第1练 集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结单选题1、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.}，此时满足条件；解：①当a=0时，A={−12②当a≠0时，A中只有一个元素的话，∆=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．2、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+ P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.3、已知集合A={x|1x>1}，则∁R A=（）A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}答案：B分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集由1x >1，得1−xx>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，所以A={x|0<x<1}，所以∁R A={x|x≤0或x≥1}故选：B4、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.6、若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，若A∪B={1,2,4}，则实数m的取值集合为（）A．{−√2,√2}B．{2,√2}C．{−2,2}D．{−2,2,−√2,√2}答案：D分析：由题中条件可得m2=2或m2=4，解方程即可.因为A={1,m2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}，所以m2=2或m2=4，解得m=±√2或m=±2，所以实数m的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选：D.7、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.8、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q >0，但是{S n }不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n }是递增数列，则必有a n >0成立，若q >0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q >0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．9、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C10、已知集合M ={x |x =m −56,m ∈Z }，N ={x |x =n 2−13,n ∈Z }，P ={x |x =p 2+16,p ∈Z }，则集合M ，N ，P 的关系为（ ）A ．M =N =PB ．M ⊆N =PC ．M ⊆N ⊈PD ．M ⊆N ，N ∩P =∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.多选题11、命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥−2D．a=4答案：BD分析：求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.命题“∃x∈[1,2],x2≤a"等价于a≥1，即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对集合为[1,+∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,+∞)，显然只有[4,+∞)[1,+∞)，{4}[1,+∞),所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD12、下列说法正确的是（ ）A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D ．数1，0，5，12，32，64，√14组成的集合有7个元素答案：BC分析：根据集合的元素的特征逐一判断即可.我校爱好足球的同学不能组成一个集合；{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合；集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合；由于32=64,12=√14，所以数1，0，5，12，32，64，√14组成的集合有5个元素； 故选：BC13、对任意A ，B ⊆R ，记A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，x ∉A ∩B }，并称A ⊕B 为集合A ，B 的对称差.例如，若A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A ⊕B ＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝B ，则A ＝∅B ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝∅，则A ＝BC ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD ．存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ＝∁R A ⊕∁R BE ．存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ≠B ⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．14、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．∃x∈R，x2−x+14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC15、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，下列结论正确的是（ ）A ．方程x 2+(m −3)x +m =0有实数根的充要条件是m ∈{m|m <1或m >9}B ．方程x 2+(m −3)x +m =0有一正一负根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}C ．方程x 2+(m −3)x +m =0有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}D ．方程x 2+(m −3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m|m >1}答案：CD解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.在A 中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=(m −3)2−4m ≥0，解得m ≤1或m ≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m ∈{m|m ≤1或m ≥9}，故A 错误；在B 中，二次方程有一正一负根，等价于{(m −3)2−4m >0m <0，解得m <0， 方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0 }，故B 错误；在C 中，方程有两正实数根，等价于{Δ=(m −3)2−4m ≥03−m >0,m >0,解得0<m ≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}，故C 正确；在D 中，方程无实数根，等价于Δ=(m −3)2−4m <0得1<m <9，而{m |1<m <9 }⊆{m |m >1 }，故m ∈{m|m >1}是方程无实数根的必要条件，故D 正确；故选：CD ．小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的充分条件，则p 可推出q ，即p 对应集合是q 对应集合的子集；（2）若p 是q 的必要条件，则q 可推出p ，即q 对应集合是p 对应集合的子集；（3）若p 是q 的充要条件，则p ，q 可互推，即p 对应集合与q 对应集合相等.16、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x= 26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12=16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．17、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（）A．1B．12C．0D．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a 不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，∴A=∅或A={1}或A={2}，∴1 a 不存在，1a=1，1a=2，解得a=1，或a=1，或a=12．故选：ABC．小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．18、已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是（）A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉BC．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B答案：AB分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则A，B，U的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；因A∩B=∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；若A∁U B，则(∁U A)∩(∁U B)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁U A)∩(∁U B)]，即x∉A且x∉B，C不正确；因A∩B=∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确.故选：AB19、下列各题中，p 是q 的充要条件的有（ ）A ．p ：四边形是正方形；q ：四边形的对角线互相垂直且平分B ．p ：两个三角形相似；q ：两个三角形三边成比例C ．p ：xy >0；q ：x >0，y >0D ．p ：x =1是一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根；q ：a +b +c =0（a ≠0）答案：BD分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.对于A ，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p 不是q 的充要条件，A 不是；对于B ，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p 是q 的充要条件，B 是；对于C ，xy >0不能推出x >0，y >0，可能x <0，y <0，即p 不是q 的充要条件，C 不是；对于D ，x =1是一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根，可得a +b +c =0，反之，当a +b +c =0时，把c =-a -b 代入方程ax 2+bx +c =0得ax 2+bx -a -b =0，即(ax +a +b )(x -1)=0，显然x =1是方程的一个根，即p 是q 的充要条件，D 是.故选：BD20、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0}, A ∩B =B ，则实数m 取值为（ ）A ．13B ．−12C ．−13D ．0 答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m， 因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题填空题21、已知集合A ={4,3,5m −6},B ={3,m 2}，若B ⊆A ，则实数m =___________.答案：−2或3##3或-2分析：利用子集关系B ⊆A 可知，4=m 2或5m −6=m 2，求出m 再验证即得结果.∵B ⊆A ，∴4=m 2或5m −6=m 2，解得m =2或m =−2或m =3，将m 的值代入集合A 、B 验证，知m =2不符合集合的互异性，故m =−2或3.所以答案是：−2或3.22、已知集合A ={x ∈Z ∣32−x ∈Z}，用列举法表示集合A ，则A =__________.答案：{−1,1,3,5} 分析：根据集合的描述法即可求解.∵A={x∈Z∣3∈Z},2−x∴A={−1,1,3,5}所以答案是：{−1,1,3,5}23、设集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是___________. 答案：(−3,−1)分析：由题意，S∪T=R，可得a<−1,a+8>5，求解即可由题意，集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，因为S∪T=R，故可得a<−1,a+8>5解得a∈(−3,−1).所以答案是：(−3,−1)。

第一章 集合与常用逻辑用语答案高频考点高频考点一：集合的含义与表示1．【答案】D【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成，所以{}1,2,3M =.故选：D2．【答案】C【详解】{}24[2,2]A x x =≤=-，{}*1B x x N x A =∈-∈且， {1,2,3}B ∴=,故选：C3．【答案】C【详解】解：因为*6,3Z x N x ∈∈-，可得1,2,4,5,6,9x =； 所以66,3,2,1,3,63x∈-----. 故选：C高频考点二：集合间的基本关系1．【答案】B【详解】集合{|33}{0,1}A x N x=∈-=．对于:1A A -∈不对．对于:0B A ∈对；对于:3C A ∈不对；对于:2D A ∈不对．故选：B ．2．【答案】A【详解】解：由题意得：{}{}13,0,1,2A x x x N =-<<∈=， 其真子集有：∅，{}0，{}1，{}2，{}0,1，{}0,2，{}1,2，共7个．故选：A ．3．【答案】D【详解】解：因为{}3,4M =且M N ，所以3N ∈，且4N ∈，又()(){}30,N xx x a a =-+=∈R ∣，所以3x =和4x =为方程()()30x x a -+=的两个实数根，所以4a =-；故选：D高频考点三：集合的基本运算1．【答案】C【详解】由子集定义，可知B A ⊆.故选：C2．A.3．C4．【答案】A【详解】A B ⋃={}1,0,1,3-.故选：A.5．【答案】A【详解】由{}{}1,2,1,3A B ==得，A B ={}1.故选：A.6．【答案】B【详解】因为{}{}0,1,2,0,2,3A B ==，阴影部分表示的集合为(){}3U C A B =，故选：B7．【答案】(1){}|25=-≤≤A B x x ；(){}|20R A B x x =-≤<(2)1|4,12m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或 （1）选条件①：（1）当1m =时，{}|05A x x =≤≤，{}2B x x =|-2≤≤{}|25A B x x ∴=-≤≤{}|0,5R A x x x =<>或(){}|20R A B x x ∴⋂=-≤<选条件②：此时集合{}2B x x =|-2≤≤与①相同，其余答案与①一致；（2）若A B A =，则A B ⊆当A =∅时，123m m ->+，解得4m <-当A ≠∅时，21123232m m m m -≤-⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩，即1412m m m ⎧⎪≥-⎪≥-⎨⎪⎪≤-⎩，解得112m -≤≤-综上，实数m 的取值范围为1|412m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或 高频考点高频考点一：充分条件与必要条件1．【答案】D【详解】A 选项，命题“存在R x ∈，20x +≤”的否命题是：“不存在R x ∈，20x +>”，所以A 选项错误.B 选项，()()260561x x x x --=+=-，1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，B 选项错误.C 选项，命题“存在R x ∈，使得210x x +-<”的否定是：“任意R x ∈，均有210x x +-≥”，所以C 选项错误.D 选项，命题“若sin sin x y ≠，则x y ≠”的逆否命题为：“若x y =，则sin sin x y =”，这是一个真命题，所以原命题也是真命题，所以D 选项正确.故选：D2．【答案】A【详解】解：“0<x<2”成立时，“2x <”一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的充分条件；“2x <”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的非必要条件.所以“0<x <2”成立是“2x <”成立的充分不必要条件.故选：A3．【答案】B【详解】解：因为R x ∈，故由4x >可得4x >或4x <-，由4x >，可得4x >，故“4x >”是“4x >”必要不充分条件.故选：B.4．【答案】B【详解】因为q 是p 的必要而不充分条件所以(){|24}{|(2)0}x x x x x a －＋＋<<⊂<，所以4a ->，即(4)a ∈∞－，－，答案选B ．5．【答案】(1){|03}A B x x ⋃=≤≤(2)1[,)2+∞ （1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤，所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ∪B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意；当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 若选择②，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ．当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 高频考点二：全称量词与存在量词1．【答案】B【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：“()1,x ∀∈+∞，210x ->”的否定是：()1,x ∃∈+∞，210x -≤．故选：B2．【答案】D【详解】命题p 为全称命题，该命题的否定为:p x ⌝∃∈R ，ln 10x x -+≥，故选：D.3．【答案】C【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以p 的否定是：0,20x x e x ∀>+-≤.故选：C4．【答案】(]-,0∞【详解】因为若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，所以min 1min 2()()f x g x ≥，因为2()23=-+f x x x 的对称轴为1x =，[]2,4x ∈所以min ()(2)f x f =，因为2()log g x x m =+，[]8,16x ∈，所以min ()(8)g x g =所以(2)(8)f g ≥，即33m ≥+所以0m ≤5．【答案】()2,-+∞【详解】因为()2f x x x a =++，所以()()()4f f x a af x +>可化为：()()()()()24f x a f x a a af x ++++>，整理得：()()()2222f x a f x a af x +++>，将()2f x x x a =++代入上式整理得：()()2223x x x x a +++>-， 令2t x x =+，[]1,1x ∈-，则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()2223x x x x a +++>-可化为： 23t t a +>-，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以存在实数[]1,1x ∈-，使得()()()4f f x a af x +>成立可转化成：存在1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得23t t a +>-成立， 由函数2y t t =+，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：22226t t +≤+=， 所以63a >-，解得：2a >-.1.3集合与常用逻辑用语实战一、单选题1．【答案】C【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合；2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.故选：C.2．【答案】C【详解】解：由N 表示自然数集，知0∈N ，故A 正确；由Q 表示有理数集，知12∈Q ，故B 正确； 由R 表示实数集，知2∈R ，故C 错；由Z 表示整数集，知1-∈Z ，故D 正确.故选：C3．【答案】B【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．4．【答案】C【详解】全称命题的否定为特称命题,∴“[]1,2x ∀∈，2320x x -+≤”的否定为“[]01,2x ∃∈，200320x x -+>”.故选：C.5．【答案】A【详解】解：因为集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，所以{}0,1A B =，故选：A.6．【答案】A【详解】由于不等式2230x x --<的解集为{}13x x -<<，则12x <<可推出13x ，反之不成立，所以“12x <<”是“2230x x --<”的充分而不必要条件．故选：A.7．【答案】C【详解】解：因为M N ，所以25x x =，解得0x =或5，故选：C8．【答案】C【详解】根据全量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“()()0,ln 3sin x x x ∈+∞+>∀，”的否定为“()()0,ln 3sin x x x ∃∈+∞+≤，”. 故选: C.9．【答案】C合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B ，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C ，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D ，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C二、多选题10．【答案】BD11．【答案】AB【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB12．【答案】AC【详解】A.原命题的否定为：x ∀∈R ，2104x x -+≥，是全称量词命题；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程2220x x ++=，22840∆=-=-<，所以2220x x ++>，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x ，都有310x +≠，如1x =-时，310x +=，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC13．【答案】BC【详解】由13x ≤≤得219x ≤≤，因为命题为真，所以9a ≥，记为{|9}A a a =≥，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a 的范围应为集合A 的真子集.故选：BC三、填空题14．【答案】0x >，0y >（答案不唯一）.【详解】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>（答案不唯一）15．【答案】{}1,2,3,6【详解】解：因为6N 1a ∈-且N a ∈，所以11a -=或12a -=或13a -=或16a -=， 解得2a =或3a =或4a =或7a =，所以对应的61a -分别为6、3、2、1， 即{}6N N 1,2,3,61a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣； 故答案为：{}1,2,3,616．【答案】()3,-+∞【详解】若A B =∅是真命题，则3a ≤-，∴当A B =∅是假命题时，3a >-．故答案为：()3,-+∞.17．【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-， 所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-。

