2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程一参数方程的基本概念定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。

2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列四极坐标与参数方程极坐标与参数方程为高考选考内容之一，主要考查直线与圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等。

高考对极坐标与参数方程的题量、考查难度都相对稳定。

一道解答题，位于22题，满分10分；考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。

试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”，第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中,ρθ的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查。

随着新课标的实施，2018年考查了圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识。

考查运算求解能力，考查数形结合思想、划归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算。

近5年本部分内容考查情况如下：一、存在的问题及原因分析（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位【例1】直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是A ．1tB ．12tC 1D 1【评析】易错选为A.为什么错？因为所给的直线l 的参数方程不是标准式，l 上的点1P 对应的参数是1t并没有参数的几何意义.化成标准式x a y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，也可以看出答案为C.【例2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,()2x tt y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【解析】把直线l的参数方程2()2x t t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数化为标准的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-='232'212t y t x （'t 为参数）代入曲线:C ()2221,y x --=整理得010'4'2=-+t t ，所以10'',4''2121-=-=+t t t t ，所以142''4)''(''2122121=-+=-=t t t t t t AB .【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，由点,A B 对应的参数分别为12,t t错误得到12||||AB t t =-==. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例3】在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是1+cos ,sin .x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．【解析】直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得22cos 30t t α--=，2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以1t ，2t 异号， 则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又),0[π∈α所以直线l 倾斜角3π=α或32π. 【评析】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t 的几何意义认识不到位所致，||t 表示距离，t 是包含符号的，由于本题中，,A B 在P 点的两侧，12t ,t 异号，故12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==而不是121212||||||||()44cos 121PA PB t t t t t t α-=-=+-⋅=+=. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的.（二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例4】将曲线1C 的参数方程1sin 22sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（θ为参数）化为普通方程. 【解析】把θθcos sin +=y 两边平方得x y 212sin 1)cos (sin 22+=+=+=θθθ，所以x y 212+=， ∵R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ∴.2121≤≤-x ∴所求曲线1C 的普通方程为x y 212+=，.2121≤≤-x 【评析】本题易错点主要在于忽视三角函数sin y x =的有界性，即R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ所以.2121≤≤-x 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意y x ,的取值范围. 【例5】（2014年广东省深圳市高考模拟题）若直线b x y +=与曲线⎩⎨⎧==θθs in c os y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是__________． 【解析】曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的是以原点为圆心，以1为半径的右半圆，如图，直线b x y +=与曲线有两个不同的交点,直线应介于 两直线21,l l 之间,则(1]b ∈-.【评析】本题易错点主要在于忽视θ所给的范围，以为⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的图形是圆。

高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程第一部分：极坐标知识点讲解一、极坐标系与极坐标：1、极坐标系：如下图所示：一条射线就是一个极坐标系。

其中射线的端点叫做极点，这条射线叫做极轴。

2、极坐标的表示：如下图所示：点到极点的距离叫做极径，其中极径用字母ρ表示；极径与极轴之间的夹角叫做极角，极角用θ表示。

点P的极坐标为),(θρ。

二、极坐标与直角坐标的转换：1、极坐标与直角坐标的对应关系：如下图所示：2、极坐标转换为直角坐标：θρcos=x；θρsin=y；例一：把下列的极坐标转换为直角坐标。

（1）、)3,2(π （2）、)32,3(π （3）、)2,4(π （4）、)23,3(π（5）、),4(π【解析】：（1）、12123cos2=⨯=⋅=πx ；32323sin 2=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)3,2(π转换为直角坐标)3,1(。

（2）、23)21(332cos3-=-⨯=⋅=πx ；23323332sin 3=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)32,3(π转换为直角坐标)233,23(-。

（3）、因为：极角2πθ=；所以：点)2,4(π在y 轴正半轴上，对应的直角坐标为)4,0(； （4）、因为：极角23πθ=；所以：点)23,3(π在y 轴负半轴上，对应的直角坐标为)3,0(-；（5）、因为：极角),4(π；所以：点),4(π在x 轴的负半轴上，对应的直角坐标为)0,4(-； 3、直角坐标转换为极坐标坐标： 22y x +=ρ；22sin y x y +=θ；22cos yx x +=θ；xy=θtan 例二：把下列的直角坐标转换为极坐标。

