甘肃省天水市高二数学寒假作业 21模块质量检测(A) 理 新人教A版

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题，选B ．3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．18B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ， ∴1a ＝－8， ∴a ＝－18．4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D ． 5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．5 32B ．212C ．372D ．3 52解析：选D 由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)． 又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0． ∴2n ＝5，n ＝52．∴|a |＝1＋4＋254＝3 52．6．下列结论中，正确的为( )①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件； ④“綈p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由綈p 为假⇒p 为真⇒p ∨q 为真，故③正确．7．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1．① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝ m ＋nm ＝2，②联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316． 8．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1， 5 ]D ．[5，＋∞)解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x ．由条件知，应有ba >2，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>5．9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α．当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15．10．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( ) A ．55B ．33C ．255D ．63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO ．建立如图所示坐标系，设BC ＝1， 则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D⎝⎛⎭⎫32，0，0．∴OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，0．由于OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA 〉＝55，∴sin 〈n ，OA 〉＝255． 11．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54解析：选B 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52． 12．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．14B ．13C ．24D ．23解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，又由已知可得ca ＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a＝14．故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ―→·OA ―→＝4，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由OP ·OA ＝4得x ×1＋y ×2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0．答案：x ＋2y －4＝014．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤22． 答案：[－22，2 2 ]15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12．∴e ＝ca ＝2． 答案：216．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则EF 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E (2,0,1)，F (1,2,0)， ∴EF ＝(－1,2，－1)．又平面CDD 1C 1的一个法向量为OD ＝(0,2,0)，cos 〈EF ，OD 〉＝4 6×2＝63，故所求角的正弦值为63． 答案：63三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0．若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2．q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3． ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2．∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A -A 1C -B 的正切值大小．解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1． 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C ．(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD ． ∵AB ⊥A 1C ，AD ∩AB ＝A ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A -A 1C -B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36＝62．在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63，∴二面角A -A 1C -B 的正切值为63． 法二：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ． 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ．如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB ＝(1,0,0)，A C 1＝(0，3，－3)．∵AB ·A C 1＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0， ∴AB ⊥A 1C ．(2)取m ＝AB ＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．由(1)知：BC ＝(－1，3，0)，设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·A C 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，∴x ＝3y ，y ＝z ．令y ＝1，则n ＝(3，1,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝3×1＋1×0＋1×032＋12＋12·12＋02＋02＝155， ∴sin 〈m ，n 〉＝ 1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，∴tan 〈m ，n 〉＝63． ∴二面角A -A 1C -B 的正切值为63．19．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．解：(1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，D (2a,0,2a )， 所以CM ＝(a ，－a,0)，EM ＝(a ，a ，－a )，所以CM ·EM ＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ⊥EM ．