寒假作业（一）集合与常用逻辑用语（注意解题的速度）A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件、选择题设集合 A = {x |log 2X <0}, B = {m | m i — 2nr0}，贝U A U B =( )则 A n B =()A. (1,2)B . (1,2] C. ( — 2,1)D . [ — 2,1)x 亠24•若集合 M= x € R 十彳<0, N 为自然数集，则下列选项中正确的是( )x — 1 A. M P {x |x > 1} B . M P {x |x >— 2} C. MA N = {0}D . M U N= N5. (2018届高三•洛阳五校联考)已知全集 U= R ,集合 A = {x |x 2— 3x — 4>0}, B = {x |—2< x < 2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为()A. {x | — 2< x <4} B . {x | x <2 或 x >4}C. {x | — 2< x <— 1} D . {x | — 1< x <2}6.设集合 A = {x |x >— 1} , B = {x || x | > 1},贝厂'x € A 且x ?B ”成立的充要条件是()A. — 1<x <1 B . x <1 C. x >— 1D . — 1<x <17. 已知集合 A = {x || x | <2} , B = {x |x 2— 3x <0, x € N}，则 A A B =( )A. {0,4}B . { — 2,— 1,0}1. A. (―汽 2) C. (0,2)2. （2017 •沈阳一检）命题P ：A. *1 x 1 ? x €N ,2 >2C.*1 1 ? X 0?N ，2X 0>2B . (0,1) D . (1,2)“？ x €N , 1 x 12 < 2 B . ? x ?N *, D . ? X o € N1 1 ，2 X 0>23. （2017 •山东高考）设函数的定义域为 A,函数y = ln （1 — x ）的定义域为B,1 x 1 ->2 2 的否定为（寒假作业（一）集合与常用逻辑用语（注意解题的速度）C. { —1,0,1} D . {0,1,2}n n 1& (2017 •天津高考)设0€ R,则“ 0 —石兄”是“sin 0石”的() A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件9. 已知命题p：? a€ R,方程ax+ 4 = 0有解；命题q：? m o>0，直线x+ my—1 = 0与直线2x + y + 3 = 0平行.给出下列结论，其中正确的有（）①命题"p A q”是真命题；②命题“ p A （綈q）”是真命题；③命题"（綈p）V q”为真命题；④命题“（綈p）V （綈q）”是真命题.A. 1个 B . 2个C. 3个 D . 4个10. 下列说法中正确的是（）A. “ f（0）= 0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件2 2B. 若p：? X o € R, x o—X o—1>0,则綈p：?x€ R x —x —1<0C. 若p A q为假命题，则p, q均为假命题n 1 n 1D. 命题“若a =—，则sin a = J'的否命题是“若a工一，则sin a齐；'6 2 6 211. 设集合S= {A）, A, A A}，在S上定义运算A ® A = A, k为i + j除以4的余数（i , j = 0,1,2,3），则满足关系式(x® x) ® A>= A的x(x€ S)的个数为()A. 4B.3C. 2D.112.若f （x）是R上的增函数，且f( —1)=—4, f(2) = 2,设P={x|f(x+ t) + 1<3} , Q={x|f (x)< —4}，若“ x € P”是“ x € Q'的充分不必要条件，贝U实数t的取值范围是()A. ( —g, —1] B . ( —1 ,+口C. [3 ,+g) D . (3 ,+^)二、填空题13 .已知全集为R,集合A= {x| x —1>0}, B= {x| —x2+ 5x —6< 0}，贝U A U ?R B=n14. __________________________________________________________________ 若“ ？x € 0, §, m>2tan x”是真命题，则实数m的最小值为______________________________115. 已知集合A= x 4< 22—債16 , B= [a, b]，若A?B,贝U a—b的取值范围是16.设全集U= {( x,y)| x, y € R},集合A= {( x,y)| x2+ y2<2 x} , B= {( x, y)| x2+ y2<4 x},给出以下命题：① A n B= A,②A U B= B,③A Q(?u E) = ?，④B A( ?U A) = U,其中正确命题的P.曰号疋寒假作业（一）集合与常用逻辑用语1解析：选C由题意可得A= (0,1) , B= (0,2)，所以A U B= (0,2).1x1 11 2解析：选D命题p的否定是把“ ？”改成“ ？”，再把“ 2三2”改为“ 2 x o>2”即可.3 解析：选D 由题意可知A= {x| —2< x < 2}, B= {x|x<1}，故A H B= {x| —2< x<1}.x + 24 解析：选C •/ M= x € R——<0 = {x| —2< x<1} ,N为自然数集，/• M P {x| x> 1}x —1错误，M P {x|x>—2}错误，M H N= {0}正确，MJ N= N错误.5解析：选D由Venn图知阴影部分表示的集合为(?R A) H B,依题意得A={x|x<—1或x>4}，因此?R A= {x| —1< x< 4}，故(？R A) H B= {x| — 1 < x< 2}.6解析：选D由题意可知，x € A? x>—1, x?B? —1<x<1，所以“ x € A且x?B'成立的充要条件是—1<x<1.27 解析：选 D •/A= {x|| x| <2} = {x| —2< x<2}, B= {x|x —3x< 0, x € N}= {0,1,2,3} ,••• A H B= {0,1,2}.n n n8 解析：选A 法一：由9 —12 <12，得0< B < 6 ,故1由sin1 口7n nk€ Z,推不出“n sin 9 <2.9<2,得- + 2k n< 9 < + 2k n,6 69 --12n”12 .故“n9 ——12<打是121”sin 9 <2的充分而不必要条件.法二n n n 1 1n n n :912 <12?0< 9 < 6 ? sin9 <2,而当sin 9 $时, 取9=-6，—6 --12n n=—>—4 12'n 1故“ 9 —_ <二”是“sin 9 的充分而不必要条件.12 12 29解析：选B因为当a= 0时，方程ax + 4= 0无解，所以命题p为假命题；当1 —2m 1 一=0，即m= 2时两条直线平行，所以命题q是真命题.所以綈p为真命题，綈q为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确.故正确的命题有2个.10解析：选D当f(0) = 0时，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x) = x2，所以A错误；若p：? x o€ R, x o—x o—1>0,则綈p：? x€ R, x —x —1<0,所以B错误；p, q 只要有一个是假命题，则p A q为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确.11解析：选C因为x € S= {A D, A, A, A}，故x的取值有四种情况•若x= A,根据定义得,(x ® x) ® A= A o ® A= A,不符合题意，同理可以验证x = A , x=A e, x = A二种情况，其中x = A i, x= A符合题意，故选C.12 解析：选D P= {x|f(x + t) + 1<3} = {x|f(x + t)<2} = {x|f(x + t)<f(2)} , Q= {x|f(x)< - 4} = {x| f (x)<f ( - 1)}，因为函数f (x)是R 上的增函数，所以P= {x| x + t <2}= {x|x<2-1} , Q= {x|x<- 1},要使“ x € P”是“ x € Q'的充分不必要条件，则有2-1 <- 1, 即t>3.2 213 解析：因为A= {x| x- 1 >0} = [1 ,+^) , B= {x| -x + 5x-6< 0} = {x| x - 5x + 6>0} ={x|x W2 或x>3}, ?R B= (2,3)，所以A U ?R B= [1 ,+^).答案：[1 , +s)n n14解析：当x € 0, 3时，2tan x的最大值为2tan 3 = 2 3,「. m>2 3,实数m的最小值为2 3.答案：2 31 - -15 解析：集合A= x 4W 22-x< 16 = {x|2 2W2x-2W24} = {x|4 < x< 6} = [4,6] , v A? B,「. a<4 ,b>6 , A a- b<4- 6=- 2,即卩a- b 的取值范围是(一^,—2] •答案：(一m , - 2]16解析：集合A表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A? B,利用Venn图可知，①②③正确，④错误.答案：①②③。

第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（）A.{}1A B ⋂=B.A B R ⋃=C.()(]0,1R C A B ⋂=D.()R A C B A ⋂=【答案】D2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且AB B =，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B.3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为()A.3B.2C.1D.0【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-，()()()2,11,11,2,M N ∴=--⋃-⋃∴ð集合M N ð中整数只有0，故个数为1，故选C.4.（集合间的关系）已知集合，若，则（）A.0或1B.0或2C.1或2D.0或1或2【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位，则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由3x =-，得()()222332330x x +-=-+⨯--=，1314x -=--=-．而由2230{ 10x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C.6．（逻辑联结词）已知命题方程在上有解，命题，有恒成立，则下列命题为真命题的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知假真，所以为真，故选B ．7.（全称量词和存在量词）命题：“00x ∃>，使002()1x x a ->”，这个命题的否定是（）A ．0x ∀>，使2()1x x a ->B ．0x ∀>，使2()1x x a -≤C ．0x ∀≤，使2()1x x a -≤D ．0x ∀≤，使2()1x x a ->【答案】B8.（全称量词和存在量词）命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是（）. A. B.或 C.或 D.或 【答案】B【解析】命题“ax 2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即存在x ∈R ，使“ax 2﹣2ax+3≤0，当a=0时，不符合题意；当a ＜0时，符合题意；当a ＞0时，△=4a 2﹣12a ≥0?a ≥3，综上：实数a 的取值范围是：a ＜0或a ≥3．9.（逻辑联结词与充分条件和必要条件的结合）已知命题p ，q 是简单命题，则“p q ∨是真命题”是“p ⌝是假命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分有不必要条件【答案】B【解析】由p q ∨是真命题，可得p 真q 假或p 假q 真或p 真q 真；由p ⌝是假命题，知p 为真命题，则p q ∨是真命题，所以已知命题p ，q 是简单命题，则“p q ∨是真命题”是“p ⌝是假命题”的必要不充分条件，故选B ．10.（集合运算与不等式、函数的结合）已知集合，，（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,所以,选D.11.（充要条件和解析几何的结合）已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C12.(充分条件和必要条件与数列的结合）在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由125a a a ，，成等比数列，得2111()(4)a d a a d +=+，即2(2)2(24)d d +=+，解得0d =或4d =，所以“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的充分不必要条件．13.（逻辑联结词与平面向量的结合）已知命题:p 存在向量,,a b 使得a b a b ⋅=⋅，命题:q 对任意的向量a 、b 、c ，若a b a c ⋅=⋅则b c =.则下列判断正确的是（）A.命题p q ∨是假命题B.命题p q ∧是真命题C.命题()p q ∨⌝是假命题D.命题()p q ∧⌝是真命题【答案】D【解析】对于命题p ，当向量,a b 同向共线时成立，真命题；对于命题q ，若a 为零向量则命题不成立，为假命题；所以命题()p q ∧⌝是真命题，故选D.14．（命题综合判断）下列命题错误的是（）A.对于命题2:,1p x R x x ∃∈++使得＜0，则:P ⌝∀,x R ∈均有210.x x ++≥B.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1,x ≠，则2320.x x -+≠”C.若p q Λ为假命题，则,p q 均为假命题D.“x＞2”是“232x x -+＞0”的充分不必要条件.【答案】C二.易错问题纠错练15.（忽视集合端点的取值而致错）设R U =，已知集合}1|{≥=x x A ，}|{a x x B >=，且R B A C U = )(，则实数a 的取值范围是（）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞【答案】A【解析】由}1|{≥=x x A 有{}1U C A x x =<，而R B A C U = )(，所以1a <，故选A.【注意问题】充分借助数轴，端点取值要检验16.（“新定义”不理解致错）设,P Q 是两个集合，定义集合{|,}P Q x x P x Q -=∈∉为,P Q 的“差集”，已知2{|10}P x x =-<，{|21}Q x x =-<，那么Q P -等于（）A.{|01}x x <<B.{|01}x x <≤C.{|12}x x ≤<D.{|23}x x ≤<【答案】D【解析】从而有,∵2{|10}P x x =-<，化简得：{|02}P x x =<<，而{|21}Q x x =-<，化简得：{|13}Q x x =<<．∵定义集合{|,}P Q x x P x Q -=∈∉，∴{|23}Q P x x -=≤<，故选D ．【注意问题】要充分理解新定义和例子的内涵.三.新题好题好好练17．集合(){},|2350A x y x y =-+=，(){},|1A x y y x ==+，则A B ⋂等于（）A.{}2,3B.{}2,3-C.(){}2,3 D.(){}2,3-【答案】C 18．设全集U =R ，2{|0}M x x x =-≤，{|N m =关于x 的方程22(1)(4)3m m m x --=无解}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．{1,0,2}-C ．{2,1,2}--D ．{2,1,2}-【答案】C【解析】{|01}M x x =≤≤，{|01}U C M x x x =<>或，且{2,1,0,1,2}N =--．又图中阴影部分表示的集合为()U C M N ，则(){2,1,2}U C M N =--．19．已知集合{}()1,2,{,|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈，则B 的子集共有（）A.2个B.4个C.5个D.8个【答案】A【解析】(){}2,1B =，则子集为(){},2,1∅，共2个.故选A.20．已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =-”是“sin 2A =”的__________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分又不必要”之一).【答案】充分不必要21．已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是________ 【答案】21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为p 是q 的充分非必要条件，所以()(),13,-∞-⋃+∞是()(),312,m m -∞+⋃++∞的真子集，故311{ 23m m +≥-+≤解得：2-13m ≤≤，又因为312m m +≤+，所以12m ≤，综上可知21-32m ≤≤，故填21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22．下列结论：①“1?a >是“a >的充要条件②存在1,0,a x >>使得log x a a x <； ③函数22tan 1tan x y x =-的最小正周期为2π；④任意的锐角三角形ABC 中，有sin cos B A >成立.其中所有正确结论的序号为______．【答案】①②④【解析】①当1a >时，2a a >成立，所以a >a >2a a >成立，即()10a a ->，所以1a >，故正确；②根据指数函数与对数函数关于y x =对称，可以知道，两个函数在直线上可以有两个交点，故存在1,0,a x >>使得log x a a x <，正确；③当0x =时，0y =，2x π=时，y 不存在，故周期不是2π，错误；④因为锐角三角形，所以2A B π+>,故2B A π>-且为锐角，所以sin sin cos 2B A A π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故正确，所以填①②④。

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语经典大题例题单选题1、已知集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{−1,2}C．{−2,4}D．{−2,−1,4}答案：D分析：利用补集定义求出∁R A，利用交集定义能求出(∁R A)∩B．解：集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则∁R A={x|x≤−1或x>2}，∴(∁R A)∩B={−2,−1,4}．故选：D2、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．3、已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A．{−1,0,1}B．{0,1}C．{−1,1}D．{0,1,2}答案：A分析：先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可. 不等式x2≤1，即−1≤x≤1，B=[−1,1]，A={−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤1}，所以A∩B={−1,0,1}；故选：A．4、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a=−3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a=−3满足要求．综上，a=2或a=−3．5、已知非空集合A 、B 、C 满足：A ∩B ⊆C ，A ∩C ⊆B ．则（ ）．A ．B =C B ．A ⊆(B ∪C )C ．(B ∩C )⊆AD ．A ∩B =A ∩C答案：C分析：作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图即可判断.解：因为非空集合A 、B 、C 满足：A ∩B ⊆C ，A ∩C ⊆B ，作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图，如图所示，所以A ∩B =A ∩C ．故选：D ．6、已知“命题p:∃x ∈R,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题，则实数a 满足（ ）A ．[0，1)B ．(-∞，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，1]答案：B分析：讨论a =0或a ≠0，当a =0时，解得x <−12，成立；当a ≠0时，只需{a >0Δ>0或a <0即可. 若a =0时，不等式ax 2+2x +1<0等价为2x +1<0，解得x <−12，结论成立.当a ≠0时，令y =ax 2+2x +1，要使ax 2+2x +1<0成立，则满足{a >0Δ>0或a <0，解得0<a <1或a <0，综上a <1，小提示：本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.7、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可. 根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.9、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N⊈P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.10、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.解：①当a=0时，A={−12}，此时满足条件；②当a≠0时，A中只有一个元素的话，∆=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．多选题11、下列四个选项中正确的是（）A．{∅}⊆{a,b}B．{(a,b)}={a,b}C．{a,b}⊆{b,a}D．∅⊆{0}答案：CD分析：注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B.对于A选项，集合{∅}的元素是∅，集合{a,b}的元素是a,b，故没有包含关系，A选项错误；对于B选项，集合{(a,b)}的元素是点，集合{a,b}的元素是a,b，故两个集合不相等，B选项错误；对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.故选：CD.12、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R BE．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．13、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．∃x∈R，x2−x+14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC14、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，下列结论正确的是（ ）A ．方程x 2+(m −3)x +m =0有实数根的充要条件是m ∈{m|m <1或m >9}B ．方程x 2+(m −3)x +m =0有一正一负根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}C ．方程x 2+(m −3)x +m =0有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}D ．方程x 2+(m −3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m|m >1}答案：CD解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.