2019年中考数学复习专题复习五函数的实际应用题练习

专题复习函数应用题类型之一与函数有关的最优化问题函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型;在人们的生产、生活中有着广泛的应用;利用函数的解析式、图象、性质求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．1.莆田市枇杷是莆田名果之一;某果园有100棵枇杷树..每棵平均产量为40千克;现准备多种一些枇杷树以提高产量;但是如果多种树;那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少;根据实践经验;每多种一棵树;投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量千克;问：增种多少棵枇杷树;投产后可以使果园枇杷的总产量最多最多总产量是多少千克2.贵阳市某宾馆客房部有60个房间供游客居住;当每个房间的定价为每天200元时;房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时;就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间;宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：1房间每天的入住量y间关于x元的函数关系式．2该宾馆每天的房间收费z元关于x元的函数关系式．3该宾馆客房部每天的利润w元关于x元的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时;w有最大值最大值是多少例3：某商场经营某种品牌的服装;进价为每件60元;根据市场调查发现;在一段时间内;销售单价是100元时;销售量是200件;而销售单价每降低1元;就可多售出10件1写出销售该品牌服装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式..2若服装厂规定该品牌服装销售单价不低于80元;且商场要完成不少于350件的销售任务;则商场销售该品牌服装获得最大利润是多少元32014江苏省常州市某小商场以每件20元的价格购进一种服装;先试销一周;试销期间每天的销量件与每件的销售价x元/件如下表所示:假定试销中每天的销售号件与销售价x元/件之间满足一次函数.1试求与x之间的函数关系式;2在商品不积压且不考虑其它因素的条件下;每件服装的销售定价为多少时;该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大每天的最大毛利润是多少注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价类型之二图表信息题本类问题是指通过图形、图象、表格及一定的文字说明来提供实际情境的一类应用题;解题时要通过观察、比较、分析;从中提取相关信息;建立数学模型;最终达到解决问题的目的..4．08江苏南京一列快车从甲地驶往乙地;一列慢车从乙地驶往甲地;两车同时出发;设慢车行驶的时间为(h)x;两车之间的距离y;图中的折线表示y与x之间的．．．．．．．为(km)函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取1甲、乙两地之间的距离为 km；2请解释图中点B的实际意义；图象理解3求慢车和快车的速度；4求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式;并写出自变量x的取值范围；问题解决5若第二列快车也从甲地出发驶往乙地;速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后;第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时类型之三方案设计方案设计问题;是根据实际情境建立函数关系式;利用函数的有关知识选择最佳方案;判断方案是否合理;提出方案实施的见解等..5．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套;•该公司所筹资金不少于2090万元;但不超过2096万元;且所筹资金全部用于建房;•两种户型的建房成本和售价如下表：成本万元/套25 28售价万元/套30 341该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案2该公司如何建房获得利润最大3根据市场调查;每套B型住房的售价不会改变;每套A•型住房的售价将会提高a万元a>0;且所建的两种住房可全部售出．该公司又将如何建房获得利润最大注：利润=售价－成本类型之四分段函数应用题..6.赣州市年春节前夕;南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气;赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失;政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y万元与销售量x吨的关系图．请结合图象回答以下问题：1在出台该项优惠政策前;脐橙的售价为每千克多少元2出台该项优惠政策后;“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完;加上政府补贴共收入万元;求果园共销售了多少吨脐橙3①求出台该项优惠政策后y 与x 的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨;总收入为万元；若按今年的销售方式;则至少要销售多少吨脐橙总收入能达到去年水平．7．2009成都某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召;投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售;购进价格为20元／件．销售结束后;得知日销售量P 件与销售时间x 天之间有如下关系：P=-2x+801≤x≤30;且x 为整数；又知前20天的销售价格1Q 元/件与销售时间x 天之间有如下关系：11Q 302x =+ 1≤x≤20;且x 为整数;后10天的销售价格2Q 元/件与销售时间x 天之间有如下关系：2Q =4521≤x≤30;且x 为整数．1试写出该商店前20天的日销售利润1R 元和后l0天的日销售利润2R 元分别与销售时间x 天之间的函数关系式；2请问在这30天的试销售中;哪一天的日销售利润最大并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．8．通过实验研究;专家们发现：一个会场听众听讲的注意力指标数是随着演讲者演讲时间的变化而变化的;演讲开始时;听众的兴趣激增;中间有一段时间;听众的兴趣保持平稳的状态;随后开始分散..听众注意力指标数y 随时间x 分钟变化的函数图像如下图所示y 越大表示听众注意力越集中..当0≤x≤10时;图像是抛物线的一部分;当10≤x≤20和20≤x≤40时;图像是线段..1当0≤x≤10时;求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；2王标同学竞选学生会干部需要演讲24分钟;问他能否经过适当安排;使听众在听他的演讲时;注意力的指标数都不低于36若能;请写出他安排的时间段；若不能;也请说明理由..9．2008仙桃华宇公司获得授权生产某种奥运纪念品;经市场调查分析;该纪念品的销售量1y 万件与纪念品的价格x 元／件之间的函数图象如图所示;该公司纪念品的生产数量2y 万件与纪念品的价格x 元／件近似满足函数关系式85232+-=x y .; 若每件纪念品的价格不小于20元;且不大于40元.请解答下列问题：1求1y 与x 的函数关系式;并写出x 的取值范围；2当价格x 为何值时;使得纪念品产销平衡生产量与销售量相等；3当生产量低于销售量时;政府常通过向公司补贴纪念品的价格差来提高生产量;促成新的产销平衡.若要使新的产销平衡时销售量达到46万件;政府应对该纪念品每件补贴多少元10．图象如图中折线所示;该加油站截止到13;截止至15请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息;解答下列问题： 元／件1求销售量x 为多少时;销售利润为4万元；2分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；3我们把销售每升油所获得的利润称为利润率;那么;在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中;哪一段的利润率最大直接写出答案11．扬州2006年中考题我市某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完;该企业对这一批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．表一、表二分别是国内、国外市场的日销售量y1、y2万件与时间tt 为整数;单位：天的部分对应值．表一：国内市场的日销售情况表二：国外市场的日销售情况1日：有库存6万升;成本价4元/升;售价51请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t 的变化规律;写出y1与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；2分别探求该产品在国外市场上市30天前与30天后含30天的日销售量y2与时间t 所符合的函数关系式;并写出相应自变量t 的取值范围；3设国内、外市场的日销售总量为y 万件;写出y 与时间t 的函数关系式．试用所得函数关系式判断上市后第几天国内、外市场的日销售总量y 最大;并求出此时的最大值．12．2007东营某公司专销产品A;第一批产品A 上市40天内全部售完..该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查;调查结果如图所示;其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图2中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系..1试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；2第一批产品A 上市后;哪一天这家公司市场日销售利润最大最大利润是多少万元13．随着人民生活水平的不断提高;我市家庭轿车的拥有量逐年增加;据统计;某小区2006年底拥有家庭轿车64辆;2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆..1若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同;求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆2为了缓解停车矛盾;该小区决定投资15万元再建造若干停车位;据测算;建造费用分别为室内车位5000元／个;露天车位1000元／个;考虑到实际因素;计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍;但不超过室内车位的倍;求该小区最多可建两种车位各多少个试写出所有可能的方案..14．2012攀枝花．煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一;煤炭生产企业需要对煤炭运往用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划..某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A;B两厂;通过了解获得A;B两厂的有关信息如下表表中运费栏“元/kmt⋅”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用：1写出总运费y元与运往B厂的煤炭量x t之间的函数关系式;并写出自变量x的取值范围；2请你运用函数有关知识;为该煤矿设计总运费最少的运送方案;并求出最少的总运费..可用含a的代数式表示几何的定值与最值几何中的定值问题;是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变;或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题;解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量;运用特殊位置、极端位置;直接计算等方法;先探求出定值;再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下;求平面几何图形中某个确定的量如线段长度、角度大小、图形面积等的最大值或最小值;求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理公理法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中;由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性目标不明确;解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．15．如图;已知AB=10;P是线段AB上任意一点;在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD;则CD长度的最小值为．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE;边长和方向如图;欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓;请划出这块地基;并求地基的最大面积精确到1m 2．17．某住宅小区;为美化环境;提高居民生活质量;要建一个八边形居民广场平面图如图所示．