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集合及其表示方法
一、复习巩固
1．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1，根据元素的互异性知其解集中有1个元素．
答案：B
2．下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1，
3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－
3|构成的集合
B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合
C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合
D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集
解析：由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合．而B ，C ，D 中P ，
Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.
答案：A
3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a
，b .若集合A 与集
合B 相等，则b －a ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a
＝－1，∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝
2.
答案：C
4．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A
D ．a ＝A
解析：由于集合A 中只含有一个元素a ，由元素与集合的关系可知，a ∈A ，故选C. 答案：C
5．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 答案：D
6．若1－a 1＋a 是集合A 中的元素，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为________．
解析：由题意，得1－a
1＋a ＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1±
2.
答案：－1±
2
7．已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2
8．用符号“∈”和“∉”填空：0________N *，3________Z,0________N ，3＋2________Q ，4
3
________Q . 解析：只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断，故填∉，∉，∈，∉，∈. 答案：∉ ∉ ∈ ∉ ∈
9．若a 2＝3，则a ________R ；若a 2＝－1，则a ________R .
解析：平方等于3的数是±3，当然是实数；而平方等于－1的实数是不存在的，故填
∈，∉.
答案：∈ ∉
10．已知集合A 中含有两个元素x 2＋x －3和2x －1.若3是集合A 中的元素，试求实数
x 的值．
解析：∵3∈A ，∴x 2＋x －3＝3或2x －1＝3. 若x 2＋x －3＝3，则x 2＋x －6＝0. 即x ＝－3或x ＝2.
当x ＝－3时，2x －1＝－7，知集合A 中的两个元素是3，－7，满足题意．
当x ＝2时，由2x －1＝3，知集合A 中的两个元素是3,3，不满足集合中元素的互异性．故舍去．
若2x －1＝3，则x ＝2，x 2＋x －3＝3，不满足集合中元素的互异性．故舍去．综上可知，
x 的值为－3.
二、综合应用
11．下列结论正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；③由1，32，64，|1
2|，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指
第二和第四象限内的点集．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，不是同一个集合；③
3
2＝64，|1
2|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④集合包括坐标轴，而坐标轴不属于任何象限．
答案：A
12．设P，Q是两个非空集合，定义一种新的运算：P@Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P@Q中元素的个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：若a＝0，b＝1,2,3，则a＋b＝1,2,3；若a＝1，b＝1,2,3，则a＋b＝2,3,4；若a ＝2，b＝1,2,3，则a＋b＝3,4,5.
答案：A
13．由实数x，－x，|x|，x2，－3
x3所组成的集合里面元素最多有________个．
解析：x2＝|x|，－3
x3＝－x，故所组成的集合里面元素最多有2个．
答案：2
14．已知集合A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，a∈R.
(1)若－3∈A，求实数a的值；
(2)当a为何值时，集合A的表示不正确？
解析：(1)由题意知，A中的任意一个元素都有等于－3的可能，故需要讨论．当a－3＝－3时，a＝0，集合A＝{－3，－1,1}，满足题意；当2a－1＝－3时，a＝－1，集合A＝{－4，－3,2}，满足题意；当a2＋1＝－3时，方程无解．综上所述，a＝0或a＝－1.
(2)若元素不互异，则集合A的表示不正确．若a－3＝2a－1，则a＝－2；若a－3＝a2＋1，则方程无解；若2a－1＝a2＋1，则方程无解．∴满足条件的a值为－2.
15．写出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集．
解析：x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
16．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
