2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时

第2课时集合的表示方法学习目标核心素养1.掌握集合的两种表示方法．(重点) 2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)1.借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养．2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养．空集及一些常用的数的集合我们用约定俗成的符号来表示它们，给出下列集合：①所有奇数构成的集合；②在平面直角坐标系中，第一象限的点组成的集合；③不超过10的正偶数构成的集合；④比2大的所有实数构成的集合．问题你会用恰当的方法表示上述集合吗？1．集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．思考1：观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？[提示]能．(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为：1，2，4，5，10，20.问题2：如何表示上述两个集合？[提示]用列举法表示．[拓展]用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．思考2：观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？[提示]不能．问题2：如何表示这两个集合？[提示]利用描述法．[拓展]描述法表示集合的两个步骤2．区间的概念定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.含“∞”的区间的几何表示定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)[拓展](1)区间的左端点必须小于右端点；(2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；(4)无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；(5)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一端点时，这一端必须是小括号．(6)实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式x＞1的解集可以用列举法表示．( )(2){x∈Z|x＝2k，k∈Z}与{x∈Z|x＝2k，k∈N}是相等的集合．( )(3)集合{(1，2)}和{1，2}是相等的集合．( )(4)集合{x|1＜x≤3}可表示为[1，3). ( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )A.{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C.{ x2－3x＋2＝0} D．{1，2}D[解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，故集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1，2}．]3．(教材P9练习A⑤改编)用区间表示下列数集：(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3＜x≤4}＝________．[答案][2，＋∞)(2)(3，4]4．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)偶数可用式子x＝2n(n∈Z)表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.用列举法表示集合【例1】(1)若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是( )A.1 B．2 C．3 D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集．(1)B [集合A ＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4).选B.](2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0，1)，故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0，1)}．1.一般地，列举法适用于有限集：①元素个数有限且比较少时，可以全部列举出来，如{1，2，3}；②元素个数有限且比较多时，可以列举一部分，中间用省略号表示，如从1到1 000的所有正整数构成的集合，可以表示为{1，2，3，…，1 000}．2.对于含有较多元素的无限集，如果元素的排列呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如自然数集N 可以表示为{0，1，2，3，…，n ，…}．[跟进训练]1．已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2，3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .[解] 对任意a ∈A ，有|a |∈B ，因为集合A ＝{－2，－1，0，1，2，3}，由－1，－2，0，1，2，3∈A ，知0，1，2，3∈B .又因为B 中只有4个元素，所以B ＝{0，1，2，3}．用描述法表示集合【例2】 (教材P7例1改编)试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合； (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．[解] (1)设方程x 2－2＝0的实数根为x ，并且满足条件x 2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x ∈R |x 2－2＝0}．方程x 2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A ＝{2，－2}．(2)设大于10小于20的整数为x ，它满足条件x ∈Z ，且10<x <20，因此，用描述法表示为B ＝{x ∈Z |10<x <20}．大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B ＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．用描述法表示集合时应注意：(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x ＜1}可以写成{x |x ＜1}，而不能写成{x ＜1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．[跟进训练]2．用描述法表示下列集合：(1)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；(2)二次函数y ＝x 2－10图像上的所有点组成的集合．[解] (1)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，解得x ＝2，y ＝－3， 所以方程的解集为{(x ，y )|x ＝2，y ＝－3}．(2)“二次函数y ＝x 2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}．集合的表示法的应用 角度一 方程、不等式问题【例3】 若集合A ＝{x |ax 2＋ax －1＝0}只有一个元素，则a ＝( ) A. －4 B. 0 C. 4 D. 0或－4A [依题意，得关于x 的方程ax 2＋ax －1＝0只有一个实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，a 2＋4a ＝0，解得a ＝－4，选A.]在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围．[跟进训练]3．若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，则实数a 的取值范围是________． [0，4) [当a ＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解；当a ≠0时，一元二次方程ax2＋ax ＋1＝0无实数解，则需Δ＝a 2－4a ＜0，即a (a －4)＜0，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －4>0，解得0<a <4，综上，得0≤a <4.] 角度二 对参数分类讨论问题【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }． (1)若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． [解] (1)由题意知，A 中有且只有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根． 当a ＝0时，对应方程为一次方程，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，符合题意；当a ≠0时，对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个相等实根， 即Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，符合题意． 综上所述，a 的取值集合为{0，1}． (2)由题意知，A 中至多有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a ＝0或1时，A 中有且只有一个元素，符合题意；当Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1时， 对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根， 即A 中无元素，符合题意．综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性). 提醒：一般地，集合{x |f (x )＝0}表示方程f (x )＝0的解集； {x |f (x )＞0}表示不等式f (x )＞0的解集； {x |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中x 的取值的集合； {y |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中y 的取值的集合．[跟进训练]4．若A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }＝，求a 的取值范围．[解] 因为A ＝，则集合A 无元素，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实数解，所以a ≠0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ＜0，解得a ＞1，所以a 的取值范围为{a |a ＞1}．知识：1．与{0}的区别(1)是不含任何元素的集合； (2){0}是含有一个元素的集合． 2．在用列举法表示集合时应注意： (1)元素间用分隔号“，”； (2)元素不重复； (3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．3．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．关于无穷大的两点说明 (1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端点时，这一端必须用小括号． 方法：(1)列举法：一般用于表示元素个数较少的集合． (2)描述法：一般用于表示元素有明显共同特征的集合．(3)分类讨论思想：方程或不等式中求参数范围的问题往往需要分类讨论．1．用列举法表示集合{x |x －2＜3，x ∈N *}为( )A.{0，1，2，3，4} B ．{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，5}B [∵x －2＜3，∴x ＜5.又x ∈N *，∴x ＝1，2，3，4，故选B.]2．已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A.1 B ．3 C.5D ．9C [x －y ∈{－2，－1，0，1，2}．] 3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A.方程y ＝2x －1 B.点(x ，y )C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y ＝2x －1图像上的所有点组成的集合D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]4．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2<x ≤4}＝________． [答案] (1)[1，＋∞) (2)(2，4]5．若(a ，3a －1]为一确定区间，则实数a 的取值范围是______．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [∵(a ，3a －1]为一确定区间，∴a ＜3a －1，解得a ＞12，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.]。

