【精品】2016年甘肃省天水市甘谷一中高一上学期期末数学试卷

甘肃省天水一中2016-2017学年高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°2．（5分）已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 23．（5分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k的值是（）A．﹣3 B．1 C．1或﹣3 D．0或14．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n⊥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β．A．②B．②③ C．③④ D．①④5．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣6．（5分）如图所示，在空间直角坐标系中，D是坐标原点，有一棱长为a的正方体ABCD ﹣A1B1C1D1，E和F分别是体对角线A1C和棱AB上的动点，则|EF|的最小值为（）A．B．C．a D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．8．（5分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）已知异面直线a与b所成角为60°，过空间内一定点P且与直线a、b所成角均为60°的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）是定义域R在上的奇函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log2）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B． C． D．（0，2]二、填空题（每题4分，满分16分）11．（4分）已知长方体的长宽高分别为3，2，1，则该长方体外接球的表面积为．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为．13．（4分）已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+m}，且M∩N≠∅，则m 的取值范围为．14．（4分）在侧棱长为的正三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=40°，过A作截面AMN，交SB于M，交SC于N，则截面AMN周长的最小值为．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，P A=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．16．（10分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（1）求证：直线l过定点；（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．17．（12分）已知A、B两点的坐标为（﹣1，0）、（1，0），点P到A、B两点的距离比是一个常数a（a＞0），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，底面ABCD是一个梯形，且AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AD=2CD=8．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）当M点位于线段PC什么位置时，P A∥平面MBD？请证明你的结论．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D【解析】A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°2．C【解析】函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=f（ln e）=f（1）=2．3．C【解析】由直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直可得k（k﹣1）+（1﹣k）（2k+3）=0，即（k﹣1）（k+3）=0，解得k=1或k=﹣3，4．A【解析】①若m⊥α，n⊥α，则m∥n，因此①不正确；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，正确；③若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，因此不正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，因此不正确．综上可知：只有②正确．5．A【解析】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k P A，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．6．B【解析】由题意，|EF|的最小值为体对角线A1C和棱AB间的距离，显然E，F分别是体对角线A1C和棱AB的中点时，满足题意，此时|EF|==a，7．A【解析】由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，8．C【解析】圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．9．C【解析】把直线a，b平移，使两直线经过P，如图，则a，b所成角为60°，其补角为120°，当l经过P且为120°角的角平分线时，l与a，b均成60°角，设60°角的角平分线为c，把c绕P旋转，且在旋转过程中保持与a，b成等角θ，则θ逐渐增大，上下旋转各能得到一个位置，使l与a，b所成的角均为60°，∴这样的直线l有3条．10．D【解析】∵f（x）是定义域为R上的偶函数，∴不等式f（log2a）+f（log2）≤2f（1），等价为2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1），则f（log2a）≤f（1），∵在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴log2a≤1，解得0＜a≤2．二、填空题（每题4分，满分16分）11．14π【解析】长方体一顶点出发的三条棱a，b，c的长分别为3，2，1，得a2+b2+c2=14．于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=14．故外接球的表面积为S=4πR2=14π．故答案为：14π．12．x+y﹣3=0【解析】由题意，圆x2+（y﹣1）2=4的圆心坐标为C（0，1），∵圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵=1，∴k AB=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．13．﹣3【解析】根据题意画出相应的图形，当直线y=x+m与半圆y=相切，且切点在第二象限时，圆心到直线的距离d=r，即=3，解得：m=3或m=﹣3（不合题意，舍去），当直线过点（3，0）时，将x=3，y=0代入得：3+m=0，解得：m=﹣3，则m的取值范围为﹣3≤m≤3．故答案为：﹣3≤m≤314．6【解析】将三棱锥S﹣ABC侧面沿SA剪开展成如下平面图形．观察图形知：当A，M，N三点共线时，△AMN的周长最小，此时，△AMN的周长=AN+MN+AM=2•ASsin60°=2×2sin60°=6．故答案为：6．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．解（1）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵正方形ABCD中，CD⊥AD，P A∩AD=A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥AF，∵P A=AD，FP=FD∴AF⊥PD又∵CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC…（6分）（2）连接CF由（1）可知CF是AF在平面PCD内的射影∴∠ACF是AF与平面PCD所成的角∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC在△ACF中，∴AF与平面PCD所成的角为30°．…..（12分）16．