5-5向心加速度

向心加速度题组一 向心加速度公式1．关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A ．线速度大，加速度一定大 B ．角速度大，加速度一定大 C ．周期大，加速度一定大 D ．加速度大，速度一定变化快解析：由a n ＝v 2r ，知只有当r 一定时，线速度大，加速度才一定大，故A 错误；同理，只有当r 一定时，ω大，a n 才大，故B 错误；由ω＝2πT ，得a n ＝ω2r ＝r (2πT )2，a n 的大小与r和T 都有关，故C 错误；加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，在匀速圆周运动中，“速度变化快慢”是指速度方向变化的快慢，故D 正确．答案：D图5－5－102．如图5－5－10所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，它到小轮中心的距离为r ，c 和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑，则( )A ．a 点与b 点的线速度大小相等B ．a 点与b 点的角速度大小相等C ．a 点与c 点的线速度大小相等D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等解析：皮带不打滑，a 、c 两点线速度大小相等，C 正确；又因为b 、c 两点角速度相等，而半径不等，故A 错误；由v ＝ωr ，知ω＝v /r ，故ωc /ωa ＝r /(2r )＝12，即ωa ＝2ωc ，而b 、d与c 同轴转动，故角速度相等，B 错；a 点向心加速度a 1＝ωa 2·r ，而d 点向心加速度a 2＝ωc 2·4r ＝ωa 2r ，二者相等，所以D 对．答案：CD3．一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R ，向心加速度为a n ，则( ) A ．小球相对于圆心的位移不变 B ．小球的线速度大小为Ra nC ．小球在时间t 内通过的路程x ＝a n /RtD ．小球做圆周运动的周期T ＝2πR /a n解析：小球做匀速圆周运动时，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向是时刻在变，由a n ＝v 2r，得v 2＝a n R ，所以v ＝Ra n ，在时间t 内通过的路程x ＝v t ＝t Ra n .做圆周运动的周期T ＝2πω＝2πR v ＝2πRRa n ＝2πRa n. 答案：BD图5－5－114．如图5－5－11所示，长度L ＝0.5 m 的轻杆，一端固定质量为m ＝1.0 kg 的小球，另一端固定在转动轴O 上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆每隔0.1 s 转过30°角，试求小球运动的向心加速度．解析：小球做匀速圆周运动的半径为L ＝0.5 m ，周期为T ＝0.1×36030s ＝1.2 s ，向心加速度a ＝Lω2＝4π2T 2L ＝2518π2 m/s 2.答案：2518π2 m/s 2题组二 向心加速度的应用5．一物体以4 m/s 的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s ，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( )A ．2 m/sB ．4 m/sC ．0D ．4π m/s 2解析：由2πr ＝v T ，知r ＝v T2π.而a ＝v 2r ＝v 2v T 2π＝2πv T ＝2π×42m/s 2＝4π m/s 2.答案：D图5－5－126．如图5－5－12所示，一半径为R 的球体绕轴O 1O 2以角速度ω旋转，A 、B 为球体上两点，下列说法中正确的是( )A ．A 、B 两点具有相同的角速度 B ．A 、B 两点具有相同的线速度C ．A 、B 两点具有相同的向心加速度D ．A 、B 两点的向心加速度方向都指向球心解析：由于A 、B 两点处于同一球体上，所以两点的角速度相同，A 项正确；A 做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，故A 的运动半径为r A ＝R sin60°；同理，B 的运动半径为r B ＝R sin30°，所以两者的线速度分别为v A ＝r A ω＝32Rω，v B ＝r B ω＝12Rω，显然v A ＞v B ，B 项错误；两者的向心加速度分别为a A ＝r A ω2＝32Rω2，a B ＝r B ω2＝12Rω2，两者的向心加速度也不相等，C 项错误；又因为两者的向心加速度方向指向各自的圆心，均不指向球心，D 项错误．答案：A图5－5－137．如图5－5－13所示，圆轨道AB 是在竖直平面内的14圆周，在B 点轨道的切线是水平的，一质点自A 点从静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为__________，滑过B 点时的加速度大小为__________．(提示：质点刚要到达B 点时的速度大小为2gR )解析：小球由A 点到B 点所做的运动是圆周运动的一部分，因而小球刚要到达B 点时的运动为圆周运动，其加速度为向心加速度，大小为a ＝v 2R ，将v ＝2gR 代入可得a ＝2gRR ＝2g .小球滑过B 点后做平抛运动，只受重力作用，加速度大小为g .答案：2g g图 5－5－148．如图5－5－14所示，定滑轮的半径r ＝2 cm ，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a ＝2 m/s 2做匀加速运动，在重物由静止下落1 m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω＝__________rad/s ，向心加速度a ＝__________m/s 2.解析：由题意知滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等．由推论公式2ax ＝v 2，得v ＝2 m/s.又由v ＝rω，所以ω＝100 rad/s ，a ＝v ·ω＝200 m/s 2.答案：100 200图5－5－159．一辆轿车以30 m/s 的速率沿半径为60 m 的圆形跑道行驶(如图5－5－15)，当轿车从A 运动到B 时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：(1)此过程中轿车的位移大小；(2)此过程中轿车通过的路程； (3)轿车运动的向心加速度大小．解析：(1)轿车的位移为从初位置A 到末位置B 的有向线段的长度x ＝2r ＝2×60 m ≈85 m.(2)路程等于弧长l ＝rθ＝60×π2≈94.2 m.(3)向心加速度大小a n ＝v 2r ＝30260 m/s 2＝15 m/s 2.答案：(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s 2图5－5－1610．如图5－5－16所示，压路机大轮的半径R 是小轮半径r 的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A 点的向心加速度是12 cm/s 2，那么小轮边缘上B 点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为R3的C 点的向心加速度大小是多少？解析：大轮边缘上A 点的线速度大小与小轮边缘上B 点的线速度大小相等． 由a A ＝v 2R 和a B ＝v 2r ，得a B ＝Rr a A ＝24 cm/s 2.C 点和A 点同在大轴上，角速度相同， 由a A ＝ω2R 和a C ＝ω2·R 3，得a C ＝a A3＝4 cm/s 2.答案：24 cm/s 2 4 cm/s 2。

