角形第24课时直角三角形和勾股定理的全部内容。

第24课时直角三角形和勾股定理（60分）一、选择题(每题5分，共25分）1．［2016·毕节］下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B）A。

错误!,错误!，错误!B．1，错误!，错误!C．6，7,8 D．2，3，42．如图24－1,在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝9,BC＝12,则点C到AB的距离是（A)A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!【解析】在Rt△ABC中,AC＝9,BC＝12,根据勾股定理得AB＝错误!＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝错误!AC·BC＝错误!AB·CD，∴CD＝错误!＝错误!＝错误!，则点C到AB的距离是错误!.故选A.图24－1 第2题答图3．［2017·甘孜］如图24－2,点D在△ABC的边AC上,将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（D)A．1 B．2C．3 D．4图24－24．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图24－3,则三角板最长边的长为 (D）A．3 cm B．6 cmC．3 2 cm D．6错误! cm图24－3 第4题答图【解析】如答图，过点C作CD⊥AD于点D,∴CD＝3.在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6错误!,故选D。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第21讲 三 角 形1. (2011，河北)已知三角形的三边长分别为2，x ，13.若x 为正整数，则这样的三角形个数为(B )A. 2B. 3C. 5D. 13【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞13，x ＜13＋2.解得11＜x ＜15.因为x 为正整数，所以x 可以为12，13，14.2. (2013，河北，导学号5892921)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B ＝30°，∠C ＝100°，如图②，则下列说法正确的是(C )第2题图A. 点M 在AB 上B. 点M 在BC 的中点处C. 点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D. 点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远【解析】 如答图，取BC 的中点E ，连接AE ，则BE ＝CE .∵∠C ＝100°，∴AB ＞AC .∴AB＋BE ＞AC ＋CE .由三角形的三边关系，得AC ＋BC ＞AB .∴AB ＜12AD .∴AD 的中点M 在BE 上，即点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远．第2题答图3. (2014，河北)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE ＝2，则BC 的长为(C )第3题图A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】 ∵D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴BC ＝2DE ＝4.4. (2014，河北)如图，平面上直线a ，b 分别过线段OK 两端点，则a ，b 相交所成的锐角是(B )第4题图A. 20°B. 30°C. 70°D. 80°【解析】 如答图，分别延长a ，b 交于一点，形成一个三角形．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以得到a ，b 相交所成的锐角是100°－70°＝30°.第4题答图5. (2018，河北)下列图形具有稳定性的是(A )A B C D【解析】 三角形具有稳定性．三角形的边与角例1 如图，把△ABC 沿DE 折叠，当∠A 落在四边形BCDE 内时，∠A 与∠1＋∠2之间始终不变的关系是(B )例1题图A. ∠A ＝∠1＋∠2B. 2∠A ＝∠1＋∠2C. 3∠A ＝∠1＋∠2D. 3∠A ＝2(∠1＋∠2)【解析】 ∵△ABC 沿DE 折叠，∴∠1＋2∠AED ＝180°，∠2＋2∠ADE ＝180°.∴∠AED ＝12(180°－∠1)，∠ADE ＝12(180°－∠2)．∴∠AED ＋∠ADE ＝12(180°－∠1)＋12(180°－∠2)＝180°－12(∠1＋∠2)．∴在△ADE 中，∠A ＝180°－(∠AED ＋∠ADE )＝180°－⎣⎢⎡⎦⎥⎤180°－12（∠1＋∠2）＝12(∠1＋∠2)，即2∠A ＝∠1＋∠2. 针对训练1(2018，聊城)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A ′处，折痕为DE .如果∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，那么下列式子中正确的是(A )训练1题图 A. γ＝2α＋βB. γ＝α＋2βC. γ＝α＋βD. γ＝180°－α－β【解析】 如答图．由折叠，得∠A ′＝∠A .∵∠BDA ′＝∠A ＋∠AFD ，∠AFD ＝∠A ′＋∠CEA ′，∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，∴∠BDA ′＝γ＝α＋α＋β＝2α＋β.训练1答图三角形的角平分线、中线、高、中位线例2 如图，在△ABC 中，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条平分线所在的直线交于点E .(1)①如图①，若∠B ＝60°，则∠E ＝ 30° ；②如图②，若∠B ＝90°，则∠E ＝ 45° ；(2)如图③，若∠B ＝α，求∠E 的度数；(3)如图④，仿照(2)中的方法，在(2)的条件下分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点G ，求∠G 的度数．① ② ③ ④例2题图【思路分析】 (1)①根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝30°，可求∠E 的度数．②根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝45°，可求∠E 的度数．(2)根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝12α，可求∠E 的度数．(3)根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )，可求∠G 的度数． 解：(1)①30°②45°(2)∵AF 平分∠DAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠FAC ＝12∠DAC ，∠ACE ＝12∠ACB . ∵∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，∴∠E ＝∠FAC －∠ACE ＝12∠B ＝12α. (3)∵AG ，CG 分别平分∠EAB 与∠ECB ，∴∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )＝32×12∠B ＝34α. 针对训练2 (2018，广州海珠区模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，连接BE ，CE .若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为(B )训练2题图 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【解析】 ∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABD ＝S △ACD ＝12S △ABC .∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ＝12S △ABD ，S △CDE ＝S △CAE ＝12S △ACD .∴S △ABE ＝14S △ABC ，S △CDE ＝14S △ABC .∴S △ABE ＋S △CDE ＝12S △ABC ＝12×8＝4.∴阴影部分的面积为4.针对训练3 (2018，黄石)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠EAD ＋∠C 等于(A )训练3题图A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°【解析】 ∵AD 是BC 边上的高，∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝30°.∵∠BAC ＝50°，AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝25°.∴∠DAE ＝30°－25°＝5°.∵在△ABC 中，∠C ＝180°－∠ABC －∠BAC ＝70°，∴∠EAD ＋∠C ＝5°＋70°＝75°.针对训练4 (2017，河北)如图，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C ，连接CA ，CB ，分别延长到点M ，N ，使AM ＝AC ，BN ＝BC ，测得MN ＝200 m ，则A ，B 间的距离为 100 m.训练4题图【解析】 ∵AM ＝AC ，BN ＝BC ，∴AB 是△CMN 的中位线．∴AB ＝12MN ＝100(m)．一、 选择题1. (2018，长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B )A. 4 cm ，5 cm ，9 cmB. 8 cm ，8 cm ，15 cmC. 5 cm ，5 cm ，10 cmD. 6 cm ，7 cm ，14 cm【解析】 A. ∵5＋4＝9，9＝9，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．B. 8＋8＝16，16＞15，∴此三条线段能组成三角形．故此选项正确．C. ∵5＋5＝10，10＝10，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．D. ∵6＋7＝13，13＜14，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．2. (2018，石家庄模拟)一副三角板有两个直角三角形，如图所示叠放在一起，则α的度数是(A )第2题图A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°【解析】如答图．∵∠1＋45°＋90°＝180°，∴∠1＝45°.∵∠1＝∠2＋30°，∴∠2＝15°.∵∠2＋α＝180°，∴α＝165°.第2题答图3. (2018，石家庄裕华区一模)如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠DOF＝142°，则∠C的度数为(A)第3题图A. 38°B. 39°C. 42°D. 48°【解析】∵△ABC沿DE，EF翻折，∴∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠B.∴∠DOF＝∠DOE＋∠EOF ＝∠A＋∠B＝142°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－142°＝38°.4. (2018，昆明)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(B)第4题图A. 90°B. 95°C. 100°D. 120°【解析】∵CO＝AO，∠AOC＝130°，∴∠CAO＝25°.∵∠AOB＝70°，∴∠CDO＝∠CAO ＋∠AOB＝25°＋70°＝95°.5. (2018，淄博周村区二模)用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(A)A B C D【解析】根据高线的定义可得出结论．6. (2018，贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是(B)第6题图A. 线段DEB. 线段BEC. 线段EFD. 线段FG【解析】 根据三角形中线的定义可得出结论．7. (2018，宿迁)如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE ∥BC .若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是(B )第7题图A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【解析】 ∵∠A ＝35°，∠C ＝24°，∴∠DBC ＝∠A ＋∠C ＝59°.∵DE ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝59°.8. (2018，石家庄模拟)如图，长度为10 m 的木条，从两边各截取长度为x m 的木条．若得到的三根木条能组成三角形，则x 可以取的值为(C )第8题图A. 2 mB. 52 mC. 3 mD. 6 m【解析】 根据三角形三边关系，得2x ＞10－2x ，且2x ＜10.解得2.5<x <5.9. (2018，廊坊安次区一模)下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(C )A B C D【解析】 A. ∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.故此选项错误．B. 若两条直线平行，则∠1＝∠2.若两条直线不平行，则∠1与∠2的大小关系无法进行判断．故此选项错误．C. ∵∠1是∠2所在三角形的一个外角且与∠2不相邻，∴∠1＞∠2.故此选项正确．D. ∵已知三角形是直角三角形，∴由直角三角形两锐角互余可判断出∠1＝∠2.10. (2018，长春)如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的度数为(C )第10题图A. 44°B. 40°C. 39°D. 38°【解析】 ∵∠A ＝54°，∠B ＝48°，∴∠ACB ＝180°－54°－48°＝78°.∵CD 平分∠ACB交AB 于点D ，∴∠DCB ＝12×78°＝39°.∵DE ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DCB ＝39°. 11. (2018，西安灞桥区模拟，导学号5892921)如图，S △ABC ＝1.若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE 等于(B )第11题图A. 15B. 16C. 17D. 18【解析】 ∵S △BDE ＝S △DEC ，∴BD ＝DC .∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12.∵S △ABC ＝1，S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，∴S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ＝13.∴S △ADE ＝S △ABD －S △BDE ＝12－13＝16. 12. (2018，杭州二模)四根长度分别为3，4，6，x (x 为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则(D )A. 组成的三角形中周长最小为9B. 组成的三角形中周长最小为10C. 组成的三角形中周长最大为19D. 组成的三角形中周长最大为16【解析】 由从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x ＜7.