人教版】2020年高中数学新教材必修一电子教材目录2020年高中数学材必修一教材目录第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念集合是一种基本的数学概念，是由一些确定的对象组成的整体。

集合中的每个对象称为元素。

集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，元素属于集合用符号“∈”表示。

1.2 集合间的基本关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素，用符号“⊇”表示。

相等关系是指两个集合互相包含，用符号“=”表示。

交集是指两个集合中共同的元素组成的集合，用符号“∩”表示。

并集是指两个集合中所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。

1.3 集合的基本运算集合的基本运算有并、交、差、补四种。

并集是指两个集合中所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。

交集是指两个集合中共同的元素组成的集合，用符号“∩”表示。

差集是指一个集合中除去另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合，用符号“-”表示。

补集是指在全集中除去一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合，用符号“C”表示。

1.5 全称量词与存在量词全称量词是指对于集合中的每一个元素，命题都成立，用符号“∀”表示。

存在量词是指集合中存在一个元素使命题成立，用符号“∃”表示。

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质等式性质是指对等式两边同时加、减、乘、除同一个数，等式仍成立。

不等式性质是指对不等式两边同时加、减、乘、除同一个正数，不等式方向不变；对不等式两边同时加、减、乘、除同一个负数，不等式方向改变。

2.2 基本不等式基本不等式是指对于任意实数x和y，有2xy≤x²+y²成立。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数是指函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的图象为开口向上或向下的抛物线。