(2) CE ＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )， 设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM ，n 〉＝CM ·n| CM ||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°．20．(本小题满分12分)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ ＝23DP ．(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使OE ＝12(OM ＋ON )(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，得点D 的坐标为D (x 0,0)，DQ ＝(x －x 0，y )，DP ＝(0，y 0)，又DQ ＝23DP ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ， ∵点P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1．(2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE ＝12(OM ＋ON )，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0，∴椭圆上存在点M ，N 满足OE ＝12(OM ＋ON )，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0．21．(本小题满分12分)如图，已知点E (m ，0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ．由题意，知直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1． 同理点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2 k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时等号成立， ∴△EMN 面积的最小值为4．(2)证明：由题意，得直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋m ，2k 1． 同理点N ⎝⎛⎭⎫2k 22＋m ，2k 2． ∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ， 即y ＝k 1k 2(x －m )＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (2,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA |． (1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上异于A ，B 且不重合的两点，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，则是否存在实数λ，使得PQ ＝λAB ？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵AC ·BC ＝0，∴AC ⊥BC ，∠ACB ＝90°．又|OC －OB |＝2|BC －BA |，即|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形． ∵A (2,0)，∴C (1,1)． 又点C 在椭圆上，a ＝2， ∴1a 2＋1b 2＝1，∴b 2＝43， ∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 243＝1．(2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝1对称．高中数学-打印版精心校对完整版 设k PC ＝k (k ≠0且k ≠±1)，则k C Q ＝－k ， 则直线PC 的方程为y －1＝k (x －1)⇒y ＝k (x －1)＋1，①直线CQ 的方程为y －1＝－k (x －1)⇒y ＝－k (x －1)＋1，②将①代入x 24＋3y 24＝1， 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0．③ ∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根，∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2， 以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1． k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝k (x P ＋x Q )－2k x P －x Q ＝k ·6k 2－21＋3k 2－2k －12k 1＋3k 2＝－4k 1＋3k 2－12k 1＋3k 2＝13． 而k AB ＝13，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ ＝λAB ．又|PQ |＝(x P －x Q )2＋(y P －y Q )2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22 ＝160k 2(1＋3k 2)2＝1609k 2＋1k2＋6≤2303， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k 2＝13，k ＝±33时取等号． 又|AB |＝10，∴λmax ＝230310＝233．。

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＞－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2} 2．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是( )A ．t ＞sB ．t ≥sC ．t ＜sD ．t ≤s 3．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[0,4)D ．(0,4) 4．设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－75．已知a ，b ，c 满足a ＋b ＞0，ab ＞0，且ac ＜0，则下列选项中一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＜0C ．cb 2＞ab 2D ．c (b －a )＞0 6．满足不等式y 2－x 2≥0的点(x ，y )的集合(用阴影表示)是( )7．已知x ，y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.116 D.1328．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,39．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．0B ．2 C.2a a －1 D ．310．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)12．已知点P (x ，y )满足条件{ x ≥0y ≤x 2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.13．已知不等式ax x －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，则a ＝______. 14．若1a ＜1b＜0，已知下列不等式： ①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b ＞2；⑤a 2＞b 2；⑥2a ＞2b.其中正确的不等式的序号为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．16．(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400 km 处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202km ，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？17．(本小题满分12分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？18．(本小题满分14分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.。