其中;正方形MNPQ 与四个相同矩形图中阴影部分的面积的和为800平方米． 1设矩形的边AB=x 米;AM=y 米;用含x 的代数式表示y 为 ．2现计划在正方形区域上建雕塑和花坛;平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪;平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪;平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S 元;求S 关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元;仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务若能;请列出设计方案；若不能;请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上;又增加资金73000元;问能否完成该工程的建设任务若能;请列出所有可能的设计方案；若不能;请说明理由．镇江市中考题18．如图;抛物线2212-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点;与Y 轴交于C 点; 且A －1;0..求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标判断△ＡＢＣ的形状;证明你的结论..点Ｍm;0是x 轴上的一个动点;当ＭＣ+ＭＤ的值最小时;求m 的值答案部分1.解析先建立函数关系式;把它转化为二次函数的一般形式;然后根据二次函数的顶点坐标公式进行求极值.答案解：设增种x 棵树;果园的总产量为y 千克;依题意得：y=100 + x40 – =4000 – 25x + 40 x – 0;25x 2 = - x 2 + 15x + 4000 =-x-30 2 +4225因为a= - ＜0;所以当1530220.25b x a =-=-=-⨯; y 有最大值2244(0.25)400015422544(0.25)ac b y a -⨯-⨯-===⨯-最大值答：增种30棵枇杷树;投产后可以使果园枇杷的总产量最多;最多总产量是4225千克.2.解析解决在产品的营销过程中如何获得最大利润的“每每型”试题成为近年中考的热点问题..每每型”试题的特点就是每下降;就每减少;或每增长;就每减少..解决这类问题的关键就是找到房价增加后;该宾馆每天的入住量..“每每型”试题都可以转化为二次函数最值问题;利用二次函数的图像和性质加以解决.答案16010x y =- 221(200)6040120001010x z x x x ⎛⎫=+-=-++ ⎪⎝⎭ 3(200)6020601010x x w x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当x=210时;w 有最大值．此时;x+200=410;就是说;当每个房间的定价为每天410元时;w 有最大值;且最大值是15210元．3. 解：1900；4. 2图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时;慢车和快车相遇．3由图象可知;慢车12h 行驶的路程为900km; 所以慢车的速度为90075(km /h)12=；当慢车行驶4h 时;慢车和快车相遇;两车行驶的路程之和为900km;所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=;所以快车的速度为150km/h ． 4根据题意;快车行驶900km 到达乙地;所以快车行驶9006(h)150=到达乙地;此时两车之间的距离为675450(km)⨯=;所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+;把(40)，;(6450)，代入得 044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩， 所以;线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-．自变量x 的取值范围是46x ≤≤．5慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇;此时;慢车的行驶时间是． 把 4.5x =代入225900y x =-;得112.5y =．此时;慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是;所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=;即第二列快车比第一列快车晚出发．4．解：1设A 种户型住房建x 套;则2090≤25x+2880－x ≤2096;48≤x ≤50;x 取整数48;49;50;有三种建房方案 2公司获利润W=5x+680－x=480－x;当x=48时;W 最大=432万元3W=5+ax+•680－x=480+a －1x;当0<a<1时;x=48;W 最大；当a=1时;三种建房方案获利相同；当a>1时;x=50;W 最大5.解析从函数图象容易看出前面一段是出台该项优惠政策前的情况;后面一段是出台该项优惠政策后的情况;前面一段所有的量已经知道;容易求出该果园共销售脐橙的重量;为后面一段的求值奠定了基础.答案解：1政策出台前的脐橙售价为43310 3 1010⨯=⨯元元/千克千克；2设剩余脐橙为x 吨;则103×3×9+x=×104∴43(11.73)1010(30.90.2)x -⨯=⨯⨯⨯+=310吨； 该果园共销售了10 +30 = 40吨脐橙 ；3①设这个一次函数的解析式为 (1040)y mx n x =+≤≤;代入两点10;3、40;得： 310, 11.740;m n m n =+⎧⎨=+⎩=0.29,=0.1;m n ⎧⎨⎩解得 函数关系式为0.290.1 (1040)y x x =+≤≤;②令 10.25(10.250.290.1 y x ≥≤+万元），则，35 (x ≥解得吨）答：1原售价是3元/千克；2果园共销售40吨脐橙；3①函数关系式为0.290.1 (1040)y x x =+≤≤；②今年至少要销售35吨;总收入才达到去年水平． 6.7. 解：1由抛物线y=a 2+bx+c 过0;20、5;39、10;48三点; 解得：a=;b=;c=20．即y=++200≤x≤102令①式中的y=36;即++20=36;解得：x 1=4;x 2=20舍去在第20-40分钟范围内;一次函数y=kx+b 经过点20;48、40;20;即 ;解得即函数解析式为y=+76 当y=36时;∵-4=>24∴王标的演讲从第4分钟开始能有24分钟时间使学生的注意力指标效一直不低于36..8解：1设y 与x 的函数解析式为：b kx y +=;将点)60,20(A 、)28,36(B 代入b kx y +=得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 36282060 解得：⎩⎨⎧=-=1002b k ∴1y 与x 的函数关系式为：⎩⎨⎧≤<=≤≤+-=)4028(28)2820(100211x y x x y2当2820≤≤x 时;有⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=10028523x y x y 解得：⎩⎨⎧==4030y x 当4028≤≤x 时;有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=288523y x y 解得：⎩⎨⎧==2838y x∴当价格为30元或38元;可使公司产销平衡.3当461=y 时;则8523461+-=x ;∴261=x 当462=y 时;则1002462+-=x ;∴272=x∴112=-x x∴政府对每件纪念品应补贴1元9解：解法一：1根据题意;当销售利润为4万元;销售量为4(54)4÷-=万升． 答：销售量x 为4万升时销售利润为4万元． ·········· 3分 2点A 的坐标为(44)，;从13日到15日利润为5.54 1.5-=万元;所以销售量为1.5(5.54)1÷-=万升;所以点B 的坐标为(55.5)，． 设线段AB 所对应的函数关系式为y kx b =+;则445.55.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得 1.52.k b =⎧⎨=-⎩，∴线段AB 所对应的函数关系式为 1.52(45)y x x =-≤≤． ····· 6分 从15日到31日销售5万升;利润为1 1.54(5.5 4.5) 5.5⨯+⨯-=万元． ∴本月销售该油品的利润为5.5 5.511+=万元;所以点C 的坐标为(1011)，． 设线段BC 所对应的函数关系式为y mx n =+;则 5.551110.m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得 1.10.m n =⎧⎨=⎩，所以线段BC 所对应的函数关系式为 1.1(510)y x x =≤≤． ····· 9分 3线段AB ． ······················· 12分 解法二：1根据题意;线段OA 所对应的函数关系式为(54)y x =-;即(04)y x x =≤≤． 当4y =时;4x =．答：销售量为4万升时;销售利润为4万元． ·········· 3分 2根据题意;线段AB 对应的函数关系式为14(5.54)(4)y x =⨯+-⨯-; 即 1.52(45)y x x =-≤≤． ··················· 6分 把 5.5y =代入 1.52y x =-;得5x =;所以点B 的坐标为(55.5)，．截止到15日进油时的库存量为651-=万升．当销售量大于5万升时;即线段BC 所对应的销售关系中; 每升油的成本价144 4.5 4.45⨯+⨯==元． 所以;线段BC 所对应的函数关系为y =(1.552)(5.5 4.4)(5) 1.1(510)x x x ⨯-+--=≤≤．········· 9分 3线段AB ． ······················· 12分 10解：1通过描点;画图或分析表一中数据可知y 1是t 的二次函数..设y 1=at-202+60;把t 1=0;y 1=0.代入得a=;故y 1=t 2+6t0≤t ≤40且t 为整数.. 经验证;表一中的所有数据都符合此解析式..2通过描点;画图或分析表二中数据可知当0≤t ≤30时y 2是t 的正比例函数；当30≤t ≤40时y 2是t 的一次函数..可求得;经验证;表二中的所有数据都符合此解析式..3由y=y1+y2得;经比较可知第27天时y 有最大值为万件..11.解：1 由图10可得;当0≤t ≤30时;设市场的日销售量y ＝k t ．∵ 点30;60在图象上;∴ 60＝30k ．∴ k ＝2．即 y ＝2 t ．当30≤t ≤40时;设市场的日销售量y ＝k 1t +b ．因为点30;60和40;0在图象上;所以 ⎩⎨⎧+=+=b k b k 114003060解得k1＝－6;b＝240．∴y＝－6t＋240．综上可知;当0≤t≤30时;市场的日销售量y＝2t；当30≤t≤40时;市场的日销售量y＝－6t＋240．2当0≤t≤20时;每件产品的日销售利润为z＝3t；当20≤t≤40时;每件产品的日销售利润为z＝60．设日销售利润为W万元;由题意当0≤t≤20时;W＝3t×2t＝6 t2；∴当t＝20时;产品的日销售利润W最大等于2400万元．当20≤t≤30时;W＝60×2t =120t．∴当t＝30时;产品的日销售利润y最大等于3600万元；当30≤t≤40时;产品的日销售利润y＝60×－6t＋240；∴当t＝30时;产品的日销售利润y最大等于3600万元．综上可知;当t＝30天时;这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．151设AB的解析式为y=kx+b;∵四边形OCDE是矩形;∴OA=OE-AE=80-60=20m;OB=OC-BC=100-70=30m;∴A0;20;B30;0∴解得∴AB的解析式为2如图;以直线BC;AE分别为x轴;y轴建立直角坐标系;BC;AE为正方向;长度单位为米;直线AB的方程为．首先考虑与D不相邻的顶点F在AB上的情况;则Fx;;0≤x≤30;;;时;≈17时S≈6017m2;再考虑F在AE或BC上的情况;此时最大矩形的面积是6000m2和5600m2; 故选定F5;17点;最大面积是6017m2．。