一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程。

一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0（a≠0）的不等式。

第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念1.1.2集合的表示〖目标〗 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．〖重点〗集合的两种表示方法及其运用．〖难点〗对描述法表示集合的理解．知识点一列举法〖填一填〗把集合的所有元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．{ }表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．〖答一答〗1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二描述法〖填一填〗1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.〖答一答〗3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合〖例1〗 (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是(B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合． ①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．〖解析〗 (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点：(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 〖变式训练1〗用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合〖例2〗 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x -7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .〖分析〗 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． 〖解〗 (1)解2x －7<3得x <5，所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 〖变式训练2〗 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *. 类型三 两种方法的灵活应用〖例3〗 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．〖分析〗 (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．〖解〗 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}． (3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)〖变式训练3〗 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}〖解 析〗∵x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}〖解 析〗方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3.集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.〖解 析〗由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5. 4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}． 〖解 析〗正整数中所有的偶数均能被2整除． 5.用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n,4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第一章 1.1 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( C ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2}D ．{x 2－3x ＋2＝0}〖解析〗 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2.用列举法表示为{1,2}． 2．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( B ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0〖解析〗 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故该集合为{(0,1)}．3．已知x ∈N ，则方程x 2＋x －2＝0的解集为( C ) A ．{x |x ＝2}B ．{x |x ＝1或x ＝－2}C ．{x |x ＝1}D ．{1，－2}〖解析〗 方程x 2＋x －2＝0的解为x ＝1或x ＝－2.由于x ∈N ，所以x ＝－2舍去．故选C ．4．若A ＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }表示为( D ) A ．{(－1,3)} B ．{－1,3}C ．{(－1,3)，(3，－1)}D ．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}〖解析〗 因为集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }是点集或数对构成的集合，其中x ，y 均属于集合A ，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}〖解析〗 因为{x |x ＝1}＝{1}，{x |x 2＝1}＝{－1,1}，{y |(y －1)2＝0}＝{1}，所以B 选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x为所有实数}或{R }；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中说法正确的个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0〖解析〗 由x 3＝x ，得x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ，故②不正确．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解集应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2，故③不正确． 二、填空题7．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示A 为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.〖解析〗 ∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0.∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．8．集合{1，2，3，2，5，…}用描述法表示为〖解析〗 注意到集合中的元素的特征为n ，且n ∈N *，所以用描述法可表示为{x |x ＝n ，n ∈N *}．9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__a ≤－2__. 〖解析〗 因为1∉A ，则应有2×1＋a ≤0，所以a ≤－2. 三、解答题10．用列举法表示下列集合： (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫62－x ∈Z ，x ∈Z ；(2){(x ，y )|y ＝3x ，x ∈N 且1≤x <5}．〖解析〗 (1)因为62－x∈Z ，所以|2－x |是6的因数，则|2－x |＝1,2,3,6，即x ＝1,3,4,0，－1,5，－4,8. 所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}． (2)因为x ∈N 且1≤x <5，所以x ＝1,2,3,4， 其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}． 11．用描述法表示下列集合． (1){2,4,6,8,10,12}； (2){13，24，35，46，57}；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝2的解组成的集合．〖解析〗 (1){x |x ＝2n ，n ∈N *，n ≤6}． (2){x |x ＝nn ＋2，n ∈N *，n ≤5}． (3){x |x ＝5n ＋1，n ∈N }． (4){(x ，y )|xy <0}．(5)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0. B 组·素养提升一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝－1}B ．{1}C ．{(1，－1)}D ．{(x ，y )|(1，－1)}〖解析〗 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 的集合表示方法有误，排除D ．2．用列举法可将集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为( D ) A ．{1,2} B ．{(1,2)} C ．{(1,1)，(2,2)}D ．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}〖解析〗 x ＝1，y ＝1；x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝1；x ＝2，y ＝2.∴集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D ． 3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD ) A ．{x |x ＝2k －1，k ∈N } B ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥2} C ．{x |x ＝2k ＋3，k ∈N } D ．{x |x ＝2k ＋5，k ∈N }〖解析〗 选项A ，C 中，集合内的最小奇数不大于4. 4．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是( ABD ) A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R } D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }〖解析〗 选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M ≠P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．二、填空题5．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则实数a 的值是__0或1__. 〖解析〗 集合A 中只有一个元素，有两种情况：当a ≠0时，由Δ＝0，解得a ＝1，此时A ＝{－1}，满足题意；当a ＝0时，x ＝－12，此时A ＝{－12}，满足题意．故集合A 中只有一个元素时，a 的值是0或1.6．用列举法写出集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪33－x ∈Z x ∈Z ＝__{－3，－1,1,3}__.〖解析〗 ∵33－x ∈Z ，x ∈Z ，∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．7．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为__4__.〖解析〗 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．三、解答题8．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ．〖解析〗 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0， 所以x ＝2，此时A ＝{2}．(2)当k ≠0时，因为集合A 中只有一个元素， 所以方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等的实根． 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，所以集合A ＝{4}，综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}． 9．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 中只有一个元素，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．〖解析〗 (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.。

1.1。

3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。

问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。

这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。

（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。

第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。

通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。

(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。

1.1.1集合及其表示方法集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。

【数学抽象】了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;【数据分析】理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;【数学运算】掌握常用数集及其记法;【逻辑推理】掌握集合的表示方法；【教学重点】1、掌握集合、元素的基本概念2、学会用描述法表示集合3、用区间表示集合【教学难点】1、集合中元素的三个特征2、空集的理解3、记住几种常见的数集符号由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．【新课导入】在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。