在A 中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=(m −3)2−4m ≥0，解得m ≤1或m ≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m ∈{m|m ≤1或m ≥9}，故A 错误；在B 中，二次方程有一正一负根，等价于{(m −3)2−4m >0m <0，解得m <0， 方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0 }，故B 错误；在C 中，方程有两正实数根，等价于{Δ=(m −3)2−4m ≥03−m >0,m >0,解得0<m ≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}，故C 正确；在D 中，方程无实数根，等价于Δ=(m −3)2−4m <0得1<m <9，而{m |1<m <9 }⊆{m |m >1 }，故m ∈{m|m >1}是方程无实数根的必要条件，故D 正确；故选：CD ．小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的充分条件，则p 可推出q ，即p 对应集合是q 对应集合的子集；（2）若p 是q 的必要条件，则q 可推出p ，即q 对应集合是p 对应集合的子集；（3）若p 是q 的充要条件，则p ，q 可互推，即p 对应集合与q 对应集合相等.15、下列四个条件中可以作为方程ax 2−x +1=0有实根的充分不必要条件是（ ）A ．a =0B ．a ≤14C ．a =−1D ．a ≠0答案：AC分析：先化简方程ax 2−x +1=0有实根得到a ≤14，再利用集合的关系判断得解.当a =0时，方程ax 2−x +1=0有实根x =1；当a ≠0时，方程ax 2−x +1=0有实根即Δ=1−4a ≥0,∴a ≤14. 所以a ≤14且a ≠0.综合得a ≤14.设选项对应的集合为A , 集合B =(−∞,14],由题得集合A 是集合B 的真子集，所以只能选AC.所以答案是：AC小提示：方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.16、设A ={x |x 2−9x +14=0 }，B ={x |ax −1=0 }，若A ∩B =B ，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．12C ．17D ．0答案：BCD分析：先求出集合A ，再由A ∩B =B 可知B ⊆A ，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案. 集合A ={x|x 2−9x +14=0}={2，7}，B ={x|ax −1=0}，又A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当a =0时，B =∅，符合题意，当a ≠0时，则B ={1a }，所以1a =2或1a=7， 解得a =12或a =17，综上所述，a =0或12或17,故选：BCD17、已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且A ⊆∁U B ，则下列关系一定正确的是（ ）A ．∃x ∈U ，x ∉A 且x ∈B B ．∀x ∈A ，x ∉BC ．∀x ∈U ，x ∈A 或x ∈BD ．∃x ∈U ，x ∈A 且x ∈B答案：AB分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且A ⊆∁U B ，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，∃x ∈U ，x ∉A 且x ∈B ，A 正确；因A ∩B =∅，必有∀x ∈A ，x ∉B ，B 正确；若A∁U B ，则(∁U A)∩(∁U B)≠∅，此时∃x ∈U ，x ∈[(∁U A)∩(∁U B)]，即x ∉A 且x ∉B ，C 不正确； 因A ∩B =∅，则不存在x ∈U 满足x ∈A 且x ∈B ，D 不正确.故选：AB18、下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ）A ．若x 2>y 2，则x >yB ．若x >5，则x >10C ．若ac =bc ，则a =bD ．若2x +1=2y +1，则x =y答案：BCD分析：利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项.对于A 选项，取x =1，y =−1，则x >y ，但x 2=y 2，即“x 2>y 2”不是“x >y ”的必要条件；对于B 选项，若x >10，则x >5，即“x >5”是“x >10”的必要条件；对于C 选项，若a =b ，则ac =bc ，即“ac =bc ”是“a =b ”的必要条件；对于D 选项，若x =y ，则2x +1=2y +1，即“2x +1=2y +1”是“x =y ”的必要条件.故选：BCD.19、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0}, A ∩B =B ，则实数m 取值为（）A ．13B ．−12C ．−13D ．0答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ，因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题20、下列四个命题中正确的是（）A．∅={0}3所组成的集合最多含2个元素B．由实数x，－x，|x|，√x2，−√x3C．集合{x|x2−2x+1=0}中只有一个元素∈N}是有限集D．集合{x∈N|5x答案：BCD分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.对于A，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，所以∅={0}不正确；3=−x，且在x，－x，|x|中，当x>0时，|x|=x，当x<0时，|x|=−x，当对于B，由于√x2=|x|，−√x3x=0时，|x|=x=−x=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；对于C，{x|x2−2x+1=0}={1}，故该集合中只有一个元素，故C正确；∈N}={1,5}是有限集，故D正确．对于D，集合{x∈N|5x故选：BCD．填空题21、已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是______.答案：[1,+∞)分析：由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，0≤x−[x]<1，即A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，又y∈A是y∈B的充分不必要条件，B={y∣0≤y≤m}，∴A⊊B，故m≥1，即m的取值范围是[1,+∞).所以答案是：[1,+∞).22、已知集合A=(−3,3)，集合B={0,1,2,3,4,5}，则A∩B＝_______．答案：{0,1,2}分析：根据集合交集运算求解.因为集合A=(−3,3)，集合B={0,1,2,3,4,5}，所以A∩B={0,1,2}.所以答案是：{0,1,2}23、满足{1}⊆A{1，2，3}的所有集合A是___________．答案：{1}或{1，2}或{1，3}分析：由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A 因为{1}⊆A{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，所以答案是：{1}或{1，2}或{1，3}。

《第一章集合与常用逻辑用语》章节训练习题第1讲集合及其运算[基础题组练]1．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.2．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则( ) A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M⊆N.故选B.3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝( ) A．(1，3) B．(1，3]C．[－1，2) D．(－1，2)解析：选C.A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，故选C.4．设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4＜0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B＝( )A．[2，4) B．{2，4}C．{3} D．{2，3}解析：选D.法一：由x2－3x－4＜0得，－1＜x＜4，因为x∈Z，所以A＝{0，1，2，3}，由2x≥4得x≥2，即B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2，3}，故选D.法二：通过验证易知3∈A，3∈B，故排除选项A，B.同理可知2∈A，2∈B，排除选项C.故选D.5．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为( )A．{1} B．{－1，1}C．{1，0} D．{－1，1，0}解析：选D.M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M，当a≠0时，因为N⊆M，所以1a＝－1或1a＝1，即a＝－1或a＝1.故选D.6．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则( )A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅解析：选A.因为3x＜1＝30，所以x＜0，所以B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x ＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.7．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝1－x，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁ZB)＝( )A．{－2} B．{－1}C．[－2，0] D．{－2，－1，0}解析：选D.由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁Z B)＝{－2，－1，0}，故选D.8.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.9．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为( )A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．(－∞，3] D．[3，＋∞)解析：选B.法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1，故选B.法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3时，满足A∩B≠∅，因此排除A，C.当a＝1时，满足A∩B≠∅，排除D. 故选B.10．已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．2C ．－1或2D ．1或－1或2解析：选C.因为B ⊆A ，所以必有a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . ①若a 2－a ＋1＝3，则a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，满足条件； 当a ＝2时，A ＝{1，3，2}，B ＝{1，3}，满足条件．②若a 2－a ＋1＝a ，则a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，此时集合A ＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a ＝1应舍去．综上，a ＝－1或2.故选C. 11．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎨⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎨⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎨⎧ba ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎨⎧ba ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去． 答案：{－1，2，3，5}12．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |18<2x <8，则A ∩B ＝________．解析：不等式18<2x <8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎨⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x若[x]＝0，则x2＝3，没有符合条件的解；若[x]＝1，则x2＝5，没有符合条件的解；若[x]＝2，则x2＝7，有一个符合条件的解，x＝7. 因此，A∩B＝{}－1，7.答案：{}－1，7[综合题组练]1．已知集合A＝{x|2x＋1≤1}，B＝{x|2x＜1}，则(∁R A)∩B＝( )A．[－1，0) B．(－1，0) C．(－∞，0) D．(－∞，－1)解析：选A.由2x＋1≤1，得2x＋1－1≤0，x－1x＋1≥0，解得x≥1或x＜－1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)，则∁RA＝[－1，1). 由2x＜1，得x＜0，即B＝(－∞，0)，所以(∁RA)∩B＝[－1，0)，故选A.2．已知集合P＝{y|y2－y－2＞0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2，3]，则a＋b＝( )A．－5 B．5C．－1 D．1解析：选A.P＝{y|y2－y－2＞0}＝{y|y＞2或y＜－1}．由P∪Q＝R及P∩Q ＝(2，3]，得Q＝[－1，3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.3．(创新型)在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是( ) A．[0，2] B．[－2，－1)∪(－1，0] C．[0，1)∪(1，2] D．[－2，0]解析：选 D.依题意可得x(1－x＋a)＞0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.4．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m ＜1－m ，即m ＜13时，需满足⎩⎨⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎨⎧m ＜13，2m ≥3，解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件[基础题组练]1．已知命题p ：若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ，则下列说法正确的是 ( ) A ．命题p 的逆命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x ＜2ab ”解析：选C.命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab ”，故C 正确，D 错误．2．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的逆否命题是( ) A ．若x ，y ∈R ，x ，y 全不为0，则x 2＋y 2≠0 B ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为0，则x 2＋y 2＝0 C ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，故选C.3．有下列几个命题：①“若a＞b，则1a＞1b”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．①B．①②C．②③D．①②③解析：选C.①原命题的否命题为“若a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.6．设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．7．在△ABC中，“AB→·BC→＞0”是“△ABC是钝角三角形”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.法一：设AB→与BC→的夹角为θ，因为AB→·BC→＞0，即|AB→|·|BC→|cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“AB→·BC→＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.法二：由AB→·BC→＞0，得BA→·BC→＜0，即cos B＜0，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“AB→·BC→＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.8．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，即“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．9．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－1－x＝－sin x＋1x＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x－1x＝－f(x)，故f(x)为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x＋a ＝2a ，故a ＝0， 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎨⎧a 7＋a 8＋a 9＞0a 7＋a 10＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.若S n 的最大值为S 8，则⎩⎨⎧a 8≥0a 9≤0；若⎩⎨⎧a 7＋a 8＋a 9＞0a 7＋a 10＜0，则⎩⎨⎧a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以⎩⎨⎧a 8＞0a 9＜0.所以“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎨⎧a 7＋a 8＋a 9＞0a 7＋a 10＜0”的必要不充分条件，故选B.11．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a －b ＞0 C ．ab ＞1D. ab＞1解析：选A.因为a ＞0，b ＞0⇒a ＋b ＞0，反之不成立，而由a ＞0，b ＞0不能推出a －b ＞0，ab ＞1，ab＞1，故选A.12．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( ) A ．k ≤－22或k ≥2 2 B ．k ≤－2 2 C ．k ≥2D ．k ≤－22或k ＞2解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，所以k 2＋1≥9，即k 2≥8，所以k ≥22或k ≤－22，所以圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.[综合题组练]1．(创新型) A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．若a ，b 都是正整数，则a ＋b ＞ab 成立的充要条件是( ) A ．a ＝b ＝1 B ．a ，b 至少有一个为1 C ．a ＝b ＝2D ．a ＞1且b ＞1解析：选B.因为a ＋b ＞ab ，所以(a －1)(b －1)＜1.因为a ，b ∈N *，所以(a －1)(b －1)∈N ，所以(a －1)(b －1)＝0，所以a ＝1或b ＝1.故选B.3．方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( ) A ．a ＜0 B ．a ＜－1 C ．－1＜a ＜0D ．a ＞－1解析：选 B.因为方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根，所以⎩⎨⎧Δ＝4－4（a ＋1）＞0，a ＋1＜0，解得a ＜－1.故选B. 4．(应用型)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故实数a 的取值范围是－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]5．(应用型)已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是________．解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.答案：[1，＋∞)3 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[基础题组练]1．已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则﹁p为( )A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C.命题p：所有的指数函数都是单调函数，则﹁p：存在一个指数函数，它不是单调函数．2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0C．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0解析：选B.因为3x＞0，所以3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，所以p是假命题，﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.3．有四个关于三角函数的命题：P1：∃x∈R，sin x＋cos x＝2；P2：∃x∈R，sin 2x＝sin x；P 3：∀x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，1＋cos 2x2＝cos x；P4：∀x∈(0，π)，sin x＞cos x.其中真命题是( )A．P1，P4B．P2，P3C ．P 3，P 4D ．P 2，P 4解析：选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2，可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题P 1是假命题；因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题P 2是真命题； 因为1＋cos 2x2＝cos 2x ，所以1＋cos 2x 2＝|cos x |，结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得cos x ≥0，由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，得命题P 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x ＞cos x ， 所以存在x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题P 4是假命题． 故选B.4．“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为﹁p 为假，所以p 为真，所以“p ∨q 为真”，反之不成立，可能q 为真，p 为假，﹁p 为真．所以“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的必要不充分条件．故选B.5．已知命题p ：若a ＞|b |，则a 2＞b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是( )A ．“p ∨q ”为真命题B ．“p ∧q ”为真命题C ．“﹁p ”为真命题D ．“﹁q ”为假命题解析：选A.由a ＞|b |≥0，得a 2＞b 2，所以命题p 为真命题．