江苏省南京市08-09学年高一上学期期末调研试卷(数学)

2023—2024学年第一学期10月六校联合调研试题高三数学2023.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{}|ln(1)B x y x ==+，则A B = （ ）A. (1,)-+∞B. ∅C. RD. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A ，B ，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，()0,A =+∞，由10x +>得1x >-，所以()1,B =-+∞，所以()()()0,1,0,A B ∞∞∞⋂=+⋂-+=+.故选：D2. 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3. 下列求导正确的是（ ）A. ππsin sin cos sin 66x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B. ()()221221x x '⎡⎤+=+⎣⎦C. ()21log ln 2x x '= D. ()2222x x x x'+=+【答案】C 【解析】【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【详解】对于A ，()ππsin sin sin sin cos 66x x x ''⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，根据复合函数的求导法则，()()()()22122121421x x x x ''⎡⎤+=++=+⎣⎦，故B 错误；对于C ，()21log ln 2x x '=，故C 正确；对于D ，()()()22222ln 22x x x x x x '''+=+=+，故D 错误.故选：C.4. 已知角α终边上有一点5π5π(sin ,cos 66P ，则πα-是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据5π6所在象限可判断点P 所在象限，然后根据对称性可得.【详解】因为5π6是第二象限角，所以5π5πsin0,cos 066><，所以点P 在第四象限，即角α为第四象限角，所以α-为第一象限角，所以πα-为第三象限角.故选：C5. 已知直线:10l x y λλ--+=和圆22:40C x y y +-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 过定点()1,1，再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】():110l x y λ--+=，令1x =，则1y =，所以直线l 过定点()1,1，当1,1x y ==得22114120+-⨯=-<，则()1,1在圆内，则直线l 与圆必有两交点，因为圆心()0,2到直线l 的距离d ≤=，所以AB =≥故选：D .6. 已知样本数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +，631x +的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的方差为（ ）．A.467B.477C.487D. 7【答案】C 【解析】【分析】由均值、方差性质求数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为x ，方差为2s ，由3116x +=，299s =，得61156i i x x ===∑，2261(56)11i i x s ==-=∑，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的平均数为561267⨯+=，方差为()6221(6)1267ii x =-+-∑621(51)367ii x =--+=∑66211(5)2(5)16367ii i i x x ==---+⨯+=∑∑66211(5)21027ii i i x x ==--+=∑∑26261024877s x -⨯+==．故选：C7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=-+，则下列说法正确的是（ ）A 3522f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数()f x 的一个周期为2C. ()20230f =D. 函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】C.【解析】【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.【详解】()()11,f x f x -=-+∴ 函数()f x 关于点()1,0中心对称，因此选项D 不正确；又因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，由()()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x f x -=-+⇒+=--=-⇒+=，所以函数()f x 的周期为4，所以选项B 不正确；因为函数()f x 是周期为4的偶函数，所以355222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此选项A 不正确；在()()11f x f x -=-+中，令0x =，得()10f =，因为函数()f x 的周期为()()()()4,20233110f f f f ∴==-==，因此选项C 正确，故选：C8. 已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ，若不等式22λ≥MN d 恒成立，则λ的取值范围（ ）A. (-∞ B. (],2-∞C. (,1-∞+ D. (],3-∞【答案】D 【解析】【分析】令||,||MF a NF b ==，利用余弦定理表示出弦MN 的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出d ，然后利用均值不等式求解作答.【详解】在MFN △中，令||,||MF a NF b ==，由余弦定理得222||||||2||||cos MN MF NF MF NF MFN =+-⋅∠，则有222||MN a b ab =++，显然直线1:16l y =-是抛物线24y x =的准线，过,,M P N 作直线l 的垂线，垂足分别为,,A B C ，如图，而P 为弦MN 的中点，PB 为梯形MACN 的中位线，由抛物线定义知，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+，因此22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++，当且仅当a b =时取等号，又不等式22λ≥MN d 恒成立，等价于22MN dλ≤恒成立，则3λ≤，所以λ的取值范围是(,3]-∞.故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 设复数z 满足3i 1z z +=--，则下列说法错误的是（ ）A. z 为纯虚数B. z 的虚部为2iC. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限D. ||z【答案】ABC 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z ，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】设复数i z a b =+，由3i 1z z +=--得()3i 1z z +=--，则()()()()22i 31i i 3i i 33i 4i 2=2i 11i 1i 1i 1i 2z -----+-====-++--，故A错误；z 的虚部为2，故B 错误；复平面内，z 对应的点为()1,2--，z 对应的点位于第三象限，故C 错误；z ==D 正确.故选：ABC .10 已知向量()1,3a =-，(),2b x = ，且()2a b a -⊥ ，则（ ）A. ()1,2b =B. 225a b -=C. 向量a 与向量b的夹角是45 D. 向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量b判断A ，利用向量模的坐标运算判断B ，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C ，利用数量积的几何意义求解判断D.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),2b x = ，所以()212,1a b x -=---，由()2a b a -⊥ 得1230x +-=，解得1x =，所以()1,2b =，故A 正确；又()23,4a b -=-r r ，所以25a =r ，故B 错误；设向量a 与向量b的夹角为θ，因为()1,3a =- ，()1,2b = ，所以cos a b a bθ⋅===⋅ ，又0180θ≤≤ ，所以45θ= ，即向量a 与向量b的夹角是45 ，故C 正确；向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2a b b b b b⋅⋅==，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>，下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的值域为[]22-,B. 若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为2πωC. 若函数()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.D. 若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，则ω的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，可知其值域为[]22-,，故选项A 正确；若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以12x x -的最小值为π2T ω=，故选项B 错误；函数()f x 的单调递增区间为πππ2π2π232k x k ω-≤+≤+，()5ππ2π2π66,Z k k x k ωω⎡⎤-+⎢⎥∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以5π2ππ66π2ππ63k k ωω⎧-⎪≤-⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，令0k =，则10,2ωω<≤∴的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选项C 正确；若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由如图可得：5ππ138π3π2363ωω<+≤⇒<≤，ω∴的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦，故选项D 正确；故选：ACD12. 已知函数()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，则下列说法正确的是（ ）A. 当0a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增B. 若()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，则实数34a =C. 当10a -<<时，()f x 不存在极值D. 当0a >时，()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用导数即可判断；对于B ，根据导数的几何意义可判断；对于C ，取12a =-，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D ，结合函数单调性，利用零点存在定理说明()f x 有且仅有两个零点12,x x ，继而由()0f x =可推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可证明结论，即可判断.【详解】因为()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，定义域为{|0x x >且1}x ≠，所以()()2121af x x x '=+-，对于A ，当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，故A 正确；对于B ，因为直线250x y +-=的斜率为12-，又因为()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，故令1(2)222f a '=+=，解得34a =，故B 正确；对于C ，当10a -<<时，不妨取12a =-，则()()()222113111x x f x x x x x -+'=-=--，令()0f x '=，则有231=0x x -+，解得123322x x =-=+，当0,32x ⎛∈- ⎝时，()0f x ¢>，()f x 在0,32⎛ ⎝上单调递增；当331,22x ⎛⎫⎛∈⋃+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝时，()0f x '<，()f x在33,1,22⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝上分别单调递减；所以此时函数有极值，故C 错误；对于D ，由A 可知，当0a >时，()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，当1x >时，22(e )10e 1e 1aa aaf a a ⎛⎫=-+=-< ⎪--⎝⎭，()()()()313131313131e 1e 12e 311e 1e 1a a a a a a a f a a ++++++--+⎛⎫=+-+-=⎪-⎝⎭()()()31313131313e 1e 12e20e 1e 1a a a a a a a a +++++--+->=>--，所以()f x 在(1,)+∞上有一个零点，又因为当01x <<时，22(e 10e 1e 1aa a af a a --⎛⎫--+=> ⎪--⎝⎭=) ，()1313313122e e311311e 11e a a a a f a a a a -+---+⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()3131313131311e e 11e 311e 1e a a a a a a a a a ++++++-+++=---⋅=---()()31313131e e 11e a a a a a +++-++=--()3131313122e 42e01e e 1a a a a a a a ++++--=-=<--，所以()f x 在(01),上有一个零点，所以()f x 有两个零点，分别位于(01),和(1,)+∞内；设1201x x <<<，令()0f x =，则有()1ln 01a x x x +-=-，则1f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11111ln ln ln 1111x a a a x x x x x x x x x x⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭-=--=-+---()1[ln ]01a x x x +=--=-，所以()0f x =的两根互为倒数，所以121=x x ，故D 正确．故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D 的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明121=x x 时，要注意推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而证明结论三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为______．【答案】240【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】在()5+2x 的展开式中，3x 的系数为325C 2=40⋅；在()41y -的展开式中，2y 的系数为224C 1=6⋅；所以在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为32254C 2C =240⋅；故答案为：24014. 2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.【答案】80【解析】分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有1245C A 454=⨯⨯80=种.故答案为：80.15. 已知22,1()e ,1xx x f x x ->-⎧=⎨≤-⎩，若a b <，()()f a f b =，则实数2a b -的取值范围是______．【【答案】(1,3e ⎤-∞--⎥⎦【解析】【分析】作出函数图象，设()()t f a f b ==，数形结合可知t 的范围，2a b -转化为关于t 的函数，利用导数求最值即可.【详解】作函数()f x 图象，如图，设()()t f a f b ==，则10et <≤，e ,,2e 1112a b a b +<∴≤-<≤ ，又()(),e 22af a t f b b t ===-= ，()1ln 2,2a t b t ∴==+，2ln 2a b t t ∴-=--，设()()110,,1ln 21e t g t t t t g t t t -'=--<≤=-=，当10et <≤时，()0g t '>，函数()g t 为增函数，()1111ln 23e e e e g t g ⎛⎫∴≤=--=-- ⎪⎝⎭，即实数2a b -的取值范围是(1,3e ⎤-∞--⎥⎦故答案为：(1,3e ⎤-∞--⎥⎦16. 在正三棱锥A BCD -中，底面BCD △的边长为4，E 为AD 的中点，AB CE ^，则以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．π【解析】【分析】首先证明,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.【详解】记CD 中点为F ，作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，由正三棱锥性质可知，O 为正三角形BCD 的中心，所以O 在BF 上，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，由正三角形性质可知，BF CD ⊥，又BF AO O ⋂=，,BF AO ⊂平面ABO ，所以CD ⊥平面ABO ，因为AB ⊂平面ABO ，所以AB CD ⊥，又,,,CE AB CE CD C CE CD ⊥⋂=⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，所以AC AB⊥由正三棱锥性质可知，,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ==，则AD ==，如图，易知以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D 为圆心，AD 为半径的三段圆弧，则π4ADC ADB ∠=∠=，π3BDC ∠=，则其圆心角分别为πππ,,443，所以其交线长为πππ443⨯⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足52215a a =+，981S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）129928n n n +--+【解析】【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.【小问1详解】（1）设数列等差数列{}n a 的公差为d ，因为981S =，所以()59199812a a a +==，则59a =，因为52215a a =+，即21815a =+，所以23a =，所以52932523a a d --===-，121a a d =-=，所以()112n a n =+-⨯，即21n a n =- .【小问2详解】因为,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以21,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()()24221353433nn T n =++++⋅⋅⋅+-+()()2421543333n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()231919n ⨯-=+-129928n n n +-=-+．18. 已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（1）求函数()f x 的最值；（2）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】（1）最大值为2，最小值为2-（2【解析】【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．【小问2详解】结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则263A A ππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 2ABC S bc A == 23c =时，1sin 2ABC S bc A ==△．综上，ABC ．19. 在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，M 、N 分别为AB SB 、的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接SO ，OB ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO ，BO 交于点O ，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，于是可知AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,那么(00)(200)(000)(0B C S M N -,,,,,,,,,，∴(30),(10CM MN ==- ,，设(),,n x y z = 为平面CMN 的一个法向量，那么30=0CM n x MN n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ ，取1z =，那么==x y ，∴n = ，又(0,0,OS = 为平面MBC一个法向量，的1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴==，sin ,n OS ∴= ，即二面角N CM B --.20. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．（1）求甲班在项目A 中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）6481（2）分布列见解析，209162【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在项目B 中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X 的分布列，即可算出期望【小问1详解】记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，则()222223422221221264C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以甲班在项目A 中获胜的概率为6481【小问2详解】记“甲班在项目B 中获胜”为事件B ，则()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，X 的可能取值为0，1，2，则()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=，()()()()64132281281P X P AB P A P B ====⨯=，()()()111022P X P X P X ==-=-==．所以X 的分布列为X 012P 17162123281()17132209012162281162E X =⨯+⨯+⨯=．所以甲班获胜的项目个数的数学期望为20916221. 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a <-.如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，f (x )在（0，+∞）（2）a ≤－2【解析】【详解】（1） f (x )的定义域为(0，+∞)，2121()2a ax a f x ax x x '+++=+=.当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x .当x ∈(0)时，()f x '＞0；x ∈，+∞)时，()f x '＜0， 故f (x )在（0，+∞）单调减少.（2）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于21()()f x f x -≥4x 1－4x 2，，即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ，则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-22. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>过点(4,3)A，离心率e =.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点(1,0)B 的直线l 交双曲线C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线1x =于点P ，Q ，求||||PB QB 的值.【答案】（1）22143x y -= （2）||=1||PB QB 【解析】【分析】（1）根据已知列关于a ,b ,c 的方程组求解即可；（2）直线联立双曲线方程，写出直线MA ，NA 的方程，然后可得点P ，Q 坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可得0P Q y y +=，然后可得.【小问1详解】由题知222221691a b c a a b c⎧-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，27c =，22143y x ∴-=；【小问2详解】.设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，则2222(34)84120k x k x k -+--=，则2=144144k ∆-，2122834k x x k -+=-，212241234k x x k --=- ，设直线113:3(4)4y MA y x x --=--，223:3(4)4y NA y x x --=--，令1x =，113334P y y x -=--，223334Q y y x -=--，则12123363()44P Q y y y y x x --+=-+--，因为121212121233(3)(4)(4)(3)44(4)(4)y y y x x y x x x x ----+--+=----1212122(35)()8(3)=(4)(4)kx x k x x k x x -++++--222222222(412)(35)(8)8(3)(34)7272==2(412)4(8)16(34)3636k k k k k k k k k k k ---+-++--=----+--所以12123363()=044P Q y y y y x x --+=-+--，B 为PQ 的中点，所以||=1||PB QB .【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明0P Q y y +=的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.。