专题05 二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，6m AB 1m ABCD 2m 6m AB ABCD 6m ABCDEF AB DE ∥AB DE 3AB =1AF BC ==，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．图形运动问题4．如图（单位：cm ），等腰直角以2cm/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到与重合，当运动时间为x s 时，与正方形重叠部分的面积为y cm 2，下列图象中能反映y 与x 的函数关系的是（ ）90A B ∠=∠=︒135C F ∠=∠=︒MH H G GN MH MNGH ABC V AB AC =:3:4AF BF =G H F AB AC BC BCDE BE IJ MN CD ∥∥∥BF x =BE y =y x x x EFG V EF BC EFG V ABCD． ．． ．．如图，一个边长为的菱形，过点作直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线部分面积为，则与直线之间的函数图象大致为（ ）A ． ． ．．的边长为，点O 为正方形的中心，出发沿运动，连接的运动速度为260︒A l AB ⊥AB l y y l 2cm BC 2cm/s．．．．销售利润问题．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？8．某公司生产的某种时令商品每件成本为投球问题水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________________；(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；增长率问题(m)x 0123(m)y 0 3.567.5=a x /mx 02461112/m y 2.38 2.62 2.7 2.62 1.721.4213．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）A． B ． C ． D ． 14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．B ．C ．D ．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y 与之间的函数关系式为（ ）A ．B ．C ．D ．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A 、B 两种类型口罩进行销售，A 型口罩进价m 元每盒，B 型口罩进价30元每盒，若各购进m 盒，成本为1375元．(1)求A 型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x 元，当A 型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B 型口罩的销量y （盒）与售价x 之间的关系为；若B 型口罩的销售量不低于A 型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：GDP GDP y GDP x y x ()2.412y x =+()22.41y x =-()22.41y x =+()()2.4 2.41 2.41y x x =++++()21801461x -=()21801461x +=()24611180x -=()24611180x +=x y a x ()12y a x =-()21y a x =-()21y a x =-()21y a x =-3005y x =-2310．X m参考答案：，，米，四边形是平行四边形，又，90A B ∠=∠=︒Q AF BC ∴P 1AF BC ==Q ∴ABCF 90A B ∠=∠=︒Q重叠部分为三角形，面积如图，当时，重叠部分为梯形，面积∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为纵观各选项，只有C 选项符合．y =510x <≤12y =⨯，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，③当时，如图，故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．D21332y x x x =⨯=12x <≤()1133132y x =⨯⨯+-=23x <≤()23323322y x =⨯--=-A∴，由题得，，∴，∵，由题得，∴．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．PE AD ⊥cm BQ t =cm AE PE t ==2cm QE AB ==cm BP BQ t ==212s t =（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y 与x 的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w 的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围，进而求解即可．()222340120002852450w x x x =-+-=--+()0y kx b k =+≠()50,140()80,80501408080k b k b +=⎧⎨+=⎩2240k b =-⎧⎨=⎩2240y x =-+()()()250502240234012000w x y x x x x =-⋅=--+=-+-2000w =22340120002000x x -+-=170x =2100x =70x =()222340120002852450w x x x =-+-=--+20-<85x =296m x =-+1a =②不能．当时，，该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：，令，则，，解得舍，，，该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．13．C【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．14．B【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9x =()20.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<∴20.02(5) 2.88y x =--+0y =20.02(4) 2.880x --+=17(x =-)217x =21718x =<Q ∴GDP x GDP ()2.41x +GDP ()22.41x +y x ()22.41y x =+2=(1⨯+2)()21801461x +=。

专题50 函数的应用 聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。

假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人。

（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。

【答案】（1）甲旅行社：x 85.0640y ⨯==x 544.乙旅行社：当20x ≤时，x 9.0640y ⨯==x 576.当x>20时，20)-x 0.75640209.0640y （⨯+⨯⨯==1920x 480+.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】×人数；乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.考点：一次函数的应用、分类思想的应用．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．【举一反三】(2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。

类型一最大利润问题1 •某企业推销自己的品牌，设计了一款篮球工艺品投放市场进行试销 •根据市场调查，这 种工艺品一段时间内每周的销售量 y （个）与销售单价x （元）之间的对应关系如图所 示（x 为大于6的整数）.（1） 试判断y 与x 的函数关系，并求出y 关于x 的函数表达式；（2） 已知篮球工艺品的进价为10元/个，按照上述销售规律，当销售单价 x 定为多少 时，试销该工艺品每周获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？（3） 某体育超市每周购进该款篮球工艺品的进货成本不超过 1000元，要想每周获得的 利润最大，试确定该工艺品的单价（规定取整数），并求出此时每周所获得的最大利润H 数量｛个）第1题图解：（1）由题图可知，y 是x 的一次函数. 设此一次函数表达式为y= kx+ b ， 把点（10, 300），（ 12，240）代入，得體:怎0，解得｛:益，•'•y 关于x 的函数表达式为y 二30x+ 600;10 12 14 16 科元/个）(2)由题意可得：2 2w=(x-10)(-30x+600)=- 30x + 900x- 6000=- 30(x-15) + 750,•••-30<0,•••当x=15时，w有最大值750,即当销售单价定为15元时，试销该工艺品每周获得的利润最大，最大利润为750元;(3)由题意得：10(-30x+600) <1000,50解得,O由(2)知，w=- 30(x-15) + 750的函数图象开口向下，对称轴为直线x=15,•••当x>5°时，w随x的增大而减小,又tx取整数，O•••当x=17 时，w 最大，且w 最大=-30(17-15) +750=630,即该工艺品的单价定为17元时，每周获得的利润最大，最大利润为630元.2. 某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元，其销售量y (万个)与销售价格x (元/个)的变化如下表：(1)求出当销售量为2.5万个时，销售价格为多少?(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润 w (万元)与销售价格(元/个)的函数关 系式;(3)销售价格定为多少元时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少? 1解：(1)根据表格中数据可得，当y=2.5时，代入y=- 忖+8，得x=55, 120当y=2.5时，代入y==，得x= 48 (不合题意，舍去)， •••当销售量为2.5万个时，销售价格为55元/个； 1(2)根据题意得，当30<x<60时，y 二 伸+8, 1 1 2 1 2 •••w=(x -20)y-40=(x-20)(- ^0x+8)-4O=- ^^x + 10x-200=- 兀(x-50)+50;120当60< x <80时，沪匚， ••w=(x -20)y-40=(x-20)^ -40=- 2400+80.x x1 2-—(x —50)2 +50(30^x^60) 综上可得 w=《10 综丄可得,2400-——+80(60^x^80) i x1 2(3)当 30<x<60 时，w=- 10(x-50)+50, •••当x=50 时，w 最大=50;•••当 x= 80 时，w 最大=50.综上可得，当销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润当 60< x <80 时，w=-2400 x + 80,为50万元.类型二最优方案问题3. 某物流公司现有31吨货物，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b 辆，准备一次运完， 且恰好每辆车都载满货物•已知：每辆A 型车载满货物一次可运货3吨，每辆B 型车载 满货物一次可运货4吨.（1） 该物流公司共有几种租车方案？请分别写出来；（2） 若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租 车方案，并求出最少租车费.解：（1）由题意得3a+4b=31，va ，b 都是整数,即共有3种租车方案；分别为方案一：租A 型车9辆、B 型车1辆；方案二：租A 型车5辆、B 型车4辆；方 案三：租A 型车1辆、B 型车7辆.（2）v 租A 型车每辆需租金100元/次，租B 型车每辆需租金120元/次，•••方案一需租金:9X 100+ 1 X 120= 1020 （元）；方案二需租金：5X 100+4X 120=980 （元）， 方案三需租金：1 X 100+7X 120=940 （元） ••1020> 980> 940,•••最省钱的租车方案是方案三：租 A 型车1辆、B 型车7辆，最少租车费为940元.a =9 [b =1b =4a =14. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品重量不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克.（1）根据题意，填写下表:（2）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式；（3）小明应选择哪家快递公司更省钱?解：（1）11, 52，19, 67;【解法提示】当x=0.5时，y甲= 22X0.5=11;当x=3时，y甲=22+15X2=52;当x= 1时,y乙=16X1 + 3=19;当x=4 日寸,y乙=16X4+3=67;(2)当0<x W1 时，y 甲= 22x;当x> 1 时，y 甲=22+ 15(x-1)= 15x+ 7.；22x(0<xO) 'y甲15x 7( x 1),甲=y 乙=16x+ 3 (x> 0)；1(3)若0<x<1，贝U当y 甲=y 乙时，即22x= 16x+ 3，解得x=2；1当y甲>y乙时，即22x> 16x+3，解得x>q；1当y甲<y乙时，即22x< 16x+ 3，解得x<2；若x>1，则当y 甲=y 乙时，即15x+ 7= 16x+ 3，解得x=4；当y甲>y乙时，即15x+ 7> 16x+ 3，解得x<4；当y甲<y乙时，即15x+ 7<16x+3，解得x>4；1综上可得，当小明快递物品少于2千克或超过4千克时，选择甲公司更省钱；当快递物1 1品等于1千克或4千克时，选择两家快递公司的费用一样；当快递物品超过1千克或不足4千克时，选择乙公司更省钱.类型三抛物线型问题5. 如图①，是安徽省著名的彩虹桥，桥面的截面图可近似地看成一条抛物线.(如图②)已知桥面在拱桥之间的长度CD为40米，桥面CD距拱形支撑的最高点的距离AB为10米.(1) 求该抛物线的解析式;(2) 小王准备在桥面M处竖直搭建一块广告牌，M为BC的中点，广告牌与拱形的交点为N，为了广告效果，规定广告牌的最高点P距离N点不得少于1.1米，求广告牌PM的最低高度.第5题图解：(1)如解图，以A为坐标原点，过点A的水平线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意知，点C(-20，-10)，点D(20，-10)，设该抛物线的解析式为y= ax2，1将点D的坐标代入，得a=- 40，1 2•••该抛物线的解析式为y=- 4Q X (-20W W20)；第5题解图第5题解图图①图②（2）V M为BC中点，二设点N的坐标为（-10, k）.… 1 2则k=- 40x（-1O）=- 2.5,-■•MN= 10+ k= 7.5,•••PM=MN+PN》7.5+1.1=8.6,•••广告牌PM的最低高度为8.6米.6. 