2019-2020学年甘肃省天水市甘谷一中高一上学期期末数学试题及答案解析

甘谷一中2019——2020学年第一学期高一第二次月考数学试题一、单选题1.满足条件{}{}0,10,1A ⋃=的所有集合A 的个数是( ) A.1个B.2个C.3个D.4个【参考答案】D 【试题分析】由{}{}0,10,1A ⋃=易知：集合A ⊆{}0,1,而集合{}0,1的子集个数为22＝4 故选D2.如图所示是水平放置三角形的直观图,点D 是ABC ∆的BC 边中点,AB ,BC 分别与y '轴、x '轴平行,则三条线段AB ,AD ,AC 中( ).A.最长的是AB ,最短的是ACB.最长的是AC ,最短的是ABC.最长的是AB ,最短的是ADD.最长的是AC ,最短的是AD【参考答案】B 【试题分析】根据直观图可得竖直放置的ABC ∆,根据其形状可得到三条线段AB 、AD 、AC 长的大小关系. 竖直放置的ABC ∆如图所示：因为在直观图中,AB A B ''P ,故在图中,AB y ∥轴,同理,BC x ∥轴, 所以ABC ∆为直角三角形,故AC AD AB >>, 故选：B.本题考查斜二测画法,其关键是“横等竖半”即平行于x 的线段长度不变,平行于y 轴的线段长度变成原来的一半,如果知道直观图,只需要“横等竖倍”还原即可.3.在同一直角坐标系中,函数()(0)a f x x x =≥,()log a g x x =的图像可能是( )A. B.C. D.【参考答案】D 【试题分析】分别比较两函数的定义域相同时,a 的取值范围. 选项A 没有幂函数图象,排除A ,选项B ,()(0)af x x x =≥中1a > ,()log a g x x =(0)x >中01a <<,不符. 选项C ,()(0)af x x x =≥中01a <<,()log a g x x =(0)x >中1a >,不符. 选项D, ()(0)af x x x =≥中01a <<,()log a g x x =(0)x >中01a <<,符合.故选：D.本题主要考查指数函数和对数函数的图象辨析.4.如图,是⊙O 直径,是圆周上不同于的任意一点,平面,则四面体的四个面中,直角三角形的个数有( )A.4个B.3个C.1个D.2个【参考答案】A 【试题分析】AB 是圆O 的直径,可得出三角形ABC 是直角三角形,由PA ⊥圆O 所在的平面,根据线垂直于面性质得出三角形PAC 和三角形PAB 是直角三角形,同理可得三角形PBC 是直角三角形. ∵AB 是圆O 的直径,∴∠ACB ＝90o ,即BC AC ⊥,三角形ABC 是直角三角形.又∵PA ⊥圆O 所在的平面,∴三角形PAC 和三角形PAB 是直角三角形,且BC 在此平面中,∴BC ⊥平面PAC ,∴三角形PBC 是直角三角形.综上,三角形PAB ,三角形ABC ,三角形PBC ,三角形PAC .直角三角形数量为4. 故选：A.考查线面垂直的判定定理和应用,知识点较为基础.需多理解.难度一般. 5.下列四个命题中,正确命题的个数为( )①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈,M β∈,l αβ=I ,则M l ∈； ④空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A.1B.2C.3D.4【参考答案】A 【试题分析】试题分析：如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合或者是相交,故(1)不正确； 两条异面直线不能确定一个平面,故(2)不正确； 若M ∈α,M ∈β,α∩β＝l ,则M ∈l ,故(3)正确；空间中,相交于同一点的三直线不一定在同一平面内(如棱锥的3条侧棱),故(4)不正确,综上所述只有一个说法是正确的, 故选A .6.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A.4倍B.3倍倍D.2倍【参考答案】D 【试题分析】由题意,求出圆锥的底面面积,侧面面积,即可得到比值. 圆锥的轴截面是正三角形,设底面半径为r ,则它的底面积为πr 2； 圆锥的侧面积为：12⨯2r π•2r ＝2πr 2； 圆锥的侧面积是底面积的2倍. 故选D .本题是基础题,考查圆锥的特征,底面面积,侧面积的求法,考查计算能力. 7.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( ) A.163π B.323π C.643π D.2563π 【参考答案】B 【试题分析】先求球半径,再求球体积. 因为24π=16πR ,所以34322,ππ33R V R ===,选B. 本题考查球表面积与体积,考查基本求解能力,属基础题.8.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形,那么这个圆柱的体积是 A.2πB.1π C.22πD.21π【参考答案】A 【试题分析】由题意求出圆柱的高和底面圆半径,再求圆柱的体积.由题意可知,圆柱的高为2,底面周长为2,故半径为1π,所以底面积为1π,所以体积为2π,故选A.本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题,是基础题.9.在如图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱1CC的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )A.30oB.45oC.60oD.90o【参考答案】C【试题分析】将,AC MN平移到一起,根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.连接1111,,AC BC A B如下图所示,由于,M N 分别是棱BC和棱1CC的中点,故1//MN BC,根据正方体的性质可知11//AC A C,所以11AC B∠是异面直线,AC MN所成的角,而三角形11A BC为等边三角形,故1160A C B∠=o.故选C.本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法,考查空间想象能力,属于基础题.10.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积为( )A.224cm πB.218cm πC.245cm πD.248cm π【参考答案】A 【试题分析】分析：根据正视图,左视图,俯视图可得该几何体为圆柱,然后根据圆柱表面积公式求解即可. 详解：由题得该几何体为圆柱,底面半径为2,高为4,所以表面积为：22281624S r rh πππππ=+=+=,故选A.：考查三视图,能正确推理出几何体的形状是解题关键,属于基础题.11.已知()f x 是偶函数,它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f >,则x 的取值范围是( )A.1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()10,10,10骣琪??琪桫C.1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D.()()0,110,⋃+∞【参考答案】B 【试题分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可. ∵f (x )是偶函数,它在[0,＋∞)上是增函数,若f (lgx )＞f (1). ∴不等式等价为f (|lgx |)＞f (1), 即|lgx |＞1,即lgx ＞1或lgx ＜﹣1, 即x ＞10或0＜x 110＜. 故选B .本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键.12.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.814πB.16πC.24πD.274π【参考答案】A 【试题分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高PE 上,求出球的半径即可求出球的表面积. 解：如图,正四棱锥P ABCD -中,PE 为正四棱锥的高,根据球的相关知识可知,正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上延长PE 交球面于一点F ,连接,AE AF ,由球性质可知PAF△直角三角形且AE PF ⊥,根据平面几何中的射影定理可得2PA PF PE =⋅, 因为22222222AB BC AE ++===,所以侧棱长222421832PA PE AE =+=+==,2PF R =,所以824R =⨯,所以94R =. 所以28144S R ππ== 故选A本题考查球的表面积球的内接几何体问题考查计算能力,是基础题.二、填空题13.下列命题正确的有________(只填序号)①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内; ②若直线l 上有无数个点不平面α内,则l ∥α;③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交; ④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的直线平行或异面; ⑤若平面α∥平面β,直线a ⊂α,直线b ⊂β,则直线a ∥b . 【参考答案】①④ 【试题分析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理,对五个命题逐一分析,由此得出正确命题的序号. 对于①,根据公理1,直线有两个点在平面内,则直线在平面内,故①正确. 对于②,当直线和平面相交时,直线上有无数个点不在平面内,故②错误.对于③,若两条异面直线中的一条与一个平面平行,另一条直线可能在该平面内,故③错误. 对于④,当直线和平面平行时,与平面没有公共点,故直线和平面内的直线平行或异面,故④正确. 对于⑤,,a b 两条直线可能异面,故⑤错误. 综上所述,正确的命题序号是：①④. 故填：①④.本小题主要考查空间中线线、线面和面面位置关系的命题真假性判断,属于基础题.14.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为,2,则其外接球的表面积为__________. 【参考答案】8π； 【试题分析】设长方体的外接球的半径为R ,则长方体的对角线长等于外接球的直径,即2R =解得R = 所以外接球的表面积为248S R ππ==.15.设2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则1(())f f e -=__________.【参考答案】2- 【试题分析】先求1f e ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再求1f f e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22111f e e e⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22111ln 2f f f e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为－2本题考查分段函数求值,属于简单题型.16.如图,已知三棱锥S ABC -中,3SA SB CA CB ====,2AB =,2SC =,则二面角S AB C--的平面角的大小为______.【参考答案】60° 【试题分析】取AB 中点D ,由等腰三角形三线合一可知SD AB ⊥,CD AB ⊥；由二面角平面角定义可知SDC ∠为所求角,根据长度关系可知SDC ∆为等边三角形,从而得到结果. 取AB 中点D ,连接,SD CDSA SB =Q ,CA CB =,D 为AB 中点 SD AB ∴⊥,CD AB ⊥ SDC ∴∠即为二面角S AB C --的平面角又SD CD ===SC = SDC ∴∆为等边三角形60SDC ∴∠=o ,即二面角S AB C --的大小为60o故答案为60o本题考查立体几何中二面角的求解问题,关键是能够根据二面角平面角的定义,利用垂直关系在图形中得到二面角的平面角.三、解答题17.已知集合1211|2128,|log ,,3248x A x B y y x x -⎧⎫⎧⎫⎡⎤=≤≤==∈⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭.(1)求集合,A B ；(2)若{}()|121,C x m x m C A B =+≤≤-⊆⋂,,求实数m 的取值范围. 【参考答案】(1)][1,8,3,5A B ⎡⎤=-=-⎣⎦；(2)3m ≤ 【试题分析】(1)解指数不等式可得集合A,根据对数函数的单调性可得集合B ；(2)将集合间的的包含关系转化为不等式组求解可得所求范围. (1)不等式1121284x -≤≤即为217222x --≤≤, 所以217x -≤-≤, 解得18x -≤≤,所以{}|18A x x =-≤≤.因为对数函数2log y x = 在1,328⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以2221log log log 328x ≤≤, 即23log 5x -≤≤, 所以{}|3y 5B y =-≤≤. (2)由(1)得{}|15A B x x ⋂=-≤≤.①当C =∅时,满足()C A B ⊆⋂,此时121m m +>-, 解得2m <.②当C≠∅时,由()C A B⊆⋂得121{11215m mmm+≤-+≥--≤,解得23m≤≤,综上3m≤.所以实数m的取值范围是(],3-∞.(1)集合的运算常与不等式的解法结合在一起考查,体现知识间的综合.(2)根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,一般要借助于数轴将其转化为不等式(组)求解,解题时一定要注意不等式中的等号是否能成立,解题的关键是正确理解集合包含关系的定义.18.在四棱锥P ABCD-中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC AC⊥,(1)求证：DC⊥平面PAC(2)求证：平面PAB⊥平面PAC【参考答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【试题分析】(1)要证DC⊥平面PAC,先证DC垂直面中两条相交直线即可.(2)要证面面垂直,先证面中一条直线垂直于另一面即可.(1)PC⊥Q平面ABCD CD⊂平面ABCD,PC CD∴⊥,又DC AC⊥Q,且PC AC C=I,CD\^平面PAC.(2)CD⊥Q平面PAC,且AB∥DC,AB∴⊥平面PAC,又ABÌ平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAC考查线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理.难度一般.19.已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数,当x＞0时,f(x)＝x2＋2x.(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式f(t﹣2)＋f(2t＋1)＞0成立,求实数t的取值范围.【参考答案】(1)f(x)＝；(2)(,＋∞).【试题分析】 试题分析：(1)运用奇函数的定义,可得x ＜0的解析式,进而得到f(x)的解析式；(2)求出f(x)在R 上递增.不等式f(t ﹣2)＋f(2t ＋1)＞0即为f(1＋2t)＞﹣f(t ﹣2)＝f(2﹣t),即有1＋2t ＞2﹣t,解不等式即可得到所求范围.解：(1)∵函数f(x)是定义域为R 上的奇函数,∴f(x)＝﹣f(﹣x)又∵当x ＞0时,f(x)＝x 2＋2x.若x ＞0,则﹣x ＜0.f(﹣x)＝(﹣x)2＋2(﹣x)＝x 2﹣2x∴f(x)＝﹣f(﹣x)＝2x ﹣x 2.∴f(x)＝；(2)当x ＞0时,f(x)＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2﹣1,区间(0,＋∞)在对称轴x ＝﹣1的右边,为增区间,由奇函数的性质,可得f(x)在R 上递增.不等式f(t ﹣2)＋f(2t ＋1)＞0即为f(1＋2t)＞﹣f(t ﹣2)＝f(2﹣t),即有1＋2t ＞2﹣t,解得t ＞则t 的取值范围是(,＋∞).考点：函数与方程的综合运用.20.(本题满分10分)如图,在长方体1111ABCD A B C D 中,底面ABCD 为正方形,AC 为底面ABCD 的对角线,E 为1D D 的中点.(Ⅰ)求证：1D B AC ⊥.(Ⅱ)求证：1D B ∥平面AEC .【参考答案】详见解析【试题分析】试题分析：(1)要证明1D B AC ⊥ ,即证明AC ⊥平面1BDD ,进而转证线线垂直即可；(2)要证明1D B P 平面AEC ,转证线线平行即可.试题解析：(1)证明：连接BD .∵在四棱柱1111ABCD A B C D -中,1DD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴1DD AC ⊥.∵四边形ABCD 是正方形,∴AC BD ⊥.又∵1BD DD D ⋂=,∴AC ⊥平面1BDD .∵1D B ⊂平面1BDD ,∴1D B AC ⊥.(2)证明：设BD AC O ⋂=,连接OE .∵ABCD 是正方形,∴O 是BD 中点,又∵E 是1DD 中点,∴1D B DE P .∵1D B ⊄平面AEC ,OE ⊂平面AEC ,∴1D B P 平面AEC .21.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ,2PA =,45PDA ∠=︒,点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.(1)求证：AF ∥平面PCE ；(2)求点C 到平面ABF 的距离.【参考答案】(1)证明见解析；2【试题分析】(1)取PC 的中点G ,连接GF ,证明AEGF 是平行四边形,得到AF ∥平面PCE .(2)先计算23F ABC V -=,根据等体积法得到223C ABF h V -==,计算得到答案.(1)取PC 的中点G ,连接GF ,因为F 为PD 的中点,所以,GF ∥CD 且12GF CD = 又E 为AB 的中点,ABCD 是正方形,所以,AE ∥CD 且12AE CD =,故AE ∥GF 且AE GF =所以,AEGF 是平行四边形,故AF ∥EG ,而AF ⊄平面PCE ,EG ⊂平面PCE ,所以,AF ∥平面PCE .(2)点F 到平面ABC 的距离为1,2ABC S ∆=,∴12133F ABC ABC V S -∆=⋅⋅= ∵122ABF S AB AF ∆=⋅⋅=∴1233C ABF ABF hV S h -∆=⋅⋅=F ABC C ABF V V --=,解得2h =即点C 到平面ABF 2本题考查了线面平行,点到平面的距离,利用等体积法可以简化运算,是解题的关键.22.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ,Q 在正视图中所示位置,P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在几何体侧面的表面上,从P 点到Q 点的最短路径的长.【参考答案】(1)()225S a π=+表；(2)21a π+ 【试题分析】(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体,底面圆半径长a ,圆柱高为2a ,圆锥高为a .(2)将圆柱侧面展开,在平面矩形内线段PQ 长为所求.(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和. ()()212222S a a a ππ=⋅=圆锥侧,()()2224S a a a ππ=⋅=圆柱侧,2S a π=圆柱底, 所以()22222425S a a a a ππππ=++=+表. (2)沿P 点与Q 点所母线剪开圆柱侧面,如图.则()2222PQ AP AQ a a π=+=+21a π=+,所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为21a π+本题考查由三视图求面积,解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量,再由公式求出表面积,还考查曲面距离最值问题,采用化曲面为平面的办法.须具有空间想象能力、转化、计算能力. 此处有视频,请去附件查看】。

甘肃天水市第一中学2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题(总分150分，120分钟)一、选择题（本大题共12小题，每小5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A. {}1,3- B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.命题“0x ∀>，2230x x -->”的否定是（ ）A. 00x ∃>，200230x x --< B. 00x ∃>，200230x x --≤ C. 00x ∃>，200230x x -->D. 00x ∃>，200230x x --≥【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词否定规则直接得到结果.【详解】由全称量词的否定的规则可得其否定为：00x ∃>，200230x x --≤故选：B【点睛】本题考查含量词命题的否定，关键是能够明确其否定方法为：全称量词变特称量词或特称量词变全称量词，只否定结论，属于基础题.3.设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <.据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A. a ＋c >b －c B. (a －b )c 2>0C. a 3>b 3D. a 2>b 2【答案】C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误．【详解】选项A 错，因为a b >，当c<0时，如2,1,2a b c ===-． 选项B 错，因为当c=0时，不等式不成立．选项C 对，因为是立方，所以成立．当0a b >≥时，33a b >．当0a b ≥>时，330a b ≥>．当0a b >>时，0a b -<-<,所以33()()a b -<-，即33a b >．选项D 错，如1,2a b ==-，代入不等式不成立．选C.【点睛】本题考查不等式性质：当0a b >>时，则n n a b >（n R ∈），注意只有正数才能用这个性质．5.函数{}{}:1,3,51,3,5f →满足()()f f x f x =⎡⎤⎣⎦，则这样的函数个数共有（ ）A. 1个B. 4个C. 8个D. 10个【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，分别在一对一映射，三对一映射和三对二映射三种情况下讨论得到函数个数.【详解】若f 为一对一映射，则()11f =，()33f =，()55f =，只有1个函数； 若f 为三对一映射，则()()()1351f f f ===或3或5，共有3个函数；若f 为三对二映射，则从{}1,3,5中选出两个元素作为象，共3种选择，其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身，而另一个原象可以选择两个象中的任意一个，共有2种选择如：象为{}1,3，则()11f =，()33f =，()51f =或3∴共有326⨯=种选择，即共有6个函数综上所述：共有满足题意的函数个数为13610++=个 故选：D【点睛】本题考查函数概念的应用，关键是能够根据对应关系准确的进行分类讨论. 6.已知函数()211x f x x -=+，则()f x =（ ） A. 在(),0-∞上单调递增 B. 在()0,+∞上单调递增 C. 在(),0-∞上单调递减 D. 在()0,+∞上单调递减【答案】B 【解析】试题分析：由已知得()()2132132111x x f x x x x +--===-+++，其定义域为()(),11,-∞-⋃-+∞，根据幂函数的性质得函数在(),1-∞-和()1,-+∞上分别是增函数，所以它在()0,+∞上为增函数. 考点：幂函数的性质及应用.7.已知()f x 是R 上的奇函数，对x ∈R 都有()()()42f x f x f +=+成立，若()12f -=-，则()3f =（ ）A. 2-B. 1-C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性可得()()22f f -=-，令2x =-求得()2f ，从而得到()f x 周期为4，进而()()31f f =-.