例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.【新课讲授】一、集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。

把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。

集合通常用英文大写字母A，B，C，...表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，...表示。

如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”.【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么.【典型例题】（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0∈A，0.5∉A；（2）如果B是由方程x²=1的所有解组成的集合，则-1∈B，0∉B，1∈B（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长r（r>0）的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P∈C.【思考与讨论】现在我们来考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素。

2020届新高一数学知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。

2.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

3.通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合，用小写字母a、b、c……表示集合中的元素。

5.元素与集合间关系只有两种：①属于，符号为“∈”；②不属于，符号为“∉”。

6.（1）非负整数集（自然数集）符号表示为N。

（2）正整数集符号表示为*N或N。

（3）整数集符号表示为Z。

（4）有理数集符号表示为Q。

（5）实数集符号+表示为R。

7.质数（素数）：质数又称素数，指的是一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除（无正因数）的数。

最小的质数为2.合数：合数又名合成数，是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被0除外的其他数整除的数，最小的合数是4。

1既不是质数也不是素数。

1.2集合间的基本关系1.子集：A是B的子集，记作BA⊆或CB⊇。

2.数学中常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。

3.集合相等（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作BA=. （2）集合相等的证明：若BA=。

B⊆，则BA⊆，且A4.真子集（1）定义：如果B A ⊆，但存在元素B x ∈且A x ∉，就称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂（或A B ≠⊃）。