解（1）证明：把直线l的方程整理成m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0由于m的任意性，有，解此方程组，得，所以直线l恒过定点D（3，1）；（2）解：当直线l与DC垂直时，被截得的弦最短，此时，直线l与DC的斜率k l•k CD=﹣1，由直线l的方程得，由点C、D的坐标得∴，解得，所以，当时，直线l被圆C截得的弦最短．17．解由可得：两边同时平方并化简可得（a2﹣1）x2+（a2﹣1）y2﹣2（a2+1）x+a2﹣1=0（1）当a=1时，方程变为x=0，表示y轴，是一条直线；当a≠1时，（1）式两边同时除以（a2﹣1）可得：配方后为：，表示以为圆心，以为半径的圆．18．解（1）证明：平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD=AD．∵AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∴BD⊥平面ABCD∴平面MBD⊥平面ABCD，（2）解：过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面P AD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．又∵△P AD是边长为4的等边三角形，∴PO=2，∴V P﹣ABCD==24（3）当M为PC的三等分点，即2CM=MP时，结论成立．证明：连AC交BD于点N，∵CD∥AB，CD=AB，∴，∴MN∥P A，P A⊄平面MBD，MN⊂平面MBD，∴P A∥平面MBD．。

甘肃省天水市一中2016届高三上学期期末考试数学（文）试题 命题: 汪生武 张硕光 审核：张硕光 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第一卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则)(B C A U ⋂=（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3 D ．{}1,3 2．复数iz -=12，则复数z 的模是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22 3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②4．已知(1,2)a =- ，(2,)b m = ，若a b ⊥ ，则||b =（ ）A ．12B ．1C 5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）． A ．5 B ．7 C ．9D ．11 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋47．若动圆与圆()2224x y ++=相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2+12x-12=0B ． y 2-12x+12=0C ． y 2+8x=0D ． y 2-8x=08．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9C ．7D ．59．已知函数()()x x x x f cos cos sin +=，则下列说法正确的为（ ） A ．函数()x f 的最小正周期为π2 B ．函数()x f 的最大值为2C ．函数()x f 的图象关于直线8π-=x 对称D ．将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后会得到一个奇函数图像10．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P —ABCD ，其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，PA=1，且PA ⊥平面ABCD ，则球体毛坯体积的最小值应为（ ）π33.A π3.B43πD.2 11．若5(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --≤⎧=⎨>⎩是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．1,35⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3[,3)5C ．3(,3)5D ．1,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知f （x ）＝5－2|x|，g （x ）＝x 2－2x ，F （x ）＝()()()()()(),,g x f x g x f x g x f x ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩若若， 则F （x ）的最值是（ ）A ．最大值为3，最小值525-B ．最大值为525+，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值第二卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．如果函数y =f (x )=2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，那么a 等于__________．14．若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．15．焦点为()3,0±，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是__________．16．设ABC O ∆为的外心，且满足=+则_____=∠ACB ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2sin c A =． （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的面积为2，求a b +的值． 18．（本小题满分12分）某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？（3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？19．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，BE BC BA ,,两两垂直，且2,//,//==BE AB BE CD EF AB ，1===EF CD BC ．（1）若点G 在线段AB 上，且GA BG 3=，求证：ADF CG 平面//；（2）求多面体ABCDEF 的体积． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|1F 2F |=2，点（1，23）在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若∆A 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示,锐角三角形ABC 的内心为I,过点A 作直线BI 的垂线,垂足为H,点E 为圆I 与边CA 的切点.(1)求证A,I,H,E 四点共圆;(2)若∠C=50°,求∠IEH 的度数.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点．(1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42;（2）已知a>0a ＋1a －2.天水市一中2016届高三第一学期第四次阶段考试数学（文科）命题: 汪生武 张硕光 审核：张硕光本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．D 2． B3． B4． D5． A 6． D 7．A 8． B ．9． D10． D.11． B12． C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13． 6 14． 32． 15．16322=-x y 16． 