下载文档原格式
[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.6．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案22解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca ≤3＋1.。
[80分] 解答题标准练(二)1．(2018·威海模拟)在△ABC 中，边BC 上一点D 满足AB ⊥AD ，AD ＝3DC . (1)若BD ＝2DC ＝2，求边AC 的长； (2)若AB ＝AC ，求sin B . 解 (1)∵AB ⊥AD ，∴在Rt△ABD 中，sin∠ABD ＝AD BD ＝32， ∴∠ABD ＝60°，AB ＝1.在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝3，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC＝1＋9－2×1×3×12＝7，∴AC ＝7.(2)在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin C ＝DCsin∠DAC ，∵AD ＝3DC ， ∴3sin C ＝1sin∠DAC， ∵AB ＝AC ，∴B ＝C ， ∴∠BAC ＝180°－2B ， ∵∠BAD ＝90°， ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝180°－2B －90°＝90°－2B ， ∴3sin B ＝1sin (90°－2B )， ∴3sin B ＝1cos 2B， 化简得23sin 2B ＋sin B －3＝0， 即(3sin B －1)(2sin B ＋3)＝0， ∵sin B >0，∴sin B ＝33. 2．(2018·安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠B 1C 1A 1＝90°，异面直线AB 1⊥A 1C ，且AA 1＝AC .(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；(2)若AC1＝AA1＝B1C1，求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值．(1)证明因为AA1＝AC，所以四边形ACC1A1是菱形，所以A1C⊥AC1，又因为异面直线AB1⊥A1C，AC1∩AB1＝A，AB1，AC1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥B1C1.又因为∠B1C1A1＝90°，即B1C1⊥A1C1，且A1C1∩A1C＝A1，A1C，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，又B1C1⊂平面A1B1C1，所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.(2)解设O是A1C1的中点，因为AC1＝AA1，所以AO⊥A1C1，由(1)可知，AO⊥平面A1B1C1，以O为坐标原点，过点O且与C1B1平行的直线为x轴，以OC1所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，设AA1＝2，则A (0,0，3)，A 1(0，－1,0)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，设A 1C 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，因为 A 1C 1→＝(0,2,0)，A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)， 设平面ABB 1A 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，不妨令x ＝1， 则y ＝－1，z ＝33，可得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，33， 所以sin θ＝|cos 〈A 1C 1→，n 〉|＝22×73＝217，所以直线A 1C 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)．(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)K 2＝200×(5×115－35×45)250×150×40×160＝256≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．(2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为15.X 的所有可能的取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫15k ×⎝⎛⎭⎪⎫1－153－k(k ＝0,1,2,3)． P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫150×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－0＝64125， P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫151×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－1＝48125， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫153×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125， 所以X 的分布列为E (X )＝3×15＝35.4．(2018·安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)B 是椭圆C 上异于顶点的一点，且直线OB ⊥l ，D 是线段OB 延长线上一点，且|DB |＝75|MN |，⊙D 的半径为|DB |，OP ，OQ 是⊙D 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线l 的斜率． 解 (1)由已知，可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，解得a ＝2c ，设椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，当直线l 的斜率不存在时，线段MN 的长为23c ； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝kx ＋c ，得(4k 2＋3)x 2＋8kcx －8c 2＝0，Δ＝(8kc )2＋32c 2(4k 2＋3)>0， 从而|MN |＝k 2＋1·Δ4k ＋3＝46c ·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3 ＝23c ·(4k 2＋4)·(4k 2＋2)(4k 2＋3)2＝23c ·1－1(4k 2＋3)2<23c ，易知当k ＝0时，|MN |的最小值为463c ，从而c ＝1，因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由B 是椭圆上异于顶点的一点且直线OB ⊥l ，可知l 的斜率存在且不为0.由(1)知，|MN |＝46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3， 而⊙D 的半径r ＝75|MN |， 又直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2B ＝12k23k 2＋4，因此|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋1·|x B | ＝12·k 2＋13k 2＋4， 由题意可知sin ∠POQ 2＝r r ＋|OB |＝11＋|OB |r，要求∠POQ 的最大值，即求|OB |r的最小值．而|OB |r＝12·k 2＋13k 2＋475·46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3＝57·4k 2＋322·3k 2＋4·2k 2＋1 ＝57(4k 2＋3)2(12k 2＋16)·(4k 2＋2)， 令u ＝4k 2＋3， 则u >3，1u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，因此|OB |r ＝57u 2(3u ＋7)·(u －1)＝5713＋4u －7u2＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫7u －22＋25≥1，当且仅当7u ＝2，即u ＝72时等号成立，此时k ＝±24，所以sin ∠POQ 2≤12， 因此∠POQ 2≤π6，所以∠POQ 的最大值为π3.综上所述，∠POQ 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率k ＝±24. 5．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝(3－x )e x＋ax(x >0，a ∈R )．(1)当a >－34时，判断函数f (x )的单调性；(2)当f (x )有两个极值点时，若f (x )的极大值小于整数m ，求m 的最小值． 解 (1)由题意知，f ′(x )＝[－e x＋(3－x )e x]x －(3－x )e x－ax2＝(－x 2＋3x －3)e x－a x2(x >0)． 令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 故h (x )在x ＝1处取得极大值，也为最大值． 则h (x )max ＝h (1)＝－e －a . 由于a >－34，所以h (x )max ＝h (1)＝－e －a <0， 所以f ′(x )<0，于是f (x )为(0，＋∞)上的减函数． (2)令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)，则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于－∞. 由于f (x )有两个极值点， 所以f ′(x )＝0有两个不等实根，即h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a ＝0有两不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧h (0)<0，h (1)>0，解得－3<a <－e.可知x 1∈(0,1)，由于h (1)＝－e －a >0， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34e 32－a <－34e 32＋3<0，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 而f ′(x 2)＝(－x 22＋3x 2－3)2e x－ax 2＝0， 即e x 2＝a－x 22＋3x 2－3，①所以f (x )极大值＝f (x 2)＝(3－x 2)2e x＋ax 2，于是f (x 2)＝ax 2－2ax 22－3x 2＋3，②令t ＝x 2－2，则x 2＝t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1<t <－12， 则②可变为g (t )＝t t 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a ，可得－1<1t ＋1t＋1<－23，而－3<a <－e ， 则有g (t )＝tt 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a <3， 下面再说明对于任意－3<a <－e ，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32，f (x 2)>2.又由①得a ＝2e x(－x 22＋3x 2－3)，把它代入②得f (x 2)＝(2－x 2)2e x，所以当x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f ′(x 2)＝(1－x 2)2e x<0恒成立，故f (x 2)＝(2－x 2) 2e x为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上的减函数，所以f (x 2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1232e >2.所以满足题意的整数m 的最小值为3. 6．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式． (1)证明 ∵S n ＋1＝4a n ＋2，① ∴当n ≥2，n ∈N *时，S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵ c n ＝a n2n ，∴ c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，则2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，∴S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N *.。
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。
8＋6分项练12 函数的图象与性质1．(2018·葫芦岛模拟)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( )A ．tan x >tan yB ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1C.1x >1yD ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x＋1(－x )(e －x－1) ＝e x＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x－1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(2x＋7)，则f (2 017)等于( ) A ．－2 B ．log 23 C ．3 D ．－log 25答案 D解析 因为奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0， 所以f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即周期为3， 所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 25，故选D.4．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B.()－∞，－3∪()3，＋∞ C.()－3，3 D ．(－∞，－1)∪()3，＋∞答案 D解析 因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x＋e －x)＋x 2＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数，又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (2x )>f (x ＋3)⇔|2x |>|x ＋3|， 解得x <－1或x >3.故选D.5．(2018·贵州省凯里市第一中学模拟)定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 由题意可知，g (x )＝13x 3－m 2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)，满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝43－m ， ∴方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －43>0，0<m 2<2，m －43>0，4－2m ＋m －43>0，解得43<m <83，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83. 6．(2018·咸阳模拟)已知奇函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，则( ) A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数 B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数 C ．函数f (x ＋1)是奇函数 D ．函数f (x ＋2)是偶函数 答案 B解析 根据题意，定义在R 上的函数f (x )是奇函数， 则满足f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， 又由f (1－x )＝f (1＋x )，得f (x ＋2)＝f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)] ＝f (－x )＝－f (x )， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为4.7．(2018·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有零点，只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝813＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 19>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0,8]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，98. 当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14. 综上所述，可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 9．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2，g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________． 答案 2解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个． 11．(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝a x －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为________．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时，f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝ax －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．12．(2018·南平质检)已知实数x ，y 满足x 2－sin y ＝1，则sin y －x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2解析 由x 2－sin y ＝1，可得sin y ＝x 2－1. 又sin y ∈[－1,1]，所以x 2－1∈[－1,1]， 解得－2≤x ≤ 2.sin y －x ＝x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54.结合－2≤x ≤2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2. 13．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③.14．已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，关于x 的方程f 2(x )－af (x )－1＝0有以下结论： ①当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0恒有根；②当0≤a <649时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个不等实根；③当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内最多有9个不等实根；④若方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内根的个数为非零偶数，则所有根之和为15π.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ③④解析 如图所示，令f (x )＝t ，故可将题意理解为先求出t 2－at －1＝0的解，然后再令f (x )＝t 即可得出方程的根的情况，而假设t 2－at －1＝0有两解t 1，t 2，则t 1＋t 2＝a ，t 1·t 2＝－1，故t 1，t 2一正一负，显然负根与函数f (x )的图象不会产生交点，故只需讨论正根与图象的交点，不妨假设t 1为正根，故可得t 1－1t 1＝a ，对于①显然错误，只要足够大，很显然与函数图象不会有交点，故①错误．对于②，当0≤a <649时，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，83，故t 1∈[1,3)，故方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个或三个不等实根，故②错误．对于③，当a ≥0时，故a ∈[0，＋∞)，当a ＝0时，t 1的最小值取1.当t 1＝1时，此时在[]0，6π内有9个不等实根；当a >0时，此时在[]0，6π内无根或者3个根或者6个根，故最多9个根，③正确；对于④，当在[]0，6π内有偶数(非零)个根时，即为6个根，此时6个解关于x ＝5π2对称，故6个根的和为5π2×2×3＝15π，④正确，故正确的为③④.。