20232024学年度第一学期第二阶段学业质量监测试卷八年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．2．答选择题必须用铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．下列手机应用的图标是轴对称图形的是（ ）A B C D2．下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（）A ．B ．C ．D ．3．点关于轴对称的点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．4．如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（ ）（第4题）A ．2B ．2.5C ．3D ．5.55．如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（）-2B 2B 4,5,61,2,32,3,45,12,13()2,1-x ()2,1()2,1-()2,1-()2,1--EC BD ⊥C A EC AC CD =AB DE = 3.5AC =9BD =AE 3942y x =+y kx b =+()2,P n -x y 34180,0x y kx y b -+=⎧⎨-+=⎩（第5题）A ．B ．C ．D ．6．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（） （第6题）A ．5BC ．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）7______．8．在实数，中，无理数有______个．9．（填“”“”或“”）10．如图，已知，要使，可以添加的条件为______．（写出一个即可）（第10题）11．已知，是一次函数图像上的两点，若，则______．（填“”“”或“”）12．在等腰三角形中，．若为底角，则______．13．已知一次函数（为常数）的图像与轴的交点在轴的上方，则的取值范围为______．14．如图，在中，，，平分，交于点，为的中点，连接，则的周长为______．2,2x y =-⎧⎨=⎩2,3x y =-⎧⎨=⎩3,2x y =⎧⎨=-⎩2,2x y =⎧⎨=-⎩M N 1+2=3211 3.1415π31-><=12∠=∠ABC ADC △△≌()111,P x y ()222,P x y 21y x =-+12x x >1y 2y ><=ABC 2A B ∠=∠A ∠C ∠=︒3y x m =-+m y x m ABC △10AB AC ==8BC =AD BAC ∠BC D E AC DE CDE △（第14题）15．在课本上的“数学活动 折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为______．第1次折 第2次折（第15题）16．如图，一次函数的图像与轴交于点．将该函数图像绕点逆时针旋转，则得到的新图像的函数表达式为______．（第16题）三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（1；（2）．18．（6分）求下列各式中的：（1）；（2）．19．（6分）已知：如图，，，，且．求证：（1）；（2）．2cm EA 'cm 122y x =+x A A 45︒-2-x 2312x =()3164x -=-AB AC =AB AC ⊥AD AE ⊥ABD ACE ∠=∠ABD ACE △△≌ADE AED ∠=∠（第19题）20．（7分）一次函数（，为常数）的图像经过点，．（1）求该函数的表达式；（2）画出该函数的图像；（3）不等式的解集为______．21．（8分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．（第21题）（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．（6分）已知一次函数（为常数，）．（1）若该函数的图像经过原点，求的值；（2）当时，该函数图像经过第______象限．23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点，分别向下平移3个单位长度得到点，．（第23题）（1）点，的坐标分别为______，______；（2）求证：点，，在一条直线上．24．（6分）如图，已知线段，，．求作，使，，且分别满足下列条件：（1）上的中线为．（2）上的高为．（说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题作出满足条件的一个三角形即可．）y kx b =+k b ()2,2-()0,20kx b +<ABC △90C ∠=︒8AC =AB MN AC D BD 25A ∠=︒DBC ∠4BC =BD 22y mx m =+-m 0m ≠m 01m <<ABC △()1,1A ()5,2B ()2,2C A C A 'C 'A 'C 'A 'C 'B a b c ABC △AB a =BC b =AB c AB c（第24题）25．（9分）甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地．（1）地与地之间的距离为______．（2）求线段对应的函数表达式．（3）已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？（第25题）26．（8分）回顾旧知（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整．解决问题的思路可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“______”可知与的交点即为所求．①A B A B A A B C B B ()km s ()h t B A B km MN C A 160km t 80km A B l l P PA PB +l P 'A l A 'AA 'l C P A ''AP C '△≌P A P A '=''A P B ''△A B 'l P解决问题（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值．②变式研究（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值．③20232024学年度第一学期第二阶段学业质量监测试卷八年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共12分）题号123456答案二、填空题（每小题2分，共20分）7．58．29．10．答案不唯一，如11．12．7213．14．1415．16．三、解答题（本大题共10小题，共68分）17．（本题6分）解：（1．（2）．ABC Rt △90ACB ∠=︒8AB =E F AB AE BF =CE CF +ABC △60ABC ∠=︒5AC =4BC=D E AB AC AD CE =CD BE +-C D A AB A>AB AD =<3m <2-312y x =+323=+-2=22=-2=-18．（本题6分）解（1）两边同除以3，得．开平方，得．（2）开立方，得．移项，合并同类项，得．19．（本题6分）证明：（1），，．，即．在和中，．（2），．．20．（本题7分）解：（1）因为一次函数（，为常数）的图像经过点，，所以解得所以一次函数的表达式为．（2）图像正确．（3）．21．（本题8分）解：（1）是的垂直平分线，点在上，．．又，．，．．．（2）设，则，．在中，，．．解得，即的长为5．22．（本题6分）解：（1）因为一次函数的图像经过原点，所以．解得．（2）一、三、四．（说明：每个答案1分，答案中有“二”不给分．）23．（本题6分）24x =2x =±14x -=-3x =-AB AC ⊥ AD AE ⊥90BAC DAE ∴∠=∠=︒BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠BAD CAE ∠=∠ABD △ACE △,,,BAD CAE AB AC ABD ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD ACE ∴△△≌ABD ACE △△≌AD AE ∴=ADE AED ∴∠=∠y kx b =+k b ()2,2-()0,222,2.k b b -=+⎧⎨=⎩2,2.k b =-⎧⎨=⎩22y x =-+1x >MN AB D MN AD BD ∴=DAB DBA ∴∠=∠25A ∠=︒ 25DBA ∴∠=︒90C ︒∠= 90A ABC ∴∠+∠=︒90902565ABC A ∴∠=-∠=-︒=︒︒︒652540DBC ABC DBA ∴∠=∠--︒∠=︒=︒BD x =AD x =8DC AC AD x =-=-Rt CBD △90C ∠=︒222BC CD BD ∴+=()22248x x ∴+-=5x =BD 22y mx m =+-220m -=1m =解：（1），．（2）设经过点与点的直线对应的函数表达式为．所以解得所以直线对应的函数表达式为．把代入，得．因为点的坐标是，所以点在一条直线上．24．（本题6分）解：（1）如图①，即为所求．① ②③ ④（2）如图②或③或④，即为所求．25．（本题9分）解：（1）360．（2）设经过点与点的线段对应的函数表达式为．所以解得所以线段对应的函数表达式为．（3）方法一 由题意得，乙车的速度为．如图，线段对应的函数表达式为．当，即时，．()1,2A '-()2,1C '-()1,2A '-()2,1C '-y kx b =+2,2 1.k b k b +=-⎧⎨+=-⎩1,3.k b =⎧⎨=-⎩A C '3y x =-5x =3y x =-532y =-=B ()5,2,,A C B ''ABC △ABC △()2,360M ()8,0N s kt b =+2360,80.k b k b +=⎧⎨+=⎩60,480.k b =-⎧⎨=⎩MN 60480s t =-+()160280km /h ÷=PQ 80360s t =+'-36080s '-=()3608036080t --+=1t =当，即时，．所以当为或时，甲、乙两公司运输车相距．方法二 由题意得，乙车的速度为．因为甲车在地集货中心拣货2小时，乙车先出发，所以（h ）．因为甲车的速度为，所以．所以．所以当为或时，甲、乙两公司运输车相距．26．（本题8分）解：（1）．三角形两边之和大于第三边．（说明：写“两点之间线段最短”也可．）（2）如图，取中点，连接并延长至点，使，连接．是中点，．，，即．又，，．．．当点运动到点时，的值最小，此时．，为中点，．，即的最小值为8．（3．()36016080s --=()6048020080t -+-=103t =t 1h 10h 380km ()160280km /h ÷=A 80801t =÷=()()3608260km /h ÷-=()()41608060h 3-÷=()4102h 33t =+=t 1h 10h 380km A P C ''△AB D CD G DG CD =EG D AB AD BD ∴=AE BF = AD AE BD BF ∴-=-DE DF =EDG FDC ∠=∠ DG CD =EDG FDC ∴△△≌GE CF ∴=CE CF CE EG ∴+=+∴E D CE EG +CE EG CG +=90BCA =︒∠ D AB 142CD AB ∴==28CG CD ∴==CE CF +。

2023-2024学年江苏省南京市四校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +1＜0 C ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1＜0D ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≤03．在下列函数中，函数y ＝|x |表示同一函数的（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 33C ．y ={x ，x ≥0，−x ，x ＜0D ．y =x 2|x|4．下列等式成立的是（ ） A ．log 2（8﹣4）＝log 28﹣log 24 B ．log 28log 24=log 284C ．log 223＝3log 22D ．log 2（8+4）＝log 28+log 245．已知函数f(x)={2x +1，x ＜2−x 2+ax ，x ≥2，若f [f （1）]＝﹣6，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．16．关于x 的不等式3x+a x−1≤1的解集为[−52，1)，则实数a 的值为（ ） A ．﹣6B ．−72C ．32D ．47．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，设，N ＝45×910，则N 所在的区间为（ ） A ．（1010，1011） B ．（1011，1012）C ．（1012，1013）D ．（1013，1014）8．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f （2x ﹣1）＞f （1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．[12，1)二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②10．已知P：{xx2+3≥01−4x＞−3，那么命题P的一个必要不充分条件是（）A．0≤x＜1B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜1D．x≥011．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（）A．a2＝4bB．a2﹣b2≤4C．a2+1b≥4D．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞012．已知函数f(x)=|x|x+1，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上单调递增C．函数g（x）＝f（x）﹣x有两个零点D．函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．13．若函数f（x）=x(2x+1)(x−a)为奇函数，则a＝．14．已知集合A＝{x|ax2+2x﹣1＝0}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是．15．已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数，当x ＞0时，f（x）的图象如图所示．若x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0，则实数x的取值范围是．16．若不等式x2﹣（2a+2）x+2a＜0（a＞0）有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为，实数a的取值范围为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√xA ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）． （1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 18．（12分）化简求值：（1）计算lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2： （2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=15． （1）求a 、b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．20．（12分）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）满足下列两个条件： ①f （x ）＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；②f （x ）的最小值为﹣4 （1）求a ，b ，c 的值；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ）的解集． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣1|． （1）当a ＝2时，求f （x ）的值域；（2）若存在x ∈R ，使得不等式f （x ）≤2x ﹣2成立，求a 的取值范围； （3）讨论函数f （x ）在[0，+∞）上的最小值．2023-2024学年江苏省南京市四校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，∴A ∩B ＝{2，3}． 故选：C ．2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +1＜0 C ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1＜0D ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≤0解：因为命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”是全称命题， 其否定为特称命题，即为：∃x ∈R ，x 2+2x +1≤0， 故选：D ．3．在下列函数中，函数y ＝|x |表示同一函数的（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 33C ．y ={x ，x ≥0，−x ，x ＜0D ．y =x 2|x|解：对于A ，函数y =(√x)2=x ，x ≥0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数y =√x 33=x ，x ∈R ，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的对应关系不同，不是同一函数；对于C ，函数y ={x ，x ≥0−x ，x ＜0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D ，函数y =x 2|x|={x ，x ＞0−x ，x ＜0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域不同，不是同一函数．故选：C ．4．下列等式成立的是（ ） A ．log 2（8﹣4）＝log 28﹣log 24 B ．log 28log 24=log 284C ．log 223＝3log 22D ．log 2（8+4）＝log 28+log 24解：A ．等式的左边＝log 2（8﹣4）＝log 24＝2，右边＝log 28﹣log 24＝3﹣2＝1，∴A 不成立． B ．等式的左边=log 28log 24=32，右边＝log 282=log 24＝2，∴B 不成立．C ．等式的左边＝3，右边＝3，∴C 成立．D ．等式的左边＝log 2（8+4）＝log 212，右边＝log 28+log 24＝3+2＝5，∴D 不成立． 故选：C ．5．已知函数f(x)={2x +1，x ＜2−x 2+ax ，x ≥2，若f [f （1）]＝﹣6，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．1解：因为f （1）＝21+1＝3，所以f [f （1）]＝f （3）＝﹣32+3a ＝﹣9+3a ＝﹣6， 解得a ＝1． 故选：D ． 6．关于x 的不等式3x+a x−1≤1的解集为[−52，1)，则实数a 的值为（ ）A ．﹣6B ．−72C ．32D ．4解：由3x+a x−1≤1得，3x+a x−1−1≤0，即2x+a+1x−1≤0，因为原不等式的解集为[−52，1)，所以x =−52是方程2x +a +1＝0的根，故a ＝4． 故选：D ．7．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，设，N ＝45×910，则N 所在的区间为（ ） A ．（1010，1011） B ．（1011，1012）C ．（1012，1013）D ．（1013，1014）解：由于N ＝45•910⇒lgN ＝5lg 4+10lg 9＝10lg 2+20lg 3≈12.552， 所以N 所在的区间为（1012，1013）． 故选：C ．8．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f （2x ﹣1）＞f （1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．[12，1)解：因为偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且满足f（2x﹣1）＞f（1），所以不等式等价于f（|2x﹣1|）＞f（1），即|2x﹣1|＜1，所以﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，即x的取值范围是（0，1）．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②解：根据题意，依次分析4个图形，对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，对于②，符合题意，对于③，符合题意，对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，故选：C．10．已知P：{xx2+3≥01−4x＞−3，那么命题P的一个必要不充分条件是（）A．0≤x＜1B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜1D．x≥0解：解不等式xx2+3≥0得x≥0，解不等式1﹣4x＞﹣3得x＜1，所以P的充要条件为0≤x＜1，故A错误；记A＝[0，1），因为A⫋（﹣1，1），A⫌（0，1）A⫋[0，+∞），所以，BD为命题P的必要不充分条件，C为命题P的充分不必要条件．故选：BD．11．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（）A．a2＝4bB．a2﹣b2≤4C．a2+1b≥4D．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞0解：因为函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，所以Δ＝a2﹣4b＝0，即a2＝4b，故A正确；a2﹣b2＝﹣b2+4b＝﹣（b﹣2）2+4≤4，故B正确；a2+1b=4b+1b≥2√4b⋅1b=4，当且仅当4b=1b，即b=12时，等号成立，故C正确；若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2=−b=−14a2＜0，故D错误．故选：ABC．12．已知函数f(x)=|x|x+1，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上单调递增C．函数g（x）＝f（x）﹣x有两个零点D．函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）解：由题意得x≠﹣1，定义域关于原点不对称，即f（x）为非奇非偶函数，A错误；当x≥0时，f（x）=xx+1=1−1x+1的单调递增区间为（﹣1，+∞），B正确；f（x）=|x|x+1={xx+1，x≥0−xx+1，x＜0，由f（x）＝x可知x＝0，为一个零点，当x≠0时，若xx+1=x可得x＝0（舍），若−xx+1=x，解得x＝﹣2，即零点为﹣2，0，C正确；当x＞0时，f（x）=xx+1=1−1x+1∈（0，1），当x＜0时，f（x）=−xx+1=−1+1x+1∈（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），当x＝0时，f（0）＝0，综上，f（x）的值域为[0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 13．若函数f （x ）=x(2x+1)(x−a)为奇函数，则a ＝ ．解：由函数f(x)=x(2x+1)(x−a)为奇函数可得，f （﹣x ）＝﹣f （x ）∴−x (−2x+1(−x−a)=−x(2x+1)(x−a)∴﹣x （2x +1）（x ﹣a ）＝﹣x （2x ﹣1）（x +a ） ∴﹣x （2x 2﹣2ax +x ﹣a ）＝﹣x （2x 2+2ax ﹣x ﹣a ） 即（2a ﹣1）x 2＝0 ∴2a ﹣1＝0即a =12故答案为：1214．已知集合A ＝{x |ax 2+2x ﹣1＝0}，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值的集合是 ． 解：当a ＝0时，集合A ＝{12}，符合题意，当a ≠0时，集合A 中只有一个元素， 则Δ＝4+4a ＝0，解得a ＝﹣1， 故则实数a 的取值的集合是{0，﹣1}． 故答案为：{0，﹣1}．15．已知函数f （x ）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示．若x [f （x ）﹣f （﹣x ）]＜0，则实数x 的取值范围是 ．解：∵函数是奇函数，∴不等式x •[f （x ）﹣f （﹣x ）]＜0等价为2x •f （x ）＜0，即xf （x ）＜0， 当x ＞0，f （x ）＜0，由图象知此时0＜x ＜3， 当x ＜0，f （x ）＞0，由奇函数的对称性知﹣3＜x ＜0， 综上不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3）， 故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．16．若不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0）有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为 ，实数a 的取值范围为 ．解：不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0），令x 2﹣（2a +2）x +2a ＝0，则Δ＝（2a +2）2﹣4×2a ＝4a 2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1=a +1−√a 2+1，x 2=a +1+√a 2+1， 因为a ＞0，所以0＜x 1＜1，x 2＞2，故不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0）的解集为(a +1−√a 2+1，a +1+√a 2+1)， 由题意可知，不等式有且只有两个整数解， 所以这两个整数解为1和2，则a +1+√a 2+1≤3，解得a ≤34，又a ＞0，所以0＜a ≤34， 故这两个整数解之和为3；实数a 的取值范围为(0，34]． 故答案为：3；(0，34]．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x A ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）．（1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意得{3−x ≥0x ＞0，解得0＜x ≤3，故A ＝（0，3]，若a ＝0，则B ＝（1，4]，∴A ∩B ＝（1，3]，A ∪B ＝（0，4]； （2）由（1）得A ＝（0，3]，若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，则A ⊆B ， ∴{a ＞−11−a ≤02a +4≥3，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是{a |a ≥1}． 18．（12分）化简求值：（1）计算lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2： （2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．解：（1）lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2＝2lg 5+lg 2（lg 50+lg 2） ＝2lg 5+lg 2lg 100＝2lg 5+2lg 2＝2（lg 5+lg 2）＝2lg 10＝2． （2）∵a +a ﹣1＝3，则（a +a ﹣1）2＝a ﹣2+a ﹣2+2＝9，∴a 2+a ﹣2＝7，故a 4−a −4a 2−a −2=(a 2+a −2)(a 2−a −2)a 2−a −2=a 2+a −2=7．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=15．（1）求a 、b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增． 解：（1）因为f （x ）是定义在（﹣2，2）上的奇函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ）在（﹣2，2）上恒成立， 即−ax+b x 2+4=−ax+b x 2+4在（﹣2，2）上恒成立，即﹣ax +b ＝﹣ax ﹣b 恒成立，则b ＝0， 所以f(x)=axx 2+4， 又因为f(1)=15，即a 12+4=15，所以a ＝1．故a ＝1，b ＝0．（2）证明：由（1）可得f(x)=xx 2+4， 任取x 1、x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＜4，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4) =x 1x 22−x 12x 2+4(x 1−x 2)(x 12+4)(x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．20．（12分）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？解：（1）设长为xm ，宽为ym ，x ，y 都为正数，每间虎笼面积为xym 2， 则4x +6y ＝48，即2x +3y ＝24，所以24＝2x +3y ≥2√6xy ，即12≥√6xy ，所以xy ≤24，当2x ＝3y ，即{x =6y =4时等号成立． 所以每间虎笼的长为6m ，宽为4m 时，面积S 的最大值为24m 2；（2）设长为a ，宽为b ，a ，b 都为正数，每间虎笼面积为ab ＝36m 2， 则钢筋网总长为4a +6b ≥2√24ab =2√24×36=24√6，所以钢筋网总长最小为24√6m ，当且仅当4a ＝6b ，即{a =3√6b =2√6时，等号成立． 所以当每间虎笼的长为3√6m 、宽为2√6时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为24√6m ．21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）满足下列两个条件： ①f （x ）＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；②f （x ）的最小值为﹣4（1）求a ，b ，c 的值；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ）的解集．解：（1）由条件知：a ＞0，由①知：ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣1，x 2＝3，所以{f(−1)=a −b +c =0f(3)=9a +3b +c =0， 由②结合对称性可知：f （x ）min ＝f （1）＝a +b +c ＝﹣4，联立{a −b +c =09a +3b +c =0a +b +c =−4，解得{a =1b =−2c =−3．（2）因为f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ），即x 2﹣2x ﹣3≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ），化简得（x ﹣2）（x ﹣m ）≥0，当m ＜2时，不等式的解集为（﹣∞，m ]∪[2，+∞）；当m ＝2时，不等式的解集为R ；当m ＞2时，不等式的解集为（﹣∞，2]∪[m ，+∞）．22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣1|．（1）当a ＝2时，求f （x ）的值域；（2）若存在x ∈R ，使得不等式f （x ）≤2x ﹣2成立，求a 的取值范围；（3）讨论函数f （x ）在[0，+∞）上的最小值．解：（1）当a ＝2时，f(x)=x 2+2|x −1|={x 2+2x −2，x ≥1x 2−2x +2，x ＜1， x ≥1时，f （x ）＝（x +1）2﹣3，当x ＝1时f （x ）有最小值1，x ＜1时，f （x ）＝（x ﹣1）2+1，此时f （x ）＞1， 故f （x ）的值域为[1，+∞）；（2）由f （x ）≤2x ﹣2得：（x ﹣1）2+a |x ﹣1|+1≤0（*）， 当x ＝1时，（*）显然不成立，当x ≠1时，a ≤[−(|x −1|+1|x−1|)]max ， 又|x −1|+1|x−1|≥2√|x −1|⋅1|x−1|=2，当且仅当|x −1|=1|x−1|即x ＝0或x ＝2时等号成立， 则−(|x −1|+1|x−1|)≤−2，即[−(|x −1|+1|x−1|)]max =−2， 所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（3）由题知y =f(x)={x 2+ax −a ，x ≥1x 2−ax +a ，0≤x ＜1， 当a ＜﹣2时，−a 2＞1，a 2＜−1， 当x ≥1时，f （x ）的最小值为f(−a 2)=−a 24−a ， 当0≤x ＜1时，f （0）＝a ，−a 24−a ≤a ，即a ≤﹣8时，f(x)min =f(−a 2)=−a 24−a −a 24−a ＞a ，即﹣8＜a ＜﹣2时，f （x ）min ＝f （0）＝a ，当﹣2≤a ≤0时，−1≤a 2≤0，f （0）＝a ＜1，所以f （x ）min ＝f （0）＝a ， 当a ≥﹣2时，−a 2≤1，f （x ）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上的最小值为f （1）＝1， 当0＜a ＜2时，0＜a 2＜1，f(a 2)=−a 24+a ＜a ，所以f(x)min =f(a 2)=−a 24+a ， 当a ≥2时，a 2≥1，f （1）＝1＜a ，所以f （x ）min ＝f （1）＝1． 综上可知：当﹣8＜a ≤0时，f(x)min =f(a 2)=−a 24+a ，当a ≤﹣8时，f(x)min =f(−a 2)=−a 24−a ，当0＜a ＜2时，f(x)min=f(a 2)=−a 24+a ， 当a ≥2时，f （x ）min ＝f （1）＝1．。

