第一章 集合与常用逻辑用语1-1集合

第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言 记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ，且存在x 0∈B ，x 0∉A A B 或B A相等 集合A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的x ，x ∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示 运算 文字语言符号语言 图形语言 记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A素组成的集合4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：53．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(2019·浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0，则M ∪N ＝( ) A ．(0，e] B ．[－e ，＋∞) C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D ．[－e ，e]解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e ，∴M ＝[－e ，e]．N ＝(0，＋∞)，∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)．故选B. 2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, x ＋1，x 2－5x }，若－4∈A ，则实数x 的值为________． 解析：∵－4∈A ，∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.若x ＝1，则A ＝{0, 2，－4}，满足条件； 若x ＝4，则A ＝{0, 5，－4}，满足条件； 若x ＝－5，则A ＝{0，－4,50}，满足条件． 所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.2．已知a ＞0，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0，a 2}，则a 2＋b 2的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝4，即a ＝2或a ＝－2，因为a ＞0，所以a ＝2，故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4} ，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A ．8个 B ．4个 C ．3个D ．2个解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ，b ，c ，d ，e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个． 2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时， ∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2018·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.角度二：利用集合运算求参数3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，若P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，则实数a的值为()A．1 B．2C．12D．32解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，所以当a≤1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜1}，不符合题意；当a＞1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜a}，结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，可得a＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A，B，同时满足A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对(A，B)为“好集对”．这里有序集对(A，B)是指当A≠B时，(A，B)和(B，A)是不同的集对，那么“好集对”一共有()个()A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x∈Z|x2－6x＜0}，则(∁R A)∩B＝() A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁R A＝{x|x≤1或x≥4}，所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B，故排除D，又1,5∈∁R A,1，5∈B，故选C.2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为() A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－4)＝0}，则A∪B 的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A B为()A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A B ＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2}，N＝{x|－1＜x＜1}，则M∪N＝() A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选C法一：易知M＝{x|0≤x≤2}，又N＝{x|－1＜x＜1}，所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取x＝2，则2∈M，所以2∈M∪N，排除A、B；取x＝3，则3∉M,3∉N，所以3∉M∪N，排除D，故选C.2．(2019·浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由|x|＜2，可得－2＜x＜2，所以P＝{x|－2＜x＜2}，所以P∩Q＝[－1,2)．3．(2018·嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞0}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．∁R P⊆Q解析：选D由已知可得∁R P＝[1，＋∞)，所以∁R P⊆Q.故选D.4．(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则P的子集有________个．解析：集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N＝{2,4}，则P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个.答案：45．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，如图所示，所以m≥3.答案：[3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·杭州七校联考)已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|(x2－1)(x2－4)＝0}，则集合A∩B中的元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{－2，－1,1,2}，A∩B＝{－2,2}，故选B.2．(2019·浙江六校联考)已知集合U＝{x|y＝3x}，A＝{x|y＝log9x}，B＝{y|y＝－2x}则A∩(∁U B)＝()A．∅B．RC．{x|x＞0} D．{0}解析：选C由题意得，U＝R，A＝{x|x＞0}，因为y＝－2x＜0，所以B＝{y|y＜0}，所以∁U B＝{x|x≥0}，故A∩(∁U B)＝{x|x＞0}．故选C.3．(2019·永康模拟)设集合M＝{x|x2－2x－3≥0}，N＝{x|－3＜x＜3}，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M∪N＝R D．M∩N＝∅解析：选C由x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R.4．(2019·宁波六校联考)已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a ＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.5．(2018·镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ，N ＝{x |x ＜1}，则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞，2)．故选C.6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1,0}． 答案：{－1,0}7．(2018·嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁R B )＝________.解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}8．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________． 解析：由图可知，当y ＝－x 往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使z ＝x ＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝92.答案：(1)[2，＋∞) (2)929．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0}，其中m ∈R ，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0. (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}．当A ＝∅时，m ＝43，不符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． (2)由(1)知，B ＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时，m ＝43，符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，又因为A ∩B ＝∅，所以－2m ≥1或者m －4≤－2， 即m ≤－12或者m ≤2，所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，又因为A ∩B ＝∅，所以m －4≥1或者－2m ≤－2， 即m ≥5或者m ≥1，所以1≤m ＜43.综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.3．已知函数f (x )＝x －3－17－x的定义域为集合A ，且B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}，C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )＝x －3－17－x， 应满足x －3≥0，且7－x ＞0，解得3≤x ＜7， 则A ＝{x |3≤x ＜7}， 得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，而B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}， 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}，要使A ∪C ＝R ， 则有a ≥3，且a ＋1＜7，解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ，B 互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题 答案：B2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R ，则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β，如α＝π6，β＝π3，cos π6＞cos π3，而π6＜π3.故选D.3．设a ，b 是向量，则命题“若a ＝－b ，则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |，则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·杭州高三四校联考)“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R)，则a2－1＜0，即－1＜a＜1，所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*)，则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*)，所以当k＞2时，a n＋1－a n＝k＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝k＞0即可，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a ＞0，b ＞0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＋1＞0，故不等式a ＋b ≥ab ＋1成立的充要条件是(ab ＋1)2≤(a ＋b )2，即a 2＋b 2≥a 2b 2＋1.显然，若a 2＋b 2≥a 2b 2＋1，则必有a 2＋b 2≥1，反之则不成立，所以a 2＋b 2≥1是a 2＋b 2≥a 2b 2＋1成立的必要不充分条件，即a 2＋b 2≥1是a ＋b ≥ab ＋1成立的必要不充分条件．2．(2019·浙江期初联考)若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b ＜－4解析：选D 对选项A ，若a ＝b ＝2，则|a |＋|b |＝2＋2≥4，不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B ，若a ＝4≥4，b ＝0，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C ，若a ＝2≥2，b ＝2≥2，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D ，由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4，但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，所以腰AD ，BC 是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l 垂直于两腰AD ，BC 时，l 垂直于ABCD 所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，所以B ⊆A .①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ； ③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}． 由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m －1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43. 答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2，可得x ＞1或x ＜－3，所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1b ，故充分性成立；当1a ＞1b 时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A. 3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0，则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1，则x ＜1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1，则x 2＜1. ∵p ：x 2＜1，则－1＜x ＜1.∴p 真，当x ＜1时，x 2＜1不一定成立，∴q 假，故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(5，＋∞) B ．[5，＋∞) C ．(－∞，5)D ．(－∞，5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }，∴a ≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0， 即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件，故选A.5．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”． 若c ＝0，结论成立．若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立． 故否命题为真命题． 答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确． 答案：②③8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜13，则有sin(α＋β)＜13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.2．在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋k ，n ∈Z ，k ＝0,1,2,3，则m ∈[k ]，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋k ，b ＝4n ＋k ，m ，n ∈Z ，且k ＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋k 1，b ＝4n ＋k 2，m ，n ∈Z ，k 1＝0,1,2,3，k 2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2)，若a －b ∈[0]，则k 1－k 2＝0，即k 1＝k 2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求x 的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2＜x ＜37}，B ＝{x |12＜x ＜146}，因为p 真q 假． 所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12}， 所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． 当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13；综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．3．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4解析：选A 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.6．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1命题点二 充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0， 所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1， 则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． 5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________． 解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求． 当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b .答案：1，－1(答案不唯一)3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题， 则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题． 由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0. 因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c . 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。