8＋6分项练3 复数与程序框图1．(2018·南昌模拟)若实数x ，y 满足x1＋i＋y ＝2＋i(i 为虚数单位)，则x ＋y i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B 解析 因为x1＋i＋y ＝2＋i ， 所以x ＋y ＋y i ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ， 因为x ，y 为实数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝3，解得x ＝－2，y ＝3，所以复数x ＋y i ＝－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，位于第二象限． 2．(2018·湘潭模拟)在如图所示的复平面内，复数z ＝2＋3i i对应的点为( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 答案 D解析 ∵z ＝2＋3i i ＝(2＋3i )(－i )－i 2＝3－2i ， ∴z 在复平面内对应点的坐标为(3，－2)， 观察图象，对应点为点D .3．(2018·南平质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝(a －i)2，a ∈R ，若复数z 是纯虚数，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 z ＝(a －i)2＝a 2－2a i －1，若复数z 是纯虚数，则a 2－1＝0，且a ≠0，所以a 2＝1. 因为z ＝－2a i ，所以|z |＝4a 2＝2. 4．(2018·潍坊模拟)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足z ＝z ，则z ∈R ；p 2：若复数z 1，z 2满足||z 1＝||z 2，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2； p 3：若复数z 1＝z 2，则z 1·z 2∈R ；p 4：若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R ，其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 答案 A解析 由z ＝z ，可知复数的虚部为0，所以有z ∈R ，从而得p 1是真命题；由复数的模的几何意义，可知p 2是假命题；由z 1＝z 2，可知z 1，z 2互为共轭复数，所以p 3是真命题；复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，只能说明两个复数的虚部互为相反数，所以p 4是假命题．5．(2018·天津河东区模拟)执行如图所示的程序框图，则S 的值为( )A ．16B ．32C ．64D ．128 答案 D解析 模拟程序的运行，可得i ＝1，S ＝1， 执行循环体，S ＝2，i ＝2，满足条件i ≤4，执行循环体，S ＝8，i ＝4， 满足条件i ≤4，执行循环体，S ＝128，i ＝8，此时，不满足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为128.6．(2018·东北师大附中模拟)执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件M为( )A．k≥16 B．k<8 C．k<16 D．k≥8答案 A解析根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是S＝1＋2＋4＋8＋…，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，可知选A.7．(2018·武汉调研)欧拉公式e i x＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将πi2e表示的复数记为z，则z·(1＋2i)的值为( )A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 答案 A解析由题意得z＝πi2e＝cos π2＋isinπ2＝i，所以z(1＋2i)＝i(1＋2i)＝－2＋i.8．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若a＝32，b＝12，则输出的n等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 记执行第n 次循环时，a 的值为a n ，则有a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32n；记执行第n 次循环时，b 的值为b n ，则有b n ＝12×2n.令32⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ≤12×2n，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ≤38，故n ≥4.所以输出的n 等于4.9．(2018·三明质检)若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z ＝________. 答案 －125＋725i解析 由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i.10．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)运行如图所示程序框图，若输入的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3，则输出s 的取值范围为________．答案 [1－3，8]解析 由程序框图可知，该程序表示分段函数，22212cos ,1221,13,2t t t t t S t -π⎧+π-⎪⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩≤＜，≤≤ 当－12≤t <1时，解析式化为s ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋π6＋1，πt ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，7π6，s ∈[]1－3，3，当1≤t ≤3时，－3≤2t －t 2≤1，s ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，8，综上所述，s 的取值范围是[]1－3，8.11．若复数z 满足i·z ＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为________；|z |＝________. 答案 313解析 ∵i·z ＝－3＋2i ，∴z ＝－3＋2i i ＝()－3＋2i i i 2＝－3i －2－1＝2＋3i ， ∴复数z 的虚部为3，|z |＝22＋32＝13. 12．(2018·泉州质检)在复平面内复数z ＝a i1＋i对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 在复平面内复数z ＝a i 1＋i ＝a i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12a ＋12a i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a 位于第三象限， ∴12a <0，解得a <0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)．13．(2018·大连模拟)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．答案 －12解析 运行程序如下：1≤2 018，s ＝－3，n ＝2；2≤2 018，s ＝－12，n ＝3；3≤2 018，s＝13，n ＝4；4≤2 018，s ＝2，n ＝5，所以s 的周期为4， 因为2 018除以4的余数为2， 所以输出s ＝－12.14．(2018·南平质检)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 1 009解析 执行程序框图：S ＝0＋1·sin π2＝0＋1，i ＝3,3≤2 018； S ＝0＋1＋3·sin3π2＝0＋1－3，i ＝5,5≤2 018； S ＝0＋1－3＋5·sin5π2＝0＋1－3＋5，i ＝7,7≤2 018；……S ＝0＋1－3＋…＋2 017·sin2 017π2＝0＋1－3＋…＋2 017，i ＝2 019,2 019>2 018. 输出S ＝0＋1－3＋5－7…－2 015＋2 017＝()0＋1＋()－3＋5＋()－7＋9＋…＋()－2 015＋2 017＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1 009.。
(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 的斜率k 的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94，设P (x P ，－x 2P )，－12<x P <32，所以k ＝－x 2P ＋14x P ＋12 ＝－x P ＋12∈(－1,1)，故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)． (2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －14，直线BQ ：x ＋ky ＋94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k －14，x ＋ky ＋94k －32＝0，可知，点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 22k 2＋2， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x P )＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k －k 22k 2＋2＋k －12＝(k －1)2(1＋k )1＋k2， |PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，所以|PA |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )， 令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)，当－1<x <－12时，f ′(x )>0，当－12<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1上单调递减． 故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2716，即|PA |·|PQ |的最大值为2716.2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，离心率为12，圆O ：x 2＋y 2＝c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，求|PQ |的取值范围． 解 (1)设B 点到x 轴距离为h ， 则1A AB S＝12A OBS＝2·12·|A 1O |·h ＝a ·h ， 易知当线段AB 在y 轴时，h max ＝|BO |＝c ，∴1A ABS ＝a ·c ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，求得|PQ |＝3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， ∵直线为圆的切线， ∴d ＝|m |1＋k2＝1，∴m 2＝k 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 判别式Δ＝48(3k 2＋2)>0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3，∴弦长|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝43·1＋k 2·3k 2＋24k 2＋3， 令t ＝4k 2＋3≥3， 则|PQ |＝3·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋2t ＋3∈⎝⎛⎦⎥⎤3，463. 综上，|PQ |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，463.3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴为MN ，点P (4,0)满足PM →·PN →＝15. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线l 与椭圆交于点A ，B ，是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)PM →·PN →＝(－4，b )·(－4，－b )＝16－b 2＝15， 所以b ＝1，又c a ＝a 2－b 2a 2＝32，所以a 2＝4， 从而椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l 不为x 轴时，设l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立l 与C 的方程可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0， 所以y 1＋y 2＝－8m m 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4， OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2] ＝(1＋λ)(1＋m 2)y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16 ＝(12λ－20)m 2＋12(λ＋1)m 2＋4＋16.因为OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值，所以12λ－201＝12(1＋λ)4，解得λ＝239，此时定值为803.当l 为x 轴时，A (－2,0)，B (2,0)． OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－4＋239·12＝803.综上，存在λ＝239，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值803.4．(2018·宿州质检)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意的x ＝x 0(x 0>2)都满足要求； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)， 则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，|PA |＝1＋k 2(x 1－1)，|PB |＝1＋k 2(1－x 2)，∵d A d B ＝|PA ||PB |， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2(x 1－1)1＋k 2(1－x 2) ＝x 1－11－x 2，解得x 0＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)(x 1＋x 2)－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k 21＋4k 28k21＋4k2－2＝4. 综上可知，存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立．5．(2018·四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，过直线l ：x ＝2左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ，且|PH |＝2|MF |，记动点P 的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点F 作直线m 交曲线Γ于A ，B 两点，点C 在l 上，且BC ∥x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，由题意可知|MF |＝|PF |， 所以|PF ||PH |＝|MF ||PH |＝22，即(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简整理得x 22＋y 2＝1，即曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知可得直线m 的斜率不为0， ∴可设直线m 的方程为x ＝ny ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1，x 22＋y 2＝1消去x ，得(n 2＋2)y 2＋2ny －1＝0，Δ>0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2n n 2＋2，y 1y 2＝－1n 2＋2，x 1＝ny 1＋1， ∴直线AC 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－2， 直线AC 的方程为y －y 2＝y 1－y 2x 1－2(x －2)， 即y ＝y 1－y 2x 1－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋y 2(x 1－2)y 1－y 2， 又y 2(x 1－2)y 1－y 2＝y 2(ny 1－1)－2nn 2＋2－2y 2＝y 2＋n n 2＋22⎝⎛⎭⎪⎫n n 2＋2＋y 2＝12， ∴直线AC 的方程为y ＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2＋12＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，∴直线AC 过定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.。