因为x 为正整数，所以x 只能为4或5或6.所以其周长最小为4＋3＋4＝11，周长最大为4＋6＋6＝16.13. (2018，河北二模)如图，将直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE .若∠C ＝90°，∠A ＝35°，则∠DBC 的度数为(C )第13题图A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°【解析】 ∵∠C ＝90°，∠A ＝35°，∴∠ABC ＝55°.由折叠，可得∠ABD ＝∠A ＝35°.∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝55°－35°＝20°.二、 填空题14. (2018，泰州)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边的长为整数，则第三边的长为 5 .【解析】 设第三边的长为x .根据三角形的三边关系，得4＜x ＜6.因为第三边的长为整数，所以第三边的长是5.15. (2018，白银)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，c 为奇数，则c ＝ 7 .【解析】 ∵a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，∴a －7＝0，b －1＝0.解得a ＝7，b ＝1.∵7－1＝6，7＋1＝8，∴6＜c ＜8.∵c 为奇数，∴c ＝7.三、 解答题16. (2018，宜昌)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E .(1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．第16题图【思路分析】 (1)先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC ＝90°－∠A ＝50°，由邻补角的定义得出∠CBD ＝130°.再根据角平分线的定义即可求出∠CBE ＝12∠CBD ＝65°.(2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB ＝90°－65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F ＝∠CEB ＝25°.解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A ＝50°.∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE ＝12∠CBD ＝65°. (2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE ＝65°，∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB ＝25°.17. (2018，扬州江都区模拟)如图①，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且与△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D .(1)若∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，求∠D 的度数；(2)若把∠A 截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想∠D ，∠M ，∠N 的关系，并说明理由．第17题图【思路分析】 (1)根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D ，∠A 的等式，推出∠A ＝2∠D ，最后代入求出即可．(2)根据(1)中的结论即可得到结论．解：(1)∵∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠ACD ＋∠ECD ＝∠A ＋∠ABD ＋∠DBE ，∠DCE ＝∠D ＋∠DBC .∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，∠ACD ＝∠ECD .∴∠A ＝2(∠DCE －∠DBC )，∠D ＝∠DCE －∠DBC .∴∠A ＝2∠D .∵∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，∴∠A ＝60°.∴∠D ＝30°.(2)∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)． 理由：如答图，延长BM ，CN 交于点A ，则∠A ＝∠BMN ＋∠CNM －180°.由(1)知∠D ＝12∠A . ∴∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)．第17题答图1. (导学号5892921)如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，BC 上．若AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，则△DBE 与△ADC 的面积比为(C )第1题图A. 3∶5B. 4∶5C. 9∶10D. 15∶16【解析】 ∵AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，∴S △BDC ∶S △ADC ＝3∶2，S △BDE ∶S △DCE ＝3∶2.设S △BDC ＝3x ，则S △ADC ＝2x ，S △BED ＝1.8x .∴△DBE 与△ADC 的面积比为1.8x ∶2x ＝9∶10.2. (2018，天津南开区模拟，导学号5892921)如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，则∠A 1＝( α2) .∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2 017BC 的平分线与∠A 2 017CD 的平分线交于点A 2 018，得∠A 2 018，则∠A 2 018＝( α22 018 ).第2题图【解析】 ∵∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∠ACD ＝2∠A 1CD ，∠ABC ＝2∠A 1BC ，∴2∠A 1CD ＝∠A ＋2∠A 1BC ，即∠A 1CD ＝12∠A ＋∠A 1BC .∴∠A 1＝12∠A ＝α2.依此类推，∠A 2 018＝α22 018. 3. (2018，苏州常熟模拟)△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D .(1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F .①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由；②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．第3题图【思路分析】 (1)只要证明∠AIB ＝90°＋12∠ACB ，∠ADI ＝90°＋12∠ACB 即可．(2)①只要证明∠IDC ＝∠ACF 即可．②先求出∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°，再求出∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC 即可解决问题．(1)证明：∵AI ，BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC . ∴∠BAI ＋∠ABI ＝12(∠BAC ＋∠ABC )＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∴∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI )＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12∠ACB ＝90°＋12∠ACB . ∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB . ∵DI ⊥IC ，∴∠DIC ＝90°.∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB . ∴∠AIB ＝∠ADI .(2)解：①DI ∥CF .理由：∵CF 平分∠ACE ，∴∠ACF ＝12∠ACE ＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ， ∴∠IDC ＝∠ACF .∴DI ∥CF .②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°.∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ，∴∠F ＝∠FCE －∠FBC .∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ， ∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC ＝35°.。

1第22课时 三角形全等(60分)一、选择题(每题5分，共20分)1．[2016·宜昌]如图22－1，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有 (C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 要使△ABP 与△ABC 全等，点P 到AB 的距离应该等于点C 到AB 的距离，即3个单位长度，故点P 的位置可以是P 1，P 3，P 4三个．图22－1 图22－22．如图22－2，下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是(D)A ．BD ＝DC ，AB ＝AC B ．∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD C ．∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC【解析】 当BD ＝DC ，AB ＝AC 时，因为AD ＝AD ，由SSS 可得△ABD ≌△ACD ，故A 正确；当∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD 时，因为AD ＝AD ，由SAS 可得△ABD ≌△ACD ，故B 正确；当∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD 时，因为AD ＝AD ，由AAS 可得△ABD ≌△ACD ，故C 正确；D 不能判定△ABD ≌△ACD ，因为不能利用SSA 判定两三角形全等．3．[2016·湖州]如图22－3，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积等于 (C)A ．10B ．7C ．5D ．4图22－3第3题答图2【解析】 作EF ⊥BC 于F ， ∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴EF ＝DE ＝2，∴S △BCE ＝12BC ·EF ＝12×5×2＝5.4.[2016·宁波]如图22－4，▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能为(C)A ．BE ＝DFB ．BF ＝DEC ．AE ＝CFD ．∠1＝∠2图22－4【解析】 A ．当BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF (SAS )，故此选项可添加； B ．当BF ＝ED ，可得BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF (SAS )，故此选项可添加； C ．当AE ＝CF 无法得出△ABE ≌△CDF ，故此选项符合题意； D ．当∠1＝∠2，△ABE ≌△CDF (ASA )，故此选项可添加． 二、填空题(每题5分，共20分)5．[2017·长沙]如图22－5，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF ，AC ＝6，则DF ＝__6__.图22－5 图22－66．[2016·江西]如图22－6，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ，OA ＝OB ，则图中有__3__对全等三角形．【解析】 ∵OP 平分∠MON ，∴∠1＝∠2，由OA ＝OB ，∠1＝∠2，OP ＝OP ，可证得△AOP ≌△BOP (SAS )， ∴AP ＝BP ，又∵OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ， ∴PE ＝PF ，∴△PEA ≌△PFB (HL )，3又∵PE ＝PF ，OP ＝OP ，∴△POE ≌△POF (HL )， ∴图中共有3对全等三角形．7．[2016·娄底]如图22－7，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是__∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD __(只需写一个，不添加辅助线)．【解析】 由已知AB ＝BC ，及公共边BD ＝BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS .所以可添∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD.图22－78．[2016·黔东南]如图22－8，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连结BD .请添加一个适当的条件__AB ＝CD __，使△ABD ≌△CDB .(只需写一个)图22－8【解析】 ∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，而BD ＝DB ， ∴当添加AB ＝CD 时，可根据“SAS ”判定△ABD ≌△CDB . 三、解答题(共20分)9．(10分)[2016·福州]如图22－9，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝AD .证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD . 在△ABC 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ， ∴△ABC ≌△ABD (ASA ) ∴AC ＝AD .10．(10分)[2016·武汉]如图22－10，点B ，C ，E ，F 在同一直线上，BC ＝EF ，AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F，图22－9图22－104AC ＝DF .求证：(1)△ABC ≌△DEF ； (2)AB ∥DE .证明：(1)∵AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F ， ∴∠ACB ＝∠DFE ＝90°， 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SAS )； (2)∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠B ＝∠DEF ， ∴AB ∥DE.(24分)11．(12分)[2017·杭州]如图22－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P ，求证：PB ＝PC ，并请直接写出图中其他相等的线段．