1.1 集合1．1.1集合及其表示方法课程标准(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．(3)在具体情境中，了解空集的含义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．知识点二元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．2．元素与集合的关系1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．集合中元素的特征5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素是无序的．(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示R____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示状元随笔(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．基础自测1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )A．0B．1C．－1D．0或1或－14．用区间表示下列集合：≤x＜5}＝________；(1){x|−12(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；③2019年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数题型2 元素与集合的关系[经典例题]例2 (1)下列关系中，正确的有( )①1∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.2A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0B．1C．2D．3a分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )A.0∉NB．√2∈QC．π∉RD．√4∈ZN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(2)集合A中的元素x满足63−x题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]例3 用列举法表示下列集合：找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．方法归纳1．用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合． 跟踪训练3 用列举法表示下列集合： (1)方程组{2x −3y =14，3x +2y =8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合．题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .状元随笔描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．方法归纳1．描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x ∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．(3)不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象] 例5 用区间表示下列集合：(1)3x －4<0的所有解组成的集合A ＝________； (2)2x ＋6≥0的所有解组成的集合B ＝________．方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用． 跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5；(2)－3<x ≤4；(3)2≤x <5； (4)x ≤4；(5)x >－3；(6)x ≥－4.易错点 忽略集合中元素的互异性出错例 含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b ，0}，求a ，b 的值． 【错解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba +1=a 2+(a +b )+0，a ·ba ·1=a 2·(a +b )·0， 解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.【正解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba+1=a 2+(a +b )+0，a ·b a·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法新知初探·自主学习[教材要点]知识点二1．a，b，c，…A，B，C，…2．a∈A a∉A知识点三1．一一列举列举法知识点四2．(－∞，＋∞)[基础自测]1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故选B.答案：B3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.答案：C≤x<5} 4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12＝[−1，5).2(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案：(1)[−1，5)(2)(－∞，1)∪(2，3]2课堂探究·素养提升例1 【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.答案：C例2 【解析】 (1)12是实数，√2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－√3|＝√3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0，4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1，3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C跟踪训练2 解析：(1)A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.√2是无理数，Q 是有理数集合，√2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.√4＝2，2是正整数，则√4∈Z ，故本选项正确．故选D.(2)由63−x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63−x >0，且x ≠3，故0≤xx ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63−0＝2∈N ，当x ＝1时，63−1＝3∈N ， 当x ＝2时，63−2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2.答案：(1)D (2)0，1，2例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x (x －1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A ＝{0，1}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．(4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为(12，0)，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为{(0，−1)，(12，0)}.跟踪训练3 解析：(1)解方程组{2x −3y =14，3x +2y =8，得{x =4，y =−2，故解集可用描述法表示为{(x ，y)|{x =4，y =−2}，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．例4 【解析】 (1)因为集合B 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(2)由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2.令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.【解析】(3)当m ＝0时，方程mx 2＋2x ＋m ＝0为2x ＝0，解得x ＝0，A ＝{0}；当m ≠0时，若集合A 只有一个元素，则一元二次方程mx 2＋2x ＋m ＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝22－4m 2＝0，解得m ＝±1；综上，当m ＝0或m ＝±1时，集合A 只有一个元素．所以m 的值组成的集合是{－1，0，1}．【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}跟踪训练4 解析：(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．(2){(x ，y)|−1≤x ≤32，−12≤y ≤1，且xy ≥0}. (3)由{3x −2≥1，2x −1<5，得{x ≥1，x <3，所以不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集为[1，3)． (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．例5 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，即x <43，所以A ＝{x|x <43}，用区间表示为：A ＝(−∞，43).(2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，即x ≥－3，所以B ＝{x |x ≥－3}，用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．)(2)[－3，＋∞) 【答案】(1)(−∞，43跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．(2)(－3，4].(3)[2，5)．(4)(－∞，4].(5)(－3，＋∞)．(6)[－4，＋∞)．。