（1）、)3,3( （2）、)3,1(- （3）、)2,2(- （4）、)2,6(- （5）、)0,2(- （6）、)6,0( （7）、)3,0(- （8）、)0,2(【解析】：（1）、32)3(322=+=ρ，33tan =θ，点)3,3(为第一象限角，6πθ=。

极坐标与参数方程是解析几何中的两种常见的表示曲线的方式。

在三年高考中，几何部分是一个相对较为困难的部分，掌握极坐标与参数方程的概念和应用是解题的基础。

本文将对极坐标与参数方程的概念、特点以及在高考中的应用进行详细分析。

一、极坐标的概念与特点1.极坐标的定义：极坐标是用一个点到极点的距离和该点与参考轴之间的夹角来表示平面上的点的坐标。

以原点为极点，与正半轴的夹角为极角，到原点的距离为极径。

2.极坐标的表示：设有一个点P(x,y)，则可以用极坐标表示为P(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。

-极径r：点P到原点O的距离，可以是非负实数；-极角θ：线段OP与参考轴正半轴之间的夹角，可以取任意实数。

3.极坐标与直角坐标之间的转换：-从直角坐标到极坐标的转换：极径r=√(x²+y²)极角θ = tan⁻¹(y/x)。

-从极坐标到直角坐标的转换：x = r*cosθy = r*sinθ。

4.极坐标的特点：-极坐标表示点与坐标轴的夹角，更符合几何直观；-极坐标式所描述的曲线，形状更规整，方程一般最简化。

二、参数方程的概念与特点1.参数方程的定义：参数方程是指用参数与函数之间的关系来表达的方程。

在平面几何中，参数方程用一个或多个参数来表示一个曲线上的点。

2.参数方程的表示：一般形式为{x=f(t),y=g(t)}，其中x、y为自变量的函数，t为参数。

3.参数方程的特点：-参数方程可以表示一些直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等；-参数方程通常可以描述曲线上每一个点的运动轨迹；-参数方程的参数可以取多种形式，如时间、角度等。

三、极坐标与参数方程在高考中的应用1.极坐标的应用：-区间与曲线的关系：根据极坐标系下曲线的特点，可以确定曲线所在的区间；-曲线方程求解：通过转换极坐标与直角坐标，可以将曲线方程转化为直角坐标系下的方程来求解，简化计算；-弧长与面积的计算：使用极坐标系统计算弧长和面积，常见于平面图形的计算。

2019年考试大纲解读15 坐标系与参数方程选考内容（一）坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算2．从考查内容来看，主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.考向一 参数方程与普通方程的互化样题1（2018新课标III 卷理）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ点且倾斜角为的直线与交于两点．(0，αl O ⊙A B ，（1）求的取值范围；α（2）求中点的轨迹的参数方程．AB P 【答案】（1）；（2）为参数，．(,)44π3π(α44απ3π<<)（2）的参数方程为为参数，．l 44απ3π<<)设，，对应的参数分别为，，，A B P A t B t P t 则，且，满足．2A BP t t t +=A tB t 于是，．又点的坐标满足P (,)x y所以点的轨迹的参数方程是为参数，．学-科网P (α44απ3π<<)考向二 极坐标方程与直角坐标方程的互化样题2（2018新课标I 卷理）在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，xOy 1C ||2y k x =+轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.x 2C （1）求的直角坐标方程；2C （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.1C 2C 1C 【答案】（1）；（2）．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．1l2C A 1l 243k =-0k =经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公0k =1l 2C 43k =-1l 2C 2l 2C 共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，故或．2l2C A 2l 22=0k =43k =经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．0k =1l 2C 43k =2l 2C综上，所求的方程为．1C 考向三 极坐标方程与参数方程的综合应用样题3 已知直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为l t O x 极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．C （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；l C （2）设直线与曲线交于两点，求．l C ,A B OA OB样题4 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为为参数),直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求的值.【解析】(1)由,得,所以曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,得,设两点对应的参数分别为，则有,因为,所以,即,所以,解之得或(舍去),所以的值为1.。