（2）A 是B 真子集的判定： B A ⊆ 且 B A ≠ ，则A 是B 的真子集。

5.空集（1）定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

并规定：空集是任何集合的子集。

（2）补充：空集是任何非空集合的真子集。

（3）n 元集合共有n 2个子集，共有12-n 个真子集，共有12-n 个非空子集，共有22-n 个非空真子集。

（4）空集只有子集，就是空集本身，空集没有真子集也没有非空子集。

第2课时集合的表示考点学习目标核心素养列举法表示集合掌握用列举法表示有限集数学抽象描述法表示集合理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合数学抽象区间及其表示会用区间表示集合数学抽象集合表示法的简单应用学会在集合的不同表示法中作出选择和转换数学抽象问题导学预习教材P5倒数第4行－P8的内容，思考以下问题：1．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？4．如何用区间表示集合？1．列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．■名师点拨(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点①元素与元素之间必须用“，〞隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．2．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，那么性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．■名师点拨(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母．(2)注意区分以下四个集合①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y ＝x2＋1的图像上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.3．区间的概念及表示(1)区间的定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)无穷的概念及无穷区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) ■名师点拨关于无穷大的两点说明(1)“∞〞是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞〞或“＋∞〞为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．( )(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )(4)集合{x|x>3，且x∈N}与集合{x∈N|x>3}表示同一个集合．( )(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×方程x2－1＝0的解集用列举法表示为( )A．{x2－1＝0} B．{x∈R|x2－1＝0}C．{－1，1} D．以上都不对x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}x－3<2，x∈N*，所以x<5，x∈N*，所以x＝1，2，3，4.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1<x<5}．答案：{0，1，2，3，4} {x∈N|－1<x<5}(1){x|－1≤x≤2}可用区间表示为________；(2){x|1<x≤3}可用区间表示为________；(3){x|x>2}可用区间表示为________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为________；答案：(1)[－1，2] (2)(1，3] (3)(2，＋∞)(4)(－∞，－2]用列举法表示集合用列举法表示以下集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N . 【解】 (1)因为－2≤x ≤2，x ∈Z ， 所以x ＝－2，－1，0，1，2， 所以A ＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根， 所以M ＝{2，3}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.所以B ＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15， 所以N ＝{1，3，5，15}．列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举局部，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数〞可以表示为{1，2，3，…，1 000}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N 〞可以表示为{0，1，2，3，…}．[注意] (1)花括号“{}〞表示“所有〞“整体〞的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．用列举法表示以下给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ； (2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ； (3)小于8的质数组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点组成的集合D . 解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5， 所以A ＝{2，3，4，5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3，3， 所以B ＝{－3，3}．(3)小于8的质数有2，3，5，7，所以C ＝{2，3，5，7}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4， 所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点为(1，4)，所以D ＝{(1，4)}．用描述法表示集合用描述法表示以下集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合； (2)不等式2x －3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影局部的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】 (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)题图中阴影局部的点(含边界)的集合可表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy ≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．使用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同属性． (3)不能出现未被说明的字母．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．试分别用描述法和列举法表示以下集合：(1)由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x ∈R |x (x 2－2x －3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}． (2)用描述法表示为{x ∈Z |2<x <7}，用列举法表示为{3，4，5，6}．区间及其表示把以下数集用区间表示：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－12；(2){x |x ＜0}； (3){x |－2＜x ≤3}； (4){x |－3≤x ＜2}； (5){x |－1＜x ＜6}．【解】 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞； (2)(－∞，0)； (3)(－2，3]； (4)[－3，2)； (5)(－1，6)．解决区间问题应注意的五点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b －a 称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a }．(2)注意开区间(a ，b )与点(a ，b )在具体情景中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． (5)要注意区间表示实数集的几条原那么，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞〞作为区间端点时，要用开区间符号．1．假设[2a ＋1，3a －1]为一确定区间，那么实数a 的取值范围为________． 解析：由题意知3a －1＞2a ＋1，即a ＞2. 答案：(2，＋∞)2．不等式2x ＋3≤0的解集可用区间表示为________． 解析：由2x ＋3≤0，得x ≤－32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 3．使15－x有意义的x 的取值范围为________(用区间表示)． 解析：要使15－x 有意义，那么5－x ＞0，即x ＜5. 答案：(－∞，5)集合表示方法的简单应用集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }，假设A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围．【解】 ①当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，x ＝32，符合题意．②当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得m ≥13，即当m ≥13时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m ＝0或m ≥13.1．(变条件)假设将本例中的“至多只有一个〞改为“恰有一个〞，如何求解？解：当m ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，即集合A 中只有一个元素32，符合题意；当m ≠0时，Δ＝4－12m ＝0， 即m ＝13.综上可知，m ＝0或m ＝13.2．(变条件)假设将本例中的“至多只有〞改为“至少有〞，如何求解？解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题解析可知，当m ＝0或m ＝13时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－12m >0，即m <13且mA 中至少有一个元素时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤13.此题容易漏解m ＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m ＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m ≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m 进展分类讨论.集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A＝{2}时，集合B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ，p ＝－3，q ＝4.那么(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3； 即(x －1)2－4(x －1)＝0； 那么x －1＝0或x －1＝4， 计算得出，x ＝1或x ＝5. 所以集合B ＝{1，5}．1．集合A ＝{x |－1<x <3，x ∈Z }，那么一定有( ) A ．－1∈A B ．12∈A C ．0∈AD ．1∉A解析：选C.因为－1<0<3，且0∈Z ，所以0∈A .2．将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的选项是( ) A ．{2，3} B ．{(2，3)} C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2，3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， 所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1＝{(2，3)}． 3．给出以下说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x ，y )|x >0，y >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }与{y |y ＝x －1，x ∈R }是不一样的；④不等式2x ＋1>0的解集可用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.其中正确的选项是________(填序号)．解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x ，y )，所以①正确；对于②，方程x －2＋|y ＋2|＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2}，所以②不正确；对于③，集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，集合{y |y ＝x －1，x ∈R }＝R ，这两个集合不一样，所以③正确；对于④，不等式2x ＋1>0的解集为{x |x >－12}，用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，所以④正确． 答案：①③④4．设集合A ＝{4，a }，集合B ＝{2，ab }，假设A 与B 的元素一样，那么a ＋b ＝______． 解析：因为集合A 与集合B 的元素一样，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，ab ＝4，即a ＝2，ba ＋b ＝4.答案：4[A 根底达标]1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合，其表示一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合．应选D. 2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的选项是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C 中t ＝0时，x ＝－3，不属于给定的集合；只有D 是正确的．应选D.3．集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0，1}，那么实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2，x 2＋ax ＝0的解为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a ，所以a ＝－1.4．(2021·襄阳检测)集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy，x ∈A ，y ∈A ，那么集合B中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.因为A ＝{1，2，4}．所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，14，2，4，所以集合B 中元素的个数为5. 5．以下说法中正确的选项是( ) ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．只有②和④解析：选C.①中“0〞不能表示集合，而“{0}〞可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．6．不等式3x －13≤x 的解集可用区间表示为________．解析：由3x －13≤x ，得x ≤16，故不等式的解集为{x |x ≤16}，可用区间表示为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，16. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，167．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为____________．解析：集合A 是由方程x ＋y ＝3的局部整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1，故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}8．－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，那么集合{x |x 2－3x ＋a ＝0}用列举法表示为________． 解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， 所以(－5)2＋5a －5＝0，解得a ＝－4. 所以x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4， 所以{x |x 2－3x ＋a ＝0}＝{－1，4}． 答案：{－1，4}9．用列举法表示以下集合： (1){x |x 2－2x －8＝0}；(2){x |x 为不大于10的正偶数}； (3){a |1≤a <5，a ∈N }；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ； (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}． 解：(1){x |x 2－2x －8＝0}，列举法表示为{－2，4}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}．(3){a |1≤a <5，a ∈N }，列举法表示为{1，2，3，4}．(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ，列举法表示为{1，5，7，8}． (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}，列举法表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．10．用描述法表示以下集合：(1){0，2，4，6，8}；(2){3，9，27，81，…}；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，56，78，…； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．解：(1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}．(2){x |x ＝3n ，n ∈N *}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －12n ，n ∈N *. (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．[B 能力提升]11．假设集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，那么实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选C.集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，假设只有一根，那么Δ＝16－16k ＝0，即kk 的值为0或1.12．设P 、Q 为两个实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，假设P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，那么P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．应选B.13．(2021·襄阳检测)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，假设x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，那么( )A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈MC．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈Px0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，那么x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P，应选A.14．设a∈N，b∈N，a＋b＝2，集合A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值．解：由a＋b＝2，得b＝2－a，代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b得：(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)①，又因为(3，2)∈A，将点代入①，可得(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)，整理，得2a2－5a＋3＝0，得a＝1或1.5(舍去，因为a是自然数)，所以a＝1，所以b＝2－a＝1，综上，a＝1，b＝1.[C 拓展探究]15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※〞如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？解：假设a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；假设a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个)．。