1．1 集合1．1。

1集合及其表示方法内容标准学科素养1。

通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。

授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。

知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。

2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。

3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。

第一章集合与常用逻辑用语1．1 集合的概念第二课时集合的表示方法教学目标1．掌握集合的表示法——列举法和描述法，使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系，从而可以更准确地认识集合．2．能选择适当的方法表示给定的集合，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：集合的表示法．教学难点：集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合．课时安排1课时教学过程提出问题①上节所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法？活动：①学生回顾所学的集合并作出总结．教师提示可以用字母或自然语言来表示．②教师可以举例帮助引导：例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}”内，即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式，这种表示集合的方法是列举法．注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：{1,2,3,,100}，自然数集N：n；区分a与{}a：{}a表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这{0,1,2,3,4,,,}个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序，相同的元素不能出现两次．又例如，不等式32x ->的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示． 可以表示为{|32}x x ∈->R 或{|32}x x ->，这种表示集合的方法是描述法． ③让学生思考总结已经学习了的集合表示法．讨论结果：方法一(字母表示法)：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N 、Q ，所有的正方形组成的集合记为A 等等；方法二(自然语言)：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等． 方法三(列举法)：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．方法四(描述法)：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只需去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{|x x 是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}．③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法．应用示例例1．用列举法表示下列集合：（1）小于5的正奇数组成的集合；（2）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；（3）方程290x -=的解组成的集合；（4）{15以内的质数}；（5）6{|,}3x x x∈∈-Z Z ． 活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素．明确各个集合中的元素，写在大括号内即可．提示学生注意：（2）中满足条件的数通常按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；（4）中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数；（5）中3x -是6的约数，6的约数有±1，±2，±3，±6.解：（1）满足题设条件小于5的正奇数有1、3，故用列举法表示为{1,3}；（2）能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12，故用列举法表示为{6,9,12}；（3）方程290x -=的解为3-、3，故用列举法表示为{3,3}-；（4）15以内的质数有2、3、5、7、11、13，故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}；（5）满足63x∈-Z 的x 有31x -=±、2±、3±、6±，解之，得2x =、4、1、5、0、6、3-、9，故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,3,9}-．点评：本题主要考查集合的列举法表示．列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合．用列举法表示集合：先明确集合中的元素，再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.变式训练1用列举法表示下列集合：（1）24x -的一次因式组成的集合；（2）方程2690x x ++=的解集；（3）{20以内的质数}；（4）2{|5140}x x x ∈+-=R ；（5）{(,)|6,,}x y x y x y +=∈∈N N ．分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内．【解析】（1）24(2)(2)x x x -=+-，故符合题意的集合为{2,2}x x +-；（2）由2690x x ++=，得123x x ==-，∴方程2690x x ++=的解集为{3}-；（3）{20以内的质数}{2,3,5,7,11,13,17,19}=；（4）25140x x +-=的解为17x =-，22x =，则2{|5140}{7,2}x x x ∈+-==-R ；（5）{(,)|6,,}{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}x y x y x y +=∈∈=N N ． 例2．用描述法分别表示下列集合：（1）二次函数2y x =图象上的点组成的集合；（2）数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；（3）不等式73x -<的解集．活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点，如何表示数轴上的点，如何表示不等式的解．学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学．必要时，教师可提示学生：（1）集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(,)x y 来表示，其特征是满足2y x =；（2）集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，集合元素代表符号用x 来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6；（3）集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x 来表示，把不等式化为x a <的形式，则这些实数的特征是满足x a <．【解析】（1）二次函数2y x =上的点(,)x y 的坐标满足2y x =，则二次函数2y x =图象上的点组成的集合表示为2{(,)|}x y y x =；（2）数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合， 则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{|||6}x x ∈>R ；（3）不等式73x -<的解是10x <，则不等式73x -<的解集表示为{|10}x x <．点评：本题主要考查集合的描述法表示．描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合．用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(,)x y ，数集的元素代表符号常用x ．集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学符号表示，必须抓住其实质．变式训练2用描述法表示下列集合：（1）方程25x y +=的解集；（2）小于10的所有非负整数的集合；（3）方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合；（4）{1,3,5,7,}；（5）非负偶数；【解析】（1）,25{()|}x y x y +=；（2）{|010,}x x x ≤<∈Z ；（3）1{(,)|}1x y x y x y +=⎧⎨-=⎩； （4）*{|21,}x x k k =-∈N ；（5）*{|2,}x x k k =∈N ．当堂检测1．(口答)说出下面集合中的元素：（1）{大于3小于11的偶数}；（2）{平方等于1的数}；（3）{15的正约数}．【解析】（1）其元素为4,6,8,10；（2）其元素为-1,1；（3）其元素为1,3,5,15．2．用列举法表示下列集合：（1）所有绝对值等于8的数的集合A ；（2）所有绝对值小于8的整数的集合B ．【解析】（1）{8,8}A =-；（2）{7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7}B =-------．3．定义集合运算{|(,)}AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为（ ） A ．0 B ．6C ．12D ．18【解析】∵x ∈A ，∴x ＝0或x ＝1．当x ＝0，y ∈B 时，总有z ＝0．当x ＝1时，若x ＝1，y ＝2，有z ＝6；若x ＝1，y ＝3，有z ＝12．综上所得，集合A B 的所有元素之和为061218++=，故选D ．4．分别用列举法、描述法表示方程组322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集．【解析】322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解为37xy=⎧⎨=-⎩，用描述法表示该集合为32 {(,)|}2327x yx yx y+=⎧⎨-=⎩；用列举法表示该集合为{(3,7)}-．。

第一章　1.1　第1课时A级——基础过关练1．(多选)下列各组对象中能组成集合的是( )A．2020年足球世界杯参赛队伍B．中国文学四大名著C．著名的文学作家D．我国的直辖市【答案】ABD　【解析】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C著名的文学作家，怎样算著名，不能确定，不能组成集合．故选ABD．2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A【答案】C　【解析】很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．故选C．3．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈M【答案】D　【解析】分类讨论：x，y，z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，所以4∈M.4．用“∈”或“∉”填空(1)－3________N; (2)3.14________Q；(3)________Z; (4)－________R；(5)1________N*; (6)0________N.【答案】(1) ∉　(2)∈　(3) ∉(4)∈　(5)∈　(6)∈5．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号).【答案】②④　【解析】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q 表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．6．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.【答案】6　【解析】因为x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.7．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上可得x＝1，y＝0.B级——能力提升练8．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b.若集合A与集合B相等，则b－a＝( )A．1B．－1C．2D．－2【答案】C　【解析】由题意可知a≠0，所以a＋b＝0，所以a＝－b，所以＝－1.所以a ＝－1，b＝1，故b－a＝2.9．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A．0∈M B．－1∈MC．3∉M D．1∈M【答案】B　【解析】当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．10．关于x的不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．【答案】a>3　【解析】因为3∉A，所以3是关于x的不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.11．已知集合M由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成，若2∈M，求x.解：当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，x＝－2或x＝1，经检验，x＝－2，x ＝1均不合题意；当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，x＝－3或x＝2，经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.C级——探究创新练12．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A．{1,2,3}B．{1,2}C．{0,1}D．{0,1,2}【答案】B　【解析】由题意，不妨设解得∴集合A＝{0,1,2}．则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B．。

第一章：集合与常用逻辑用语东北大学外国语学院丁梁整理1 元素与集合（1）概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集）。