某中学阳光体育跳大绳规定：2名同学甩绳，5名同学跳绳，甩绳的形状可看作抛物线如图，以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，正在甩绳的甲乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD 均为0.9米，点C为抛物线的最低点，且在x轴上，5名同学在OD之间站立.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间，且离原点O的距离为2米，他至少跳起多少米，才能顺利通过？（3）若小刚的连续弹跳高度为0.4米，作为一名体育老师，应安排他在哪个位置才能顺利通过？解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-3）2, 将点A(0, 0.9)代入，得0.9= a(x-3)2,解得a=0.1,2 2•••y=0.1(x -3)，即 y=0.1x-0.6x+0.9;o(2) 当 x=2 时，y=0.l x (2-3) =0.1,•••小华至少跳起0.1米；2(3) 当 y= 0.4 时，0.1(x-3) = 0.4,解得 x i = 1, x 2= 5,•••可安排他距离0点1米至5米范围内.类型四 几何面积最大值问题7. 如图，在一面墙的周围用篱笆围成一个矩形 ABCD 的草坪，在AD 、BC 边上有一个宽 为1 m 的小路，在草坪中间用篱笆做出一个隔断 EF ，EF 丄AB ，AB> EF ，矩形ADFE 种植兰花，矩形BCFE 种植月季，已知所用篱笆总长度为 40 m.设矩形ABCD 的面积为 ym 2.(1)设隔断EF 的长为x m ,请用含x 的代数式表示出AB 的长;x 的值，若不能,求出当x 为多少时，所围成的矩形草坪面积最大？并求出这个最大值第7题图解：(1)v 隔断EF 的长为xm ,•°AB= 40- 3x+ 2=( 42- 3x) m ；(2) 求y 与x 之间的函数关系式；(3) 所围成的矩形草坪面积是否能为 150 m 2,L)ni隔断丁 Im若能，请求出第7题图2(2) y=x(42-3x)=- 3x +42x,•'•y与x之间的函数关系式为y=- 3X2+42X；2 2 2(3) 当y=150 时，即-3X +42X= 150, b-4ac= 42 -4X(-3) X(-150)=- 36< 0,•所围成的矩形面积不能为150 m2,21••AB>EF,.・.42-3X>X,.・.1VXV_2 ,2 2・.y==- 3X +42X=-3(X-7) + 147,•••当X= 7时，所围成的矩形草坪面积最大，最大面积为147 m2.8•为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一个135°的角(如图，即ZMON=135°)两边为边，用总长为120m的围网围成了①、②、③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②、③均为矩形.(1) 若①、②、③这三块区域的面积相等，求OB的长；(2) 设OB=x,四边形OBDG的面积为y m［求y与X之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围;(3) X取何值时，y有最大值？最大值是多少?O /? N第8题图解：(1)由题意知，/ MON=135°,E OB= ZD= ZDBO= 90•••zEGO= /EOG=45•£G=EO=DB, DE=FC=OB,1 2 设OB=CF=DE=x，贝U GE=OE=BD=3（120-2x）= 40- §x. •••①②③这三块区域的面积相等，•••2（4O- |x）2=2x（40- |x）x,解得x=24 或60 （舍去），-■•OB= 24 m；“ 2x+xZO-qX | 4 | 40（2）y= —（40 x） =- 9x + 石x+ 800（0< x< 60）；2 I 9|4 2 4^ 4 2（I）y=- §x + 亍+ 800=- 9（x-15） + 900.•••当x= 15时，y有最大值，最大值为900 m2.。

题型五函数的实际应用题类型一最大利润问题1.新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－2x＋320(80≤x≤160)．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？2.某旅行社推出一条成本价为500元/人的省内旅游线路，游客人数y(人/月)与旅游报价x(元/人)之间的关系为y＝－x＋1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．(1)要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；(2)求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；(3)当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？3.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润，最大利润为多少元？4. (2018合肥庐阳区一模)某公司2017年初刚成立时投资1000万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本40元．按规定，该产品售价不得低于60元/件且不得超过160元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品销售量y(万件)与产品售价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求2017年该公司的最大利润？(3)在2017年取得最大利润的前提下，2018年公司将重新确定产品售价，能否使两年共盈利达980万元，若能，求出2018年产品的售价；若不能，请说明理由．第4题图5.某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元，年销售量为100万件．为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告，通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x(单位：十万元) 时，产品的年销售量将是原来的y倍，同时y又是x的二次函数，且满足的相互关系如下表：x0 1 2 …y 1 1.5 1.8 …(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润s(单位：十万元)与广告费x(单位：十万元)的函数关系；(3)如果公司一年投入的年广告费为10－30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增加？公司可获得的最大年利润是多少？6.每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲．节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为每件30元，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量y(件)是销售单价x (元/件)的一次函数．(1)求出y 与x 的函数关系；(2)物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于100%.①当销售单价x 取何值时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元？(利润＝销售总价－成本总价)；②试确定销售单价x 取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润W (元)最大？并求出花店销售该鲜花礼盒每天获得的最大利润．7. 某种商品的成本为每件20元，经市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量m (件)与x (天)的关系如表．时间x (天) 1361036…日销售量m (件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与时间x (天)的函数关系式为y 1＝14x ＋25(1≤x ≤20且x 为整数)，后20天每天的价格y 2(元/件)与时间x (天)的函数关系式为y 2＝－12x ＋40(21≤x ≤40且x 为整数)．(1)求日销售量m (件)与时间x (天)之间的关系式；(2)请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？类型二最优方案问题1.某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．2.某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销量为x(件)，其中x＞0.若在甲地销售，每件售价y(元)与x之间的函数关系式为y＝－110x＋100，每件成本为20元，设此时的年销售利润为w甲(元)(利润＝销售额－成本)；若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元(a为常数，15≤a≤25)，每件售价为106元，销售x(件)每年还需缴纳110x2元的附加费，设此时的年销售利润为w乙(元)(利润＝销售额－成本－附加费)；(1)当a＝16，且x＝100时，w乙＝________元；(2)求w甲与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)，并求x为何值时，w甲最大以及最大值是多少？3.近年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元(a为常数，且40＜a＜100)，每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1(万元)、y2(万元)与相应生产件数x(万件)(x为正整数)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润；(3)如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？4.都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2∶1.运行区间票价起点站终点站一等座二等座都匀桂林95(元) 60(元)(1)参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？(2)由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张(x＜参加社会实践的总人数)，其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的方案下，请求出当x＝30时，购买单程火车票的总费用．类型三抛物线型问题1. (2018滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第1题图2. 有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC 的宽为8米，拱桥的最高点D 到水面BC 的距离DO 为4米，点O 是BC 的中点，如图，以点O 为原点，直线BC 为x 轴，建立直角坐标系xOy .(1)求该抛物线的表达式；(2)如果水面BC 上升3米(即OA ＝3)至水面EF ，点E 在点F 的左侧，求水面宽度EF 的长．第2题图3. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y ＝ax 2＋bx 来表示．已知大棚在地面上的宽度OA 为10米，距离O 点2米处的棚高BC 为3米．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？(3)若借助横梁DE 建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？第3题图4. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，当球出手后水平距离为4 m 时到达最大高度4 m ，篮圈距地面3 m ，设篮球运行的轨迹为抛物线．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)此球能否准确投中？(3)此时，若对方队员乙在甲前面1 m 处跳起拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否拦截成功？第4题图5. 如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系式可以用y ＝－x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线经过点B (12，52)，C (2，74)，请根据以上信息，解答下列问题．(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度； (2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？第5题图类型四 几何面积最大值问题1. 投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24 m ，平行于墙的边的费用为200元/m ，垂直于墙的边的费用为150元/m ，设平行于墙的边长为x m.(1)设垂直于墙的一边长为y m ，直接写出y 与x 之间的函数关系式； (2)若菜园面积为384 m 2，求x 的值；(3)当x 为何值时，菜园的面积最大，最大值为多少？第1题图2.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁的一块地上进行绿化改造，他们依据地势整理出了一块矩形区域ABCD，铺成人们可以活动的砖石地面，又分别以AB、BC、CD、DA为斜边向外作等腰直角三角形(如图所示)，通过测量，发现四边形MNGH的周长正好为200米，设AB ＝x米，BC＝y米 .