第5讲向心加速度姓名学校日期【学习目标】1.知道匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。

2.理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。

3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。

4.能够运用向心加速度公式求解有关问题。

【教学设计】（一）引入回顾：如果物体不受力，它将作匀速直线运动。

我们还知道，力的作用效果之一是改变物体的运动状态，即改变物体速度的大小或（和）方向。

所以沿着圆周运动的物体一定受力。

提问：作匀速圆周运动的物体体，它所受的力沿着什么方向？下面我们来考虑几个实例会受到什么启发。

实例1：地球绕太阳的运动近似为匀速圆周运动，地球受到什么力的作用？这个力可能沿着什么方向？实例2：光滑的水平桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉作匀速圆周运动。

小球受几个力的作用？这几个力的合力沿着什么方向？总结：1.上述几个实例中，匀速圆周运动的物体，要受到一个指向圆心方向的力。

2.在前面学习加速度对速度的影响时，我们知道，一个加速度沿着速度方向的分量只改变速度的大小；垂直于速度方向的分量只改变速度的方向。

匀速圆周运动是速度大小不变、方向沿着圆周的切线方向的运动，所以一定受到一个垂直于切线，即指向圆心方向的加速度。

（二）新课讲解创设情境：下面我们从速度变化（Δv）的角度来讨论作圆周运动的物体的加速度的方向。

1.做直线运动的物体：设初速度（v1）方向为正方向，末速度为v2，Δv=v2-v1。

例如：若物体的初速度v1=5m/s，向东；末速度v2=8m/s，也向东。

则Δv=v2-v1=2m/s向东。

提出问题；（1）若末速度v2=3m/s，也向东。

则Δv=？方向？（2）若末速度v2=3m/s，向西。

则Δv=？方向？2.做曲线运动的物体；根据三角形法则，初速度v1和速度的变化Δv首尾相连，指向末速度v2的方向。

例如：若物体的初速度v1=3m/s，向东；末速度v2=4m/s，向南。

则作出速度的三角形，根据边长的关系，Δv=5m/s，方向南偏西370。

拉格朗日方程刚体动力学方程：拉格朗日动力学方程拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即=-L PK动能位能拉格朗日方程系统动力学方程，即拉格朗日方程如下：,1,2,i i i d L L i n dt qq ∂∂=-=∂∂ F 式中，q i 表示坐标， 为速度，F i 为作用在第i 个坐标上的力或力矩。

i q ∙动能1n k ki i E E ==∑1(,)()2T k E D =q q q q q势能00T pi i ciE m =-g p 1n P Pi i E E ==∑势能d L L dt ∂∂=-∂∂τqq K K P E E E d dt ∂∂∂=-+∂∂∂τq q q两连杆机械手示例二连杆机械手的动能与位能21111111111111,,,cos 2K m v v d P m gh h d θθ====- 则有：22111111111,cos 2K m d P m gd θθ==- 二连杆机械手动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。

已知22222221,2K m v P m gy ==动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。