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（2)集合中元素的特征:1 确定性：作为一个集合,必须是确定的2 互异性：集合中的元素必须是互异的3 无序性：集合与其中元素的排列顺序无关（3)元素与集合的两种关系：∈（属于) ∉（不属于）（4)集合的分类：有限集，无限集,空集（5)常用的数集及其表示符号（6）集示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）2 集合间的关系(1)集合间的运算关系1 子集:如果集合A中所有的元素都是集合B中的元素,则称集合A为集合B的子集2 真子集:如果集合A⊆B,但存在元素a∈B，但元素a∉A,则称集合A是集合B 的真子集3 等集:集合A与集合B中的元素相同，那么就说集合A与集合B相等4 并集：对于两个给定集合A、B，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合5 交集：对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合６补集：对于一个集合A，由全集U中所有属于集合U但不属于集合A的所有元素组成的集合成为A在全集U中的补集，记作C U A（2）集合间的逻辑关系交集：A B⊆A A B⊆B A A=A A =并集：A B⊇A A B⊇B A A=A A =A补集:C U（C U A)=A C U U= C U= U A （C U A）=A （C U A）=U3 设有限集合A,card（A）=n（n∈N+）,则（1）A的子集的个数是：n2（2）A的真子集的个数是：n2-1（3）A的非空子集个数是：n2—1（4）A的非空真子集的个数是：n2—24 逻辑联结词（1）命题的概念：例：①12>5 ②3是12的约数③0.5是整数定义：可以判断真假的语句叫命题.正确的叫真命题，错误的叫假命题。

专题01 集合与常用逻辑用语§1－1 集 合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)． 4．集合的三种运算：交集、并集、补集． 【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集． 2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系． 3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算． 4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等． 【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N * (2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0} (4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0} 其中正确的关系是______．例2 已知全集U ＝{小于10的正整数}，其子集A ，B 满足条件(U A )∩(U B )＝{1，9}，A ∩B ＝{2}，B ∩(U A )＝{4，6，8}．求集合A ，B ．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅3．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B (C)U ＝A ∪(U B ) (D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题4．已知集合A ＝{x ｜x ＜－1或2≤x ＜3}，B ＝{x ｜－2≤x ＜4}，则A ∪B ＝______． 5．设M ＝{1，2}，N ＝{1，2，3}，P ＝{c ｜c ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 中元素的个数为______．6．设全集U ＝R ，A ＝{x ｜x ≤－3或x ≥2}，B ＝{x ｜－1＜x ＜5}，则(U A )∩B ＝______.三、解答题7．设全集U ＝{小于10的自然数}，集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(U A )∩B ＝{4，6，8}，(U A )∩(U B )＝{1，9}，求集合A 和B ．8．已知集合A ＝{x ｜－2≤x ≤4}，B ＝{x ｜x ＞a }，①A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围； ②A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；③A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0 (D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3 (B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0 (D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( )(A)若∀x∈A但x∉B，则称A不是B的子集(B)若∃x∈A但x∉B，则称A不是B的子集(C)若∃x∉A但x∈B，则称A不是B的子集(D)若∀x∉A但x∈B，则称A不是B的子集二、填空题5．“⌝p是真命题”是“p∨q是假命题的”__________________条件．6．命题“若x＜－1，则｜x｜＞1”的逆否命题为_________．7．已知集合A，B是全集U的子集，则“A⊆B”是“U B⊆U A”的______条件．8．设A、B为两个集合，下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A，有x∉B②A B⇔A∩B＝∅③A B⇔A B④A B⇔存在x∈A，使得x∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)习题1一、选择题1．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0(C)cb 2＜ab 2(D)ac (a －c )＜0二、填空题5．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．6．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．7．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 8．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)。

