高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件

高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。

1. 2命题及其关系、充分条件与必要条件E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.下列命题中是真命题的是（）①“若/+yV0,则池y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；丄2③“若x-3 是有理数，则/是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案B解析对于①，其否命题是“若^2+/ = 0,则昭y全为零”,这显然是正确的，故① 为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③. 故选B.2.（2018 •河南八市联考）命题"若段>方，则白+c>b+c”的否命题是（）A.若aWb,则a+c^b+cB.若日+cWZ?+c,则aWbC.若a+c>b+ c,则自〉方D.若 Qb,则a+ c^b+c答案A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若Qb,则a+c>b+c ff的否命题是“若&Wb,则.故选A.3.（2018 •曲阜模拟）己知Q：函数f\x） = \x+ci\在（一8, —1）上是单调函数，q：函数gd）=10ga（卄1）30且自Hl）在（一1, +8）上是增函数，则繍Q是0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析易知Q成立0日Wl, Q成立OQ1,所以纟弟Q成立O日〉1,则絲Q是Q的充耍条件.故选C.4.下列命题正确的是（）A.若为真命题，则p/\q为真命题b aB.“臼>0,方>0”是“一+了$2”的充分必要条件a bC.命题“若3/+2=0,则x=\或/=2”的逆否命题为“若“H1或/H2,则x~ 3卄2工0”D.命题“：x + x—1X0,则繍 q： V/WR, x x—120答案D解析若Zq为真命题，则P，Q屮至少有一个为真，那么pt\q可能为真，也可能为假,h o h ry故A错误；若臼>0,方>0,贝lj-+y^2,又当水0, 〃〈0时，也有一+了$2,所以“&>0, 〃>0” a ba bh o是“-十7三2”的充分不必要条件，故B错误；命题“若#—3卄2 = 0,则尸1或心2”的a b逆否命题为“若xHl且xH2,则3x+2H0”，故C错误，由此可知D正确.故选D.5.(2018・广东广州质检)已知p： 3^>0, e—ax< 1成立，q：函数f(力=—(曰一1)"在R上是减函数，则门是0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析若3%>0, e—ax<\成立，则3^r>0,使得e<ax+\.由于直线y= ax+1恒过点(0, 1),且y=e'在点(0, 1)处的切线方程为y=x+l t因此p：臼>1；若函数f(x) = — (a—1)' 是减函数，则自一1〉1,则$>2,则g：日>2.故由Q可以推出p,由p推不出故p是Q的必要不充分条件.故选B.6.(2018 •合肥模拟)祖噸原理：“幕势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,〃为两个同高的几何体，p： A,〃的体积不相等，q； A,〃在等高处的截面积不恒相等，根据祖眶原理可知，p是^的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析设命题念“若P，则q” ,可知命题臼是祖咆原理的逆否命题，则曰是真命题.故P是Q 的充分条件.设命题弘“若q,则P”，若力比〃在某些等髙处的截而积小一些，在另一些等高处的截血积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的.所以命题力是假命题，即Q不是Q的必耍条件.综上所述，Q是G的充分不必要条件.故选A.7.(2017 •衡水联考)0=0”是“函数f^=sinx~-+a为奇函数”的()XA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析的定义域为{”xH0},关于原点对称，当日=0时，f(0=sinx—丄，f{~x) x=sin(—劝=—sin/+丄=—(sin/—丄］=—f(x), 故f(x)为奇函数；反之，当f{x) =sinx—~+a为奇函数吋，f{~x) +f(x) =0,x又f\~x) +f\x) =sin( —%) —^—+ a+ si nx—~+ a=2a f故已=0,—x x所以“日=0”是“函数f(x)=sinx—丄+日为奇函数”的充要条件.故选C.X& （2018 •天津模拟）已知f3=2x+3C¥WR）,若| /V ） - 11 的必要条件是丨才+1|<AU, b>0）,则g, b 之间的关系是（）B.答案A解析 I f(x) =2卄3, .&| f(x) 一 11 <臼, :.\2x+2\<a. :.-a<2x+2<a f 一2一白 —2 +臼…~2-* ~2~•・・・|%+1|〈方，A-ZK^+KZ?,:.-b~l<x<b-l.*.* I f\x) —1 \<a 的必要条件是| /+11〈力(日，力〉0), (~2~a -2 + <A z 、 • Q ‘ 2 I —( — b — 1, b~ 1) •、一2 + & 方一恃飞一 解得bdg 故选A.9. （2018 -江西一联）已知i 为虚数单位，日为实数，复数2=（1—2i ）@+i ）在复平面内 对应的点为必则“日>0”是“点朋在第四象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件B.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析 复数z=（l —2i ）（日+i ）=w+2 —2曰i + i=m+2+（l —2Qi 在复平面内对应的点 为〃（&+2,1—2日）.