2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一上学期阶段性练习数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}1,2,4,6A =，集合{}3,5,6B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}3C ．{}6D ．{}3,5【答案】D【分析】由图可知阴影部分为()U A B ⋂，即可求解. 【详解】由图可知阴影部分为(){}U 3,5A B =，故选：D2．已知命题:Q p x ∃∈，使得N x ∉，则p ⌝为（ ） A ．Q x ∀∉，都有N x ∉ B ．Q x ∃∉，使得N x ∈ C ．Q x ∀∈，都有x ∈N D ．Q x ∃∈，使得N x ∈【答案】C【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得. 【详解】因为:Q p x ∃∈，使得N x ∉， 所以p ⌝为：Q x ∀∈，都有N x ∈. 故选：C.3．集合{}2A x y x =-，{}2B y y x ==-，则A B =（ ） A ．[2,0]- B ．[0,2]C ．[0,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求函数的定义域求得集合A ，求函数的值域求得集合B ，由此求得A B . 【详解】由于20,2x x -≥≤，所以(,2]A =-∞.对于函数2y x =-20x -≥，所以20y x =-≥，所以[0,)B =+∞，所以A B =[0,2]. 故选：B4．当0x >时，92x x+的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．D ．【答案】D【分析】依据均值定理去求92x x+的最小值即可.【详解】由92x x +≥x =）可得当0x >时，92x x+的最小值为故选：D5．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则11a b> C ．若a b >，则a c b c +>+ D ．若a b >，则22a b >【答案】C【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A;若a b >，0c ≤时，则ac bc ≤，故A 错； 对于B;若取1,0a b ==，则1b无意义，故B 错；对于C ；根据不等式的可加性可知：若a b >，则a c b c +>+，故C 正确； 对于D;若取1,2a b ==-，但22a b <,故D 错； 故选：C 6．“1x <”是“211x >+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】211x >+，2101x ∴-<+，即101x x -<+，解得11x -<<. (1,1)- (,1)-∞，∴“1x <”是“211x >+”的必要不充分条件. 故选：B7．若命题“对任意的,()0x ∈+∞，10x m x+->恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞【答案】A【分析】根据原命题为真可得min 12m x x ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，即可得出命题为假命题时m 的取值范围．【详解】当原命题为真时，1m x x <+恒成立，即min 12m x x ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，由命题为假命题，则2m ≥． 故选：A.8．如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】[]x 表示不超过x 的最大整数，可得出[][]x y =即,x y 在某相邻的两个整数之间，1x y -<表示,x y 这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧，距离不超过1，再根据充分必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[][]x y =即,x y 在某相邻的两个整数之间，而1x y -<表示,x y 这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧，距离不超过1，故“[][]x y =”是“1x y -<”的充分不必要条件. 故选：A二、多选题9．下列叙述中不正确的是（ ） A ．0⊆NB ．若x A B ∈，则x A B ∈C ．命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定是“x ∃∈Z ，20x <”D ．已知a ∈R ，则“b aa b<”是“0a b <<”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】根据元素与集合的关系，交集、并集的定义，以及全称量词命题的否定，充分条件，必要条件的定义即可判断各选项的真假． 【详解】对于A ，应为0∈N ，A 错误；对于B ，x A B ∈时x A ∈，则x A B ∈，B 正确； 对于C ，否定应为x ∃∈Z ，20x ≤，C 错误；对于 D ，220b a b aa b ab-<⇒<，当0a b <<时，220,0b a ab -<>，所以b a a b <，但是b a a b <，0a b <<不一定成立，可能0a b >>，所以D 正确；故选：AC.10．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ） A ．0<<1a B ．1<<1a - C ．10<<2a D ．0<<2a【答案】BD【分析】求出关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R 的充要条件，然后根据集合包含关系判断．【详解】关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ，则2440a a ∆=-<，解得01a <<， 因此A 是充要条件，BD 是必要不充要条件，C 是充分不必要条件． 故选：BD ．【点睛】本题考查必要不充分条件，解题方法是求出充要条件，然后由集合包含关系判断选择，考查充分必要条件与集合包含之间的关系．11．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0n m >>，则以下选项正确的有（ ） A ．0a < B ．0b >C ．20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．20cx bx a ++>的解集为1x x n ⎧<⎨⎩或1x m ⎫>⎬⎭【答案】ABC【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，0a ∴<，故A 正确；0n m >>，令()2f x ax bx c =++，02ba∴->，即0b >，故B 正确； 由上所述，易知()00f <，0c <，由题意可得,m n 为一元二次方程20ax bx c ++=，则b m n a+=-，c mn a =，则11a n m c ⋅=，11m n b n m mn c ++==-，即11,n m为方程20cx bx a ++=的解， 则可知不等式20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故C 正确，D 错误.故选：ABC. 12．设集合22|,,M a a x y x y Z ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n nn的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n +【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M .【详解】∵224(1)(1)n n n ，∴4n M .∵2241(21)(2)n n n ，∴41n M . ∵2243(22)(21)n nn ，∴43n M .若42n M ，则存在,Z x y使得2242x y n ，则42()(),nxy xy xy 和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立； 若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42nM .故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题13．集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为____ 【答案】{}2,1,0-.【分析】由集合的包含关系可得B =∅或{}1B =-或{}2B =，再求出对应的a 值，即可得结果.【详解】集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，且B A ⊆，B ∴=∅或{}1B =-或{}2B =，0,1,2a ∴=-．则实数a 组成的集合为{}2,1,0-.故答案为：{}2,1,0-.14．集合{36}A xm x m =-≤≤+∣，集合{}23100B x x x =-->∣，若A B =R ，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】[1,1]-【分析】由题意，根据二次不等式解得集合的元素，根据并集的定义，可得答案. 【详解】(2)(5,)B =-∞-⋃+∞，由A B =R 可得32m -≤-，65m +≥，即11m -≤≤，则实数m 的取值范围为[1,1]-. 故答案为：[1,1]-.15．如图，P AB ，PCD 为O 的两条割线，若5PA =，7AB =，11CD =，则:AC BD =___________.【答案】1:3【分析】根据PAC PDB ~即可求出得到PA PC AC PD PB BD ==，由PA PC PD PB=化简可求得4PC =，从而可得ACBD的值． 【详解】由题意PAC PDB ~，则PA PC ACPD PB BD==，由5PA =，7AB =，11CD =，可得(11)60PC PC +=，解得4PC =，则41573AC BD ==+. 故答案为：1:3．16．设集合{1,2,3,4,6}M =，12,,,k S S S 都是M 的含有两个元素的子集，则k =______；若满足：对任意的{,}i i i S a b =,{,}j j j S a b ={}(,,1,2,3,,)i j i j k ≠∈都有,i i j j a b a b <<，且ji i ja ab b ≠，则k 的最大值是__________． 【答案】 10 6【分析】列举M 的2个元素子集数个数即可；利用,i i j j a b a b << ，再结合ji i ja ab b ≠进行排除其他的即为答案.【详解】M 的两元素子集有{1,2}{1,3}{1,4}{1,6}{2,3}{2,4}{2,6}{3,4}{3,6}{4,6}、、、、、、、、、，所以共有10个，因此k =10；因为前面的列举方式已经保证,i i j j a b a b <<，只需要再增加条件ji i ja ab b ≠即可，所以{1,2}{2,4}、、{3,6}保留一个，{1,3}{2,6}、保留一个，{2,3}{4,6}、只能保留一个，所以以上10个子集需要删去4个，还剩下6个，所以则k 的最大值是6.故max 6k .故答案为：10;6.四、解答题17．已知集合{}13A x x =<<，{}21B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）{}2m m ≤-；（3）{}0m m ≥． 【分析】（1）当1m =-时，求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A B ； （2）由A B B ⋃=可得出A B ⊆，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合A B =∅可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B B ⋃=，可得A B ⊆，所以，2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-.因此，实数m 的取值范围是{}2m m ≤-； （3）A B =∅，分以下两种情况讨论：①若21m m 时，即当13m ≥时，B =∅，符合题意；②若21m m 时，即当13m <时，则11m -≤或23m ≥，解得0m ≥，此时103m ≤<. 综上所述，0m ≥.即实数m 的取值范围为{}0m m ≥.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了利用交集和并集的运算求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.18．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥． (1)当3a =时，求A B ；(2)若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){11A B xx =-≤≤∣或}45x ≤≤ (2)()0,1【分析】（1）借助数轴即可确定集合A 与集合B 的交集（2）由于A R B ，根据集合之间的包含关系即可求解【详解】(1)当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15xx =-≤≤∣, {|1B x x =≤或}4x ≥ ，{11A B x x ∴=-≤≤∣或}45x ≤≤(2) 若0a >，且 “x A ∈”是“R x B ∈”充分不必要条件，{}{}22(0),14R A x a x a a B x x =-≤≤+>=<<∣∣因为A R B ，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩解得01a <<.故a 的取值范围是:()0,119．已知41a c -≤-≤-，145a c -≤-≤. (1)分别求a ，c 的取值范围； (2)求9a c -的取值范围.【答案】(1)03a ≤≤，17c ≤≤；(2)1920a c -≤-≤．【分析】（1）设a c x -=，4a c y -=，即得41x --≤≤，15y -≤≤，根据不等式的性质即可求出3x ya -+=，43x y c -+=的取值范围；（2）由（1）可知，5893x ya c -+-=，即可根据不等式的性质求出取值范围． 【详解】(1)设a c x -=，4a c y -=，则41x --≤≤，15y -≤≤，3x ya -+=，43x y c -+=， 由41x --≤≤，则14x ≤-≤，4416x ≤-≤， 则3x ya -+=的取值范围是03a ≤≤，43x y c -+=的取值范围是17c ≤≤；(2)5893x ya c -+-=，由41x --≤≤，15y -≤≤，则5520x ≤-≤，8840y -≤≤，则1920a c -≤-≤.20．命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x x a +-≥”，命题q ：“R x ∃∈，2320x x a ++-=”. (1)写出命题p 的否定命题p ⌝，并求当命题p ⌝为真时，实数a 的取值范围； (2)若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)2a > (2)2a >或14a <-【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出p ⌝，当命题p ⌝为真时，可转化为2min ()0x x a +-<，当[]1,2x ∈，利用二次函数的性质求解即可；（2）由（1）可得p 为真命题时a 的取值范围，再求解q 为真命题时a 的取值范围，分p 真和q 假，p 假和q 真两种情况讨论，求解即可【详解】(1)由题意，命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x x a +-≥”， 根据全称命题的否定形式，p ⌝：“[]1,2x ∃∈，20x x a +-<”当命题p ⌝为真时，2min ()0x x a +-<，当[]1,2x ∈二次函数2y x x a =+-为开口向上的二次函数，对称轴为12x =-故当1x =时，函数取得最小值，即2min ()20x x a a +-=-<故实数a 的取值范围是2a >(2)由（1）若p 为真命题2a ≤，若p 为假命题2a > 若命题q ：“R x ∃∈，2320x x a ++-=” 为真命题则94(2)0a ∆=--≥，解得14a ≥-故若q 为假命题14a <-由题意，p 和q 中有且只有一个是真命题， 当p 真和q 假时，2a ≤且14a <-，故14a <-；当p 假和q 真时，2a >且14a ≥-，故2a >；综上：实数a 的取值范围是2a >或14a <-21．已知函数()232f x x x =-+-． (1)求不等式()3f x ≤的解集M ；(2)设M 中的最小的数为m ，正数a ，b 满足3a b m +=，求225b a a b++的最小值． 【答案】(1)2833M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭(2)132【分析】（1）利用零点分段法求解绝对值不等式； （2）在第一问的基础上求出23m =，再对不等式变形，利用基本不等式求出其最小值. 【详解】(1)原不等式可化为323223x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-≤⎩或3222323x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或22323x x x >⎧⎨-+-≤⎩ 解得:2332x ≤<或322x ≤≤或823x <≤．综上所述，原不等式的解集为2833M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭．(2)由（1）可知23m =，所以2a b +=， 所以()()22222525a b b a a b a b-+-++=+ 224944a ab b a b-+-+=+948a b a b =+++- ()94194662a b a b a b ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭1941362b a a b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭11313622⎛⎫≥-= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当12235a b ==时等号成立． 所以225b a a b++的最小值为132 22．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. (1)若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；(2)集合A 是否为双元素集合，并说明理由；(3)若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析； (3)112{1,,2,,3,}223A =--.【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；（2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用11111x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】(1)由题意得若2A ∈，则1112A =-∈-； 又因为1A -∈，所以()11112A =-∈-； 即集合A 中还有另外两个元素1-和12. (2)由题意，若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-，则111111A x x=-∈--，若11A x -∈则x A ∈；所以集合A 中应包含11,,11x x x--，故集合A 不是双元素集合. (3)由（2）得集合A 中的元素个数应为3或6， 因为11111x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以A 中应有6个元素，且其中一个元素为1-，由1A -∈结合条件可得1,22A A ∈∈， 又因为131222-++=，所以剩余三个元素和为196，即111916x x x x -++=-， 解得12,3,23x =-，故112{1,,2,,3,}223A =--.。

2024级高一年级10月学情检测试题数学2024.10注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（ ）A. B. C. D.2.下列各图中，可作为函数图象的是（ ）A. B.C.D.3.命题，的否定是（ ）A.，B.，C.，D.，4.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件{}220A x x x =--<{}1B x x =∈≤Z A B {}1,0-{}0,1{}1,0,1-∅1x ∀>21x m ->1x ∀≤21x m -≤1x ∃≤21x m -≤1x ∀>21x m -≤1x ∃>21x m -≤x ∈R 0x ≤11x ≤5.已知集合，均为的子集，且，则等于（ ）A. B. C. D.6.命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.7.已知实数为常数，且，，函数.甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则的取值范围为（ ）A. B. C.（0，1） D.8.若，，，则（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（ ）A.若函数的定义域是，则函数的定义域是B.与C.已知函数，则D.函数的值域为10.已知，，.下列命题正确的有（ ）A.若，则B.若，则C.若，则 D.若，则11.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）A. B.-2 C. D.0第Ⅱ卷（非选择题）P Q R ()Q P =R R ð()P Q R ð∅PR ðQ R x ∃∈R ()()222240a x a x -+--≥a [)2,2-(]2,2-(](),22,-∞-+∞ (][),22,-∞-+∞ a 0a ≠1a ≠()()1y ax x a =--0y >()1,,a a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭ 0y <()1,,a a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ y a (),1-∞-()1,0-()1,+∞1a -1b -1c -a b c>>a c b >>c a b >>c b a >>()23f x -[]3,3-()2f x +[]0,5()f t t =()g x =2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()13f =y =[)0,∞+a b c ∈R a b >22ac bc >a b >33a b >0a b >>11a a b b+>+0a b >>22a b >a ∈Z x 2380x x a -+≤a 3-1-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，且，则实数的值为______.13.已知函数，则______；若当时，，则的最大值是______14.已知集合，，若，实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知集合，，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，，求实数的值.16.（本小题满分15分）请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）横线中，并完成解答.已知集合，.（1）当时，求；（2）求集合；（3）当时，若是成立的_____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.17.（本小题满分15分）某商品2023年的价格为8元/件，年销量是件.现经销商计划在2024年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件.经测算，该商品价格下降后，新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，且比例系数为.该商品的成本价为3元/件.（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益（单位：元）与实际价格（单位：元/件）的函数解析式；（2）设，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长20%？18.（本小题满分17分）已知函数，，，.（1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值；（2）当时，图像始终在图像上方，求实数的取值范围；{}20,,32A m m m =-+2A ∈m ()223f x x x =--()()22f f =[],x a b ∈()45f x -≤≤b a -{}1A x x =≥B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩A B B = a (){}222110A x x a x a =+++-={}240B x x x =+={}2340C x x x =+-=A B A = a A B ≠∅ A C =∅ a {}24120A x x x =--≤{}22210B x x x m =-+-≤4m =(),A B A B R ðB 0m >x A ∈x B ∈m m m a k y x 2k a =()221f x ax x b =+++a b ∈R ()1g x x =-x ()0f x >{}42x x x <->或a b 0b =()f x ()g x a（3）当时，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.（1）求函数的不动点；（2）若函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围；（3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数的取值范围.1a =[]12,2x ∈-[]22,2x ∈-()()12g x f x =b ()f x 0x ∈R ()00f x x =0x ()f x 23y x x =--()221y x a x =-++1x 2x 1221x x x x +()()211g x mx m x m =-+++()0,2m数学答案一、单项选择题（每小题5分）1-8. BADDACCA二、选择题（每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分）有选错的得0分）9. BCD 10. BD 11. BCD三、填空题（每小题5分）12.3 13.12；6 14.四、解答题15.（本小题满分13分）解：（1）因为，所以.又因为，，所以，或，或，或当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得.综上，实数的取值范围为.（2）因为，，，且，，所以，所以，所以.当时，，此时，不合题意，舍去；当时，，此时，合题意.综上，实数的取值为.16.（本小题满分15分）⎫+∞⎪⎪⎭A B A = A B ⊆(){}222110A x x a x a =+++-={}{}2404,0B x x x =+==-A =∅{}4A =-{}0A ={}4,0A =-A =∅()()224141880a a a ∆=+--=+<1a <-{}4A =-()2218116a a ⎧-+=-⎨-=⎩a {}0A =()221010a a ⎧-+=⎨-=⎩1a =-{}4,0A =-()221410a a ⎧-+=-⎨-=⎩1a =a (]{},11-∞- (){}222110A x x a x a =+++-={}4,0B =-{}{}23404,1C x x x =+-==-A B ≠∅ A C =∅ 0A ∈210a -=1a =±1a ={}4,0A =-{}4A C =-≠∅ 1a =-{}0A =A C =∅ a 1-解：（1）当时，，因为，所以，所以，所以.（2）由，得，当时，；当时，；当时，.（3）当时，由（2）知；若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，则有，且等号不能同时取到，解得，所以实数的取值范围是.若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，则有，且等号不能同时取到，解得，所以实数的取值范围是.若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，则有，方程组无解，所以不存在满足条件的实数.17.（本小题满分15分）解：（1）设该商品价格下降后为元/件，则由题意可知年销量增加到件，4m ={}[]221503,5B x x x =--≤=-{}[]241202,6A x x x =--≤=-[]2,5A B =- ()(),35,B =-∞-+∞R ð()()[),32,A B =-∞--+∞R ð22210x x m -+-≤()()110x m x m ⎡⎤⎡⎤---+≤⎣⎦⎣⎦0m ={}1B =0m >[]1,1B m m =-+0m <[]1,1B m m =+-0m >[]1,1B m m =-+x A ∈x B ∈A B 1216m m -≤-⎧⎨+≥⎩5m ≥m [)5,+∞x A ∈x B ∈B A 1216m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤m (]0,3x A ∈x B ∈A B 1216m m -=-⎧⎨+=⎩m x 4k a x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭故经销商的年收益，.（3）当时，依题意有，化简得，即，解得或.又，故，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长20%.18.（本小题满分17分）解：（1）因为关于的不等式的解集为，所以且方程的两根为，，所以，解得，.（2）当时，，因为函数的图像始终在图像上方，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，当时，恒成立，所以合题意；当时，依题意得，解得.综上，实数的取值范围为.（3）当时，，记.当时，，所以当时，()34k y a x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭5.57.5x ≤≤2k a =()()()383120%4k a x a x ⎛⎫+-≥-⨯+⎪-⎝⎭2113004x x x -+≥-()()5604x x x --≥-6x ≥45x <≤5.57.5x ≤≤67.5x ≤≤x ()0f x >{}42x x x <->或0a >2210ax x b +++=14x =-22x =121202218a x x a b x x a ⎧⎪>⎪⎪+=-=-⎨⎪+⎪==-⎪⎩1a =9b =-0b =()221f x ax x =++()f x ()g x ()()f x g x >x ∈R 2211ax x x ++>-x ∈R 220ax x ++>x ∈R 0a =20>0a ≠0180a a >⎧⎨∆=-<⎩18a >a {}1,08⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ []2,2x ∈-()[]13,1g x x =-∈-[]3,1A =-1a =()221f x x x b =+++[]2,2x ∈-，记.因为对任意，总存在，使得成立，所以，所以，解得.实数的取值范围为.19.（本小题满分17分）解：（1）由题意知，即，则，解得，，所以不动点为和3.（2）依题意，有两个不相等的实数根、，即方程有两个不相等的实数根、，所以，解得，或，且，，，所以的取值范围为.（3）由，得，由于函数在上有且只有一个不动点，即在上有且只有一个解，令，①，则，解得；②，即时，方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去；③，即时，方程可化为，另一个根为1，满足；()()[]22211,9f x x x b x b b b =+++=++∈+[]9,9B b =+[]12,2x ∈-[]22,2x ∈-()()12g x f x =A B ⊆391b b ≤-⎧⎨+≥⎩83b -≤≤-b []8,3--23x x x --=2230x x --=()()310x x -+=11x =-23x =1-()221x a x x -++=1x 1x 2x ()2310x a x -++=1x 2x ()2234650a a a ∆=+-=++>5a <-1a >-123x x a +=+121x x =()()2322,a =+-∈+∞1221x x x x +()2,+∞()()211g x mx m x m x =-+++=()2210mx m x m -+++=()g x ()0,2()2210mx m x m -+++=()0,2()()221h x mx m x m =-+++()()020h h ⋅<()()110m m +-<11m -<<()00h =1m =-20x x --=1-()20h =1m =2320x x -+=④，即，解得，（ⅰ）当，满足；（ⅱ）当，不符合题意，舍去；综上，的取值范围是.0∆=()()22410m m m +-+=m =m =()2222m m x m m -++=-==m =()2222m m x m m -++=-==m (]1,1-。