2021 版高考数学 考点 55 极坐标与参数方程试题解读与变式【考纲领求】1. 认识坐标系的作用，认识在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2. 认识极坐标的根本看法，会在极坐标系中用极坐标刻画点的地址，能进行极坐标和直角坐标的互化．3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．4. 认识参数方程，认识参数的意义．5. 能选择合适的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22 题解答题中观察，主若是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的地址关系的判断以及距离的最值问题 . 难度中等 .【典型高考试题变式】〔一〕参数方程与极坐标方程的综合运用例 1. 【 2021 新课标 3】在直角坐标系xOy 中，直线 l 1 的参数方程为x 2+t,〔 t 为参数〕，直线 l 2 的参数ykt,x2 m,与 l的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C .方程为m〔m 为参数〕 . 设 l12y,k（ 1〕写出 C 的一般方程；〔 2〕以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l 3 : cos sin 2 0 ， M 为 l 3 与 C的交点，求 M 的极径 .【解析】〔 1〕由题意得直线 l 1， l 2 的一般方程，尔后消去参数即可获取曲线 C 的一般方程；〔 2〕联立两个极坐标方程可得 cos 29,sin 21 1010 【解析】〔1〕消去参数 t 得 l 1 的一般方程 l 1 : y k x2，代入极坐标方程进行计算可得极径为 5 .；消去参数得 l 2 的一般方程 l 21m: yx 2 .ky k x 2设 P x, y , 由题设得1 x ，消去 k 得 x 2y 24 y 0 .y2k所以 C 的一般方程为 x 2y 24 y 0 .【名师点睛】此题观察了极坐标方程的求法及应用，重点观察了转变与化归能力. 遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解，也许直接利用极坐标的几何意义求解. 要结合题目自己特点，确定选择何种方程.x12 t 2【变式 1】【 2021衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C ：〔为参数〕，以2y t2原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos1．24〔 1〕求曲线C的一般方程和直线l 的直角坐标方程；〔 2〕过点M 1,0，且与直线 l 平行的直线l1交曲线 C 于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．【解析】〔1〕由题知，曲线C化为一般方程为x2y2 1 ，由2cos1，得324 cossin 2 ，所以直线 l 的直角坐标方程为x y 20 ．x12 t〔 2〕由题知，直线l1的参数方程为2〔 t 为参数〕，2 ty2代入曲线 C ：x2y2 1 中，化简，得2t22t20 ，3设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，那么t1t21，所以 MA MB t1t 21．xOy 中，曲线 C 1 x 3cos【变式 2】【 2021 山西两校联考】在平面直角坐标系:(为参数 ) ，以坐标y sin原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为2sin .〔 1〕分别求曲线C 1 的一般方程和曲线 C 2 的直角坐标方程；〔 2〕假设 P 、 Q 分别为曲线 C 、C上的动点，求PQ 的最大值 .12x 3cosx cos ， 【解析】〔1〕因为曲线 C 1 参数方程为，所以3 ysinysin因为 sin 2cos 21, 所以 C 1 的一般方程为x 2 y 21 .9因为曲线 C 2 的极坐标方程为 2sin ，即22 sin ，故曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2y 2 2y ，即 x 2y 21.1〔二〕参数方程的运用例 2. 【 2021 年新课标 1】在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x 3cos ,〔 θ 为参数〕，直线l 的y sin ,x a 4t ,参数方程为1 t, 〔t 为参数〕 .y〔 1〕假设 a =- 1，求 C 与 l 的交点坐标；〔 2〕假设C上的点到l距离的最大值为17 ，求a.【解析】〔1〕先将曲线C和直线l的参数方程化成一般方程，尔后联立两方程即可求出交点坐标；〔 2〕由直线 l 的普通方程为 x4y a40 ，设 C 上的点为 (3cos,sin ) ，易求得该点到 l 的距离为d | 3cos4sin a 4 |4 和 a 4 时，求出a的值.17. 对a再进行谈论，即当a【解析】〔1〕曲线C的一般方程为x2y21.9当 a 1 时，直线 l 的一般方程为x 4 y 30 .x4y 3 0,x3,x21 ,由2解得25y2y或x10249y.25从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0) ， (21, 24).2525【名师点睛】化参数方程为一般方程的重点是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的地址关系问题时，平时将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为一般方程来解决.x＝ a－2t ，x＝4cosθ，【变式1】直线l的参数方程为( t为参数) ，圆C的参数方程为( θ为参数 ) ．y＝－4t ，y＝4sinθ，〔 1〕求直线l和圆C的一般方程；〔 2〕假设直线l与圆C有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】〔1〕消去参数 t 可得直线 l 的一般方程为2x － y － 2a ＝ 0，22消去参数 θ 可得圆 C 的一般方程为x ＋ y ＝ 16．| － 2 |故圆 C 的圆心到直线l5．的距离 d ＝≤ 4，解得－ 2 5≤ a ≤ 25【变式 2】【 2021 云南省、 四川省、 贵州省联考】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C :x3 cos a 〔 ay sin a为参数〕，直线 l : xy 6 0 .〔 1〕在曲线 C 上求一点 P ，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值；〔2〕过点 M (1,0) 且与直线 l 平行的直线 l 1 交 C 于 A ， B 两点，求点 M 到 A ， B 两点的距离之积 .