(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果矩形区域ABCD铺设砖石地面，建设费用为每平方米50元，其他区域种花草，建设费用为每平方米100元，设总建设费用为w元，求w与x之间的函数关系式；当x取何值时，w有最小值，最小值为多少？第2题图3. (2018合肥瑶海区三模)国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图所示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(如图阴影所示)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2.(1)求y与x的函数表达式；(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．第3题图4. (2017潍坊)如图，工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线、虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元．裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？第4题图5.如图，为美化社区环境，满足市民休闲娱乐需要，某社区计划在一块长为60 m，宽为40 m 的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽x m，纵向宽为2x m的鹅卵石健身道．第5题图(1)用含x(m)的代数式表示休闲区的面积S(m2)，并注明x的取值范围；(2)若休闲区的面积与鹅卵石健身道的面积相等，求此时x的值；(3)已知承建公司修建休闲区、鹅卵石健身道的前期投入及造价w1(万元)、w2(万元)与修建面积a(m2)之间的关系如下表所示，并要求满足1≤x≤3，要使修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，x应取多少米，最低造价多少万元？a(m2) 0 10 100 …w1(万元) 0.5 0.6 1.5 …w2(万元) 0.5 0.58 1.3 …参考答案类型一最大利润问题1.解：(1)w＝(x－80)·y＝(x－80)(－2x＋320)＝－2x2＋480x－25600，w与x的函数关系式为：w＝－2x2＋480x－25600；(2)w＝－2x2＋480x－25600＝－2(x－120)2＋3200，∵－2＜0，80≤x≤160， ∴当 x＝120 时，w 有最大值，w 最大值为 3200. 答：销售单价定为 120 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 3200 元． 2. 解：(1)由题意得 y＜200 时，即－x＋1300＜200， 解得：x＞1100， 即该旅游线路报价的取值范围为 1100 元/人～1200 元/人之间； (2)设经营这条旅游线路每月所需要的成本为 z 元， ∴z＝500(－x＋1300)＝－500x＋650000， ∵－500＜0， ∴当 x＝1200 时，z 最低＝－500×1200＋650000＝50000； 答：经营这条旅游线路每月所需的最低成本为 50000 元． (3)设经营这条旅游线路的总利润为 w， 则 w＝(x－500)(－x＋1300)＝－x2＋1800x－650000＝－(x－900)2＋160000， ∵－1＜0，800≤x≤1200， ∴当 x＝900 时，w 最大＝160000. 答：当这条旅游线路的旅游报价为 900 元时，可获得最大利润，最大利润为 160000 元． 3. 解：(1)若商场经营该商品不降价，则一天可获利润 100×(100－80)＝2000(元)； (2)①依题意得： (100－80－x)(100＋10x)＝2160， 即 x2－10x＋16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8， 经检验：x1＝2，x2＝8 均符合题意， 答：商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元； ②依题意得： y＝(100－80－x)(100＋10x)＝－10x2＋100x＋2000＝－10(x－5)2＋2250， ∵－10＜0， ∴当 x＝5 时，商场所获利润最大，最大利润为 2250 元． k＝－ 1   60k＋b＝15 20， 4. 解：(1)设 y＝kx＋b，则根据题图可知 ，解得 160k＋b＝10  b＝18  ∴y 与 x 的函数关系为 y＝－ 1 x＋18(60≤x≤160)； 201 1 (2)设公司的利润为 w 万元，则 w＝(x－40)(－ x＋18)－1000＝－ (x－200)2＋280， 20 20 1 又∵－ ＜0， 20 ∴当 x＜200 时，w 随 x 增大而增大，则 60≤x≤160， ∴当 x＝160 时，w 最大，最大值为 200， ∴2017 年该公司的最大利润为 200 万元； (3)根据题意可得： 1 (x－40)(－ x＋18)＋200＝980， 20 解得 x1＝100，x2＝300(舍)， ∴当 x＝100 时，能使两年共盈利达 980 万元． 5. 解：(1)设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，c＝1   根据题意，得 a＋b＋c＝1.5 ，  4a＋2b＋c＝1.8 a＝－   10 解得： 3 ， b＝ 5  c＝1 1 3 故所求函数的解析式是：y＝－ x2＋ x＋1； 10 5 (2)根据题意，得 s＝10y(3－2)－x＝－x2＋5x＋10； (3)s＝－x2＋5x＋10 5 65 ＝－(x－ )2＋ . 2 4 由于 1≤x≤3，所以当 1≤x≤2.5 时，s 随 x 的增大而增大． ∴当广告费在 10～25 万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大，公司可获得的最大 65 年利润是 万元． 4 6. 解：(1)设一次函数的解析式为 y＝kx＋b，将(30，350)和(40，300) 分别代入 y＝kx＋b  30k＋b＝350 k＝－5 得： ，解得 ，   40k＋b＝300 b＝5001∴y 与 x 的函数关系式为 y＝－5x＋500； (2)①据题意得：(x－30)(－5x＋500)＝5000 即 x2－130x＋4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80， 又∵30×(1＋100%)＝60，80＞60 不合题意，舍去， 答：当销售单价 x＝50 时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为 5000 元． ②据题意得，W＝(x－30)(－5x＋500)，即 W＝－5(x－65)2＋6125 ∵－5<0，30≤x≤60， 在对称轴直线 x＝65 的左边，y 随 x 的增大而增大， 所以，当销售单价 x＝60 时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润 W(元)最大，最大利润 W＝ －5(60－65)2＋6125＝6000 元． 7. 解：(1)通过图表可知 m 与 x 之间的关系式为一次函数，设一次函数解析式为 m＝kx＋b，  k＋b＝94 k＝－2 把(1，94)和(3，90)代入，得 ，解得 ， 3k＋b＝90 b＝96  ∴m＝－2x＋96； (2)设日销售利润为 W 元， 1 1 当 1≤x≤20 时，W＝(－2x＋96)( x＋25－20)＝－ (x－14)2＋578， 4 2 当 x＝14 时，W 最大＝578， 1 当 21≤x≤40 时，W＝(－2x＋96)(－ x＋40－20)＝(x－44)2－16， 2∵当 x＜44 时，W 随 x 增大而减小， ∴x＝21 时，W 最大＝(21－44)2－16＝513， ∴未来 40 天中，第 14 天日销售利润最大，最大利润 578 元． 类型二 最优方案问题 1. 解：(1)设 A 种商品每件的进价为 x 元，B 种商品每件的进价为 y 元， 30x＋40y＝3800 根据题意得： ， 40x＋30y＝3200   x＝20 解得 ， y＝80 答：A 种商品每件的进价为 20 元，B 种商品每件的进价为 80 元； (2)设购进 B 种商品 m 件，获得的利润为 w 元，则购进 A 种商品(1000－m)件， 根据题意得：w＝(30－20)(1000－m)＋(100－80)m＝10m＋10000， ∵A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍， ∴1000－m≥4m， 解得：m≤200， ∵在 w＝10m＋10000 中，10＞0， ∴w 的值随 m 的增大而增大， ∴当 m＝200 时，w 取最大值，最大值为 10×200＋10000＝12000， ∴当购进 A 种商品 800 件、B 种商品 200 件时，销售利润最大，最大利润为 12000 元． 2. 解：(1)8000； 1 【解法提示】w 乙＝(106－a)x－ x2， 10 当 a＝16 且 x＝100 时，w 乙＝90×100－1000＝8000(元)； 1 1 1 (2)w 甲＝(y－20)x＝(－ x＋100－20)x＝－ x2＋80x＝－ (x－400)2＋16000， 10 10 10 1 ∵－ ＜0，∴当 x＝400 时，w 甲最大，最大值是 16000. 10 3. 解：(1)由题意得： y1＝(120－a)x(1≤x≤125，x 为正整数)， y2＝(180－80)x－0.5x2＝100x－0.5x2(1≤x≤120，x 为正整数)； (2)①∵40＜a＜100， ∴120－a＞0， 即 y1 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝125 时，y1 最大值＝(120－a)×125＝15000－125a(万元)， 即方案一的最大年利润为(15000－125a)万元； ②y2＝－0.5(x－100)2＋5000， ∵－0.5＜0， ∴当 x＝100 时，y2 最大值＝5000(万元)， 即方案二的最大年利润为 5000 万元； (3)由 15000－125a＞5000， 解得 a＜80， ∴当 40＜a＜80 时，选择方案一；由 15000－125a＝5000，解得 a＝80， ∴当 a＝80 时，选择方案一或方案二均可； 由 15000－125a＜5000，得 a＞80， ∴当 80＜a＜100 时，选择方案二． 4. 解：(1)设参加社会实践的老师有 m 人，学生有 n 人，则学生家长代表有 2m 人， 根据题意得：  95（3m＋n）＝6175 m＝5  ，解得 ， 60（m＋2m）＋60×0.75n＝3150 n＝50  则 2m＝10， 答：参加社会实践的老师、家长代表与学生各有 5、10 与 50 人； (2)由(1)知所有参与人员总共有 65 人，其中学生有 50 人， ①当 50≤x＜65 时，最经济的购票方案为： 学生都买学生票共 50 张，(x－50)名成年人买二等座火车票，(65－x)名成年人买一等座火车票． ∴火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为：y＝60×0.75×50＋60(x－50)＋95(65－x)， 即 y＝－35x＋5425(50≤x＜65)； ②当 0＜x＜50 时， 最经济的购票方案为： 一部分学生买学生票共 x 张， 其余的学生与家长代表、 老师一起购买一等座火车票共(65－x)张． ∴火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为：y＝60×0.75x＋95(65－x)， 即 y＝－50x＋6175(0＜x＜50)， ∴购买单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式为：－50x＋6175（0<x＜50）  y＝ ；  －35x＋5425（50≤x＜65）(3)∵x＝30＜50， ∴y＝－50x＋6175＝－50×30＋6175＝4675， 答：当 x＝30 时，购买单程火车票的总费用为 4675 元． 类型三 抛物线型问题 1. 解：(1)当 y＝15 时， 15＝－5x2＋20x， 解得 x1＝1，x2＝3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m 时，飞行时间是 1 s 或 3 s； (2)当 y＝0 时， 0＝－5x2＋20x， 解得 x1＝0，x2＝4， ∵4－0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4 s； (3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20， ∵－5＜0 ∴当 x＝2 时，y 取得最大值，此时，y＝20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度在第 2 s 时最大，最大高度是 20 m. 2. 解：(1)设抛物线的表达式为：y＝ax2＋c， 由题意可得图象经过(4，0)，(0，4)，c＝4  则 ，  16a＋c＝01 解得：a＝－ ， 4 1 故抛物线的表达式为：y＝－ x2＋4； 4 (2)由题意可得：y＝3 时， 1 3＝－ x2＋4， 4 解得：x＝± 2， 故 EF＝4， 答：水面宽度 EF 的长为 4 m. 3. 解：(1)由题意可得，抛物线经过(2，3)，(10，0)，100a＋10b＝0  故 ， 4a＋2b＝3 a＝－16 解得： ， 15 b ＝  83 15 故抛物线的函数关系式为：y＝－ x2＋ x； 16 8 3 15 (2)y＝－ x2＋ x 16 8 3 75 ＝－ (x－5)2＋ ， 16 16 3 ∵－ ＜0， 16 75 ∴当 x＝5 时，y 最大＝ ， 16 75 故蔬菜大棚离地面的最大高度是 米； 16 (3)由题意可得：当 y＝1.5 时， 3 15 1．