因为x 2＝4⇔x ＝±2，所以命题q 为假命题．所以“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“﹁p ”为假命题，“﹁q ”为真命题．综上所述，可知选A.6．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，e x ＞x ，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(﹁q )是真命题D ．命题p ∨(﹁q )是假命题解析：选B.显然，当x ＝10时，x －2＞lg x 成立，所以命题p 为真命题．设f (x )＝e x －x ，则f ′(x )＝e x －1，当x ＞0时，f ′(x )＞0，当x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )≥f (0)＝1＞0，所以∀x ∈R ，e x ＞x ，所以命题q 为真命题．故命题p ∧q 是真命题，故选B.7．设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．﹁q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C.函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎨⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0）在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.8．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ，命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：选C.因为命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0是假命题，所以方程f (x )＝0没有实数根，因为f (x )＝ax 2＋x ＋a ，所以方程ax 2＋x ＋a ＝0没有实数根. 因为a ＝0时，x ＝0为方程ax 2＋x ＋a ＝0的根，所以a ≠0，所以Δ＝1－4a 2＜0且a ≠0，所以a ＜－12或a ＞12，故选C.9．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＜3x ；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(﹁p )∧(﹁q )C ．(﹁p )∧qD ．p ∧(﹁q )解析：选B.由20＝30知，p 为假命题；命题q ：“x ＞1”不能推出“x ＞2”，但是“x ＞2”能推出“x ＞1”，所以“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．所以(﹁p )∧(﹁q )为真命题．故选B.10．已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨(﹁q )，则其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由于Δ＝4a 2＋4＞0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x ＜0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题．所以p ∨q ，p ∧(﹁q )，(﹁p )∨ (﹁q )是真命题，故选C.11．有下列四个命题：(1)命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0为真命题； (2)设p ：x x ＋2＞0，q ：x 2＋x －2＞0，则p 是q 的充分不必要条件；(3)命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否命题是假命题；(4)非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°. 其中真命题有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个解析：选C.对于(1)，∀x ∈R ，x 2≥0，故(1)为假命题； 对于(2)，设p ：xx ＋2＞0，q ：x 2＋x －2＞0，可得p ∶x ＞0或x ＜－2；q ：x＞1或x ＜－2.由p 推不到q ，但由q 推得p ，则p 是q 的必要不充分条件，故(2)为假命题；对于(3)，命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否命题为：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，其否命题是真命题，故(3)为假命题；对于(4)，非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，可设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，可得△OAB 为等边三角形， 四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，可得a 与a ＋b 的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.12．已知命题p ：关于m 的不等式log 2m ＜1的解集为{m |m ＜2}；命题q ：函数f (x )＝x 3＋x 2－1有极值. 下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(﹁q )C ．(﹁p )∧qD ．(綈p )∧(﹁q )解析：选C.由log 2 m ＜1，得0＜m ＜2，故命题p 为假命题；f ′(x )＝3x 2＋2x ，令f ′(x )＝0得x ＝－23或x ＝0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0上单调递减，故f (x )有极值，所以命题q 为真命题. 所以(﹁p )∧q 为真命题．[综合题组练]1．(创新型)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )A ．(﹁p )∨(﹁q )为真命题B ．p ∨(﹁q )为真命题C ．(﹁p )∧(﹁q )为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选A.命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p 是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q 是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p )∨(﹁q )为真命题，故选A.2．给出下列四个命题： ①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B ； ②∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ；③若a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件；④“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”．其中真命题的序号是________．解析：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B .所以①为假命题； ②当x ＝4时，x 2＝2x ，所以②为假命题；③取a ＝0，b ＝－1，则a ＞b ，但a 2＜b 2；取a ＝－2，b ＝－1，则a 2＞b 2，但a ＜b ，故若a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，所以③为假命题；④“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，所以④为真命题． 答案：④3．(应用型)若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．解析：因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )＞0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.答案：(－∞，22]4．(应用型)已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集；命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集，所以当a ＝0时，不满足题意；当a ≠0时，必须满足⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝（22）2－4a ≤0，解得a ≥2.由f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，可得函数f (x )在R 上单调递减，则0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3.若命题p ∧(綈q )是真命题，则p 为真命题，q 为假命题，所以⎩⎨⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞)。

专题1 集合与常用逻辑用语1.1集合的含义与表示 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().1.2集合间的基本关系（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.解析获取vx ：lingzi980N N *N +Z Q R a M a M ∈a M ∉x x x ∅A (1)n n ≥2n21n-21n-22n -1.3 集合的基本运算1. 2.注意：1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.【例1】（2022•新高考Ⅰ）若集合 }4|{，<=x x M }13| {，≥=x x N 则=N MA ．}40|{<≤x xB ． }231|{<≤x x C ．}163|{<≤x x D ． }1631|{<≤x x 【例2】（2022•新高考II ）已知集合{}4211，，，-=A ，{}11≤-=x x B ，则=⋂B A A.{}21，- B.{}21， C.{}41， D.{}41，-【例3】（2022•乙卷理）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合M 满足{1U M =，3}，则( )AB {|x x ∈A A A =A∅=∅A B A ⊆A B B ⊆AB {|x x ∈A A A =AA ∅=AB A ⊇AB B ⊇U A {|x x ()U A A =∅()U A A U =U x A xC A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+()()()UU U A B A B =()()()U U U A B A B =A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【例4】（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ） A ．8B ．7C ．4D ．3【例5】（2020•上海）集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝ ． 【例6】已知集合{0A =，1，2}，{|B ab a A =∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例7】已知集合{{}A =∅，}∅，下列选项中均为A 的元素的是( ) （1）{}∅；（2）{{}}∅；（3）∅；（4）{{}∅，}∅． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【例8】已知函数2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =，集合5|(())4B x f f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅，则实数a 的取值可以是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例9】向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是( ) A ．赞成A 的不赞成B 的有9人 B ．赞成B 的不赞成A 的有11人 C ．对A 、B 都赞成的有21人D ．对A 、B 都不赞成的有8人【例10】（2015•上海）设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是( ) A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集1.（2022•乙卷文）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（ ）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2.（2022•上海）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝ ．3.（2021•新高考Ⅰ）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}4.（2021•上海）已知集合A ＝{x |x ＞﹣1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是（ ） A ．A ⊆BB ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R5.（2022•天津）设全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，2}，则()(U A B =⋂)A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1-，1，2}D ．{0，1-，1，2}6.（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}7.（2022•北京）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|21}A x x =-<，则(UA = )A ．(2-，1]B ．(3,2)[1--，3) C ．[2-，1)D ．(3-，2](1,3)- 8.（2021•乙卷）已知集合{|21S s s n ==+，}n Z ∈，{|41T t t n ==+，}n Z ∈，则(S T = )A ．∅B ．SC ．TD ．Z9.（2020•全国）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．1510.（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．611.（2017•江苏）已知集合{1A =，2}，{B a =，23}a +．若{1}A B =，则实数a 的值为 ．12.（2022•重庆期末）下列说法正确的是( ) A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{a ，}b 共有4个子集C ．集合{|31x x n =+，}{|32n Z x x n ∈==-，}n Z ∈D ．集合2{|1x x a =+，*2}{|45a N x x a a ∈==-+，*}a N ∈13.（2021•重庆期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是()A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈14.（2021•虎丘区月考）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有( ) A ．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B ．只参加球类一项比赛的人数有2人C ．只参加径赛一项比赛的人数为0人D ．只参加田赛一项比赛的人数为3人1.4 充分条件与必要条件充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.抓住关键词：大必小充。

第1练 集合与常用逻辑用语、复数1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0≤x <2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <2 C ．{x |3≤x <16}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <16 答案 D解析 因为M ＝{x |x <4}， 所以M ＝{x |0≤x <16}；因为N ＝{x |3x ≥1}，所以N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥13. 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <16. 2．(2022·全国乙卷)已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2答案 A解析 由题意知z ＝1＋2i ， 所以z ＋a z ＋b ＝1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝a ＋b ＋1＋(2a －2)i ， 又z ＋a z ＋b ＝0，所以a ＋b ＋1＋(2a －2)i ＝0， 又a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝0，2a －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.3．(2022·浙江)设x ∈R ，则“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由sin x ＝1，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2＝cos π2＝0，故充分性成立；又由cos x ＝0，得x ＝k π＋π2(k ∈Z )，而sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝1或－1，故必要性不成立．所以“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的充分不必要条件．4．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 C解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素． 5．(2020·全国Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4答案 B解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，知－a2＝1，所以a ＝－2.6．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． ∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.7．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设无穷等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d .若{a n }为递增数列，则d >0，则存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，所以充分性成立；若存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，即d >d －a 1n 对任意的n >N 0，n ∈N *均成立，由于n →＋∞时，d －a 1n →0，且d ≠0，所以d >0，{a n }为递增数列，必要性成立．8．(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ， 所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ， 2z 2＝(3－a )＋(1－b )i. 因为|z 1|＝|z 2|＝2， 所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以(3＋a )2＋(1＋b )2＝4，① (3－a )2＋(1－b )2＝4，② ①2＋②2，得a 2＋b 2＝12. 所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →， 则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2， 可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3. 故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3.9．(2022·淄博模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,4} B ．[0，＋∞) C ．{－1,2} D ．{(－1,1)，(2,4)}答案 D解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故A ∩B ＝{(－1,1)，(2,4)}．10．(2022·重庆调研)已知集合A ，B 为全集U 的子集，若∁U A ⊆∁U B ，则A ∪(∁U B )等于( ) A ．A B ．B C ．U D ．∅ 答案 C解析 因为∁U A ⊆∁U B ， 所以有B ⊆A ，则A ∪(∁U B )＝U .11．(2022·黄山模拟)命题：∃x ∈R ，ax 2－ax －2>0为假命题的一个充分不必要条件是( ) A ．(－∞，－8]∪[0，＋∞) B ．(－8,0) C ．(－∞，0] D ．[－8,0] 答案 B解析 ∵命题“∃x ∈R ，ax 2－ax －2>0”为假命题， ∴命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”为真命题， 当a ＝0时，－2≤0成立； 当a ≠0时，a <0，故方程ax 2－ax －2＝0的Δ＝a 2＋8a ≤0， 解得－8≤a <0，故a 的取值范围是[－8,0]，要满足题意，则选项是集合[－8,0]的真子集，故选项B 满足． 12．(多选)(2022·青岛模拟)已知复数z ＝a ＋(1－a 2)i ，i 为虚数单位，a ∈R ，则下列选项正确的为( )A ．若z 是实数，则a ＝－1B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上C ．|z |≥32D ．若z ＝2z ＋1，则a ＝±1答案 BC解析 由复数z ＝a ＋(1－a 2)i 是实数可知1－a 2＝0，解得a ＝±1，A 选项错误；复数z ＝a ＋(1－a 2)i 在复平面内对应点Z (a ,1－a 2)，其坐标满足方程y ＝1－x 2，即点Z (a ,1－a 2)位于抛物线y ＝1－x 2上，B 选项正确； 由z ＝a ＋(1－a 2)i ，可得|z |＝a 2＋(1－a 2)2＝a 4－a 2＋1＝⎝⎛⎭⎫a 2－122＋34≥32，C 选项正确；z ＝2z ＋1，即a ＋(1－a 2)i ＝2a ＋1－2(1－a 2)i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ＋1，1－a 2＝－2(1－a 2)，解得a ＝－1，D 选项错误．13．(2022·蚌埠模拟)设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2－i 2 022，则z 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 B 解析1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i ， 因此z ＝i 2 022＝(i 2)1 011＝(－1)1 011＝－1.14．(多选)(2022·广州模拟)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x －18<0}，B ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋a 2－27<0}，则下列命题中正确的是( ) A ．若A ＝B ，则a ＝－3 B ．若A ⊆B ，则a ＝－3 C ．若B ＝∅，则a ≤－6或a ≥6 D ．