【解析】〔1〕设点 P( 3cos a,sin a) ，那么点 P 到直线 l 的距离为| 3 cosa sin a| 2sin(3a) 6 |6 |，d22所以当 sin(a)1 时， P( 3 , 1) ，此时 d max 4 2 .32 2【数学思想】①数形结合思想 .②分类谈论思想．③转变与化归思想 .【温馨提示】①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围可否因为转变而发生改变，若是发生改变那么它们所表示的曲线就不是同一曲线．②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的别的两种表示形式，可以说是曲线的两种巧妙的表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义.【典例试题演练】1. 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．直线l 的参x 2 t数方程是2〔 t 为参数〕，曲线 C 的极坐标方程是2cos 2sin ．y 32 t2〔 1〕写出直线 l 的一般方程和曲线 C 的直角坐标方程；〔 2〕设直线 l 与曲线 C 订交于 A ， B 两点，点 M 为 AB 的中点，点 P 的极坐标为 (2, ) ，求 |PM |的4值．x 2 t 【解析】〔1〕因为直线的参数方程是2〔 t 为参数〕，消去参数 t 得直线 l 的一般方程为y23t2x y 30 ．由曲线 C 的极坐标方程cos 22sin ，得2cos 22 sin ．所以曲线 C 的直角坐标方程为x 2 2y ．〔 2〕由yx 3,x 22 x 6 0x 2得，2 y,设 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，那么 AB 的中点 M(x 1x 2 , y 1y2 ) ，22因为 xx2 2，所以 M (1,4) ，1又点 P 的直角坐标为 (1,1)，所以 |PM |(1 1)2 (4 1)2 3 ．x 2 3t2. 【 2021 黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为3( t 为参数〕，以y 1t2坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为2cos.4（1〕求直线l的一般方程与圆C的直角坐标方程；（2〕设直线l与圆C订交于A, B两点，求AB .3. 【 2021 广东湛江市调研】极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆 C 的极坐标方x 3 t2程为 a sin ，直线的参数方程为5〔 t 为参数〕.4 ty5〔 1〕假设a 2，直线l与x轴的交点为M , N是圆C上一动点，求MN 的最大值；〔 2〕假设直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 3 倍，求a的值.【解析】〔1〕当a2时，圆 C 的极坐标方程为2sin，可化为2 2 sin ，x2y2 2 y0 ，即x2y 21.化为直角坐标方程为1直线 l 的一般方程为4x3y80 ，与x轴的交点M 的坐标为2,0.因为圆心0,1 与点 M 2,0 的距离为 5 ，所以 MN 的最大值为 51 .〔 2〕由a sin 可得2a sin，2a 2所以圆 C 的一般方程为 x 2y a.24因为直线 l 被圆 C 截得的弦长等于圆 C 的半径的3 倍，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆 C 半径的一半，3 a 81 a32 所以232 或 a42 322 . 解得 a.2114.【2021 河南省豫北名校缔盟抗衡赛】在平面直角坐标系x 4cos 为xOy 中，曲线 C 的参数方程为〔y 2sin参数〕 .（ 1〕求曲线 C 的一般方程；（ 2〕经过点 M (2,1) 〔平面直角坐标系 xOy 中点〕作直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点，假设 M 恰好为线段的三均分点，求直线 l 的斜率 .x【解析】〔1〕由曲线 C 的参数方程，得cos 4 ,所以曲线 C 的一般方程为 x 2 y 21.siny ,16 42〔 2〕设直线 l 的倾斜角为1 ，那么直线的参数方程为x 2 t cos 1,〔 t 为参数〕 .y1 t sin 1 .代入曲线 C 的直角坐标方程，得(cos 214sin 2 1 )t 2 (4cos18sin 1)t8 0 ，t 1 t 24cos 1 8sin 1 ,所以cos 2 1 4sin 2 1 由题意可知 t 12t 2 .t 1t 28 .cos 2 1 4sin 2 1所以 12sin 2 1 16sin 1 cos 13cos 2 1 0，即 12k 2 16 k 3 0 . 解得 k4 7 .6所以直线 l 的斜率为47 .65. 【 2021 河南省广东省佛山市检测】 在极坐标系中，射线 l :与圆 C: 2 交于点 A ，椭圆 D 的方程为623，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy .12sin2〔 1〕求点 A 的直角坐标和椭圆 D 的参数方程；〔 2〕假设 E 为椭圆 D 的下极点，F 为椭圆 D 上任意一点，求 AE AF 的取值范围 .〔 2〕设 F 3cos ，sin ，又E0， 1 ，所以 AE3 ， 2 ， AF 3 cos 3 ，sin1 ，于是 AE AF 3cos3 2 sin12sin3cos5 13sin 5 ，因为 1 sin1 ，所以 513 13sin 5 513 ，所以 AEAF 的取值范围是513 ，513 .6.【 2021x4t 2广西柳州摸底联考】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {( 其中 t 为参数〕 .y4t以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2 的极坐标方程为cos 2.42（ 1〕把曲线 C 1 的方程化为一般方程，C 2 的方程化为直角坐标方程；〔 2〕假设曲线 C 1 ， C 2 订交于 A, B 两点，AB 的中点为 P ，过点 P 做曲线 C 2 的垂线交曲线 C 1 于 E, F 两点，求PEPF .2【解析】〔1〕曲线 C 1 的参数方程为 {x4t〔其中 t 为参数〕，消去参数可得y 2 4x .y 4t曲线 C2的极坐标方程为cos42，张开为2cos sin2，222化为 x y10 ..〔2〕设A x1, y1 , B x2 , y2，且中点为 P x0, y0，联立y2y 4x，解得 x2 6 x10 ，x10所以 x1x26, x1 x21.所以x0x1x23, y0 2 .2x322t22线段 AB 的中垂线的参数方程为〔 t 为参数〕，代入 y4x，可得 t8 2t 16 0 ，y2 2 t2所以t1t216，所以 PE PF t1t216.。