5＝－ x2＋ x， 16 8 解得：x1＝5＋ 17，x2＝5－ 17， 故 DE＝x1－x2＝5＋ 17－(5－ 17)＝2 17. 答：门高度不低于 1.5 米时，横梁 DE 最宽为 2 17米． 20 4. 解：(1)根据题意，求出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：(0， )，(4，4)，(7，3)， 9 设二次函数解析式为 y＝a(x－h)2＋k，由题知 h＝4，k＝4，即 y＝a(x－4)2＋4， 20 20 将点(0， )代入上式可得 16a＋4＝ ， 9 931 解得 a＝－ ， 9 1 ∴抛物线解析式为 y＝－ (x－4)2＋4(0≤x≤7); 9 (2)将(7，3)点坐标代入抛物线解析式得： 1 － ×(7－4)2＋4＝3， 9 ∴(7，3)点在抛物线上， ∴此球一定能投中； (3)能拦截成功， 1 理由：将 x＝1 代入 y＝－ (x－4)2＋4 得 y＝3， 9 ∵3＜3.1， ∴他能拦截成功． 1 5 7 5. 解：(1)根据题意，将点 B( ， )，C(2， )代入 y＝－x2＋bx＋c， 2 2 4－（2） ＋2b＋c＝2 得 ， 7 － 2 ＋ 2 b ＋ c ＝  42 2115b＝2   解得 7 ，  c＝4 7 ∴抛物线的函数关系式为 y＝－x2＋2x＋ ， 4 7 7 当 x＝0 时，y＝ ，∴喷水装置 OA 的高度为 米； 4 4 7 11 (2)∵y＝－x2＋2x＋ ＝－(x－1)2＋ ， 4 4 11 11 ∴当 x＝1 时，y 取得最大值 ，故喷出的水流距水面的最大高度是 米； 4 4 7 (3)当 y＝0 时，解方程－x2＋2x＋ ＝0， 4 解得 x1＝1－ 11 11 (舍去)，x2＝1＋ ， 2 2 11 )米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 2 类型四 几何面积最大值问题 1. 解：(1)根据题意知，y＝ (2)根据题意，得： 2 100 (－ x＋ )x＝384， 3 3 解得：x＝18 或 x＝32， ∵墙的长度为 24 m， 10000－200x 2 100 ＝－ x＋ (0＜x≤24)； 3 3 2×150答：水池的半径至少要(1＋∴x＝32，不合题意，舍去， ∴x＝18； (3)设菜园的面积为 S m2， 2 100 则 S＝(－ x＋ )x 3 3 2 100 ＝－ x2＋ x 3 3 2 1250 ＝－ (x－25)2＋ ， 3 3 2 ∵－ ＜0， 3 ∴当 x＜25 时，S 随 x 的增大而增大， ∵x≤24， 2 1250 ∴当 x＝24 时，S 取得最大值，最大值为－ ×(24－25)2＋ ＝416(m2)， 3 3 答：当 x＝24 时，菜园的最大面积为 416 m2. 2. 解：(1)∵以 AB、BC、CD、DA 为斜边向外作等腰直角三角形， ∴四边形 MNGH 为矩形， ∵AB＝CD， ∴△AHB≌△DNC， ∴AH＝DN， 又∵MA＝MD，∴MH＝MN， ∴矩形 MNGH 为正方形， ∵AB＝x，∴BH＝ ∵BC＝y，∴BG＝ ∴ 2 x， 2 2 y， 22 2 x＋ y＝200÷ 4＝50， 2 2 200 2 ) － xy]×100 ＝－ 50xy ＋ 250000 ＝－ 50x( － x ＋ 50 2) ＋ 250000 ＝ 50x2 － 4整理得 y＝－x＋50 2； (2)∵w ＝ 50xy ＋ [(2500 2 x＋250000， 2500 2 ∵50＞0， ∴当 x＝ ＝25 2时， w 有最小值， w 最小＝50×(25 2)2－2500 2×25 2＋250000 2×50 ＝187500. 答：当 x＝25 2时，w 有最小值，最小值为 187500 元． 3. 解：(1)由题意可得：y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48(0＜x＜6)； (2)由题意可得：y＝48－13＝35， 则 x2－14x＋48＝35， 即(x－1)(x－13)＝0， 解得：x1＝1，x2＝13， 经检验得：x＝13 不合题意，舍去， 答：x 的值为 1； (3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1， 当 0.5≤x≤1 时，y 随 x 的增大而减小， 165 故当 x＝0.5 时，y 最大，最大值为(0.5－7)2－1＝ (m2)． 4 165 答：改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 m2. 4 4. 解：(1)裁剪示意图如解图：第 4 题解图 设裁掉的正方形的边长为 x dm. 根据题意可得：(10－2x)(6－2x)＝12， 即 x2－8x＋12＝0， 解得 x1＝2，x2＝6(不合题意，舍去)， ∴裁掉的正方形的边长为 2 dm； (2)由题意可得 10－2x≤5(6－2x)，解得 0＜x≤2.5， 设总费用为 y 元， 根据题意得 y＝2[x(10－2x)＋x(6－2x)]×0.5＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24， ∵对称轴为直线 x＝6，函数图象开口向上， ∴当 0＜x≤2.5 时，y 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝2.5 时，y 有最小值，最小值为 4×(2.5－6)2－24＝25(元)． 答：当正方形的边长为 2.5 dm 时，总费用最低，最低为 25 元． 5. 解：(1)S＝40×60－2x×40×3－60×x×3＋2x· x· 9＝18x2－420x＋2400； x<10    60－2x×3>0 ∵ ，得 40， 40－x×3>0  x< 3  ∴0<x<10， ∴S＝18x2－420x＋2400(0<x<10)； 40×60 (2)由题意得：18x2－420x＋2400＝ ，化简得 3x2－70x＋200＝0， 2 10 10 解得 x1＝ ，x2＝20(不合题意，舍去)，∴此时 x 为 m； 3 3 (3)由表可知：修建休闲区前期投入 0.5 万元，每平方米造价 0.01 万元；修建鹅卵石健身道前期 投入 0.5 万元，每平方米造价 0.008 万元，由上述信息可得：w＝0.01×(18x2－420x＋2400)＋ 0.008×(－18x2＋420x)＋1 ， 整理， 得 w＝0.036x2－0.84x＋25， 配方后， 得 w＝ 35 ∵a＞0，∴当 x＜ 时，w 随 x 的增大而减小， 3 ∵1≤x≤3，∴当 x＝3 时，w 最小＝0.036×9－0.84×3＋25＝22.804(万元)， 答 ： 当 x 的 值 取 3 米 时 ， 最 低 造 价 为 元． 22.804 万 9 35 201 (x－ )2＋ ， 250 3 10。

函数应用题练习类型一：方案问题例1：某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元）．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．例2：某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)80 ▲40销售量(件)200 ▲▲（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？例3：为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:4月份总用电量/千瓦时电费/元小刚200 小300丽（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y（元）与用电量x （千 瓦时）之间的函数关系式．类型二：面积问题例1.如图，在△AOB 中，OA =OB =8，∠AOB =90°， 矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、A 上.（1）若C 、D 恰好是边AO 、OB 的中点，求矩形CDEF 的面积； （2）若4tan 3CDO ∠=，求矩形CDEF 面积的最大值.A CODBFE例2：如图，平行四边形ABCD中，AD=8,CD=4,∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S．（1）求S关于t的函数关系式；（2）求出S的最大值；（3）t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．类型三：与函数图像相关例1：根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数kxy=1的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x的图象如图②所示.（吨）之间的函数bx=2axy+2（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？图①图②函数应用题答案类型一：方案问题例1：某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x 辆．x y （万元）（吨）53Oy （千元） y （万元）（吨）Oy （千元）()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分（2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分∵22800y x =+，y随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元．例2：某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x 元． （1）填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元80▲40)销售量(件)200 ▲▲（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解：（1）80－x，200＋10x，800－200－(200＋10x)；（2）根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000．整理，得x2－20x＋100＝0，解这个方程得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元．例3：为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:4月份总用电量/千瓦时电费/元小刚200 小300丽（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y（元）与用电量x （千 瓦时）之间的函数关系式．解：（1）……2分4月份总用电量/千瓦时电费/元 小刚 20098小丽300 150.5（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分 当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分 当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分类型二：面积问题例1.如图，在△AOB 中，OA =OB =8，∠AOB =90°， 矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、A 上.（1）若C 、D 恰好是边AO 、OB 的中点，求矩形CDEF 的面积；A CODBFE422216CDEF S =⨯=矩形（2）若4tan 3CDO ∠=，求矩形CDEF 面积的最大值.1007例2：如图，平行四边形ABCD 中，AD=8,CD=4,∠D=60°，点P 与点Q 是平行四边形ABCD 边上的动点，点P 以每秒1个单位长度的速度，从点C 运动到点D ，点Q 以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C 运动． 当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P 与点Q 同时出发，设运动时间为t ，△CPQ 的面积为S ．（1）求S 关于t 的函数关系式； （2）求出S 的最大值；（3）t 为何值时，将△CPQ 以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形． 解：（1）①当 0 < t ≤ 2时,如图1， 过点B 作BE ⊥DC ，交DC 的延长线于点E ，∵∠BCE=∠D=60°，∴BE=43．∵ CP=t ， ∴t 32t 3421BE CP 21S CPQ =⨯=⋅=∆． (2)分② 当 2 < t ≤ 4时,如图2，CP=t ，BQ=2t-4，CQ=8-(2t-4)=12-2t ． 过点P 作PF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ．∵∠PCF=∠D=60°，∴PF=t 23． ∴ t 33t 23t 23)t 212(21PF CQ 21S 2CPQ +-=⨯-=⋅=∆．…………………… 4分（2）当 0 < t ≤ 2时,t=2时，S 有最大值43．当 2< t ≤ 4时, 329)3t (23t 33t 23S 22CPQ +--=+-=∆， t=3时，S 有最大值329．综上所述，S 的最大值为329． ………………………………………………… 5分（3）当 0 < t ≤ 2时, △CPQ 不是等腰三角形，∴不存在符合条件的菱形．…………………………………………………… 6分 当 2 < t ≤ 4时,令CQ=CP ，即t=12-2t ，解得t=4．∴ 当t=4时，△CPQ 是等腰三角形．即当t=4时，以△CPQ 一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形． ………………………………………………………………………… 7分类型三：与函数图像相关例1：根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y 1（千元）与进货量x （吨）之间的函数kx y =1的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y 2（千元）与进货量x （吨）之间的函数bx ax y +=22的图象如图②所示.（1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？解：（1）x y 6.01=. ………………………………………………………………………1分x x y 2.22.022+-=.……………………………………………………………3分 x y （万元）（吨）53O y （千元） y （万元）（吨）O y （千元）（2）)2.2-+=，t-W+(2.0t)10(6.02t=t-W.…………………………………………………………t2.02+66.1+4分即2.9=tW.-(2.02+)4-所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. …………………………………………………6分。