圆锥曲线与方程质量检测(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 2．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．133．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)4．若抛物线x 2＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，17．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－458．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.7529．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．12．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．13.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．14．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．空间向量与立体几何质量检测 (考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＝(x,2y,3)，b ＝(1,1,6)，且a ∥b ，则x ＋y 等于( ) A.12 B.34 C.32D ．22．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－23．若向量(1,0，z )与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为25，则z 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．24．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1－e 2，d ＝3e 1＋2e 2＋e 3({e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底)，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( )A.52，32，－1 B.52，12，1 C ．－52，12，1D.52，－12，1 5．若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交6．在平行六面休ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zC ′C →，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.237．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.358．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.13 C.32D.3310.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22C.23D.55二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________.12．设a ＝(2，－3,1)，b ＝(－1，－2,5)，d ＝(1,2，－7)，c ⊥a ，c ⊥b ，且c ·d ＝10，则c ＝________.13．直角△ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB的距离是________．14．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1的夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体． (1)化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．16．(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4.求点B 到平面PCD 的距离．17．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．18．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离．。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）寒 假 作 业 一（理）一、选择题：1.命题“若A B =，则sin sin A B =”的逆否命题是( ) A ．若sin sin A B ≠，则A B ≠ B ．若sin sin A B =，则A B = C ．若A B =，则sin sin A B ≠D ．若A B ≠，则sin sin A B ≠2、对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16 C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)163. “直线l 与平面α内无数条直线都平行”是“直线l 与平面α平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件4.以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.（1）(1,2,1)a =-,(1,2,1)b =--； （2）(8,4,0)a =,(2,1,0)b =； （3）(1,0,1)a =-,(3,0,3)b =-； （4）4(,1,1)3a =--,(4,3,3)b =- A ．1B ．2C ．3D ．45.命题“对任意的x ∈R ，都有2240x x -+≤”的否定为( )A.存在x ∈R ，使2240x x -+≥B.对任意的x ∈R ，都有2240x x -+>C.存在x ∈R ,使2240x x -+>D.存在x ∉R ,使2240x x -+>6. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ ）A.221916x y -=B.221169x y -=C.2212536x y -=D. 2212536y x -= 7．设M 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 为焦点，且126F MF π∠=，则12MF F ∆ 的面积为A 、1633B 、16(23)+C 、16(23)-D 、168. 设F 1、F 2为椭圆13422=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，21PF PF ⋅的值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．49、设点P 是以21,F F 为左、右焦点的双曲线)0,0(12222>>=-b a bya x 左支上一点，且满足32tan ,01221=∠=∙F PF PF PF ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．213C ．5D ．13 10.椭圆22a x +22b y ＝1(a>b>0)的离心率是21，则a b 312+的最小值为（ ）A ．33 B ．1 C ．332 D ．2 二、填空题：11. 焦点在y 轴上，虚轴长为8，焦距为10的双曲线的标准方程是 ;12． 过椭圆x 23＋y 2＝1的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成的△2ABF 的周长为 .13. 已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，则λ= ____ 14.若点P 到点)0,4(F 的距离比它到直线05=+x 的距离少1，则动点P 的轨迹方程是 15. 直线y x =被曲线2222x y +=截得的弦长为 ;三、解答题：16.已知椭圆的顶点与双曲线221412y x -=的焦点重合，它们的离心率之和为135，若椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的方程.17. 如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ∆中 090,1=∠==BCA CB CA ，棱21=AA ，N M 、分别为A AB A 111、的中点.（1）求11,cos CB BA <>的值；（2）求证：MN C BN 1平面⊥ （3）求的距离到平面点MN C B 11.18. 图1是一个正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图2的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下列问题（1） 求证：MN//平面PBD ； （2） 求证：AQ ⊥平面PBD ；（3）求二面角P-DB-M 的余弦值。