图22－11证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， 在△ABF 与△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠CAE ＝∠BAF ，AE ＝AF ，∴△ABF ≌△ACE (SAS )， ∴∠ABF ＝∠ACE ，∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ， ∴∠FBC ＝∠ECB ， ∴PB ＝PC .相等的线段还有：PE ＝PF ，BE ＝CF ，EC ＝FB ，AE ＝AF .12．(12分)[2016·温州]如图22－12，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，图22－125AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D .(1)求证：AB ＝CD ；(2)若AB ＝CF ，∠B ＝30°，求∠D 的度数． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ， 在△ABE 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠C ＝∠B ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DCF (AAS )， ∴AB ＝CD ；(2)∵△ABE ≌△DCF ， ∴AB ＝CD ，BE ＝CF ， ∵AB ＝CF ，∠B ＝30°， ∴CD ＝CF ， ∠C ＝∠B ＝30°， ∴△CDF 是等腰三角形，∴∠D ＝12×(180°－30°)＝75°.(16分)13．(16分)[2016·株洲]如图22－13，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是△ABC 的一条角平分线．点O ，E ，F分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形． (1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上； (2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．图22－13解：(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴OE ＝OM ，第13题答图￥6∵四边形OECF 是正方形， ∴OE ＝OF ， ∴OF ＝OM ， ∵OM ⊥AB ，OF ⊥AD ， ∴AO 是∠BAC 的角平分线， 即点O 在∠BAC 的平分线上；(2)∵在Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝52＋122＝13， 设CE ＝CF ＝x ，BE ＝BM ＝y ，AM ＝AF ＝z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，y ＋z ＝13，x ＋z ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝10，z ＝3，∴OE ＝CE ＝CF ＝2.。

第七单元三角形第21课时三角形的基础知识(60分)一、选择题(每题6分.共36分)1、下列每组数分别表示三根木棒的长度.将它们首尾连接后.能摆成三角形的一组是(D)A、1.2.6B、2.2.4C、1.2.3D、2.3.42、[2016·滨州]在△ABC中.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5.则∠C等于(C)A、45°B、60°C、75°D、90°3、[2016·山西]如图21－1.在△ABC中.点D.E分别是边AB.BC的中点、若△DBE的周长是6.则△ABC的周长是(C)A、8B、10C、12D、14图21－14、[2017·邵阳]如图21－2.在△ABC中.∠B＝46°.∠C＝54°.AD平分∠BAC.交BC于D.DE∥AB.交AC于E.则∠ADE的大小是 (C)A、45°B、54°C、40°D、50°图21－2 图21－35、[2016·绵阳]如图21－3.在△ABC中.∠B.∠C的平分线BE.CD相交于点F.∠ABC＝42°.∠A＝60°.则∠BFC＝(C)A、118°B、119°C、120°D、121°【解析】∵∠A＝60°.∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°. ∵BE .CD 是∠B .∠C 的平分线. ∴∠CBE ＝12∠ABC .∠BCD ＝12∠BCA .∴∠CBE ＋∠BCD ＝12(∠ABC ＋∠BCA )＝60°.∴∠BFC ＝180°－60°＝120°.6. 如图21－4.在折纸活动中.小明制作了一张三角形纸片ABC .点D .E 分别在边AB .AC 上.将△ABC 沿着DE 折叠压平.点A 与点A ′重合.若∠A ＝75°.则∠1＋∠2＝(A)A 、150°B 、210°C 、105°D 、75°图21－4【解析】 ∵△A ′DE 是由△ADE 翻折而成. ∴∠AED ＝∠A ′ED .∠ADE ＝∠A ′DE . ∠A ＝∠A ′＝75°.∴∠AED ＋∠ADE ＝∠A ′ED ＋∠A ′DE ＝180°－75°＝105°. ∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.故选A. 二、填空题(每题6分.共24分)7、[2016·衡阳]如图21－5.小明为了测量学校里一池塘的宽度AB .选取可以直达A .B 两点的点O 处.再分别取OA .OB 的中点M .N .量得MN ＝20 m.则池塘的宽度AB 为__40__m.图21－5图21－68、如图21－6.点B .C .E .F 在一直线上.AB ∥DC .DE ∥GF .∠B ＝∠F ＝72°.则∠D ＝__36__度、 9、在△ABC 中.三个内角∠A .∠B .∠C 满足∠B －∠A ＝∠C －∠B .则∠B ＝__60__度、 10、将一副直角三角板如图21－7摆放.点C 在EF 上.AC 经过点D .已知∠A ＝∠EDF ＝90°.AB ＝AC .∠E ＝30°.∠BCE ＝40°.则∠CDF ＝__25°__.图21－7【解析】 ∵AB ＝AC .∠A ＝90°. ∴∠ACB ＝∠B ＝45°. ∵∠EDF ＝90°.∠E ＝30°. ∴∠F ＝90°－∠E ＝60°.∵∠ACE ＝∠CDF ＋∠F .∠BCE ＝40°.∴∠CDF ＝∠ACE －∠F ＝∠BCE ＋∠ACB －∠F ＝40°＋45°－60°＝25°.(25分)11、(7分)[2016·广州]如图21－8.四边形ABCD 中.∠A ＝90°.AB ＝3 3.AD ＝3.点M .N 分别为线段BC .AB 上的动点(含端点.但点M 不与点B 重合).点E .F 分别为DM .MN 的中点.则EF 长度的最大值为__3__.【解析】 ∵ED ＝EM .MF ＝FN . ∴EF ＝12DN .∴DN 最大时.EF 最大. ∵N 与B 重合时DN 最大. 此时DN ＝DB ＝AD 2＋AB 2＝6.∴EF 的最大值为3.12、(8分)[2017·扬州]如图21－9.△ABC 的中位线DE ＝5 cm.把△ABC 沿DE 折叠.使点A 落在边BC 上的点F 处.若A .F 两点间的距离是8 cm.则△ABC 的面积为__40__cm 2.图21－9图21－1013、(10分)[2016·苏州]如图21－10.在△ABC 中.CD 是高.CE 是中线.CE ＝CB .点A .D 关于点F 对称.过点F 作FG ∥CD .交AC 边于点G .连结GE .若AC ＝18.BC ＝12.则△CEG 的周长为__27__.图21－8【解析】 ∵点A .D 关于点F 对称. ∴点F 是AD 的中点、 ∵CD ⊥AB .FG ∥CD . ∴FG 是△ACD 的中位线. ∵AC ＝18.BC ＝12. ∴CG ＝12AC ＝9.∵点E 是AB 的中点. ∴GE 是△ABC 的中位线. ∵CE ＝CB ＝12. ∴GE ＝12BC ＝6.∴△CEG 的周长＝CG ＋GE ＋CE ＝9＋6＋12＝27.(15分)14、(15分)[2016·邵阳]如图21－11.等边△ABC 的边长是2.D .E 分别为AB .AC 的中点.延长BC 至点F .使CF ＝12BC .连结CD 和EF .(1)求证：DE ＝CF ；图21－11(2)求EF 的长、解：(1)证明：∵D .E 分别为AB .AC 的中点. ∴DE 綊12BC .∵延长BC 至点F .使CF ＝12BC .∴DE 綊FC . 即DE ＝CF ； (2)∵DE 綊FC .∴四边形DEFC 是平行四边形.∴DC＝EF.∵D为AB的中点.等边△ABC的边长是2. ∴AD＝BD＝1.CD⊥AB.BC＝2.∴EF＝DC＝ 3.。