32ACB π=∠三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（本小题满分12分） 【答案】（1）60 （2）5a b += 【解析】试题分析：（12sin c A =利用正弦定理将边化为角，得到关于C 的三角函数，求解C 角大小；（2）由C 角c 边利用余弦定理可得到关于,a b 的方程，利用三角形面积可得关于,a b 的另一方程，解方程组可得到a b +的值试题解析：（1）2sin c A =，由正弦定理2sin sin A C A =sin C ∴=由ABC ∆是锐角三角形， 60C ∴=（2）1sin 2ABC S ab C ∆==6ab ∴=， 2221cos 22a b c C ab +-== ，将c =2213a b +=，()22221312255a b a b ab a b ∴+=++=+=∴+=考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角形面积公式18．（本小题满分12分）（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？（3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？【答案】（1）15，0.3（2）第2、5组分别抽取3人、4人．（3）67 【解析】试题分析：（1）由频数、频率及总数关系得第2组的频数为1000.1515⨯=，第3组的频率为300.3100=（2）分层抽样就是按比例抽样：157335⨯=，207435⨯=（3）利用枚举法列出从这7名学生中随机抽取2名学生的总数：21种，再从中挑出至少有1名学生来自第5组的个数：18种，也可从其对立事件出发，最后根据古典概型概率求法求概率 试题解析：（1）由频率分布表可知， 第2组的频数为1000.1515⨯=（人）， 第3组的频率为300.3100=；（2）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第3组：157335⨯=(人)， 第5组：207435⨯=(人)，所以第2、5组分别抽取3人、4人．（3）设第2组的3位同学为123,,A A A ，第5组的4位同学为1234,,,B B B B ， 则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：121311121314(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A B A B2321222324(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B31323334(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B121314(,),(,),(,),B B B B B B2324(,),(,),B B B B34(,),B B其中第5组的4位同学1234,,,B B B B 中至少有一位同学入选的有18种，故至少有1名学生来自第5组的概率为67．考点：分层抽样，古典概型概率19．（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE = ．∵A H H =∴ 12GH MF又∵1,2C D B E B E M F∴CD GH ∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CG DH ，又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面A D F ．（Ⅱ）43． 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，由已知条件能推导出四边形CDHG 是平行四边形，由此能证明CG 平面ADF ；（Ⅱ）首先将多面体ABCDEF 分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -，然后分别求出四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -的体积，最后将其作加法即可得出所求的结论．试题解析：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE = ．∵A H H =∴ 12GH MF又∵1,2C D B E B E M F∴CD GH ∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CG DH ，又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面A D F ．（Ⅱ）因为多面体ABCDEF 的体积可分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -的体积之和，而四棱锥D A-的体积为：111(12)211332D ABE AB E F V SB C -=⨯⨯=⨯+⨯⨯=，三棱锥A BCD -的体积为11111123323A BCD BCD V S AB -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以多面体ABCDEF的体积14133ABCDEF V =+=．考点：1、线面平行的判定定理；2、空间几何体的体积．20．（本小题满分12分）【答案】 (1) 13422=+y x (2) 2)1(22=+-y x解析：（1）椭圆C 的方程为13422=+y x（2）①当直线l ⊥x 轴时，可得A （-1，-23），B （-1，23），∆A 2F B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k （x+1）．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x +-=+，222143128kk x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12k k ++ 又圆2F 的半径r=21||2k k +，∴∆A 2F B 的面积=21|AB| r=22431||12kk k ++=7212，化简得：174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x 21. （本小题满分12分）【答案】 (1) a=1（2）{b|b ＞3}（3）﹣2l n2解析：解：（1）∵f（x ）=x+alnx ，∴f′（x ）=1+，∵f（x ）在x=1处的切线l 与直线x+2y=0垂直， ∴k=f′（x ）|x=1=1+a=2，解得a=1． （2）∵g（x ）=lnx+﹣（b ﹣1）x ，∴g′（x ）=，x ＞0，由题意知g′（x ）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b ＜0有解，∵定义域x ＞0，∴x+≥2，x+＜b ﹣1有解， 只需要x+的最小值小于b ﹣1，∴2＜b ﹣1，解得实数b 的取值范围是{b|b ＞3}．（3）∵g（x ）=lnx+﹣（b ﹣1）x ，∴g′（x ）==0，∴x 1+x 2=b ﹣1，x 1x 2=1∴g（x 1）﹣g （x 2）=ln ﹣（﹣）∵0＜x 1＜x 2，∴设t=，0＜t ＜1，令h （t ）=lnt ﹣（t ﹣），0＜t ＜1， 则h′（t ）=﹣＜0，∴h（t ）在（0，1）上单调递减， 又∵b≥，∴（b ﹣1）2≥，∵0＜t ＜1，∴4t 2﹣17t+4≥0，∴0＜t ，h （t ）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22. 解析:(1)由圆I 与AC 相切于点E 得IE ⊥AC,结合HI ⊥A H,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E 四点共圆.(2)由(1)知A,I,H,E 四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=12∠ABC+12∠BAC=12(∠ABC+∠BAC)=12(180°-∠C)=90°-12∠C,结合IH ⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-(90°-12∠C)=12∠C,所以∠IEH=12∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程23. 解析：(1) 曲线1C 的普通方程为2212x y +=，2:cos sin 1C ρθρθ+=, 则2C 的普通方程为10x y +-=，则2C 的参数方程为：()12xty⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入1C得23140t+=，12AB t t=-=(2)12143MA MB t t==.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）证明：证法一2,2<<ba，∴42<a，42<b，∴042>-a，042>-b．∴()()04422>--ba，即44162222>+--baba，∴22221644baba+<+，∴2222816484baabbaba++<++，即()()22422abba+<+，∴abba+<+42．证法二：要证abba+<+42，只需证,8168442222abbaabba++<++只需证,16442222baba+<+只需证,044162222>--+baba即()()04422>--ba．2,2<<ba，∴42<a，42<b，∴()()04422>--ba成立．∴要证明的不等式成立．（2－a ＋1a －2，1a只需证a 2＋21a ＋4＋≥a 2＋21a ＋2＋1a a ⎫+⎪⎭＋2，即证1a a ⎫+⎪⎭， 只需证4221a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥22212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋， 即证a 2＋21a≥2，此式显然成立． ∴原不等式成立．。