专题03 函数实际应用综合题1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．（2）①y甲<y乙，即20x<10x+100，解得x<10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲=y乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系3610h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+． （2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？ 【解析】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ； ②当x >5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20． （2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500； ∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（）， 故答案为：180，900，210，850． （2）16y x =(0)x >． 当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+． （3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100， 故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少， 故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲．6.（2019•湖州中考）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =， 解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）． （3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7.2019•河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元． （1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ， ∵15＞0，W 随z 的减小而减小 ∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8.（2019•宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+． （2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=， 解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． （3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9．（2019•潍坊中考）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【解析】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元， 今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+， 整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去）， 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． （2）设每千克的平均售价为m 元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3mw m -=-⨯+260420066240m m =-+-， 整理得()260357260w m =--+， ∵600a =-<， ∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．10．（2019•南充中考）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？ 【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：106x y =⎧⎨=⎩． 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700， ∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5． ②当50＜b ≤60时， a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11．（2019•梧州中考）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12．（2019•云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【解析】（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得1000620010k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2002200kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-200x+1200，当10<x≤12时，y=200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．（2）由已知得：W =（x -6）y ， 当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10<x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200， ∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200， 综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．13．（2019•成都中考）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解析】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w=yp=（-500x+7500）（12x+12），即w=-250（x-7）2+16000，∴当x=7时，w有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．14．（2019•武汉中考）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，则有50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+<65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。

专题复习(五) 函数的实际应用题类型 1 一次函数的图象信息题1．求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础．2．用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．3．在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段．1．(2018·吉林)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示：(1)家与图书馆之间的路程为4__000 m，小玲步行的速度为100m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间．解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间的函数图象，折线O—A—B为小玲路程与时间的函数图象，则家与图书馆之间路程为 4 000m，小玲步行速度为(4 000－2 000)÷(30－10)＝100 m/min.故答案为： 4 000，100.(2)∵小东从离家 4 000 m处以300 m/min的速度返回家，则x min时，他离家的路程y＝4 000－300x，自变量x的范围为0≤x≤40 3.(3)当x＝10时，y玲＝2 000，y东＝1 000，即两人相遇是在小玲改变速度之前，∴令4 000－300x＝200x，解得x＝8.∴两人相遇时间为第8分钟．2．(2018·成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．(1)直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 1 200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？解：(1)y＝错误!(2)设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植(1 200－a)m2.∴a≤2(1 200－a)，解得a≤800.又a≥200，∴200≤a≤800.当200≤a＜300时，W1＝130a＋100(1 200－a)＝30a＋120 000.当a＝200 时．W min＝126 000 元；当300≤a≤800时，W2＝80a＋15 000＋100(1 200－a)＝135 000－20a.当a＝800时，W min＝119 000 元．∵119 000＜126 000，∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119 000元．此时乙种花卉种植面积为 1 200－800＝400(m2)．答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800 m2和400 m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119 000元．类型2 一次函数与方程或不等式的综合运用1．(2018·武汉)用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块(x为整数)．(1)求A，B型钢板的购买方案共有多少种？(2)出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若将C，D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．解：(1)设购买A型钢板x块，则购买B型钢板(100－x)块，根据题意，得错误!解得20≤x≤25.∵ｘ为整数，∴x＝20，21，22，23，24，25共6种方案，即A，B型钢板的购买方案共有6种．(2)设总利润为w，根据题意，得w＝100(2x＋100－x)＋120(x＋300－3x)＝100x＋10 000－240x＋36 000＝－140x＋46 000，∵－140＜0，∴ｗ随x的增大而减小．∴当x＝20时，w max＝－140×20＋46 000＝43 200.即购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大．2．(2018·潍坊)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成 1 080立方米的挖土量，且总费用不超过12 960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意，得错误!解得错误!答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米．(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12－m)台．根据题意，得W＝4×300m＋4×180(12－m)＝480m＋8 640.∵错误!∴错误!∵m≠12－m，解得m≠6，∴7≤m≤9.