【详解】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()()22f f ∴-=-令2x =-，则()()()2422f f f -+=-+，即()20f =()()4f x f x ∴+=，即()f x 周期为4 ()()312f f ∴=-=-故选：A【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，关键是能够利用周期性和赋值法求得函数的周期，进而利用周期性推导得到结果.8.若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A. [－8，－3] B. [－5，－1]C. [－2，0]D. [1，3]【答案】C 【解析】 【分析】由函数()f x 的值域与(3)f x +的值域相同，代入函数()F x 中，容易求得函数()F x 的值域，得到结果.【详解】因为1()3f x ≤≤，所以1(3)3f x ≤+≤， 所以3(3)1f x -≤-+≤-，所以21(3)0f x -≤-+≤， 即()F x 的值域为[2,0]-， 故选C.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，涉及到的知识点有左右平移不改变函数的值域，不等式的性质，属于简单题目. 9.下列正确的是( ) A. 若a ，b ∈R ，则2b aa b+≥B. 若x <0，则x ＋4x ≥－ 4 C. 若ab ≠0，则22b a a b a b+≥+D. 若x <0，则2x ＋2－x >2 【答案】D 【解析】对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，若x <0，则x ＋4x ＝－4x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭≤－＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 选项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，2b a＋2a b＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 选项不成立；对于D ，若x <0，则2x ＋2－x>2成立．故选D.10.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A. 118元 B. 105元C. 106元D. 108元【答案】D 【解析】设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108，故选D. 11.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则由A. ()()π1π3f f f ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B. ()()π1π3f f f ⎛⎫>->- ⎪⎝⎭C. ()()ππ13f f f ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭D. ()()π1π3f f f ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先根据偶函数性质将自变量转化到区间[0,4]，再根据单调性确定大小关系.【详解】因为偶函数()y f x =，所以()()()()11,?ππf f f f -=-=， 因为π1π3<<，且()y f x =在区间[]0,4上单调递减，， 所以()()π1π3f f f ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭，选A.【点睛】利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性、对称性、周期性转化为单调区间上函数值，然后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.12.()f x 是定义在区间[],c c -上的奇函数，其图象如图所示；令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的叙述正确的是（ ）A. 若0a <，则函数()g x 的图象关于原点对称B. 若1a =，02b <<，则方程()0g x =有大于2的实根C. 若2a =-，0b =，则函数()g x 的图象关于y 轴对称D. 若0a ≠，2b =，则方程()0g x =有三个实根 【答案】B 【解析】 【分析】A 选项：当0b ≠时，()g x 不是奇函数，不关于原点对称，A 错误；B 选项：将问题转化为()y f x =与y b =-的交点横坐标的大小问题，通过b -的范围可确定一个交点的横坐标大于2，B 正确；C 选项：根据奇偶性定义可知()g x 为奇函数，C 错误；D 选项：将问题转化为()y f x =与2y a=-交点个数问题，当01a <<时无交点可确定D错误.【详解】A 中，()()()g x af x b af x b -=-+=-+，若0b ≠，则()()g x g x -≠-()g x ∴图象在0b ≠时，不关于原点对称，A 错误；B 中，()()0g x f x b =+=，即()f x b =-02b << 20b ∴-<-<由图象可知，()y f x =与y b =-有一个交点的横坐标大于2()0g x ∴=存在大于2的实根，B 正确；C 中，()()2g x f x =- ()()()()22g x f x f x g x ∴-=--==-即()g x 为定义在[],c c -上的奇函数，图象关于原点对称，C 错误；D 中，()()20g x af x =+=，即()2f x a=-当01a <<时，22a -<-，此时()y f x =与2y a=-无交点，D 错误. 故选：B【点睛】本题考查函数图象与函数奇偶性的应用问题，关键是能够将方程根的个数和大小问题转化为两函数交点个数和交点位置的问题，通过数形结合的方式来进行求解.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()f x 是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()2f 的值等于 . 【答案】13【解析】【详解】可设()f x x α=，则有432αα=，即23α=，解得2log 3α=，所以函数()f x 的解析式为()2log 3f x x=，故22log 31log 31112223f ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1()2f 的值为13. 14.偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是_____． 【答案】1233x << 【解析】因为函数f （x ）为偶函数，所以f （|x|）=f （x ），所以要求 f(2x-1)＜f(13)的解集，等价于求解：f （|2x-1|）＜f （|13|）的解集，等价于：|2x-1|＜13，解得：13＜x ＜23，故答案为1233x <<．15.若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ． 【答案】224x -+ 【解析】试题分析：因为f(x)=22(2)2bx a ab x a +++，由f(x)是偶函数知，20a ab +=，解得0a =或2b =-，若0a =，则f(x)=2bx ，其值域不为(－∞，4]，故不适合；若2b =-，则f(x)=2222x a -+，由f(x)的值域为(－∞，4]知，224a =，所以f(x)=224x -+. 考点:函数的奇偶性，二次函数值域 【此处有视频，请去附件查看】16.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分图象过点()30A -,，对称轴为1x =-．给出下面四个结论，其中正确的是_____．①24b ac >；②21a b -=；③0a b c -+=；④5a b <【答案】①④ 【解析】 【分析】由二次函数图象开口方向确定0a <，由对称轴和所过点可构造方程求得2,3b a c a ==-，依次代入判断各个选项即可得到结果.【详解】由题意得：12930ba abc ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得：23b a c a =⎧⎨=-⎩二次函数开口方向向下 0a ∴<22224412160b ac a a a ∴-=+=>，即24b ac >，①正确；2220a b a a -=-=，②错误；2340a b c a a a a -+=--=->，③错误； 520a a b <=<，④正确.故答案为：①④【点睛】本题考查根据二次函数的图象确定参数值和取值范围的问题，关键是能够根据开口方向、对称轴和图象经过的点确定各个参数的值或范围.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步）17.函数()f x =若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】5111a -≤≤. 【解析】试题分析：由()f x 的定义域为R 可知22(1)3(1)60a x a x -+-+≥恒成立，这时要分210a -=和210a -≠两种情况讨论，当210a -=时，比较简单，易得结果，当210a -≠时，函数22(1)3(1)6y a x a x =-+-+为二次函数，要使0y ≥恒成立，由二次函数的图象应有，210,{0a ->∆≤，如此便可求出a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =时，()f x =()f x 的定义域为R ，符合题意；（2）当1a =-时，()f x =，()f x 的定义域不为R ，所以1a ≠-；（3）当1a ≠1a ≠-时，()f x 的定义域为R 知抛物线22(1)3(1)6y a x a x =-+-+全部在x 轴上方（或在上方相切），此时应有，解得5111a -≤<； 综合（1），（2），（3）有a 的取值范围是5111a -≤≤. 考点：二次函数、函数的定义域. 18.已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明函数()f x 在区间()1,1-上是增函数； (3)解不等式()()10f t f t -+<. 【答案】（1）2()(11)1x f x x x =-<<+；（2）详见解析；（3）1(0,)2. 【解析】 【分析】（1）由奇函数得(0)0f =，求得b ，再由已知，得到方程，解出a ，即可得到解析式； （2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式(1)()0f t f t -+<即为(1)()()f t f t f t -<-=-， 得到不等式组，解出即可． 【详解】（1）解：函数2()1ax bf x x+=+是定义在(1,1)-上奇函数， 则(0)0f =，即有0b =，且12()25f =，则1221514a =+，解得，1a =， 则函数()f x 的解析式：2()(11)1x f x x x=-<<+；满足奇函数 （2）证明：设11m n -<<<，则22()()11m n f m f n m n -=-++ 22()(1)(1)(1)m n mn m n --=++，由于11m n -<<<，则0m n -<，1mn <，即10mn ->， 22(1)(1)0m n ++>，则有()()0f m f n -<，则()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）解：由于奇函数()f x 在(1,1)-上是增函数，则不等式(1)()0f t f t -+<即为(1)()()f t f t f t -<-=-，即有111111t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解得021112t t t ⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩， 则有102t <<， 即解集为1(0,)2． 【点睛】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．19.函数()f x 的定义域为()0,∞+且对一切0x >，0y >，都有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，有()0f x >．（1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若()61f =，解不等式()152f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】（1）()10f =；（2）()f x 在定义域()0,∞+上是增函数，证明见解析；（3）()0,4【解析】【分析】（1）令1x =，1y =，代入已知关系式可整理出结果；（2）令210x x >>，可得()()22110x f f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，进而得到单调性； （3）利用()3666f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得()362f =，从而将不等式整理为()()536f x x f +<⎡⎤⎣⎦，根据单调性和定义域可确定不等式组，解不等式组求得解集.【详解】（1）令1x =，1y =，则由()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：()()()1110f f f =-= （2）令210x x >>，则211x x > 210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭ ()()22110x f f x f x x ⎛⎫∴=-> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x > ()f x ∴在()0,∞+上是增函数 （3）()()()3663666f f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭且()61f = ()()36262f f ∴== ∴由()152f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭得：()()536f x x f +<⎡⎤⎣⎦ 由（2）知：()f x 为定义在()0,∞+上的增函数()1050536x x x x ⎧>⎪⎪∴+>⎨⎪+<⎪⎩，解得：04x << ∴不等式的解集为()0,4【点睛】本题考查抽象函数单调性的判断与证明、利用函数单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的关键是能够将所求不等式化为函数值的比较，进而利用单调性转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.20.已知函数()f x 对于任意,x y R ∈，总有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，()213f =-． （1）若,m n R ∈，且m n >，判断()f m 与()f n 的大小关系；（2）求()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值．【答案】（1）()()f m f n <；（2）()f x 在[]3,3-上最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）令0x y ==求得()0f ；令y x =-可证得()f x 为奇函数；取21x x >，可证得()()21f x f x <，得到()f x 单调递减，进而得到所求大小关系；（2）根据单调性可知()()max 3f x f =-，()()min 3f x f =；利用已知得()()331f f =，求得()3f ；根据奇偶性得到()3f -.【详解】（1）令0x y ==，则()()()000f f f += ()00f ∴=令y x =-，则()()()()00f x f x f x x f +-=-== ()f x ∴为R 上的奇函数 任取21x x >，则210x x ->()()()()()2121210f x f x f x f x f x x ∴-=+-=-<，即()()21f x f x <()f x ∴为R 上的减函数，又m n > ()()f m f n ∴<（2）由（1）知：()f x 在[]3,3-上单调递减()()max 3f x f ∴=-，()()min 3f x f =()()()()()()()321111312f f f f f f f =+=++==- ()()332f f ∴-=-= ()f x ∴在[]3,3-上的最大值为2，最小值为2-【点睛】本题考查抽象函数奇偶性和单调性的判断与应用、函数最值的求解；关键是能够通过赋值的方式确定函数的奇偶性，进而利用已知等式，结合单调性的定义判断出函数的单调性.21.经市场调查,某种小家电在过去50天的销售量(台)和价格(元)均为销售时间t (天)的函数,且销售量近似地满足()()2200150,N f t t t t =-+≤≤∈.前30天价格为()()130130,N 2g t t t t =+≤≤∈；后20天价格为()()G 453150,N t t t =≤≤∈. (Ⅰ)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t 的函数关系；(Ⅱ)求日销售额S (元)的最大值.【答案】(Ⅰ) 2406000130,S 909000,3150,t t t t N t t t N ⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩，；(Ⅱ)6400. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据销售额等于销售量乘以售价得S 与t 的函数关系式，此关系式为分段函数； （Ⅱ）求出分段函数的最值即可．【详解】(Ⅰ)当130t ≤≤时,由题知()()()212200304060002f t g t t t t t ⎛⎫⋅=-++=-++ ⎪⎝⎭； 当3150t ≤≤时,由题知()()()452200909000f t g t t t ⋅=-+=-+所以日销售额S 与时间t 的函数关系为2406000130,S 909000,3150,t t t t N t t t N ⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩， (Ⅱ)当130t ≤≤时,()2S 206400t =--+,当20t =时,max S 6400=元；当3150t ≤≤时,S 909000t =-+是减函数，当31t =时,max S 6210=元.因为64006210>,则S 的最大值为6400元.【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.22.已知()()2201f x ax x x =-≤≤ （1）求()f x 的最小值；（2）若()1f x ≥-恒成立，求a 的范围；（3）若()0f x =的两根都在[]0,1内，求a 的范围．【答案】（1）()()(]()min 2,02,,00,11,1,a f x a a a a⎧⎪-=⎪=-∈-∞⋃⎨⎪⎪-∈+∞⎩；（2）[)1,+∞；（3）[)2,+∞【解析】【分析】（1）分别在0a =、0a <、01a <≤和1a >的情况下，得到函数在[]0,1上的单调性，进而求得最小值；（2）将问题转化为2210ax x -+≥恒成立；由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式求得结果；（3）令()0f x =可求得两根，根据根所处范围可构造不等式求得结果.【详解】（1）①当0a =时，()2f x x =-，在[]0,1上单调递减 ()()min 12f x f ∴==- ②当0a <时，()f x 开口方向向下，对称轴为10x a=< ()f x ∴在[]0,1上单调递减 ()()min 12f x f a ∴==-③当0a >时，()f x 开口方向向上，对称轴为10x a => 若01a <≤，则11a ≥ ()f x ∴在[]0,1上单调递减 ()()min 12f x f a ∴==- 若1a >，则101a << ()f x ∴在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ()min 11f x f a a ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭综上所述：()()(]()min 2,02,,00,11,1,a f x a a a a⎧⎪-=⎪=-∈-∞⋃⎨⎪⎪-∈+∞⎩（2）()1f x ≥-恒成立等价于2210ax x -+≥恒成立当0a =时，210x -+≥不恒成立，不合题意当0a ≠时，0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得：1a ≥ 综上所述：a 的取值范围为[)1,+∞（3）令()0f x =，即220ax x -=若0a =，方程仅有一个实数根，不合题意；若0a ≠，则方程两根为10x =，22x a = 201a∴<≤，解得：2a ≥ 综上所述：a 的取值范围为[)2,+∞【点睛】本题考查二次函数最值的求解、一元二次不等式恒成立问题和一元二次方程根的分布问题的求解；考查学生对于二次函数的图象和性质的掌握；易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.。

