状态空间描述

局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出 量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这 时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分 离散化；
为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等 间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。
由差分方程或脉冲传递函 数建立动态方程
（2）对于重极点部分：
令
X
j
(s)
(s
1
1 ) q
j 1
U
(s)
( j 1,2,..., q)
(4)
则：
1
X j1(s) (s 1)q j U (s)
( j 1,2,..., q 1)
联立上两式得：
X
X
j j
(s) (s)
X
j 1 ( s)
s
1
1
1 U (s)
s 1
( j 1,2,...,q 1) ( j q)
思路:由式(1)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式， 并代入原始微分方程式中 ，根据u及其各阶导数的系 数相等的原则求解：
由式(1)(2)可以得到下式：
y y y
x1 x1 x2
nu nu x2 n1u n1u nu x3
nu n2u
n 1u
nu
(4)
y(n1)
于是 znQz zxn z a0x1 z a1x2 z an1xn z uz (5)
yz 0x1 z 1x2 z n1xn z
(6)
z 利用 反变换关系
Z1 xi z xi k , Z 1 zxi z xi k 1
(7)
式中
0 0
1 0
0 1
A
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an1
0 0 b 0 1
x1
x2
x
xn1
xn
c 0 1
n1
它的状态方程与传递函数中无零点的形式2的状态方程相同，但输出方程 是不相同的。根据这个差别，就可以根据传递函数分子分母多项式的系 数写出系统的状态空间表达式。
Y (s) U (s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
注意：
方程中存在输入信号的导数项，有可能…导致系统在状态空间 中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。 因此，X的选择要使状态方程的右边不出现u 的导数项。通常将 输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出y 和输入u 的各阶导数的适当组合。
a1x2
an1xn 0u
(3)
联立(2)式和(3)式，即可求得状态空间表达式为：
状态方程:
0
x
0
1 0
0 0 1
n 1
x
u
a0
a1
an1
0
输出方程: y 1 0 0x nu
从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了
2.）求 0 , 1, 2,..., n
（1）能控规范型
引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项 的微分方程，即
U(s)
1 sn an1sn1 ... a1s a0
z(s)
sn1 n1
sn2 n2
...
1s
0
Y(s)
zn an1zn1
y
zn1 n 1
a1z
a0 z
u
1z 0 z
(1-17)
定义如下一组状态变量
第二节 线性定常系统状态空 间表达式的建立
D
X(t)
u(t)
B
X
∫
C
Y(t)
A
系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数， 因此，一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择。
获得状态空间表达式有三个途径： ①根据物理化学机理用解析的方法进行建立；
② 根据传递函数或高阶微分方程演化求得； ③ 由传递函数的实极点建立；
用的。例如，引入中间变量 Qz ，则有
znQ z an1zn1Q z y z n1zn1Q z
a1zQ z a0Q z 1zQ z 0Q z
u z
(3)
定义如下一组状态变量：
x1 z Q z
x2 z zQ z zx1 z
(4)
xn z zn1Q z zxn1 z
xn
u(n1) n
u(n2) n 1
2u 1u
增加一个中间变量：xn1 令 xn1 xn 0u (5)
由式(5)和式(4)可求得：
y(n)
xn
nu(n)
u(n1) n 1
2u 1u
(6)
xn1
nu(n)
u(n1) n 1
2u
1u
0u
将式(4)和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等式 中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：0, 1,, n
yz uz
bn zn bn1zn1 zn an1zn1
b1z b0 a1z a0
(2)
bn
zn1 n1
zn an1z n1
1z 0
a1z a0
bn
N D
z z
W(z)称为脉冲传递函数。显见式(2)与前面的式子在形式上是相 同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适
y (n) an1 y (n1) ... a1 y a0 y b0u
系统的传递函数为： 形式1：
W (s)
sn
b0 an1s n1 a1s a0
若已知y(0), y(0),... y (n1) (0) 及t＞0时的输入,则系统的行为就可 唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)…xn=y(n-1)作为状态变量, 则微分方程可表示为
(5)
拉氏反变换可得：
x j 1x j x j1 ( j 1,2,, q 1)
x
j
1x j
u
( j q)
(6)
联立(1)、(2)、(4)可得：
Yi (s) ci X i (s) bnU (s)
(i 1,2,..., n) (7)
由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：
约当块
x1 1 1
ci
lim
si
G(s)(s
i )
当j 1,2,..., q时，
1 d j1
C1(q j1)
Lim
s 1
(
j
1)!