第1章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素：确定性.互异性.无序性.2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.3.元素和集合的关系：属于(a∈A)和不属于(a∉A).4.常见数集：自然数集：N，正整数集：n或m1，整数集：Z，有理数集：Q,实数集R.5.集合的表示方法：(1)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.，这种(2)描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P x 的元素x所组成的集合表示为x∈A P(x)表示集合的方法称为描述法.§1.2集合间的基本关系1.子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作m2.2.真子集：如果集合n，但存在元素m n，且N=m1+m2+⋯+m n，则称集合A是集合B的真子集.记作：集合A⊊B(或B⊋A).3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：n.并规定：空集合是任何集合的子集.4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有m1个子集，2n-1个真子集.§1.3集合的基本运算1.并集：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合集合A是集合B与B的并集.记作：m2.即A∪B= .x x∈A,或x∈B2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A是集合B与B的交集.记作：n.即A∩B= .x x∈A,且x∈B3.补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:∁U A,即∁U A={x|x∈U,且x∉U}.§1.4充分条件与必要条件1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题；2.充分条件.必要条件与充要条件如果“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，我们就说由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q 是p的必要条件；如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能提出结论q，记作p⇏q，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q此时则p是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.§1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)全称量词与全称量词命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为∀x∈Μ,p(x).(2)存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为∃x∈Μ,p(x).2.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈Μ，p(x)，它的否定¬p：∃x∈Μ，¬p(x).(2)存在量词命题p：∃x∈Μ，p(x)，它的否定¬p：∀x∈Μ，¬p(x).第2章一元二次函数、方程和不等式§2.1等式性质与不等式性质1.作差法比较大小a >b ⇔a -b >0；a <b ⇔a -b <0；a =b ⇔a -b =0.2.不等式的基本性质(1)(对称性)a >b ⇔b >a (2)(传递性)a >b ,b >c ⇒a >c (3)(可加性)a >b ⇔a +c >b +c(4)(可乘性)a >b ,c >0⇒ac >bc ；a >b ,c <0⇒ac <bc (5)(同向可加性)a >b ,c >d ⇒a +c >b +d (6)(正数同向可乘性)a >b >0,c >d >0⇒ac >bd (7)(正数乘方法则)a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ,且n >1)§2.2基本不等式①重要不等式：a 2+b 2≥2ab a ，b ∈R ,(当且仅当a =b 时取"="号).变形公式：2(a 2+b 2)≥(a +b )2a ，b ∈R②基本不等式：a +b2≥ab a ，b ∈R + ,(当且仅当a =b 时取到等号).变形公式：a +b ≥2ab ；ab ≤a +b 22.用基本不等式求最值时(积定和最小，和定积最大)，要满足条件:“一正.二定.三相等”.§2.3二次函数与一元二次方程.不等式Δ>0Δ=0Δ<0y =ax 2+bx +c a >0 的图象ax 2+bx +c =0(a >0)的根x 1,x 2(x 1<x 2)x 1=x 2=-b2a 没有实数根ax 2+bx +c >0(a >0)的解集x x <x 1,或x >x 2 x x ≠-b 2aRax 2+bx +c <0(a >0)的解集x x 1<x <x 2∅∅第3章函数的概念与性质§3.1函数的概念及其表示1. 设A，B是非空的实数集，使对于集合A中的任意一个数x，如果按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作：y=f x ，x∈A.2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间.4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5. 分段函数§3.2.函数的基本性质§3.2.1单调性与最大(小)值1.函数单调性的定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1、x2∈D,当x1<x2时，都有：f(x1)<f(x2)或f(x1)-f(x2)<0，就称f(x)在区间D上单调递增；特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；f(x1)>f(x2)或f(x1)-f(x2)>0，就称f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；2. 最大值、最小值：设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=M，我们就称M是函数y=f(x)的最大值.如果存在实数N满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≥N;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=N，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.§3.2.2奇偶性1.定义：设函数n的定义域为I, 如果∀x∈I，都有-x∈I，且n(或f(-x)-f(x)=0)，那么就称函数f x 为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.且若f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，那么就称函数f x 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数n的定义域为I, 如果0∈I，则有f(0)=0.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.§3.3幂函数1.幂函数的解析式：y=xα，x是自变量，α是常数.2.几种幂函数的图象：3.幂函数的性质：（1）定点：1,1.（2）单调性：当α>0时，y=xα在0,+∞上单调递增；当α<0时，y=xα在0,+∞上单调递减；第4章指数函数与对数函数§4.1指数§4.1.1n 次方根与分数指数幂1.如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根.其中n >1，n ∈N +.2.当n 为奇数时，na n =a ；当n 为偶数时，na n =a .3.规定：⑴a mn =na m (a >0,m ,n ∈N *,n >1)；⑵a -m n =1a m n=1n a m (a >0,m ,n ∈N *,n >1) .(3)0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义.4. 运算性质：⑴a r a s=a r +sa >0,r ,s ∈Q ；⇒a ras =a r -s⑵a r s =a rs a >0,r ,s ∈Q ；⇒a r s =a s r =a rs⑶ab r =a r b r a >0,b >0,r ∈Q .§4.1.2无理指数幂及其运算性质运算性质：⑴a r a s=a r +sa >0,r ,s ∈R ；⇒a ras =a r -s⑵a r s =a rs a >0,r ,s ∈R ；⇒a r s =a s r =a rs⑶ab r =a r b r a >0,b >0,r ∈R .§4.2指数函数1.定义：函数y =a x a >0,a ≠1 叫做指数函数，定义域为R .2.