甘谷一中2019—2020学年第一学期高一第一次月考数学试题一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1.已知{}{}|24,3A x x B x x =-<<=>，则A B I =（ ） A. {}|24x x -<< B. {}|3x x > C. {}|34x x << D. {}|23x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】直接利用交集的概念求解．【详解】由A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞3}， 则A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜4}∩{x |x ＞3}＝{x |3＜x ＜4}． 故选C ．【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题． 2.下列说法正确的是（ ） A. 正数的n 次方根是正数 B. 负数的n 次方根是负数C. 0的n 次方根是0 【答案】C 【解析】 分析】根据n 次方根的知识对选项逐一分析，由此求得正确选项. 【详解】对于A 选项，如4的平方根为2±，故A 选项错误. 对于B 选项，如1-，没有平方根，故B 选项错误. 对于C 选项，0的n 次方根是0，故C 选项正确.对于D 2=是有理数，所以D 选项错误. 故选：C【点睛】本小题主要考查n 次方根的知识，属于基础题.3.满足{1}{1,2,34}A ⊆⊆，的集合A 的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据{1}⊆A ⊆{1，2，3，4}分析出集合A 的所有结果即可．【详解】因为{1}⊆A ⊆{1，2，3，4}，所以A ＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}， 故选D ．【点睛】本题主要考查集合的包含关系，是基础题．4.方程 X 2－PX ＋6＝0 的解集为M ，方程X 2＋6X －q ＝0 的解集为N ，且M∩N ＝｛2｝，那么P ＋q ＝（ ） A. 21 B. 8C. 6D. 7【答案】A 【解析】{}2,2,2;M N M N ⋂=∴∈∈Q 于是有：222260,2620,p q -+=+⨯-=5,1621.p q p q ∴==∴+=故选A5.在下列四组函数中,()()f x g x 与表示同一函数的是 ( )A. ()()211,1x f x x g x x -=-=+B. ()()()01,1f x g x x ==+C. ()(),f x x g x ==D.()()f x g x ==【答案】C 【解析】【详解】A, ()()211,1x f x x g x x -=-=+，定义域不同；B, ()()()01,1f x g x x ==+，定义域不同；C, ()(),f x x g x ==D, ()()f x g x ==故选C.6.函数()13f x x =-的定义域为（ ）． A. (2，3)∪(3，+∞) B. [2，3)∪(3，+∞)C. [2，+∞)D. (3，+∞)【答案】B 【解析】 【分析】解不等式组2030x x -≥⎧⎨-≠⎩可求得函数定义域.【详解】由题意可得：2030x x -≥⎧⎨-≠⎩ 23x x ≥⎧⇒⎨≠⎩[)()2,33,x ⇒∈+∞U本题正确选项：B【点睛】本题考查函数定义域的基本要求，关键在于能够明确偶次根式被开方数大于等于零，分式分母不等于零，属于基础题. 7.若函数f (x )＝1,0(2),0x x f x x +≥⎧⎨+<⎩,则f (－3)的值为( )A. 5B. －1C. －7D. 2【答案】D 【解析】试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值．8.设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{2}M N =I ,则a 值是( ) A. 1或-2 B. 0或1C. 0或-2D. 0或1或-2 【答案】C 【解析】【分析】根据M ∩N ＝{2}，建立元素关系即可得到结论． 【详解】∵M ∩N ＝{2}， ∴a 2+a ＝2或a +2＝2， 即a 2+a ﹣2＝0或a 0=， 即a ＝1或a ＝﹣2或a 0=，当a ＝﹣2时，M ＝{2，3，5}，N ＝{2，0，﹣1}，且M ∩N ＝{2}，满足条件． 当a ＝1时，M ＝{2，3，2}，集合M 不成立，当a 0=时，M ＝{2，3，1}，N ＝{0，2，﹣1}，且M ∩N ＝{2}，满足条件． 故a 2=-或a 0=． 故选C ．【点睛】本题主要考查集合相等的基本概念，集合元素的互异性．注意要对a 进行检验． 9.设A={x|－1≤x＜2}，B={x|x ＜a}，若A∩B≠φ，则a 的取值范围是（ ） A. a ＜2 B. a ＞－2C. a ＞－1D. －1＜a≤2 【答案】C 【解析】在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a >－1.，选C.点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．10.函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是 A. (,2]-∞B. [0,2]C. [1,2]D.[1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【详解】解：作出函数()f x 的图象，如图所示， 当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[1，2]． 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．11.若()f x 是偶函数，且对任意12,x x ∈(0,)+∞且12x x ≠，都有()()21210-f x f x x x -<，则下列关系式中成立的是（ ）A. 123()()()234f f f >->B. 132()()()243f f f >->C. 312()()()423f f f >->D. 321()()()432f f f ->>【答案】A 【解析】 【分析】由于对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），都有()()21210-f x f x x x -<，可得函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，即可得出．【详解】∵对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），都有()()21210-f x f x x x -<， ∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 又∵123234<<， ∴123234f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞， 又∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣23）＝f （23）． ∴123234f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞． 故选A ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题．12.已知函数,1()(32)2,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，在（—∞，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】若函数()()13221ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，，是R 上增函数，则0320232a a a a ⎧⎪-⎨⎪≤-+⎩＞＞，解得答案．【详解】∵函数()()13221ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，，是R 上的增函数，，∴0320232a a a a ⎧⎪-⎨⎪≤-+⎩＞＞，解得a ∈312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数单调性的性质，首先保证每一段单增，再保证分段点处增，属于中档题．第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合{}{}(,)2(,)4M x y x y N x y x y =+==-=、,那么集合M N =I __ 【答案】{(3,1)}- 【解析】 【分析】根据集合交集的定义可以直接求解.【详解】因为{}{}(,)2(,)4M x y x y N x y x y =+==-=、，所以{}2(,)(3,1)4x y M N x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⋂==-⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解二元一次方程组. 14.若函数()211f x x +=-，则()2f =________.【答案】0 【解析】 【分析】令x=1代入即可求出结果.【详解】令1x =，则()()211110f f =+=-=. 【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.15.若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ． 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦.考点：抽象函数定义域． 16.对于函数()y f x =，定义域为，以下命题正确的是（只要求写出命题的序号）①若(1)(1),(2)(2)f f f f -=-=，则()y f x =是D 上的偶函数； ②若对于，都有，则()y f x =是D 上的奇函数；③若函数()y f x =在D 上具有单调性且则()y f x =是D 上的递减函数；④若(1)(0)(1)(2)f f f f -<<<，则()y f x =是D 上的递增函数． 【答案】②③ 【解析】因为根据偶函数的定义可知，要满足定义域内任何一个变量满足f(x)=f(-x),故命题1错误．命题2，若对于，都有，则()y f x =是D 上的奇函数；符合定义成立，命题3若函数()y f x =在D 上具有单调性且则()y f x =是D 上的递减函数；成立④若(1)(0)(1)(2)f f f f -<<<，则()y f x =是D 上的递增函数．不符合单调性的定义，错误．故填写②③三.解答题（本题共6个题，共70分.要求写出必要的文字说明和解题过程.）17.计算（1）()120.52312220.0144--⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若()130a aa -+=>，求1122a a -+值.【答案】（1）1615（25【解析】 【分析】（1）根据指数运算公式，化简求得表达式的值. （2）利用平方的方法，求得所求表达式的值.【详解】（1）原式()1122221312111610.110.11424361015-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⋅-=+⋅-=+-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）由于0a >，所以111122220,0,0a aa a-->>+>.21112225a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以11225a a-+=.【点睛】本小题主要考查指数运算，考查完全平方公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18.设{}2|40A x x x =+=，(){}22|2110B x x a x a =+++-=.若A B A ⋃=，求实数a 的值. 【答案】【解析】 【分析】先求出集合A ，再根据A B A ⋃=得到B A ⊆，分别讨论B φ=与B φ≠即可求出结果. 【详解】因为{}{}2|404,0A x x x =+==-，由A B A ⋃=可得B A ⊆，因为(){}22|2110B x x a x a =+++-=，（1）若B φ=，则()()22Δ41410a a =+--<，解得1a <-；（2）若B φ≠，则4B -∈或0B ∈； 当4B -∈时，()()2248110a a --++-=，即2870a a -+=，解得1a =或7a =；若1a =，则方程()222110x a x a +++-=可化为240x x +=，解得0x =或4-， 即{}4,0B =-满足A B A ⋃=，故1a =符合题意；若7a =，则方程()222110x a x a +++-=可化为216480x x ++=，解得12x =-或4-，不合题意，故7a =舍去； 当0B ∈时，210a -=，解得1a =±，1a =已验证满足题意；若1a =-，则方程()222110x a x a +++-=可化为20x =，解得0x =，即{}0B =，满足A B A ⋃=，故1a =-满足题意；综上所述：实数a 的取值范围是1a ≤-或1a =.【点睛】本题主要考查根据集合间的关系求参数的问题，属于常考题型.19.若函数()f x 是定义在[-1，1]上的减函数，且(1)(21)0f a f a ---<,求实数a 的取值范围.【答案】203a ≤< 【解析】 【分析】利用函数的单调性列出不等式组，求解即可． 【详解】因为(1)(21)0f a f a ---< 所以(1)(21)f a f a -<-又因为()f x 是定义在[-1,1]上的减函数所以有1211111211a a a a ->-⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩解得020123a a a ⎧⎪≤≤⎪≤≤⎨⎪⎪<⎩，所以203a ≤<即满足条件的a 的取值范围为203a ≤<【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查计算能力． 20.已知函数2()(0)1axf x a a x =≠-为常数且， 定义域为11-（，） （1）证明函数()f x 是奇函数；（2）若1,a =试判断并证明()11f x -在（，）上的单调性【答案】（1）见解析；（2）减函数．【解析】【详解】(1)先确定函数的定义域关于原点对称，再根据奇函数的定义判断f(-x)=-f(x)即可证明.（2）当a=1时，利用函数单调性的定义证明分三个步骤：第一步在区间内取两个不同的值，第二步作差比较两个函数值的大小，第三步得出结论.21.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x <时2(1)2f x x x =++.（1）求函数()f x 的表达式；（2）请画出函数()f x 的图象；（3）写出函数()f x 的单调区间.【答案】（1）()f x =2221,00,021,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩；（2）见解析；（3）递增区间是(1,0),(0,1)-；递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义求解函数的解析式．（2）利用函数的解析式画出函数的图象即可．（3）结合函数的图象，写出函数的单调区间即可．【详解】（1）设20,0,()21x x f x x x >-<∴-=-+则又()f x 是定义在R 上的奇函数, ()()f x f x ∴-=-所以2()21,(0)f x x x x =-+->当0x =时,(0)0f = 所以()f x =2221,00,021,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩（2）图象：（3）递增区间是(1,0),(0,1)-递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞【点睛】本题考查函数的图象以及函数的单调性的判断，函数的解析式的求法，考查计算能力．22.若二次函数满足(1)()2f x f x x +-=.且(0)1f =(1)求()f x 的解析式；(2)若在区间[-1,1]上不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f （x ）＝ax 2+bx +c ，由f （0）＝1得c 值，由f （x +1）﹣f （x ）＝2x 可得a ，b 的值，从而问题解决；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f （x ）＞2x +m 恒成立，只须x 2﹣3x +1﹣m ＞0，也就是要x 2﹣3x +1﹣m 的最小值大于0即可，最后求出x 2﹣3x +1﹣m 的最小值后大于0解之即得．【详解】（1）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，则2(1)(1)(1)f x a x b x c +=++++ (0)11f c =∴=Q又(1)()2f x f x x +-=Q∴2(1)(1)a x b x c ++++-22ax bx c x --=即22ax a b x ++=220a a b =⎧∴⎨+=⎩解得1,1a b ==- 2()1f x x x ∴=-+（2）不等式()2x m f x >+化为231x x m -+>在区间[-1,1]上不等式()2x m f x >+恒成立∴在区间[-1,1]上不等式231x x m -+>恒成立只需2min (31)m x x <-+在区间[-1,1]上，函数223531()24y x x x =-+=--是减函数 ∴2min (31)1x x -+=-所以1m <-.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．。

天水一中高一2019-2020学年度第一学期第三学段（期末）考试数学试题一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线10x -=的倾斜角为( )A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒ 2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）A. )π１B. 4πC. 3πD. 5π3.直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则a 的值等于( )A. -1或3B. 1或3C. -3D. -14.下列函数中，值域为[)0，+∞的偶函数是 A. 21y x =+ B. lg y x = C. 3y x = D. y x = 5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m α⊥，//n α，则m n ⊥②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥③若//m α，//n α，则//m n④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④6.直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为A 2个B. 1个C. 0个D. 不确定7.函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）8.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C中心，则AD 与平面ABC 所成角的大小是（ ） .A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o9.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()(2,0,0A B ，，()(0,2,0C D ，.若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A. 123S S S =<B. 123S S S =>C. 123S S S <=D. 123S S S >= 10.已知四棱锥S ABCD -底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）A. 123θθθ≤≤B. 321θθθ≤≤C. 132θθθ≤≤D. 231θθθ≤≤ 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111D C B A 内一动点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之比为_________．12.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是________． 13.已知点(,)P x y 在22(2)3x y ++=上，求y x的最小值________． 14.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______.三、解答题（共4小题，44分，请在答题卡上写清必要的解题过程）15.已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线y 12=x 上. （1）求圆的标准方程； 的（2）求圆上的点到直线3x ﹣4y+23＝0的最小距离.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设AB 的中点D ，11B C BC E =I .求证：（1）DE P 平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥.17.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室111ABC A B C -,11A ABB 是边长为2的正方形．（1）若111C D A B ⊥，D 在11A B 上，四面体11DBB C 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角：若不是，请说明理由；（2）当阳马111A C CBB -的体积最大时，求点1B 到平面1A BC 的距离．18.已知圆22:(4)1M x y +-=，直线:20l x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）若60APB ∠=o ，求P 点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,2)，过P 作直线与圆M 交于C 、D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．。

甘肃省天水市一中高一上学期期末考试（数学）一、选择题（本大题共10小题；每小题4分，共40分）在每小题给出的四个结论中，只有一项是符合题要求的1. α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α=( ) A ．513 B ．513- C ． 512 D ．512-2．已知函数()f x =M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=( )A.{|1}x x >- {|1}x x < C.{|11}x x -<< D.∅3.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）A.y =－xB.y = 11-x C.y =3－2x D.y =－x 2+2x +14、已知命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列复合命题中，真命题的是（ ） A.p q 且 B.p q ⌝⌝且 C.p q ⌝⌝或 D.p q ⌝或 5．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，6. 等比数列{a n }中，5451,8,16,0a a a a a n 则==>的值为 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）8. 已知55sin =α,则αα44cos sin -的值为 ( )（A ）53-（B ）51-（C ）51 （D ）539．下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<<10．已知函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是( ) A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞二、填空题（本大题共四个小题；每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上11若4sin ,tan 05θθ=->且，则cos θ= .12．已知函数))2((,0,3,0,21log )(2f f x x x x f x 则⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=的值为 。