2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则)(B C A U ⋂=（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3 D ．{}1,3 【答案】D【解析】试题分析：因为{}2,5B =，所以{}1,3,4U C B =，所以{}()1,3U A C B ⋂=． 【考点】集合的交集、补集运算 2．复数iz -=12，则复数z 的模是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22 【答案】B【解析】试题分析：()()()2121,111i z i z i i i +===+∴=--+ 【考点】复数的运算．3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①② 【答案】B【解析】试题分析：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④． 【考点】线性相关关系．4．已知(1,2)a =- ，(2,)b m = ，若a b ⊥ ，则||b =（ ）A ．12B ．1C 【答案】D【解析】试题分析：,220,1a b a b m m ⊥∴⋅=-=∴= ，所以||b =【考点】平面向量的数量积．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）． A ．5 B ．7 C ．9 D ．11试卷第2页，总15页【答案】A【解析】试题分析：13533,1,a a a a ++=∴= ()15535552a a S a+⨯∴===．【考点】1．等差中项；2．等差数列的前n 项和．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 【答案】D【解析】试题分析：根据几何体的三视图，得该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为21122234S πππ=⋅+⨯⨯+⨯=+几何体，故选：D ． 【考点】由三视图求面积、体积．7．若动圆与圆()2224x y ++=相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．212120y x +-= B ．212120y x -+= C ．280y x += D ．280y x -= 【答案】A【解析】试题分析：设圆()2224x y ++=的圆心1()20C -，，动圆圆心P 的()x y ，，半径为r ，作42x x PQ ==⊥，，直线4x Q =，为垂足，因圆P 与2x =相切，故圆P 到直线4x =的距离2PQ r =+，又12PC r =+，因此()P x y ，到1()20C -，与直线4x =的距离相等，P 的轨迹为抛物线，焦点为1()20C -，，准线4x =，顶点为(1)0，，开口向右，可得6P =，方程为()2121y x =--，故选A ．【考点】轨迹方程．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9C ．7D ．5 【答案】B【解析】试题分析：当1n =时，执行循环体后，2183T S n ===，，，不满足退出循环的条件，当3n =时，执行循环体后，8365T S n ===，，，不满足退出循环的条件，当5n =时，执行循环体后，32547T S n ===，，，不满足退出循环的条件，当7n =时，执行循环体后，128729T S n ===，，，满足退出循环的条件，故输出的n 值为9，故选B ． 【考点】程序框图．9．已知函数()()x x x x f cos cos sin +=，则下列说法正确的为（ ） A ．函数()x f 的最小正周期为π2 B ．函数()x f 的最大值为2 C ．函数()x f 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后会得到一个奇函数图像 【答案】D 【解析】试题分析：()()1111sin cos cos sin 2cos 22222242f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ ，∴将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后会得到试卷第4页，总15页11228422y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此函数为奇函数，故选D ． 【考点】三角函数的性质．【方法点睛】三角函数图象变换： （1）振幅变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A（2）周期变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω（3）相位变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ（4）复合变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω．10．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P —ABCD ，其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，1PA =，且D A BC P A ⊥平面，则球体毛坯体积的最小值应为（ ）A．3 BC ．43πD．2【答案】D【解析】试题分析：若使得球体毛坯体积最小，则四棱锥各顶点应都在球上，由题意，将四棱锥P ABCD -补成一个长方体，则转化为求长方体外接球体积，长方体体对角线为外接球直径，体对角线长为，所以球的半径为2，体积为34322π⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭． 【考点】多面体的外接球．11．若5(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --≤⎧=⎨>⎩是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．1,35⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3[,3)5C ．3(,3)5D ．1,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】试题分析：由题意可知53301351,355log 13535aa a a a a a a ⎧⎪<->⎧⎪⎪⎪⎡⎫>⇒>⇒∈⎨⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪≥-⎩⎪≥⎪⎩，故选B ．【考点】1．分段函数；2．函数的单调性．【方法点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．12．已知()()()()()()()()()2,,52-2g x f x g x x x x f x g x f x f x F x g x ⎧≥⎪⎨≥==⎪⎩＝－，，若若， 则F （x ）的最值是（ ）A ．最大值为3，最小值525-B ．最大值为525+，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值 【答案】C【解析】试题分析：由()()f x g x =得2522x x x -=-，若0x ≥时，2522x x x-=-等价为2522x x x -=-，即25x =，解得x =．