2019年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）1、（2019年高考XX 卷理）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+=（B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-=（D ）θρin s 56-= 【答案】D考点：极坐标系【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力、数形结合思想等.2、（2019年高考卷理）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 【答案】2考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝以与，，同时要掌握必要的技巧.cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB =θρθρsin ,cos ==y x θρθρsin ,cos ==y x 22y x +=ρ)0(tan ≠=x xyθ3、（2019年高考XX 卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】167考点：直线与椭圆参数方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 与y 的取值范围的影响．4、（2019年高考新课标Ⅰ卷理）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1⑵24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式与应用.5、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1试题解析：⑴cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程 ⑵24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式与应用.6、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||10AB =求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）153±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l 的斜率为3或3-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.7、（2019年高考新课标Ⅱ卷文）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l 的斜率为3或3-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.8、（2019年高考新课标Ⅲ卷理）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值与此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.………………8分当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉与椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．9、（2019年高考新课标Ⅲ卷文）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值与此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.………………8分当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉与椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．。

高考极坐标与参数方程大题题型汇总本文是一篇数学题型汇总，主要涉及极坐标和参数方程。

第一题给出了一个圆的参数方程，要求求出其极坐标方程，并求出与一条直线的交点的线段长度。

第二题给出了一条直线的参数方程和一个圆的极坐标方程，要求求出该直线和圆的交点，并求出弦长。

第三题给出了一个曲线的参数方程和一条直线的极坐标方程，要求求出直线和曲线的交点，并求出弦长。

具体来说，第一题中，圆C的普通方程是$(x-1)^2+y^2=1$，转化为极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。