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上.2.答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算法则进行计算可得答案.【详解】解：由集合，，可得，故选:B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，相对简单.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域的性质列出关于x的不等式，求解可得答案.【详解】解：由题意得：,解得：，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域，是基础题.3.（）A. B. - C. D.【答案】C【解析】试题分析：，答案选C．考点：诱导公式4.已知函数，若，则的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数值的求解方法，对与两种情况求解，可得答案.【详解】解：若，可得，解得，(舍去)；若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去，综上可得：，故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数知识，分段函数要分段求解，是处理分段函数核心.5.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，的图象如图所示，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由时，的图象可得,的取值范围，由是定义在上的偶函数，可得函数的值域.【详解】解：由时的图象，可得当，，由是定义在上的偶函数，可得当，，综合可得，的值域是，故选：C.【点睛】本题主要考查函数的值域及偶函数的性质，属于基础题型.6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【详解】∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质，分别判断出的取值范围可得到结论.【详解】解：由题意得：，，故，，故可得：，故选:C.【点睛】本题主要考查函数值大小的比较，根据指数函数及对数函数的性质解题是本题的关键.8.函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，令，，求出的取值范围，可得答案.【详解】解：由，由得单调递减区间为，可得，，解得：，故函数的单调递减区间是，故选：A.【点睛】本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题.9.设，若，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式与函数之间的关系，设，利用二次函数图像和性质可得结论.【详解】解：设，,由，可得：若,则，即：，可得；若，则，即,即：，综上可得：，故选：D.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系及二次函数的性质是解题的关键，注意要进行分类讨论.10.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得其对称轴为,分与进行讨论，由复合函数的单调性及对数的真数大于0列不等式组，解之可得答案.【详解】解：由题意得：设，可得其对称轴为；当时，由复合函数的单调性可知，在单调递减，且，可得：，解得：，当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且，可得：，解得：，综上可得：或故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次函数的复合函数单调性的应用，解题时需注意对数的真数大于0这一条件的考虑.11.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得,可得的取值范围将，代入可得关于的二次函数，由二次函数性质可得答案.【详解】解：由，可得，由，，可得，可得：，当时，的最小值为，当时候，的最小值为，则的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角间的基本关系及三角函数的值域，熟练掌握基本关系是解题的关键.12.设，，（）A. 若恒成立，则B. 若，则恒成立C. 若恒成立，则D. 若，则恒成立【答案】C【分析】将化简为由与符号相同，分恒成立与恒成立进行讨论可得答案.【详解】解：由题意得：，易得：与符号相同，若恒成立，则恒成立，设，可得，可得，故，同理：若恒成立，则则恒成立，可得：，故，故选：C.【点睛】本题主要考查函数恒成立讨论参数的范围，综合性大，对进行化简是解题的关键.非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共34分.13.设全集，集合，，则______，_______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】计算出集合，由集合的运算法则可得及的值.【详解】解：由集合，，可得，，，故答案为：；.【点睛】本题主要考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于基础题型.14.__________；_________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用指数幂与对数的运算性质进行计算可得答案.【详解】解：，，故答案为：；.【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.15.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是___________，弧田的面积是__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设弧所对的圆心角为,由弧长公式计算可得的值，计算可得弦的长，计算出扇形的面积及的面积，由弧田的面积为扇形的面积减去的面积计算可得答案.【详解】解：设弧所对的圆心角为，由题意可得：，，,可得：，可得弧田的面积为扇形的面积减去的面积，可得：；故答案：；.【点睛】本题主要考查弧长的计算公式及扇形面积的计算，属于基础题型，注意运算的准确性.16.某种放射性元素原子数随时间的变化规律是，其中，是正的常数，当时，_______.【答案】【解析】【分析】将代入中计算可得t的值.【详解】解：由及，代入可得：，，，，故答案为：.【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.17.已如函数，若，且在上是单调函数，则的最大值是__________.【答案】7【解析】【分析】由，且在上是单调函数，可得及，解之可得的最大值.【详解】解：由，且在上是单调函数，易得：，且，可得当时与均单调，可得，，同理，，综上可得：，即：，可得，故的最大值是7，故答案为：7.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与周期性，综合性大，属于中档题.18.已知函数则关于的方程的所有根的和的最大值是_______.【答案】5【解析】【分析】将化简为同时设，可得的函数解析式，可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，可得答案.【详解】解：由可得：设，由函数的性质与图像可得，当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当时，，，当时，，，当时，，，此时所有根的和的最大值为：，故答案为：5.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.19.已知函数，若在上存在零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】分析】设设是方程的解，其中，由韦达定理列出关于的不等式组，可得实数的取值范围.【详解】解：设是方程的解，其中，可得：，可得，，其中，由二次函数性质可得，的对称轴为，可得，可得当时，最小，此时，，可得，当时，最大，此时，，可得，综上可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的零点与二次函数得性质，综合性大，属于难题.三、解答题：本大题共4小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.已知，且是第三象限角，（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得，的值；（2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案.【详解】解：(1)由，可得，即，可得，由是第三象限角，可得，故的值为;(2) ,代入，值，可得原式.【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.21.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.【详解】解：(1)由函数是奇函数，可得：，即：，；（2）由(1)得：，任取,且，则，，，即：，，即在上是减函数；（3）是奇函数，不等式恒成立等价为恒成立，在上是减函数，,恒成立，设，可得当时，恒成立，可得，解得，故的取值范围为：.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.22.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】（1）利用函数的图像得，，可求出得值，代入点可得函数的解析式；（2）当时，可得得取值范围，将化简列出不等式组可得实数的取值范围.【详解】解：(1)由函数图像可得：,,,由，，可得，所以(),代入点，可得，可得，故；(2) 当时,, ,由不等式有解，可得，，由，可得，可得，实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.23.已知函数，（1）当时，若且，证明：；（2）当时，若恒成立，求的最大值.【答案】(1)证明见详解；(2)【解析】【分析】（1）将化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论；（2）设，，由当时，若恒成立，列出关于的不等式组，可得的最大值.【详解】解：（1）由，可得，可得其对称轴，其对称轴为易得：设当时候，；当，由函数单调性可得不存在，且；当时，设关于的对称点为，则，易得与函数的大小和开口方向一致，对称轴不同，可得，且此时，由，此时，综上可得：若且，（2）设，，由时，若恒成立，可得，可得，得①同理可得，可得，可得②得，可得的最大值为.【点睛】本题主要考查二次函数的性质及函数恒成立求参数，综合性大，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上.2.答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算法则进行计算可得答案.【详解】解：由集合，，可得，故选:B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，相对简单.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域的性质列出关于x的不等式，求解可得答案.【详解】解：由题意得：,解得：，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域，是基础题.3.（）A. B. - C. D.【答案】C【解析】试题分析：，答案选C．考点：诱导公式4.已知函数，若，则的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数值的求解方法，对与两种情况求解，可得答案.【详解】解：若，可得，解得，(舍去)；若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去，综上可得：，故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数知识，分段函数要分段求解，是处理分段函数核心. 5.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，的图象如图所示，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由时，的图象可得,的取值范围，由是定义在上的偶函数，可得函数的值域.【详解】解：由时的图象，可得当，，由是定义在上的偶函数，可得当，，综合可得，的值域是，故选：C.【点睛】本题主要考查函数的值域及偶函数的性质，属于基础题型.6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【详解】∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质，分别判断出的取值范围可得到结论.【详解】解：由题意得：，，故，，故可得：，故选:C.【点睛】本题主要考查函数值大小的比较，根据指数函数及对数函数的性质解题是本题的关键.8.函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，令，，求出的取值范围，可得答案.【详解】解：由，由得单调递减区间为，可得，，解得：，故函数的单调递减区间是，故选：A.【点睛】本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题.9.设，若，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式与函数之间的关系，设，利用二次函数图像和性质可得结论.【详解】解：设，,由，可得：若,则，即：，可得；若，则，即,即：，综上可得：，故选：D.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系及二次函数的性质是解题的关键，注意要进行分类讨论.10.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得其对称轴为,分与进行讨论，由复合函数的单调性及对数的真数大于0列不等式组，解之可得答案.【详解】解：由题意得：设，可得其对称轴为；当时，由复合函数的单调性可知，在单调递减，且，可得：，解得：，当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且，可得：，解得：，综上可得：或故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次函数的复合函数单调性的应用，解题时需注意对数的真数大于0这一条件的考虑.11.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得,可得的取值范围将，代入可得关于的二次函数，由二次函数性质可得答案.【详解】解：由，可得，由，，可得，可得：，当时，的最小值为，当时候，的最小值为，则的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角间的基本关系及三角函数的值域，熟练掌握基本关系是解题的关键.12.设，，（）A. 若恒成立，则B. 若，则恒成立C. 若恒成立，则D. 若，则恒成立【答案】C【解析】【分析】将化简为由与符号相同，分恒成立与恒成立进行讨论可得答案.【详解】解：由题意得：，易得：与符号相同，若恒成立，则恒成立，设，可得，可得，故，同理：若恒成立，则则恒成立，可得：，故，故选：C.【点睛】本题主要考查函数恒成立讨论参数的范围，综合性大，对进行化简是解题的关键.非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共34分.13.设全集，集合，，则______，_______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】计算出集合，由集合的运算法则可得及的值.【详解】解：由集合，，可得，，，故答案为：；.【点睛】本题主要考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于基础题型.14.__________；_________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用指数幂与对数的运算性质进行计算可得答案.【详解】解：，，故答案为：；.【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.15.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是___________，弧田的面积是__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设弧所对的圆心角为,由弧长公式计算可得的值，计算可得弦的长，计算出扇形的面积及的面积，由弧田的面积为扇形的面积减去的面积计算可得答案.【详解】解：设弧所对的圆心角为，由题意可得：，，,可得：，可得弧田的面积为扇形的面积减去的面积，可得：；故答案：；.【点睛】本题主要考查弧长的计算公式及扇形面积的计算，属于基础题型，注意运算的准确性.16.某种放射性元素原子数随时间的变化规律是，其中，是正的常数，当时，_______.【答案】【解析】【分析】将代入中计算可得t的值.【详解】解：由及，代入可得：，，，，故答案为：.【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.17.已如函数，若，且在上是单调函数，则的最大值是__________.【答案】7【解析】【分析】由，且在上是单调函数，可得及，解之可得的最大值.【详解】解：由，且在上是单调函数，易得：，且，可得当时与均单调，可得，，同理，，综上可得：，即：，可得，故的最大值是7，故答案为：7.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与周期性，综合性大，属于中档题.18.已知函数则关于的方程的所有根的和的最大值是_______.【答案】5【解析】【分析】将化简为同时设，可得的函数解析式，可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，可得答案.【详解】解：由可得：设，由函数的性质与图像可得，当k等于8时与的交点的所有根的和的最大，此时根分别为：当时，，，当时，，，当时，，，此时所有根的和的最大值为：，故答案为：5.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.19.已知函数，若在上存在零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】分析】设设是方程的解，其中，由韦达定理列出关于的不等式组，可得实数的取值范围.【详解】解：设是方程的解，其中，可得：，可得，，其中，由二次函数性质可得，的对称轴为，可得，可得当时，最小，此时，，可得，当时，最大，此时，，可得，综上可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的零点与二次函数得性质，综合性大，属于难题.三、解答题：本大题共4小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.已知，且是第三象限角，（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得，的值；（2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案.【详解】解：(1)由，可得，即，可得，由是第三象限角，可得，故的值为;(2) ,代入，值，可得原式.【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.21.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.【详解】解：(1)由函数是奇函数，可得：，即：，；（2）由(1)得：，任取,且，则，，，即：，，即在上是减函数；（3）是奇函数，不等式恒成立等价为恒成立，在上是减函数，,恒成立，设，可得当时，恒成立，可得，解得，故的取值范围为：.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.22.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】（1）利用函数的图像得，，可求出得值，代入点可得函数的解析式；（2）当时，可得得取值范围，将化简列出不等式组可得实数的取值范围.【详解】解：(1)由函数图像可得：,,,由，，可得，所以(),代入点，可得，可得，故；(2) 当时,, ,由不等式有解，可得，，由，可得，可得，实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.23.已知函数，（1）当时，若且，证明：；（2）当时，若恒成立，求的最大值.【答案】(1)证明见详解；(2)【解析】【分析】（1）将化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论；（2）设，，由当时，若恒成立，列出关于的不等式组，可得的最大值.【详解】解：（1）由，可得，可得其对称轴，其对称轴为易得：设当时候，；当，由函数单调性可得不存在，且；当时，设关于的对称点为，则，易得与函数的大小和开口方向一致，对称轴不同，可得，且此时，由，此时，综上可得：若且，（2）设，，由时，若恒成立，可得，可得，得①同理可得，可得，可得②得，可得的最大值为.【点睛】本题主要考查二次函数的性质及函数恒成立求参数，综合性大，属于难题.。

天水市一中2020届2019—2020学年度第一学期第五次（期末）考试理科数学试卷一、单选题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i2．设集合1|22xA x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ．()1,2- B ．[)1,2- C ．(]1,2- D ．[]1,2-3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）A ．x y =B ．x y lg =C ．x y 2=D ．xy 1=4．已知向量()4,7a =-v，()3,4b =-r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影为（ ） A ．2B ．-2C ．25-D ．255．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A ．29B ．36C ．13D ．3 6．函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8. (1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A ．122B ．112C ．102D ．929．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ） A ．2 B ．3 C ．5D ．7 11．设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>u u u v u u u u v，若4MF =，则λ的值（ ）A ．32B ．2C ．5 2D ．312．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．123B ．183C ．243D ．543二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)ACPHM13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（用序号作答）14．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.15．设函数2()(0)f x ax b a =+≠，若200()2()f x dx f x =⎰，00x >，则0x 等于______．16．已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．三、解答题:(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足31log n n b a =+,求122320172018111b b b b b b +++L 的值.18．如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点，M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =.（Ⅰ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；（Ⅱ）在线段PB 上是否存在点N ，使得//MN 平面ABC . 若存在，请说明点N 的位置，若不存在，请说明理由.19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的白凤桃中随机抽取5个，再从这5个白凤桃中随机抽2个，记这2个白凤桃质量落在[350,400)间的个数为随机变量X ，求X 的分布列；（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的白凤桃树上大约还有100000个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有白凤桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的白凤桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. （参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21．