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1.4 数学归纳法 同步课件(北师大版选修2-2)

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北师大版高中数学选修2-2课件：1.4数学归纳法 (共14张PPT)

北师大版高中数学选修2-2课件：1.4数学归纳法 (共14张PPT)

用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
（1）明确首取值n0并验证真假。（必不可少） （2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 （3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 （4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用 上假设。 （5）根据以上下结论
等式成立。
(2) 假设n=k（k∈N*)时等式成立，即 归纳假设要用到
1 1 1 1 k 2k 12k 1 2k 1 1 3 3 5 5 7
（3）那么当
n k ,1时
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）（3），可知等式对任何n∈N* 都成立。
1 1 1 1 1 2k 12k 1 2k 12k 3 1 3 3 5 5 7 k 1 2k 1 2k 12k 3 归纳递推很重要 k 1 k 1 2k 3 2(k 1) 1
归纳结论莫忘掉
评
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分四个 步骤,四个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳基础)是递推的基础 找准n0
（2）（归纳假设）是递推的依据 时命题成立．作为必用的条件运用 n＝k
(3)(归纳递推)而n＝k+1时情况则有待利用 假设及已知的定义、公式、定理等加以证明 （4）（归纳结论）结合（1）（2）（3）可 知，当n取一切自然数时命题都成立
问题3：有一台晚会，知道第一个节 目是唱歌，而且如果第k（k∈N*） 个节目是唱歌，则第k+1个节目一定 是唱歌，能否断定整台晚会都是唱 歌？
导
多米诺骨牌能够全部倒下的有两个关键因素： 1、第一块骨牌倒下， 2、若第k块骨牌倒下，则第k+1块骨牌一定会倒 下。

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.4 数学归纳法

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.4 数学归纳法
3
【证明】(1)当n=1时，左边=12，
右边= 1 ×1×(4×12-1)=1，
3
左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+，k≥1)时，等式成立， 即12+32+52+…+(2k-1)12= k(4k2-1)，
3
则当n=k+1时，
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
= 1 k(4k2-1)+(2k+1)2=1 k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
【解析】1.观察可知等式的左端是n个和式的积，当n=k时为
(k+1)·(k+2)·…·(k+k)，那么当n=k+1时，等式的左端应为
[(k+1)+1]·[(k+1)+2]·…·[(k+1)+(k+1)]，
和(k+1)·(k+2)·…·(k+k)比较会发现，
左端增乘的代数式为［
k
1
k
1］［k
1
k］
【典例】用数学归纳法证明对一切n∈N+，
1＋
1 22
＋1 32
＋＋
1 n2
增加了一项. ( )
(3)用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+n2= n4＋n2 (n∈N*)时，从n=k到n=k+1
2
左边应添加的项为(k+1)2.
()
(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应

1.4 数学归纳法 课件(北师大选修2-2)

1.4 数学归纳法 课件(北师大选修2-2)
证明：①当n＝5时，25>52，不等式成立． ②假设n＝k(k≥5，k∈N＋)时，2k>k2. 则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·k＝2k＋2k>k2＋k2>k2＋2k＋ 2
1＝(k＋1)2，
即n＝k＋1时不等式成立． 由①②知，当n∈N＋且n≥5时，不等式2n>n2成立．
4．用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋22＋32＋…＋
解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N＋)．
(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．
②假设n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)， 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋
1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据①和②，可知等式对任何n∈N＋都成立．
2．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，
左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－ [2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2

1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)

1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)

