知识点-集合与常用逻辑用语

知识点——集合与常用逻辑用语

【知识梳理】

一、集合及其运算

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

子集集合A中所有元素都在集合B中(即若

x∈A，则x∈B)

A⊆B

(或B⊇A)

真子集集合A是集合B的子集，且集合B中

至少有一个元素不在集合A中

A⊊B

(或B⊋A)

集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B

互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图

交集由属于集合A且属于集合B

的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集由所有属于集合A或属于集

合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集由全集U中不属于集合A的

所有元素组成的集合

∁U A＝{x|x∈U且x∉A}

【知识拓展】

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.

二、命题及其关系、充分条件与必要条件

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件

(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，但q

p ，则p 是q 的充分不必要条件；

(3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ⇒p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q

p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

【知识拓展】

1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ⊋B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

【易错提醒】

1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．

2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．

3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝∅的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．

6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．

【必会习题】

1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()

A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3

答案 B

解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，

由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.

2．设集合A＝{x|1

A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}

答案 A

解析若A⊆B，则a≥2，故选A.

3．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于()

A．{x|－3－3} D．{x|x<－3或x>5} 答案 C

解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.

4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 D

解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．

5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁U B)等于() A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

答案 D

解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，

A∪(∁U B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.

6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析ln(x＋1)<0，解得0

∴－1