如东县2008～2009学年第一学期期末调研考试试卷高 一 数 学 命题人：张建军一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，集合A B U ⋃=，集合A B φ⋂=，则 U C B = ▲ ．2．化简：sin168sin 72sin102sin198-=▲ ．3．已知函数()y g x = (1,1)x m m ∈-++为奇函数，则函数4()5f x x mx =++的奇偶性为▲ ．4．若角120°的终边上有一点(4,)a -，则a 的值是 ▲ ．5．计算：5121log 24lg559--⎛⎫- ⎪⎝⎭= ▲ ．6．已知函数3y kx =+（k 为参数）为实数集R 上的减函数，则函数sin y k x = (,)2x ππ∈的单调性为 ▲ ．7．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东25︒方向行驶，B 向西偏北55︒方向行驶，若A 的航行速度为25/海里小时，B 的速度是A 的35，一小时后，A ，B 两船的距离为 ▲ 海里．8．函数()sin()(00||)2f x A x A πωφωφ=+>><，，的一段图象过点(0，1)，如图所示,则函数()f x 的解析式为 ▲ ．9．集合sin ,0,2A y y x x π⎧⎫⎛⎤==∈⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭,集合,(0,)1x B y y x x ⎧⎫==∈+∞⎨⎬+⎩⎭,则集合,A B 间的包含关系为 ▲ ．10．给出函数)3(log )3(),1()3(,)21()(2f x x f x x f x，则⎪⎩⎪⎨⎧<+≥== ▲ ． 11．已知函数()sin f x x x =⋅ (x R ∈)，若A 、B 是钝角三角形的两个锐角，则： (sin )f A - (cos )f B -．（填“>”或“=”或“<”）12．函数2()129f x ax x =-+在区间[1，2]上有且只有一个零点，则a 的范围是 ▲ ． 13．函数)2sin(5)(ϕ+=x x f ，若5)(=a f ，则)12(π+a f )65(π+a f .（填“>”或“=”或“<”）14．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数()[]f x x x =-， 那么下列命题中正确的序号是 ▲ ．（1）函数()f x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程()12f x =，有无数解； （3）函数()f x 是周期函数； （4）函数()f x 是增函数.二. 解答题：本大题共6小题，共90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题14分）记函数()f x =A ，函数[]()lg (1)(2)g x x a a x =---,(1)a <的定义域为B （Ⅰ）求A 、B ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.16．（本小题14分）已知函数2()sin(2)3f x x x π=--(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期及单调增区间；(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝12sin α的值;（Ⅲ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,2πx ，函数)(x f 的最大值. 17．（本小题14分）在ABC ∆中，若sin cos B B += （1）求角B 的大小；（2）又若tan tan 3A C +=，且A C ∠>∠，求角A 的大小． 18．（本小题16分）定义在(0,)+∞上的函数()f x ，对于任意的,(0,)m n ∈+∞，都有()()()f m n f m f n ⋅=+成立，当1>x 时，0<)(x f .（Ⅰ）计算(1)f ；（Ⅱ）证明()f x 在(0,)+∞上是减函数； （Ⅲ）当1(2)2f =-时，求满足2(3)1f x x ->-的变量x 的取值范围. 19．（本小题16分）某矩形花园ABCD ，2AB =,AD H 是AB 的中点，在该花园中有一花圃其形状是以H 为直角顶点的内接Rt △HEF ，其中E 、F 分别落在线段BC 和线段AD 上如图．分别记BHE ∠为θ，EHF Rt ∆的周长为l ，EHF Rt ∆的面积为S(1)试求S 的取值范围；(2)θ为何值时l 的值为最小；并求l 的最小值．20．（本小题16分）已知函数4)3()(2++-=x a ax x f .(1)若)(x f y =的两个零点为βα,，且满足0<α<2<β<4，求实数a 的取值范围；(2)若函数)(log 1x f y a +=存在最值，求实数a 的取值范围；并指出最值是最大值还是最小值如东县2008～2009学年第一学期期末调研考试试卷高一数学参考答案一. 填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分。

2008～2009年度第一学期期末调研考试高一数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分. 把答案填写在答题卡相应位置. 1． 设{}12,1,,1,2,3α∈--，则使y x =α为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值为 ▲ .2． 设全集U =R ，集合{|30},{|1},A x x B x x =-<<=<-则()U A B = ð ▲ . 3． 已知()4sin ,35πα+=则()cos 6πα-= ▲ .4． 已知向量a 与向量b 的夹角为2π3，且4,==a b 那么(2)⋅+b a b 的值为 ▲ .5． 若向量(2,3),(1,2),=-=-a b 向量c 满足,1⊥⋅=c a b c ，则c 的坐标为 ▲ .6． 用二分法求函数()34x f x x =--的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得()34x f x x =--一个零点的近似值(精确到0．01)为 ▲ . 7． 已知函数()f x 由下表给出，则满足(())2f f x ≤的x 的值是 ▲ .8． 已知函数)()1f x a =≠在[1,0]-上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ▲ .OA 与OB 的夹角为2π，OC 与OB的夹角为π，1,OA OB OC ===(,OC OA OB =+∈ λμλμR)， 则+λμ的值为 ▲ .10．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，πcos 2,0,()sin ,0π,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤ 则()154f -π= ▲ . 11．实数x 满足3log 1sin x =+θ，则()2log 19x x -+-= ▲ .12．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()2y f x π=+为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述：①()y f x =是周期函数；②()2y f x π=+的图象可以由()y f x =的图象向右平移π2得到；③(,0)-π是()y f x =的图象的一个对称中心； ④当π2x =时，()y f x =一定取最大值．其中描述正确的是 ▲ .13．已知函数()()π()1cos π202g x x =-+<<ϕϕ的图象过点()1,22，若有4个不同的正数i x满足()(01)i g x M M =<<，且4(1,2,3,4)i x i <=，则1234x x x x +++等于 ▲ . 14．设()f x 是偶函数，其定义域为[4,4]-，且在[0,4]内是增函数，又(3)0f -=，则()0sin f x x≤的解集是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分12分)已知某皮鞋厂一天的生产成本C (元)与生产数量n (双)之间的函数关系是C =4000+50n . 若每双皮鞋的售价为90元，且生产的皮鞋全部售出. 试写出这一天的利润P 关于这一 天的生产数量n 的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本．16．(本小题满分12分)函数()f x =A ，关于x 的不等式()212(xa x a -->∈R)的解集为B ，求使A B B = 的实数a 取值范围．17．(本小题满分16分)已知函数22sin 2sin cos 3cos ,y x x x x x =++∈R. (1)求该函数的单调增区间；(2)求该函数的最大值及对应的x 的值； (3)求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．18．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD 中，(BC AD =∈ λλR)，2,AB AD CB CD ==-=且 △BCD 是以BC 为斜边的直角三角形. 求： (1)λ的值； (2)CB BA ⋅的值．19．(本小题满分18分)已知函数()π()sin ()f x x x =+∈R ω，且()π 1.f =A BCD(1)求ω的最小正值及此时函数()y f x =的表达式；(2)将(1)中所得函数()y f x =的图象结果怎样的变换可得11sin 22y x =的图象；(3)在(1)的前提下，设()π2π5π34,,,,(),()636355f f ⎡⎤∈∈--==-⎢⎥⎣⎦παβαβ，①求tan α的值；②求cos 2()1--αβ的值．20．(本小题满分18分)已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．高一期末数学参考答案及评分标准200901一、填空题(5分×14＝70分)1. －12. [)1,0-3. 454. 05. ()3,2--6. 1.567. 2，38. (0，1)9. 611. 3 12. ①③13. 10 14. (π,3](0,3](π,4]--二、解答题 15.(12分)由题意得()90(400050)p n n n =-+404000().n n *=-∈N-----------------------6分要不亏本，必须()0,p n ≥ 解得100n ≥.---------------------10分答：每天至少生产100双皮鞋，才能不亏本.---------------------12分16.(12分)由201x x +≥-解得2x -≤或1x > 于是(,2](1,).A =-∞-+∞ -----------------------4分()()()2211122.222xxa xa xx a x x a +-->⇔>⇔<+⇔<所以(,)B a =-∞.-----------------------8分因为,A B B = 所以B A ⊆，所以2a -≤，即a 的取值范围是(],2.-∞----------------------12分17.(16分)22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++3(1cos2)1cos2sin 222x x x +-=++sin 2cos 22x x =++()π224x =++.-----------------------5分(1)由πππ2π22π242k x k -+++≤≤，得()3ππππ88k x k k -++∈Z ≤≤.所以函数的单调增区间为()3πππ,π.88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z-----------------------8分(2)令ππ22π42x k +=+， 得()ππ8x k k =+∈Z ,所以当()ππ8x k k =+∈Z 时，max 2y =---------------------12分(3)由ππ2π42x k +=+，得()ππ82k x k =+∈Z ,所以该函数的对称轴方程为()ππ82k x k =+∈Z .由π2π4x k +=，得()ππ82k x k =-+∈Z ,所以，该函数的对称中心为()ππ,0()82k k -+∈Z .---------------------16分18. (14分)(1)因为BC AD =λ，所以//BC AD ，且BC AD = λ.-----------------------2分因为2,AB AD == 所以2BC =λ.又CB CD -= ，所以BD =-----------------------5分作AH BD ⊥于H ，则H 为BD 的中点.在Rt △AHB 中，得cos BH ABH AB ∠=，于是30.ABH ∠=所以30ADB DBC ∠=∠= .而90BDC ∠= ，所以cos30BD BC = ，即λ⋅解得 2.λ=----------------10分(2)由(1)知，60ABC ∠= ，4CB =，所以CB 与BA的夹角为120 .故cos1204CB BA CB BA ⋅=⋅=-. -----------------------14分19.(18分)(1) 因为()π16f =，所以()ππsin 163⋅+=ω，-----------------------2分于是πππ+2π()632k k ⋅=+∈Z ω，即 112()k k =+∈Z ω，故当k =0时，ω取得最小正值1. -----------------------4分此时()π()s 3f x x=+. ` -----------------------5分(2)(方法一)先将()πsin 3y x =+的图象向右平移π个单位得y =sin x 的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得1sin 2y x =的图象；最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变)得11sin 22y x =的图象.-----------------------8分(方法二)先将()πsin y x =+的图象各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得()1πsin 23y x =+的图象；再将所得图象向右平移2π3个单位得1sin 2y x =的图象;最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变)得11sin y x =的图象.(3)因为34(),()55f f ==-αβ，所以()()π3π4sin ,sin 3535+=+=-αβ. 因为()π2π5π,,,,⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦παβ 所以()ππππ,π,,03232⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎣⎦αβ.于是()()π4π3co s35+=αβ -----------------------11分 ①因为()()()πsin 3π3tan 34πcos 3++==-+ααα，所以()()()ππtan tan 33ππtan tan 33ππ1tan tan 33+-⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦++⋅αααα()34314--===+- -----------------------15分②因为()()()ππsin sin 33⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦αβαβ()()()()ππππsin cos cos sin 3333=++-++αβαβ()()33447,555525=⋅--⋅-=- 所以()22798cos2()12sin ()2.--=--=-⨯-=-αβαβ-----------------------18分20.(18分)(1)因为()y f x =为偶函数， 所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ，即 99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立.于是9999912log (91)log (91)log log (91)9x xxx x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12k =-.-----------------------3分(2)由题意知方程911log (91)22x x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解.令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.因为99911()log log 199xx x g x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x <<，从而121199x x >. 于是129911log 1log 199x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12()()g x g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数.因为1119x +>，所以91()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.所以b 的取值范围是(],0.-∞ -----------------------10分(3)由题意知方程143333x x xa a +=⋅-有且只有一个实数根． 令30x t =>，则关于t 的方程24(1)10a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.若a =1，则34t =-，不合, 舍去；若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由30a ∆=⇒=或－3；但31a t =⇒=-，不合，舍去；而13a t =-⇒=；方程(*)的两根异号()()110 1.a a ⇔-⋅-<⇔>综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞ ． ----------------------- 18分。