北京市2019届高考考前提分冲刺卷(三)理科数学试题本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设复数z 满足，则z =（ ）A. B. C. D.2.设全集为实数集R ，集合{}2A |4x x =<，{}B |31xx =>，则=B)C (A R （ ）A ．{}|20x x -≤≤B ．{}|20x x -<≤C ．{}|1x x <D ．{}|0x x ≤3.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）A. B. C. D.4.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数)(x f y =的图象向左平移163π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ）A ．关于点)0,16(π-对称 B ．关于点)0,16(π对称C ．关于直线16π=x 对称 D ．关于直线4π-=x 对称5.定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，满足a t ＜a t +1，且∃s ∈N *，满足a S ＞a S +1．已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }（i =1，2，3，4），且x ＜y ＜z ，则数列{a n }共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）.A. 2+B. 4C. 2+D. 5俯视图侧（左）视图正（主）视图7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->=0,20190,ln )(x x x x x e x f ，（其中e 为自然对数的底数），函数2)()12()()(2+--=x f m x f x g ，若函数)(x g 恰有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.2>m B ． 2≥m C ． 221+>m D ．221221+>-<m m 或 8.已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为62，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为（ ）A. π4B.π28C.π212D.π12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a <1的图象如图所示，且M ()a ，log a a ，N ()a ＋1，log a (a ＋1)，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率，B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A . 2．已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x(x ＋1) B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x(x －1)2答案 D 解析 令G (x )＝f (x )e x，则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6. 7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ln x ，x >0，ax ＋ln (－x )，x <0，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2 C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e 答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0， 不妨设x 2＝－x 1>0， 则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1＋ln a ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，－(1＋ln a )，由直线的斜率公式可得k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e ，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)， 所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝k (a ＋2)，f (b )＝k (b ＋2)，所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2， 则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切， 设切点为(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0＋2)，y 0＝x 20－x 0ln x 0＋2，2x 0－ln x 0－1＝k ，解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210. 9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________． 答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e tm －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________． 答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )， 则y ′＝1x 0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得 2×12＋ln 2－a ＋1＝0，解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝exa具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 若函数f (x )＝exa具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根， 代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根． 令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0， 得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根， 即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点， 由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0. 14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________．答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x 2，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。
8＋6分项练5 三角函数与解三角形1．(2018·河北省衡水中学模拟)已知sin α＝，α∈，则cos 的值为1010(0，π2)(2α＋π6)( )A. B.43－31043＋310C.D.4－331033－410答案 A解析 ∵sin α＝，α∈，1010(0，π2)∴cos α＝＝，1－sin 2α31010∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，10103101035cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×2＝.(1010)45∴cos ＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.(2α＋π6)32123245123543－3102．(2018·宁德质检)将周期为π的函数f (x )＝sin ＋cos (ω>0)的图3(ωx ＋π6)(ωx ＋π6)象向右平移个单位长度后，所得的函数解析式为( )π3A ．y ＝2sinB ．y ＝2cos (2x －π3)(2x －π3)C ．y ＝2sin 2xD ．y ＝2cos (2x －2π3)答案 A解析 由题意得f (x )＝2sin (ωx ＋π6＋π6)＝2sin ，(ωx ＋π3)因为函数的周期是π，所以＝π，所以ω＝2.2πω所以f (x )＝2sin .(2x ＋π3)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后，所得的函数解析式为y ＝2sin＝π3[2(x －π3)＋π3]2sin .(2x －π3)3.如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋3π4)B ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋5π4)C ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x －3π4)D ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x －5π8)答案 A 解析 由＝2(14－6)＝16，得ω＝，A ＝(30－10)＝10，b ＝20，2πωπ812由y ＝10sin＋20过点(14,30)，(π8x ＋φ)得30＝10sin ＋20，sin ＝1，(π8×14＋φ)(φ＋7π4)φ＋＝2k π＋，k ∈Z ，φ＝2k π－，k ∈Z ，7π4π25π4取k ＝1，得φ＝，3π4所以y ＝10sin ＋20.(π8x ＋3π4)4．(2018·漳州质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1，满足f (ω>0，|φ|<π2)(2π3－x )＝2－f (x )，且对任意x ∈R ，都有f (x )≥f .当ω取最小值时，函数f (x )的单调递减区(π4)间为( )A.，k ∈Z [π12＋k π3，π4＋k π3]B.，k ∈Z [π12＋2k π，π4＋2k π]C.，k ∈Z [－π12＋k π3，π12＋k π3]D.，k ∈Z[－π12＋2k π，π12＋2k π]解析 由f ＝2－f (x )，得f ＋f (x )＝2，(2π3－x )(2π3－x )可得f (x )的图象关于点对称．(π3，1)∵对任意x ∈R ，f (x )≥f ，(π4)∴当x ＝时，f (x )取得最小值，当ω取最小值时，π4即周期T 最大，可得T ＝－，可得T ＝，14π3π4π3∴ω＝＝6，函数f (x )＝2sin ＋1，2ππ3(6x ＋φ)∵当x ＝时，f (x )取得最小值，π4∴2sin ＋1＝－1，sin ＝－1，(3π2＋φ)(3π2＋φ)＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，φ＝2k π，k ∈Z ，3π23π2∵<，∴φ＝0，|φ|π2即函数f (x )＝2sin 6x ＋1，令2k π＋≤6x ≤2k π＋，k ∈Z ，π23π2得＋≤x ≤＋，k ∈Z .k π3π12k π3π4∴函数f (x )的单调递减区间为，k ∈Z .[π12＋k π3，π4＋k π3]5．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝ ，现有周长为10＋2的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶，14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]77则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．6 B ．437C ．8D ．127解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶，7所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶，7又因为△ABC 的周长为10＋2，7所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝2，7所以△ABC 的面积为S ＝14×[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]＝＝6，14×[(27)2×42－((27)2＋42－622)2]3故选A.6．(2018·漳州质检)在△ABC 中，C ＝60°，BC ＝2AC ＝2，点D 在边BC 上，且sin∠BAD ＝3，则CD 等于( )277A.B.43334C. D.33233答案 D解析 ∵C ＝60°，BC ＝2AC ＝2，3∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝＝3，3＋12－2×3×23×12∴cos B ＝＝＝，AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC 9＋12－32×3×2332又∵B 是三角形的内角，∴B ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵sin∠BAD ＝，277∴cos∠BAD ＝＝，1－sin 2∠BAD 217可得sin∠DAC ＝cos∠BAD ＝，217∵在△ABD 中，由正弦定理可得AD ＝，BD sin Bsin ∠BAD 在△ADC 中，由正弦定理可得AD ＝，DC sin Csin ∠DAC∴＝，解得DC ＝.(23－DC )×12277DC ×322172337．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若f＝2，(π4)f (π)＝0，f (x )在上具有单调性，那么ω的取值共有( )(π4，π3)A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个答案 D 解析 因为f ＝2，f (π)＝0，(π4)所以ω＋φ＝＋2k π，πω＋φ＝m π(k ，m ∈Z )，π4π2所以ω＝，m ，k ∈Z ，43[(m －2k )－12]因为f (x )在上具有单调性，(π4，π3)所以≥－，所以T ≥，T 2π3π4π6所以≥，所以0<ω≤12，2πωπ6因此m －2k ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以ω的取值共有9个．8．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四3个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.B.(136，72](72，256]C.D.(256，112](112，376]答案 B解析 f (x )＝2sin ，作出f (x )的函数图象如图所示：(ωx －π3)令2sin ＝－1得，(ωx －π3)ωx －＝－＋2k π，k ∈Z 或ωx －＝＋2k π，k ∈Z ，π3π6π37π6∴x ＝＋，k ∈Z 或x ＝＋，k ∈Z ，π6ω2k πω3π2ω2k πω设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A ＝＋，x B ＝＋，3π2ω2πωπ6ω4πω∵方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，∴x A <π≤x B ，即＋<π≤＋，3π2ω2πωπ6ω4πω解得<ω≤.722569．(2017·山东)已知cos x ＝，则cos 2x ＝________.34答案 18解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×2－1＝.(34)1810．(2018·上饶模拟)如图所示的是函数y ＝sin(ωx ＋φ)在区间(ω>0，0<φ<π2)上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右[－π6，5π6]平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x ＝对称，则m 的最小值为________．5π12答案 π8解析 由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象可得(ω>0，0<φ<π2)T ＝＝－＝π，∴ω＝2.2πω5π6(－π6)再由五点法作图可得 2×＋φ＝0，∴φ＝.(－π6)π3故函数f (x )的解析式为 f (x )＝sin .(2x ＋π3)故把f (x )＝sin 的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移(2x ＋π3)m (m >0)个单位长度后，得到g (x )＝sin 的图象，(4x －4m ＋π3)∵所得图象关于直线x ＝对称，5π12∴4×－4m ＋＝＋k π，k ∈Z ，5π12π3π2解得m ＝－k π，k ∈Z ，3π814∴由m >0，可得当k ＝1时，m 的最小值为.π811．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝，a ＝7，b ＝5，点D 满足＝2π3BD → ，则c ＝________；||＝________.DC → AD →答案 8 2613解析 如图，∠A ＝，a ＝7，b ＝5.π3∴根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即72＝52＋c 2－2×5×c ×，12∴c ＝8或c ＝－3(舍去)，∴cos B ＝＝＝.a 2＋c 2－b 22ac 49＋64－252×7×81114∵点D 满足＝2，BD → DC →∴||＝a ＝.BD →23143在△ABD 中，由余弦定理可得AD 2＝BD 2＋c 2－2BD ·c ·cos B ＝2＋64－2××8×＝(143)1431114.2449∴AD ＝，即||＝.2613AD → 261312．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，三角形的内切圆的半径r ＝________.答案 －332解析 因为b ＋2c cos A ＝0，所以A ∈，(π2，π)且sin B ＋2sin C cos A ＝0，即3sin C cos A ＋cos C sin A ＝0,3tan C ＋tan A ＝0.tan B ＝－＝≤，tan A ＋tan C 1－tan A tan C 2tan C1＋3tan 2C 33当且仅当C ＝时等号成立，故B max ＝，π6π6所以B ＝C ，即b ＝c ＝1，a ＝，3此时r ＝×1×1×，12(2＋3)1232解得r ＝－.33213．(2018·湛江模拟)如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C .已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1 260米，若cos A ＝，sin B＝.12136365为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v (米/分钟)的取值范围是________．答案 [1 25043，62514]解析 在△ABC 中已知b ＝1 260，cos A ＝，sin B ＝，则sin A ＝，12136365513由正弦定理可得，a ＝＝＝500，b sin Asin B1 260×5136365由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得5002＝1 2602＋c 2－2×1 260×c ×，1213解得c 1＝1 040，c 2＝，16 72013若c ＝，与题图中AC 最大矛盾，舍去，16 72013据此可得，c ＝1 040.乙从B 出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤－≤3，解得≤v ≤，500v71050 1 2504362514所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．[1 25043，62514]14．(2018·烟台模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，以BC 为斜边构造等腰直角△BCD ，3则得到的平面四边形ABDC 面积的最大值为________．答案 1＋62解析 设∠BAC ＝θ，在△ABC 中，因为AB ＝，AC ＝1，3所以其面积为S 1＝××1·sin θ＝sin θ，12332在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝3＋1－2××1·cos θ＝4－2cos θ，33所以在等腰直角△BCD 中，其面积为S 2＝BD ·CD ＝×BC ×BC12122222＝BC 2＝1－cos θ，1432所以四边形ABDC 的面积为S ＝S 1＋S 2＝sin θ＋1－cos θ＝1＋sin ，323262(θ－π4)(θ－π4)62所以当sin＝1时，S取得最大值1＋.。