第七单元三角形第21课时三角形的基础知识(60分)一、选择题(每题6分，共36分)1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(D)A．1，2，6 B．2，2，4C．1，2，3 D．2，3，42．[2016·滨州]在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于(C) A．45°B．60°C．75°D．90°3．[2016·山西]如图21－1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C)A．8 B．10C．12 D．14图21－14．[2017·邵阳]如图21－2，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC 于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是 (C)A．45° B．54° C．40° D．50°图21－2 图21－35．[2016·绵阳]如图21－3，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC ＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝(C)A．118°B．119°C．120°D．121°【解析】∵∠A＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°， ∵BE ，CD 是∠B ，∠C 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠ABC ，∠BCD ＝12∠BCA ，∴∠CBE ＋∠BCD ＝12(∠ABC ＋∠BCA )＝60°，∴∠BFC ＝180°－60°＝120°.6. 如图21－4，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，点A 与点A ′重合，若∠A ＝75°，则∠1＋∠2＝(A)A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°图21－4【解析】 ∵△A ′DE 是由△ADE 翻折而成， ∴∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE ， ∠A ＝∠A ′＝75°，∴∠AED ＋∠ADE ＝∠A ′ED ＋∠A ′DE ＝180°－75°＝105°， ∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.故选A. 二、填空题(每题6分，共24分)7．[2016·衡阳]如图21－5，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ，选取可以直达A ，B 两点的点O 处，再分别取OA ，OB 的中点M ，N ，量得MN ＝20 m ，则池塘的宽度AB 为__40__m.图21－5图21－68．如图21－6，点B ，C ，E ，F 在一直线上，AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，则∠D ＝__36__度．9．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 满足∠B －∠A ＝∠C －∠B ，则∠B ＝__60__度． 10．将一副直角三角板如图21－7摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D .已知∠A ＝∠EDF ＝90°，AB ＝AC ，∠E ＝30°，∠BCE ＝40°，则∠CDF ＝__25°__.图21－7【解析】 ∵AB ＝AC ，∠A ＝90°， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°. ∵∠EDF ＝90°，∠E ＝30°， ∴∠F ＝90°－∠E ＝60°.∵∠ACE ＝∠CDF ＋∠F ，∠BCE ＝40°，∴∠CDF ＝∠ACE －∠F ＝∠BCE ＋∠ACB －∠F ＝40°＋45°－60°＝25°.(25分)11．(7分)[2016·广州]如图21－8，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝33，AD ＝3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为__3__. 【解析】 ∵ED ＝EM ，MF ＝FN ， ∴EF ＝12DN ，∴DN 最大时，EF 最大， ∵N 与B 重合时DN 最大， 此时DN ＝DB ＝AD 2＋AB 2＝6，∴EF 的最大值为3.12．(8分)[2017·扬州]如图21－9，△ABC 的中位线DE ＝5 cm ，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A ，F 两点间的距离是8 cm ，则△ABC 的面积为__40__cm 2.图21－9图21－1013．(10分)[2016·苏州]如图21－10，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE ＝CB ，点A ，D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连结GE .若AC ＝18，BC ＝12，则△CEG 的周长为__27__.图21－8【解析】 ∵点A ，D 关于点F 对称， ∴点F 是AD 的中点． ∵CD ⊥AB ，FG ∥CD ， ∴FG 是△ACD 的中位线， ∵AC ＝18，BC ＝12， ∴CG ＝12AC ＝9.∵点E 是AB 的中点， ∴GE 是△ABC 的中位线， ∵CE ＝CB ＝12， ∴GE ＝12BC ＝6，∴△CEG 的周长＝CG ＋GE ＋CE ＝9＋6＋12＝27.(15分)14．(15分)[2016·邵阳]如图21－11，等边△ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连结CD 和EF .(1)求证：DE ＝CF ；图21－11(2)求EF 的长．解：(1)证明：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点， ∴DE 綊12BC ，∵延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，∴DE 綊FC ， 即DE ＝CF ； (2)∵DE 綊FC ，∴四边形DEFC 是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴EF＝DC＝ 3.。