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B版必修第一册新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B 版必修第一册(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是他请教一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？”由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚．直到有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素．(3)表示：通常用英文大写字母A ，B ，C ，…表示集合，用英文小写字母a ，b ，c ，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系(1)“属于”：如果a 是集合A 的元素，就记作□01a ∈A ，读作“a 属于A ”．(2)“不属于”：如果a 不是集合A 的元素，就记作□02a ?A ，读作“a 不属于A ”．知识点三空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为□01空集(empty set)，记作□02?. 知识点四集合中元素的三个特性 (1)确定性； (2)互异性；(3)无序性．知识点五集合的分类(1)有限集；(2)无限集．知识点六几个常用数集的固定字母表示知识点七集合的表示方法03描述法、□04“区间”(以及后面将集合常见的表示方法有：□01自然语言、□02列举法、□要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)．(1)列举法：把集合中的元素□05一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个□06特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．知识点八区间01(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负实数集R可以用区间表示为□无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x< bdsfid="137" p=""></b的实数x<> 02[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．的集合分别表示为□可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【新知拓展】1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．( )(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一且只居其一．( )(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.( )(4)对于区间[2a，a＋1]，必有a<0.( )(5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．( )答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是( )A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，?)填空．0________?，0________{0},0________N，－2________N *，13________Z ，2________Q ，π________R .(3)不等式2x －1≥3的解集可以用区间表示为________．答案 (1)A (2)? ∈ ∈ ? ? ? ∈ (3)[2，＋∞)题型一集合概念的理解例1 下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数全体；④某校高一年级的全体女生；⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员；⑦a ，b ，a ，c .[解析] ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等．②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．③不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合．④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”．⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”．⑥不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．⑦不能构成集合．因为两个a 是重复的，不符合集合元素的互异性． [答案] ①④⑤ 金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素．(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1] 判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合．解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确．(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误． (3)中由于0.5＝12，不符合集合中元素的互异性，故错误．(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确. 题型二元素与集合关系的判断与应用例2 (1)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3?Q ；③0∈N *；④|－4|?N *. A ．1B ．2C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足66－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)∵π是实数，3是无理数，∴①②正确；∵N *表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．(2)∵66－x∈N ，x ∈N ，∴66－x ≥0，x ≥0，即?6－x >0，x ≥0，∴0≤x <6，∴x ＝0,1,2,3,4,5. 当x 分别为0,3,4,5时，66－x相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5. [答案] (1)B (2)0,3,4,5 金版点睛1.常用数集之间的关系2.确定集合中元素的三个注意点1判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性. 2集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性. 3 若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.[跟踪训练2] (1)用符号“∈”或“?”填空．①0________N *；②1________N ；③1.5________Z ；④22________Q ；⑤4＋5________R ；⑥若x 2＋1＝0，则x ________R . (2)设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . ①求实数x 应满足的条件；②若－2∈A ，求实数x 的值．答案(1)①? ②∈ ③? ④? ⑤∈ ⑥? (2)见解析解析(1)①∵0不是正整数，∴0?N *. ②∵1是自然数，∴1∈N .③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5?Z . ④∵22是无理数，∴22?Q .⑤∵4＋5是无理数，无理数是实数，∴4＋5∈R . ⑥∵满足x 2＋1＝0的实数不存在，∴x 为非实数，∴x ?R .(2)①根据集合元素的互异性，可知x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0，且x ≠3且x ≠－1.②∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，∴x ＝－2. 题型三集合中元素的特性例3 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值；(2)若x 2∈B ，求实数x 的值．[解] (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．得a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. 金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3] 已知集合A 包含三个元素：a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，求a 的值．解因为A 包含三个元素a －2,2a 2 ＋5a,12，且－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，解得a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，A 中三个元素为：－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．当a ＝－32时，A 中三个元素为：－72，－3,12，满足题意．故a ＝－32.题型四集合的分类例4 下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集． (1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x 2－1)(x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(5)在实数范围内方程组?x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1的解构成的集合．[解] (1)能构成集合，是无限集．(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集．(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集．(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集． (5)由x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1无解，能构成集合，是空集．金版点睛集合的分类方法判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数．[跟踪训练4] 指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集．(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数．解 (1)中对象能组成集合，它是一个有限集；(2)中对象能组成集合，它是一个无限集；(3)中对象能组成集合，它是一个无限集；(4)中对象能组成集合，它是一个无限集；(5)中对象能组成集合，它是一个空集；(6)中对象能组成集合，它是一个有限集.题型五用列举法表示集合例5 用列举法表示下列集合：(1)方程x 2－4x ＋2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的质数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－4x ＋2＝0的实数根为2，故其实数根组成的集合为{2}．(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为{2,3,5,7}．(3)由?y ＝x ，y ＝2x －1，解得?x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．金版点睛用列举法表示集合应注意的三点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复．(3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．[跟踪训练5] 用列举法表示下列集合：(1)不等式组?2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合；(2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合．解 (1)由?2x －6>0，1＋2x ≥3x －5得3<="">又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}．(2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，则：①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2；③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有值组成的集合为{－2,0,2}. 题型六用描述法表示集合例6 用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合； (3)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合．[解] (1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }．(2)因为被3除余1的整数可表示为3n ＋1，n ∈Z ，所以所有被3除余1的整数的集合为{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }．(3)要使y ＝1x 2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0.由x 2＋x －6＝0，得x 1＝2，x 2＝－3. 所以使y ＝1x 2有意义的实数x 的集合为{x |x ≠2且x ≠－3，x ∈R }．金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．[跟踪训练6] 试用描述法表示下列集合：(1)方程x 2－x －2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解 (1)方程x 2－x －2＝0的解可以用x 表示，它满足的条件是x 2－x －2＝0，因此，方程的解集用描述法表示为{x ∈R |x 2－x －2＝0}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x 表示，它满足的条件是x ∈Z ，且－1<7，<="" bdsfid="371" p=""> 因此，该集合用描述法表示为{x ∈Z |－1<="" 题型七="">例7 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .[解] ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0，∴x ＝2，此时A ＝{2}，符合题意．②当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根．即Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1，从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．[条件探究] 把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合．解由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等的实根．∴?k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1且k ≠0.∴k 的取值范围的集合为{k |k ＜1且k ≠0}．金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)①本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．②由kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0两种情况，注意做到不重不漏．(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点．[跟踪训练7] (1)设集合B ＝?x ∈N62＋x∈N .①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．解(1)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N .当x ＝2时，62＋2＝32?N .所以1∈B,2?B .②∵62＋x ∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6，∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．(2)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系，得2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6.题型八集合中的新定义问题例8 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 根据已知条件，列表如下：由上表可知，B 中的元素有9个，故选D. [答案] D 金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表含树形图使用.[跟踪训练8]定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为( )A．0 B．2C．3 D．6答案 D解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知A*B＝{0,2,4}，故集合A*B 中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.1．下列所给的对象不能组成集合的是( )A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．我班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点答案 C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C.2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0答案 B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A时，6－a ＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a ＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0?A，综上所述，a＝2或4.故选B.3．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.4．用适当符号(∈，?)填空．(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．答案(1)∈(2)∈解析(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，当a＝1时，A＝{1}；当a≠1时，A ＝{1，a}．。