[70分] 8＋6标准练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立， 故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．3.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14NC →－AB →＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.4．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.12B.13C.14D.15 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD －V 三棱锥E －BCD＝13×12×1－112＝14. 所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为1 12∶14＝1∶3.5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得5>n≥4，所以输入n的值为4.6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为( )A．90° B．60°C．45° D．30°答案 C解析如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°.7．在区间[－1,1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2＋2sx ＋t ＝0的两根都是正数的概率为( ) A.124 B.112 C.14 D.13答案 B解析 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤s ≤1，－1≤t ≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x 2＋2sx ＋t ＝0有两正根，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4s 2－4t ≥0，－2s >0，t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧s 2≥t ，s <0，t >0，其区域如图阴影部分所示，面积S ＝ʃ0－1s 2d s ＝⎪⎪⎪13s 30－1＝13， 所求概率P ＝134＝112.8．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz 的最小值为( )A ．3 B.3(3＋1)2C ．4D ．2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号．又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z22xy≥1， ∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝73，则S 5S 3＝________.答案 5解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ，由于a 5a 3＝73，得a 1＋4d a 1＋2d ＝73，解得a 1＝－d 2，S 5S 3＝5(a 1＋a 5)23(a 1＋a 3)2＝5a 33a 2＝5·3d23·d2＝5.10．已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第__________象限．答案 三解析 ∵i z ＝4＋3i1＋2i，∴z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．11．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是________．答案 －11解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式的通项公式是C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ，其中含1x的项是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1，常数项为C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是 2x ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 16⎝⎛⎭⎪⎫－1x1＋1×1＝－12＋1＝－11.12．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x ≤m ，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－1，＋∞)解析 由题意作出其平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1.13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________． 答案15解析 根据余弦定理的推论cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得14＝a 2＋c 2－422ac， 化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理a sin A ＝csin C ，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得 2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ， 化简得c 2＝4，所以c ＝2， 则a ＝4， 又B ∈(0，π)， 则sin B ＝1－cos 2B ＝154， S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15， 即△ABC 的面积为15.14．已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________．答案3解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2a2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0，∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2a2＝2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 3.。
[80分] 解答题标准练(二)1．(2018·威海模拟)在△ABC 中，边BC 上一点D 满足AB ⊥AD ，AD ＝3DC . (1)若BD ＝2DC ＝2，求边AC 的长； (2)若AB ＝AC ，求sin B . 解 (1)∵AB ⊥AD ，∴在Rt△ABD 中，sin∠ABD ＝AD BD ＝32， ∴∠ABD ＝60°，AB ＝1.在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝3，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC＝1＋9－2×1×3×12＝7，∴AC ＝7.(2)在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin C ＝DCsin∠DAC ，∵AD ＝3DC ， ∴3sin C ＝1sin∠DAC， ∵AB ＝AC ，∴B ＝C ， ∴∠BAC ＝180°－2B ， ∵∠BAD ＝90°， ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝180°－2B －90°＝90°－2B ，∴3sin B＝1sin(90°－2B)，∴3sin B＝1cos 2B，化简得23sin2B＋sin B－3＝0，即(3sin B－1)(2sin B＋3)＝0，∵sin B>0，∴sin B＝33.2．(2018·安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠B1C1A1＝90°，异面直线AB1⊥A1C，且AA1＝AC.(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；(2)若AC1＝AA1＝B1C1，求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值．(1)证明因为AA1＝AC，所以四边形ACC1A1是菱形，所以A1C⊥AC1，又因为异面直线AB1⊥A1C，AC1∩AB1＝A，AB1，AC1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥B1C1.又因为∠B1C1A1＝90°，即B1C1⊥A1C1，且A1C1∩A1C＝A1，A1C，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，又B1C1⊂平面A1B1C1，所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.(2)解设O是A1C1的中点，因为AC1＝AA1，所以AO⊥A1C1，由(1)可知，AO⊥平面A1B1C1，以O 为坐标原点，过点O 且与C 1B 1平行的直线为x 轴， 以OC 1所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系O －xyz ， 设AA 1＝2，则A (0,0，3)，A 1(0，－1,0)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，设A 1C 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，因为 A 1C 1→＝(0,2,0)，A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)， 设平面ABB 1A 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，不妨令x ＝1， 则y ＝－1，z ＝33，可得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，33， 所以sin θ＝|cos 〈A 1C 1→，n 〉|＝22×73＝217，所以直线A 1C 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)．(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)K 2＝200×(5×115－35×45)250×150×40×160＝256≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．(2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为15.X 的所有可能的取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫15k ×⎝⎛⎭⎪⎫1－153－k(k ＝0,1,2,3)． P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫150×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－0＝64125， P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫151×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－1＝48125，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫153×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125， 所以X 的分布列为E (X )＝3×15＝35.4．(2018·安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)B 是椭圆C 上异于顶点的一点，且直线OB ⊥l ，D 是线段OB 延长线上一点，且|DB |＝75|MN |，⊙D 的半径为|DB |，OP ，OQ 是⊙D 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线l 的斜率． 解 (1)由已知，可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，解得a ＝2c ，设椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，当直线l 的斜率不存在时，线段MN 的长为23c ； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝kx ＋c ，得(4k 2＋3)x 2＋8kcx －8c 2＝0，Δ＝(8kc )2＋32c 2(4k 2＋3)>0， 从而|MN |＝k 2＋1·Δ4k 2＋3＝46c ·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3＝23c ·(4k 2＋4)·(4k 2＋2)(4k 2＋3)2＝23c ·1－1(4k 2＋3)2<23c ，易知当k ＝0时，|MN |的最小值为463c ，从而c ＝1，因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由B 是椭圆上异于顶点的一点且直线OB ⊥l ，可知l 的斜率存在且不为0.由(1)知，|MN |＝46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3， 而⊙D 的半径r ＝75|MN |， 又直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2B ＝12k23k 2＋4，因此|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋1·|x B | ＝12·k 2＋13k 2＋4， 由题意可知sin ∠POQ 2＝r r ＋|OB |＝11＋|OB |r，要求∠POQ 的最大值，即求|OB |r的最小值．而|OB |r＝12·k 2＋13k 2＋475·46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3＝57·4k 2＋322·3k 2＋4·2k 2＋1 ＝57(4k 2＋3)2(12k 2＋16)·(4k 2＋2)， 令u ＝4k 2＋3， 则u >3，1u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，因此|OB |r ＝57u 2(3u ＋7)·(u －1)＝5713＋4u －7u2＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫7u －22＋25≥1，当且仅当7u ＝2，即u ＝72时等号成立，此时k ＝±24，所以sin ∠POQ 2≤12， 因此∠POQ 2≤π6，所以∠POQ 的最大值为π3.综上所述，∠POQ 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率k ＝±24. 5．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝(3－x )e x＋ax(x >0，a ∈R )．(1)当a >－34时，判断函数f (x )的单调性；(2)当f (x )有两个极值点时，若f (x )的极大值小于整数m ，求m 的最小值． 解 (1)由题意知，f ′(x )＝[－e x＋(3－x )e x]x －(3－x )e x－ax＝(－x 2＋3x －3)e x－a x2(x >0)． 令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 故h (x )在x ＝1处取得极大值，也为最大值． 则h (x )max ＝h (1)＝－e －a .由于a >－34，所以h (x )max ＝h (1)＝－e －a <0， 所以f ′(x )<0，于是f (x )为(0，＋∞)上的减函数． (2)令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于－∞. 由于f (x )有两个极值点， 所以f ′(x )＝0有两个不等实根，即h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a ＝0有两不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧h (0)<0，h (1)>0，解得－3<a <－e.可知x 1∈(0,1)，由于h (1)＝－e －a >0， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34e 32－a <－34e 32＋3<0，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 而f ′(x 2)＝(－x 22＋3x 2－3)2e x－ax 22＝0， 即e x 2＝a－x 22＋3x 2－3，①所以f (x )极大值＝f (x 2)＝(3－x 2)2e x＋ax 2，于是f (x 2)＝ax 2－2ax 22－3x 2＋3，②令t ＝x 2－2，则x 2＝t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1<t <－12， 则②可变为g (t )＝t t 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a ，可得－1<1t ＋1t＋1<－23，而－3<a <－e ，则有g (t )＝tt 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a <3， 下面再说明对于任意－3<a <－e ，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32，f (x 2)>2.又由①得a ＝2e x(－x 22＋3x 2－3)， 把它代入②得f (x 2)＝(2－x 2)2e x，所以当x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f ′(x 2)＝(1－x 2)2e x<0恒成立，故f (x 2)＝(2－x 2) 2e x为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上的减函数，所以f (x 2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1232e >2.所以满足题意的整数m 的最小值为3. 6．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式． (1)证明 ∵S n ＋1＝4a n ＋2，① ∴当n ≥2，n ∈N *时，S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵ c n ＝a n2n ，∴ c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，则2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，∴S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N *.。