南京市高一数学上册期末调研试卷一、填空题：共70分．1．若集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x | x ＋1＞0}，则A ∩B ＝▲________． 2．函数y ＝log 2(1－x )的定义域为▲________．3．函数f (x )＝3sin(3x ＋π4)的最小正周期为▲________．4．若角α的终边经过点P (－5，12)，则cos α的值为▲________． 5．若幂函数y ＝x α(α∈R )的图象经过点(4，2)，则α的值为▲________． 6．若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为▲________cm 2．7．设e 1、e 2是不共线的向量．若向量e 1－4e 2与k e 1＋e 2共线，则实数k 的值为▲________．8．定义在区间[0，5π]上的函数y ＝2sin x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数为▲________．9．若a ＝log 32，b ＝20.3，c ＝log 152，则a ，b ，c 的大小关系用“＜”表示为▲________．10．若f (x )＝2x ＋a ·2－x 是偶函数，则实数a 的值为▲________．（第11题图）11．如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点．若AE →·DB →＝－2，则AE →·BE →的值为▲________．12．已知函数f (x )对任意实数x ∈R ， f (x ＋2)＝f (x )恒成立，且当x ∈[－1，1)时，f (x )＝2x +a ．若点P (2017，8)是该函数图象上的一点，则实数a 的值为▲________．13．设函数f (x )＝5x2－3x 2＋2，则使得f (1)＞f (log 3x )成立的x 的取值范围为▲________．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2m ，x ≥m ，－x ，－m ＜x ＜m ，x ＋2m ，x ≤－m ，其中m ＞0．若对任意实数x ，都有f (x )＜f (x ＋1)成立，则实数m 的取值范围为▲________．二、解答题：共90分． 15．（本小题满分14分） 已知sin α＋cos αsin α－2cos α＝2．（1）求tan α； （）求cos(2－)·cos(－＋)的值．16．（本小题满分14分）已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，－4)．（1）求(a＋b)·(2a－b)的值；（2）求向量a与a＋b的夹角．17．（本小题满分14分）如图，在一张长为2a米，宽为a米(a＞2)的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米(0＜x≤1)的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V(x)表示该铁盒的容积．（1）试写出V(x)的解析式；（2）记y＝V(x)x，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且点P (π6，2)是该函数图象的一个最高点． （1）求函数f (x )的解析式；（2）若x [－π2，0]，求函数y ＝f (x )的值域；（3）把函数y ＝f (x )的图像向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )在[0，π4]上是单调增函数，求θ的取值范围．（第17题图）19．（本小题满分16分）如图，在△ABC 中，已知CA ＝1，CB ＝2，∠ACB ＝60︒． （1）求|AB →|；（2）已知点D 是边AB 上一点，满足AD →＝λAB →，点E 是边CB 上一点，满足BE →＝λBC →．①当λ＝12时，求AE →·CD →；②是否存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．A20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x －a ，g (x )＝a |x |，a ∈R ． （1）设F (x )＝f (x )－g (x )．①若a ＝12，求函数y ＝F (x )的零点；②若函数y ＝F (x )存在零点，求a 的取值范围．（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，x ∈[－2，2]．若对任意x 1，x 2∈[－2，2]，|h (x 1)－h (x 2)|≤6恒成立，试求a 的取值范围．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1，2} 2．(－∞，1) 3．2π3 4．－513 5．126．97．－148．5 9．c ＜a ＜b 10．111．3 12．413．(0，13)∪(3，＋∞) 14．(0，14)二、解答题：本大题共6小题，共90分．15． 解：（1）因为sin α＋cos αsin α－2cos α＝2，化简得sin α＝5cos α． ……………………………2分当cos α＝0时不符合题意，所以cos α≠0， 所以tan α＝5． ………………………………………………6分（2）cos(π2－α)·cos(－π＋α)＝－sin αcos α ……………………………8分＝－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝－tan αtan 2α＋1…………………………………………12分 ＝－526． ……………………………………………14分16．解：（1）因为a ＝(－2，1)，b ＝(3，－4)，所以a ＋b ＝(1，－3)，2a －b ＝(－7，6)， ……………………4分所以(a ＋b )·(2a －b )＝1×(－7)＋(－3)×6＝－25． ……………………6分（2）由（1）可知a ＋b ＝(1，－3)，且a ＝(－2，1)， 所以|a |＝5，|a ＋b |＝10，a ·(a ＋b )＝－5． ……………………9分 设向量a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝－22． ……………………11分 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即向量a 与a ＋b 的夹角为3π4． ……………………14分 17．解：（1）依题意，y ＝x (a －2x )(2a －2x )，x ∈(0，1]． ………………………………4分（2）y ＝V (x )x＝(a －2x )(2a －2x ) …………………………………6分＝4x 2－6ax ＋2a 2．因为对称轴x ＝34a ，且a ＞2 ，所以x ＝34a ＞32＞1， …………………………8分所以当x ＝1，y min ＝4－6a ＋2a 2． ………………………12分答：当x ＝1时，y 最小，最小值为4－6a ＋2a 2． …………………………14分 18． 解：（1）由T ＝2πω，得2πω＝π，所以ω＝2．因为点P (π6，2)是该函数图象的一个最高点，且A ＞0，所以A ＝2．…………2分此时f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又将点P (π6，2)的坐标代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝2k π＋π2，k ，即φ＝2k π＋π6，k ∈． ………………………4分又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6．综上，f (x )＝2sin(2x ＋π6)． ………………………6分 （2） 因为x ∈[－π2，0]，所以2x ＋π6∈[－5π6，π6]， ………………………8分 所以sin(2x ＋π6)∈[－1，12]，即2sin(2x ＋π6)∈[－2，1]，所以函数y ＝f (x )的值域为[－2，1]． ………………………10分（3）y ＝g (x )＝2sin[2(x －θ)＋π6]＝2sin(2x －2θ＋π6)． ………………………12分 因为0≤x ≤π4，所以π6－2θ≤2x －2θ＋π6≤2π3－2θ，所以⎩⎨⎧π6－2θ≥2kπ－π2，2π3－2θ≤2kπ＋π2，k ∈，解得－k π＋π12≤θ≤－k π＋π3，k ∈． ………………………14分因为0＜θ＜π2，所以k ＝0，所以π12≤θ≤π3． ………………………16分 19．解：（1）因为AB →＝CB →－CA →， ………………………2分所以AB →2＝(CB →－CA →)2＝CB →2－2CB →·CA →＋CA →2＝22－2×2×1×12＋12＝3， 所以|AB →|＝3． ………………………4分（2）解法1：①当λ＝12时，AE →＝12CB →－CA →，CD →＝12(CB →＋CA →)． ……………………6分所以AE →·CD →＝(12CB →－CA →)·12(CB →＋CA →)＝12×(12CB →2－12CB →·CA →－CA →2) ＝12×(12×22－12×2×1×12－12)＝14． …………………8分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为BE →＝λBC →，所以AE →＝CE →－CA →＝(1－λ)CB →－CA →． …………………10分因为AD →＝λAB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝λCB →＋(1－λ)CA →． ……………………12分所以AE →·CD →＝[(1－λ)CB →－CA →]·[λCB →＋(1－λ)CA →]＝λ(1－λ)CB →2＋(λ2－3λ＋1)CB →·CA →－(1－λ)CA →2＝λ(1－λ)×22＋(λ2－3λ＋1)×2×1×12－(1－λ)×12＝－3λ2＋2λ＝0． ………………………14分解得λ＝23或λ＝0． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，故存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分解法2：由（1）得CA ＝1，CB ＝2，AB ＝ 3，满足CB 2＝AB 2＋CA 2， 所以∠CAB ＝90︒．如图，以A 原点，AB 边所在直线为x 轴，AC 边所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B ( 3，0)，C (0，1)． (6)分①当λ＝12时，AE →＝( 32，12)，CD →＝( 32，－1)， 则AE →·CD →＝14．………………………10分②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为AE →＝( 3(1－λ)， λ)，CD →＝( 3λ，－1)，所以AE →·CD →＝－3λ2＋2λ＝0， ………………………14分解得λ＝0或λ＝23．因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，所以存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分20．解：（1）F (x )＝f (x )－g (x )＝x －a －a |x |．①当a ＝12时，由F (x )＝0，得x －12－12|x |＝0．当x ≥0时，x －12－12x ＝0，解得x ＝1，满足条件．当x ＜0时，x －12＋12x ＝0，解得x ＝13，不满足条件．综上，函数y ＝F (x )的零点是1． ………………………2分②F (x )＝0，则x －a －a |x |＝0，即a (1＋|x |)＝x ．因为1＋|x|≠0，所以a＝x1＋|x|．………………………4分设φ(x)＝x1＋|x|，当x＞0时，φ(x)＝x1＋x＝1－11＋x，所以φ(x)∈(0，1)．………………………6分因为φ(－x)＝－φ(x)，所以φ(x)是奇函数，所以当x＜0时，φ(x)∈(－1，0)．又因为φ(0)＝0，所以当x∈R，φ(x)∈(－1，1)，所以a∈(－1，1)． (8)分（2）设函数h(x)的最大值和最小值分别是M，N．因为对任意x1，x2∈[－2，2]，| h(x1)－h(x2)|≤6成立，所以M－N≤6． (10)分解法1：因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝x－a＋a|x|，x∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当a ＞1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＜0，所以h (x )在(－∞，0)单调减．因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2)，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (0)＝－a ，所以a ＋2－(－a )≤6，解得a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． ………………………12分②当a ＝1时，h (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，－1， x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝3，N ＝h (x )min ＝－1，所以3－(－1)≤6恒成立，所以 a ＝1符合题意．③当－1＜a ＜1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以(a ＋2)－(a －2)＝4≤6恒成立，所以－1＜a ＜1符合题意．④当a ＝－1时，h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≥0，2x ＋1，x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝1，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝－3，所以1－(－3) ＝4≤6恒成立，所以a ＝－1符合题意． ……………………14分⑤当a ＜－1时，因为a ＋1＜0，所以h (x )在(0，＋∞)单调减；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (0)＝－a ，因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2) ，所以N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以－a －(a －2)≤6，解得a ≥－2．又因为a ＜－1，所以－2≤a ＜－1．综上，a 的取值范围为[－2，2]． ……………………16分解法2：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．可知函数的图象是由两条折线段构成．所以函数的M 和N 分别为h (－2)＝－2＋a ，h (0)＝－a ，h (2)＝2＋a 三个值当中的两个． 显然2＋a ＞－2＋a ． 当a ≤－1时，2＋a ≤－a ；当a ＞－1时，2＋a ＞－a ． 当a ≤1时，－2＋a ≤－a ；当a ＞1时，－2＋a ＞－a ． 所以，①当a ＞1时，M ＝2＋a ，N ＝－a ，M －N ＝2＋2a ， 因为M －N ≤6，所以a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2．…………………12分 ②当－1＜a ≤1时，M ＝2＋a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝4． 因为M －N ≤6恒成立，所以－1＜a ≤1满足条件．…………………14分 ③当a ≤－1时，M ＝－a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝2－2a ． 因为M －N ≤6，所以a ≥－2．又因为a ≤－1，所以－2≤a ≤－1.综上，a 的取值范围为[－2，2]．………………………16分 解法3：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]， 所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当0≤x≤2，h(x)＝(1＋a)x－a．若a＞－1，则1＋a＞0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是增函数．所以h(x)max＝h(2)＝2＋a，h(x)min＝h(0)＝－a．若a＜－1，则1＋a＜0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(0)＝－a，h(x)min＝h(2)＝2＋a．若a＝－1，h(x)＝1，所以h(x)max＝h(x)min＝1．②当－2≤x＜0，h(x)＝(1－a)x－a．若a＜1，则1－a＞0，所以h(x)＝(1－a)x－a是增函数．所以h(x)＜h(0)＝－a，h(x)min＝h(－2)＝－2＋a．若a＞1，则1－a＜0，所以h(x)＝(1－a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(－2)＝2－3a＝－2＋a，h(x)＞h(0)＝－a．若a＝1，h(x)＝－1，所以h(x)max＝h(x)min＝－1．………………12分显然2＋a＞－2＋a．因为当a≤－1时，2＋a≤－a；当a＞－1时，2＋a＞－a；当a≤1时，－2＋a≤－a；当a＞1时，－2＋a＞－a．………………………14分所以，(Ⅰ)当a＞1时，M＝2＋a，N＝－a，M－N＝2＋2a．因为M－N≤6，所以a≤2．又因为a＞1，所以1＜a≤2．(Ⅱ)当－1＜a≤1时，M＝2＋a，N＝－2＋a，M－N＝4．因为M－N≤6恒成立，所以－1＜a≤1满足条件．(Ⅲ)当a≤－1时，M＝－a，N＝－2＋a，M－N＝2－2a．因为M－N≤6，所以a≥－2．又因为a≤－1，所以－2≤a ≤－1．综上，a的取值范围为[－2，2]．………………………16分。

2023-2024学年江苏省南京市高一上册期末数学试题一、单选题1．函数()ln 1y x =+的定义域为（）A ．()1,+∞B ．()1,-+∞C ．[)1,-+∞D ．(),1-∞-【正确答案】B【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式，即可解得函数()ln 1y x =+的定义域.【详解】令10x +>，解得1x >-，故函数()ln 1y x =+的定义域为()1,-+∞.故选：B.2．“1x >”是“21x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为1x >，则21x >，但是21x >不一定有1x >，所以“1x >”是“21x >”成立的充分不必要条件．故选：A ．3．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.500.992.013.98y0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x=【正确答案】D【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．【详解】解：根据0.50x =，0.99y =-，代入计算，可以排除A ；根据 2.01x =，0.98y =，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入检验，函数2log y x =最接近，可知满足题意故选：D ．本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C5．已知函数()12cos ,0,0x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪≥⎩，则π3f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）AB．2C ．4D ．14【正确答案】B【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：πππ1cos cos 3332f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12π113222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.6．函数()2sin f x x x =的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数在()0,πx ∈时函数值的正负，从而得出结论．【详解】由函数()2sin f x x x =定义域为R ,()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-,故()2sin f x x x =为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C 和D ；又函数()2sin f x x x =在()0,πx ∈时,函数()2sin 0f x x x =>，可以排除B ，所以只有A 符合．故选:A ．7．在科学技术中，常常使用以e 2.71828...=为底的对数，这种对数称为自然对数.若取3e 20≈，7e 1100≈，则ln 55≈（）A ．73B ．113C ．4D ．6【正确答案】C【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得.7431100e ln 55ln ln ln e 420e=≈==故选：C.8．函数()2log 4f x x x =+-的零点为1x ，函数()()()log 151a g x x x a =+-->的零点为2x ，若211x x ->，则实数a 的取值范围是（）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【正确答案】D【分析】根据函数单调性,再由211x x ->确定范围,即可确定实数a 的取值范围.【详解】已知()2log 4f x x x =+-,()()()log 151a g x x x a =+-->,函数()2log 4f x x x =+-的零点为1x ，函数()()()log 151a g x x x a =+-->的零点为2x ，则()12122log 4log 150a x x x x +-=+--=()12122log 41log 14a x x x x +-=-+--()12122log 1log 1a x x x x +=-+-121x x <-又因为2log y x x =+,()()log 111a y x x a =+-->这两函数均单调递增，当121x x <-时，()212log >log 1a x x -,解得2a >.故选:D.二、多选题9．已知角θ的终边经过点()()2,0P a a a >，则（）A ．sin θ=B ．cos θ=C ．1tan 2θ=D ．tan 2θ=【正确答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角θ的终边经过点()()2,0P a a a >，所以sin θ=A 正确；cos θ=B 错误；1tan 22a a θ==，故C 正确，D 错误.故选：AC.10．若01m a b <<<<，则（）A ．a bm m <B ．m m a b <C ．log log m m a b >D ．b aa mb m>++【正确答案】BCD【分析】对于A ：构造函数()x f x m =，利用单调性判断；对于B ：构造函数()mg x x =，利用单调性判断；对于C ：构造函数()log m h x x =，利用单调性判断；对于D ：利用作差法比较大小.【详解】对于A ：因为01m <<，所以()xf x m =单调递减.因为a b <，所以a b m m >.故A 错误；对于B ：因为01m <<，所以()mg x x =单调递增.因为a b <，所以m m a b <.故B 正确；对于C ：因为01m <<，所以()log m h x x =单调递减.因为a b <，所以log log m m a b >.故C 正确；对于D ：因为()()()()()()220b a b a m b a b bm a am a m b m a m b m a m b m -+-+---==>++++++，所以b aa mb m>++.故D 正确.故选：BCD11．已知函数()1tan tan f x x x=+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的最小值为2D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数【正确答案】AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得()2sin 2f x x=，再利用周期函数的定义与诱导公式即可判断A 正确；举反例即可排除B ；取特殊值计算即可判断C 错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D 正确.【详解】对于A ，因为()221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2x x x x f x x x x x x x x+=+=+==，设()f x 的正周期为T ，则()()f x T f x +=，即()22sin 2sin 2T x x=+，所以()sin 22sin 2T x x +=，由诱导公式可得22π,Z T k k =∈，即π,Z T k k =∈，又0T >，故π0k >，即0k >，则1k ≥，故ππT k =≥，所以T 的最小值为π，即()f x 的最小正周期为π，故A 正确；对于B ，因为ππ1ππ1tan 2,tan 2ππ4444tan tan 44f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，又π,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭与π,24⎛⎫⎪⎝⎭不关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，故B 错误；对于C ，因为π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2不是()f x 的最小值，故C 错误；对于D ，因为ππ42x <<，所以π2π2x <<，故sin 2y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且sin 20x >，又2y x=在()0,∞+上单调递减，所以()2sin 2f x x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故D 正确.故选：AD.12．已知函数()y f x =，对于任意,R x y ∈，()()()f x f x y f y =-，则（）A ．()01f =B ．()()22f x f x =C ．()0f x >D ．()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥【正确答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.【详解】令()()()()001f x x y f f f x =⇒=⇒=，故A 正确；由已知()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x y f x y f x f y f y =-⇒=-⇒+=，①令()()(),0,11,x f x a a =∈+∞ 满足题干要求，()()2222,,x xf x a f x a ==则()()22f x f x ≠，故B 错误；由①可知，令2x x y ==，则()2222x x x f x f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为()()()f x f x y f y =-，则02x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以()202x f x f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确；因为()0f x >，所以()()f x f y +≥=又由①，令2x y x y +==，则()2222x y x y x y f x y f f f ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．函数2cos y x =的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可）【正确答案】π,02⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】2cos y x =对称中心的横坐标满足ππ,Z 2x k k =+Î，取0k =得到【详解】2cos y x =对称中心的横坐标满足：ππ,Z 2x k k =+Î，取0k =得到对称中心为π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故π,02⎛⎫⎪⎝⎭14．已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为()3,-+∞，则关于x 的不等式20ax bx +<的解集为_________.【正确答案】()3,0-【分析】先根据不等式的解集可得,a b 的关系及a 的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】由0ax b +>的解集为()3,-+∞，可得0a >，且方程0ax b +=的解为3-，所以3ba-=-，则3b a =，所以()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒-<<，即关于x 的不等式20ax bx +<的解集为()3,0-.故答案为.()3,0-15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当[)0,4x ∈时，()2xf x m =+，若()()202331f f =，则m =___________.【正确答案】1【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由()()4f x f x +=可得的函数()f x 周期为4，则()()()20235054338f f f m =⨯+==+，由()()202331f f =，则()832m m +=+，解得1m =.故1.四、双空题16．对于非空集合M ，定义()0,Φ1,x Mx x M ∉⎧=⎨∈⎩，若A ，B 是两个非空集合，且A B ⊆，则()()1A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦___________；若1sin 2A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，(),2B a a =，且存在x R ∈，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_______________.【正确答案】513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】第一空分x A ∈，x B ∉和x A ∉且x B ∈三种情况来研究，第二空根据已知分析出a 的大致范围，最后列出不等式求解即可.【详解】A B ⊆即x A ∈则一定有x B ∈，所以分三段研究：x A ∈时，()1A x Φ=，()1B x Φ=，即()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦；x B ∉时，()0A x Φ=，()0B x Φ=，即()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦；x A ∉且x B ∈时，()0A x Φ=，()1B x Φ=，即()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦.综上所述，()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦；由已知()()()()21A B A B x x x x Φ+Φ=⇒Φ=Φ=且522,66A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，(),20B a a a =⇒>要满足题意则A B ⋂≠∅，此时区间长度43a π≥时一定满足，故下研究403a π<<时，（其中452366ππππ=+-，即为集合A 的补集中一段的区间长）此时8023a a π<<<，因此满足题意的反面情况有026a a π<<≤或513266a a ππ<≤≤，解得012a π<≤或513612a ππ≤≤，因此满足题意的a 范围为513,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.五、解答题17．求下列各式的值：(1)6213222⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；(2)ln 3213log 8log 9e -+.【正确答案】(1)128(2)8【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数和指数的运算性质求解.【详解】（1）612216723322222128⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭.（2）ln 3213log 8log 9e 3238-+=++=.18．若()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.(1)求sin cos αα⋅的值；(2)若()0,πα∈，求tan α的值.【正确答案】(1)12sin cos 25αα=-(2)43-【分析】（1）化简得到1sin cos 5αα+=，平方得到112sin cos 25αα+=，得到答案.（2）根据12sin cos 025αα=-<得到7sin cos 5αα-=，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得到答案.【详解】（1）()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，则5sin 4cos cos 1ααα+=-+，1sin cos 5αα+=，()21sin cos 25αα+=，112sin cos 25αα+=，则12sin cos 25αα=-；（2）12sin cos 025αα=-<，所以2απ<<π，即sin 0α>，cos 0α<，7sin cos 5αα-===.7sin cos 51sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，sin tan s 43co ααα==-19．已知集合14x A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，()(){}230B x x m x m =---<.(1)若3m =-，求A B ⋃；(2)在①A B B = ，②A B ⋂=∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若_________，求实数m 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)(),0A B ⋃=-∞；(2)选①(]{},73-∞-⋃；若选②[)2,-+∞.【分析】(1)代入m 的值，求出集合B ，用并集的运算性质计算即可.(2)若选①，A B B = 即B A ⊆，则对m 的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到m 的取值范围.若选②，对m 的值进行分类讨论，依次根据A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围.【详解】（1）()36060m x x x =-⇒+<⇒-<<，即()6,0B =-，而441004444x x x x x x x -->⇒>⇒<⇒<-+++，即(),4A =-∞-，所以(),0A B ⋃=-∞；（2）若选①A B B = 即B A⊆3m >时，23m m >+，即()3,2B m m =+，要满足题意则24m ≤-，与前提矛盾，舍；3m =时，23m m =+，即B =∅，符合题意；3m <时，23m m <+，即()2,3B m m =+，要满足题意则34m +≤-，即7m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围是(]{},73-∞-⋃.若选②，若A B ⋂=∅，3m >时，23m m >+，即()3,2B m m =+，要满足题意则A B ⋂=∅，则满足34m +≥-，解得7m ≥-，则3m >；若3m =时，23m m =+，即B =∅，满足A B ⋂=∅；3m <时，23m m <+，即()2,3B m m =+，要满足题意则24,m ≥-解得2m ≥-，即23m -≤<；综上，实数m 的取值范围是[)2,-+∞.20．函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0A ω>>0πϕ<<在一个周期内的图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()()h x f x g x =-，证明：()h x 为偶函数.【正确答案】(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到2,πA T ==，求得2ω=，代入点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ，结合题意得到23ϕπ=，即可求得函数的解析式；（2）由三角函数的图象变换求得()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据偶函数的定义证明即可.【详解】（1）由最值得2A =，由相邻两条对称轴距离得5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，即2ω=，此时()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭得：πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ，即()2π2π3k k ϕ=+∈Z ，又因为0πϕ<<，所以230,k πϕ==，故()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 为偶函数.21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C （单位：万元）与设备占地面积x 之间的函数关系为()()2005C x x x =>+.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y （单位：万元）.(1)要使y 不超过7.2万元，求设备占地面积x 的取值范围；(2)设备占地面积x 为多少时，y 的值最小？【正确答案】(1)[]11,20(2)设备占地面积为215m 时，y 的值最小.【分析】（1）由题意解不等式800.27.25x x ++≤，即可求得；（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意得()800.205y x x x =+>+.要满足题意,则7.2y ≤，即800.27.25x x ++≤，解得.1120x ≤≤即设备占地面积x 的取值范围为[]11,20.（2）805800.21117555x y x x x +=+=+-=++≥=，当且仅当5801555x x x +=⇒=+时等号成立.所以设备占地面积为215m 时，y 的值最小.22．已知函数()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-.(1)利用函数单调性的定义，证明：()f x 在区间[)0,∞上是增函数；(2)已知()()()2449F x fx mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围；(3)当0a ≥，判断()()g x f x 与()()1af x a +-的大小，并注明你的结论.【正确答案】(1)证明见解析(2)(]1,3(3)()()()()1g x af x a f x <+-【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数m 的取值范围；（3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小.【详解】（1）解：120x x ∀>≥，()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为120x x >≥，所以12220x x ->，1221x x +>，所以()()120f x f x ->，即()f x 在[)0,∞+上是增函数.（2）解：由已知()2222244922x x x x F x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设222xxt -+=，由（1）得()f x 在[]20,log m 上单调递增，即11,2m m t ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以()229044904494F x t mt mt t m t t⇔-+⇔+⇔+≥≥≤≤，①32m ≥时，1322m m +≥，即934t t +=≥，当且仅当32t =时取等，此时要满足94m t t +≤恒成立，即min 934m t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≤3m ≤；②1m <1322m m +<，此时94y t t =+在11,2m m ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上单调递减，即min119,1222m m m m t y m m ++==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时要满足94m t t+≤恒成立，即min 1991422m m m t t m m +⎛⎫+=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤，化简得42910m m --≤，此时因为2341122m m +<<⇒<<，此时42910m m --≤恒成立综上所述，实数m 的取值范围是(]1,3.（3）解：()()()()112222111222x xx x xxg x af x a a a f x -+---=-⋅-++2112222222111222222x xxxxx xx xx a a a ⎛⎫++ ⎪=--⋅=--⎪⎪++⎝⎭因为1222xx +≥（当且仅当0x =时取等），所以12212x x+≥，即122102x x +-≤，由已知0a ≥，所以122102xx a ⎛⎫+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭≤，又因为20x >，所以220122xxx>+，即220122xxx-<+，因此()()()()122221101222xx x x x g x af x a a f x ⎛⎫+ ⎪---=--< ⎪⎪+⎝⎭，所以()()()()1g x af x a f x <+-.。