设函数()e 2x a f x ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22．在平面直角坐标xOy 系中，曲线C 的参数标方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t 为参数，且0t >），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标.23．已知()11f x x ax =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.天水市一中2020届2019—2020学年度第一学期第五次（期末）考试理科数学试卷（答案）一、选择题（12*5=60分）1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．D 12．B11.详解：过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MM FF =MNNF =1λλ-，又4MF =，∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴''MM FF =46=1λλ-，3λ∴=.12．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===2334ABC S AB ==V Q AB 6=,Q 点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴==Rt OMB V 中，有22OM 2OB BM -=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=二、填空题（4*5=20分）13．答案1：若②③，则①；答案2：若①③，则② （写出一个即为满分） 14．3125015．316．0m ≥或21e m e+=-详解：因为()110f x x=+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()mg x x=有一个公共点，当0m <时， 令()()22,f x g x x xlnx x m e =∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e+-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时，()0h x '<，当1x e<时，()0h x '>，所以当1x e =时，(h x ）有唯一极小值21e e +-，即()h x 有最小值21e e +-，故当21e m e+=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e+=-. 三、简答题17．（Ⅰ）因为121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥， 两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥ 注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=.（6分）（Ⅱ）因为n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=L L .（12分）18．（Ⅰ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ，所以 ⊥AD 平面PAC ， 由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M .设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =u u u r，(1,2,0)AB =u u u r ，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令1=z ，得(2,1,1)=-n . 设PM 与平面AHB 成角为θ因为 )23,21,0(-=所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u r u u u ur n n n即sin 15θ=.（6分） （Ⅱ）解：因为 (1,2,2)PB =-u u u r ，设PN PB λ=u u u r u u u r，所以 (,2,2)PN λλλ=-u u u r ， 又因为13(0,,)22PM =-u u u u r ，所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--u u u u r u u u r u u u u r .因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =u u u r，所以 340MN AP λ⋅=-=u u u u r u u u r ，解得 43=λ.即点N 是靠近点B 的四等分点（12分）19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在[)350,400和[)400,450的比例为3:2， ∴应分别在质量为[)350,400和[)400,450的白凤桃中各抽取3个和2个. 随机变量X 的分部列为：（6分）（Ⅱ）方案B 好，理由如下：由频率分布直方图可知，白凤桃质量在[)200,250的频率为500.0010.05⨯= 同理，白凤桃质量在[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[)450,500的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案B 收购：∵白凤桃质量低于350克的个数为()0.050.160.2410000045000++⨯=个 白凤桃质量不低于350克的个数为55000个 ∴收益为450005550009720000⨯+⨯=元 若按方案A 收购：根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为(2255000275160003252400037530000⨯+⨯+⨯+⨯42520000475200004755000)201000709000+⨯+⨯+⨯⨯÷=（元）∴方案B 的收益比方案A 的收益高，应该选择方案B .（12分）20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1c =； 因为椭圆过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c=+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（4分）（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).（12分）21.（Ⅰ）∵()2x af x e ax =-+，∴()x f x e a '=-，∴(1)f e a '=-由题设知(1)0f '=，即e-a =0，解得a =e ． 经验证a =e 满足题意．（4分）（Ⅱ）令()0f x '=，即e x =a ，则x =ln a ， ①当ln a ＜1时，即0＜a ＜e对于任意x ∈（-∞，ln a ）有()0f x '<，故f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减； 对于任意x ∈（ln a ，1）有()0f x '>，故f （x ）在（ln a ，1）单调递增， 因此当x =ln a 时，f （x ）有最小值为a 3a alna a lna 022⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭＞成立．所以0＜a ＜e ②当ln a ≥1时，即a ≥e 对于任意x ∈（-∞，1）有()0f x '<， 故f （x ）在（-∞，1）单调递减，所以f （x ）＞f （1）． 因为f （x ）的图象恒在x 轴上方，所以f （1）≥0，即a ≤2e ， 综上，a 的取值范围为(0,2e],所以a 的最大值为2e ．（12分）22. （Ⅰ）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥. 将cos x ρθ=，y sin ρθ=代入224x y -=，得()222cos 4sin ρθθ-=.所以曲线C 的极坐标方程为2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.（5分）（Ⅱ）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得242cos23sin πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-.因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=.于是方程的解为tan θ=，即6πθ=.代入sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ=P的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（5分） 23．（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（5分） （Ⅱ）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．（5分）。

天水一中高一级2019-2020学年度第一学期第一学段考试数学试题一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁U A )∪(∁U B )等于( ) A. {1,6} B. {4,5}C. {2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7} 【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可.【详解】由补集的定义可得：∁U A={1,3,6},∁U B={1,2,6,7}, 所以(∁U A )∪(∁U B )={1,2,3,6,7}. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查补集的运算，并集运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知集合2{|560},{|10}A x x x B x mx =-+==-=，若,A B B ⋂=，则m的值是( )A.12 B.13或12C. 0或13D. 0或12或13【答案】D 【解析】 【分析】求解出集合A ；分别在0m =和0m ≠两种情况下根据交集运算结果构造方程可求得结果. 【详解】()(){}{}2302,3A x x x =--== 当0m =时，B =∅ A B B ∴=I ，满足题意当0m ≠时，1B x x m ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭A B B =Q I 12m ∴=或13m=，即12m =或13 综上所述，m 的值为：0或12或13本题正确选项：D【点睛】本题考查根据交集运算结果求解参数值的问题，易错点是忽略集合B 为空集的情况，造成丢根.3. 下面各组函数中为相同函数的是（ ）A. ()()1f x g x x ==-B. 0()()1f x x g x ==，C. 1()3()()3xxf xg x -==，D. 21()1()1x f x x g x x -=-=+，【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，两个函数的值域不同，不是相同函数；对于B ，函数的定义域不同，不是相同函数；对于C ，1()33xx g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，与函数()f x 的定义域、值域、对应法则都相同，是相同函数；对于D ，两个函数的定义域不同，两个函数不是相同函数.故选C. 考点：函数的三要素.【名师点睛】本题考查函数的三要素；属容易题；函数的三要素为定义域、值域、对应法则，当且仅当两个函数定义域、值域、对应法则都相同时，两个函数是相同的函数.本题就是从这个角度去思考解决的.4.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数。

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 U = {1,2,3,4}, 集合 A = {1,3}, 则（）A. {1,3}B. {2,4}C. {1,2}D. {3,4}【答案】B【解析】【分析】直接进行补集运算即可.【详解】因为U = {1,2,3,4}, A = {1,3},所以.故选:B【点睛】本题考查集合的补集运算,属于基础题.2.函数的定义域为（）A. (−∞,4)B. (−∞,4]C. (4,+∞)D. [4,+∞)【答案】A【解析】【分析】根据分式中分母不为零,偶次根式被开方数是非负数列出不等式即可得解.【详解】因为,解得,所以函数的定义域为,故选:A【点睛】本题考查函数定义域的求解,属于基础题.3.已知，则 a,b,c 的大小关系为（）A. c < a < bB. b < a < cC. c<b<aD. b<c<a【答案】D【解析】【分析】比较a,b,c与中间量0,1的大小关系,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】因为,,,所以.故选:D.【点睛】本题考查应用指数函数,对数函数的单调性比较数的大小关系,属于基础题.4.已知点 P(3,4) 在角的终边上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案.【详解】因为点 P(3,4) 在角的终边上,所以,,故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.5.已知函数，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.【详解】因为,所以.故选:B【点睛】本题考查求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,从内到外依次求值,属于基础题.6.在△ABC中，，则角C的度数为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形后,根据三角函数诱导公式得,再由两角和的正切公式即可得解.【详解】因为,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查三角函数诱导公式,两角和的正切公式,属于基础题.7.如图，四边形 ABCD 中，，E为线段 AC 上的一点，若，则实数的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三点共线,设,用,作基底表示出,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得的值.【详解】因为三点共线,设,因为,所以,解得.故选:A【点睛】本题考查平面向量的线性运算,考查几何图形中的向量运算,还考查了平面向量的基本定理,属于基础题.8.如果函数在其定义域内存在实数，使得 f(k) = f(k)f()(k 为常数) 成立，则称函数为“对 k 的可拆分函数”.若为“对 2 的可拆分函数”，则非零实数 a 的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】据题意列出方程化简,得出与的关系式,令得,由此方程有正数解求得的范围.【详解】因为是“对 2 的可拆分函数”,所以在定义域内存在实数使得,所以在实数域内有解,化简得(),令,有正数解,解得,所以的最大值为.故选:D【点睛】本题考查含指数的方程的求解,韦达定理,属于中档题.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.已知集合 A = {x | ax2},B ={2,} , 若 B ⊆ A，则实数 a 的值可能是（）A. −1B. 1C. −2D. 2【答案】ABC【解析】【分析】由得到2,满足,列出不等式组即可求得的取值范围.【详解】因为B ⊆ A,所以,,解得.故选:ABC【点睛】本题考查子集的概念,属于基础题.10.下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,+∞)上的增函数为（）A. B. C. y = |lnx| D. |【答案】BD【解析】【详解】函数定义域为,是定义域上的偶函数,当时, 为减函数,故不合题意;函数,定义域为,是定义域上的偶函数, 当时, 为增函数;函数定义域为不关于原点对称,不是定义域上的偶函数,不合题意;函数定义域为,是定义域上的偶函数, 当时, 为增函数.故选:BD【点睛】本题考查函数的奇偶性,考查基本初等函数的单调性,属于基础题.11.已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（）A. (1,0)B. (0,1)C. (−1,0)D. (0,−1)【答案】AC【解析】【分析】用表示出向量的坐标,利用平面向量基本定理求出,逐项判断是否满足题意.【详解】若,则,解得,,满足题意;若,则,解得,,不满足题意;因为向量与向量共线,所以向量也满足题意.故选:AC【点睛】本题考查平面向量基本定理应用,属于基础题.12.已知函数 f(x) = sin(ωx+φ)(ω> 0)的图象经过点，且在区间上单调，则ω , φ可能的取值为（）A. ω = 2, φ =B. ω = 2, φ =C. ω = 6, φ =D. ω = 6, φ =【答案】BC【解析】【分析】将各选项代入解析式,逐项判断是否过点,再计算出正弦函数的单调区间,判断函数在区间上是否单调,即可得解.【详解】对于A,,,图像不过点,不合题意;对于B, ,图像过点,令,解得,所以在区间上单调递增;对于C, ,图像过点,令,解得,令,解得,所以在区间上单调递减;对于D, ,图像过点,令,解得,当所以在区间上不是单调函数,不合题意.故选:BC【点睛】本题考查正弦型函数的单调性,属于基础题.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知A(2,−3),B(8,3)，若，则点 C 的坐标为__________.【答案】(6,1)【解析】【分析】设,求出,的坐标,根据列出方程组,即可求出点的坐标.【详解】设,则,因为,所以,解得.故答案为:(6,1)【点睛】本题考查平面向量基本定理及坐标表示,属于基础题.14.函数的零点所在区间为 (n,n+1),n ∈ Z，则 n = ___________.【答案】2【解析】【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.【详解】因为,所以,由函数零点存在定理知函数在区间(2,3)上有零点,所以.故答案为:2【点睛】本题考查函数零点的判定定理的应用,属于基础题.15.已知α∈(0,π),sinα+cosα=，则 tan α = _____________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系可求得,从而求得,由三角函数商的关系求得答案.【详解】因为①,两边平方得:,所以,所以, ,所以,②,联立①②得:,所以.故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,考查考生对三角函数基础公式的熟练应用,属于中档题.16.已知函数的图象关于直线对称，则______；函数的最小值为 _________.【答案】 (1). 5 (2).【解析】【分析】根据函数图像的对称性可得,可对进行赋值,求,构造函数，根据二次函数的性质，即可得出结果.【详解】因为图像关于直线对称,所以当时,得①当时,得②联立①②可得:,所以；所以,令,则，因为是开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为:【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知 A = {x | (x−a)(x+a−2) < 0},B = {x | 0 < x < 4}.(1) 若 a = 3, 求A∩B；(2) 若A∪B = A，求实数 a 的取值范围.【答案】(1) A∩B=;(2)【解析】【分析】(1)当a = 3时,求出集合,由集合的交集运算即可得解;(2)由A∪B = A知,对的关系进行讨论并利用并集的性质列出不等式组,求出a 的取值范围.【详解】(1)若a = 3,则,所以A∩B=;(2)因为A∪B = A,所以,①若即时,,,解得.②若即时,不满足题意;③若即时,,解得,综上所述,.【点睛】本题考查集合交集运算与根据并集结果求参数的取值范围,属于基础题.18.已知锐角满足.(1) 求 cos( α + β ) 的值；(2) 求α−β.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】(1)由同角三角函数的平方关系可得,的值,代入即可得解;(2)计算,由余弦函数的单调性判断的范围,从而根据余弦值算出.【详解】(1)因为为锐角,所以;(2)因为为锐角且,则,所以【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系,考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的单调性,计算过程中注意角的范围,属于基础题.19.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A = 60°，D 为线段 BC 中点，E为线段AD中点.(1) 求的值；(2) 求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)以,为基底分别表示出,直接求两向量的内积即可;(2) 以,为基底分别表示出,直接求两向量的数量积即可.【详解】(1)由题意得,,;(2)【点睛】本题考查平面向量的数量积,向量的基本运算,平面向量基本定理的应用,属于基础题.20.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)的最大值为米【解析】【分析】(1)设,根据最高点和最低点可得A与B,由周期求值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h 关于t的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.【详解】(1)由题意可设,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,,得.又函数周期为30,,(),又时,,所以,即,可取,所以(2) ,解得,所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点时间间隔为,游客甲,乙中间相隔5个座舱,则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了()分钟,则游客乙在摩天轮上坐了分钟,所以高度差为:当即时,h取得最大值.【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 U = {1,2,3,4}, 集合 A = {1,3}, 则（）A. {1,3}B. {2,4}C. {1,2}D. {3,4}【答案】B【解析】【分析】直接进行补集运算即可.【详解】因为U = {1,2,3,4}, A = {1,3},所以.故选:B【点睛】本题考查集合的补集运算,属于基础题.2.函数的定义域为（）A. (−∞,4)B. (−∞,4]C. (4,+∞)D. [4,+∞)【答案】A【解析】【分析】根据分式中分母不为零,偶次根式被开方数是非负数列出不等式即可得解.【详解】因为,解得,所以函数的定义域为,故选:A【点睛】本题考查函数定义域的求解,属于基础题.3.已知，则 a,b,c 的大小关系为（）A. c < a < bB. b < a < cC. c<b<aD. b<c<a【答案】D【解析】【分析】比较a,b,c与中间量0,1的大小关系,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】因为,,,所以.故选:D.