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于,记为∈；不属于,记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ,且存在x 0∈B ,x 0∉AA B 或B A相等 集合A ,B 的元素完全相同 A ⊆B ,B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的x ,x ∉∅,∅⊆A∅3．集合的基本运算表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ,且x ∉A }∁U A素组成的集合4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集,即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性,即A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C ； (3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ,A ∪∅＝A ,A ∩∅＝∅,∁U U ＝∅,∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ,A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2},B ＝{x |0＜x ＜5,x ∈N },则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：53．(江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8},B ＝{－1,1,6,8},那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1},N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0,则M ∪N ＝( ) A ．(0,e] B ．[－e,＋∞) C ．(－∞,－e]∪(0,＋∞)D ．[－e,e]解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e,∴M ＝[－e,e]．N ＝(0,＋∞),∴M ∪N ＝[－e,＋∞)．故选B.2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5},B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1},且B ⊆A ,则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1,即m ＜2时,B ＝∅,满足B ⊆A ；若B ≠∅,且满足B ⊆A ,如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, x ＋1,x 2－5x },若－4∈A ,则实数x 的值为________． 解析：∵－4∈A ,∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.若x ＝1,则A ＝{0, 2,－4},满足条件； 若x ＝4,则A ＝{0, 5,－4},满足条件； 若x ＝－5,则A ＝{0,－4,50},满足条件． 所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ,y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1,32,64,⎪⎪⎪⎪－12,0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得,①不满足集合的确定性,故错误；②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5,出现了重复,不满足集合的互异性,故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点,还可表示原点,故错误．综上,没有正确命题,故选A.2．已知a ＞0,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0,a 2},则a 2＋b 2的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0,则ba ＝0,所以b ＝0,于是a 2＝4,即a ＝2或a ＝－2,因为a ＞0,所以a ＝2,故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素,则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时,x ＝23,符合题意．当a ≠0时,由Δ＝(－3)2－8a ＝0,得a ＝98,所以a 的值为0或98.4．(易错题)(江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,3,4} ,M ＝{x |x ＝ab ,a ∈A ,b ∈B },则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12},据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4},则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A ．8个 B ．4个 C ．3个D ．2个解析：选B 由题意,得P ＝{3,4},所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0},B ＝{x |ax ＝1},若B ⊆A ,则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时,－2a ＝1,解得a ＝－12；当x ＝1时,a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意,这时a ＝0,故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ,b ,c ,d ,e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素,所以其子集的个数为25＝32个,其真子集的个数为25－1＝31个． 2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3},B ＝{x |－m ＜x ＜m },若B ⊆A ,则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时,B ＝∅,显然B ⊆A . 当m ＞0时,∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时,在数轴上标出两集合,如图,∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞,1]． 答案：(－∞,1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2},B ＝{－2,0,1,2},则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2},B＝{－2,0,1,2},∴A∩B＝{0,1}．故选A.2．(全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0},则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2＞0,∴(x－2)(x＋1)＞0,∴x＞2或x＜－1,即A＝{x|x＞2或x＜－1}．则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.角度二：利用集合运算求参数3．(浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1},Q＝{x|0＜x＜a},若P∪Q＝{x|－1＜x＜2},则实数a的值为()A．1 B．2C．12D．32解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1},Q＝{x|0＜x＜a},所以当a≤1时,P∪Q＝{x|－1＜x＜1},不符合题意；当a＞1时,P∪Q＝{x|－1＜x＜a},结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2},可得a＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A,B,同时满足A∪B＝{1,2,3,4},A∩B＝{1},A≠{1},B≠{1},就称有序集对(A,B)为“好集对”．这里有序集对(A,B)是指当A≠B时,(A,B)和(B,A)是不同的集对,那么“好集对”一共有()个() A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4},A∩B＝{1},A≠{1},B≠{1},所以当A＝{1,2}时,B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时,B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时,B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时,B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时,B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时,B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个,故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4},B＝{x∈Z|x2－6x＜0},则(∁R A)∩B＝()A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6,所以B＝{1,2,3,4,5},又∁R A＝{x|x≤1或x≥4},所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B,故排除D,又1,5∈∁R A,1,5∈B,故选C.2．(长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2－3x＋a＝0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时,x2－3x＋1＝0,无整数解,则A∩B＝∅；当a＝2时,B＝{1,2},A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时,B＝∅,A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0,a∈R},B＝{x|(x－1)(x－4)＝0},则A∪B的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知,要使A∪B的子集个数最多,则需A∪B中的元素个数最多,此时a≠1,a≠3,且a≠4,即集合A＝{3,a},B＝{1,4},A∪B＝{1,3,4,a},故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x,y∈R,A＝{x|y＝2x－x2},B＝{y|y＝3x,x＞0},则A B为()A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2},B＝{y|y＞1},A∪B＝{x|x≥0},A∩B＝{x|1＜x≤2},所以A B＝∁A∪(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2},故选D.B一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2},N＝{x|－1＜x＜1},则M∪N＝()A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞,0]∪(1,＋∞)解析：选C法一：易知M＝{x|0≤x≤2},又N＝{x|－1＜x＜1},所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取x＝2,则2∈M,所以2∈M∪N,排除A、B；取x＝3,则3∉M,3∉N,所以3∉M∪N,排除D,故选C.2．(浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2},Q＝{x|－1≤x≤3},则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由|x|＜2,可得－2＜x＜2,所以P＝{x|－2＜x＜2},所以P∩Q＝[－1,2)．3．(嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1},Q＝{x|x＞0},则()A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ⊆∁R QD ．∁R P ⊆Q解析：选D 由已知可得∁R P ＝[1,＋∞),所以∁R P ⊆Q .故选D.4．(浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M ＝{0,1,2,3,4},N ＝{2,4,6},P ＝M ∩N ,则P 的子集有________个． 解析：集合M ＝{0,1,2,3,4},N ＝{2,4,6},P ＝M ∩N ＝{2,4},则P 的子集有∅,{2},{4},{2,4},共4个. 答案：45．已知集合A ＝{x |x ≥3},B ＝{x |x ≥m },且A ∪B ＝A ,则实数m 的取值范围是________． 解析：因为集合A ＝{x |x ≥3},B ＝{x |x ≥m },且A ∪B ＝A ,所以B ⊆A ,如图所示,所以m ≥3. 答案：[3,＋∞)二保高考,全练题型做到高考达标1．(杭州七校联考)已知集合A ＝{x |x 2＞1},B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0},则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B A ＝{x |x ＜－1或x ＞1},B ＝{－2,－1,1,2},A ∩B ＝{－2,2},故选B.2．(浙江六校联考)已知集合U ＝{x |y ＝3x },A ＝{x |y ＝log 9x },B ＝{y |y ＝－2x }则A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．R C ．{x |x ＞0}D ．{0}解析：选C 由题意得,U ＝R ,A ＝{x |x ＞0},因为y ＝－2x ＜0,所以B ＝{y |y ＜0},所以∁U B ＝{x |x ≥0},故A ∩(∁U B )＝{x |x ＞0}．故选C.3．(永康模拟)设集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0},N ＝{x |－3＜x ＜3},则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∪N ＝RD ．M ∩N ＝∅解析：选C 由x 2－2x －3≥0,解得x ≥3或x ≤－1,所以M ＝{x |x ≤－1或x ≥3},所以M ∪N ＝R . 4．(宁波六校联考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0},B ＝{1,a },且A ∩B 有4个子集,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞,1)∪(3,＋∞)解析：选B ∵A ∩B 有4个子集,∴A ∩B 中有2个不同的元素,∴a ∈A ,∴a 2－3a ＜0,解得0＜a ＜3且a ≠1,即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.5．(镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－x x ,N ＝{x |x ＜1},则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞,2)D ．(0,＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{x |0＜x ＜2},N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞,2)．故选C.6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0},B ＝{x |x ＜1,且x ∈Z },则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2},因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1,x ∈Z }＝{－1,0}． 答案：{－1,0}7．(嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2},B ＝{x |x 2－4x ≤0},则A ∪B ＝________,A ∩(∁R B )＝________. 