若B A ，则－6<a ≤－3或a ≥6 答案 ABC解析 A ＝{x ∈R |－3<x <6}，若A ＝B ，则a ＝－3，且a 2－27＝－18，故A 正确； 当a ＝－3时，A ＝B ，故D 不正确；若A ⊆B ，则(－3)2＋a ·(－3)＋a 2－27≤0，且62＋6a ＋a 2－27≤0，解得a ＝－3，故B 正确； 若B ＝∅，则a 2－4(a 2－27)≤0，解得a ≤－6或a ≥6，故C 正确．15．(2022·济宁模拟)命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1>0”的否定是____________________． 答案 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≤0解析 由存在量词命题的否定为全称量词命题， 可得原命题的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”．16．(2022·天津模拟)已知p ：x 2－7x ＋10<0，q ：(x －m )(x －3m )<0，其中m >0.若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 53≤m ≤2解析 p ：x 2－7x ＋10<0⇒(x －2)(x －5)<0 ⇒2<x <5，所以p ：{x |2<x <5}，q ：(x －m )(x －3m )<0，其中m >0， 解得m <x <3m ， 所以q ：{x |m <x <3m }． 由q 是p 的必要不充分条件， 可得p ⇒q 且q ⇏p ，所以{x |2<x <5}{x |m <x <3m }，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，3m ≥5且等号不同时成立， 解得53≤m ≤2.[考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中含有量词的命题的否定、充要条件的判定需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题.3.对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识．一、集合的运算 核心提炼1．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ,2n －1，2n －1，2n －2. 2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔A ∪B ＝B .3．若已知A ∩B ＝∅，要注意不要漏掉特殊情况： A ＝∅或B ＝∅；若已知A ⊆B ，要注意不要漏掉特殊情况：A ＝∅. 练后反馈题目 1 4 5 9 10 14 正误错题整理：二、常用逻辑用语核心提炼1．含有量词命题的否定：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”，“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．简记：改变量词，否定结论．2．充要条件的判定方法有定义法、集合法、等价转换法等．练后反馈题目37111516正误错题整理：三、复数核心提炼1．复数的定义：纯虚数、共轭复数及复数的模的概念．2．复数的几何意义：z＝a＋b i(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．3．复数的运算(1)复数的乘法类似于多项式的乘法，复数的除法的实质就是“分母实数化”．(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝i2＝－1，i4n＋3＝i3＝－i.练后反馈题目2681213正误错题整理：1．[T3补偿](2022·合肥模拟)已知x∈R，则“x≤－3”是“(x＋2)(x－3)≥0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当“x≤－3”成立时，x＋2<0，x－3<0，故“(x＋2)(x－3)≥0”成立，即“x≤－3”是“(x＋2)(x－3)≥0”的充分条件；当“(x ＋2)(x －3)≥0”成立时，x ≤－2或x ≥3， 此时推不出“x ≤－3”成立，故“x ≤－3”不是“(x ＋2)(x －3)≥0”的必要条件． 综上，“x ≤－3”是“(x ＋2)(x －3)≥0”的充分不必要条件．2．[T14补偿](2022·上海模拟)设a ，b 是实数，集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>3，x ∈R }，且A ⊆B ，则|a －b |的取值范围为( ) A ．[0,2] B ．[0,4] C ．[2，＋∞) D ．[4，＋∞)答案 D解析 集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }＝{x |a －1<x <a ＋1}， B ＝{x ||x －b |>3，x ∈R }＝{x |x <b －3或x >b ＋3}， 又A ⊆B ，所以a ＋1≤b －3或a －1≥b ＋3， 即a －b ≤－4或a －b ≥4，即|a －b |≥4， 所以|a －b |的取值范围为[4，＋∞)．3．[T6补偿](2022·上海模拟)复平面中有动点Z ，Z 所对应的复数z 满足|z －3|＝|z －i|，则动点Z 的轨迹为( ) A ．直线 B ．线段 C ．两条射线 D ．圆 答案 A解析 设动点Z 的坐标为(x ，y )，则z ＝x ＋y i ， 所以|x ＋y i －3|＝|x ＋y i －i|， 即(x －3)2＋y 2＝x 2＋(y －1)2， 化简得3x －y －4＝0， 故动点Z 的轨迹为直线．4．[T8补偿](2022·宁波模拟)若复数z ＝12＋b i(b ∈R ，i 为虚数单位)满足z ·z ＝－b ，其中z 为z 的共轭复数，则⎪⎪⎪⎪z1＋2i 的值为( )A.210 B.25 C ．1 D.1010答案 D解析 因为z ＝12＋b i ，所以z ＝12－b i ，所以z ·z ＝14＋b 2＝－b ，解得b ＝－12，所以z ＝12－12i ，⎪⎪⎪⎪z 1＋2i ＝|z ||1＋2i|＝225＝1010.5．[T13补偿](2022·武汉模拟)已知z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 021＋i 2 022，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为1＋i 1－i＝1＋2i ＋i 22＝i ，且i 的乘方运算是以4为周期的运算，所以z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 021＋i 2 022＝i 2 021＋i 2 022＝i ＋i 2＝－1＋i ，所以复数z 所对应的点(－1,1)位于第二象限．6．[T16补偿](2022·运城模拟)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且恒有f (f (x )－ln x )＝1，则“a >1”是“f (x )≤ax －1恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 令t ＝f (x )－ln x ，则f (x )＝ln x ＋t ， ∴f (t )＝ln t ＋t ＝1.∵g (t )＝ln t ＋t －1是增函数且g (1)＝0， ∴t ＝1， ∴f (x )＝ln x ＋1，∴f (x )≤ax －1⇔ln x ＋1≤ax －1⇔a ≥ln x ＋2x 对∀x >0恒成立．令φ(x )＝ln x ＋2x ，φ′(x )＝－ln x －1x 2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减， ∴φ(x )max ＝φ⎝⎛⎭⎫1e ＝e ， ∴a ≥e.∵“a >1”是“a ≥e ”的必要不充分条件．∴“a >1”是“f (x )≤ax －1恒成立”的必要不充分条件．。

第一章 集合与常用逻辑用语一一、选择题1．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9} 2. 集合A ＝｛x |11+-x x ＜0｝，B ＝｛x || x －b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是 （ ）（A ）－2≤b ＜0 （B ）0＜b ≤2 （C ）－3＜b ＜－1 （D ）－1≤b ＜23、设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|, a ∈P ，b ∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是（ ）A.9B.8C.7D.64.已知},1|{},0|{,-≤=>==x x B x x A R U 则)()(A C B B C A U U =( )(A) φ (B) }0|{≤x x (C)}1|{->x x （D ） 0|{>x x 或}1-≤x5.若非空集合,,A B C 满足A B C ⋃=，且B 不是A 的子集，则 （ ）A x C ∈是x A ∈的充分条件但不是必要条件B xC ∈是x A ∈的必要条件但不是充分条件C x C ∈是x A ∈的充要条件D x C ∈既不是x A ∈的充分条件也不是x A ∈的必要条件二、填空题6．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________.7．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x ＜1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.8．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．三、解答题9.设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B .10．已知A＝{x||x－a|＜4}，B＝{x||x－2|＞3}．(1)若a＝1，求A∩B；(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．第一章 集合与常用逻辑用语二一、选择题1.满足{}1234,,,,M a a a a ⊆且{}{}12312,,,M a a a a a ⋂=的集合M 的个数是（ ） A ．１ B ．２ C ．３D ．４ 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”3．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅5．设全集U ＝{x ∈N ＋|x ≤a }，集合P ＝{1,2,3}，Q ＝{4,5,6}，则a ∈[6,7)是∁U P ＝Q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题6．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p 或q ”为真，则“p 且q ”为真；③若a ＜b ，则am 2＜bm 2；④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)7、已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－1)k 再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ．8、要使函数)1()1(2-+-+=m x m mx y 的值恒为正数，则m 的取值范围是__________.三、解答题17.已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且¬p 是¬q 的充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．第一章 集合与常用逻辑用语三一、选择题1．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－12．已知实数a 、b ，则“ab ≥2”是“a 2＋b 2≥4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．定义：A ⊗B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ，设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为( )A ．3B ．9C ．18D ．275．已知命题p ：存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }有2个子集，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且¬q ”是假命题；③命题“¬p 或¬q ”是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题6．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中为真命题的是7、设二次函数，若（其中），则等于 _____.8、满足P⊆}1,0{{0，1，2，3，4}的集合P 的个数有____________个。

《第一章集合与常用逻辑用语》考点讲解与同步练习1.1集合的概念【思维导图】【常见考点】考点一 集合的判断【例1】下列四组对象中能构成集合的是（ ）. A ．本校学习好的学生 B ．在数轴上与原点非常近的点 C ．很小的实数 D ．倒数等于本身的数【一隅三反】1．下列各组对象中能构成集合的是（ ） A的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2．下列对象能构成集合的是（ ）A ．高一年级全体较胖的学生B ．比较接近1的全体正数C ．全体很大的自然数D ．平面内到三个顶点距离相等的所有点【例2】 由实数 ） A ．2B ．3C ．4D ．5【一隅三反】1．已知x ，y 均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合，则中元素的个数为（ ）A ．1B ．5C ．6D ．无数个3．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为（ ） A ．1或－1 B ．1或3 C ．－1或3D ．1，－1或3考法二 集合的表示方法【例2】用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集. （1）到A 、B 两点距离相等的点的集合 （2）满足不等式的的集合 （3）全体偶数ABC ∆,,|x x x -||||x y x y -{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈A 21x >x（4）被5除余1的数 （5）20以内的质数（6） （7）方程的解集 【一隅三反】1．用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于小于12.8的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）所有能被3整除的数的集合； （5）方程的解组成的集合； （6）不等式的解集.2．用适当的方法表示下列集合： （1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合； （3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合.考法三 集合中元素的意义【例3】试说明下列集合各表示什么？；； ；；.{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈()0,x x a a R -=∈3.5-(1)(2)0x x --=215x ->2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩2210x x -+=2210y x x =+-2210y x x =+-1|A y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭{|B x y ==()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭{}0,1E x y ==={}1,1F x y x y =+=-=-1．集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点2．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( ) ①；②；③； ④A ．①B ．②C ．③D ．④考法四 元素与集合的关系【例4】用符号“”或“”填空：（1）2_____N ；（2Q ；（3）______Z ；（4）3.14______R ；（5）______N ；（6_____Q . 【一隅三反】1．用符号“”或“”填空：0______N ；______N ；0.5______Z ______Z ；______Q ；______R . 2．设集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知集合，则与集合的关系是（ ）.A ．B ．C ．D ．考法五 求参数【例5】若，则a =（ ） A ．2B ．1或－1C ．1D ．－1{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈{}(){}3,1,3,1M P =-=-(){}(){}3,1,1,3M P =={}{}221,1M y y x P t t x ==-==-{}(){}221,,1M y y x P x y y x ==-==-∈∉133-∈∉3-13π()(){}110A x x x =-+=A ∅∈1A ∈{}1A -∈{}11A -∈,{},A x x a π==∣a A a A ∈a A ∉a A ={}a A ∈{}22111a a ∈++，，1．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是____． 2．已知集合，且，则实数的值为________． 3．已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.1.1 集合的概念 答案解析考点一 集合的判断【例1】下列四组对象中能构成集合的是（ ）. A ．本校学习好的学生 B ．在数轴上与原点非常近的点 C ．很小的实数 D ．倒数等于本身的数【答案】D【解析】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：.【一隅三反】1．下列各组对象中能构成集合的是（ ） A 的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数 D ．未来世界的高科技产品 【答案】C【解析】选项A 、B 、D 中集合的元素均不满足确定性，只有C 中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.2．下列对象能构成集合的是（ ）A ．高一年级全体较胖的学生B ．比较接近1的全体正数{}2|320A x ax x =-+=a 22{2,(1),33}A a a a =+++1A ∈a 2|340A xax x R A a A a ,,A B C D D DC ．全体很大的自然数D ．平面内到三个顶点距离相等的所有点 【答案】D【解析】因为A 中“较胖”、B 中“接近”、C 中“很大”均没有明确的标准，所以不能构成集合.D 中元素能够成集合.故选：D【例2】由实数） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A，，故当时，这几个实数均为0； 当时，它们分别是；当时，它们分别是.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选：A【一隅三反】1．已知x ，y 均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】当x ，y 同号时，原式的值是0；当x 为正、y 为负时，原式的值是2；当x 为负、y 为正时，原式的值是.综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.故选：C2．已知集合，则中元素的个数为（ ）A ．1B ．5C ．6D ．无数个【答案】C【解析】由题得，所以A 中元素的个数为6.故选C3．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为 A ．1或－1B ．1或3ABC ∆,,|x x x -||x =||x =-0x =0x >,,,,x x x x x --0x <,,,,x x x x x ---||||x y x y -2-||||x y x y -{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈A {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =C ．－1或3D ．1，－1或3【答案】B【解析】因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.考法二 集合的表示方法【例2】用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集. （1）到A 、B 两点距离相等的点的集合 （2）满足不等式的的集合 （3）全体偶数 （4）被5除余1的数 （5）20以内的质数（6） （7）方程的解集【答案】（1）集合点，无限集； （2）集合，无限集； （3）集合，无限集； （4）集合，无限集； （5）集合，有限集；（6）集合，有限集； （7）集合，有限集.【解析】（1）因为到A 、B 两点距离相等的点满足，所以集合点，无限集.（2）由题意可知，集合，无限集.21x >x {(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈()0,x x a a R -=∈{A =}P PA PB ={}21B x x =>{}2,C x x k k Z ==∈{}51,D x x k k Z ==+∈{}2,3,5,7,11,13,17,19E =()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F ={}()0,G x x x a a R =-=∈P PA PB ={A =}P PA PB ={}21B x x =>（3）因为偶数能被整除，所以集合，无限集. （4）由题意可知，集合，无限集. （5）因为20以内的质数有，，，，，，，. 所以集合，有限集.（6）因为，所以方程的解为，，，，，所以集合，有限集. （7）由题意可知，集合，有限集.【一隅三反】1．用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于小于12.8的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）所有能被3整除的数的集合； （5）方程的解组成的集合； （6）不等式的解集.【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）；（3）是梯形；（4）；（5）；（6）.【解析】（1）一年中有31天的月份的全体用列举法表示为{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）大于小于12.8的整数的全体用列举法表示为；x 2{}2,C x x k k Z ==∈{}51,D x x k k Z ==+∈235711131719{}2,3,5,7,11,13,17,19E =6,,x y x N y N **+=∈∈15x y =⎧⎨=⎩24x y =⎧⎨=⎩33x y =⎧⎨=⎩42x y =⎧⎨=⎩51x y =⎧⎨=⎩()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F ={}()0,G x x x a a R =-=∈3.5-(1)(2)0x x --=215x ->{3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}---{|x x }{|3,}x x n n =∈Z {1,2}{|3}x x >3.5-{3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}---（3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为是梯形； （4）所有能被3整除的数的集合用描述法表示为； （5）方程的解组成的集合用列举法表示为； （6）不等式的解集用描述法表示为. 2．用适当的方法表示下列集合： （1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合； （3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）. 【解析】（1）解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为. （2）方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为.