1
1+1 2
= .
1
左边=右边,等式成立.
导.学. 固. 思
②假设当 n=k(k≥1)时等式成立,即 1- + - +„+
2 3 4 1 2������ ������ +1 ������ +2
1 1 1
1 2������ -1
-
=
1
+
1
+„+ ,
2������ 1 1
1
则当 n=k+1 时, (1- + - +„+
【解析】(1)当 n=2 时,
1 2+1 2+2 12 24
1
1
+
1
= > ,不等式成立.
7
13
导.学. 固. 思
(2)假设当 n=k 时原不等式成立, 即
1 ������ +1 ������ +2 1 1
+
1
+„+ > ,则当 n=k+1 时, +„+ +
2������ 24 1 1 2������ 2������ +1 2������ +2 ������ +1 ������ +1 24 2������ +1 2������ +2 1 13
1 ������ +1 ������ +2
+
1
+„+ > (n≥2,n∈N+).
3������ 6
1 1 1 1 5 3 4 5 6 6
1
5

【数学】1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)

【数学】1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)
n
n
1

证明：（1）当n=1时， 左边 a 1 , 右边 a 0 d a , 1 1
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a 1 ( k 1 ) d ,
那么 a a [ a 1 ( k 1 ) d ] d d k 1 k
1
已知数列 a n ,a 1 = 1 ,a n + 1 =
多米诺骨牌游戏的原理 an
an
(n N ),
*
1+a n 1 这个猜想的证明方法 n
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， （2）若第k块倒下时， 即 a 1 ，则当n=k+1时猜想 k k 则相邻的第k+1块也倒下。 1 也成立，即 ak 1 。
那么,当n=k+1时，有
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。
练习2.（2） 用数学归纳法证明：
1 2 2 2
2
n 1
2 1.
n
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即 2 k 1
1 2 2 2
k 1
根据（1）和 （2），
根据（1）和（2），可 知对任意的正整数n，猜 可知不论有多少块骨牌， 想 都成立。 都能全部倒下。
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，

【数学】1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)

【数学】1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)

例2
2
证明：
2 2 2 2
递推基础
n (n 1) (2n 1) 6 (n N ).
*
1 2 3 4 n
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即 (2k 1) k (k 1)
1 2 3 4 k
证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。
数学归纳法 这种证明方法就叫做______________。
验证n=n0时 命题成立
若n=k(k≥n0)时命题成立,
证明n=k+1时命题也成立.
归纳奠基
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
例1、用数学归纳法证明： 3 5 (2k 1) (2k 1) (k 1) 1 1+3+5+…+(2n-1)＝n2
那么,当n=k+1时，有
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。
练习2.（2） 用数学归纳法证明：
1 2 2 2
2
n 1
2 1.
n
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即 k 2 k 1 1 2 2 2 2 1 那么,当n=k+1时，有 1 2 2 2
1
已知数列 a n ,a 1 = 1 ,a n + 1 =
多米诺骨牌游戏的原理
an
(n N ),
*
1+a n 1 an 这个猜想的证明方法 n
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， （2）若第k块倒下时， 即 a 1 ，则当n=k+1时猜想 k k 则相邻的第k+1块也倒下。 1 也成立，即 ak 1 。

北师大版选修2-2高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件

北师大版选修2-2高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件

n∈N+).
证明:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立. (2)假设 n=k 时,等式成立,即 k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k). 那么当 n=k+1 时, k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)
=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
点评
理解等式的特点:在等式左边,当 n 取一个值时,对应两项,即2���1���-1 − 21������; 在等式右边,当 n 取一个值时,对应一项.无论 n 取何值,应保证等式左边有 2n 项,而等式右边有 n 项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.
(������ + 1) + 1,
所以当 n=k+1 时,不等式成立.
故由(1)(2)知,对一切 n>2(n∈N+),不等式成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)假设当 n=k 时等式成立,即
1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
=������+1 1 + ������+1 2+…+21������.
那么,当 n=k+1 时,
左边=1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
根据①②可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立. (2)数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据①,验证了 当 n=1 时命题成立;根据②可知,当 n=1+1=2 时命题成立.由于当 n=2 时命 题成立,再根据②可知,当 n+1=3 时命题也成立,这样递推下去,就可以知道