若0x <时，2522x x x -=-等价为2522x x x +=-，即2450x x --=，解得1x =-或5x =（舍去）．即当1x ≤-时，()()52F x f x x ==+，当1x -<<时，()()22F x g x x x ==-，当x ≥()()52F x f x x ==-，作出函数图象，如下图则由图象可知当1x =-时，()F x 取得最大值()()11523F f -=-=-=，无最小值．故选C ．【考点】分段函数的应用．【思路点睛】本题考查分段函数及运用，主要考查函数最值的求法，利用数形结合是解试卷第6页，总15页决本题的基本数学思想．根据()F x 的定义求出函数()F x 的表达式，利用数形结合即可求出函数的最值．二、填空题13．如果函数()3223y f x x x a ==-+的极大值为6，那么a 等于__________．【答案】6【解析】试题分析：∵函数()3223f x x x a =-+，导数()266f x x x '=-，令()0f x '=，可得 0x =或1x =，导数在0x =的左侧大于0，右侧小于0，故()0f 为极大值．()06f a ==；导数在1x =的左侧小于0，右侧大于0，故()1f 为极小值，所以6a =．【考点】函数在某点取得极值的条件．14．若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．【答案】32【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示，然后将目标函数12z x y =+进行变形为： 12y x z =-+，所以要使得目标函数12z x y =+的最小值，由图可知，当其过点(1,1)B 时，取得最小值，且为min 131122z =⨯+=，故应填32．【考点】简单的线性规划．15．焦点为()3,0±，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是_________． 【答案】16322=-x y【解析】试题分析：双曲线1222=-y x 中222,1a b ==∴渐近线方程为y x =，所以所求双曲线方程中a b =，又2223,c a b c =+= 223,6a b ∴==，双曲线方程为16322=-x y ．【考点】双曲线方程及性质．【一题多解】由题意知，可设所求的双曲线方程是222x y k -=，∵焦点()3,0±在y 轴上，∴0k <，所求的双曲线方程是2212y x k k -=--，由2293k k c k --==∴=-，，故所求的双曲线方程是16322=-x y ，故答案为：16322=-x y ． 16．设ABC O ∆为的外心，且满足=+则_____=∠ACB ．【答案】32ACB π=∠ 【解析】试题分析：由OA OB OC +=，可知ABC ∆为钝角三角形，外心O 应在三角形的外部，且OA OB OC ==，如图，设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，又O A OB OC += ，∴2OM OC = ，即O C M ，，三点共线，且M 是OC 的中点，∴四边形AOBC 是菱形，由可得60ACO BCO ∠=∠=︒，∴120ACB ∠=︒．【考点】向量在几何中的应用．【思路点睛】由题意可知外心O 应在三角形的外部，知ABC ∆为钝角三角形，且OA OB OC ==，由向量加法的平行四边形法则，可知（AB 的中点为M ）2OA OB OM +=，结合已知条件和O A OB OC += ，可得AOBC 是菱形，即可得出答案．三、解答题试卷第8页，总15页17．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C2sin c A =． （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ∆，求a b +的值． 【答案】（1）60 （2）5a b +=【解析】试题分析：（12sin c A =利用正弦定理将边化为角，得到关于C 的三角函数，求解C 角大小；（2）由C 角c 边利用余弦定理可得到关于,a b 的方程，利用三角形面积可得关于,a b 的另一方程，解方程组可得到a b +的值试题解析：（1）2sin c A =，由正弦定理2sin sin A C A =sin 2C ∴=由ABC ∆是锐角三角形， 60C ∴= （2）1sin 22ABC S ab C ∆==6ab ∴=， 2221cos 22a b c C ab +-==，将c =2213a b +=，()22221312255a b a b ab a b ∴+=++=+=∴+=【考点】1．正余弦定理；2．三角形面积公式18．某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？（3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？【答案】（1）15，0.3（2）第2、5组分别抽取3人、4人．（3）67【解析】试题分析：（1）由频数、频率及总数关系得第2组的频数为1000.1515⨯=，第3组的频率为300.3100=（2）分层抽样就是按比例抽样：157335⨯=，207435⨯=（3）利用枚举法列出从这7名学生中随机抽取2名学生的总数：21种，再从中挑出至少有1名学生来自第5组的个数：18种，也可从其对立事件出发，最后根据古典概型概率求法求概率 试题解析：（1）由频率分布表可知， 第2组的频数为1000.1515⨯=（人）， 第3组的频率为300.3100=； （2）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第3组：157335⨯=（人）， 第5组：207435⨯=（人）， 所以第2、5组分别抽取3人、4人．（3）设第2组的3位同学为123,,A A A ，第5组的4位同学为1234,,,B B B B ， 则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：121311121314(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A B A B 2321222324(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B 31323334(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 121314(,),(,),(,),B B B B B B 2324(,),(,),B B B B34(,),B B其中第5组的4位同学1234,,,B B B B 中至少有一位同学入选的有18种， 故至少有1名学生来自第5组的概率为67． 【考点】1．分层抽样；2．古典概型概率．【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为12n ωωω 、、、；且它们具有以下三条性质: （1）等可能性:：()()()12n P P P ωωω=== ； （2）完备性：在任一次试验中至少发生一个； （3）互不相容性：在任一次试验中，12n ωωω 、、、，中至多有一个出现，每个基本事件的概率为1n ，即()i P ω；第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数n ，事件A 包含的样本试卷第10页，总15页点数为m，则事件A的概率()A A A m P n ===事件包含的基本事件数有利于的基本事件数基本事件总数基本事件总数． 19．如图，多面体ABCDEF中，BE BC BA ,,两两垂直，且2,//,//==BE AB BE CD EF AB ，1===EF CD BC ．（1）若点G 在线段AB 上，且GA BG 3=，求证：ADF CG 平面//； （2）求多面体ABCDEF 的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）43【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，由已知条件能推导出四边形CDHG 是平行四边形，由此能证明CG ∥平面ADF ；（Ⅱ）首先将多面体ABCDEF 分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -，然后分别求出四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -的体积，最后将其作加法即可得出所求的结论． 试题解析：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE = ．∵AH HF =∴ 1//2GH MF 又∵1//,//2CD BE BE MF ∴//CD GH ∴四边形CDHG 是平行四边形∴CG DH ∥，又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴//CG 平面ADF ．（Ⅱ）因为多面体ABCDEF 的体积可分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -的体积之和，而四棱锥D ABEF -的体积为：111(12)211332D ABEF ABEF V S BC -=⨯⨯=⨯+⨯⨯=，三棱锥A BCD -的体积为11111123323A B C D B C DV S A B -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以多面体A B C D E F 的体积14133ABCDEF V =+=．【考点】1、线面平行的判定定理；2、空间几何体的体积．20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|1F 2F |=2，点（1，23）在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若∆A 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．【答案】（1）13422=+y x ；（2）()2122=+-y x ． 【解析】试题分析：（1）利用22=c 及点在椭圆上进行求解；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求其弦长，进而求出三角形的面积，得到直线方程，再求圆的方程．试题解析：（1）椭圆C 的方程为13422=+y x（2）①当直线l x ⊥轴时，可得2331122A B AF B⎛⎫⎛⎫---∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然0∆>成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x +-=+，222143128k k x x +-=⋅，可得AB =2243)1(12k k ++又圆2F 的半径r =21||2k k +，∴2AF B ∆的面积=21AB r =22431||12k k k ++=7212，化简得：4217180k k +-=，得1 k r =±∴=，2，圆的方程为2)1(22=+-y x 【考点】1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系． 21．已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-．试卷第12页，总15页（1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．【答案】（1）1a =；（2）()3,+∞；（3）152ln 28- 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用求导，将1x =处的切线的斜率求出，与直线20x y +=的斜率乘积为1-，进而求得a 的值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到()g x 的解析式，若函数()g x 存在单调递减区间，必有()0g x '<在()0,∞上有解，进而求得b 的取值范围；（Ⅲ）根据题意()0g x '=的两个根即为1212,()x x x x >，由韦达定理得到1212,x x x x +，进而12()()g x g x -1122211ln()2x x x x x x =--，应换元法进而求得其最小值． 试题解析：（Ⅰ）()ln ()1af x x a x f x x'=+∴=+，， 20l x y +=与直线 垂直，|112k y x a '∴===+=，1a ∴=（Ⅱ）21()ln (1)(0)2g x x x b x x =+--> 21(1)1()(1)x b x g x x b x x--+'=+--=设2()(1)1x x b x μ=--+，则(0μ=>只须21013231(1)40b b b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨><-⎩⎪∆=-->⎩或 b ∴的取值范围为(3,)+∞（Ⅲ）令21212()0(1)101,1g x x b x x x b x x '=--+=∴+=-=得，2222111212121212122211()()ln()(1)()ln ()()()22x x g x g x x x b x x x x x x x x x x -=+----=+--+-2211211221222111ln ln ()22x x x x x x x x x x x x -=-=--11220,01x t x x t x =<<∴<<， ，又 212221212121()1725,(1)2(1)241x x b x x b t x x t x x ⎧+=-+⎪=-++≥-=⎨=⎪⎩得 2141740,04t t t ∴-+≥∴<≤，令111()ln ()(0)24h t t t t t =--<≤ 222111(1)()(1)022t h t t t t -'=-+=-<，1()(0,]4h t ∴在单减 115()()2ln 248h t h ≥=-故12()()g x g x -的最小值为152ln 28- 【考点】1．利用导求切线斜率；2．利用导解决单调递减区间；3．换元法．【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．22．选修4-1：几何证明选讲如图所示，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为圆I 与边CA 的切点．（1）求证,,,A I H E 四点共圆； （2）若50C ∠=︒，求IEH ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）25︒ 【解析】试题分析：（1）证明DE AE ⊥，根据AF DF ⊥，可得,,,A D F E 四点共圆，直径为AD ；（2）先证明1809022BAC ABC CADB ∠+∠∠∠=︒-=︒+，再利用,,,A D F E 四点共圆，可求DEF ∠的度数．试题解析：解析:（1）由圆I 与AC 相切于点E 得IE AC ⊥，结合HI AH ⊥，得90AEI AHI ∠=∠=︒，所以,,,A I H E 四点共圆．（2）由（1）知,,,A I H E 四点共圆，所以IEH HAI ∠=∠．由题意知12HIA ABI BAI ABC ∠=∠+∠=∠+ 1111()()218090222BAC ABC BAC C C ∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠， 结合IH AH ⊥，得1190909022()HAI HIA C C ∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠，试卷第14页，总15页所以12IEH C ∠=∠．由50C ∠=︒得25IEH ∠=︒． 【考点】弦切角．23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=，若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点． （1）求||AB 的值；（2）求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积． 【答案】（1）max d =（2）1．【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1MA MB ⋅=．试题解析：解析：（1） 曲线1C 的普通方程为2212x y +=，2:cos sin 1C ρθρθ+=， 则2C 的普通方程为10x y +-=，则2C的参数方程为：()122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 代入1C得23140t +=，123AB t t =-==（2） 12143MA MB t t ==． 【考点】1．参数方程与普通方程的转化；2．极坐标方程与直角坐标方程的转化；3．点到直线的距离公式．24．选修4-5：不等式选讲（1）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42；（2）已知0a >a＋1a －2． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）法一2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b ． ∴()()04422>--b a ，即044162222>+--b a b a ， 整理化简可得()()22422ab b a +<+，即可证明结果．法二：利用分析证明法亦可证明结果．（2）利用分析证明法亦可证明结果．试题解析：（1）证明：证法一2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b ． ∴()()04422>--b a ，即044162222>+--b a b a ， ∴22221644b a b a +<+，∴2222816484b a ab b ab a ++<++， 即()()22422ab b a +<+，∴ab b a +<+42．证法二：要证ab b a +<+42，只需证,8168442222ab b a ab b a ++<++ 只需证,16442222b a b a +<+只需证,044162222>--+b a b a 即()()04422>--b a ．2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴()()04422>--b a 成立．∴要证明的不等式成立．（2-21a a ≥+，2a ≥+1a ＋只需证22414a a +++2a +2122a ++12a a ⎫+⎪⎭＋，即证≥1a a ⎫+⎪⎭， 只需证22421a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋2212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋， 即证2221a a≥＋，此式显然成立． ∴原不等式成立．【考点】1．绝对值不等式；2．分析证明．。

天水市一中2015级2015-2016学年度第一学期高一级第二学段考试数学试题(满分：100分 时间：90分钟)一、选择题（每小题4分，共40分）1．若直线l 经过原点和点A （－2，－2），则它的斜率为A ．－1B ．1C ．1或－1D ．02．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的体积为 ( )A.4π B ．2π C.43π D.23π 3．三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.1或2条4．已知半径为1的动圆与圆（x-5）2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A （x-5）2+(y+7)2=25B （x-5）2+(y+7) 2=17 或（x-5）2+(y+7)2=15C （x-5）2+(y+7)2=9D （x-5）2+(y+7) 2=25 或（x-5）2+(y+7)2=95．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，,E F 分别是,BC DC 的中点，则异面直线1AD 与EF 所成角为( )1B11A. 30B. 45C. 60D. 906．过点A(1，2)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝07．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是( )A．(1,-1,0) B．(0,-1,0)C．(0, 1,-1) D．(0,1,0)8．若直线1:10l ax y+-=与2:3(2)10l x a y+++=平行，则a的值为（）A.－3B.1C.0或－23 D.1或－39．给出下列命题:①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个10．若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限,则实数k的取值范围是( ) A.k>-错误！未找到引用源。

2016-2017学年甘肃省高一上学期期末考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|20,A x x x B Z =--≤=，则A B =I （ ）A ． {}1,0,1,2-B ． {}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-2. ()sin 690-︒的值为（ ）A ．B ．12-C ． 12D ．3. 已知幂函数()y f x =的图象过点13⎛ ⎝，则2log (2)f 的值为（ ） A ． 12 B ．12- C ．2 D ．-24. 已知点()()1,3,4,1A B - ,则与向量AB uu u r 同方向的单位向量为( )A ． 34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭5. 设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则()2(2)log 12f f -+=（ ） A ． 3 B ． 6 C. 9 D ．126.已知sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2α=（ ） A ．1 B ．-1 C.12 D ．0 7.函数()sin g x x x =-的零点的个数为（ ）A ． 1B ． 3 C. 2 D ．48.已知,αβ为锐角，且13t an ,sin 75αβ==，则αβ+等于（ ） A ． 34π B ． 23π C. 4π D ．3π 9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为（ ）A ． {}1,3B ． {}3,1,1,3-- C. {}2- D ．{}2--10.设函数()()()sin cos 0,||2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ． ()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增11.已知||1,||0OA OB OA OB ==⋅=uu r uu u r uu r uu u r ，点C 在AOC ∠内，且30AOC ∠=︒，设(),OC mOA nOB m n R =+∈uuu r uu r uu u r ，则m n等于（ ）A ．13B ． D 12.函数()21||,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，若()()0f f m ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ． []2,2-B ．[][]2,24,-+∞U C. 2,2⎡-+⎣ D ．[]2,24,⎡-++∞⎣U第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ,则扇形的面积为 2cm ．14. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金超过130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年。

绝密★启用前2016-2017学年甘肃省天水市第一中学高一上学期期末考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．如图，−111D1为正方体，下面结论错误的是（）A. B D//平面CB1D1B. AC1⊥B DC. AC1⊥平面CB1D1D. 异面直线A D与CB1所成的角为60°2．已知函数f(x)={2x,x≤1ln x,x>1，e为自然对数的底数，则f[f(e)]=（）A. 0B. 1C. 2D. e ln23．直线l1:k x+(1−k)y−3=0和l2:(k−1)x+(2k+3)y−2=0互相垂直，则k=（）A. 1B. -3C. −54D. -3或14．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α,n⊥α，则m//n；②若α//β,β//γ,m⊥α，则m⊥γ；③若m//α,n//α，则m//n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5．已知点A(2,−3)，B(−3，−2)，直线l过点P(1,1)，且与线段A B相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. k≥34或k≤−4 B. k≥34或k≤−14C. −4≤k≤34D. 34≤k≤46．