【点睛】本题考查应用指数函数,对数函数的单调性比较数的大小关系,属于基础题.4.已知点 P(3,4) 在角的终边上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案.【详解】因为点 P(3,4) 在角的终边上,所以,,故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.5.已知函数，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.【详解】因为,所以.故选:B【点睛】本题考查求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,从内到外依次求值,属于基础题.6.在△ABC中，，则角C的度数为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形后,根据三角函数诱导公式得,再由两角和的正切公式即可得解.【详解】因为,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查三角函数诱导公式,两角和的正切公式,属于基础题.7.如图，四边形 ABCD 中，，E为线段 AC 上的一点，若，则实数的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三点共线,设,用,作基底表示出,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得的值.【详解】因为三点共线,设,因为,所以,解得.故选:A【点睛】本题考查平面向量的线性运算,考查几何图形中的向量运算,还考查了平面向量的基本定理,属于基础题.8.如果函数在其定义域内存在实数，使得 f(k) = f(k)f()(k 为常数) 成立，则称函数为“对 k 的可拆分函数”.若为“对 2 的可拆分函数”，则非零实数 a 的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】据题意列出方程化简,得出与的关系式,令得,由此方程有正数解求得的范围.【详解】因为是“对 2 的可拆分函数”,所以在定义域内存在实数使得,所以在实数域内有解,化简得(),令,有正数解,解得,所以的最大值为.故选:D【点睛】本题考查含指数的方程的求解,韦达定理,属于中档题.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.已知集合 A = {x | ax2},B ={2,} , 若 B ⊆ A，则实数 a 的值可能是（）A. −1B. 1C. −2D. 2【答案】ABC【解析】【分析】由得到2,满足,列出不等式组即可求得的取值范围.【详解】因为B ⊆ A,所以,,解得.故选:ABC【点睛】本题考查子集的概念,属于基础题.10.下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,+∞)上的增函数为（）A. B. C. y = |lnx| D. |【答案】BD【解析】【详解】函数定义域为,是定义域上的偶函数,当时, 为减函数,故不合题意;函数,定义域为,是定义域上的偶函数, 当时, 为增函数;函数定义域为不关于原点对称,不是定义域上的偶函数,不合题意;函数定义域为,是定义域上的偶函数, 当时, 为增函数.故选:BD【点睛】本题考查函数的奇偶性,考查基本初等函数的单调性,属于基础题.11.已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（）A. (1,0)B. (0,1)C. (−1,0)D. (0,−1)【答案】AC【解析】【分析】用表示出向量的坐标,利用平面向量基本定理求出,逐项判断是否满足题意.【详解】若,则,解得,,满足题意;若,则,解得,,不满足题意;因为向量与向量共线,所以向量也满足题意.故选:AC【点睛】本题考查平面向量基本定理应用,属于基础题.12.已知函数 f(x) = sin(ωx+φ)(ω> 0)的图象经过点，且在区间上单调，则ω , φ可能的取值为（）A. ω = 2, φ =B. ω = 2, φ =C. ω = 6, φ =D. ω = 6, φ =【答案】BC【解析】【分析】将各选项代入解析式,逐项判断是否过点,再计算出正弦函数的单调区间,判断函数在区间上是否单调,即可得解.【详解】对于A,,,图像不过点,不合题意;对于B, ,图像过点,令,解得,所以在区间上单调递增;对于C, ,图像过点,令,解得,令,解得,所以在区间上单调递减;对于D, ,图像过点,令,解得,当所以在区间上不是单调函数,不合题意.故选:BC【点睛】本题考查正弦型函数的单调性,属于基础题.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知A(2,−3),B(8,3)，若，则点 C 的坐标为__________.【答案】(6,1)【解析】【分析】设,求出,的坐标,根据列出方程组,即可求出点的坐标.【详解】设,则,因为,所以,解得.故答案为:(6,1)【点睛】本题考查平面向量基本定理及坐标表示,属于基础题.14.函数的零点所在区间为 (n,n+1),n ∈ Z，则 n = ___________.【答案】2【解析】【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.【详解】因为,所以,由函数零点存在定理知函数在区间(2,3)上有零点,所以.故答案为:2【点睛】本题考查函数零点的判定定理的应用,属于基础题.15.已知α∈(0,π),sinα+cosα=，则 tan α = _____________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系可求得,从而求得,由三角函数商的关系求得答案.【详解】因为①,两边平方得:,所以,所以, ,所以,②,联立①②得:,所以.故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,考查考生对三角函数基础公式的熟练应用,属于中档题.16.已知函数的图象关于直线对称，则______；函数的最小值为 _________.【答案】 (1). 5 (2).【解析】【分析】根据函数图像的对称性可得,可对进行赋值,求,构造函数，根据二次函数的性质，即可得出结果.【详解】因为图像关于直线对称,所以当时,得①当时,得②联立①②可得:,所以；所以,令,则，因为是开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为:【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知 A = {x | (x−a)(x+a−2) < 0},B = {x | 0 < x < 4}.(1) 若 a = 3, 求A∩B；(2) 若A∪B = A，求实数 a 的取值范围.【答案】(1) A∩B=;(2)【解析】【分析】(1)当a = 3时,求出集合,由集合的交集运算即可得解;(2)由A∪B = A知,对的关系进行讨论并利用并集的性质列出不等式组,求出a 的取值范围.【详解】(1)若a = 3,则,所以A∩B=;(2)因为A∪B = A,所以,①若即时,,,解得.②若即时,不满足题意;③若即时,,解得,综上所述,.【点睛】本题考查集合交集运算与根据并集结果求参数的取值范围,属于基础题.18.已知锐角满足.(1) 求 cos( α + β ) 的值；(2) 求α−β.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】(1)由同角三角函数的平方关系可得,的值,代入即可得解;(2)计算,由余弦函数的单调性判断的范围,从而根据余弦值算出.【详解】(1)因为为锐角,所以;(2)因为为锐角且,则,所以【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系,考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的单调性,计算过程中注意角的范围,属于基础题.19.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A = 60°，D 为线段 BC 中点，E为线段AD中点.(1) 求的值；(2) 求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)以,为基底分别表示出,直接求两向量的内积即可;(2) 以,为基底分别表示出,直接求两向量的数量积即可.【详解】(1)由题意得,,;(2)【点睛】本题考查平面向量的数量积,向量的基本运算,平面向量基本定理的应用,属于基础题.20.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)的最大值为米【解析】【分析】(1)设,根据最高点和最低点可得A与B,由周期求值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h关于t的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.【详解】(1)由题意可设,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,,得.又函数周期为30,,(),又时,,所以,即,可取,所以(2) ,解得,所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点时间间隔为,游客甲,乙中间相隔5个座舱,则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了()分钟,则游客乙在摩天轮上坐了分钟,所以高度差为:当即时,h取得最大值.【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答.。

甘肃省天水一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 直线√3x +3y −1=0的倾斜角是( ) A. 120° B. 135° C. 150° D. 30°2. 如果圆锥的底面半径为r ，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的表面积为( )A. √2πr 2B. (√2+1)πr 2C. 13(√2+1)πr 2D. 23πr 2 3. 已知直线l 1:(3+a)x +4y =5−3a 与l 2：2x +(5+a)y =8平行，则a 等于( )A. −7或−1B. 7或1C. −7D. −14. 下列给出的函数中，定义域为R 且在R 上为偶函数的是( )A. f(x)=3x−1B. g(x)=−x|x|C. ℎ(x)=x 12D. φ(x)=lg(x 2+1)5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. m//α，n//α，则m//nB. m//n ，m//α，则n//αC. m ⊥α，m ⊥β，则α//βD. α⊥γ，β⊥γ，则α//β6. 直线ax −y +2a =0与圆x 2+y 2=1的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定 7. 函数f (x )=(12)x −x +2的零点所在的一个区间是( ) A. (0 ,1) B. (1 ,2) C. (2 ,3) D. (3 ,4)8. 在正三棱柱ABC − A 1B 1C 1中(底面是等边三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱)，已知AB =1，D在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √64 B. √34 C. √62 D. √729. 已知空间直角坐标系Oxyz 中，点A(1,1，3)关于z 轴的对称点为A′，则A′点的坐标为( )A. (−1,−1,−3)B. (1,−1,−3)C. (−1,−1,3)D. (−1,1，3)10. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，P 是棱BC 上的动点．记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为θ1，与直线BC 所成的角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是( )A. θ1=θ2B. θ1>θ2C. θ1<θ2D. 不能确定二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P−ABC的正(主)视图与俯视图的面积之比的最大值为________．12.已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(√2,2)，则f(1−x)的单调增区间为______ ．13.若点P(x,y)在圆C：(x−2)2+y2=3上，则y的最大值是______ ．x14.在三棱柱ABC−A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直，且BA=1，BC=1，BB1=2，则三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x,y)为圆C上任意一点，求点P(x,y)到直线x−y+1=0的距离的最大值和最小值．16.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，BB1=BC，B1C∩BC1=M，N为A1B的中点．(Ⅰ)求证：直线MN//平面ABC；(Ⅱ)求证：BC1⊥A1C.17.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．(1)证明：MB⊥平面PAD；(2)求点A到平面PMB的距离．18.已知圆M：2x2+2y2−4y=23，直线l0：x+y=8，l0上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，D为线段BC的中点．(1)当a=0时，求直线l1，l2的方程；(2)当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；(3)是否存在点A，使得BC长为√10？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查．求出直线的斜率．然后求解直线的倾斜角．解：直线√3x+3y−1=0的斜率为：−√33，直线的倾斜角为α，则tanα=−√33，因为倾斜角的范围为［00，1800)∴α=150°．故选C．2.答案：B解析：本题考查圆锥的表面积的求法，属于基础题．由轴截面为等腰直角三角形得到母线长是√2r，代入公式得到结果．解：∵圆锥的底面半径为r，轴截面为等腰直角三角形，∴圆锥的母线为√2r，侧面展开图为半径为√2r，弧长为2πr扇形，S 表=S底+S侧=πr2+12×√2r×2πr=πr2+√2πr2=(√2+1)πr2．故选B．3.答案：C解析：本题考查两条直线的平行关系的运用，属于基础题．运用两条性质的平行条件建立方程即可．解：因为两条直线平行，所以(3+a)(5+a)=8，解答a=−7或−1．当a=−1时，两条直线重合，4.答案：D解析：本题考查了函数的定义域和奇偶性，根据定义域和奇偶性，逐一判定即可结论．解：对于A，f(x)=3x−1的定义域为R，但既不是奇函数也不是偶函数，故A不符合题意；对于B，g(x)=−x|x|的定义域为R，g(−x)=x|x|=−g(x)，所以g(x)为奇函数，故B不符合题意；对于C，ℎ(x)=x12的定义域为[0,+∞)，故C不符合题意；对于D，φ(x)=lg(x2+1)的定义域为R，φ(−x)=lg(x2+1)=φ(x)，是偶函数，故D符合题意，故选D．5.答案：C解析：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是基础题．对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；对于B，m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C．6.答案：D解析：解：直线ax−y+2a=0，化为(x+2)a−y=0，即直线过定点(−2,0)，显然和圆位置关系不确定．直线过定点(−2,0)在圆外，和圆的位置关系不确定．本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．7.答案：C解析：本题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题．根据函数零点的定义解题即可．解：由函数f(x)=(12)x −x +2，f(x)在R 上单调递减，所以f(2)=(12)2−2+2=14>0,f(3)=(12)3−3+2=−78<0， 则f(2)⋅f(3)<0，根据零点的存在定理，可知函数f(x)=(12)x −x +2的零点所在的一个区间是(2 , 3)．故选C ． 8.答案：A解析：本题考查直线与平面所成的角的求法，属于中档题．利用正三棱柱的性质找出AD 在平面AA 1C 1C 内的射影，进而得到线面角，解直角三角形求出此角的正弦值．解：如图，取C 1A 1、CA 的中点E 、F ，连接B 1E 与BF ，则B 1E ⊥平面CAA 1C 1，过D作DH//B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH为所求的角，DH=B1E=√32，DA=√2，所以sin∠DAH=DHDA =√64．故选A．9.答案：C解析：本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，空间直角坐标系Oxyz中，点(x,y，z)关于z轴的对称点为(−x,−y,z)．解：空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,1，3)关于z轴的对称点为A′，则A′点的坐标为(−1,−1,3)．故选C．10.答案：C解析：本题考查直线与平面所成的角及直线与直线所成的角，由题意得θ1=∠APA1,θ2=∠A1PB，过A1做BC垂线，交点为Q，则△AA1P与△A1PQ均为直角三角形且斜边相同，由于A1A<A1Q，进而即可得到结果．解：由题意得θ1=∠APA1,θ2=∠A1PB，过A1做BC垂线，交点为Q，则△AA1P与△A1PQ均为直角三角形且斜边相同，由于A1A<A1Q，∴θ1<θ2．故选C．11.答案：2解析：本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．由题意确定棱锥P−ABC的正视图的面积，三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．解析：解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C 1D 1上，AB在正视图中，在平面CDD 1C 1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA 1=2，所以三棱锥P−ABC的正视图的面积为12×1×2=1三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值为12×1×1=12，所以三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为112=2，故答案为2．12.答案：(1,+∞)解析：解：因为幂函数f(x)=x a的图象经过点(√2,2)，所以(√2)a=2，解得a=2，所以，f(x)=x2，因此f(1−x)=(1−x)2=(x−1)2，其图象为抛物线，且开口向上，对称轴为x=1，所以，函数f(1−x)的单调增区间为(1,+∞)，故答案为：(1,+∞)(也可填：[1,+∞))．先根据图象所过的点求出函数解析式f(x)=x2，再根据二次函数的图象和性质求出函数f(1−x)的单调增区间．本题主要考查了幂函数的单调性与特殊点，涉及二次函数的图象和性质，属于基础题．13.答案：√3解析：解：设k=y，即y=kx，x则∵点P(x,y)在圆C：(x−2)2+y2=3上，∴圆心(2,0)到直线kx−y=0的距离d≤√3，≤√3，即√1+k2平方得4k2≤3+3k2，即k2≤3，解得−√3≤k≤√3，故y的最大值是√3，x故答案为：√3．设k=y，即y=kx，根据直线和圆相切即可得到结论．x本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题的关键．14.答案：6π解析：解：∵BA，BC，BB1两两垂直，且AB∩BC=B，∴BB1⊥平面ABC，直角△ABC的外接圆直径为AC=√AB2+BC2=√2，所以，该三棱柱ABC−A1B1C1的外接球直径为2R=√BB12+AC2=√6．因此，三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为4πR2=π×(2R)2=6π．故答案为：6π．先证明BB1⊥平面ABC，计算出直角△ABC的外接圆直径AC，然后利用公式2R=√BB12+AC2可计算出外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，考查直线与平面垂直的判定，考查计算能力与推理能力，属于中等题．15.答案：解：(1)由题意，结合图(1)可知圆心为(3,0)，r=2，所以圆C的标准方程为(x−3)2+y2=4．(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x−y+1=0，垂足为D．=2√2，由点到直线的距离公式可得|CD|=√2又P(x,y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2．结合图形易知点P到直线x−y+1=0的距离的最大值为2√2+2，最小值为2√2−2．解析：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键．(1)确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；(2)点P到直线x−y+1=0的距离转化为圆心到直线x−y+1=0的距离问题．16.答案：证明(Ⅰ)因为直三棱柱ABC−A1B1C1，则四边形BB1C1C和AA1C1C为平行四边形，即AC//A1C1．在□BB1C1C中，BC1∩B1C=M，则M为BC1的中点，又N为A1B的中点，所以MN为△A1BC1的中位线，故MN//A1C1，又A1C1//AC，所以MN//AC，由MN⊄ABC，AC⊆ABC，所以MN//面ABC．(Ⅱ)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所以BB1⊥平面A1B1C1．又BB1⊂平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面A1B1C1，又因为AB⊥BC，所以A1B1⊥B1C1．由A1B1⊆平面A1B1C1，B1C1为交线．所以A1B1⊥平面B1BCC1．又BC1⊂平面B1BCC1，所以A1B1⊥BC1．又因为BB1=BC，则侧面B1BCC1为菱形，故B 1C⊥BC1．又A1B1∩B1C=B1，A1B1，B1C⊆面A1B1C.所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊆平面A1B1C，所以BC1⊥A1C解析：本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)推导出AC//A1C1，MN为△A1BC1的中位线，MN//A1C1，从而MN//AC，由此能证明MN//平面ABC．(Ⅱ)推导出平面B1BCC1⊥平面A1B1C1，从而A1B1⊥B1C1，进而A1B1⊥平面B1BCC1，A1B1⊥BC1，由侧面B1BCC1为菱形，得B1C⊥BC1，从而BC1⊥平面A1B1C，由此能证明BC1⊥A1C.17.答案：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，MB⊂平面ABCD，∴PD⊥MB，又∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，∴MB⊥AD.又AD∩PD=D，∴MB⊥平面PAD．(2)解：∵M是AD中点，∴点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，∵平面PMB⊥平面PAD，∴DH⊥平面PMB．∴DH是点D到平面PMB的距离．∵DH=a2×a√52a=√55a．∴点A到平面PMB的距离为√55a．解析：(1)由已知条件推导出PD⊥MB，MB⊥AD.由此能证明MB⊥平面PAD．(2)过点D作DH⊥PM于H，由已知条件推导出DH是点D到平面PMB的距离．由此能求出点A到平面PMB的距离．本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．18.答案：解：(1)圆M：，圆心为M(0,1)，半径为5√2，A(0,8)，设切线的方程为y=kx+8，圆心距d=7√k2+1=5√2．∴k =±√735， 所求直线l 1，l 2的方程为√73x −5y +40=0或√73x +5y −40=0．(2)当l 1⊥l 2时，四边形MCAB 为正方形，∴AM =√2MB =√2×5√2=5．A(a,8−a)，M(0,1)，则√a 2+(7−a)2=5，即a 2−7a +12=0，∴a =3或a =4．(3)若BC =√10，则BD =√102，MB =√2， ∴MD =√10，又MB 2=MD ·MA ，．∵圆心M 到直线l 0的距离为，∴点A 不存在．解析：【分析】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，即可求直线l 1，l 2的方程；(2)当直线 l 1，l 2互相垂直时，四边形MCAB 为正方形，即可求a 的值；(3)BC =√10，即可求出BD ，MB ，MD ，又利用MB 2=MD ·MA ，求得MA ，利用圆心M 到直线l的距离为，即可得出结论．2。

