第一章 线性系统的状态空间描述

第一章 线性系统的状态空间描述 1. 内容系统的状态空间描述化输入－输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2. 基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。

状态变量：构成系统状态的变量。

状态向量设系统状态变量为)(,),(),(21t x t x t x n 写成向量形式称为状态向量，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t x n状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n 维空间。

状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。

3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：)(,),(),(21t u t u t u r m 个输出：)(,),(),(21t y t y t y m n 个状态变量：)(,),(),(21t x t x t x n例：图示RLC 电路，建立状态空间描述。

电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注，方程为)()()()()()(t i dtt du C t u t u t Ri dtt di LL c c L L ==++ )()(),()(21t u t x t i t x c L ==状态方程)(01)()(0/1/1/)()()()()()()()(212112211t u t x t x C L L R t xt x t x t xC t u t x t Rx t x L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇔⎩⎨⎧==++⇔输出方程[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)()(01)()(21t x t x t u t y c 一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系[][][]t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx r n n n n r n r n );(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()(212121212222121111======用向量表示，得到一阶的向量微分方程[]t t u t x f t x),(),()(= 其中n n r r n n f f f f t u t u t u t u t x t x t x t x R R R ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙=∙∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(:)(,)()()(:)(,)()()(:)(212121输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()(2121212122212111=== 用向量表示为[]t t u t x g t y ),(),()(=4系统分类：1) 非线性时变系统[][]⎩⎨⎧==t t u t x g t y t t u t x f t x ),(),()(),(),()(2) 非线性定常系统[][]⎩⎨⎧==)(),()()(),()(t u t x g t y t u t x f t x3) 线性时变系统⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=rnr n n nn n n r r n n u t b u t b x t a x t a xu t b u t b x t a x t a x)()()()()()()()(1111111111111写成向量形式即为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nr n n r r nn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t d t d t d t d t d t d t d t d t d t D t c t c t c t c t c t c t c t c t c t C mr m m r r mn m m n n4) 线性定常系统⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x5 状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关系。

第1章线性系统的数学描述建立起系统中各变量间的数学关系和变换关系，是系统分析与综合的前提条件。

由于分析方法或解决问题的目的不同，描述系统行为的数学方程也有所不同。

在线性系统时域理论中所使用的数学描述可分为两大类，即系统的输入-输出描述和系统的状态空间描述。

系统的输入-输出描述又称为外部描述，他是通过建立系统的输入和输出之间的数学关系来描述系统特性的。

在经典线性系统控制理论中的传递函数和微分方程都属于系统的外部描述。

系统的状态空间描述又称为内部描述，它选用能够完善描述系统行为的被称为状态的内部变量，通过建立状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统行为的。

系统的外部描述不是对系统的全部特性的描述，而状态空间描述是对系统行为的完善描述。

本章首先论述系统的外部描述，接着着重讨论系统的内部描述。

线性系统的状态空间描述是分析和综合线性系统的基础，在此给出线性系统状态空间的概念、组成方法、基本性质、描述特性和变换等，这些概念和结论对于后面的各章的讨论是不可缺少的。

1.1线性系统的输入-输出描述系统的输入－输出描述揭示了系统的输入和输出之间的某种数学关系。

在建立系统输入—输出描述时，可以假设系统的内部特性是完全未知的，即将系统看作一个“黑箱”。

向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相应的输出，根据这些输入－输出数据，可以确定出系统的输入和输出之间的数学关系。

在图1-1所示的系统中，外部对系统施加的作用或激励称为系统的输入变量，系统对外部的影响则称为系统的输出变量。

假设系统有p 个输入，q 个输出，分别用12,,p u u u ⋅⋅⋅和12,,,q y y y ⋅⋅⋅来表示，或记为向量的形式：12[]Tp u u u =⋅⋅⋅u ，12[]T q y y y =⋅⋅⋅y ，称u 、y 为系统的外部变量，其中"T"表示向量的转置。

图1-1系统的外部描述如果系统只有一个输入和一个输出(p 1,1)q ==，则称系统为单变量系统，用符号SISO 表示；当系统的输入量或输出量多于一个时．则称其为多变量系统，用符号MIMO 表示。

线性系统理论Linear System Theory 1-1 状态空间的基本概念例1-1 图示RLC 网络。

设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。

2 状态空间描述中常用的基本概念例1-1 图示RLC 网络。

设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。

用矩阵表示状态空间表达式：⎪⎨+−−=u x R x x 11&1-2 线性连续系统状态空间表达式的建立1......)((b s b s b s b s Y G n n ++++−1 N(s)/D(s)的串联分解——可控标准型实现x&x x⎤⎡⎡00010L &状态变量图例1-5 已知系统微分方程：u u T y y y +=ω+ωζ+试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。

21u x x x+ζω−ω−=22&2 可观测标准型实现设可控标准型实现为例1-6 已知系统微分方程：试求可观测标准型实现，并绘制其状态变量图。

3 并联分解——Jordan标准型实现⎤⎡−s L 0001ss s s U s G 89)()(23++==例1-7 已知某系统传递函数:⎡1⎤4 矩阵的特征方程、特征值1）方阵2 线性定常连续系统状态方程的求解2-1 齐次状态方程的解⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−=⎥⎦⎢⎣22x 32x &解：用拉氏变换的方法:例2-1 求已知状态方程的状态转移矩阵。

2-2 状态转移矩阵的性质例2-2 已知状态转移矩阵，求Φ-1和系统矩阵A。

性质9 若例2-3已知系统矩阵，求状态转移矩阵及其状态转移矩阵的逆。

非齐次状态方程：例2-4 已知状态空间描述及零初始条件，输入为单位阶跃，求状态方程的解SISO系统：例9-29 已知系统动态方程，试求系统的传递矩阵。

⎡x&9-4-2开环与闭环传递矩阵MIMOU(s)E(s)Y(s)由图可知：3-1 线性系统的可控性与可观性3-1-1 问题的提出例3-2 已知系统状态空间表达式，⎧3-2 可控性问题基本概念考虑线性系统：3-3 可观测性的基本概念3-4 线性定常系统可控性判据考虑线性定常系统：例3-3 判断已知系统的可控性。