∴共有三种调配方案，即方案一：当m＝7时，12－m＝5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台；方案二：当m＝8时，12－m＝4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；方案三：当m＝9时，12－m＝3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．∵480＞0，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小，∴当m＝7时，W小＝480×7＋8 640＝12 000(元)．当A型挖掘机7台，B型挖掘机5台时的施工费用最低，最低费用为12 000元．3．(2018·恩施)某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39 000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多 6 000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217 000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设A型空调和B型空调每台各需x元，y元，根据题意，得错误!解得错误!答：A型空调和B型空调每台各需9 000元，6 000元．(2)设购买A型空调a台，则购买B型空调(30－a)台，根据题意，得错误!解得10≤a≤12错误!.∴a＝10，11，12，共有三种采购方案，即方案一：采购A型空调10台，B型空调20台；方案二：采购A型空调11台，B型空调19台：方案三：采购A型空调12台，B型空调18台．(3)设总费用为w元，则w＝9 000a＋6 000(30－a)＝3 000a＋180 000，∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210 000，即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210 000元．类型3 二次函数的实际应用1．(2018·衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5，得25a＋5＝0，解得a＝－1 5 .∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－15(x－3)2＋5(0＜x＜8)．(2)当y＝1.8时，有－15(x－3)2＋5＝1.8，解得x1＝－1，x2＝7.答：为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．(3)当x＝0时，y＝－15(0－3)2＋5＝165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－15x2＋bx＋165，∵该函数图象过点(16，0)，∴0＝－15×162＋16b＋165，解得b＝3.∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－15x2＋3x＋165＝－15(x－152)2＋28920.∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．2．(2018·温州)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．(1)根据信息填表：产品每天工人每天产每件产品可种类数(人) 量(件) 获利润(元)甲65－x 2(65－x) 15乙x x 130－2x(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润；(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一种产品)，丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x值．解：(2)由题意，得15×2(65－x)＝x(130－2x)＋550，整理得x2－80x＋700＝0，解得x1＝10，x2＝70(不合题意，舍去)．∴130－2x＝110.答：每件乙产品可获得的利润是110元．(3)设生产甲产品m人，则W＝x(130－2x)＋15×2m＋30(65－x－m)＝－2(x－25)2＋3 200.∵每天甲、丙两种产品的产量相等，∴2m＝65－x－m.∴m＝65－x3.又∵－2＜0，x，m都是非负整数，∴取x＝26时，m＝13，65－x－m＝26.此时，W最大＝3 198.答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为 3 198元．类型4 一次函数与二次函数的综合运用1．(2018·河南)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：销售单价x(元) 85 95 105 115日销售量y(个) 175 125 75 m日销售利润w(元) 875 1 875 1 875 875[(注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)](1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值；(2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是80元，当销售单价x＝100元时，日销售利润w最大，最大值是2__000元；(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于 3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，根据题意，得85k＋b＝175，95k＋b＝125，解得k＝－5，b＝600.即y关于x的函数解析式是y＝－5x＋600.当x＝115时，y＝－5×115＋600＝25，即m的值是25.(2)设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×(85－a)，得a＝80.w＝(－5x＋600)(x－80)＝－5x2＋1 000x－48 000＝－5(x－100)2＋2 000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2 000.故答案为：80，100，2 000.(3)设科技创新后成本为b元/个，当x＝90时，(－5×90＋600)(90－b)≥3 750，解得b≤65.答：该产品的成本单价应不超过65元．2．(2018·黔南)某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示．(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)图1 图2(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？解：(1)当x＝6时，y1＝3，y2＝1.∵ｙ1－y2＝3－1＝2，∴６月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．(2)设y1＝mx＋n，y2＝a(x－6)2＋1.将(3，5)，(6，3)代入y1＝mx＋n，得3m＋n＝5，6m＋n＝3，解得m＝－23，n＝7.∴ｙ1＝－23x＋7.将(3，4)代入y2＝a(x－6)2＋1，4＝a(3－6)2＋1，解得a＝1 3 .∴ｙ2＝13(x－6)2＋1＝13x2－4x＋13.∴ｙ1－y2＝－23x＋7－(13x2－4x＋13)＝－13x2＋103x－6＝－13(x－5)2＋73.∵－13＜0，∴当x＝5时，y1－y2取最大值，最大值为7 3，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．(3)当x＝4时，y1－y2＝2.设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为(t＋2)万千克，根据题意，得2t＋73(t＋2)＝22，解得t＝4.∴t＋2＝6.答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．3．(2018·荆门)随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10 000 kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000，放养30天的总成本为178 000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为 a kg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a＝10 000（0≤t≤20），100t＋8 000（20＜t≤50），y与t的函数关系如图所示．(1)设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；(2)求y与t的函数关系式；(3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？(总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本)解：(1)依题意，得10m＋n＝166 000，30m＋n＝178 000，解得m＝600，n＝160 000.(2)当0≤t≤20时，设y＝k1t＋b1，由图象得b1＝16，20k1＋b1＝28，解得k1＝35，b1＝16.∴y＝35t＋16；当20＜t≤50时，设y＝k2t＋b2，由图象得20k2＋b2＝28，50k2＋b2＝22，解得k2＝－15b2＝32.∴y＝－15t＋32.综上，y＝35t＋16（0≤t≤20），－15t＋32（20＜t≤50）.(3)W＝ya－mt－n，当0≤t≤20时，W＝10 000(35t＋16)－600t－160 000＝5 400t.∵5 400＞0，∴当t＝20时，W最大＝5 400×20＝108 000.当20＜t≤50时，W＝(－15t＋32)(100t＋8 000)－600t－160 000＝－20t2＋1 000t＋96 000＝－20(t－25)2＋108 500.∵－20＜0，抛物线开口向下，∴当t＝25时，W最大＝108 500.∵108 500＞108 000，∴当t＝25时，W取得最大值，该最大值为108 500元．4．(2018·扬州)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3 600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得40k＋b＝300，55k＋b＝150，解得k＝－10，b＝700.故y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700.(2)由题意，得－10x＋700≥240，解得x≤46，设利润为w＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000.∵－10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大．∴当x＝46时，w最大＝－10(46－50)2＋4 000＝3 840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3 840元．(3)w－150＝－10x2＋1 000x－21 000－150＝3 600，解得x1＝55，x2＝45.如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于 3 600元．5．(2018·天门)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系．(1)求该产品销售价y1(元)与产量x(kg)之间的函数关系式；(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系式；(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？※精品试卷※推荐下载解：(1)设y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝kx ＋b ，∵经过点(0，168)与(180，60)，根据题意，得∴b ＝168，180k ＋b ＝60，解得k ＝－35，b ＝168.∴产品销售价y 1(元)与产量x(kg )之间的函数关系式为y 1＝－35x ＋168(0≤x ≤180)．(2)由题意，可得当0≤x ≤50时，y 2＝70；当130≤x ≤180时，y 2＝54；当50＜x ＜130时，设y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝mx ＋n.∵直线y 2＝mx ＋n 经过点(50，70)与(130，54)，∴50m ＋n ＝70，130m ＋n ＝54，解得m ＝－15，n ＝80.∴当50＜x ＜130时，y 2＝－15x ＋80.综上所述，生产成本y 2(元)与产量x(kg )之间的函数关系式为y 2＝70（0≤x ≤50），－15x ＋80（50＜x ＜130），54（130≤x ≤180）.(3)设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，①当0≤x ≤50时，W ＝x(－35x ＋168－70)＝－35(x －2453)2＋12 0053，∴当x ＝50时，W 的值最大，最大值为 3 400；②当50＜x ＜130时，W ＝x[(－35x ＋168)－(－15x ＋80)]＝－25(x －110)2＋4 840，∴当x ＝110时，W 的值最大，最大值为 4 840；③当130≤x ≤180时，W ＝x(－35x ＋168－54)＝－35(x －95)2＋5 415，∴当x ＝130时，W 的值最大，最大值为 4 680.因此当该产品产量为110 kg 时，获得的利润最大，最大值为 4 840元．。