第 22 课时三角形全等(60 分)一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分)1．[2016 ·宜昌 ] 如图 22－1，在方格纸中，以AB为一边作△ ABP，使之与△ ABC全等，从 P1，P2，P3，P4四个点中找出切合条件的点P，则点 P 有(C)A．1 个B．2个C． 3 个D．4个AB的距离应当等于点【分析】要使△ ABP与△ ABC全等，点 P到C到 AB的距离，即3个单位长度，故点 P的地点能够是 P1，P3，P4三个．图 22－1图22－22．如图 22－2，以下条件中，不可以证明△A BD≌△ACD的是(D)A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC【分析】当 BD＝DC，AB＝AC 时，由于AD＝AD，由 SSS 可得△ABD≌△ ACD，故A正确;当∠ ADB＝∠ ADC，BD＝CD时，由于 AD ＝AD，由 SAS可得△ ABD≌△ ACD，故B正确;当∠ B＝∠ C，∠ BAD＝∠ CAD时，由于 AD＝AD，由 AAS可得△ ABD≌△ ACD，故C正确;D 不可以判断△ ABD≌△ ACD，由于不可以利用SSA判断两三角形全等．3．[2016 ·湖州 ] 如图 22－3，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE均分∠ ABC，交 CD于点 E，BC＝5，DE＝2，则△ BCE的面积等于(C)A．10B．7C．5D．4图22－3【分析】作 EF⊥BC于 F，∵B E均分∠ ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，第3题答图11∴S△BCE＝2BC·EF＝2×5×2＝5.4.[2016 ·宁波 ] 如图 22－4，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，假如增添一个条件，使△ ABE≌△ CDF，则增添的条件不可以为(C)A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠ 1＝∠2图22－4【分析】A．当BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可增添 ;B．当BF＝ED，可得BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可添加;C．当AE＝CF没法得出△ABE≌△CDF，故此选项切合题意 ;D．当∠ 1＝∠ 2，△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项可增添．二、填空题 ( 每题 5 分，共 20 分)5．[2017 ·长沙 ] 如图 22－5，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则 DF＝__6__.图 22－5图22－6 6．[201 6·江西 ] 如图 22－6，OP均分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON 于 F，OA＝OB，则图中有__3__对全等三角形．【分析】∵OP均分∠ MON，∴∠1＝∠2，由OA＝ OB，∠1＝∠2，OP＝ OP，可证得△ AOP≌△BOP(SAS)，∴AP＝BP，又∵ OP均分∠ MON，PE⊥OM于 E，PF⊥ON于 F，∴PE＝PF，∴△ PEA≌△ PFB( HL)，又∵ PE＝PF，OP＝OP，∴△ POE≌△ POF(HL)，∴图中共有 3 对全等三角形．7．[2016 ·娄底 ] 如图 22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需增添一个条件，你增添的条件是__∠ABD＝∠CBD或AD＝CD__(只要写一个，不增添协助线) ．【解析】由已知AB＝ BC，及公共边BD＝ BD，可知要使△ABD≌△ CBD，已经具备了两个边了，而后依据全等三角形的判断定理，应当有两种判断方法①SAS，② SSS.因此可添∠ ABD＝∠ CBD 或AD＝ CD.图22－78．[2016 ·黔东南 ] 如图 22－8，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请增添一个适合的条件__AB＝CD__，使△ABD≌△CDB.( 只要写一个)图22－8【分析】∵AB∥CD，∴∠ ABD＝∠ CDB，而 BD＝DB，∴当增添 AB＝ CD时，可依据“ SAS”判断△ ABD≌△ CDB.三、解答题 ( 共 20 分)9．(10 分)[2016 ·福州 ] 如图 22－9，∠ 1＝∠ 2，∠ 3图 22－9＝∠ 4，求证：AC＝AD.证明：∵∠ 3＝∠ 4，∴∠ ABC＝∠ ABD.在△ ABC和△ ABD中，∠1＝∠ 2，AB＝AB，∠ABC＝∠ ABD，∴△ ABC≌△ ABD(ASA)∴A C＝AD.10．(10 分)[20 16·武汉 ] 如图 22－10，点B，C，E，F 在同向来线上， BC＝EF，AC⊥BC于点 C，DF⊥EF 于点 F，AC＝DF.图 22－10求证：(1)△ ABC≌△ DEF;(2)AB∥DE.证明： (1) ∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ ACB＝∠ DFE＝90°，在△ ABC和△ DEF中，BC＝ EF，∠ACB＝∠ DFE，AC＝DF，∴△ ABC≌△ DEF(SAS);(2)∵△ ABC≌△ DEF，∴∠ B＝∠ DEF，∴AB∥DE.(24 分)11．(12 分)[2017 ·杭州 ] 如图 22－11，在△ABC中，AB＝AC，点E，F 分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE订交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其余相等的线段．图 22－11证明：∵ AB＝AC，∴∠ ABC＝∠ ACB，在△ ABF与△ ACE中，AB＝ AC，∠CAE＝∠ BAF，AE＝AF，∴△ ABF≌△ ACE(SAS)，∴∠ ABF＝∠ ACE，∴∠ ABC－∠ ABF＝∠ ACB－∠ ACE，∴∠ FBC＝∠ ECB，∴P B＝PC.相等的线段还有： PE＝PF，BE＝CF，EC＝FB，AE＝AF. 12．(12 分)[2016 ·温州 ] 如图 22－12，点C，E，F，B 在同向来线上，点A，D在 BC异侧， AB∥CD，AE＝DF，∠ A＝∠ D.(1) 求证：AB＝CD;图 22－12(2)若 AB＝CF，∠ B＝30°，求∠ D的度数．解： (1) 证明：∵AB∥CD，∴∠ B＝∠ C，在△ ABE和△ DCF中，∠A＝∠ D，∠C＝∠ B，AE＝DF，∴△ ABE≌△ DCF(AAS)，∴A B＝CD;(2)∵△ ABE≌△ DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∵AB＝CF，∠B＝30°，∴CD＝CF，∠C＝∠ B＝30°，∴△ CDF是等腰三角形，1∴∠ D＝2×(180°－30°)＝75°.(16 分)13．(16 分)[2016 ·株洲 ] 如图 22－13，在 Rt △ABC中，∠C＝90°，BD是△ ABC的一条角均分线．点O，E，F分别在 BD，BC，AC上，且四边形 OECF是正方形．(1)求证：点 O在∠ BAC的均分线上;(2)若 AC＝5， BC＝12，求 OE的长．图 22－13解： (1) 证明：过点O作OM⊥AB于点M，∵B D是∠ ABC的均分线，∴OE＝OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，第 13 题答图∴O F＝OM，∵O M⊥AB，OF⊥AD，∴AO是∠BAC的角均分线，即点 O在∠ BAC的均分线上;(2) ∵在 Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，2222∴AB＝ AC＋BC＝ 5 ＋12 ＝13，设CE＝ CF＝x，BE＝BM＝y， AM＝AF＝z，x＋y＝12，∴y＋z＝13，x＋z＝5，x＝2，解得y＝10，z＝3，∴O E＝CE＝CF＝2.。