若Q0,则$+2>0,但1一2$的正负不确定，所以点於是否在第四象限 中+2〉0, 1 也是不确定的；若点〃在第四象限，贝U 解得小刁此时可推出日〉0.所以“日>0”是“点』/在第四象限”的必要不充分条件.故选B.10. （2017 •湖北七市联考）已知圆 Q ： （x-l ）2+y 2=r （r>0）.设 p ： 0</<3, q ：圆 C 上至多有2个点到直线L 萌y+3 = 0的距离为1,则门是§的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析 圆C ： （X — I ）2+ y = z*2的圆心（1,0）到直线x —y[^y+ 3 = 0的距离d=D. b a>2=2.当re （0, 1）时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r=1吋，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当re （1,2）时，直线与圆相离, 圆上有两个点到直线的距离为1；当厂=2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为 1；当re （2,3）时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当re （0, 3）时， 圆上至多有2个点到直线的距离为1,又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<K3, 故P 是Q 的充分必要条件.故选C.二、填空题11. （2017 •上海模拟）己知集合A= {x/ log_[ x+2 <0},集合”匕一日）匕一2方）<0},若“心一3”是“加狞0”的充分条件，则实数〃的取值范围是 ___________ .答案（一1, +<-） 解析 A= {x/ log 丄 x+2<0} = {x\%> —1}, 2B= {x\ （x —ci ）= （ — 3, Z?）或（力，—3）,由“SQ 狞0”，得&>一1,故方的取值范围为（一1, +8）.12. 己知条件 p ： xE ： A,且 A= {x\a~\<x<a+\},条件 q ： xW B,且 B= {x\ y=心_3卄2}.若p 是Q 的充分条件，则实数日的取值范围是 ______________ .答案（一8, 0]U[3, +8）解析 易得1或 心2},且A= {x\ a —\<x<a+\},由”是q 的充分条件，可知AUB,故曰+1W1或曰一 1M2,即已W0或已23.即所求实数自的取值范围是（一0]U[3, +-）.13. （2018 •泰安模拟）设°：实数*满足#一4站+3歆0,其中$H0, q ：实数/满足x~x —6W0,2, n OXA 若”是q 的必要不充分条件，则实数臼的取值范围是y+2^—8>0,答案（1,2]解析・・#是Q 的必要不充分条件，• •H. q.设 A= UIpU ）}, B= {X \ q{x ）},则〃 A.又 〃={”2<A <3},当臼〉0 时，〃={”以*3引； 当 X0 时，A — {x\ 3臼〈*臼}. 际2,故当白>0时，有解得1JW2；3®,当水0吋，显然AHB=0f 不符合题意. 综上所述，实数日的取值范围是仃,2].14. （2017 •长沙模拟）r （%）:已知厂3 =sinx+cosQ 刃；s （x ） ： x +/ZZA + l>0.如果X/x WR,厂匕）与s （x ）有且仅有一个是真命题，则实数刃的取值范围是 ________ .|1 一 £xo + 3|2答案（一8, —2] U [―边，2）解析由sin^r+ cos^=^2sin^A z+—J,得sin^+cos%的最小值为一迈.若VxWR时，命题厂（x）为真命题，则区_蟲.若命题sd）为真命题，即V%ER,不等式x + mx+1 >0恒成立，贝ij A =爪—4〈0,解得一2</X2.若命题于（劝为真命题，命题s（力为假命题，则—2；若命题厂（方为假命题，命题s（x）为真命题，则一边W〃K2.综上所述，实数刃的取值范围是（一g, —2]U [—谑，2）.三、解答题15.（2017 •沂水模拟）已知fd）是（一8, +8）上的增函数，自，z,eR,对命题“若自+ 於0,则e+/U）Nf（—日）+/*（—力）”・（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解（1）逆命题：已知函数fd）是（一8, +8）上的增函数，&, Z?eR,若f（a）+/U）Nf（-a）+/*D,则a+b^0.是真命题.（用反证法证明）假设已+貳0,则有a〈_b, K-a.•/ f^X）在（一°°, +°°）上是增函数，血心（一日）.・・・r@）+f（b）〈f（—刃+f（—方），这与题设中r+c—勿矛盾,故假设不成立.从而a+b^0成立.逆命题为真.（2）逆否命题：已知函数f（x）是（一8, +8）上的增函数，a, Z?eR,若f（白）+f（方）〈f（—白）+f（—Z?）,则&+ZKO.是真命题.原命题为真，证明如下：:• a2 — b, b2 _a.又Tf（x）在（一°°, + ^）上是增函数，:./'（a） 2 /'（—H）, /'（H） 2 /'（—a）•/. f（ci） + f（方）Mf（—a） +/（—方）.・・・原命题为真命题，.••其逆否命题也为真命题.16.（2017 •江苏兴化月考）已知命题：“日/丘｛”一1〈水1｝，使等式x~x~m= 0成立” 是真命题.（1）求实数刃的取值集合必（2）设不等式（/—自）匕+自一2）〈0的解集为僦若圧川是圧財的必要条件，求实数臼的取值范围.解（1）由题意知，方程-x—m= 0在（-1,1）±有解，即刃的取值范围就为函数y=rX—X在（一1,1）上的值域，易知5 —*W〃K2».⑵因为/已V是的必要条件，所以兀用当已=1时，解集沖为空集，不满足题意；当&>1 时,a>2-a,此时集合N=[x\2~a<x<a} f2 —a<_Q则4解得咛；、心2,当日〈1时，从2 —日，此时集合N={x\a<x<2-a}fa<—7， 1则 4 解得X--.2 —臼M2,9、 1综上，Q才或日〈一亍。