性质：a >10<a <1图象性质(1)定义域：R (2)值域：(0，+∞)(3)过定点(0，1)，即x =0时，y =1(4)增函数(4)减函数(5)x >0,a x>1;x <0,0<a x <1(5)x >0,0<a x<1;x <0,a x >1§4.3.对数1.定义：如果a x =N a >0,a ≠1 ；那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，a 叫对数的底数，N 叫真数.2.指数与对数间的关系：当a >0,a ≠1时，a x =N ⇔x =log a N3.对数恒等式：a log aN =N ，log a a N =N .4.两个特殊对数：(1)以10为底的对叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N ；(2)以无理数e =2.71828⋯⋯为底数的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N ；5.基本性质：⑴log a 1=0；⑵log a a =1；⑶负数和0没有对数.6.积、商、幂的对数运算法则：当a >0，a ≠1，M >0，N >0时：⑴a MN log =a M log +a N log ；⑵a MNlog =a M log -a N log ；⑶a M n log =n a M log .5.换底公式：a b log =c blog c a log a >0,a ≠1,c >0,c ≠1,b >0 .6.推论：⑴log a nb m =m n log a b ⑵log a b =1log b a a >0,a ≠1,b >0,b ≠1 .§4.4.对数函数1.定义：函数y =log a x a >0,a ≠1 叫做对数函数，定义域是0,+∞ .2.性质：a >10<a <1图象性质(1)定义域：(0，+∞)(2)值域：R (3)过定点(1，0)，即x =1时，y =0(4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数(5)x >1,log a x >0；0<x <1,log a x <0(5)x >1,log a x <0；0<x <1,log a x >0§4.5.函数的应用4.5.1函数的零点与方程的解1.方程f x =0有实数解⇔函数y =f x 的图象与x 轴有公共点⇔函数y =f x 有零点.2. 函数零点存在性定理：如果函数y =f x 在区间a ,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a ⋅f b <0，那么函数y =f x 在区间a ,b 内至少有一个零点，即存在c ∈a ,b ，使得f c =0，这个c 也就是方程f x =0的解.3.用二分法求方程的近似解对于在区间a ,b 上图象连续不断且f a ⋅f b <0的函数y =f x ，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.第5章三角函数§5.1.1.任意角1.正角、负角、零角、象限角的概念.正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念讲义新人教A 版必修第一册1．1 集合的概念最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．知识点一 集合的概念1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．3．集合中元素的特征 特征含义 确定性 集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性 给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性集合中的元素无先后顺序之分 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．状元随笔 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．知识点二 元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示⎩⎪⎨⎪⎧ 元素：通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.集合：通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示.2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 示例a 属于集合A a 是集合A 中的元素 a ∈A若A 表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A ，长江状元随笔对元素和集合之间关系的两点说明1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A 而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．[教材解难]1．教材P2思考例(3)到例(6)都能组成集合例(3)中的元素为“每一个正方形”例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”例(5)中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”例(6)中的元素为“地球上的四大洋”2．教材P3思考(1)能，大于等于0且小于等于9的3的倍数．(2)不能，不等式x－7<3的解集是x<10，元素有无数个，列举不完．3．教材P5思考用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．[基础自测]1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．答案：D3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.答案：B4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．答案：{1,3}题型一集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )A.高一年级全体较胖的学生B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.【答案】 D构成集合的元素具有确定性．方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C.接近于0的数D ．不等于0的偶数解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.答案：CC 中元素不确定．题型二 元素与集合的关系[经典例题]例2 (1)下列关系中，正确的有( )①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0,4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1,3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)Ca 分类处理：①a＝0，a ＝1，a ＝2；②a＝3，a ＝4还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 下列说法正确的是( )A.0∉NB.2∈QC．π∉R D.4∈Z解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.2是无理数，Q是有理数集合，2∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.4＝2,2是正整数，则4∈Z，故本选项正确．故选D.答案：DN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．题型三集合的表示[教材P4例题2]例3 试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.【解析】(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B ＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．教材反思本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．易错点 忽略集合中元素的互异性出错例 含有三个元素的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为集合{a 2，a ＋b,0}，求a ，b 的值． 【错解】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b a ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·b a ·1＝a 2·(a ＋b )·0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 【正解】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b a ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·b a ·1＝a 2·(a ＋b )·0，。

