第一章动态系统的状态空间描述

拉氏变换法(6/12)
齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。
由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始 时刻的初始状态到t时刻的状 态的转移刻划的,如图所示。
x
x(t)=(t)x0
x0
1 (t)
0
t
图 状态转移特性
x(0)
x2 x(t1 )
0
x1
(t1 0)
所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项 (u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。
研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力 作用下的自由(自治)运动。
所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性。
研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。
概述(1/4)
概述
建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和 定性的分析。 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问 题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问 题。 定性分析主要包括研究系统的结构性质,如 能控性、 能观性、 稳定性等。
线性定常连续系统状态方程的解(1/4)
而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)
x(t0 )
t0
x(t1) eA(t1t0 )x(t0 )
x(t2 ) e A(t2t1)x(t1) eA(t2 t0 )x(t0 )
t1
t2
t
图 系统的状态转移
因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状 态转移等效为一步状态转移,如图所示。

x(t0 )
的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动。
对上述齐次状态方程,常用的常 微分方程求解方法有
矩阵指数法和
拉氏变换法 2种。
线性定常齐次状态方程的解(2/2)
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
基本定义(1/4)—状态转移矩阵的定义
1. 基本定义
定义： 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0时,满 足如下矩阵微分方程和初始条件: ’(t)=A(t), (t)|t=0=I
线性定常齐次状态方程的解(1/2)
2.1.1 线性定常齐次状态方程的解
什么是微分方程的齐次方程?
齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程 的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。
所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程 x’=Ax
齐次状态方程满足初始状态
x(t) t t0
P51例2.5
2.1.3 状态转移矩阵的计算
课本P53例2.7
课本P52例2.6 课本P47例2.4
基本定义(2/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵
当系统矩阵A为n×n维方阵时,状态转移矩阵Φ(t)亦为n×n维 方阵,且其元素为时间t的函数。 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵
性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数eA(t t0 )和初始状态x(t0)
所决定。
拉氏变换法(5/12)
为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续 系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此,有如下关系式 (t-t0 ) e A(tt0 ) x(t)=(t)x0 x(t)= (t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状 态转移矩阵有如下关系 (t)=L-1[(sI-A)-1]
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
6.[Φ(t)]n=Φ(nt) 7 Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
8 eAτt eAt τ
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/2)
由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)
1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵:
A=diag{1 2 … n}
则状态转移矩阵为
Φ(t) eAt diag e1t e2t ... ent
式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。
基本定义(3/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵
(2) 块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵: A=block-diag{A1 A2 … Al}
的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
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矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的 状态转移矩阵)
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
2.1 线性定常连续系统状态方程的解
本节需解决的主要问题 状态转移矩阵? 矩阵指数函数？ 状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质 齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程解的各部分的意义？ 输出方程的解？
线性定常连续系统状态方程的解(3/4)
在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线 性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移 矩阵等概念。
其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为
Φ(t) eAt block - diag eA1t eA2t ... eAlt
t1
(t2 t1 )
x(t2 ) t
t2
拉氏变换法(7/12)
当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。
可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。
线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1)
2.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