解答题标准练(一)1．如图，在△ABC 中，已知B ＝，AC ＝4，D 为BC 边上一点．π33(1)若AD ＝2，S △DAC ＝2，求DC 的长；3(2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．解 (1)∵S △DAC ＝2，3∴·AD ·AC ·sin∠DAC ＝2，123∴sin∠DAC ＝.12∵∠DAC <∠BAC <π－＝，π32π3∴∠DAC ＝.π6在△ADC 中，由余弦定理得，DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos，π6∴DC 2＝4＋48－2×2×4×＝28，332∴DC ＝2.7(2)∵AB ＝AD ，B ＝，π3∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得＝＝，ADsin C 43sin 2π3DC sin (π3－C )∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin，(π3－C )∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ＋4(π3－C )3＝8＋4(sin C ＋32cos C －12sin C )3＝8＋4(12sin C ＋32cos C )3＝8sin ＋4，(C ＋π3)3∵∠ADC ＝，∴0<C <，2π3π3∴<C ＋<，π3π32π3∴当C ＋＝，π3π2即C ＝时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4.π632．(2018·河北省衡水中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，数列{b n }是等比数列，a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝Error!设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)，∵a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，∴Error!解得d ＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝＝n (n ＋2)，n (3＋2n ＋1)2∴c n ＝Error!∴T 2n ＝＋(21＋23＋25＋…＋22n －1)(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(n ∈N *)．1＋22n ＋1312n ＋13．(2018·南昌模拟)十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1 500,3 000]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均值，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有蜜柚均以40元/千克收购；B ．低于2 250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2 250的以80元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．解 (1)由题意得蜜柚质量在[1 750,2 000)和[2 000，2 250)内的比例为2∶3，∴应分别在质量为[1 750,2 000)，[2 000,2 250)内的蜜柚中各抽取2个和3个．记抽取质量在[1 750,2 000)内的蜜柚为A 1，A 2，质量在[2 000,2 250)内的蜜柚为B 1，B 2，B 3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中质量均小于2 000克的仅有(A 1，A 2)这1种情况，故所求概率为.110(2)方案A 好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1 500,1 750)的频率为250×0.000 4＝0.1，同理，蜜柚质量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]内的频率依次为0.1，0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A 收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250，于是总收益为Error!Error!Error!×40÷1 000＝×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4＋(11＋12) 2502×1]×40÷1 000＝25×50×(26＋30＋51＋152＋84＋23)＝457 500(元)．若按方案B 收购：∵蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，蜜柚质量高于2 250克的个数为5 000－1 750＝3 250，∴收益为1 750×60＋3 250×80＝250×20×(7×3＋13×4)＝365 000(元)，∴方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.64．(2018·威海模拟)如图，在多面体ABCDEF中，BC∥EF，BF＝，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，∠FAC＝60°，M，N分别是AB，DF的中点．求证：(1)MN∥平面AEF；(2)平面ABC⊥平面ACDF.证明 (1)取AC的中点O，连接OM，ON，因为M，N分别是AB，DF的中点，所以在菱形ACDF中，ON∥AF，又ON⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以ON∥平面AEF.在△ABC中，OM∥BC，又BC∥EF，所以OM∥EF，又OM⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以OM∥平面AEF，又OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面AEF，又MN⊂平面OMN，所以MN∥平面AEF.(2)连接OF，OB，因为△ABC是边长为2的等边三角形，3所以BO⊥AC，BO＝，因为四边形ACDF是菱形，所以AF＝2，因为∠FAC＝60°，3所以OF⊥AC，OF＝，6因为BF＝，所以BO2＋OF2＝BF2，所以BO⊥OF.又FO∩AC＝O，FO，AC⊂平面ACDF，所以BO ⊥平面ACDF ，又BO ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACDF .5．(2018·咸阳模拟)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，x 2a 2y 2b 2且椭圆C 的离心率为.12(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 的右顶点，过P 点作两条直线分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，若直线PA ，PB的斜率之积为－，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．94解 (1)依题意得Error!解得a ＝2，b ＝，即椭圆C 的方程为＋＝1.3x 24y 23(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m (－2<m <2)，则由Error!得3(ty ＋m )2＋4y 2＝12，即(3t 2＋4)y 2＋6tmy ＋3m 2－12＝0，Δ＝(6tm )2－4(3t 2＋4)(3m 2－12)＝144t 2－48m 2＋192>0，y 1＋y 2＝，y 1·y 2＝.－6mt 3t 2＋43m 2－123t 2＋4设A (ty 1＋m ，y 1)，B (ty 2＋m ，y 2)，而P (2,0)，则由k PA ·k PB ＝－，得94·＝－，y 1ty 1＋m －2y 2ty 2＋m －294即4y 1y 2＋9(ty 1＋m －2)(ty 2＋m －2)＝0，∴(4＋9t 2)y 1y 2＋9t (m －2)(y 1＋y 2)＋9(m －2)2＝0，即(4＋9t 2)＋9t (m －2)＋9(m －2)2＝0，3m 2－123t 2＋4－6mt 3t 2＋4整理得m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2(舍去)，当m ＝1时，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，即直线AB 恒过定点(1,0)．6．(2018·峨眉山模拟)已知函数f (x )＝e x (sin x －ax 2＋2a －e)，其中a ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)当a ＝0时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当≤a ≤1时，求证：对任意的x ∈[0，＋∞)，f (x )<0.12(1)解 当a ＝0时，f (x )＝e x (sin x －e)，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x －e)＝e x <0，[2sin (x ＋π4)－e ]∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减．(2)证明 要证e x <0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立，(sin x －ax 2＋2a －e )即证sin x －ax 2＋2a －e<0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立，令g (a )＝(2－x 2)a ＋sin x －e ，即证当a ∈时，[12，1]g (a )＝(2－x 2)a ＋sin x －e<0恒成立，即证Error! 成立．∵sin x ＋1<e ，∴①式成立．现证明②式成立：令h (x )＝sin x －x 2＋2－e ，h ′(x )＝cos x －2x ，设存在x 0∈[0，＋∞)，使得h ′(x 0)＝cos x 0－2x 0＝0，则0<x 0<，π6h (x )在(0，x 0)上单调递增，在[x 0，＋∞)上单调递減，∴h (x )max ＝h (x 0)＝sin x 0－x ＋2－e20＝sin x 0－＋2－e cos 2x 04＝＋sin x 0＋－e.sin 2x 0474∵0<x 0<，∴sin x 0∈，π6(0，12)∴＋sin x 0＋－e<－e<0.sin 2x 04743716综上所述，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )<0恒成立．。
(一)三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3， 因为y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝1＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3， 所以3≤t <1＋32，2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－1010，b ＝2，c ＝ 5. (1)求a ；(2)求cos(B －A )的值．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝2＋5－2×2×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝9， ∴a ＝3(舍负)．(2)在△ABC 中，由cos A ＝－1010，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－10102＝31010. 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 即331010＝2sin B，∴sin B ＝55， 又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴cos(B －A )＝cos B cos A ＋sin B sin A ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＋55×31010＝210. 3．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A ·sin B .(1)求角C ；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长． 解 (1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A sinB ，得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －3sin A sin B .由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2－3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝3ab .因为0<C <π，所以C ＝π6. (2)因为A ＝C ＝π6， 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝2π3. 故S △ABC ＝12a 2sin B ＝34a 2＝43，所以a ＝4(舍负)． 在△MBC 中，由余弦定理，得CM 2＝MB 2＋BC 2－2MB ·BC cos B＝4＋16＋2×2×4×12＝28， 解得CM ＝27.4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，函数f (x )＝cos 〈a ，b 〉．(1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求b ＋c a的取值范围． 解 (1)由条件可知，a ·b ＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 即函数f (x )的零点为x ＝k π2＋π12，k ∈Z . (2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A， 由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 又f (A )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，。
[70分] 8＋6标准练11．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<ln x <2}，则A ∩B 的真子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 答案 C解析 A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |0<ln x <2}＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集有23－1＝7(个)． 2．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p ∧q 为假”得出p ，q 中至少有一个为假．当p ，q 为一假一真时，p ∨q 为真，充分性不成立；当“p ∨q 为假”时，p ，q 同时为假，所以p ∧q 为假，必要性成立． 3．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏 B ．3盏 C ．26盏 D ．27盏 答案 C解析 设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案 C解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝x －5y 改写为1z ＝y －0x －5， 所以1z可看作点(x ，y )和(5,0)连线的斜率，记为k ，则－23≤k ≤43，所以z ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.5．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.6．过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m 等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为y 2＝mx ，所以焦点到准线的距离p ＝m2，设P ，Q 的横坐标分别是x 1，x 2， 则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.因为|PQ |＝54m ，所以x 1＋x 2＋p ＝54m ，即6＋m 2＝54m ，解得m ＝8.7．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．A 33(A 44)3B ．A 44(A 33)4C.A 1212A 33 D.A 1212A 44答案 B解析 12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下：先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有A 33种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A 44种不同的排法．根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A 33)4A 44种不同的坐法． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且2a ＋b ＝52(a >0，b >0)，则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )A.174πB.214π C ．4π D ．5π 答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1，且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2，a ，b ，所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，半径为22＋a 2＋b 22＝4＋a 2＋b22，所以三棱锥外接球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋a 2＋b 222＝π()4＋a 2＋b 2＝5π(a －1)2＋21π4，当且仅当a ＝1，b ＝12时，三棱锥外接球的表面积取得最小值214π.9．