2023-2024学年第一学期六校联合体期初联合调研高二数学一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.已知直线：和直线：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（）A. B.C. D.4.已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）C.5D.105.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则6.有5件工艺品，其中合格品2件，不合格品3件，从中任取2件，若事件的概率为，则事件可以是（）A.恰有1件合格品B.至少1件合格品C.至多有1件合格品D.都不是合格品7.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）A.18B.21C.54D.638.设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）A. B.C. D.10x y ++=45︒60︒120︒135︒1l 30mx y ++=2l ()320mx m y m +-+=5m =12l l ∥ABCD ()1,1A ()3,1B ()3,3C ()2,3D ()2223x y -+=()2222x y -+=()()22222x y -+-=()()22322x y -+-=l 210x my m +--=()2,1P -l m n αβγm α⊥n α∥m n ⊥m n ∥n α∥m α∥γα⊥γβ⊥αβ∥m n ⊥m α⊥n β∥αβ⊥A 910A 1C 22104250x y x y +-++=2C 22680x y x +-+=A B 1C 2C M 1y x =+MA MB +33-3-3二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错得0分.9.对于数据2，6，8，2，3，4，6，9，则这组数据的（ ）A.极差为7B.第25百分位数为2C.平均数为5D.方差为10.设，为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）A.若，是对立事件，则B.若，是互斥事件，，，则C.若，，且，则，是独立事件D.若，是独立事件，，，则11.以下四个命题正确的是（）A.若点在圆外，则实数的取值范围为B.圆上有且仅有3个点到直线：C.圆：和圆：外离D.设为实数，若直线与曲线12.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成角为B.平面C.三棱锥的体积不变D.直线与平面所成角正弦值的取值范围为498A B A B ()1P AB =A B ()13P A =()12P B =()56P A B +=()13P A =()12P B =()13P AB =A B A B ()13P A =()23P B =()19P AB =()1,22222230x y x my m +--+-=m ()(),04,-∞+∞ 222x y +=l 10x y -+=1C 222440x y x y +---=2C 222220x y x y +++-=b y x b =+x =11b -<≤P 1111ABCD A B C D -1BC P B 1C BD 1AB π41.B B D ⊥1ACD 1P ACD -1A P 11AD C B 12⎛⎝三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.13.圆与圆外切，则实数______.14.过直线和直线的交点，且斜率为的直线的一般式方程为______.15.已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为______.16.已知三棱锥的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则______.四、解答题：本大题共6个小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作.2023年2月14日-24日在网上进行问卷调查，该调查是国家卫生城市评审的重要依据，居民可根据自身实际感受，对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，.（1）求的值及这100名居民问卷评分的中位数；（2）若根据各组频率的比例采用分层随机抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取7人，查阅他们的答卷情况，再从这7人中选取2人进行专项调查，求这2人中恰有1人评分在内的概率.18.已知圆：，.（1）过点作圆的切线，求直线的方程（2）过点作直线与圆相交，所得弦长不小于，求直线的斜率的取值范围.19.已知平面内两点，.（1）求过点且与直线垂直的直线的方程.（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.221x y +=()()22316x a y -+-=a =230x y +-=210x y -+=1-C ()()22341x y -+-=2120x y --=P P C PA PB A B PACB S ABC -ABC △SAB ⊥ABC SAC ⊥ABC SA =[)60,65[)65,70[)70,75[)75,80[)80,85[]85,90a [)65,70[)80,85[)80,85C ()()222310x y -+-=()3,0A A C m m A l C l ()6,6A -()2,2B ()1,3P AB l ABC △C AC20.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，交于点，点在线段上，且.（1）证明：平面.（2）求二面角的正弦值.21.某商场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人在该商场临时停车，两人停车都不超过4小时.（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的率为，停车付费多于14元的概率为，求甲临时停车付费恰为6元的概率；（2）若甲、乙两人停车的时长不超过1小时的概率分别为，，停车1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，停车2小时以上且不超过3小时的率分别为，，求甲乙两人停车付费相差16元的概率.22.已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，.（1）求点的轨迹方程；（2）记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.A BCDE -ABE ⊥BCDE AE BE ⊥BCDE BC DE ∥BC BE ⊥AB =2BC =CD =2BE =BD CE O P AB 2AP PB =OP ∥ACD A CD E --135121312131316112C ()2241x y ++=()1,0A P C PQ C Q PQ =P P T 1-l l T MN ()2,0B -l2023-2024学年第一学期六校联合体期初联合调研高二数学一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.【答案】D【解析】：设直线倾斜角为，由题意得直线的斜率为，，.2.【答案】A【解析】：当时，：与：平行；若，则，解得或，所有是充分不必要条件.3.【答案】：C【解析】：当圆过、、三点时，的垂直平分线方程为，的垂直平分线方程为，，线段是直径，长为，圆的方程为.4.【答案】：B【解析】：直线线：过定点，当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为5.【答案】：A【解析】：对于B ，若，，则或；对于C ，当，时，和位置关系不一定；对于D ，若，，，和位置关系不一定，也可以平行.6.【答案】：C【解析】：对于A ，恰有1件合格品的概率为；对于B ，至少1件合格品的概率为；对于C ，至多有1件合格品的概率为；对于D ，都不是合格品的概率为.7.【答案】：Bα1-tan 1α∴=-135α∴=︒5m =1l 530x y ++=2l 15350x y ++=12l l ∥()23m m m -=5m =0m =A B C AB 2x =BC 2y =AB BC ⊥ AC ∴()()22222x y -+-=l 210x my m +--=()1,2A l AP AP =m n ∥n α∥m α∥m α⊂γα⊥γβ⊥αβm n ⊥m α⊥n β∥αβ112325C C 3C 5=2325C 71C 10-=2113232255C C C 9C C 10+=2325C 3C 10=【解析】：如图所示，因为上下边长比为，所以，则棱台高，根据体积公式可得.8.【答案】：C【解析】：如图所示，由题意可知和的圆心坐标分别为、，半径，，，而直线与直线垂直，所以当与和共线时最小，此时，，所以最小值为.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错得0分.9.【答案】：AC【解析】：将题中数据进行从小到大排列：2，2，3，4，6，6，8，9对于A ，极差为7；对于B ，，所以第25百分位数为；对于C ，平均数为；对于D ，10.【答案】：BCD【解析】：对于A ，若，是对立事件，则；142114AO AO =123O O =(13116213V =⨯⨯++=1C 2C ()5,2-()3,012r =21r =1122MA MB MC r MC r +=-+-12C C 1y x =+M 1C 2C 1MC 2MC MA MB +3-2582100⨯=23522+=2234668958+++++++=()()()()()()()()22222222225253545656585955088S -+-+-+-+-+-+-+-==A B ()0P AB =对于B ，；对于C ，若，，则，，满足；对于D ，因为，是独立事件，所以，所以.11.【答案】：ABD【解析】：对于A ，圆的标准方程为，因为点在圆外，所以点到圆心的距离，解得或，所以A 对；对于B ，圆心到直线的距离，而圆的半径3个点到直线的距离等；对于C ，圆的圆心坐标和半径为，，圆的圆心坐标和半径为，，圆心之间的距离，所以错误；对于D ，如图所示，恰有一个公共点的时候，.12.【答案】：BCD 【解析】：对于A ，异面直线与夹角为；对于B ，，，平面，()()()56P A B P A P B +=+=()13P A =()12P B =()23P A =()12P B =()()()P AB P A P B =A B ()29P AB =()()()19P AB P A P AB =-=()()2214x y m -+-=2d =>0m <4m >l d ==r =l 1C ()11,2C 13r =2C ()21,1C --22r =125C C =<11b -<≤BD 1AB 1160AB D ∠=︒AC BD ⊥ 1AC BB ⊥AC ∴⊥1DBB，同理可得平面，，平面；对于C ，为定值；对于D ，建立如图所示直角坐标系，设边长为1，设，，，，，，则，所以，平面的法向量为，直线与平面所成角正弦值为，因为，所以当时取得最大值，当时取得最小值为.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.13.【答案】：±4，解得.14.【答案】：【解析】：联立两直线方程解得交点坐标为，根据点斜式可得，所以一般式方程为.15.【解析】：当与直线垂直时面积最小，此时，半径，所以，则四边形面积的最小值为16.【答案】：4【解析】：1AC B D ∴⊥1D C ⊥1DCB 11D C B D ∴⊥1B D ∴⊥1ACD 11P ACD C AD P V V --=()101BP BC λλ=<<()11,0,0A ()1,1,1B ()10,1,0C ()11,1,0B ()0,1,1C ()1,0,BP BC λλλ==--()11,1,1A P A B BP λλ=+=-- 11AD C B ()11,0,1B C =-1A P 11AD C B sin θ==01λ<<12λ=0λ=125=4a =±20x y +-=()1,1()11y x -=--20x y +-=CP CP 1r =PB ==PACB 1122⨯=取AB 、AC 中点为D 、E ，是等边三角形，，平面平面，交线为，平面平面，交线为平面，平面，，，平面.在中，由正弦定理可得，外接球直径为，则.四、解答题：本大题共6个小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】：（1）0.0277.5（2）【解析】：（1）解得因为，所以中位数在之间设中位数为，则，解得，所以中位数为77.5.（2）评分在和的频率为0.1和0.25，由分层抽样可得在中抽取2人，在中抽取5人，所以2人中恰有1人评分在内的概率为.18.【答案】：（1）（2）【解析】：（1）点在圆上，设直线方程为，因为相切，所以，解得，所以直线的方程为.（2）由（1）的，两点，ABC △CD AB ∴⊥BE AC⊥ SAB ⊥ABC AB SAC ⊥ABC ACCD ∴⊥SAB BE ⊥SAC SA CD ∴⊥SA BE ⊥SA ∴⊥ABC ABC △3sin60=︒4SA ==1021()0.0120.040.050.0651a ++++⨯=0.02a =()0.010.020.0450.350.5++⨯=<[)75,80x ()750.060.350.5x -⨯+=77.5x =[)65,70[)80,85[)65,70[)80,85[)80,85112527C C 10C 21=330x y --=()(),17,-∞-+∞ ()3,0A m ()3y k x =-d 13k =m 330x y --=d C D所以，解得或者.19.【答案】：（1）（2）或【解析】：（1）由题意得，则直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，即.（2）的中点坐标为，由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，即.因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以点在直线上，故设点为，由可得：，解得或，所以点坐标为或，则直线的方程为或.20.【答案】：（1）见解析（2【解析】：（1）平面平面，交于，且，平面.CD =≤1k ≤-7k ≥250x y -+=3240x y --=3120x y ++=62262AB k --==--l 12()1,3P AB l ()1312y x -=-250x y -+=AB ()4,2-AB 12AB ()1242y x +=-280x y --=ABC △C C 280x y --=C ()28,a a +CB CA ⊥621286282a a a a +-⋅=-+-+-0a =4a =-C ()8,0()0,4-AC 3240x y --=3120x y ++= ABE ⊥BCDE BE AE BE ⊥AE ∴⊥BCDE在中，，，.且，是等腰直角三角形，，.，，又，为等腰直角三角形，.，，又，，平面.（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.可得，，，即，.设平面的法向量为，则，解得.平面的法向量为.设二面角为，所以，则.21.【答案】：（1）（2）【解析】：（1）停车费多于14元，则停车时间超过2小时.设“甲临时停车付费恰为6元”为事件，则.（2）设甲停车付费元，乙停车付费元，由题意得.则甲乙停车付费相差16元的情况有，，，共四种，所以甲乙两人停车付费相差16元的概率为.ABE △AB = 2BE =AE ∴=BC BE ⊥ 2BC BE ==BCE ∴△π4BEC BCE ∠∠==EC ∴=BC DE ∥ π4CED BCE ∠∠∴==EC CD == DCE ∴△4DE =BOC DOE ∽ △△12BO BC DO DE ==12BP PA = OP AD ∥ OP ∴∥ACD AE ⊥BCDE BE DE ⊥(0,0,A ()2,2,0C ()0,4,0D (2,2,AC =- (0,4,AD =- ACD (),,n x y z = 22040n AC x y n AD y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ (n = CDE (0,0,EA = A CD E --θcos n EA n EAθ⋅==⋅ sin θ==1414A ()15113124P A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭a b {},6,14,22,30a b ∈()6,22()22,6()14,30()30,1441164=22.【答案】：（1）（2）或【解析】：（1）设点坐标为，直线与圆相切于点，则，所以，即，化简得.（2）设直线方程为，点，.联立方程，得，所以.因为以为直径得圆过点，则，即，化简得，带入韦达定理得，解得或，故直线的方程为或.()22649x y -+=1y x =-+3y x =-+P (),x y PQ C Q 222PQ PC CQ =-2222PA PC CQ =-()()22222141x y x y ⎡⎤-+=++-⎣⎦()22649x y -+=l y x t =-+()11,M x y ()22,N x y ()22649y x t x y =-+⎧⎪⎨-+=⎪⎩()22226130x t x t -++-=122126132x x t t x x +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩MN ()2,0B -1BM BN k k ⋅=-1212122y y x x ⋅=-++()()212122240x x t x x t +-+++=()()22132640t t t t -+-+++=1t =3t =l 1y x =-+3y x =-+。