（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且.（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x ，y 满足，则可用描述法表示为.（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y 是实数，故可用描述法表示为.{|x x }{|3,}x x n n =∈Z (1)(2)0x x --={1,2}215x ->{|3}x x >2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩2210x x -+=2210y x x =+-2210y x x =+-{(4,2)}-2{|210}x x x ∈-+=R {(,)|0x y x <0}y >2{(,)|210}x y y x x =+-{}2|210y y x x =+-2314,328,x y x y -=⎧⎨+=⎩4,2,x y =⎧⎨=-⎩4,(,)2x x y y ⎧=⎧⎫⎪⎨⎨⎬=-⎩⎭⎪⎩{(4,2)}-2210x x -+={1}2{|210}x x x ∈-+=R {(,)|0x y x <0}y >2210y x x =+-(,)x y 2210y x x =+-2{(,)|210}x y y x x =+-2210y x x =+-{}2|210y y x x =+-考法三 集合中元素的意义【例3】试说明下列集合各表示什么？；； ；；.【答案】答案见解析 【解析】表示的取值集合，由知：，；表示的取值集合，由知：或，或；的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集； 的代表元素为，由知：， 表示直线上除了以外的点构成的点集；表示以方程“”和“”为元素的一个二元集. 表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.【一隅三反】1．集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点【答案】D【解析】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D 2．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( ) ①；1|A y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭{|B x y ==()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭{}0,1E x y ==={}1,1F x y x y =+=-=-A y 1y x=0y ≠{}0A y y ∴=≠B x 220x x -≥0x ≤2x ≥{0B x x ∴=≤}2x ≥C (),x y 1y x=D (),x y 13yx =-()33y x x =-≠D ∴3y x =-()3,0E 0x =1y =F 1x y +=1x y -=-{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈0xy ≤00x y ≤⎧⎨≥⎩00x y ≥⎧⎨≤⎩{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈,x y {}(){}3,1,3,1M P =-=-②；③； ④A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.考法四 元素与集合的关系【例4】用符号“”或“”填空：（1）2_____N ；（2Q ；（3）______Z ；（4）3.14______R ；（5）______N ；（6_____Q . 【答案】【解析】(1)N 为自然数集，2是自然数，所以；(2)Q 表示有理数，为无理数，所以；(3)Z 为整数集，是分数，所以；(4)R 表示实数集，所以；(5) N 为自然数集，-3不是自然数，所以；(6) Q 是有理数，.【一隅三反】1．用符号“”或“”填空：0______N；______N ；0.5______Z ______Z ；______Q ；______R . 【答案】【解析】是自然数，则；不是自然数，则；(){}(){}3,1,1,3M P =={}{}221,1M y y x P t t x ==-==-{}(){}221,,1M y y x P x y y x ==-==-MP ∈∉133-∈∉∉∈∉∈2N ∈33Q ∉1313Z ∉ 3.14R ∈3N -∉3=Q ∈∉3-13π∈∉∉∉∈∈00N ∈3-3N -∉本例题考查元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素、；是有理数，则；是无理数，则故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 2．设集合，则（ ） A ． B ．C ．D ． 【答案】B【解析】集合，，所以选项A 错误，，所以选项B 正确，A,，所以选项C ，D 错误.故选：B 3．已知集合，则与集合的关系是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B，∴. 故选：B.考法五 求参数【例5】若，则a =（ ） A ．2 B ．1或－1C ．1D ．－1【答案】D【解析】当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；当时，，不满足互异性，舍去.故选：.【一隅三反】1．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是____． 【答案】或 【解析】因为集合中至多有一个元素0.5Z Z ∉1313Q ∈πR π∈∈∉∉∉∈∈()(){}110A x x x =-+=A ∅∈1A ∈{}1A -∈{}11A -∈,()(){}{}1101,1A x x x =-+==-A ∴∅⊆1A ∈{}1-{}1,1=A -{},A x x a π==∣a A a A ∈a A ∉a A ={}a A ∈1.732≈≈ 3.146+≈π>a A ∉{}22111a a ∈++，，212a +=1a =±1a ={}1,2,21a =-{}1,2,012a +=1a =D {}2|320A x ax x =-+=a 0a =98a ≥{}2|320A x ax x =-+=所以方程至多有一个根， 当时解得，满足题意 当时，，解得综上：或 2．已知集合，且，则实数的值为________． 【答案】或0【解析】若则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0. 3．已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）且；（2）或. 【解析】（1）由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且. 故实数的取值范围是且. （2）当时，方程为，，集合； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时， 2320ax x -+=0a =23x =0a ≠980a ∆=-≤98a ≥0a =98a ≥22{2,(1),33}A a a a =+++1A ∈a 1-()211,a +=0a =2,a =-0a ={}2,1,3A =2a =-{}2,1,1A =2a 3a 31,++=1a =-2,a =-1a =-{}2,0,1A =2a =-{}2,1,1A =1-2|340A xax x R A a A a 9{|16a a 0}a ≠9{|16a a 0}a =A x 2340ax x9160a ∆0a ≠916a0a ≠a 9{|16a a0}a ≠0a =340x 43x =-43A0a ≠x 2340ax xA 916a若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时. 综上可知，实数的取值范围是或.1.2集合间的基本关系【思维导图】【常见考点】x 2340ax x A 916aa 9{|16a a 0}a考点一 集合关系的判断【例1】设集合A ={0，1，2}，B ={m |m =x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合A 与B 的关系为（ ） A ． B ．C ．D ．【一隅三反】1．（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R}和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R}，则两个集合间的关系是( )A ．B ．C ．M ＝PD ．M ，P 互不包含考点二（真）子集的个数【例2】（1）设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．不确定A B ∈A B =B A ⊆A B ⊆{}0∅13Q ∈Q Z ⊆{}0∅∈{|A x x =}{|B x x =}{|C x x =}{|D x x =}A B ⊆C B ⊆D C ⊆A D ⊆M P ⊂≠P M ≠⊂{}20A x x x =-=A a {}22320,M x x x a x R =--+=∈【一隅三反】1．已知集合，则的真子集共有（ ）个A ．3B ．4C ．6D ．72．满足 的集合M 共有（ ）. A ．6个 B ．7个C ．8个D ．15个3．已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个考点三 集合相等与空集【例3】下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A ．，B ．，C ．，D ．， 【一隅三反】1．下列集合与集合相等的是( ) A ．B ．C ．D ．2．给出以下5组集合： （1），；（2），； （3），； （4），；（5），． 其中是相等集合的有（ ）． A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组{}22,A xx x Z =<∈∣A {}a M ⊆{,,,}a b c d {}4,7,8M M {(3,2)}M ={(2,3)}N ={2,3}M ={3,2}N ={(,)|1}M x y x y =+=1{|}N y x y =+={1,2}M ={(1,2)}N ={2,3}A ={(2,3)}{(,})|2,3}x y x y =={}2|560x x x -+={2,3}x y ==(){}5,3M =-{}5,3N =-{}1,3M =-{}3,1N =-M =∅{}0N ={}πM ={}3.1415N ={}2320M x x x =-+={}2320N y y y =-+=考点四 已知集合关系求参数【例4】（1）已知集合，，且，则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）若集合，集合，若，则实数a 的取值范围是（ ）. A ． B ．C ．D ．【一隅三反】1．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}.若B ⊆A ，则实数m 等于（ ） A ．±1B ．－1C ．1D ．02．设集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3． M ={x|6x 2−5x +1=0}，P ={x|ax =1}，若P ⊆M ，则a 的取值集合为( ) A ．{2} B ．{3}C ．{2,3}D ．{0,2,3}1.2 集合间的基本关系 答案解析考点一 集合关系的判断【例1】设集合A ={0，1，2}，B ={m |m =x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合A 与B 的关系为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2，3，4}，∴A ⊆B ．故选D ． 【一隅三反】1．（多选题）下列关系中，正确的有（ ）{}21,A x x =+{}1,2,3B =A B ⊆x 1-134||4{|}2A x R x =∈-≤2{|}3B x R a x a =∈≤≤+B A ⊆{}|3x x >{|1}x x {|13}x x <<{|13}x x ≤≤{|02019}A x x =<<{|}B x x a =<A B ⊆{0}∣≤aa {02019}∣<≤aa {2019}∣≥aa {|02019}a a <<A B ∈A B =B A ⊆A B ⊆注意区分：元素与集合的关系为属于或不属于，集合与集合间的关系是包含、不包含、真包含A ．B ．C ．D ．【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:是有理数，故是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的； 选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ，正方形是矩形，所以C ⊆B ．故选B ．3．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R}和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R}，则两个集合间的关系是( )A ．B ．C ．M ＝PD ．M ，P 互不包含【答案】D【解析】由于集合M 为数集，集合P 为点集，因此M 与P 互不包含，故选D.考点二（真）子集的个数【例2】（1）设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．不确定【答案】（1）C （2）C{}0∅13Q ∈Q Z ⊆{}0∅∈1313Q ∈Z Q ⊆{|A x x =}{|B x x =}{|C x x =}{|D x x =}A B ⊆C B ⊆D C ⊆A D ⊆M P ⊂≠P M ≠⊂{}20A x x x =-=A a {}22320,M x x x a x R =--+=∈【解析】（1）由题可解集合，则集合A 的真子集有、、.故选：C . （2）由方程的根的判别式，知方程有两个不相等的实数根，则M 有2个元素，得集合M 有个子集.选C.【一隅三反】1．已知集合，则的真子集共有（ ）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【解析】因为，所以其真子集个数为. 故选：D.2．满足 的集合M 共有（ ）. A ．6个 B ．7个C ．8个D ．15个【答案】B【解析】集合M 中必含元素a ，且为的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M 为，，，，，，，共7个.故选：B.3．已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D 【解析】∵，且中至多有一个偶数，∴可能为，故选：D ．考点三 集合相等与空集【例3】下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A ．，B ．，{}0,1A =∅{}0{}122320x x a --+=2140a ∆=+>224={}22,A xx x Z =<∈∣A {}{}22,1,0,1A xx x Z =<∈=-∣3217-={}a M ⊆{,,,}a b c d {},,,a b c d {}a {},a b {},a c {,}a d {,,}a b c {,,}a b d {,,}a c d {}4,7,8M M {}4,7,8MM M {}{}{}{}{},4,7,8,4,7,7,8∅{(3,2)}M ={(2,3)}N ={2,3}M ={3,2}N =C ．，D ．， 【答案】B【解析】A 选项中，，，集合、都是点集，但集合里的元素是点，集合里的元素是点，所以集合、不是同一集合；B 选项中，集合、都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；C 选项中，集合是点集、集合是数集，所以集合、不是同一集合；D 选项中，集合是数集、集合是点集，集合、不是同一集合.故选：B.【一隅三反】1．下列集合与集合相等的是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】对：集合中的元素代表点，与集合不同；对：集合中的元素代表点，与集合不同；对：，解得或，与集合元素相同；对：表示两个代数式的集合，与集合不同.故选：C.2．给出以下5组集合： （1），；（2），； （3），； （4），；（5），． 其中是相等集合的有（ ）．{(,)|1}M x y x y =+=1{|}N y x y =+={1,2}M ={(1,2)}N ={(3,2)}M ={(2,3)}N =M N M ()3,2N ()2,3M N M N M N M N M N M N {2,3}A ={(2,3)}{(,})|2,3}x y x y =={}2|560x x x -+={2,3}x y ==A ()2,3A B ()2,3A C 2560x x -+=2x =3x =A D A (){}5,3M =-{}5,3N =-{}1,3M =-{}3,1N =-M =∅{}0N ={}πM ={}3.1415N ={}2320M x x x =-+={}2320N y y y =-+=A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】A【解析】对于（1）,中只有一个元素,中有两个元素,3,故、不是相等的集合；对于（2）,,,集合和集合中的元素不同,故、不是相等的集合；对于（3）,,,是空集,中有一个元素0,故、不是相等的集合；对于（4）,,,和中各有一个元素,但元素不相同,故、不是相等的集合；对于（5）,,,和都只有两个元素1,2,所以和是相等的集合综上,只有第（5）组是相等集合故选：A ．考点四 已知集合关系求参数【例4】（1）已知集合，，且，则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）若集合，集合，若，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．B ．C ．D ．【答案】（1）B （2）B【解析】（1）由，知且，经检验符合题意，所以. 故选：B（2）集合，若集合B 为空集，则，即时满足题意；(){}5,3M =-()5,3-{}5,3N =-5-M N {}1,3M =-{}3,1N =-M N M N M =∅{}0N =M N M N {}πM ={}3.1415N =M N M N()(){}|120M x x x =--=()(){}|120N y y y =--=M N M N {}21,A x x =+{}1,2,3B =A B ⊆x 1-134||4{|}2A x R x =∈-≤2{|}3B x R a x a =∈≤≤+B A ⊆{}|3x x >{|1}x x {|13}x x <<{|13}x x ≤≤A B ⊆21x B +∈x B ∈1x =1x ={}[]422,6A x R x =∈-≤=23a a >+3a >若集合B不为空集，可得，即，由得解得，综合两种情况可知.故选：B.【一隅三反】1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m等于（）A．±1B．－1 C．1 D．0【答案】C【解析】集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则，且，又∵,∴无解，∴,解得，经检验符合元素的互异性，故选：C.2．设集合，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在数轴上表示和的关系，如下图所示：可知：，故选：．3．M={x|6x2−5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P⊆M，则a的取值集合为() A．{2}B．{3}C．{2,3}D．{0,2,3}【答案】D【解析】M={x|6x2−5x+1=0}={13,12}，P={x|ax=1}，P⊆M，∴P=∅，P={13}或P={12}，∴a=0或a=3或a=2．∴a的取值集合为{0,2,3}．故选D．23a a≤+3a≤B A⊆22,36,aa⎧⎨+⎩[]1,3a∈[1,)a∈+∞2m A∈23m≠20m≥21m=-221m m=-1m={|02019}A x x=<<{|}B x x a=<A B⊆{0}∣≤a a{02019}∣<≤a a{2019}∣≥a a{|02019}a a<<A B2019a≥C1.3 集合的基本运算【思维导图】【常见考点】考点一 交集【例1】（1）设集合，集合，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【一隅三反】1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．考法二 并集【例2】若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【一隅三反】1．已知集合，若，则B 可能是（ ） A ．B ．C ．D ．A {}3,5,6,8=B {}4,5,7,8=A B {}5,8{}3,,6{}4,7{}3,5,6,8{}|12M x x =-<<{}|13N x x =≤≤M N =(]1,3-(]1,2-[)1,2(]2,32{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->AB =3(3,)2--3(3,)2-3(1,)23(,3)22{|560}A x x x =-+≤{|15}B x Z x =∈<<A B =[2,3](1,5){}2,3{2,3,4}{}2|340A x Z x x =∈--≤{}|21B x x =-<AB ={1,0,1,2}-[1,2)-{1,0,1}-[1,2]-{}22A x x =-<≤{}13B x x =-≤<A B =[)2,3-(]1,2-(]2,2-()2,3-{22}A xx =-<<∣A B A ⋃={}1,1-{}2,3[)1,3-[]2,1--2.满足条件的所有集合A 的个数是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合， ，那么=( )A ．B ．C ．D ．考法三 补集与全集【例3】已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9}, ∁U A={5,7},则a 的值是( ) A ．2 B ．8 C ．-2或8 D ．2或8【一隅三反】1．设集合，集合，若，则实数_____.2．已知全集,则的值为______3．设全集，集合，，则a =___________.考法四 集合运算综合运用【例4】已知集合，则集合 ＝（ ） A ． B ．C ．D ．【一隅三反】1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知全集，集合，，则（ ） A ．B ．{}{}1,31,3,5A ⋃=2{|1}P x x ==2{|0}Q x x x =-=PQ {1,1}-{1}{1,0,1}-{0,1}{}0,1,2,3U ={}2|0A x U x mx =∈+={}1,2U C A =m ={}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+a {}22,3,3U a a =+-{},3A a ={}2U C A ={}3|0|31x M x N x x x +⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭，{}|1x x ≥M N ⋂M N ⋃()RM N ⋂()RM N ⋃{|(3)(1)0}A x x x =-+>{1|1}B xx =->‖()R C A B ⋂=[1,0)(2,3]-(2,3](,0)(2,)-∞+∞(1,0)(2,3)-{}1,0,1,2,3,4U =-{}|1,=≤∈A x x x N {}1,3B =()UB A ={}4{}2,4C ．D ．3．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．考法五 求参数【例5】2．已知集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【一隅三反】1．若不等式组的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2.设全集，已知集合或，集合.若，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．3．设集合，．（1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若全集，，求实数的取值范围．