北师大版选修22高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件

北师大版选修22高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件
§1.4 数学归纳法
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究三
探究四
探究一
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基本步骤：
①验证： n＝1 时，命题成立； ②在假设 n＝k(k≥1) n＝k＋1 时命题成立的前提下，推出
时，命题成立．
根据①②可以断定命题对一切正整数n都成立．
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3．数学归纳法的框图表示：
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：数学归纳法的第一步中n的初始值怎样确定？ 提示 数学归纳法的第一步中 n 的初始值应根据命题的具
成立的参数的值或范围；
(3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题．
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3．应用数学归纳法的注意事项 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 提醒：用数学归纳法可证明与正整数有关的问题，但并不 是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要
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1 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ . k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切正整数 n 等式都成立．
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题型二 几何问题
【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个
都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点
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1 1 1 1 1 【训练 1】 用数学归纳法证明： 1－ ＋ － ＋„＋ － 2 3 4 2n－1 2n 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ (n∈N＋) 2n n＋1 n＋2
1 1 解 (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ， 2 2 1 1 右边＝ ＝ . 1＋1 2 左边＝右边．等式成立．
§4 数学归纳法
【课标要求】 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【核心扫描】 1．数学归纳法的原理及用数学归纳法证明数学命题的步
骤．(重点、难点)
2．学会用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题．ຫໍສະໝຸດ (重点、难点)课前探究学习
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自学导引
1．数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与 正整数n 有关的数学命题的 一种方法． 2．数学归纳法证明步骤
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(2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋„＋ － 2k－1 2k 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ， 2k k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时，
1－1＋1－1＋ 1 － 1 1 － 1 ＋2k＋1 2k＋2 2 3 4 2 k 2 k － 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ － ＝ 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2
最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．
[思路探索] 验证n＝2时成立 ―→ 文字说明fk＋1－fk的增量 ―→ 验证fk＋1＝k＋12成立
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解 (1)如图， n＝2 时， 两个半圆交于一点， 则分成 4 段圆弧， 故 f(2)＝4＝22. (2)假设 n＝k 时，f(k)＝k2 成立，当 n＝k＋1 时，第 k＋1 个半 圆与原 k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不 能交于一点， 所以第 k＋1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半 圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出 k 条圆弧，另外原 k 个半圆把第 k＋1 个半圆分成 k＋1 段， 这样又多出了 k＋1 段 圆弧． ∴f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 由(1)，(2)可知命题得证．
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证明 (1) 当 n＝1时，左边＝ 1×4 ＝ 4，右边＝ 1×22 ＝4 ，左边
＝右边，等式成立．
(2) 假设当 n ＝ k(k∈N ＋ ， k≥1) 时等式成立，即 1×4 ＋ 2×7 ＋ 3 ×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么，当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝ k(k ＋ 1)2 ＋ (k ＋ 1)[3(k ＋ 1) ＋ 1] ＝ (k ＋ 1)(k2 ＋ 4k ＋ 4) ＝ (k ＋ 1)[(k ＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．
课前探究学习 课堂讲练互动
用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，
关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边
各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，等式两边会增加多少项．难点在于寻找n＝k时和n＝k＋1时 的等式的联系．
②就没有意义了．
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说明： 归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方
法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明
猜想． “观察 ——猜想—— 证明”是解答与自然数有关命题的 有效途径．
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2．数学归纳法的主要应用 利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代 数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题 等等，所涉及的题型主要有以下几个方面： (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2) 由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题
体情况而确定，不一定是n0＝1，如证明n边形的内角和为
(n－2)·180°时，其初始值n0＝3.
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名师点睛
1．数学归纳法中两个步骤的作用及关系
步骤①是命题论证的基础，步骤②是判断命题的正确性能
否递推下去的保证． 这两个步骤缺一不可，如果只有步骤①缺少步骤②，无法 对 n 取 n0 后的数时结论是否正确做出判断；如果只有步骤 ②缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤
具体问题具体分析.
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题型一 恒等式问题
【例1】 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋
1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)． [思路探索] 第(1)步先验证等式成立的第一个值n0；第(2)步 在n＝k时等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增 的项，整理出等式右边的项．