已知式中()()222222211212211212sin sin cos cos v x y x d d y d d θθθθθθ=+=++=--+ ()()()222222211221221221122211221211cos 22cos cos K m d m d m d d P m gd m gd θθθθθθθθθθ⎧=++++⎪=>⎨⎪=--+⎩动能与位能这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为(10.3)21K K K +=2222121122122212211211()()22cos ()m m d m d m d d θθθθθθθ=+++++ 21P P P +=)cos(cos )(21221121θθθ+-+-=gd m gd m m拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：L K P=-)2(21)(21222121222212121θθθθθ ++++=d m d m m 221221121211cos ()()cos m d d m m gd θθθθθ++++ 2212cos()m gd θθ++拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：n i q L qL dt d i i i ,2,1,=∂∂-∂∂=F 代入拉格朗日方程拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：111d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()()()2212122212212222122221221222122212112212=2cos cos 2sin sin sin sin m m d m d m d d m d m d d m d d m d d m m gd m gd θθθθθθθθθθθθ⎡⎤+++⎣⎦++--++++拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：222d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()2222221221222212212212cos sin sin m d m d d m d m d d m gd θθθθθθθ=+++++拉格朗日动力学方程式（10.6）和（10.7）的一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ (10.8)(10.9)拉格朗日动力学方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程耦合惯量：关节i,j 的加速度在关节j,i 上产生的惯性力(10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程向心加速度系数：关节i,j 的速度在关节j,i 上产生的向心力(10.10)拉格朗日动力学方程哥氏加速度系数：关节j,k 的速度引起的在关节i上产生的哥氏力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)拉格朗日动力学方程一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 重力项：关节i,j 处的重力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ动力学方程的典型形式状态空间方程动力学方程也可以写成如下形式：()()(),++ΘΘΘΘΘτ=M V G拉格朗日动力学方程()()22222122211222122222221222222d m d d m c d m m d m d d m c d m d d m c d m ⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦ΘM ()2212222122122212212,m d d s m d d s m d d s θθθθ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦ΘΘ V ()()221212112212m d gc m m d gc m d gs ++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ΘG。

人教版高一物理·《向心加速度》教案设计但当△t 很小很小时，A 和B 两点非常接近，0v 和t v 也非常接近。

由于0v 和t v 的长度相等，它们与v ∆组成等腰三角形，当△t 很小很小时，v ∆也就与0v 或（t v ）垂直，即与半径平行，或说v ∆指向圆心了。

4．理论探究圆周运动的加速度大小设做匀速圆周运动的物体的线速度的大小为v ，轨迹半径为r 。

经过时间△t ，物体从A 点运动到B 点。

尝试用v 、r 写出向心加速度的表达式。

（学生推导，教师加以引导，提示利用相似三角形。

并把学生推导过程投影出来）：A v 、B v 、v ∆组成的三角形与三角形ABO 相似，所以rvAB v =∆，即t AB r v t v a n ∆⋅=∆∆=，当t ∆很小很小时，l AB ∆=，有v t l t AB =∆∆=∆，即ωωv r rv v r v a n ===⋅=22。

（四）探究结论——向心加速度的表达式任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，向心加速度的表达式为rv a 2=（五）实例探究——感悟向心加速度 【学生搜索数据】洗衣机铭牌/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%CF%B4%D2%C2%BB%FA%C3%FA%C5%C6&in=17193&cl=2&lm=-1&st=&pn=5&rn=1&di=93313608000&ln=1917&fr=ala0&fm=a la0&fmq=1332120570741_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn5&-1&di93313608000&objURLhttp%3A%2F%%2Fday_081116%2F20081116_b5812cea8f5e c90f2a35Dsc8tG9xvIPP.jpg&fromURLhttp%3A%2F%%2Fviewthread.php%3Ftid%3D 1749909%26page%3D76&W800&H600&T9937&S216&TPjpg例题：一全自动洗衣机技术参数如下表，试计算脱水桶工作时衣服所具有的向心加速度为多少?是重力加速度的几倍?为什么脱水桶能使衣服脱水?春兰XPB46—801波轮洗衣机主要技术参数：电源 220V 50Hz 脱水方式 离心式 功率洗涤：300W转速洗涤/脱水40／800ωfGN。

第5节向心加速度[核心素养与考试要求]核心素养考试要求物理观念科学思维必考加试1.知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度。

2.知道向心加速度的表达式，并会用来进行简单的计算。

能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式进行计算。

d d[要点梳理]1.圆周运动的速度方向不断变化，一定是变速运动，必定有加速度。

2.向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

3.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。

4.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。

5.圆周运动的性质：不论向心加速度a n的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。

[针对训练]1.如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中正确的是()解析做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确。