圆锥曲线与方程 1一、选择题(每小题5分，共20分)1．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)2．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π4．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →·A B →＝1.求P 点的轨迹方程．8．过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A，过点P2(2,7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，点M在线段AB上，且BM∶MA＝1∶2，求动点M的轨迹方程．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称命题;③∃x∈R,x2+2x+1≤0是全称命题.A.0B.1C.2D.3解析:①是全称命题;②是全称命题;③是特称命题.答案:B2若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x解析:∵抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p=2.∴抛物线的标准方程为y2=-4x.答案:D3已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.充要条件解析:若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.答案:D4以双曲线x24−x212=−1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216+x212=1B.x212+x216=1C.x216+x24=1D.x24+x216=1解析:由x24−x212=−1,得x212−x24=1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4), 顶点坐标为(0,2√3),(0,−2√3).∴椭圆方程为x24+x216=1.答案:D5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记θ为异面直线PM与D1N所成的角,则θ的集合是()A.{π2}B.{x|π6≤x≤π2}C.{x|π4≤x≤π2}D.{x|π3≤x≤π2}解析:取C1D1的中点E,PM必在平面ADEM内,易证D1N⊥平面ADEM.D1N总是垂直PM.6若向量a =(1,0,z )与向量b =(2,1,2)的夹角的余弦值为23,则x =( ) A.0 B.1 C.-1D.2解析:cos <a ,b >=x ·x|x ||x |=√=23,解得z=0. 答案:A7在四棱锥P-ABCD 中,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2,3),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,2,−8),则这个四棱锥的高x =( ) A.1 B.2 C.13D.26解析:设底面ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{4x -2x +3x =0,-4x +x =0,取x=1,则n =(1,4,43),故四棱锥的高h 即点P 到底面ABCD 的距离=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x ||x |=263133=2.答案:B8如果命题“(p )∨(q )”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为( )①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“p ∧q ”是假命题 ③命题“p ∨q ”是真命题 ④命题“p ∨q ”是假命题A.①③B.②④C.②③D.①④解析:由“(p )∨(q )”是假命题,知p 和q 均为假命题⇒p 为真,q 为真,则p ∧q 为真,p∨q 为真,则①③正确,故选A. 答案:A9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( )A.10B.17C.2√1313D.√3737解析:焦距为2c,短轴长为2b,由已知,得2c=2x3,故b=3c.又∵a2=b2+c2=9c2+c2=10c2,∴e=xx=√1010.答案:A10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足()A.θ=π4B.cos θ=2√3417C.tan θ=2√23D.sin θ=√33解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以x(23,23,0),xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,-1).易知平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1), 则cos<xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=√(3)2+(3)2+(-1)=−3√1717,所以PG与平面ABCD所成角θ的余弦值为√1-(-3√1717)2=2√3417,即cosθ=2√3417.答案:B11设F 1,F 2是双曲线x 2-4y 2=4a (a>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足:xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则x 的值为( ) A.2 B .√52C.1D .√5解析:双曲线方程可化为x 24x −x 2x =1(x >0),∵xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴xx 1⊥PF 2.∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4x 2=20x .①由双曲线定义,知|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=±4√x ,② 又已知|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,③ 由①②③,得20a-2×2=16a ,∴a=1. 答案:C12过点M (-2,0)的直线m 与椭圆x 22+x 2=1交于x 1,x 2两点,线段x 1x 2的中点为x .设直线x 的斜率为x 1(x 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A.2B.-2 C .12D .−12解析:设直线m :y=k 1(x+2)代入x 22+x 2=1,得x 2+2x 12(x +2)2−2=0,整理,得(1+2x 12)x 2+8x 12x +8x 12−2=0. Δ=(8x 12)2−4(1+2x 12)(8x 12−2)>0,解得x 12<12.设P1P2的中点P0(x0,y0),则x0=x1+x22=-4x121+2x12,x0=x1(x0+2)=2x11+2x12.∴k2=x0x0=2x11+2x12-4x121+2x12=−12x1,∴k1·k2=−12.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13在四面体OABC中,xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,D为BC的中点,E为AD的中点,则xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ____________________.(用a,b,c表示)解析:xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12x+14x+14x.答案:12x+14x+14x14已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,垂足为G,与抛物线的交点为E,则|EF|=.解析:由焦点为F(2,0)可得p=4,则G(-2,2).由题意可设E(x,2),因为E在抛物线上,所以22=8x ,x =12,所以|EF|=|EG|=12−(−2)=52. 