1.3 集合的基本运算 答案解析{}1,2,4-{}1,0,2,4-{}0,1,2,3,4,5,6U ={}0,1,3,5A ={}2,3,6B =()UA B ⋃={}3{}0,1,3,4{}0,1,3,4,5{}0,1,2,3,5,6{}2|3210A x x x =--≤{}|23B x a x a =<<+AB =∅101,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭()1,2,6⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭[)1,2,6⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦2142x a x a ⎧->⎨-<⎩()1,3-(,1)(3,)-∞-+∞()3,1-(,3)(1,)-∞-⋃+∞U =R {3A x x =<}9x ≥{}B x x a =≥()U C A B ≠∅3a >3a ≤9a <9a ≤{}2320A x x x =-+=(){}222150B x x a x a =+++-={}2A B ⋂=a A B A ⋃=a U =R ()UA B A =a考点一 交集【例1】（1）设集合，集合，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】（1）A （2）C 【解析】（1）集合，集合，又集合与集合中的公共元素为，，故选A.（2）集合，.故选：C.【一隅三反】1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】集合，集合，所以,故选D.2.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，，又，所以，故本题选C.A {}3,5,6,8=B {}4,5,7,8=A B {}5,8{}3,,6{}4,7{}3,5,6,8{}|12M x x =-<<{}|13N x x =≤≤M N =(]1,3-(]1,2-[)1,2(]2,3A {}3,5,6,8=B {}4,5,7,8=A B 5,8{}5,8A B ∴⋂={}|12M x x =-<<{}|13N x x =≤≤∴{}[)|121,2M N x x ⋂=≤<=2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->AB =3(3,)2--3(3,)2-3(1,)23(,3)2()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭2{|560}A x x x =-+≤{|15}B x Z x =∈<<A B =[2,3](1,5){}2,3{2,3,4}2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤{}23A x x ∴=≤≤{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<={}2,3A B ⋂=3．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，，，则，故选：A ．考法二 并集【例2】若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D .【一隅三反】1．已知集合，若，则B 可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，所以，四个选项中只有是集合A 的子集. 故选：A2.满足条件的所有集合A 的个数是 ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为，所以，集合A 可能为， 即所有集合A 的个数是4，故选D.{}2|340A x Z x x =∈--≤{}|21B x x =-<AB ={1,0,1,2}-[1,2)-{1,0,1}-[1,2]-{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-{}{}|21|3B x x x x =-<=<{}{}{}1,0,1,2,3,4|31,0,1,2A B x x =-<=-{}22A x x =-<≤{}13B x x =-≤<A B =[)2,3-(]1,2-(]2,2-()2,3-{}22A x x =-<≤{}13B x x =-≤<AB =()2,3-{22}A xx =-<<∣A B A ⋃={}1,1-{}2,3[)1,3-[]2,1--A B A ⋃=B A ⊆{}1,1-{}{}1,31,3,5A ⋃={}{}1,31,3,5A ⋃={}{}{}{}5,1,5,5,3,1,3,53．已知集合， ，那么=( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，， 所以，故选：C考法三 补集与全集【例3】已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9}, ∁U A={5,7},则a 的值是( ) A ．2 B ．8 C ．-2或8 D ．2或8【答案】D【解析】由由已知得；故选D【一隅三反】1．设集合，集合，若，则实数_____. 【答案】-3【解析】因为集合， ，A={0,3}，故m= -3.2．已知全集,则的值为______ 【答案】2【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足分两种情况进行讨论：在A 中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．2{|1}P x x ==2{|0}Q x x x =-=PQ {1,1}-{1}{1,0,1}-{0,1}2{|1}{1,1}===-P x x 2{|0}{0,1}=-==Q x x x {}1,0,1P Q ⋃=-5382a a -=⇒=或{}0,1,2,3U ={}2|0A x U x mx =∈+={}1,2U C A =m ={}0,1,2,3U ={}1,2U C A ={}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+a ()()()()22222233(1)323|1|23(2)|1|3232(3)232233(4)2123433a a a a a a a a A a a B a a a a a a ⎧+=+=+-⎪+=+-⎧⎪⎪⎨+=⎪⎨+-≠⎪⎪+-≠⎪⎪+-≠+-≠⎩⎩或在B 中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意．答案为：23．设全集，集合，，则a =___________.【解析】由,可知,即.故 .当时,,当时,即,故.不满足.故故答案为：考法四 集合运算综合运用【例4】已知集合，则集合 ＝（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，解之得，，则.故选：D.【一隅三反】1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A{}22,3,3U a a =+-{},3A a ={}2U C A ={}2U C A ={}22,3,3U a a =+-{}23,3A a a =+-{}{}23,3,3aa a +-=232,3a a a a ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩0a ≥23a a a a +-=⇒=0a <23a a a +-=-()()2230130a a a a +-=⇒-+=3a =-2,3a ≠a ={}3|0|31x M x N x x x +⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭，{}|1x x ≥M N ⋂M N ⋃()RM N ⋂()RM N ⋃301x x +<-31x -<<(,1)M N ⋃=-∞{|(3)(1)0}A x x x =-+>{1|1}B xx =->‖()R C A B ⋂=[1,0)(2,3]-(2,3](,0)(2,)-∞+∞(1,0)(2,3)-【解析】因为集合，， 所以或，或，所以，所以或，故选A. 2．已知全集，集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】因为，，所以，则. 故选：C.3．已知全集，集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】全集，集合，则，又集合，因此，.故选：C.考法五 求参数【例5】2．已知集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B{|(3)(1)0}A x x x =-+>{1|1}B xx =->‖{|3A x x =>1}x <-{|2B x x =>0}x <{|13}R C A x x =-≤≤()R C A B ⋂={|23x x <≤10}x -≤<{}1,0,1,2,3,4U =-{}|1,=≤∈A x x x N {}1,3B =()UB A ={}4{}2,4{}1,2,4-{}1,0,2,4-{}|1,=≤∈A x x x N {}1,3B ={}0,1,3A B =(){}1,2,4UA B =-{}0,1,2,3,4,5,6U ={}0,1,3,5A ={}2,3,6B =()UA B ⋃={}3{}0,1,3,4{}0,1,3,4,5{}0,1,2,3,5,6{}0,1,2,3,4,5,6U ={}2,3,6B ={}0,1,4,5UB={}0,1,3,5A =(){}0,1,3,4,5UA B ={}2|3210A x x x =--≤{}|23B x a x a =<<+AB =∅101,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭()1,2,6⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭[)1,2,6⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】， 当时，，解得，符合题意；当时， 或，解得或，综上所述，实数a 的取值范围是.故选：B【一隅三反】1．若不等式组的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，∴，即，解得．故选：A ．2.设全集，已知集合或，集合.若，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵或，∴，若，则，故选：C ．3．设集合，．（1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围；{}21|321013A x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭B =∅32a a +≤3a ≥B ≠∅2123a a a ≥⎧⎨<+⎩13323a a a ⎧+≤-⎪⎨⎪<+⎩132a ≤<103a ≤-101,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭2142x a x a⎧->⎨-<⎩()1,3-(,1)(3,)-∞-+∞()3,1-(,3)(1,)-∞-⋃+∞2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩2124a a +<+2230a a --<13a -<<U =R {3A x x =<}9x ≥{}B x x a =≥()U C A B ≠∅3a >3a ≤9a <9a ≤{3A x x =<}9x ≥{}9|3U C A x x =≤<()U C A B ≠∅9a <{}2320A x x x =-+=(){}222150B x x a x a =+++-={}2A B ⋂=a A B A ⋃=a（3）若全集，，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）（3） 【解析】（1）由得，因为，所以， 所以，整理得，解得或．当时，，满足；当时，，满足；故的值为或． （2）由题意，知． 由，得．当集合时，关于的方程没有实数根，所以，即，解得．当集合时，若集合中只有一个元素，则，整理得，解得，此时，符合题意；若集合中有两个元素，则，所以，无解．综上，可知实数的取值范围为． （3）由，可知，所以，所以综上，实数的取值范围为．故得解.U =R ()UAB A =a 1-3-{}3a a ≤-{1,3,11a a a a a ≠-≠-≠-≠-2320x x -+={}1,2A ={}2A B ⋂=2B ∈()244150a a +++-=2430a a ++=1a =-3-1a =-{}{}2402,2B x x =-==-{}2A B ⋂=3a =-{}{}24402B x xx =-+=={}2A B ⋂=a 1-3-{}1,2A =A B A ⋃=B A ⊆B =∅x ()222150x a x a +++-=()()2241450a a ∆=+--<30a +<3a <-B ≠∅B ()()2241450a a ∆=+--=30a +=3a =-{}{}24402B x x x =-+==B {}1,2B =22220430a a a a ⎧+-=⎨++=⎩a {}3a a ≤-()UAB A =A B =∅()()221215044150a a a a ⎧+++-≠⎪⎨+++-≠⎪⎩1113a a a a ⎧≠-≠-⎪⎨≠-≠-⎪⎩且a {1,3,11a a a a a ≠-≠-≠-+≠--1.4 充分条件与必要条件【思维导图】【常见考点】考法一命题及其判断【例1】（1）下列语句为命题的是（）A ．B ．求证对顶角相等C ．不是偶数D ．今天心情真好啊（2）命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则（ ) A ．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题 B ．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题 C ．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题 D ．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题 【一隅三反】1．命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数 B ．若两个整数，不都是奇数，则不是偶数C ．若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数D ．若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数 2．命题“若，则”的逆否命题是（ ） A ．若，则，或 B ．若，则 C ．若，或，则 D ．若或，则3．若，则的否命题是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则D ．若，则考法二 充分、必要条件【例2】（1）设，则“”是“”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．B ．或250x +≥0p q a b +a b a b +a b a b a b +a b a b +a b a b a b +a b a b 21x ＜11x -＜＜21x ≥1x ≥1x ≤-11x -<<21x <1x >1x <-21x >1x ≥1x ≤-21x ≥1x >0x >1x >0x ≥1x ≤0x >1x ≤0x ≤1x <0x <x ∈R 250x x -<|1|1x -<22530x x --≥0x ≥0x <2x >C ．D ．或 【一隅三反】1.设集合，，则“”是“”的（ ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．没有充分、必要性D ．既是充分又是必要条件2．设，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是（ ) A ．B ．C ．D ．考法三 求参数【例3】已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ． 【一隅三反】1“关于x 的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( ) A ． B ． C ． D ．或 2．已知，，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．2x <-12x ≤-3x ≥{}1,A a ={}1,2,3B =3a =B A ⊇x ∈R |2|1x -<2230x x +->{}|0A x x =>a A ∈1a >-1a >0a ≥0a >:|1|2p x +>:q x a >p ⌝q ⌝a 1a ≤3a ≤-1a ≥-1a ≥2x 2ax a 0-+>0a 1<<10a 3<<0a 1≤≤ a 0<1a 3>1:12p x ≥-:||2q x a -<(,4]-∞[1,4](1,4](1,4)x ()()30x a x -->11x -<<a 1a ≤-0a <2a ≥1a ≥考法四 充分性必要性的证明【例4】已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【一隅三反】1．求证：关于x 的方程有两个负实根的充要条件是．2．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.1.4 充分条件与必要条件 答案解析考法一 命题及其判断【例1】（1）下列语句为命题的是（ ） A ． B ．求证对顶角相等 C ．不是偶数D ．今天心情真好啊（2）命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则（ ) A ．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题 B ．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题 C ．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题 D ．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题 【答案】（1）C （2）A ）【解析】（1）对于A 选项，为不等式，不能判定真假，故不是命题；对于B 选项，“求证对顶角相等”为操作命令；对于D 选项，为感叹句，不是命题.故选：C.（2））命题中“三角形中”是大前提，条件应该是“大边”，结论是“对大角”，所以正确选项为A.,x y x y >11x y<0xy >210x mx ++=2m ≥250x +≥0p q 250x +≥【一隅三反】1．命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数 B ．若两个整数，不都是奇数，则不是偶数C ．若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数D ．若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数 【答案】D【解析】由逆否命题定义可知：命题“，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是：“若不是偶数，则，不都是奇数”．故选：D ．2．命题“若，则”的逆否命题是（ ） A ．若，则，或 B ．若，则 C ．若，或，则 D ．若或，则【答案】D【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”. 故选：D.3．若，则的否命题是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则 【答案】C【解析】“若，则”的否命题是“若，则”.故选：C.a b +a b a b +a b a b a b +a b a b +a b a b a b +a b a b a b +a b +a b a b 21x ＜11x -＜＜21x ≥1x ≥1x ≤-11x -<<21x <1x >1x <-21x >1x ≥1x ≤-21x ≥21x ＜11x -＜＜1x ≥1x ≤-21x ≥1x >0x >1x >0x ≥1x ≤0x >1x ≤0x ≤1x <0x <1x >0x >1x ≤0x ≤考法二 充分、必要条件【例2】（1）设，则“”是“”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件（2）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A ． B ．或 C ．D ．或 【答案】（1）B （2）C【解析】（1）化简不等式，可知 推不出；由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件，故选B ． （2）解不等式，得或， 结合四个选项，D 是其充要条件，AB 是其既不充分也不必要条件，C 选项是其充分不必要条件.故选：C. 【一隅三反】1.设集合，，则“”是“”的（ ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．没有充分、必要性D ．既是充分又是必要条件【答案】A【解析】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A.2．设，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，解得，x ∈R 250x x -<|1|1x -<22530x x --≥0x ≥0x <2x >2x <-12x ≤-3x ≥05x <<11x -<11x -<05x <<250x x -<|1|1x -<22530x x --≥3x ≥12x ≤-2x <-{}1,A a ={}1,2,3B =3a =B A ⊇3a ={}1,3A ={}1,2,3B =B A ⊇3a =B A ⊇x ∈R |2|1x -<2230x x +->|2|1x -<13x <<。