设点P的极坐标为$(\rho_1,\theta_1)$，则解得$\theta_1=\pi/3$，设点Q的极坐标为$(\rho_2,\theta_2)$，则解得$\theta_2=\pi/3$，$\rho_2=3$。

因此，线段PQ的长度为2.第二题中，圆M的直角坐标方程为$x+(y-3)=1$，直线$l$的普通方程为$3x+4y-3a+4=0$，将其转化为极坐标方程为$\rho(\sin\theta+\cos\theta)=1$。

设直线$l$和圆$M$的交点分别为$P$和$Q$，则由题意可知线段PQ的长度为3.因此，代入弦长公式，解得$a=12\pm\sqrt{22}$。

第三题中，曲线C的极坐标方程为$\rho=5$，直线$l$的普通方程为$x+y=\frac{1}{\sqrt{2}}$，将其转化为极坐标方程为$\rho(\sin\theta+\cos\theta)=1/\sqrt{2}$。

设直线$l$和曲线$C$的交点分别为$P$和$Q$，则由题意可知线段PQ的长度为$\sqrt{50}$。

1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta。

y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为：$x+y-1=0$。

2) 设$P(9\cos^3\alpha。

3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离$d$为：d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$$为求$d$的最大值，对$d$求导得：frac{d}{d\alpha}d=-\frac{27\cos^2\alpha\sin\alpha+9\sin^2\alpha\cos\alpha}{2\sqrt{2} }$$令其等于0，解得$\tan\alpha=\frac{1}{3}$。

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程 思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.解析 因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线 变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析 （1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二： 将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程 思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析 将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析 由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程 思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析 利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析 点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1） 写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化 思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析 把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析 由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（ ）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（ ）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（ ）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。

坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

坐标系与参数方程第一节 坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ＞0，y ′＝μ·y μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M 的极坐标，记为M ρ，θ.一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法] 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)．[题组训练]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1，把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)代入上式得：λ2x 225＋μ2y 216＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1，与x 2＋y 2＝1， 比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.考点二 极坐标与直角坐标的互化[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2， 化成直角坐标方程为y ＝33(x －4)， 则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)求圆O 1和圆O 2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三 曲线的极坐标方程的应用[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32. 即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. [解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM |与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性． [题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段P Q 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1，把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2，所以|P Q|＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ， 由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即(x －3)2＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ＝π6(ρ∈R)与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长．解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0， 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5， 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|O Q|的值． 解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x ， ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(2)设P (ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|O Q|＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0，曲线C 2的方程为y 2＝x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝x ，得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1，x ＝－4(舍去)， 当x ＝1时，y ＝±1，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A (1,1)，B (1，－1)，所以ρA ＝1＋1＝2，ρB ＝1＋1＝2，tan θA ＝1，tan θB ＝－1， 因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A 在第一象限，点B 在第四象限，所以θA ＝π4，θB ＝7π4，故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，7π4.。

高中数学知识点总结 第 1 页 共 1 页 2019年高考文科数学知识点总结：极坐标与参数方程
极坐标与参数方程
116.点的极坐标
对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。

117. 极坐标与直角坐标的互化公式
{cos sin x y ρθ
ρθ== 222tan x y y
x ρθ=+=⎧⎨⎩
118、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标,x y 都是第三个变量t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩
（1），并且对于t 的每一个值，由（1）式所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么（1）式叫做这条曲线的参数方程，其中变量t 叫做参数。

119、过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩
⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 参数|t|的几何意义是直线上由参数t 确定的点到定点P 的距离
120. (1)圆心在原点O ，半径为R 的圆的参数方程{
cos sin x R y R θθ== (2)圆心在(a ，b)，半径为R 的圆的参数方程{cos sin x a R y b R θ
θ=+=+
（3）焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⇔{
cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数）。