中华中学2023—2024学年度第一学期学情调研（二）高一数学本卷调研时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合衣有限公司在暑假期间加班生产提供(](0,20)x x ∈（万元）的专项补贴．该制衣有限公司在收到市政府x （万元）补贴后，产量将增加到(3)t x =+（万件）．同时该制衣有限公司生产t （万件）产品需要投入成本为36(73)t x t ++（万元），并以每件42(8)t+元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本．（1）求该制衣有限公司暑假期间，加班生产所获收益y （万元）关于专项补贴x （万元）的表达式，并求当加班生产所获收益不低于35万元时，实数x 的取值范围；（2）南京市政府的专项补贴为多少万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益y （万元）最大？【解析】（1）4236873y t x t x t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭36422t x t =+--．因为3t x =+，所以363634224533y x x x x x =++--=--++.................................................3分由35y ≥，得3645353x x --+≥，即2760x x -+≤，所以16x ≤≤，又020x <≤，所以实数x 的取值范围是[1,6]．.........................................6分（2）因为36453y x x =--+()363483x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦．（020x <≤）..........................8分又因为(]0,20x ∈，所以3630,03x x +>>+，所以()363123x x ++≥=+（当且仅当36333x x x +==+即时取“=”）所以124836y ≤-+=，即当3x =万元时，y 取最大值36万元............................................11分答：南京市政府的专项补贴为3万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益最大．...12分22.（12分）已知函数2()3f x x ax =++，Ra ∈（1）若函数)(1x f y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若当[]2,2x ∈-时，函数a x f y -=)(有意义，求实数a 的取值范围.（3）若函数a x a x f x g +--=)2()()(，函数)]([x g g y =的最小值是5，求实数a 的值.【解析】由)(1x f y =定义域为R ,则2()3f x x ax =++的值域大于0,所以2120a ∆=-<，所以(a ∈-........................................2分（2）由[2,2],x y ∈-=有意义，即()0f x a -≥恒成立，令2()()3,[2,2]h x f x a x ax a x =-=++-∈-最小值非负，221()(3,[2,2].24a h x x a a x =+--+∈-①当22a-<-即4a >时，()h x 在[2,2]-单调递增，min ()(2)73h x h a =-=-，所以4477303a a a a >⎧>⎧⎪⇒⎨⎨-≤≤⎩⎪⎩，所以a φ∈；................................4分②当222a-≤-≤即44a -≤≤时，()h x 在[2,2]-先单调递减后递增，2min1()()324a h x h a a =-=--+，所以224444441623041204a a a a a a a a -≤≤⎧-≤≤-≤≤⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-≤≤--+≥+-≤⎩⎩⎪⎩，所以[4,2]a ∈-；......6分③当22a->即4a <时，()h x 在[2,2]-单调递减，min ()(2)7h x h a ==+，所以44707a a a a <-<-⎧⎧⇒⎨⎨+≤≥-⎩⎩，所以[7,4)a ∈--综上：[7,2]a ∈-...............................................................8分（3）222()3(2)23(1)22g x x ax a x a x x a x a a =++--+=+++=+++≥+.令22()2,[()]23(1)2t g x a y g g x t t a t a =≥+==+++=+++....................9分①当21a +<-，即3a <-，min 25y a =+=，所以25333a a a a +==⎧⎧⇒⎨⎨<-<-⎩⎩无解；.....10分②当21a +≥-，即3a ≥-，2min (2)2(2)35y a a a =+++++=，所以231(2)3(2)40a a a a ≥-⎧⇒=-⎨+++-=⎩；.....................................11分综上： 1.a =-...............................................................12分。

江苏省扬州市08-09学年高一上学期期末调研考试高 一 数 学2009．1．全卷分两部分：第一部分为填空题，第二部分解答题（满分160分，考试时间120分钟） 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1． 求值：sin300= ★ ．2． 已知不等式230x -≥的解集为A ,不等式220x x --<的解集为B ，则A B =★ ． 3． 函数tan(2)3y x π=-的周期为 ★ ．4．已知=a，(=-b ，则a 与b 的夹角为 ★ ． 5． 求值：sin 21cos81sin 69cos9-=★ ．6． 已知函数2()45f x x x =-+，[1,4]x ∈，则函数()f x 的值域为 ★ ．7． 设向量23,42,32=-=-=+m a b n a b p a b ,则P 用m,n 表示为★ ．8． 定义在实数集R 上的奇函数()f x ，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为 ★ ．9． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2),1(log 2,2)(231x x x e x f x 则))2((f f 的值为＝ ★ ． 10． 已知ABC ∆中， AB = c ，BC = a 、CA = b ，若⋅a b =⋅b c ，且2⋅+=c b c 0，则ABC ∆的形状是 ★ ．11． 若函数2l o g (1)y a x =-在区间(2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为★ ．12． 如图是函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分，则其解析式=)(x f ★ ．13． 已知a (2sin 2,)x m =-，(2sin 2,1)=+b x ，若//a b ，则实数m 的取值范围为 ★ ． 14． 下列命题： ①函数sin(2)3y x π=+的单调减区间为⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+127,12ππππk k ，k Z ∈； ②函数2sin 2x x -的一个对称中心为(,0)6π；③函数)621sin(π-=x y 在区间11[,]36ππ-上的值域为[2； ④函数cos y x =的图象可由函数sin()4y x π=+的图象向右平移4π个单位得到； ⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0,]2π上有两个不同的实数解12,x x ，则126x x π+=. 其中正确命题的序号为 ★ .x二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分14分）已知角α的终边经过点P （4-，3）， (1) 求()()απααπ+-+-tan cos )sin(的值; （2）求12cos 2sin 21++αα的值.16．（本题满分14分）已知︱a ︱=4，︱b ︱=2，且a 与b 夹角为60°. ⑴求a ·b ； ⑵求（2a -b ）·（a +b ）； ⑶若a -2b 与a +k b 垂直，求实数k 的值.17．（本题满分15分）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：小明选择了模型21x y =，他的同学却认为模型32xy =更合适.（1）你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由;（2）试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？（参考数据 4771.03lg ,3010.02lg ==）18．（本题满分15分） 已知在ABC ∆中,20,20ππ<<<<B A ,sinA=.112)tan(,102-=-B A （1）求tanB,cosC 的值; （2）求A+2B 的大小. 19．（本题满分16分）已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且AP AB λ=(01)λ≤≤.（1）若等边三角形边长为6，且13λ=，求||CP ；（2）若··CP AB PA PB ≥，求实数λ的取值范围.20．（本题满分16分）已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体: ①()f x 在其定义域上是单调函数；②在()f x 的定义域内存在闭区间[,]a b ，使得()f x 在[,]a b 上的最小值是2a，且最大值是2b . 请解答以下问题：⑴判断函数3()g x x =-是否属于集合M ？并说明理由. 若是，请找出满足②的闭区间[,]a b ；⑵若函数()h x t M =∈，求实数t 的取值范围.江苏省扬州市08-09学年高一上学期期末调研考试高 一 数 学 评 分 标 准一、填空题1.2-2.3[,2)23.2π4. 1205.2-6. [1,5]7. 71348-+m n 8.2x x -- 9. 2 10.等腰直角三角形 11．12a ≥12.=y 2sin(2)3x π+ 13.1[,3]314.①②⑤ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15 解（1） 角α的终边经过点P （4-，3）∴r=5，54cos ,53sin -==αα……3分 ∴()()απααπ+-+-tan cos )sin(=154435453tan cos sin =--=+ααα……………………………8分（2）12cos 2sin 21++αα=24sin cos 2cos 5ααα⋅+=…………………………14分16 解（1）a ·b =4 ………………………………………………………………………3分 （2）（2a -b ）·（a +b ）=32 ………………………………………………………………8分 （3） （a -2b ）⊥（a +k b ）∴（a -2b ）·（a +k b ）= a 2+(k-2) a ·b -2k b 20= ……………………………12分∴16+4（k-2）-8k=0，k=2 ……………………………………………………………14分17. 解：（1）根据表格提供的数据，画出散点图。

江苏省泰州市08-09学年高一上学期期末联考高一数学试题(考试时间：120分钟 总分160分)命题人：戴年宝（省姜堰中学） 王晓宇 （省口岸中学） 审题人：杨辉（泰州市田家炳实验中学） 石志群（泰州市教研室） 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效。

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知全集{}5,4,3,2,1=U ，且{}4,3,2=A ，{}2,1=B ，则B C A U ⋂等于 ▲ ． 2．求值：)417cos(326sinππ-+= ▲ ． 3．扇形OAB 的面积是1cm 2，半径是1cm ，则它的中心角的弧度数为 ▲ ． 4．函数)13lg(1132++-+=x xx y 的定义域为 ▲ ．5．函数x y 416-=值域为 ▲ ．6．已知x x f 2cos 3)(sin -=，则)21(f = ▲ ．7．已知平面内向量)3,3(=，)2,1(-=，)1,4(=，若t ⊥+)2(，则实数t 的值为 ▲ ． 8．幂函数mmx x f 42)(-=的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上递减，则整数m = ▲ ．9．若 )3,1(-A ，)1,8(-B ，)2,12(+-a a C 三点共线，则a = ▲ ． 10．)1,(-=x ，)1,3(log 2=，若∥，则xx-+44= ▲ ．11．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-，，0,01),2sin()(12x e x x x f x π若2)()1(=+m f f ，则m 的所有可能值为 ▲ ．12．定义在R 上奇函数)(x f ，当0<x 时的解析式为2)ln()(++--=x x x f ，若该函数有一零点为0x ，且)1,(0+∈n n x ，n 为正整数，则n 的值为 ▲ ．13．已知函数()⎩⎨⎧<+-≥=2,232,)(x x a x a x f x ，为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ▲ ．14．关于函数)32sin(2)(π+=x x f ，有下列命题：（1）)3(π+=x f y 为奇函数；（2）要得到函数x x g 2cos 2)(=的图像，可以将)(x f 的图像向左平移12π个单位； （3）)(x f y =的图像关于直线12π=x 对称；（4）)(x f y =为周期函数。

南京市2008—2009学年度第一学期期末调研测试卷高一物理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共100分．考试用时100分钟．注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内．每题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上．考试结束将答卷纸交回．第Ⅰ卷(选择题共37分)一、单项选择题(本题共7小题，每小题3分，共计21分．每小题只有一个选项符合题意．) 1．下面所列单位都属于国际单位制(SI)中基本单位的是 ( )A．kg、N、m／s B．N、m、sC．kg、m、s D．m／2s、N、m／s2．下列说法中正确的是( )A．如图所示是高速公路指示牌，牌中“25 km”是指从此处到下一个出口的位移是25kmB．质点做曲线运动时，其瞬时速度的方向沿质点运动轨迹的切线方向C．物体运动的速度变化越大，则物体的加速度就越大D．质点做直线运动时，加速度数值不断减小，则速度数值也一定不断减小3．一小石块从楼房阳台边缘做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内位移大小是1．5m，则它在第三段时间内位移大小是( )A．1．5m B．4．5m C．7．5m D．13．5m4．关于弹力，下列说法中错误的是( )A．物体受到的弹力是由于施力物体的形变而产生的B．弹力产生在直接接触而发生弹性形变的物体之间C．相互挤压的物体间弹力方向总是跟接触面相垂直D．相互接触的物体间一定存在弹力5．如图所示，一木箱置小孩用80N的水平力推重力为200N的木箱，木箱不动;当小孩用100N 的水平力推木箱，木箱恰好能被推动；当木箱被推动之后，小孩只要用90N的水平推力就可以使木箱沿地面匀速前进，以下是对上述过程作出的计算和判断，其中正确的是( )A．木箱与地面间的动摩擦因数0.45μ=B．木箱与地面间的最大静摩擦力大小为90NC．木箱与地面间的摩擦力大小始终为80ND．木箱与地面间的滑动摩擦力大小为100N6．以下说法中正确的是( )A．牛顿第一定律揭示了一切物体都具有惯性B．速度大的物体惯性大，速度小的物体惯性小C．力是维持物体运动的原因D．做曲线运动的质点，若将所有外力都撤去，则该质点仍可能做曲线运动7．如图为“探究求合力的方法”实验示意图，在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮条的一端固定在木板上的P点，另一端拴两根细线，通过细线同时用两个弹簧秤互成角度地拉橡皮条，使结点达到某一位置O点，此时细线Ob与橡皮条PO垂直．现使b弹簧秤从图示位置开始缓慢地沿顺时针转动90的过程中，并保持O点的位置和a弹簧秤的拉伸方向不变，则在此过程中，关于a、b两弹簧秤示数的变化情况正确的是( )A．a示数增大，b示数先增大后减小B．a示数减小，b示数先减小后增大C．a示数增大，b示数增大D．a示数减小，b示数减小二、多项选择题(本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．)8．两个质点甲与乙，同时由同一地点向同一方向做直线运动，它们的速度一时间(v—t)图像如图所示．下列关于甲、乙运动的说法中正确的是 ( )A．甲、乙质点在第2s末相遇B．甲、乙质点在第4s末相遇C．甲、乙相遇前在第2s末相距最远D．在前2s内，甲的平均速度比乙的大9．把一木块放在水平桌面上保持静止，下面说法正确的是( )A．木块对桌面的压力与桌面对木块的支持力是一对平衡力B．木块对桌面的压力与桌面对木块的支持力是一对作用力和反作用力C．木块对桌面的压力就是木块的重力D．木块的重力和桌面对它的支持力是一对平衡力10．城市路灯、无轨电车的供电线路等，经常采用三角形的结构悬挂，如图所示为这类结构的一种简化模型．图中硬杆BO 可绕通过B 点且垂直于纸面的轴转动，钢索AO 和杆BO 的重力均忽略不计．已知B0始终水平，AO 与BO 的夹角为日，被悬挂物体的质量为m ，则以下说法中正确的是( )A ．钢索AO 对O 点的拉力为sin mg θB ．杆BO 对O 点的支持力为tan mg θC ．A 点距B 点的距离越近时，杆BO 对O 点的支持力就越大D ．不论增大还是减小A 点与B 点距离，AO 对O 点拉力与杆BO 对O 点支持力的合力始终保持不变11．如图所示，光滑水平面上，水平恒力F 拉小车和木块一起做匀加速直线运动，小车质量为M ，木块质量为m ，它们的共同加速度为a ，木块与小车间的动摩擦因数为μ．则在运动过程中( )A ．木块受到的摩擦力大小一定为mg μB ．木块受到的合力大小为maC ．小车受到的摩擦力大小为mFm M +D ．小车受到的合力大小为()m M a +第Ⅱ卷(非选择题共63分) 三、简答题(本题共2小题，共16分．请把答案填在答卷纸相应的横线上或按相关要求作答．)12．(本题6分)如图所示是一小车在斜面上匀加速下滑过程中，通过打点计时器打出的纸带．纸上两相邻计数点的时间间隔为0.10s ．由此可以得出打点计时器在打c 点时小车的速度大小为 ▲ m s ，小车运动的加速度大小为 ▲ 2m s ．(结果保留三位有效数字)13．(本题10分)某同学设计了一个“探究加速度与物体所受合力F 及质量m 的关系”的实验．图示为实验装置简图，A 为小车，B 为电火花计时器，C 为装有砝码的小桶，D为一端带有定滑轮的长方形木板，在实验中认为细绳对小车拉力F 等于砝码和小桶的总重量。

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－π4)＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 A ．2 3B ．32C ． 3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，F A →＋FB →＋FD →＝0，则下列说法正确的有 A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．F A ＋FB ＋FD ＝6 C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有 A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223 C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概 率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA ＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →·AC →＝b 2－12ab ． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM →＝2MB →，AN →＝3NM →，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→·BF 2→＝－2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．ACD 10．AC 11．BCD 12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0) 14．14 15．49 16．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x 2＋t ················································ 2分 ＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ． ············································ 4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)． ················································································· 6分 （2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)， 当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22． ···························································· 8分 因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22． ·················································································· 10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |． ························································ 2分 又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1 ． ······································ 4分因为m ≠0，解得a ＝34． ·················································································· 5分 （2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2， ···························································· 6分 所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ······························································· 8分 又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )， 所以m2m －6＝－a ， ························································································· 10分 所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145 ，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625． ························· 12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ············ 1分 （1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}， ························································ 2分所以P (A 1)＝3100． ····················································································· 4分 因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12． ················································································ 6分 （2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150． ·································· 8分 因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12． ······················································································ 9分 因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100． ···················································· 10分 因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立． ········································································ 12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）方法1因为AB →·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ． ··················································· 2分 由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12． ····················································································· 4分 因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3． ··································································· 5分 方法2因为AB →·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ． ·················································· 2分 由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ， 化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12． ································· 4分 因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3． ··································································· 5分 （2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2． ····················································· 6分 因为CM →＝2MB →，AN →＝3NM →，所以CN →＝CA →＋AN →＝CA →＋34AM →＝CA →＋34(CM →－CA →)＝14CA →＋34CM →＝14CA →＋12CB →， ···························································· 8分从而|CN →|2＝(14CA →＋12CB →)2＝116b 2＋14a 2＋14CA →·CB →＝116b 2＋14a 2＋14 ··········································································· 10分 ≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|CN →|的最小值为32． ················································································ 12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ． ··························································································· 2分 又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ． ························································································· 4分 （2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ． 在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点， 又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ················································································ 6分 因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1． 由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1． 又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ··················································· 8分 又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1， 所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ································ 10分 在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ····································· 12分 方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ·········································· 6分 在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2． 又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22． 在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分 又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO ⊂平面A 1ABB 1， 所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ··········································· 10分 在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22． 因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ················································· 12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1． ····························································· 2分 因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ········································································ 4分 （2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4， y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k1＋4k 2， ·························································· 6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1， 设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1． ·························································· 8分 因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2 ＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2 ＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2 ····························································· 10分 ＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2， 所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称． ············································· 12分。