第 24 课时直角三角形和勾股定理(60 分)一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)1．[2016 ·毕节 ] 以下各组数据中的三个数作为三角形的边长，此中能组成直角三角形的是(B)A. 3，4，5B．1，2，3C．6，7，8D．2，3，42．如图 24－1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C 到AB的距离是(A)3612A. 5B. 25933C.4D.4【分析】在 Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，依据勾股定理得AB＝22ABC1AC＋BC＝15，过 C作 CD⊥AB，交 AB于点 D，又S△＝2AC·BC 1＝2AB·CD，∴CD＝AC·BCAB ＝9×12＝1536，则点5C到AB的距离是365 .应选A.图 24－1第2题答图3．[2017 ·甘孜 ] 如图 24－2，点D在△ABC的边AC上，将△ ABC沿 BD翻折后，点 A恰巧与点 C重合．若BC＝5，CD＝3，则 BD的长为图 24－2(D)A．1B．2C．3D．44．将一个有45°角的三角板的直角极点放在一张宽为 3 cm 的矩形纸带边缘上，另一个极点在纸带的另一边缘上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图 24－ 3，则三角板最长边的长为(D)A．3 cm B．6 cmC．3 2 cm D．6 2 cm图 24－3第 4 题答图【分析】如答图，过点C作CD⊥AD于点D，∴C D＝3.在直角三角形ADC中，∵∠ CAD＝30°，∴A C＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴A B＝AC＝6，22222∴BC＝ AB＋AC＝6＋6＝72，∴BC＝62，应选 D.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图 24－4 那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 tan ∠CBE的值是(C)247A. 7B. 371C.24D.3图 24－4【分析】在 Rt△BCE中，设CE＝x，则BE＝EA＝8－x，依据勾2227股定理有 (8 －x) ＝x＋6 ，解得x＝4，7CE 47∴tan ∠CBE＝＝＝ .BC 6 24二、填空题 ( 每题 5 分，共 25 分)6．[2016 ·内江 ] 在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝__6 3__.7．[2017 ·凉山 ] 已知直角三角形两边的长分别是3 和 4，则第三边的长为 __5 或7__.8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一同，49若 AB＝14 cm，则暗影部分的面积是__22__cm.【分析】∵∠ B＝30°，图 24－51∴AC＝2AB＝7 cm，易证 AC＝CF，11212∴S△ACF＝2AC·CF＝2AC＝2×7＝4922 (cm ) ．9．[2017 ·无锡 ] 如图 24－6，△ABC中，CD⊥AB于D，E 是 AC的中点，若 AD＝6，DE＝5，则 CD的长等于__8__.【分析】∵△ ABC中，CD⊥AB于 D，E 是 AC的图 24－ 6中点， DE＝5，1∴DE＝2AC＝5，∴A C＝10.在直角△ ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则依据勾股定理，得2222CD＝ AC－AD＝10－6 ＝8.10．[2016 ·遵义 ] 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后代称其为“赵爽弦图”( 如图 24－7①) ．图 24－7②由弦图变化获得，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形 EFGH的边长为2，则 S1＋ S2＋S3＝__12__.图24－7【分析】∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴C G＝NF，CF＝DG＝KF，∴S1＝( CG＋DG)22 2＝C G＋ DG＋2CG·DG2＝GF＋2CG·DG，2S2＝GF，2222S3＝( KF－NF)＝KF＋NF－2NF·KF＝GF－2CG·DG，222∴S1＋S2＋S3＝ GF＋2CG·DG＋GF＋GF－22CG·DG＝3GF＝12.三、解答题 ( 共 20 分)11．(10 分) 如图 24－8，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ 30°，BD是∠ABC的均分线，CD＝5 cm，求AB的长．【分析】要求的 AB在Rt△ABC中，∠ A＝图 24－81 30°，故只要求BC的长，在 Rt△BCD中，DC＝5 cm，∠DBC＝2∠ABC＝30°，故可求出 BD，BC的长，进而依据 AB＝2BC计算出结果．解：∵在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴A B＝2BC，∠ ABC＝60°.∵BD是∠ ABC的均分线，∴∠ ABD＝∠ CBD＝30°.∵在 Rt △CBD中，CD＝5 cm，∴B D＝10 cm，∴B C＝5 3 cm，∴A B＝2BC＝10 3 cm.12．(10 分) 如图 24－9，Rt △ABC中，∠C＝90°，AD均分∠ CAB，DE⊥AB于 E，若 AC＝6，BC＝8，CD＝3.图 24－9(1)求 DE的长;(2)求△ ADB的面积．解： (1) 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∴A C⊥CD.又∵ AD均分∠ CAB，DE⊥AB，∴D E＝CD，又∵ CD＝3，∴D E＝3;(2)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，2222∴AB＝ AC＋BC＝ 6 ＋8＝10，11∴S△ADB＝2AB·DE＝2×10×3＝15.(20 分)13．(6 分)[2017 ·荆门 ] 如图 24－10，已知圆柱底面的周长为 4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(A)A．4 2 dm B．2 2 dmC．2 5 dm D．4 5 dm图 24－10第13题答图【分析】如答图，把圆柱的侧面睁开，获得矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为 4 dm，圆柱高为 2 dm，∴A B＝2 dm，BC＝BC′＝2 dm，222＝4＋4＝8，∴AC＝2＋2∴AC＝22，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4 2 dm.14．(6 分)[2016 ·台州 ] 假如将长为 6 cm，宽为 5 cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不行能是(A)A．8 cm B ．5 2 cmC．5.5 cm D ．1 cm【分析】易知最长折痕为矩形对角线的长，依据勾股定理对角线长为62＋52＝61≈7.8 ，故折痕长不行能为 8 cm.15．(8分)[2016 ·铜仁 ] 如图 24－11，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点 E，则线段 DE的长为(B)15A．3 B. 415C．5 D. 2【分析】设 ED＝x，则AE＝6－x;∵四边形 ABCD为矩形，∴A D∥BC，∴∠ EDB＝∠ DBC，由意得∠ EBD＝∠ DBC，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴E B＝ED＝x，由勾股定理得222BE＝AB＋AE，22215即 x ＝3＋(6 －x) ，解得x＝4，15∴ED＝4.(10 分) 16．(10 分)[2016 · 坊 ] 如 24－12，正△ABC的 2，以BC上的高AB1作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面 S1;再以正△ AB1C1 B1C1上的高 AB2作正△AB2C2，△ AB1C1与△ AB2C2公共部分的面3 3n S2，⋯，以此推，__S n＝2·4__.( 用图24－ 11图24－12含 n 的式子表示)【分析】∵等三角形 ABC的2，AB1⊥BC，∴B B1＝1，AB＝2，依据勾股定理得 AB1＝3，132∴S1＝2×4×(3)3 3 1＝2·4 ;∵等三角形 AB1C1的3，AB2⊥B1C1，3∴B1B2＝2，AB1＝3，3依据勾股定理得 AB2＝2，1 3 323 3 2∴S2＝2×4×2＝2·4;⋯3 3 n以此推， S n＝2·4.。