ds j1
W(s) (s 1)q
（1）对于互异极点部分：
令
Xi (s)
s
1
i
U (s)
(i q 1, q 2,, n)
(2)
拉氏反变换可得：
xi i xi u (i q 1, q 2,, n) (3)
cn
s n
bn
既有互异极点： q1, q2 ,, n
也有一个q重极点： 1
实现方法：
整理得
Y(s)
q j 1
(s
c1(q
1
j 1)
)q
j
1U
(s)
n
s iq1
ci
i
U
(s)
bnU (s)
(1)
系数 ci 为待定系数，其中i 1,2,...n ，采用留数定理计算：
当i q 1, q 2,...,n时，
0 x
系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范Ⅱ型
形式2：
若按下式选取如下状态变量x1=y/b0,x2=y(1)/b0…xn=y(n-1)/b0, 则 微分方程可表示为
2 微分方程中包含输入函数导数项
y (n) an1 y (n1) ... a1 y a0 y bm u (m) bm1u (m1) ... b1u (1) b0u
约当标准型状态结构图
x1q
∫
x1q
…
+
x12 ∫ x12
+
x 11 +
∫ x11
c11
-λ1
-λ1
-λ1
u(t)
xq1 ∫ xq+1
+
cq+1
c12 c1q
y(t)
-λq+1
x
n
∫
xn
+
cn
-λn
[例]已知系统的G(s)=1/(s3+6s2+11s+6),试求状态式。 解:
G(s) 1/ 2 1 1/ 2 s 1 s 2 s 3
_
解：以 i(t)作为中间变量，列写该回路的微分方程
L
di dt
Ri
1 C
idt
u
选
y
uc
(t )
1 C
idt
x1i
x2 idt
为系统两状态变量，则原方程可化成
•
x 1
di
dt
LRx1
1 x2 1 u ( t )
LC
L
•
x 2 x1
y u c(t)C1 x2
写成矩阵方程：
•
R
x 1
0
x1 0
x2
1
0
x2
0
1
xk xk 1 xk 2
0
1 q1 q2
xq xq1
11u
0 xq2 1
0
xn
0
n xn 1
对角线阵
x1
y [c1q
c1(q1)
c12
c11
cq1
cn
]x2
bnu
xn
x1 1 0 0 x1 1
x
2
0
2
0
wk.baidu.com
x2
1u
x3 0 0 3x3 1 u
y 1/ 2
x1
1
1
/
2
x2
x3
∫ x1 1/2
－1
∫ x2
－1
y
－2 ∫ x3 1/2
－3
四 离散时间系统的状态空间描述
完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都 是离散信息；
经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标 量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单 输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一 般形式为：
y k n an1y k n 1 a1y k 1 a0 y k
(1)
bnu k n bn1u k n 1 b1u k 1 b0u k
L
•
x 2 1
1 LC 0
x1
1
L u ( t)
x2 0
y0 1 x1
C x2
二、根据系统微分方程和传递函数建立状态空间表达式
基本思想：根据描述输入-输出关系的微分方程或传递函数 建立其状态空间描述并化成几种标准形式。
1 输入函数中不含导数项，传递 函数中没有零点
微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：
三. 约当标准型(根据传递函数实数
极点建立状态空间描述)
不失一般性，讨论
W(s)
(s
bnsn bn1sn1 b1s b0
1)q (s k1)(s k2 )(s
n )
此系统：
(s
c1q
1
)
q
c1( q 1)
(s 1)q1
(
s
c11
1
)
分析：
s
cq1
q
1
cq2
s q2
④由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。
一 、按系统的物理机理建立状态空间表达式
1 步骤： (1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量; (2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或
运动规律的微分方程; (3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变
量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系; (4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。
（2）能观测规范型 1.）选择状态变量
x1 y nu
x2 x3
x1 x2
n1u n2u
(1)
xn xn1 1u
式中系数 0, 1,, n 是待定系数.
x1 x2 n1u
整理(1)式得:
x2
x3
n2u
(2)
xn1 xn 1u
令:
xn a0 x1
y x1 nu
xn1 an1xn a1x2 a0x1 0
n
bn
n n
1 2
bn1 bn2
an1n an1n
1
an2
n
0 b0 an11 an22 a1n1 a0n
为便于记忆， 将上式写成：
(7)
n
n11
0
按能控规范型的状态和输出方程：
按能观测规范型： 状态方程和输出方程如下：
式中 k表示 kT 时刻，T 为采样周期；yk为 kT 时刻的输出量， uk为时刻 kT 的输入量；ai ,bi 是与系统特性有关的常系数。
z
初始条件为零时，离散函数的变换关系为:
z y k y z , z y k i zi y z
对式(1)进行z 变换，整理为
GW (zz)
x1 z，x2 z， ，x0 zn1
(1-18)
可得状态方程：
x1 x2 x2 x3
xn a0 z a1z
an1z n1
u
a0 x1 a1x2 an1xn u
输出方程为 y 0 x1 1x2 n1xn bnu
其向量-矩阵形式为 x Ax bu，y cx bnu
x1 x2 x2 x3 ... xn1 xn xn a0 x1 a1 x2 ... an2 xn1 an1 xn b0u
y=x1
化为向量矩阵形式：
x1 0 1
状态方程为:
x2
0
xn
a0
a1
0 x1 0
x2
u
1 0
an1
xn
b0
输出方程为: y 1 0
2 说明： ①上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。
②系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适 合于用计算机来计算。
③状态变量的选择不是唯一的。
按系统的物理机理建立状态空间
R
+
表达式的例子 1、R-L-C电网络系统
u(t) i(t)
输入
_
L +
+ uc(t) _
y
输出