专项练(一) 集合、复数、常用逻辑用语一、单项选择题1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( ) A.{2} B.{2，3} C.{3，4} D.{2，3，4}答案 B解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}，故选B. 2.若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则綈p 为( )A.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xB.∀x ∉⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xC.∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0D.∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≤x 0 答案 C解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，据此可知： 若p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.3.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( ) A.－1－32iB.－1＋32iC.－32＋i D.－32－i答案 B 解析 z ＝3＋2i （1－i ）2＝3＋2i －2i＝3i －22＝－1＋32i.故选B. 4.(2021·全国乙卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}答案 A解析法一因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.法二因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3，4，5}，∁U N＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.5.(2021·重庆二联)已知复数z＝2i1＋i，其中i是虚数单位，则z－在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析因为z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝1＋i，所以z－＝1－i，其在复平面内的对应点为(1，－1)，位于第四象限，故选D.6.(2021·八省八校一联)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则()A.m≥1B.1≤m<3C.1<m<3D.1≤m≤3答案 B解析由x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)<0，得1<x<3，所以A＝(1，3).又B＝{x|x>m}，A∪B＝{x|x>1}，所以1≤m<3.故选B.7.(2021·山东中学联盟联考)“∀x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3答案 D解析 “∀x ∈[－2，1]，x 2－2a ≤0”为真命题，即2a ≥x 2在x ∈[－2，1]时恒成立，所以2a ≥4，所以a ≥2，即“∀x ∈[－2，1]，x 2－2a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥2，所以可转化为求“a ≥2”的充分不必要条件，即找集合A ＝{a |a ≥2}的非空真子集，结合选项，所以a ≥3，故选D.8.(2021·唐山二模)设复数z 满足|z －2i|＝1，则在复平面内z 对应的点到原点距离的最大值是( ) A.1 B. 3 C. 5 D.3答案 D解析 法一 由题意可知，在复平面内复数z 对应的点集为复平面内到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆.因为圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3，故选D. 法二 设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x 2＋(y －2)2＝1，所以－1≤y －2≤1，即1≤y ≤3，所以x 2＋y 2＝4y －3≤9，所以x 2＋y 2≤3，即在复平面内z 对应的点到原点距离的最大值是3.故选D. 二、多项选择题9.(2021·潍坊期末)设全集为U ，则如图的阴影部分用集合可表示为( )A.A ∩BB.(∁U A )∩BC.[∁U (A ∩B )]∩BD.(∁U A )∪B答案 BC解析 由题图可知，A ∩B 为集合A 与集合B 的公共部分，故排除A 选项.(∁U A )∪B 为全集U 中去除集合A 后剩余的部分再加上A ∩B 的部分，故排除D 选项.经验证，B ，C 正确.故选BC.10.(2021·八省联考)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，则下列命题正确的是( ) A.若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B.若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C.若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D.若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2 答案 BC解析 由复数模的概念可知，|z 2|＝|z 3|不能得到z 2＝±z 3，例如z 2＝1＋i ，z 3＝1－i ，A 错误；由z 1z 2＝z 1z 3可得z 1(z 2－z 3)＝0.因为z 1≠0，所以z 2－z 3＝0，即z 2＝z 3，B 正确；因为|z 1z 2|＝|z 1|·|z 2|，|z 1z 3|＝|z 1|·|z 3|，而z －2＝z 3，所以|z －2|＝|z 3|＝|z 2|，所以|z 1z 2|＝|z 1z 3|，C 正确；当z 1z 2＝|z 1|2时，z 1z 2＝|z 1|2＝z 1z －1，∴z 1z 2－z 1z －1＝z 1(z 2－z －1)＝0，∴z －1＝z 2，D 错误.故选BC.11.(2021·广州阶段训练)以下四个命题中，是真命题的是( ) A.“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件 B.“x >2”是“lg(3－x )<0”的必要不充分条件C.若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0D.若a <b <0，则a 2<ab <b 2 答案 ABC解析 对于A 选项，当a ＝0，b ＝－1时，a >b 成立，但a 2>b 2不成立，当a ＝ －1，b ＝0时，a 2>b 2成立，但a >b 不成立.所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，所以A 选项正确；对于B 选项，lg(3－x )<0⇔0<3－x <1⇔2<x <3，所以“x >2”是“lg(3－x )<0”的必要不充分条件，所以B 选项正确；对于C 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知C 选项正确； 对于D 选项，取a ＝－2，b ＝－1，则a 2>b 2，所以D 选项错误.故选ABC. 12.(2021·新高考原创卷五)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，x 1⊕x 2∈A ，则运算⊕可能是( ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法答案 AC解析 由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C 正确； x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ，所以除法不满足条件，D 错误.故选AC. 三、填空题13.已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝________. 答案 (－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 易知A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，从而∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14.(2021·青岛模拟)若命题“∃x ∈R ，e x <a －e －x ”为假命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，2]解析 根据题意得，∀x ∈R ，e x ≥a －e －x ，即∀x ∈R ，e x ＋e －x ≥a .∵e x ＋e －x ≥2，∴a ≤2.15.(2021·武汉调研)已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，且直线l ⊥n ，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的________条件. 答案 充要解析 当l ⊥m 时，因为m ，n 是平面α内的两条相交直线， 根据线面垂直的判定定理，可得l ⊥α； 当l ⊥α时，因为m ⊂α，所以l ⊥m . 综上，“l ⊥m ”是“l ⊥α”的充要条件.16.设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 2 3解析 法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i. 因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以（3＋a ）2＋（1＋b ）2＝4，① （3－a ）2＋（1－b ）2＝4，② ①2＋②2得a 2＋b 2＝12， 所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB→. 由题知|OA→|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，OA＝AC ＝OC ＝2，可得BA ＝2OA sin 60°＝23，故|z 1－z 2|＝|BA→|＝2 3.。

第一章集合与常用逻辑用语【章节复习专项训练】【考点1】：集合的概念例题1．下列几组对象可以构成集合的是（）A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7m 以上的人【变式1】下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2】下列描述正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}2y y x =与(){}2,x y y x =集合是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）偶数集可以表示为{}2,x x k k Z =∈.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式3】已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，则集合B 中的元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式4】下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对【考点2】：集合间的基本关系例题1．设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440}Q m R mx mx =∈+-<对任意实数x 恒成立，则下列关系中成立的是（）A ．P 是Q 的真子集B ．Q 是P 的真子集C ．P Q=D ．P 与Q 无关【变式1】设集合2{|54}A x x a a a N +==-+∈，，集合2{|22}B y y a a a N +==++∈，，则下列关系正确最准确的是（）A ．A B⊆B ．B A⊆C ．A ÛBD ．B ÛA【变式2】已知集合{}2|1M y y x ==-+，{}|21P x y x ==+，则集合M 与P 的关系是（）A ．M P =B ．P M∈C ．P M ÜD ．M PÜ【变式3】已知集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，则A B =（）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．{0,2}D ．{2,0,2}-【变式4】集合12 1M xx Z N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭∣，，则M 的非空真子集的个数是（）A ．30个B ．32个C ．62个D ．64个【考点3】：集合的基本运算例题1．设全集{|}2U x x ∈≤Z ＝，{|10,}A x x x U =+≤∈，{}2,0,2B =-，则()U A B =ð（）A ．{}1B ．{}0,2C ．{2,0,1,2}-D ．(1,2]{2}-⋃-【变式1】设集合U ={0，1，2，3，4}，A ={1，2}，B ={2，3}，则()()U U A B ⋂=痧（）A ．{0，4}B ．{4}C ．{1，2，3}D ．⌀【变式2】已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则U M N =ð（）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【变式3】设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M =A ．M B ．N C ．U M NI ðD ．U N MI ð【变式4】已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【考点4】：充分条件与必要条件整式的乘法例题1．已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】设P ､Q 是非空集合，命题甲为：P ∩Q =P ∪Q ；命题乙为：P ⊆Q ，那么甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】若a 、b 为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要【变式4】设x ∈R ，则“210x -<”是“31x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点5】：全称量词命题与存在量词命题例题1．下列说法中，正确的个数是（）①存在一个实数x 0，使－220x ＋x 0－4＝0；②所有的素数都是奇数；③至少存在一个正整数，能被5和7整除．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式1】对下列命题的否定说法错误的是（）A ．p ：能被2整除的数是偶数；￢p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；￢p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；￢p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n 0∈N ，02100n ≤；￢p ：∀n ∈N ，2n >100.【变式2】命题“1x ∃>，使2230x x --≤”的否定形式为（）A ．1x ∃≤使2230x x -->B ．1x ∀>均有2230x x -->C ．1x ∀≤均有2230x x -->D ．1x ∃≤使2230x x --≤【变式3】下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（）（1）x ∃∈R ，0x ≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；（3）x ∃∈Z ，使345x +=．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式4】关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题。

第一章集合与常用逻辑用语复习一、选择题1．（2018·全国高一课时练习）设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于( ) A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2．（2018·全国高一课时练习）已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是( ) A．2 B．3C．4 D．83．（2018·全国高一课时练习）已知M＝{x∈R|x≥2√2}，a＝π，有下列四个式子：(1)a∈M；(2){a}⊆M；(3)a⊆M；(4){a}∩M＝π.其中正确的是( )A．(1)(2) B．(1)(4)C．(2)(3) D．(1)(2)(4)4．（2018·江西高一课时练习）(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}5．（2018·全国高一课时练习）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁U A)∪(∁U B)等于()A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}6．（2018·全国高一课时练习）已知全集U，M，N是U的非空子集，若(∁U M)⊇N，则必有( ) A．M⊆(∁U N) B．N (∁U M)C．(∁U M)＝(∁U N) D．M＝N7．（2018·全国高一课时练习）设U＝{不大于10的正整数}，A＝{10以内的素(质)数}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩(∁U B)是( )A．{2,4,6,8,9} B．{2,4,6,8,9,10}C．{1,2,6,8,9,10} D．{4,6,8,10}8．（2018·全国高一课时练习）设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则M－(M－P)等于( )A．P B．MC ．M ∩PD ．M ∪P9．（2017·全国高一课时练习（文））设集合{}=2m x x >，{}=3p x x <，那么“x m ∈或x p ∈”是“x p m ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2017·全国高一课时练习（文））已知:11p m x m -<<+，()():260q x x --<，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．35m <<B ．35m ≤≤C ．5m >或3m <D ．5m >或3m ≤11．（2012·河南高二课时练习）全称命题“2104x R x x ∀∈-+≥，”的否定是 （ ） A.2104x R x x ∀∉-+<， B. 2104x R x x ∃∈-+<， C ．041,2≥+-∈∃x x R x D.2104x R x x ∀∈-+<， 12．（2012·全国高二课时练习）三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ）Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零Ｃ．a b c ，，中只有一个为零Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零 二、填空题13．（2018·全国高一课时练习）设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则∁R (M ∩N )＝________.14．（2017·全国高一课时练习）已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且AB R =，则实数a 的取值范围是______________________ .15．（2018·全国高二课时练习）关于x 的方程m 2x 2-(m+1)x+2=0的所有根的和为2的充要条件是_____.16．（2017·全国高二课时练习）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；③“a <5”是“a <3”的必要条件；④“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件．其中真命题的序号为________．三、解答题17．（2018·全国高一课时练习）设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，A ∪(∁R B )．18．（2018·全国高一课时练习）已知A ＝{a －1,2a 2＋5a ＋1，a 2＋1}，且－2∈A ，求a 的值．19．（2018·全国高一课时练习）设集合222{|320}{|150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=，（）．（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．20．（2014·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：（1）p ：对任意的x ∈R ，x 2+x+1=0都成立；（2）p ：∃x ∈R ，x 2+2x+5＞0．21．（2012·全国高二课时练习）求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语基本知识过关训练单选题1、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ）A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案. 若A =B ，则{x =x 2y =2y 或{x =2y y =x 2 ，解得{x =0y =0 或{x =1y =0 或{x =12y =14 ， 由集合中元素的互异性，得{x =12y =14 ， 则x −y =12−14=14， 故选：C ．2、已知集合A ={x|x 2−3x −4<0},B ={−4,1,3,5}，则A ∩B =（ ）A ．{−4,1}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}答案：D分析：首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A ∩B ，得到结果. 由x 2−3x −4<0解得−1<x <4，所以A ={x|−1<x <4}，又因为B ={−4,1,3,5}，所以A ∩B ={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.3、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C4、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B ={−2,−1,1}，则A ∩(∁U B )={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.5、下面四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x 2＝2时，只能得到x 为±√2，由此可判断；对于③，方程x 2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.6、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.7、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A8、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅. 多选题9、设全集U={1,2,3,4,5}，集合S={1,2,3,4}，则∁U S的子集为（）A．{5}B．{1,2,5}C．{2,3,4}D．∅答案：AD分析：根据补集和子集的定义即可求出答案.因为C U S={5}，集合{5}的子集有：∅，{5}.故选：AD.10、设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，则（）A．A∩B={0,1}B．∁U B={4}C．A∪B={0,1,3,4}D．集合A的真子集个数为8答案：AC分析：根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.因为全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，所以A∩B={0,1}，∁U B={2,4}，A∪B={0,1,3,4}，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合A={0,1,4}的元素共有3个，所以它的真子集个数为：23−1=7，因此选项D不正确，故选：AC11、下列存在量词命题中真命题是（）A．∃x∈R,x≤0B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数D．∃x0∈Z,1<5x0<3答案：ABC分析：结合例子，逐项判断即可得解.对于A，∃x=0∈R，使得x≤0，故A为真命题.对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；对于C，若x=π，则x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，故C为真命题.对于D，∵1<5x0<3,∴15<x0<35，∴∃x0∈Z,1<5x0<3为假命题.故选：ABC.填空题12、已知集合A={2,3,4,5,6}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中元素的个数为______.答案：6分析：由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解.因为x∈A，y∈A，x−y∈A，所以x=4时，y=2；x=5时，y=2或y=3，x=6时，y=2或3或4.B= {(4,2),(5,2),(5,3),(6,2),(6,3),(6,4)}，所以集合B中元素的个数为6.所以答案是：6.13、已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.答案：(−∞,2]分析：根据充分性和必要性，求得参数a的取值范围，即可求得结果.因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合(2,3)为集合(a,+∞)的真子集，故只需a≤2.所以答案是：(−∞,2].14、已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．答案：{0}∪[94，+∞）．分析：分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x=13，故成立；当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得a≥94；综上所述，a的取值范围是{0}∪[94，+∞）．所以答案是：{0}∪[94，+∞）．解答题15、已知A={x∣x2+4x=0},B={x∣x2+2(a+1)x+a2−1=0}.(1)若A是B的子集，求实数a的值；(2)若B是A的子集，求实数a的取值范围.答案：(1)a=1；(2)a⩽−1或a=1.分析：（1）由题得B=A={−4,0}，解{Δ>0−4+0=−2(a+1)−4×0=a2−1即得解；（2）由题得B⊆A，再对集合B分三种情况讨论得解. （1）解：由题得A={−4,0}.若A是B的子集，则B=A={−4,0}，所以{Δ>0−4+0=−2(a+1)−4×0=a2−1,∴a=1.（2）解：若B是A的子集，则B⊆A.①若B为空集，则Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8<0，解得a<−1；②若B为单元素集合，则Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8=0，解得a=−1. 将a=−1代入方程x2+2(a+1)x+a2−1=0，得x2=0，即x=0,B={0}，符合要求；③若B为双元素集合，B=A={−4,0}，则a=1.综上所述，a⩽−1或a=1.。