高中数学新教材目录
必修（第一册）
第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
1.2集合间的基本关系
1.3集合的基本运算
1.4充分条件与必要条件
1.5全称量词与存在量词
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
第三章函数概念与性质
3.1函数的概念及其表示
3.2函数的基本性质
3.3幂函数
3.4函数的应用（一）
第四章指数函数与对数函数
4.1指数
4.2指数函数
4.3对数
4.4对数函数
4.5函数的应用（二）
第五章三角函数
5.1任意角和弧度制
5.2三角函数的概念
5.3诱导公式
5.4三角函数的图象与性质
5.5三角恒等变换
5.6函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质
5.7三角函数的应用。

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第1课时集合的概念［A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是（）①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④ D．②④解析：选D。

在①中,接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误;在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合,故④正确．2．给出下列关系：①错误!∈R；②错误!∈Q；③－3∉Z;④－错误!∉N,其中正确的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选B。

错误!是实数,①正确;错误!是无理数，②错误；－3是整数，③错误;－错误!是无理数，④正确．故选B。

3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集,且2∈A，则实数a的值为（)A．－5 B．－4C．4 D．5解析：选A。

因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.4．设集合M是由不小于2错误!的数组成的集合,a＝错误!，则下列关系中正确的是（）A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M解析：选B。