2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a，b∈R，集合A={0,a}，集合B={−1,b}，若A=B，则a+b的值为( )A. 1B. 0C. −1D. −22.命题“∀x>1，x2+x−2>0”的否定为( )A. ∃x>1，x2+x−2≤0B. ∃x≤1，x2+x−2≤0C. ∀x≤1，x2+x−2≤0D. ∀x>1，x2+x−2≤03.设x>0，y>0且x+y=2，则4x +1y的最小值为( )A. 9B. 52C. 4 D. 924.满足{a1,a2}⊆A⊆{a1,a2,a3,a4,a5}的集合A的个数为( )A. 5B. 4C. 8D. 75.设全集U=A∪B={1,2,3,5,8}，A∩(∁U B)={1,5}，B∩(∁U A)={2}，则集合A为( )A. {1,2,5}B. {1,3,5,8}C. {3,8}D. {1,5}6.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A. a2+b2>2abB. a+b≥2abC. 1a +1b>2abD. ba+ab≥27.已知关于x的不等式(a−2)x2+2(a−2)x+1≤0的解集是⌀，则实数a的取值范围是( )A. [2,3)B. (−∞,2)∪(3,+∞)C. (2,3)D. (−∞,2]∪(3，+∞)8.设集合A={x|(x−2)(x−a)≤0}，B={x|3<x<7}，若A∩B中恰含有3个整数，则实数a的取值范围是( )A. (5,6]B. [6,+∞)C. [6,7)D. (6,7]二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a>b>c>0，下列不等式一定成立的是( )A. b<a+b2<a B. ca>cbC. ba−b>cb−cD. ab>a+cb+c10.下列叙述正确的是( )A. 已知a，b，c是实数，则“ac2>bc2”成立的充分不必要条件是“a>b”B. “x∈A∩B”是“x∈A∪B”的充分不必要条件C. “x>0且y>0”是“xy>0”的充分不必要条件D. “a2>1”是“a>1”的必要不充分条件11.关于x的不等式|x−a|≤2成立的必要不充分条件是−3<x≤316，则下列叙述正确的是( )A. 4−a+94−a的最小值为6B. 关于x的不等式x2−2ax+a2+a+1≤0的解集为⌀C. 关于x的不等式(x−a)(x−8)<0的解集中整数解最少3个D. {x|x≤a+1}∪{x|x≥2a−136}=R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020-2021学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若角α的终边经过点P（3，a）（a≠0），则（）A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜02．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）3．设实数x满足x＞0，函数y＝2+3x+的最小值为（）A．4﹣1B．4+2C．4+1D．64．已知a，b，m都是负数，且a＜b，则（）A．＜B．＜C．a+m＞b+m D．＞5．有一组实验数据如表所示：t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1v 1.5 4.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．v＝2t﹣2B．v＝C．v＝log0.5t D．v＝log3t6．若函数f（x）＝sin2x与g（x）＝2cos x都在区间（a，b）上单调递减，则b﹣a的最大值是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）同时满足：①定义域内存在实数x，使得f（x）•f（﹣x）＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0；则称函数f（x）为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝sin x C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx二、多项选择题（共4小题）.9．关于函数f（x）＝tan2x，下列说法中正确的是（）A．最小正周期是B．图象关于点（，0）对称C．图象关于直线x＝对称D．在区间（﹣，）上单调递增10．已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin（2x+），下列说法中正确的是（）A．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2B．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2C．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2D．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C211．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．据此，下列说法中正确的是（）A．若A⊆B，则A﹣B＝∅B．若B⊆A，则A﹣B＝AC．若A∩B＝∅，则A﹣B＝A D．若A∩B＝C，则A﹣B＝A﹣C12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝[x+1]﹣x，下列说法中正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）的值域是（0，1]C．f（x）在（0，1）上是增函数D．∀x∈R，[f（x）]＝0三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝xα的图象过点，则实数α的值是．14．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝3a，则a的值为15．已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为．16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的倍（精确到1）．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sin（π+α）cos（π﹣α）＝，且0＜α＜．（1）求cosα+cos（+α）的值；（2）求tanα的值．19．（12分）（1）计算：2+（0.125）+log9；（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求证：ab＜a+b＜0．20．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|为R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）若不等式f（sin2x）+f（t﹣2cos x）≥0对任意x∈[，]恒成立，求实数t的最小值．21．（12分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式h＝A sin（ωt+）确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，+∞）．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s．且最高点与最低点间的距离为10cm．（1）求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系；（2）小球在t0s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围．22．（12分）对于定义在D上的函数f（x），如果存在实数x0，使得f（x0）＝x0，那么称x0是函数f（x）的一个不动点．已知f（x）＝ax2+1．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的不动点；（2）若函数f（x）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．①求实数a的取值范围；②设g（x）＝log a[f（x）﹣x]，求证：g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．若角α的终边经过点P（3，a）（a≠0），则（）A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜0【分析】三角函数的定义可知：sinα＝符号不确定，cosα＝，由此能求出结果．解：∵角α的终边经过点P（3，a）（a≠0），∴由三角函数的定义可知：sinα＝符号不确定，故A，B圴错误；cosα＝，故C正确，D错误．故选：C．2．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）解：函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（x﹣1）的定义域为B，∴A＝{x|4﹣x2≥0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}．∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．故选：B．3．设实数x满足x＞0，函数y＝2+3x+的最小值为（）A．4﹣1B．4+2C．4+1D．6【分析】可看出x+1＞0，从而可得出，这样即可求出原函数的最小值．解：∵x＞0，∴x+1＞0，∴y＝2+3x+＝＝，当且仅当，即时等号成立，∴函数y＝2+3x+的最小值为4﹣1．故选：A．4．已知a，b，m都是负数，且a＜b，则（）A．＜B．＜C．a+m＞b+m D．＞解：对于A，由题意a＜b＜0，则＞，选项A错误；对于B，由a＜b，不等式两边同除ab，可得，即＜，选项B错误；对于C，由不等式的可加性可知，由a＜b，可得a+m＜b+m，选项C错误；对于D，由，所以＞，选项D正确．故选：D．5．有一组实验数据如表所示：t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1v 1.5 4.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．v＝2t﹣2B．v＝C．v＝log0.5t D．v＝log3t解：法一、从图表数据可知，随着t的变大，v变大，则函数为单调递增，且增加速度越来越快，∵A选项为线性增加的函数，C选项为递减函数，D选项为比线性增加较为缓慢的函数，∴排除选项A、C、D．故选：B．法二、取t＝4，对于A选项，v＝2×4﹣2＝6，故选项A错误；对于B选项，v＝＝7.5，故选项B可能正确；对于C选项，v＝log0.5t＝﹣2，故选项C错误；对于D选项，v＝log3t＝log34，故选项D错误．以上只有B选项最接近，故选：B．6．若函数f（x）＝sin2x与g（x）＝2cos x都在区间（a，b）上单调递减，则b﹣a的最大值是（）A．B．C．D．解：由题意函数f（x）＝sin2x在（，）上单调递减，函数g（x）＝2cos x在（0，π）上单调递减，则，，所以b﹣a的最大值为，故选：C．7．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C．解：∵f（x）＝，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）＝，因此排除B，C；故选：D．8．若函数f（x）同时满足：①定义域内存在实数x，使得f（x）•f（﹣x）＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0；则称函数f（x）为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝sin x C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx解：∵由①定义域内存在实数x，使得f（x）•f（﹣x）＜0的限制可知，定义域内需有正有负，且函数值有正有负，由②的限制可知，函数单调递增，对于A，f（x）＝x3的定义域内有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，故A成立；对于B，f（x）＝sin x不是单调增函数，故B不成立；对于C，f（x）＝e x﹣1的值域中没有负数，故C不成立；对于D，f（x）＝lnx的定义域中没有负数，故D不成立．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9．关于函数f（x）＝tan2x，下列说法中正确的是（）A．最小正周期是B．图象关于点（，0）对称C．图象关于直线x＝对称D．在区间（﹣，）上单调递增解：由题意函数f（x）＝tan2x的最小正周期为，故选项A正确；由f（）＝0，故选项B正确；因为函数f（x）＝tan2x不存在对称轴，故选项C错误；因为x∈（﹣，），所以2x∈（﹣π，π），此区间不是函数y＝tan x的单调递增区间，故选项D错误；故选：AB．10．已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin（2x+），下列说法中正确的是（）A．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2B．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2C．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2D．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2解：变换方式一：由函数y＝sin x的图象可向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到y＝sin（2x+）；变换方式二：因为，所以由函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到y＝sin（2x+）．故选：BD．11．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．据此，下列说法中正确的是（）A．若A⊆B，则A﹣B＝∅B．若B⊆A，则A﹣B＝AC．若A∩B＝∅，则A﹣B＝A D．若A∩B＝C，则A﹣B＝A﹣C【分析】利用集合间的关系以及差集的定义对应各个选项逐个判断即可求解．解：由差集的定义可知，对于选项A，若A⊆B，则A中的元素均在B中，则A﹣B＝∅，故选项A正确；对于选项B，若B⊆A，则B中的元素均在A中，则A﹣B＝∁A B≠A，故选项B错误；对于选项C，若A∩B＝∅，则A、B无公共元素，则A﹣B＝A，故选项C正确；对于选项D，若A∩B＝C，则A﹣B＝∁A C＝A﹣C，故选项D正确；故选：ACD．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝[x+1]﹣x，下列说法中正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）的值域是（0，1]C．f（x）在（0，1）上是增函数D．∀x∈R，[f（x）]＝0解：由题意[x+1]＝，所以f（x）＝[x+1]﹣x＝，可得到函数f（x）是周期为1的函数，且值域为（0，1]，在（0，1）上单调递减，故选项A、B正确，C错误；对于选项D，[f（x）]＝1，所以选项D错误，故选：AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知幂函数y＝xα的图象过点，则实数α的值是．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得α的值．解：幂函数y＝xα的图象过点，则2α＝，α＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝3a，则a的值为4【分析】由分段函数求得f（0），再由分段函数解a的方程，可得a的值．解：f（x）＝，f（f（0））＝f（20+1）＝f（2）＝4+2a＝3a，解得a＝4，故答案为：4．15．已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为．解：∵＝sin[]+sin2[]＝sin（α+）＝＝，故答案为：．16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的32倍（精确到1）．【分析】由题意可得，分别令M＝7.5，M＝6求出对应的最大振幅，从而求出结果．解：由题意可得M＝lgA﹣lgA0＝，即，所以，当M＝7.5时，地震的最大振幅为；当M＝6时，地震的最大振幅为，所以＝，故答案为：32．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由＜1，得＜0，所以A＝{x|﹣2＜x＜1}．B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}＝{x|（x﹣1）（2x+m）＜0}．当m＝1时，B＝{x|﹣＜x＜1}．所以A∪B＝{x|﹣2＜x＜1}．（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A．若﹣＞1，不符合题意；若﹣＝1即m＝﹣2时，B＝∅，符合题意；若﹣＜1，则B＝{x|﹣＜x＜1}，所以﹣2≤﹣＜1，解得﹣2＜m≤4．综上，m∈[﹣2，4]．18．（12分）已知sin（π+α）cos（π﹣α）＝，且0＜α＜．（1）求cosα+cos（+α）的值；（2）求tanα的值．解：（1）因为sin（π+α）cos（π﹣α）＝sinαcosα，且sin（π+α）cos（π﹣α）＝，所以sinαcosα＝．（2分）故（cosα﹣sinα）2＝cos2α﹣2sinαcosα+sin2α＝1﹣2sinαcosα＝1﹣2×＝．（4分）又因为0＜α＜，所以cosα＞sinα，即cosα﹣sinα＞0，所以cosα﹣sinα＝．所以cosα+cos（+α）＝cosα﹣sinα＝．（6分）（2）法一：由（1）知sinαcosα＝，又因为sin2α+cos2α＝1，所以＝．因为0＜α＜，cosα≠0，所以＝，即tan2α﹣8tanα+1＝0，（9分）解得tanα＝4﹣或tanα＝4+．（10分）因为0＜α＜，所以0＜tanα＜1，所以tanα＝4﹣．（12分）法二：由（1）知因为0＜α＜，所以cosα＞sinα＞0，故，（10分）所以tanα＝＝4﹣．（12分）19．（12分）（1）计算：2+（0.125）+log9；（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求证：ab＜a+b＜0．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）由函数y＝log0.4x的单调性可得ab＜0，由函数y＝log4x的单调性可得0＜+＜1，进一步得到ab＜a+b＜0．解：（1）原式＝5+[（2）﹣3]+log（）4＝5+4+4＝13．（2）证明：因为y＝log0.4x在（0，+∞）上递减，y＝log4x在（0，+∞）上递增，所以a＝log0.43＜log0.41＝0，b＝log43＞log41＝0，所以ab＜0，因为+＝log30.4+log34＝log3（0.4×4）＝log31.6，且y＝log3x在（0，+∞）递增，所以0＝log31＜log31.6＜log33＝1，即0＜+＜1，所以0＞ab（+）＞ab，即ab＜a+b＜0．20．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|为R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）若不等式f（sin2x）+f（t﹣2cos x）≥0对任意x∈[，]恒成立，求实数t的最小值．【分析】（1）由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），化简整理，结合恒等式的性质可得所求值；（2）求得求得f（x）是R上的单调增函数，原不等式化为t≥2cos x﹣sin2x对任意x∈[，]恒成立，令m＝cos x，结合余弦函数和二次函数的单调性，可得最值，即可得到所求最小值．解：（1）因为函数f（x）＝x|x﹣a|为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x∈R成立，即（﹣x）•|﹣x﹣a|＝﹣x•|x﹣a|对任意x∈R成立，所以|﹣x﹣a|＝|x﹣a|，所以a＝0．（2）由f（sin2x）+f（t﹣2cos x）≥0得f（sin2x）≥﹣f（t﹣2cos x），因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（sin2x）≥f（2cos x﹣t）．由（1）得，f（x）＝x|x|＝是R上的单调增函数，故sin2x≥2cos x﹣t对任意x∈[，]恒成立，所以t≥2cos x﹣sin2x对任意x∈[，]恒成立．因为2cos x﹣sin2x＝cos2x+2cos x﹣1＝（cos x+1）2﹣2，令m＝cos x，由x∈[，]，得cos x∈[﹣1，]，即m∈[﹣1，]，所以y＝（m+1）2﹣2在[﹣1，]递增，可得最大值为，故t≥，即t的最小值为．21．（12分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式h＝A sin（ωt+）确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，+∞）．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s．且最高点与最低点间的距离为10cm．（1）求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系；（2）小球在t0s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围．【分析】（1）根据题意可求得A＝5，T＝2，由周期公式可求得ω，从而可得函数关系式；（2）由函数解析式可得当t＝时，小球第一次到达最高点，再由已知及函数的周期可得t0的取值范围．解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A＝＝5．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s，所以周期为2，即T＝2＝，所以ω＝π．所以h＝5sin（πt+），t≥0．（2）由题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，所以+49T≤t0＜+50T．因为T＝2，所以98≤t＜100，所以t0的取值范围为[98，100）．（注：t0的取值范围不考虑开闭）22．（12分）对于定义在D上的函数f（x），如果存在实数x0，使得f（x0）＝x0，那么称x0是函数f（x）的一个不动点．已知f（x）＝ax2+1．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的不动点；（2）若函数f（x）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．①求实数a的取值范围；②设g（x）＝log a[f（x）﹣x]，求证：g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．【分析】（1）方程f（x）＝x可化为2x2+x﹣1＝0，求解即可．（2）①因为函数f（x）有两个不动点x1，x2，说明方程f（x）＝x，即ax2﹣x+1＝0的两个实数根为x1，x2，记p（x）＝ax2﹣x+1，则p（x）的零点为x1和x2，利用零点判定定理推出a（4a﹣1）＜0，求解即可．②说明p（x）＝0有两个不相等的实数根．设p（x）＝ax2﹣x+1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n．推出1＜m＜＜n＜．记h（x）＝a x﹣（ax2﹣x+1），判断1是g （x）的一个不动点．说明h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，利用函数的单调性，推出g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝﹣2x2+1．方程f（x）＝x可化为2x2+x﹣1＝0，解得x＝﹣1或x＝，所以f（x）的不动点为﹣1和．（2分）（2）①因为函数f（x）有两个不动点x1，x2，所以方程f（x）＝x，即ax2﹣x+1＝0的两个实数根为x1，x2，记p（x）＝ax2﹣x+1，则p（x）的零点为x1和x2，因为x1＜2＜x2，所以a•p（2）＜0，即a（4a﹣1）＜0，解得0＜a＜．所以实数a的取值范围为（0，）．（6分）②因为g（x）＝log a[f（x）﹣x]＝log a（ax2﹣x+1）．方程g（x）＝x可化为log a（ax2﹣x+1）＝x，即因为0＜a＜，△＝1﹣4a＞0，所以p（x）＝0有两个不相等的实数根．设p（x）＝ax2﹣x+1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n．因为函数p（x）＝ax2﹣x+1图象的对称轴为直线x＝，p（1）＝a＞0，＞1，p（）＝1＞0，所以1＜m＜＜n＜．记h（x）＝a x﹣（ax2﹣x+1），因为h（1）＝0，且p（1）＝a＞0，所以x＝1是方程g（x）＝x的实数根，所以1是g（x）的一个不动点．（8分）h（n）＝a n﹣（an2﹣n+1）＝a n＞0，因为0＜a＜，所以＞4，h（）＝a﹣1＜a4﹣1＜0，且h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，所以∃x0∈（n，），使得h（x0）＝0，（10分）又因为p（x）在（n，）上单调递增，所以p（x0）＞p（n）＝0，所以x0是g（x）的一个不动点，综上，g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．（12分）。