答案:5215已知p :x -2xx +x <0(x >0),x :x (x −4)<0,若x 是x 的既不充分也不必要条件,则实数x 的取值范围是____________________. 解析:由x -2x x +x<0(x >0)解得-m<x<2m ,由x (x-4)<0解得0<x<4. 若p 是q 的充分条件, 则有{-x ≥0,2x ≤4,x >0,解得m 无解;若p 是q 的必要条件, 则有{-x ≤0,2x ≥4,x >0,解得m ≥2.因此当p 是q 的既不充分也不必要条件时,实数m 的取值范围是0<m<2. 答案:(0,2)16曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12x 2.其中,正确结论的序号是 .解析:①曲线C 经过原点,则当曲线C 上点P 为原点时,|PF 1||PF 2|=1,即a=1,这与a>1矛盾,所以①错误;②曲线C 关于原点对称,设曲线C 上点P 关于原点的对称点为P',则|PF 1|=|P'F 2|,|PF 2|=|P'F 1|,满足|P'F 1||P'F 2|=a 2,所以②正确;③由三角形面积公式S =12xx sin C ,得x △xx 1x 2=12|xx 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|xx 1|·|PF 2|=x 22,所以③正确.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知命题p :不等式|x-1|>m-1的解集为R ,命题q :f (x )=-(5-2m )x是减函数,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数m 的取值范围. 解:因为不等式|x-1|>m-1的解集为R , 所以m-1<0,m<1.又因为f (x )=-(5-2m )x是减函数, 所以5-2m>1,m<2. 即命题p :m<1,命题q :m<2. 因为p ∨q 为真,p ∧q 为假, 所以p 和q 一真一假. 当p 真q 假时应有{x <1,x ≥2,x 无解.当p 假q 真时应有{x ≥1,x <2,1≤m<2.故实数m 的取值范围是[1,2).18(12分)已知双曲线与椭圆x 225+x 29=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左、右焦点是F 1,F 2,试问在双曲线上是否存在点P ,使得|PF 1|=5|PF 2|? 解:(1)椭圆x 225+x 29=1的焦点在x 轴上,且c =√25-9=4,即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为x 2x 2−x 2x 2=1,则有{x 2+x 2=16,16x 2-36x 2=1,解得a 2=4,b 2=12, 故双曲线方程为x 24−x 212=1.(2)假设在双曲线上存在点P ,使得|PF 1|=5|PF 2|, 则点P 只能在右支上. 在双曲线x 24−x 212=1中,由双曲线定义知,|PF 1|-|PF 2|=2a=4,于是得|PF 1|=5,|PF 2|=1.但当点P 在双曲线右支上时,P 到左焦点F 1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF 1|=5,即在双曲线上不存在点P ,使得|PF 1|=5|PF 2|.19(12分)已知点P (1,3),圆C :(x-m )2+y 2=92过点x (1,-3√22),点x 为抛物线x 2=2xx (x >0)的焦点,直线xx 与圆相切. (1)求m 的值与抛物线的方程;(2)设点B (2,5),点Q 为抛物线上的一个动点,求xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围. 解:(1)把点A 代入圆C 的方程,得(1-m )2+(-3√22)2=92,∴m=1.圆C :(x-1)2+y 2=92.当直线PF 的斜率不存在时,不合题意. 当直线PF 的斜率存在时,设为k , 则PF :y=k (x-1)+3,即kx-y-k+3=0.∵直线PF 与圆C 相切,∴√2+1=3√22.解得k=1或k=-1.当k=1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去. 当k=-1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为4, ∴x 2=4.∴抛物线方程为y 2=16x.(2)xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),设Q (x ,y ),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,x −5),则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(x -2)+(-2)(y-5) =-x-2y+12=-x 216-2y+12=-116(y+16)2+28≤28.∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-∞,28].20(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC=2,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角.求证:(1)CM ∥平面PAD. (2)平面PAB ⊥平面PAD.证明:以点C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,因为PC ⊥平面ABCD ,所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角. 所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2√3,PB=4.所以D (0,1,0),B (2√3,0,0),A (2√3,4,0),P (0,0,2),M (√32,0,32). 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,3,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,32). (1)令n =(x ,y ,z )为平面PAD 的法向量,则{xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,即{-x +2x =0,2√3x +3x =0,所以{x =12x ,x =-√32x ,令y=2,得n =(-√3,2,1).因为n ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3×√32+2×0+1×32=0, 所以n ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CM ⊄平面PAD ,所以CM ∥平面PAD.(2)取AP 的中点E ,则E (√3,2,1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1).因为PB=AB ,所以BE ⊥PA.又因为xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1)·(2√3,3,0)=0,所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BE ⊥DA.又因为PA ∩DA=A ,所以BE ⊥平面PAD.又因为BE ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD.21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD=√2,DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60°.(1)求证:M 是侧棱SC 的中点;(2)求二面角S-AM-B 的余弦值的大小.(1)证明以D 为坐标原点,射线DA ,DC ,DS 为x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A (√2,0,0),B (√2,2,0),C (0,2,0),S (0,0,2). 设xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λxx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0),则M (0,2x 1+x ,21+x ), 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,21+x ,-21+x ).又xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,故xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°, 即41+x =√(√2)2+(21+x )2+(-21+x )2,解得λ=1,即xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以M 为侧棱SC 的中点.(2)解由M (0,1,1),A (√2,0,0),得AM 的中点G (√22,12,12).所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,32,-12),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,1,1),则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此,<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >等于二面角S-AM-B 的平面角, 所以cos <xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√63, 故二面角S-AM-B 的余弦值为-√63.22(13分)已知椭圆x 22+x 24=1与射线y=√2x (x ≥0)交于点A ,过A 作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点B 和点C.(1)求证:直线BC 的斜率为定值,并求出这个定值;(2)求△ABC 面积的最大值.(1)证明由{x 22+x 24=1,x =√2x (x ≥0)得A (1,√2).设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为-k. 直线AB 的方程为y=k (x-1)+√2,①直线AC 的方程为y=-k (x-1)+√2,②将①代入椭圆方程并化简得(k 2+2)x 2-2(k-√2)kx+k 2-2√2k-2=0. ∵1和x B 是它的两个根,∴x B =x 2-2√2x -2x 2+2, y B =kx B +√2-k=-√2x 2-4x +2√2x 2+2. 同理可得x C =x 2+2√2x -2x 2+2, y C =-√2x 2+4x +2√2x 2+2, ∴k BC =x x -xx x x -x x=√2. (2)解设直线BC 的方程为y=√2x+m ,代入椭圆方程并化简得4x 2+2√2mx+m 2-4=0, |BC|=√3|x 1-x 2|=√3√16-2x 22. ∵A 到BC 的距离为d=√3,∴S △ABC =√x 2(16-2x 2)4≤4√22x 2+(16-2x 2)2=√2, 当且仅当2m 2=16-2m 2,即m=±2时,上式等号成立.故△ABC 面积的最大值为√2.。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2， 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ． 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ． 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ． 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2， 即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。

模块质量检测(一)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析： 由“a ＝2”可以推出“(a －1)(a －2)＝0”，但由“(a －1)(a －2)＝0”应推出“a ＝1或a ＝2”，不一定推出“a ＝2”，故“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分而不必要条件．答案： A2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0解析： 全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故为C. 答案： C3．在如图正方体中，下列各式中的运算结果为向量AC 1→的有( ) ①(AB →＋BC →)＋CC 1→②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析： ∵(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→，∴①正确， (AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→，∴②正确，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→，∴③正确， (AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→，∴④正确，故选D. 答案： D4．若a ＝(1，x,2)，b ＝(2，－1,2)，a 与b 夹角的余弦值为89，则x 等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析： cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝6－x 3·5＋x 2＝89，解得x ＝－2或x ＝255，故选C.答案： C5．如果命题“¬(p 或q )”是假命题，则下列命题正确的是( ) A ．p ，q 都是真命题 B ．p ，q 中至少有一个真命题 C ．p ，q 都是假命题 D ．p ，q 中至多有一个真命题 解析： 命题“¬(p 或q )”是假命题，则命题“p 或q ”是真命题，所以p ，q 中至少有一个真命题．故选B.答案： B6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( )A ．－14B ．－4C ．4D ．－14解析： 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m <0，且双曲线方程为－x 24＋y 2＝1，∴m ＝－14.答案： A7．若拋物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，±24 B.⎝⎛⎭⎫18，±24C.⎝⎛⎭⎫14，24D.⎝⎛⎭⎫18，24 解析： 点P 到准线的距离即点P (x 0，y 0)到焦点的距离，得|PO |＝|PF |，过点P 所作△POF 的高也是中线．∴x 0＝18，代入到y 2＝x 得y 0＝±24，∴P ⎝⎛⎭⎫18，±24.故选B.答案： B 8．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32D ．1解析： 由a ·b ＝0及(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a |＝2，|b |＝3，所以λ＝32，故选A.答案： A9．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析： 由题意知(4，－2)在y ＝－b a x 上，即b a ＝12，∴b 2a 2＝14即c 2－a 2a 2＝14 ∴c 2a 2＝54，∴e ＝52，故选D. 答案： D10．如右图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 解析：以A 为坐标原点，AC 、AB 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，QP →＝(0，－1,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 所成角为π2.答案： D11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 解析： ∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ba＝ 3.①∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上，∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27，此双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案： B 12.如图所示，在几何体A -BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E为CD 中点，则AE 的长为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析： A E →＝A B →＋B C →＋C E →， ∵|A B →|＝|B C →|＝1＝|C E →|，且A B →·B C →＝A B →·C E →＝B C →·C E →＝0. 