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。

第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件理1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( ×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √)1．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A解析对于A，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y. 2．(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由(x－1)(x＋2)＝0可得x＝1或x＝－2，，－2}，∴“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．4．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 5．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件． 答案 ①②解析 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一 命题及其关系例1 (2016·宿州模拟)下列命题： ①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题； ②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是( )A ．③④ B．①③ C．①② D．②④ 答案 A解析 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是( )A．若x>0，则x2≤0B．若x2>0，则x>0C．若x≤0，则x2≤0D．若x2≤0，则x≤0(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福答案(1)C (2)D题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案(1)B (2)A解析(1)∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时log a3<log b3正确；反之，若log a3<log b3，则不一定得到3a>3b>3，例如当a＝12，b＝13时，log a3<log b3成立，但推不出a>b>1.故“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件．(2)由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(1)(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A解析 (1)当x >1，y >1时，x ＋y >2一定成立，即p ⇒q ， 当x ＋y >2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q ⇏p ， 故p 是q 的充分不必要条件．(2)(等价法)因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇏綈q ， 所以綈q 是綈p 的充分不必要条件， 即p 是q 的充分不必要条件，故选A. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P . ∴[－－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．(1)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________________．(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)(0,3) (2)[0，12]解析 (1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.故答案为(0,3)．(2)命题p 为{x |12≤x ≤1}，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝{x |x >1或x <12}，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12，∴0≤a ≤12.故答案为[0，12]．1．等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)(2016·湖北七校联考)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件． (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件． ∴{x |x >ax |x <－3或x >1}，∴a ≥1.答案 (1)A (2)A1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 A2．命题“如果x ≥a 2＋b 2，那么x ≥2ab ”的逆否命题是( ) A ．如果x <a 2＋b 2，那么x <2ab B ．如果x ≥2ab ，那么x ≥a 2＋b 2C ．如果x <2ab ，那么x <a 2＋b 2 D ．如果x ≥a 2＋b 2，那么x ＜2ab 答案 C解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，“≥”的否定是“<”．故答案C 正确．3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 4．(2015·重庆)“x ＞1”是“12log (2)0x ＋＜”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (2)0x ＋＜，12log (2)0x ＋＜⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (2)0x ＋＜”成立的充分不必要条件．故选B.5．(2016·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.6．已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≥2} B ．{m |m ≤2} C ．{m |m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 C解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3， 即m >2，故选C.7．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．8.(2015·湖北)设a1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( ) A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案 B解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.9．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析∵a－b>1，即a>b＋1.又∵a，b为正数，∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝3，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．10．有三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．其中真命题的序号为____________．答案①解析命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充要解析若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数，此时x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．12．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案[0,2]解析由已知易得{x|x2－2x－x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 13．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．答案 [32，＋∞) 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是[32，＋∞)． *14.下列四个结论中： ①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．其中正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．*15.已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解 y ＝x 2－32x ＋1 ＝(x －34)2＋716， ∵x ∈[34，2]，∴716≤y ≤2. ∴A ＝{y |716≤y ≤2}． 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．。

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第一章集合与常用逻辑用语 1。

2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1。

四种命题及相互关系2。

四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3。

充分条件与必要条件（1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；（3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5）如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件。

【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x｜p（x)｝,B＝｛x｜q(x）｝，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件;(3)若A＝B，则p是q的充要条件；（4）若A B,则p是q的充分不必要条件;(5）若A B,则p是q的必要不充分条件；（6）若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件。