设复数z ＝1－2i(i 是虚数单位)，则|z ·z ＋z |的值为________． 答案 3 2解析 z ·z ＋z ＝()1－2i ()1＋2i ＋1＋2i ＝4＋2i ， |z ·z ＋z |＝3 2.10．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________． 答案 0或52解析 因为向量a ∥b ， 所以(2m －1)(2－m )＝－2， 所以m ＝0或m ＝52.11．从正五边形的边和对角线中任意取出两条，则取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为________． 答案 19解析 从5条边和5条对角线中任意取出2条，共有C 210＝45(个)基本事件，其中取出的两条边或对角线所在直线不相交有5个，所以取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为545＝19. 12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为________． 答案2解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b . 因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a12＋12＝1，即22a ＝1， 所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.13．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3的值为________．答案 2解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，① 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，②①＋②得，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， 所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中，令x ＝π6，得f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. 14．设a n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 63的值为________． 答案 714解析 由已知得，当n 为偶数时，a n ＝2n a ，当n 为奇数时，a n ＝1＋n2.因为S 12n －＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 21n －， 所以S 121n ＋－＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 121n ＋－＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 121n ＋－)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 122n ＋－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＋32＋1＋52＋…＋1＋2n ＋1－12＋(a 1＋a 2＋a 3＋...＋a 21n －) ＝(1＋2＋3＋ (2))＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 21n －) ＝(1＋2n)2n2＋S 21n －＝12(2n ＋4n)＋S 21n －， 即S 121n ＋－＝12(2n ＋4n)＋S 21n －，所以S 21n －＝12(4n －1＋2n －1)＋12(4n －2＋2n －2)＋…＋12(41＋21)＋S 121－＝2n －1＋23·4n －1－23， 所以S 63＝S 621－＝25＋23·45－23＝714.。
8＋6分项练9 统计与统计案例1．(2018·新乡模拟)某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A ．12B ．15C ．20D ．21 答案 A解析 因为分层抽样的抽取比例为213 000×0.7＝1100，所以从初中生中抽取的男生人数是2 000×0.6100＝12.2．(2018·赣州模拟)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，如图提供了随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( ) 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A ．623 B ．328 C ．253 D ．007 答案 A解析 从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复， 第四个数是007，第五个数是328，第六个数是623.3．(2018·宁德质检)下图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是( )A ．DB ．EC ．FD ．A 答案 B解析 因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强．因为点E 到直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大．4．某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )A ．20,2B ．24,4C ．25,2D ．25,4 答案 C解析 由频率分布直方图可知，组距为10，[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，则N ＝20.08＝25，根据频率分布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)内的人数一样，都是2. 5．下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在线性回归方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 答案 D解析 根据相关定义分析知A ，B ，C 正确．D 中对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故D 不正确．6．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：根据表中数据得K 2＝775×()20×450－5×300225×750×320×455≈15.968，由K 2≥10.828，断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为( )A.0.1 B ．0.05 C ．0.01 D ．0.001 答案 D解析 由题意可知，K 2≥10.828，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001.7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的个数为( )①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分且最低分低于90分，最高分与最低分的差超过40分，故④正确．故选C.8．(2016·北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B解析 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从1～8号产生，数据排序后可知第3,6,7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a,60,63，a －1五个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛．故选B.9．(2018·河北省衡水中学模拟)若x 1，x 2，…，x 2 018的平均数为3，方差为4，且y i ＝－2()x i －2，i ＝1,2，…，2 018，则新数据y 1，y 2，…，y 2 018的平均数和标准差分别为________．答案 －2,4解析 ∵x 1，x 2，…，x 2 018的平均数为3，方差为4， ∴12 018(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＝3， 12 018[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 2 018－3)2]＝4. 又y i ＝－2(x i －2)＝－2x i ＋4，i ＝1,2，…，2 018， ∴y ＝12 018[－2(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＋4×2 018]＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 018(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＋4＝－2，s 2＝12 018[(－2x 1＋4＋2)2＋(－2x 2＋4＋2)2＋…＋(－2x 2 018＋4＋2)2] ＝12 018[4(x 1－3)2＋4(x 2－3)2＋…＋4(x 2 018－3)2] ＝4×12 018[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 2 018－3)2]＝16，∴新数据y 1，y 2，…，y 2 018的平均数和标准差分别为－2,4.10．某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y (单位：千瓦时)与当天平均气温x (单位：℃)，从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到的线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，则a 的值为________． 答案 38解析 x ＝17＋15＋10－24＝10，y ＝24＋34＋a ＋644，∵y ^＝－2x ＋60必过点()x ，y ，∴24＋34＋a ＋644＝－2×10＋60，解得a ＝38.11．(2018·大连模拟)某班共有36人，编号分别为1,2,3，…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3,12,30在样本中，那么样本中还有一个编号是________． 答案 21解析 由于系统抽样得到的编号组成等差数列， 因为364＝9，所以公差为9，因为编号为3,12,30，所以第三个编号为12＋9＝21.12．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[]50，60元的学生人数为________．答案 150解析 由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50,60]元的学生的频率为 1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，∴每天在校平均开销在[50,60]元的学生人数为500×0.3＝150.13．如图是某市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为________．答案 2.01解析 由题图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15,0.22,0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和为4＋8＋15＋22＝49，所以中位数是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是12[2＋2＋124×(2.5－2)]≈2.01，故中位数的估计值是2.01.14．(2018·芜湖模拟)某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中无法看清，若记分员计算无误，则数字x ＝________.答案 1解析 由题意知，去掉一个最低分88， 若最高分为94时，去掉最高分94， 余下的7个分数的平均分是91，即17×(89＋89＋92＋93＋90＋x ＋92＋91)＝91， 解得x ＝1；若最高分为(90＋x )分，去掉最高分90＋x ， 则余下的7个分数的平均分是17×(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94)≠91，不满足题意．。
(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·唐山模拟)已知点A (－2,0)，点B (－1,0)，点C (1,0)，动圆O ′与x 轴相切于点A ，过点B 的直线l 1与圆O ′相切于点D ，过点C 的直线l 2与圆O ′相切于点E (D ，E 均不同于点A )，且l 1与l 2交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ.(1)证明：|PB |＋|PC |为定值，并求Γ的方程；(2)设直线l 1与Γ的另一个交点为Q ，直线CD 与Γ交于M ，N 两点，当O ′，D ，C 三点共线时，求四边形MPNQ 的面积．解 (1)由已知可得|PD |＝|PE |，|BA |＝|BD |，|CE |＝|CA |，所以|PB |＋|PC |＝|PD |＋|DB |＋|PC |＝|PE |＋|PC |＋|AB |＝|CE |＋|AB |＝|AC |＋|AB |＝4>2＝|BC |，所以点P 的轨迹Γ是以B ，C 为焦点的椭圆(去掉与x 轴的交点)，可求得Γ的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)由O ′，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ，又由直线CE ，CA 为圆O ′的切线，可知|CE |＝|CA |，|O ′A |＝|O ′E |，所以△O ′AC ≌△O ′EC ，进而有∠ACO ′＝∠ECO ′，所以|PC |＝|BC |＝2，又由椭圆的定义，|PB |＋|PC |＝4，得|PB |＝2，所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)．(ⅰ)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60°，∠BCD ＝30°，此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)，整理得5x 2＋8x ＝0， 得Q ⎝⎛⎭⎫－85，－335， 所以|PQ |＝165， 由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－33(x －1)，整理得13x 2－8x －32＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213， |MN |＝ 1＋13|x 1－x 2|＝4813， 所以四边形MPNQ 的面积S ＝12|PQ |·|MN |＝38465. (ⅱ)当点P 的坐标为(0，－3)时， 由椭圆的对称性，得四边形MPNQ 的面积为38465. 综上，四边形MPNQ 的面积为38465. 2．(2018·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >1)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，⊙F 2：(x －c )2＋y 2＝1与该椭圆有且只有一个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (4c,0)的直线与⊙F 2相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，求证：F 2A ⊥F 2B ；(3)过点P (4c,0)的直线l 与⊙F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >1)相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，试探究kF 2A ，kF 2B 的数量关系．(1)解 ∵⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为(a,0)或(－a,0)，若公共点为(－a,0)，则a ＋c ＝1，又c a ＝12， 解得a ＝23<1，与a >1矛盾，故公共点为(a,0)． ∴a －c ＝1，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1. 反之，当c ＝1时，联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，满足条件． ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ∵P (4,0)，设过P (4,0)的直线l 的方程为x ＝my ＋4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ＝576m 2－144(4＋3m 2)>0，得m 2>4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－24m 4＋3m 2，y 1y 2＝364＋3m 2， 又F 2(1,0)，∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(1＋m 2)y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝36(1＋m 2)4＋3m 2－72m 24＋3m 2＋9＝72－9m 24＋3m 2. 由l ：x ＝my ＋4与⊙F 2：(x －1)2＋y 2＝1相切得m 2＝8，满足m 2>4，∴F 2A →·F 2B →＝0，即F 2A ⊥F 2B .(3)解 猜想：2F A k ＋2F B k ＝0.证明如下：由(2)得2F A k ＋2F B k ＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9. ∵2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2m ×364＋3m 2－72m 4＋3m 2＝0， ∴2F A k ＋2F B k ＝0.3．(2018·成都模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b＝1的左、右焦点．若P 是该椭圆上的一个动点，PF 1→·PF 2→的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x ＝ky －1与椭圆E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解 (1)由题意得a ＝2，c ＝4－b ，b <4， ∴F 1(－4－b ，0)，F 2(4－b ，0)．设P (x ，y )，则PF 1→＝(－4－b －x ，－y )，PF 2→＝(4－b －x ，－y )，即PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－(4－b )＝x 2＋b －bx 24－4＋b ＝⎝⎛⎭⎫1－b 4x 2＋2b －4， ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1，即1＝⎝⎛⎭⎫1－b 4×4＋2b －4，解得b ＝1，故所求的椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 2＝1消去x ， 整理得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，显然Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16k 2＋48>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)， 故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. ∴经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为 y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1， 令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 1＋y 2y 1＋x 1 ＝(x 2－x 1)y 1＋(y 1＋y 2)x 1y 1＋y 2＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2，又x 1＝ky 1－1，x 2＝ky 2－1，∴x ＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝(ky 2－1)y 1＋(ky 1－1)y 2y 1＋y 2＝2ky 1y 2－(y 1＋y 2)2kk 2＋4。