天水市一中高一级2017—2018学年度第一学期第三次考试数学试题（满分：100分 时间：90分钟）一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两条直线20ax y --=和()210a x y --+=互相平行，则a 等于 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -12．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调增的是（ ）A. 1y x=B. lg y x =C. 1y x =-D. 22y x =- 3. 设,αβ为两个不重合的平面， ,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//αβ， l α⊂，则//l β；②若m α⊂， n α⊂， //m β， //n β，则//αβ；③若//l α， l β⊥，则αβ⊥；④若m α⊂， n α⊂，且l m ⊥， l n ⊥，则l α⊥.其中正确命题的序号是（ ）A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ②④4．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的位置关系是（ ）．A. 内含B. 外离C. 外切D. 相交5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. 46 B. 48 C. 50 D. 526．三个数20.3a =， 2log 0.3b =， 0.32c =之间的大小关系是（ ） A. a c b << B. a b c << C. b a c << D. b c a <<7．如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长都相等，则二面角1A BC A --的平面角的正切值为（ ）A.62B. 3C. 1D. 2338．在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB BB =，D 是1CC 的中点，则1CA 与BD 所成角的大小是（ ）A. 30oB. 45oC. 90oD. 60o9．若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. 1±B. 24±C. 2±D. 32± 10．已知()221x x af x -=+为奇函数， ()()2ln g x x b =-，若对任意的12,x x R ∈， ()()12f x g x ≤恒成立，则b 的取值范围为（ ）A. (],e -∞-B. (],0-∞C. [],0e -D. [),e -+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．直线3x ay +=与圆()2212x y -+=相切，则a =__________.12．过()()11,13A B -，，,圆心在x 轴上的圆的标准方程为_________________． 13．设函数()244,1{ 43,1x x f x x x x -≤=-+>， ()2log g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是-_________________.14．在四面体S ABC -中， ,2,2,AB BC AB BC SA SC ⊥====平面SAC ⊥平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为 ．三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明. 15．（本小题10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中， 12AB AC AA ===， 90BAC ∠=o ． （1）求证： BA ⊥C A 1； （2）求三棱锥11A BB C -的体积．16．（本小题10分）已知圆C: ()2215x y +-=,直线:10.l mx y m -+-=(1)求证:对m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点;(2)设直线l 与圆C 交于,A B 两点,若17AB =,求直线l 的方程. 17．（本小题12分）如图 1，在直角梯形ABCD中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2． （1）求证： //AM 平面BEC ； （2）求证： BC ⊥平面BDE ；（3）求CD 与平面BEC 所成角的正弦值.18．（本小题12分）已知线段AB 的端点()0,4B ，端点A 在圆()16422=++y x 上运动(Ⅰ)求线段AB 的中点C 的轨迹方程.(Ⅱ) 设动直线()()10y k x k =-≠与圆C 交于,A B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.数学参考答案一、选择BCADB CDCBA 二、填空11. 12.13.3 14.三、解答15. （1）平面又，，平面（2）16. (证明:直线,经过定点,,定点在圆内,故对,直线与圆总有两个不同的交点.(由圆心到直线的距离,而圆的弦长,即,,,解得,故所求的直线方程为或17.(1)证明：取中点，连结. 在中， 分别为的中点，所以,且. 由已知, 所以四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面,且平面， 所以平面. (2)证明：在正方形中， , 又因为平面平面，且平面平面,所以平面. 所以 在直角梯形中，,可得. 在中，.所以.所以平面.(3)作于点，连接,则为所求的角由(2)知，所以,又因为平面又.所以，.18. （Ⅰ）圆的方程为；（Ⅱ）设，由得，,所以若直线与直线关于轴对称，则，即所以当点为时，直线与直线关于轴对称.。

甘谷一中2019-2020学年上学期高一数学第二次月考卷第I 卷（选择题)一、单选题1．满足条件{}{}0,10,1A ⋃=的所有集合A 的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D 是ABC ∆的BC 边中点，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则三条线段AB ，AD ，AC 中（）．A．最长的是AB ，最短的是AC B．最长的是AC ，最短的是AB C．最长的是AB ，最短的是AD D．最长的是AC ，最短的是AD3．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A．B．C．D．4．如图，是⊙0直径，是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有（）A．个B．个C．1个D．个5．下列四个命题中，正确命题的个数为()①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线一定可以确定一个平面；③若，，，则；④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1B．2C．3D．46．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C．2倍D．2倍7．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（）A．163πB．323πC．643πD．2563π8．圆柱的侧面展示图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）A．2πB．1πC．22πD．21π9．在如图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点,则异面直线AC 和MN 所成的角为()A．30 B．45 C．60D．9010．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm ),则该几何体的表面积为()A．224cm πB．218cm πC．245cm πD．248cm π11．已知()f x 是偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，若(lg )(1)f x f >，则x 的取值范围是（）A．1(,1)10B．(0,1)(10,)⋃+∞C．1(,10)10D．1(0,)(1,)10⋃+∞12．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．814πB．16πC．24πD．274π第II 卷（非选择题)二、填空题13．下列命题正确的有________(只填序号)①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;②若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α;③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的直线平行或异面;⑤若平面α∥平面β,直线a ⊂α,直线b ⊂β,则直线a ∥b .14．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的表面积为__________。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，，集合3，，集合，则为A. 4，B. 3，C. 2，D. 3，4，【答案】A【解析】解：全集2，3，4，，集合3，，，，4，．故选：A．根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.A. B. C. D.【答案】A【解析】解：；故选：A．利用诱导公式直接化简函数的表达式，通过特殊角的三角函数值求解即可．本题是基础题，考查三角函数的求值，注意正确应用诱导公式是解题的关键．3.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，，故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算和，再代入所求即可本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题4.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则，解得：，或所以原函数的定义域为．故选：C．根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．5.已知函数，在下列区间中包含零点的区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，是连续函数，，，根据零点存在定理，，函数在存在零点，故选：B．要判断函数，的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数在区间上存在一个零点，则，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，要分类讨论．6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】解：把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：D．由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．7.已知向量，，满足，，，，则与的夹角等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，与的夹角等于故选：A．要求夹角，就要用到数量积，所以从入手，将，代入，求得向量，的数量积，再用夹角公式求解．本题主要考查向量的数量积和向理的夹角公式，数量积是向量中的重要运算之一，是向量法解决其他问题的源泉．8.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，即故选：D．要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．9.若扇形的圆心角是，半径为R，则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：4【答案】C【解析】解：扇形的圆心角是，半径为R，扇形扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，几何知识，，所以内切圆的半径为，，圆形扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为：故选：C．确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键．10.如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是A. 减函数且最小值是2B. 减函数且最大值是2C. 增函数且最小值是2D. 增函数且最大值是2【答案】A【解析】解：偶函数在上是增函数且最小值是2，由偶函数在对称区间上具有相反的单调性可知，在上是减函数且最小值是2．故选：A．直接由函数奇偶性与单调性的关系得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，关键是明确偶函数在对称区间上具有相反的单调性，是基础题．11.已知的最大值为A，若存在实数，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：或的最大值为；由题意得，的最小值为，的最小值为．故选：B．根据题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出的最小值．本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．12.定义一种运算，若，当有5个零点时，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，，其图象如下：结合图象可知，有5个零点时，实数m的取值范围是，故选：A．画出，图象，结合图象可知，求解有5个零点时m的取值，本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数是幂函数，且其图象过原点，则______．【答案】【解析】解：函数是幂函数，且其图象过原点，，且，．故填．由已知知函数是幂函数，则其系数必定是1，即，结合图象过原点，从而解出m的值．本题考查幂函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用幂函数的图象，掌握图象的性质：当指数大于0时，图象必过原点需结合函数的图象加以验证．14.已知函数是定义在上的奇函数，且，则______．【答案】【解析】解：Ⅰ函数是定义在上的奇函数，，即，，，，，解得，，．故答案为：．由题意可得，，代入可求b，然后由且可求a，进而可求函数解析式；本题主要考查了奇函数定义的应用及待定系数求解函数的解析式，考查了函数的单调性在不等式的求解中的应用．15.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则______．【答案】1【解析】解：的外接圆的圆心为O，且，为BC的中点，故为直角三角形，，为等边三角形，，则．故答案为：1．由的外接圆的圆心为O满足，可知O为BC的中点，且为直角三角形，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量基本定理，向量的数量积的定义的应用，解题的关键是找到为直角三角形的条件．16.若，则______【答案】【解析】解：，，．故答案为：．利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．本题考查了三角函数求值运算问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量，，点．求线段BD的中点M的坐标；若点满足，求y与的值．【答案】解：设，，，解得即．同理可得．线段BD的中点M的坐标为，，，由得，解得，．【解析】利用向量中点坐标公式和向量共线定理即可得出．熟练掌握向量中点坐标公式和向量共线定理是解题的关键．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：；；；；．试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】本小题满分12分解：方法一：选择式，计算如下：分三角恒等式为．证明如下：分方法二：同方法一．三角恒等式为．证明如下：分【解析】方法一：选择式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解发现推广三角恒等式为，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．方法二：同方法一发现推广三角恒等式为由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，归纳推理，属于基本知识的考查．19.销售甲、乙两种商品所得利润分别是、万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，，其中m，a，b都为常数，函数，对应的曲线、如图所示．求函数、的解析式；若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．【答案】解：由题意，解得，分又由题意得，分不写定义域扣一分设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入万元由得，分令，则有，，当即时，y取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元分不答扣一分【解析】根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数、的解析式；对甲种商品投资万元，对乙种商品投资万元，根据公式可得甲、乙两种商品的总利润万元关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．20.已知函数其中，，，的部分图象如图所示．求A，，的值；已知在函数图象上的三点M，N，P的横坐标分别为，1，3，求的值．【答案】解：由图知，分的最小正周期，所以由，得分又且，所以，，解得分因为，，，所以，，，设，分在等腰三角形MNP中，设，则分所以分【解析】根据的图象特征，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值．求出三点M，N，P的坐标，在等腰三角形MNP中，设，求出、的值，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．21.已知，函数．求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；当时，求函数的值域．【答案】解：分的最小正周期为，令，得，，．故所求对称中心的坐标为，分，分，即的值域为分【解析】由向量的坐标运算可求得，从而可求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；由可得，从而可求得函数的值域．本题考查平面向量数量积的运算，考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的定义域和值域及其周期，属于三角中的综合，考查分析问题、解决问题的能力．22.已知函数，．Ⅰ若在上存在零点，求实数a的取值范围；Ⅱ当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ：因为函数的对称轴是，所以在区间上是减函数，因为函数在区间上存在零点，则必有：即，解得，故所求实数a的取值范围为．Ⅱ若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集．，的值域为，下求的值域．当时，为常数，不符合题意舍去；当时，的值域为，要使，需，解得；当时，的值域为，要使，需，解得；综上，m的取值范围为．【解析】在上单调递减函数，要存在零点只需，即可存在性问题，只需函数的值域为函数的值域的子集即可．本题主要考查了函数的零点，值域与恒成立问题．。