解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4},所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4},所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}8．设集合A ＝{(x ,y )|y ≥|x －2|,x ≥0},B ＝{(x ,y )|y ≤－x ＋b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ,y )∈A ∩B ,且x ＋2y 的最大值为9,则b 的值是________． 解析：由图可知,当y ＝－x 往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以b ≥2；要使z ＝x＋2y 取得最大值,则过点(0,b ),有0＋2b ＝9⇒b ＝92.答案：(1)[2,＋∞) (2)929．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16},B ＝[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4],因为A ⊆B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a －b ≤2－4＝－2,即实数a －b 的取值范围是(－∞,－2]．答案：(－∞,－2]10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0},其中m ∈R ,集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0.(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅,求实数m 的取值范围．解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－xx ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时,m ＝43,不符合题意．当A ≠∅时,m ≠43.①当－2m ＜m －4,即m ＞43时,A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4},又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4,即m ＜43时,A ＝{x |m －4＜x ＜－2m },又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述,实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5,＋∞)． (2)由(1)知,B ＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时,m ＝43,符合题意．当A ≠∅时,m ≠43.①当－2m ＜m －4,即m ＞43时,A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4},又因为A ∩B ＝∅,所以－2m ≥1或者m －4≤－2, 即m ≤－12或者m ≤2,所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4,即m ＜43时,A ＝{x |m －4＜x ＜－2m },又因为A ∩B ＝∅,所以m －4≥1或者－2m ≤－2, 即m ≥5或者m ≥1,所以1≤m ＜43.综上所述,实数m 的取值范围为[1,2]． 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ,b ,c ,d ,若集合S ＝{a ,b ,c ,d }具有性质“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”,则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时,b ＋c＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ,b ,c ,d },由集合中元素的互异性可知当a ＝1时,b ＝－1,c 2＝－1,∴c ＝±i,由“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”知±i ∈S ,∴c ＝i,d ＝－i 或c ＝－i,d ＝i,∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ,N ,定义M －N ＝{x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M ),设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ,B ＝{x |x ＜0,x ∈R },则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0,＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0,＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0,x ∈R },B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ,故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0,＋∞)．故选C.3．已知函数f (x )＝x －3－17－x的定义域为集合A ,且B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10},C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ,求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )＝x －3－17－x, 应满足x －3≥0,且7－x ＞0,解得3≤x ＜7, 则A ＝{x |3≤x ＜7}, 得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7},而B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}, 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1},要使A ∪C ＝R , 则有a ≥3,且a ＋1＜7,解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ,q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ,B 互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0,则函数f (x )＝log a x (a ＞0,a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0,则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ,则x ＝y ”的逆否命题 答案：B2．(温州高考适应性测试)已知α,β∈R ,则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β,如α＝π3,β＝π6,π3＞π6,而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β,如α＝π6,β＝π3,cos π6＞cos π3,而π6＜π3.故选D. 3．设a ,b 是向量,则命题“若a ＝－b ,则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |,则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论． 2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中,若∠C＝90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中,∠C＝90°,结论：∠A,∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2,则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2,则a≤b B．若a2≤b2,则a≤bC．若a≤b,则a2＞b2D．若a≤b,则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”．该题中,p为a2＞b2,q为a＞b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2,则a≤b.2．命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4,则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4,则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4,则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4,则x2－3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2－3x－4＝0,所以x＝4或－1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1,则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数,则a,b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题；③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题；④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a＝－1,b＝－3,故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(杭州高三四校联考)“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R),则a2－1＜0,即－1＜a＜1,所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*),则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*),所以当k＞2时,a n＋1－a n＝k＞2,则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列,则a n＋1－a n＝k＞0即可,所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知,“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”,所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a ＞0,b ＞0,则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ＞0,b ＞0,所以a ＋b ＞0,ab ＋1＞0,故不等式a ＋b ≥ab ＋1成立的充要条件是(ab ＋1)2≤(a ＋b )2,即a 2＋b 2≥a 2b 2＋1.显然,若a 2＋b 2≥a 2b 2＋1,则必有a 2＋b 2≥1,反之则不成立,所以a 2＋b 2≥1是a 2＋b 2≥a 2b 2＋1成立的必要不充分条件,即a 2＋b 2≥1是a ＋b ≥ab ＋1成立的必要不充分条件．2．(浙江期初联考)若a ,b ∈R ,使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b ＜－4解析：选D 对选项A,若a ＝b ＝2,则|a |＋|b |＝2＋2≥4,不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B,若a ＝4≥4,b ＝0,此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C,若a ＝2≥2,b ＝2≥2,此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D,由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4,但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰AD ,BC ”是“l 垂直于两底AB ,DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形,且AB ∥CD ,所以腰AD ,BC 是交线,由直线与平面垂直的判定定理可知,当l 垂直于两腰AD ,BC 时,l 垂直于ABCD 所在平面,所以l 垂直于两底AB ,CD ,所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ,CD ,由于AB ∥CD ,所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面,所以l 不一定垂直于两腰AD ,BC ,所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12,则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12,所以B ⊆A .①当m －1＜2m ,即m ＞－1时,A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ,即m ＝－1时,A ＝∅,不满足B ⊆A ；③当m －1＞2m ,即m ＜－1时,A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m－1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上,m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43.答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2,条件q ：x ＞a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[1,＋∞)B ．(－∞,1]C ．[－3,＋∞)D ．(－∞,－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2,可得x ＞1或x ＜－3,所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m , 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件, 所以m ＋3≤－4或m ≥1, 故m ≤－7或m ≥1. 答案：(－∞,－7]∪[1,＋∞)一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0,则x ＝12或x ＝0,即不一定是x ＝0；若x ＝0,则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x－1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ,b ∈R ,则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3,知a ＞b ,由ab ＜0,知a ＞0＞b ,所以此时有1a ＞1b ,故充分性成立；当1a ＞1b 时,若a ,b 同号,则a ＜b ,若a ,b 异号,则a ＞b ,所以必要性不成立．故选A. 3．设φ∈R ,则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0,则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数,则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1,则x ＜1”的逆命题为q ,则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1,则x 2＜1. ∵p ：x 2＜1,则－1＜x ＜1.∴p 真,当x ＜1时,x 2＜1不一定成立,∴q 假,故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件,则实数a 的取值范围为( ) A ．(5,＋∞) B ．[5,＋∞) C ．(－∞,5)D ．(－∞,5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知,{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a },∴a ≤5,故选D. 