答案 B[要点梳理] 1.向心加速度公式(1)基本公式：①a n＝v2r，②a n＝ω2r。

(2)拓展公式：①a n＝4π2T2r②a n＝ωv③a n＝4π2n2r④a n＝4π2f2r2.向心加速度的物理意义：描述线速度方向变化的快慢。

3.向心加速度的公式适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。

4.注意：(1)在选用物理公式解题时，一定要理解公式的含义，明确各物理量的意义。

(2)由a n＝v2r知：r一定时，a n∝v2；v一定时，a n∝1r；a n一定时，r∝v2；(3)由a n＝rω2知：r一定时，a n∝ω2；ω一定时，a n∝r；a n一定时，r∝1ω2。

[典例精析]【例1】图1为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中表示质点P的图象是双曲线的一支，表示质点Q的图象是过原点的一条直线。

必修2第五章 曲线运动 §5-1 曲线运动 1．【必2·p4】飞机起飞时以速度v 斜向上飞行，方向与水平方向成30o 角。

求出水平方向的分速度v x 和竖直方向的分速度v y 。

2．【必2·p7】一个质点从平面直角坐标系的原点开始运动并开始计时。

它在t 1时刻到达x 1=2.0m 、y 1=1.5m 的位置；在t 2时刻到达x 1=3.6m 、y 1=4.8m 的位置。

作草图表示质点在0~ t 1和0~ t 2时间内发生的位移l 1和l 2，然后计算它们的大小及它们与x 轴的夹角θ1和θ23．【必2·p7】在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。

随后，降落伞张开，跳伞员做减速运动。

速度降至一定值后便不再降低，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。

无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是5m/s 。

现在有风，风使他以4m/s 的速度沿着水平方向向东运动。

他将以多大速度着地。

计算并画图说明。

4．【必2·p7】跳水运动员是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国运动员多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。

如图，是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动沿竖直方向以速度v 入水。

整个运动过程中，在哪几个位置头部的速度方向与入水时v 的方向相同？在哪几个位置与v 的方向相反？在图中标出这些位置。

5．【必2·p7】汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用时2min ，每行驶半周，速度方向改变多少度？汽车每行驶10s ，速度方向改变多少度？先作一个圆表示汽车运动的轨迹，然后作出汽车在相隔10s 的两个位置速度矢量的示意图。

6．【必2·p7】一个物体的速度方向如图中v 所示。

从位置A 开始，它受到向前但偏右（观察者沿着物体前进的方向看，下同）的合力。

到达B 时，这个合力的方向突然变得与前进方向相同。

达到C 时，又突然改为向前但偏左的力。

向心加速度的证明一、引言向心加速度是物理学中一个重要的概念，它描述了物体在做圆周运动时所受到的加速度。

在许多物理学问题中，向心加速度都是必须考虑的因素。

本文将探讨向心加速度的概念、计算方法以及证明过程。

二、向心加速度的概念1. 定义向心加速度是一个物体在做圆周运动时所受到的指向圆心的加速度。

2. 公式根据牛顿第二定律可以得到向心加速度的公式：a = v²/r其中，a表示向心加速度，v表示物体在圆周运动中的线速度，r表示圆周半径。

三、计算方法1. 已知线速度和半径求向心加速度根据上述公式可以得到：a = v²/r2. 已知角速度和半径求向心加速度由于线速度v可以表示为v = ωr，因此可以将公式改写为：四、向心加速度的证明过程1. 圆周运动分析考虑一个质点在做匀速圆周运动时所受到的力情况。

根据牛顿第一定律，物体在没有外力作用时会保持匀速直线运动或静止状态。

因此，如果一个物体在做圆周运动，那么它必须受到一个向心力的作用，才能保持在圆周上运动。

2. 向心力的分析根据牛顿第二定律可以得到：F = ma其中，F表示物体所受到的合力，m表示物体的质量，a表示物体所受到的加速度。

由于圆周运动是一种加速运动，因此物体所受到的合力必须包含一个向心力Fc。

因此可以得到：Fc = ma3. 向心加速度的计算根据牛顿第二定律和圆周运动分析可以得到：Fc = ma = mv²/r其中v表示质点在做圆周运动时的线速度，r表示圆周半径。

将上式中Fc代入公式中可得：a = v²/r向心加速度是一个物体在做圆周运动时所受到的指向圆心的加速度。

它可以用公式a=v²/r或a=ω²r来计算。

通过对圆周运动和向心力进行分析和计算可以证明向心加速度存在，并且具有上述公式。