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，，,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定集合U再利用交集与补集运算即可【详解】，则=故选:C【点睛】本题考查集合的运算，准确确定集合U是关键，是基础题2.=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. yB. y＝3x﹣3﹣xC. y＝tanxD. y【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析函数定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.对于B选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.对于C选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.对于D选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.综上所述，符合题意的是B选项.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4.设x∈R，向量（x，1），（1，2），若⊥，则＝（）A. B. C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，求得的值，由此求得【详解】由于⊥，所以，解得，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量加法、模的坐标运算，属于基础题.5.下列各式中成立的是（）A. log76＜log67B. log0.44＜log0.46C. 1.013.4＞1.013.5D. 3.50.3＜3.40.3【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、指数函数和幂函数的性质，判断出正确选项.【详解】对于A选项，根据对数函数的性质可知，故A选项正确.对于B选项，由于在上递减，所以，故B选项错误.对于C选项，由于在上递增，所以，故C选项错误.对于D选项，由于在上递增，所以，故D选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查根据对数函数、指数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题.6.若x0＝cosx0，则（）A. x0∈（，）B. x0∈（，）C. x0∈（，）D. x0∈（0，）【答案】C【解析】【分析】画出的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数，利用零点存在性定理，判断出零点所在的区间【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数，，，根据零点存在性定理可知，的唯一零点在区间.故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.8.sin1，cos1，tan1的大小关系为（）A. sin1＞cos1＞tan 1B. cos1＞sin1＞tanlC. tan1＞sin1＞cos1D. sinl＞tanl＞cosl【答案】C【解析】【分析】根据的大小，判断出的大小关系.【详解】由于，所以，所以C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数值比较大小，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【详解】当时，的可变形为，，．当时，的可变形为，，故答案为．故选D．【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10.若函数y＝f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y sinx的图象；则函数y＝f（x）的解析式是（）A. y sin（）B. y sin（）C. y sin（2x）D. y sin（2x）【答案】D【解析】【分析】将图像变换反过来，由变换为，由此确定正确选项.【详解】依题意，由向右移个单位，得到，再纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，得到.故选：D【点睛】本小题主要考查求三角函数图像变换前的解析式，属于基础题.11.给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα＝1；②函数y＝sin（x）是偶函数：③直线x是函数y＝sin（2x）的一条对称轴：④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确的命题是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和三角函数的值域，判断①的正确性；利用诱导公式及三角函数的奇偶性判断②的正确性；将代入，根据结果判断③的正确性；根据特殊角的三角函数值，判断④的周期性.【详解】对于①，由于，所以①错误.对于②，由于，所以函数为偶函数，所以②正确.对于③，将代入得，所以是的一条对称轴，所以③正确.对于④，例如为第一象限角，则，即，所以④错误.故正确的为②③.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.12.关于函数f（x）（x∈R），有下述四个结论：①任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）＝0恒成立；②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|＝m有两个不等实数根；④存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）＝f（x）﹣kx在R上有三个零点．其中包含了所有正确结论编号的选项为（）A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断①的正确性，根据函数的单调性判断②的正确性，根据的图像判断③的正确性，根据与的图像判断④的正确性.【详解】函数的定义域为，且，所以，即函数为奇函数，故①正确.为上的奇函数，，当时，为增函数，所以在上是增函数，所以②正确.是上的奇函数、增函数，且当时，.则为偶函数，且当时，，递增；当时，；当时，递减.由此画出的图像如下图所示，由图可知，当是，与有两个不同的交点，所以③正确.画出与的图像如下图所示，由图可知，当时，两个函数图像没有三个交点，所以④正确.证明如下：当时，，，，所以于的图像相切.当时，，，，所以于的图像相切.结合图像可知与的图像只有一个公共点，当时，与的图像也只有一个公共点.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y的定义域为_____．【答案】（1，2）．【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根被开发数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 14.已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为_____．【答案】．【解析】【分析】根据两个向量垂直的表示列方程，结合向量数量积的运算公式，化简求得与的夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.【详解】由于（）⊥，所以，即，，，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.15.已知sin2α，则tanα＝_____．【答案】或．【解析】【分析】利用“”的代换的方法，化简求得的值.【详解】依题意，化简得，即，，解得或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，则k的取值范围是_____；②若f（x）的值域为R，则k的取值范围是_____．【答案】 (1). [0，） (2). k【解析】【分析】（1）根据的定义域为，对分成三种情况分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.（2）当值域为时，由求得取值范围.【详解】函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，可得kx2+4kx+3＞0恒成立，当k＝0时，3＞0恒成立；当k＞0，△＜0，即16k2﹣12k＜0，解得0＜k；当k＜0不等式不恒成立，综上可得k的范围是[0，）；②若f（x）值域为R，可得y＝kx2+4kx+3取得一切正数，则k＞0，△≥0，即16k2﹣12k≥0，解得k．故答案为：(1). [0，） (2). k【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知f（α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α），且α为第三象限角，求cos（α）的值．【答案】（1）f（α），（2）．【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简表达式.（2）由，求得的值，进而求得的值，再由两角和的余弦公式，求得的值.【详解】（1）f（α），（2）由f（α），又已知α为第三象限角，所以sinα＜0，所以sinα，所以cos（α）＝cosαcos sinαsin．【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题. 18.已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明(3)解不等式：．【答案】（1）（2）见证明；（3）【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2) ，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，∴，解集为．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的坐标关系，得到，再代入即可求值.（2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简，得到，根据，求出的值域.【详解】（1）若，则，∴.∴.（2），∵，∴，∴，∴，∴的值域为．【点睛】本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题.20.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）【答案】（1）；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【解析】【分析】（1）利润收益成本，由已知分两段当时，和当时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【详解】解：（1）月产量为台，则总成本为元，从而．（2）由（1）可知，当时，，当时，；当时，是减函数，，当时，，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润25000元．【点睛】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．21.已知函数f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0．（1）若f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若f（x）在（0，]上是增函数，求ω的最大值．【答案】（1）ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）最大值为．【解析】【分析】（1）先求得的表达式，根据的最小正周期和奇偶性，求得的值，（2）先有，求得，由求得的最大值.【详解】（1）由f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0，∴f（x+θ）＝2sin（3ωx+3ωθ），∵f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，∴2π，∴ω，∵3ωθkπ，k∈Z，即θ＝kπ，k∈Z．综上可得，ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）（x）＝2sin（3ωx）在（0，]上是增函数，在（0，]上，3ωx∈（，ωπ]，∴ωπ，∴ω，即ω的最大值为．【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.22.设为实数，函数．（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的最小值；（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”．如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）是偶函数，在上恒成立，即，所以得（2）当时，所以在上的最小值为，在上的的最小值为f（）＝，因为＜5，所以函数的最小值为．（3）因为函数是区间上的平均值函数，所以存在，使而，存在，使得即关于的方程在内有解；由得解得所以即故的取值范围是考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，，,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定集合U再利用交集与补集运算即可【详解】，则=故选:C【点睛】本题考查集合的运算，准确确定集合U是关键，是基础题2.=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. yB. y＝3x﹣3﹣xC. y＝tanxD. y【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析函数定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.对于B选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.对于C选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.对于D选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.综上所述，符合题意的是B选项.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4.设x∈R，向量（x，1），（1，2），若⊥，则＝（）A. B. C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，求得的值，由此求得【详解】由于⊥，所以，解得，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量加法、模的坐标运算，属于基础题.5.下列各式中成立的是（）A. log76＜log67B. log0.44＜log0.46C. 1.013.4＞1.013.5D. 3.50.3＜3.40.3【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、指数函数和幂函数的性质，判断出正确选项.【详解】对于A选项，根据对数函数的性质可知，故A选项正确.对于B选项，由于在上递减，所以，故B选项错误.对于C选项，由于在上递增，所以，故C选项错误.对于D选项，由于在上递增，所以，故D选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查根据对数函数、指数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题. 6.若x0＝cosx0，则（）A. x0∈（，）B. x0∈（，）C. x0∈（，）D. x0∈（0，）【答案】C【解析】【分析】画出的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数，利用零点存在性定理，判断出零点所在的区间【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数，，，根据零点存在性定理可知，的唯一零点在区间.故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.8.sin1，cos1，tan1的大小关系为（）A. sin1＞cos1＞tan 1B. cos1＞sin1＞tanlC. tan1＞sin1＞cos1D. sinl＞tanl＞cosl【答案】C【解析】【分析】根据的大小，判断出的大小关系.【详解】由于，所以，所以C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数值比较大小，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【详解】当时，的可变形为，，．当时，的可变形为，，故答案为．故选D．【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10.若函数y＝f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y sinx的图象；则函数y＝f（x）的解析式是（）A. y sin（）B. y sin（）C. y sin（2x）D. y sin（2x）【答案】D【解析】【分析】将图像变换反过来，由变换为，由此确定正确选项.【详解】依题意，由向右移个单位，得到，再纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，得到.故选：D【点睛】本小题主要考查求三角函数图像变换前的解析式，属于基础题.11.给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα＝1；②函数y＝sin（x）是偶函数：③直线x是函数y＝sin（2x）的一条对称轴：④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确的命题是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和三角函数的值域，判断①的正确性；利用诱导公式及三角函数的奇偶性判断②的正确性；将代入，根据结果判断③的正确性；根据特殊角的三角函数值，判断④的周期性.【详解】对于①，由于，所以①错误.对于②，由于，所以函数为偶函数，所以②正确.对于③，将代入得，所以是的一条对称轴，所以③正确.对于④，例如为第一象限角，则，即，所以④错误.故正确的为②③.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.12.关于函数f（x）（x∈R），有下述四个结论：①任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）＝0恒成立；②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|＝m有两个不等实数根；④存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）＝f（x）﹣kx在R上有三个零点．其中包含了所有正确结论编号的选项为（）A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断①的正确性，根据函数的单调性判断②的正确性，根据的图像判断③的正确性，根据与的图像判断④的正确性.【详解】函数的定义域为，且，所以，即函数为奇函数，故①正确.为上的奇函数，，当时，为增函数，所以在上是增函数，所以②正确.是上的奇函数、增函数，且当时，.则为偶函数，且当时，，递增；当时，；当时，递减.由此画出的图像如下图所示，由图可知，当是，与有两个不同的交点，所以③正确.画出与的图像如下图所示，由图可知，当时，两个函数图像没有三个交点，所以④正确.证明如下：当时，，，，所以于的图像相切.当时，，，，所以于的图像相切.结合图像可知与的图像只有一个公共点，当时，与的图像也只有一个公共点.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y的定义域为_____．【答案】（1，2）．【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根被开发数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.14.已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为_____．【答案】．【解析】【分析】根据两个向量垂直的表示列方程，结合向量数量积的运算公式，化简求得与的夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.【详解】由于（）⊥，所以，即，，，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.15.已知sin2α，则tanα＝_____．【答案】或．【解析】【分析】利用“”的代换的方法，化简求得的值.【详解】依题意，化简得，即，，解得或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，则k的取值范围是_____；②若f（x）的值域为R，则k的取值范围是_____．【答案】 (1). [0，） (2). k【解析】【分析】（1）根据的定义域为，对分成三种情况分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.（2）当值域为时，由求得取值范围.【详解】函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，可得kx2+4kx+3＞0恒成立，当k＝0时，3＞0恒成立；当k＞0，△＜0，即16k2﹣12k＜0，解得0＜k；当k＜0不等式不恒成立，综上可得k的范围是[0，）；②若f（x）值域为R，可得y＝kx2+4kx+3取得一切正数，则k＞0，△≥0，即16k2﹣12k≥0，解得k．故答案为：(1). [0，） (2). k【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知f（α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α），且α为第三象限角，求cos（α）的值．【答案】（1）f（α），（2）．【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简表达式.（2）由，求得的值，进而求得的值，再由两角和的余弦公式，求得的值.【详解】（1）f（α），（2）由f（α），又已知α为第三象限角，所以sinα＜0，所以sinα，所以cos（α）＝cosαcos sinαsin．【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题.18.已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明(3)解不等式：．【答案】（1）（2）见证明；（3）【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2) ，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，∴，解集为．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的坐标关系，得到，再代入即可求值.（2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简，得到，根据，求出的值域.【详解】（1）若，则，∴.∴.（2），∵，∴，∴，∴，∴的值域为．【点睛】本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题.20.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）【答案】（1）；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【解析】【分析】（1）利润收益成本，由已知分两段当时，和当时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【详解】解：（1）月产量为台，则总成本为元，从而．（2）由（1）可知，当时，，当时，；当时，是减函数，，当时，，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润25000元．【点睛】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．21.已知函数f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0．（1）若f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若f（x）在（0，]上是增函数，求ω的最大值．【答案】（1）ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）最大值为．【解析】【分析】（1）先求得的表达式，根据的最小正周期和奇偶性，求得的值，（2）先有，求得，由求得的最大值.【详解】（1）由f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0，∴f（x+θ）＝2sin（3ωx+3ωθ），∵f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，∴2π，∴ω，∵3ωθkπ，k∈Z，即θ＝kπ，k∈Z．综上可得，ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）（x）＝2sin（3ωx）在（0，]上是增函数，在（0，]上，3ωx∈（，ωπ]，∴ωπ，∴ω，即ω的最大值为．【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.22.设为实数，函数．（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的最小值；（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”．如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）是偶函数，在上恒成立，即，所以得（2）当时，所以在上的最小值为，在上的的最小值为f（）＝，因为＜5，所以函数的最小值为．（3）因为函数是区间上的平均值函数，所以存在，使而，存在，使得即关于的方程在内有解；由得解得所以即故的取值范围是考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。