又∵A E →2＝(A B →＋B C →＋C E →)2，∴A E →2＝3，∴AE 的长为 3. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2012·菏泽十校联考)若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}是假命题，则x 的取值范围是________．解析： ∵x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}是假命题， ∴x ∈[2,5]为假且x ∈{x |x ＜1或x ＞4}为假， ∴x ∈(－∞，2)∪(5，＋∞)且x ∈[1,4]， ∴x ∈[1,2)． 答案： [1,2)14．(2012·福州高级中学期末)已知A (2，－1,1)，B (1，x,4)，C (4，－3，－5)，若向量AB →∥AC →，则x ＝________.解析： ∵AB →＝(－1，x ＋1,3)，AC →＝(2，－2，－6)， 且AB →∥AC →， ∴AB →＝λAC →，即(－1，x ＋1,3)＝λ(2，－2，－6)∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝－1－2λ＝x ＋1，－6λ＝3解得λ＝－12，x ＝0.答案： 015．已知双曲线y 29－x 2m2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1，则m ＝________.解析： 依题意，3m m 2＋9＝1，解得m ＝324. 答案： 32416．(2011·唐山高二检测)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→最小值为________．解析： A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)， P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，又x 2－y 23＝1，故y 2＝3(x 2－1)，于是P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－5－116， 当x ＝1时，取到最小值－2.答案： －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．解析： p ：Δ＝m 2－4＞0，且m ＞0，解得m ＞2. q ：Δ＝16(m －2)2－16＜0，解得1＜m ＜3. ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 、q 两命题一真一假，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3.解得m ≥3或1＜m ≤2.18．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解析： 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)} ＝{x |3a ＜x ＜a (a ＜0)}，B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8＞0} ＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8＞0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4，或x ＞2} ＝{x |x ＜－4或x ≥－2}． ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴¬q ⇒¬p ，且¬p ⇒/ ¬q ， ∴{x |－4≤x ＜－x |x ≤3a ，或x ≥a (a ＜0)}， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a ＜0. 即－23≤a ＜0或a ≤－4.19．(12分)(2011·南通高二检测)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C .(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．解析： (1)设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1.由于x ≠±2，所以求得的曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋1，消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－4k 1＋2k 2.(x 1，x 2分别为M ，N 的横坐标)由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪4k 1＋2k 2＝432，解得k ＝±1.所以直线l 的方程x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．解析： 方法一：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，PD ⊂平面PCD ， DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC . 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13·22·h ＝13，得h ＝ 2.因此，点A 到平面PBC 的距离为 2.方法二：建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，则P (0,0,1)，C (0,1，0)，B (1,1,0)．(1)证明：PC →＝(0,1，－1)，BC →＝(－1,0,0)． ∵PC →·BC →＝0×(－1)＋1×0＋(－1)×0＝0， ∴PC ⊥BC .(2)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·BC →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＝0.令y ＝1得n ＝(0,1,1)． 又因为A (1，－1,0)，AB →＝(0,2,0)，所以点A 到平面PBC 的距离d ＝|AB →·n ||n |＝|(0，2，0)·(0，1，1)|11＋12＝ 2.21．(12分)(2011·北京卷)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解析： (1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1得，4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0 ① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.22．(12分)，如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.(1)设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算ABAQ的值；(2)求二面角O －AC －B 的平面角的余弦值．解析： (1)证明：取O 为坐标原点，分别以OA ，OC 所在直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz (如图所示)则A (1,0,0)，C (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，0，∵P 为AC 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，12.设AQ →＝λAB →，且λ∈(0,1)，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，∴OQ →＝OA →＋AQ →＝(1,0,0)＋λ⎝⎛⎭⎫－32，32，0＝⎝⎛⎭⎫1－32λ，32λ，0，∴PQ →＝OQ →－OP →＝⎝⎛⎭⎫12－32λ，32λ，－12，∵PQ ⊥OA ，∴PQ →·OA →＝0， 即12－32λ＝0，λ＝13， 因此存在点Q ⎝⎛⎭⎫12，36，0，使得PQ ⊥OA 且AB AQ ＝3.(2)记平面ABC 的法向量为n ＝(n 1，n 2，n 3)，则由n ⊥CA →，n ⊥AB →，且CA →＝(1,0，－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1－n 3＝0－32n 1＋32n 2＝0，故可取n ＝(1，3，1)，又平面OAC 的法向量为e ＝(0,1,0)，于是cos 〈n ，e 〉＝155，所以所求二面角的余弦值为155.。