(三)函数与导数(1)1．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝a (x ＋1)ln x －x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥12时，求证：对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．(1)解 由f (x )＝2(x ＋1)ln x －x ＋1，得f ′(x )＝2ln x ＋2x ＋1，切点为(1,0)，斜率为f ′(1)＝3，所求切线方程为y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0.(2)证明 当a ＝12时，f (x )＝12(x ＋1)ln x －x ＋1(x ≥1)，欲证：f (x )≥0，注意到f (1)＝0，只要f (x )≥f (1)即可，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ＋1－1(x ≥1)，令g (x )＝ln x ＋1x ＋1(x ≥1)，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1)，知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，有g (x )≥g (1)＝2，所以f ′(x )≥2a －1≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≥12，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (1)＝0，综上，当a ≥12时，对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．2．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝e x ＋32x 2.(1)讨论函数f (x )极值点的个数；(2)若对∀x >0，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1x ＋x ＋a ＝x 2＋ax ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4，①当a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即f ′(x )≥0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点，②当a 2－4>0，即a <－2或a >2时，若a <－2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0，x 1)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(x 1，x 2)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(x 2，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故x 1，x 2分别为f (x )的极大值点和极小值点，因此a <－2时，f (x )有两个极值点；若a >2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－a <0，x 1x 2＝1>0，故x 1<0，x 2<0，此时f (x )无极值点，综上，当－2≤a ≤2时，f (x )无极值点，当a <－2时，f (x )有两个极值点，当a ≥－2时，f (x )无极值点．(2)f (x )≤g (x )等价于ln x ＋12x 2＋ax ≤e x ＋32x 2，即e x －ln x ＋x 2≥ax ，因此a ≤e x －ln x ＋x2x 对∀x >0恒成立．设h (x )＝e x －ln x ＋x2x ，h ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫e x －1x ＋2x x －e x ＋ln x －x 2x 2＝e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1x 2，当x ∈(0,1)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1<0，即h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1>0，即h ′(x )>0，h (x )单调递增，因此x ＝1为h (x )的极小值点，即h (x )≥h (1)＝e ＋1，故a ≤e＋1.3．(2018·亳州模拟)已知函数f (x )＝a ＋ln x x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值，并讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥m1＋x 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知f ′(x )＝1－a －ln xx 2，又f ′(1)＝1－a ＝0，即a ＝1，∴ f ′(x )＝－ln xx 2(x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <1；令f ′(x )<0，得x >1，∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)依题意知，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥m1＋x 恒成立，即m ≤(1＋x )(1＋ln x )x 恒成立，令g (x )＝(1＋x )(1＋ln x )x (x ≥1)，只需g (x )min ≥m 即可，又g ′(x )＝x －ln xx 2，令h (x )＝x －ln x ，h ′(x )＝1－1x ≥0(x ≥1)，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴ h (x )≥h (1)＝1>0，∴ g ′(x )>0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，故m ≤2.4．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3；由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0，从而得g (x )＝f (x )＋2x <0，∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0，即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝12e e x x ＋－x 2－3，∴x 1－2x 2＝12e e x x ＋－3x 2－3，设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3，由g ′(x )<0得x <ln 3，由g ′(x )>0得x >ln 3，故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4，∴x 1－2x 2>－4＋1e .5．(2018·江南十校模拟)已知函数f (x )＝a ＋ln x x ，g (x )＝mx .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a ＝1时，求证：当x >1时，(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e .(1)解 f (x )＝a ＋ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－(a ＋ln x )x 2＝1－ln x －ax 2.由f ′(x )>0得1－ln x －a >0，即ln x <1－a ，解得0<x <e 1－a ，∴f (x )在(0，e 1－a )上单调递增，在(e 1－a ，＋∞)上单调递减．(2)解 a ＝0，f (x )＝ln x x ，∴f (x )≤g (x )⇔ln x x ≤mx ⇔m ≥ln xx 2，令u (x )＝ln x x 2，∴u ′(x )＝1－2ln xx 3，由u ′(x )>0得0<x <e ，∴u (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴u (x )max ＝u (e)＝ln e e ＝12e ，∴m ≥12e .(3)证明 (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，等价于1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x >2ex －1x e x ＋1.令p (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x ，则p ′(x )＝x －ln xx 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∵x >1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增， φ(x )>φ(1)＝1>0，p ′(x )>0，∴p (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴p (x )>p (1)＝2，∴p (x )e ＋1>2e ＋1，令h (x )＝2e x －1x e x ＋1，则h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，∵x >1，∴1－e x <0，∴h ′(x )<0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1， ∴p (x )e ＋1>2e ＋1>h (x )， 即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e xf (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e ，x >1.。
(三)函数与导数(1)1．(2018·江南十校模拟)设f (x )＝x ln x －32ax 2＋(3a －1)x .(1)若g (x )＝f ′(x )在[1,2]上单调，求a 的取值范围； (2)已知f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． 解 (1)由f ′(x )＝ln x －3ax ＋3a ， 即g (x )＝ln x －3ax ＋3a ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝1x－3a ，①g (x )在[1,2]上单调递增， ∴1x－3a ≥0对x ∈[1,2]恒成立，即a ≤13x 对x ∈[1,2]恒成立，得a ≤16；②g (x )在[1,2]上单调递减， ∴1x－3a ≤0对x ∈[1,2]恒成立，即a ≥13x 对x ∈[1,2]恒成立，得a ≥13，由①②可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，16∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. (2)由(1)知，①当a ≤0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意； ②当0<a <13时，13a>1，又f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13a 上单调递增， ∴x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13a 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13a 上单调递增， f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意；③当a ＝13时，13a ＝1，f ′(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意； ④当a >13时，0<13a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫13a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )在x ＝1处取得极大值，不符合题意． 综上所述，可得a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13. 2．(2018·河南省郑州外国语学校调研)已知函数f (x )＝a ln x －e x. (1)讨论f (x )的极值点的个数；(2)若a ∈N *，且f (x )<0恒成立，求a 的最大值． 参考数据：解 (1)根据题意可得f ′(x )＝a x －e x ＝a －x e xx(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )<0，函数是减函数，无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0得a －x e x ＝0，即x e x＝a ， 又y ＝x e x在(0，＋∞)上是增函数， 且当x →＋∞时，x e x→＋∞，所以x e x＝a 在(0，＋∞)上存在一解，不妨设为x 0， 所以函数y ＝f (x )在(0，x 0)上单调递增， 在(x 0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝f (x )有一个极大值点，无极小值点． 综上，当a ≤0时，无极值点；当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，无极小值点． (2)因为a ∈N *>0，由(1)知，f (x )有极大值f (x 0)， 且x 0满足x 00e x ＝a ，①可知f (x )max ＝f (x 0)＝a ln x 0－0e x ， 要使f (x )<0恒成立， 即f (x 0)＝a ln x 0－0e x <0，② 由①可得0e x ＝a x 0， 代入②得a ln x 0－a x 0<0， 即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x 0－1x 0<0，因为a ∈N *>0，所以ln x 0－1x 0<0，因为ln 1.7－11.7<0，ln 1.8－11.8>0，且y ＝ln x 0－1x 0在(0，＋∞)上是增函数．设m 为y ＝ln x 0－1x 0的零点，则m ∈(1.7,1.8)，可知0<x 0<m ， 由②可得a ln x 0<0e x ，当0<x 0≤1时，a ln x 0≤0，不等式显然恒成立； 当1<x 0<m 时，ln x 0>0，a <0e x ln x 0，令g (x )＝exln x ，x ∈(1，m )，则g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －1x ln 2x <0， 所以g (x )在(1，m )上是减函数， 且e 1.8ln 1.8≈10.29，e 1.7ln 1.7≈10.31， 所以10.29<g (m )<10.31，所以a ≤g (m )， 又a ∈N *，所以a 的最大值为10.3．(2018·厦门质检)设函数f (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ，g (x )＝e x－e x . (1)当b ＝0时，函数f (x )有两个极值点，求a 的取值范围；(2)若y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，且函数h (x )＝f (x )＋g (x )在x ∈(1，＋∞)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围． 解 (1)当b ＝0时，f (x )＝x ln x －ax 2－x ，f ′(x )＝ln x －2ax ，∴f (x )＝x ln x －ax 2－x 有2个极值点就是方程ln x －2ax ＝0有2个解， 即y ＝2a 与m (x )＝ln xx的图象的交点有2个．∵m ′(x )＝1－ln x x2， 当x ∈(0，e)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增； 当x ∈(e，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．m (x )有极大值1e，又∵x ∈(0,1]时，m (x )≤0； 当x ∈(1，＋∞)时，0<m (x )<1e .当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫12e ，＋∞时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x 的图象的交点有0个；当a ∈(－∞，0]或a ＝12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln xx 的图象的交点有1个；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x 的图象的交点有2个．综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e .(2)函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(1)＝0且f (1)≠0， ∵f ′(x )＝ln x －2ax ＋b ， ∴b ＝2a 且a ≠1.h (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ＋e x －e x 在x ∈(1，＋∞)时，其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角， 即当x >1时，h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )>0恒成立， 即ln x ＋e x－2ax ＋2a －e>0恒成立， 令t (x )＝ln x ＋e x－2ax ＋2a －e ， ∴t ′(x )＝1x＋e x－2a ，设φ(x )＝1x ＋e x －2a ，φ′(x )＝e x－1x2，∵x >1，∴e x>e ，1x2<1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增， 即t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴t ′(x )>t ′(1)＝1＋e －2a ， 当a ≤1＋e 2且a ≠1时，t ′(x )≥0，∴t (x )＝ln x ＋e x－2ax ＋2a －e 在(1，＋∞)上单调递增， ∴t (x )>t (1)＝0成立， 当a >1＋e 2时，∵t ′(1)＝1＋e －2a <0，t ′(ln 2a )＝1ln 2a＋2a －2a >0， ∴存在x 0∈(1，ln 2a )，满足t ′(x 0)＝0. ∵t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ∈(1，x 0)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减， ∴t (x 0)<t (1)＝0，t (x )>0不恒成立．