二保高考,全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析：选B 依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2],所以x 2∈[1,4],x 2－a ≤0恒成立,即x 2≤a ,因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0,则x ＞0且y ＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1,则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数,则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0,则x ＋y ＞0”为真,故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题； ③的逆命题为,若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ,则m ≥1. ∵当m ＝0时,解集不是R ,∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真,逆否命题也为真．4．(浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ,倾斜角为θ,则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时,0＜k ≤1；反之,当k ≤1时,0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件,故选A.5．命题“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a ,b ∈R )”,否命题的真假性为________． 解析：命题的否命题为“若a ≤b ,则ac 2≤bc 2”． 若c ＝0,结论成立．若c ≠0,不等式ac 2≤bc 2也成立． 故否命题为真命题．答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2,且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ,故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |,故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ,且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ,故③正确． 答案：②③8．已知α,β∈(0,π),则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β,所以若sin α＋sin β＜13,则有sin(α＋β)＜13,故充分性成立；当α＝β＝π2时,有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13,而sin α＋sin β＝1＋1＝2,不满足sin α＋sin β＜13,故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0),q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0,m 2－7am ＋12a 2＜0,得3a ＜m ＜4a ,即p ：3a ＜m ＜4a ,a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆,可得2－m ＞m －1＞0,解得1＜m ＜32,即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38,所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2,B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2, ∴716≤y ≤2, ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1,得x ≥1－m 2, ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1－m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤－34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1．已知p ：x ≥k ,q ：3x ＋1＜1,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( ) A ．[2,＋∞) B ．(2,＋∞) C ．[1,＋∞)D ．(－∞,－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得,3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0,即(x －2)(x ＋1)＞0,解得x ＜－1或x ＞2,由p 是q 的充分不必要条件知,k ＞2,故选B.2．在整数集Z 中,被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z },k ＝0,1,2,3,则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ,b 满足a ∈[1],b ∈[2],则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z },k ＝0,1,2,3,可知,只要整数m ＝4n ＋k ,n ∈Z ,k ＝0,1,2,3,则m ∈[k ],对于①中,2 018＝4×504＋2,所以2 018∈[2],所以符合题意；对于②中,－1＝4×(－1)＋3,所以符合题意；对于③中,所有的整数按被4除所得的余数分为四类,即余数分别为0,1,2,3的整数,即四“类”[0],[1],[2],[3],所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3],所以符合题意；对于④中,原命题成立,但逆命题不成立,因为若a ＋b ∈[3],不妨设a ＝0,b ＝3,则此时a ∉[1]且b ∉[2],所以逆命题不成立,所以不符合题意；对于⑤中,因为“整数a ,b 属于同一类”,不妨设a ＝4m ＋k ,b ＝4n ＋k ,m ,n ∈Z ,且k ＝0,1,2,3,则a －b ＝4(m －n )＋0,所以a －b ∈[0]；反之,不妨设a ＝4m ＋k 1,b ＝4n ＋k 2,m ,n ∈Z ,k 1＝0,1,2,3,k 2＝0,1,2,3,则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2),若a －b ∈[0],则k 1－k 2＝0,即k 1＝k 2,所以整数a ,b 属于同一类,故“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”,所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ,非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0,B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0,命题p ：x ∈A ,命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时,若p 真q 假,求x 的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时,A ＝{x |2＜x ＜37},B ＝{x |12＜x ＜146},因为p 真q 假． 所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12},所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件,即p ⇒q ,可知A ⊆B .因为a 2＋2＞a ,所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2,即a ＞13时,A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52； 当3a ＋1＝2,即a ＝13时,A ＝∅,不符合题意； 当3a ＋1＜2,即a ＜13时,A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13； 综上所述,实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},则∁U A ＝( )A ．∅B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(天津高考)设全集为R ,集合A ＝{x |0＜x ＜2},B ＝{x |x ≥1},则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ,B ＝{x |x ≥1},∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2},∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．3．(浙江高考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1},Q ＝{x |0＜x ＜2},那么P ∪Q ＝( )A ．(－1,2)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义,得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0},B ＝{0,1,2},则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1},B ＝{0,1,2},∴A ∩B ＝{1,2}．5．(全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：选A 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ,y 全部列举出来,即(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1),共有9个．故选A.6．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2},B ＝{a ,a 2＋3}．若A ∩B ＝{1},则实数a 的值为________．解析：因为a 2＋3≥3,所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1,即实数a 的值为1.答案：1命题点二 充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ,则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24,当x ＝－b 2时,f (x )min ＝－b 24,又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24,当f (x )＝－b 2时,f (f (x ))min ＝－b 24,当－b 2≥－b 24时,f (f (x ))可以取到最小值－b 24,即b 2－2b ≥0,解得b ≤0或b ≥2,故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列,所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ,S 4＋S 6－2S 5＝d ,所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ,b 是实数,则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10,b ＝－1时,a ＋b ＞0,ab ＜0,故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2,b ＝－1时,ab ＞0,但a ＋b ＜0,所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(天津高考)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12,得0＜x ＜1,则0＜x 3＜1,即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1,得x ＜1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x －12≥12,即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．5．(天津高考)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12,得0＜θ＜π6,故sin θ＜12.由sin θ＜12,得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π,k ∈Z ,推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12,而当sin θ＜12时,取θ＝－π6,⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12.故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．6．(北京高考)设a ,b 均为单位向量,则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |,得(a －3b )2＝(3a ＋b )2,即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .又a ,b 均为单位向量,所以a 2＝b 2＝1,所以a ·b ＝0,能推出a ⊥b .由a ⊥b ,得|a －3b |＝10,|3a ＋b |＝10,能推出|a －3b |＝|3a ＋b |,所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ,命题“若m ＞0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是() A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义,命题“若m ＞0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤0”．2．(北京高考)能说明“若a ＞b ,则1a ＜1b”为假命题的一组a ,b 的值依次为________． 解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时,1a ＞0＞1b .答案：1,－1(答案不唯一)3．(北京高考)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数．若a ＞b ＞c ,则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为________．解析：因为“设a ,b ,c 是任意实数．若a ＞b ＞c ,则a ＋b ＞c ”是假命题,则它的否定“设存在实数a ,b ,c .若a ＞b ＞c ,则a ＋b ≤c ”是真命题．由于a ＞b ＞c ,所以a ＋b ＞2c ,又a ＋b ≤c ,所以c ＜0.因此a ,b ,c 依次可取整数－1,－2,－3,满足a ＋b ≤c .答案：－1,－2,－3(答案不唯一)。

第一章集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N *或N ＋Z Q R 2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集集合A 中任意一个元素均为集合B 中的元素A ⊆B 真子集集合A 中任意一个元素均为集合B 中的元素，且集合B 中至少有一个元素不是集合A 中的元素BA ⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪B A ∩B 若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）；空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅ÜA ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B = ，所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N 230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（）A ．32B ．31C ．16D ．15【答案】D 【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣，其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )．6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AÜB；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BÜA；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］ 考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。