∴实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋e 2.4．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝x －1＋a e x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2>4. (1)解 f ′(x )＝1＋a e x，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1a，＋∞.(2)证明 由f (x )＝0得a ＝1－x ex ，设g (x )＝1－x e x ，则g ′(x )＝x －2ex .由g ′(x )<0，得x <2；由g ′(x )>0，得x >2. 故g (x )min ＝g (2)＝－1e2<0.当x >1时，g (x )<0，当x <1时，g (x )>0， 不妨设x 1<x 2，则x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，x 1＋x 2>4等价于x 2>4－x 1，∵4－x 1>2且g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴要证x 1＋x 2>4，只需证g (x 2)>g (4－x 1)， ∵g (x 1)＝g (x 2)＝a ， ∴只需证g (x 1)>g (4－x 1)，即1111413e ex x x x ---＞， 即证124ex －(x 1－3)＋x 1－1<0；设h (x )＝e 2x －4(x －3)＋x －1，x ∈(1,2)， 则h ′(x )＝e2x －4(2x －5)＋1，令m (x )＝h ′(x )， 则m ′(x )＝4e2x －4(x －2)，∵x ∈(1,2)，∴m ′(x )<0， ∴m (x )在(1,2)上单调递减， 即h ′(x )在(1,2)上单调递减， ∴h ′(x )>h ′(2)＝0， ∴h (x )在(1,2)上单调递增， ∴h (x )<h (2)＝0， ∴124ex －()x 1－3＋x 1－1<0，从而x 1＋x 2>4得证．5．(2018·长沙模拟)设函数f (x )＝x －ln(x ＋1＋x 2)． (1)探究函数f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，恒有f (x )≤ax 3，试求a 的取值范围； (3)令a n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫126n ＋ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＋ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124n (n ∈N *)，试证明：a 1＋a 2＋…＋a n <13.(1)解 函数f (x )的定义域为R . 由f ′(x )＝1－11＋x2≥0，知f (x )是R 上的增函数． (2)解 令g (x )＝f (x )－ax 3＝x －ln(x ＋1＋x 2)－ax 3， 则g ′(x )＝1＋x 2(1－3ax 2)－11＋x 2， 令h (x )＝1＋x 2(1－3ax 2)－1， 则h ′(x )＝(1－6a )x －9ax31＋x2＝x [](1－6a )－9ax 21＋x2. (ⅰ)当a ≥16时，h ′(x )≤0，从而h (x )是[0，＋∞)上的减函数， 注意到h (0)＝0，则x ≥0时，h (x )≤0，所以g ′(x )≤0，进而g (x )是[0，＋∞)上的减函数， 注意到g (0)＝0，则x ≥0时，g (x )≤0， 即f (x )≤ax 3.(ⅱ)当0<a <16时，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1－6a 9a 上， 总有h ′(x )≥0，从而知， 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1－6a 9a 时，f (x )>ax 3； (ⅲ)当a ≤0时，h ′(x )≥0，同理可知f (x )>ax 3，综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞. (3)证明 在(2)中，取a ＝19，则x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，33时，x －ln(x ＋1＋x 2)>19x 3， 即19x 3＋ln(x ＋1＋x 2)<x ，取x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ， a n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫126n ＋ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124n <⎝ ⎛⎭⎪⎫14n， 则a 1＋a 2＋…＋a n <14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14<13.6．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋b x(a ，b ∈R )，且对任意x >0，都有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0.(1)用含a 的表达式表示b ；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求出a 的取值范围，并证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0；(3)在(2)的条件下，判断y ＝f (x )零点的个数，并说明理由． 解 (1)根据题意，令x ＝1， 可得f (1)＋f (1)＝0， 所以f (1)＝－a ＋b ＝0，经验证，可得当a ＝b 时，对任意x >0，都有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，所以b ＝a .(2)由(1)可知，f (x )＝ln x －ax ＋ax，且x >0， 所以f ′(x )＝1x－a －a x 2＝－ax 2＋x －ax2， 令g (x )＝－ax 2＋x －a ，要使f (x )存在两个极值点x 1，x 2，则y ＝g (x )有两个不相等的正实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a >0，Δ＝1－4a 2>0，g (0)＝－a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12a >0，Δ＝1－4a 2>0，g (0)＝－a >0，解得0<a <12或无解，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，可得0<a 22<18. 由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝ln a 22－a 32＋2a ＝2ln a ＋2a －a32－ln 2，令h (x )＝2ln x ＋2x －x32－ln 2，则h ′(x )＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4x －42x2. 而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时， －3x 4＋4x －4＝－3x 4－4(1－x )<0，即h ′(x )<0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减， 所以h (x )>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 2＋4－116－ln 2>6316－3ln e>0. 即当0<a <12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0.(3)因为f ′(x )＝1x －a －a x 2＝－ax 2＋x －ax2， g (x )＝－ax 2＋x －a .令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 22a ，x 2＝1＋1－4a 22a.由(2)知，当0<a <12时，y ＝g (x )的对称轴x ＝12a ∈(1，＋∞)，Δ＝1－4a 2>0，g (0)＝－a <0，所以x 2>1.又x 1x 2＝1，可得x 1<1，此时，f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，在(x 2，＋∞)上单调递减， 所以y ＝f (x )最多只有三个不同的零点．又因为f (1)＝0，所以f (x )在(x 1，1)上单调递增， 即当x ∈[x 1，1)时，f (x )<0恒成立．根据(2)可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22>0且0<a 22<18，所以a 22∉(x 1，1)，即a 22∈(0，x 1)，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，x 1，使得f (x 0)＝0.由0<x 0<x 1<1，得1x 0>1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＝－f (x 0)＝0，f (1)＝0，所以f (x )恰有三个不同的零点：x 0，1，1x 0.综上所述，y ＝f (x )恰有三个不同的零点．。
(三)函数与导数(1)1．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝a (x ＋1)ln x －x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥12时，求证：对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．(1)解 由f (x )＝2(x ＋1)ln x －x ＋1，得f ′(x )＝2ln x ＋2x ＋1，切点为(1,0)，斜率为f ′(1)＝3，所求切线方程为y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0.(2)证明 当a ＝12时，f (x )＝12(x ＋1)ln x －x ＋1(x ≥1)，欲证：f (x )≥0，注意到f (1)＝0，只要f (x )≥f (1)即可，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ＋1－1(x ≥1)，令g (x )＝ln x ＋1x ＋1(x ≥1)，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1)，知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，有g (x )≥g (1)＝2，所以f ′(x )≥2a －1≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≥12，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (1)＝0，综上，当a ≥12时，对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．2．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝e x ＋32x 2.(1)讨论函数f (x )极值点的个数；(2)若对∀x >0，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1x ＋x ＋a ＝x 2＋ax ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4，①当a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即f ′(x )≥0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点，②当a 2－4>0，即a <－2或a >2时，若a <－2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0，x 1)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(x 1，x 2)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(x 2，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故x 1，x 2分别为f (x )的极大值点和极小值点，因此a <－2时，f (x )有两个极值点；若a >2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－a <0，x 1x 2＝1>0，故x 1<0，x 2<0，此时f (x )无极值点，综上，当－2≤a ≤2时，f (x )无极值点，当a <－2时，f (x )有两个极值点，当a ≥－2时，f (x )无极值点．(2)f (x )≤g (x )等价于ln x ＋12x 2＋ax ≤e x ＋32x 2，即e x －ln x ＋x 2≥ax ，因此a ≤e x －ln x ＋x2x 对∀x >0恒成立．设h (x )＝e x －ln x ＋x2x ，h ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫e x －1x ＋2x x －e x ＋ln x －x 2x 2＝e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1x 2，当x ∈(0,1)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1<0，即h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1>0，即h ′(x )>0，h (x )单调递增，因此x ＝1为h (x )的极小值点，即h (x )≥h (1)＝e ＋1，故a ≤e＋1.3．(2018·亳州模拟)已知函数f (x )＝a ＋ln x x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值，并讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥m1＋x 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知f ′(x )＝1－a －ln xx 2，又f ′(1)＝1－a ＝0，即a ＝1，∴ f ′(x )＝－ln xx 2(x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <1；令f ′(x )<0，得x >1，∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)依题意知，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥m1＋x 恒成立，即m ≤(1＋x )(1＋ln x )x 恒成立，令g (x )＝(1＋x )(1＋ln x )x (x ≥1)，只需g (x )min ≥m 即可，又g ′(x )＝x －ln xx 2，令h (x )＝x －ln x ，h ′(x )＝1－1x ≥0(x ≥1)，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴ h (x )≥h (1)＝1>0，∴ g ′(x )>0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，故m ≤2.4．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3；由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0，从而得g (x )＝f (x )＋2x <0，∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0，即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝12e e x x ＋－x 2－3，∴x 1－2x 2＝12e e x x ＋－3x 2－3，设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3，由g ′(x )<0得x <ln 3，由g ′(x )>0得x >ln 3，故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4，∴x 1－2x 2>－4＋1e .5．(2018·江南十校模拟)已知函数f (x )＝a ＋ln x x ，g (x )＝mx .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a ＝1时，求证：当x >1时，(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e .(1)解 f (x )＝a ＋ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－(a ＋ln x )x 2＝1－ln x －ax 2.由f ′(x )>0得1－ln x －a >0，即ln x <1－a ，解得0<x <e 1－a ，∴f (x )在(0，e 1－a )上单调递增，在(e 1－a ，＋∞)上单调递减．(2)解 a ＝0，f (x )＝ln x x ，∴f (x )≤g (x )⇔ln x x ≤mx ⇔m ≥ln xx 2，令u (x )＝ln x x 2，∴u ′(x )＝1－2ln xx 3，由u ′(x )>0得0<x <e ，∴u (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴u (x )max ＝u (e)＝ln e e ＝12e ，∴m ≥12e .(3)证明 (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，等价于1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x >2ex －1x e x ＋1.令p (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x ，则p ′(x )＝x －ln xx 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∵x >1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增， φ(x )>φ(1)＝1>0，p ′(x )>0，∴p (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴p (x )>p (1)＝2，∴p (x )e ＋1>2e ＋1，令h (x )＝2e x －1x e x ＋1，则h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，∵x >1，∴1－e x <0，∴h ′(x )<0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1， ∴p (x )e ＋1>2e ＋1>h (x )， 即(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1e xf (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，x >1.。