如图所示，在空间直角坐标系中，D是坐标原点，有一棱长为a的正方体A B C D−A1B1C1D1，E和F分别是体对角线A1C和棱A B上的动点，则|E F|的最小值为（）A. 2aB. 22a C. a D. 12a7．A. 8−2π3B. 8−π3C. 8−2πD. 2π38．圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（）A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个9．已知异面直线a与b所成角为60°，过空间内一定点P且与直线a、b所成角均为60°的直线有（）条A. 1B. 2C. 3D. 410．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，若实数a满足3f(log2a)+f(log21a)≤2f(1)，则a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. (0,12] C. [12,2] D. (0,2]第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．已知长方体的长宽高分别为3,2,1，则该长方体外接球的表面积为__________．12．在平面直角坐标系x O y中，若圆x2+(y−1)2=4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线A B的方程为.13．已知集合A={(x,y)|y=9−x2}，B={(x,y)|y=x+b}，若A∩B≠ϕ，则b的取值范围是__________．14．在侧棱长为23的正三棱锥S−A B C中，∠A S B=∠B S C=∠C S A=40°，过A作截面A E F，交S B于E，交S C于F，则截面A E F周长的最小值为__________．三、解答题15．如图，四棱锥P−A B C D中，P A⊥平面A B C D，底面A B C D是边长为2的正方形，P A=A D，F为P D的中点.（1）求证：A F⊥平面P D C；（2）求直线A C与平面P C D所成角的大小.16．已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，圆C:(x−1)2+(y−2)2=25.（1）求证：直线l过定点；（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短.17．已知A、B两点的坐标为(−1,0)、(1,0)，点P到A、B两点的距离比是一个常数a(a>0)，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.18．如图，在四棱锥P−A B C D中，平面P A D⊥平面A B C D，底面A B C D是一个梯形，且A B//D C，ΔP A D是等边三角形，已知A D=4,B D=43,A B=2C D=8.（1）设M是P C上的一点，证明：平面M B D⊥平面P A D；（2）求四棱锥P−A B C D的体积；（3）当M点位于线段P C什么位置时，P A//平面M B D？请证明你的结论.参考答案1．D【解析】在正方体中B D与B1D1平行，因此有B D与平面CB1D1平行，A正确；AC1在平面A B C D内的射影A C垂直于B D，因此有AC1⊥B D，B正确；与B同理有AC1与B1D1,CB1垂直，从而AC1⊥平面CB1D1，C正确；由A D//B C知A D与CB1所成角为45°，D错．故选D．2．C【解析】由题意f(e)=ln e=1，∴f[f(e)]=f(1)=2，故选C．【点睛】对于分段函数求值问题，一般根据自变量的不同范围选取相应的解析式进行计算．如果已知分段函数值要求自变量的值，应根据函数的每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量的取值范围内．3．D【解析】由题意k(k−1)+(1−k)(2k+3)=0，解得k=1或k=−3．故选D.4．A【解析】①可以作为线面垂直的性质定理，①正确；②在α∥β，β∥γ时，有α∥γ，又m⊥α，得m⊥γ，②正确；③在m∥α,n∥α时，m,n可能相交，可能异面，也可能平行，③错误；④把门绕轴旋转，它在每一个位置都与地面垂直，但门所在的各个位置并不垂直，④错误，故选A．5．A【解析】由题意k P A=−3−12−1=−4，k P B=−2−1−3−1=34，又线段A B上点的横坐标x满足−3≤x≤2，因此直线l的斜率k满足k≤−4或k≥34．故选A．【点睛】直线与线段相交问题，可从两个方面解决：（1）从形着手，连接定点与线段两端点的直线是动直线的分界线，求出这两条直线的斜率，当直线在这两条直线间旋转时，如果不可能与x轴垂直，则所求斜率范围是刚求得的两斜率之间；如果有与x轴垂直的直线，则所求斜率范围是刚求得的两斜率之外．（2）可设直线方程为y−y0=k(x−x0)，记f(x,y)=k(x−x0)−(y−y0)，则由f(x1,y1)f(x2,y2)≤0可得k的范围.6．B【解析】题图所示的空间直角坐标系中，易得A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，A1(a,0,a)，则A1C=(−a,a,−a)，设A1E=λA1C(0≤λ≤1)，则E(a−aλ,aλ,a−aλ)，设F(a,t a,0)(0≤t≤1)，于是|E F|=(−−)+(aλ−t a)+(a−aλ)=a(λ−t)2+2(λ−12)2+12，显然当t=λ=12时，|E F|min=22a，故选B．7．A【解析】试题分析：几何体是一个立方体挖掉一个倒置的圆锥的图形，所以其体积就为：V柱体−V椎体=a b c−13sℎ=2×2×2−13π12×2=8−2π3。

第一卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B 为（ ）A ．1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D考点：集合的交集、并集运算.2．设i 是虚数单位，复数ii z +=12，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 【答案】B【解析】试题分析：()()()2121111i i i z i z i i i -===+∴=++- B. 考点：复数的运算.3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③ B．①④ C．②③ D．①② 【答案】B考点：线性相关关系．4．等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4a （ ）A ．8B ．8-C ．8或8-D ．16 【答案】C 【解析】试题分析：2354464648a a a a =∴=∴=± ，故选C. 考点：等比中项.5．已知函数221,1(x),1x x f x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若[]2(0)4f f a =+，则实数a =（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．0或2 【答案】D 【解析】试题分析：()()()()202,02424f f f f a a=∴==+=+ ，解得a =0或2.考点：分段函数.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 【答案】D 【解析】试题分析：根据几何体的三视图，得该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为21122234S πππ=⋅+⨯⨯+⨯=+几何体，故选：D ．考点：由三视图求面积、体积．7. 若动圆与圆()2224x y ++=相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．212120y x +-= B ．212120y x -+= C ．280y x += D ． 280y x -= 【答案】A考点：轨迹方程．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．4 B．9 C．7 D．5 【答案】B考点：程序框图．9．已知||3a = ，||2b = ，若3a b ⋅=- ，那么向量,a b的夹角等于（ ）.A ．23π3.πB 43.πC 4.πD【答案】A 【解析】 试题分析：123,cos ,6cos ,3cos ,,23a b a b a b a b a b a b a b π⋅=-∴⋅=⋅<>=<>=-∴<>=-∴<>=，故选A.考点：平面向量的数量积公式. 10．函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法： （1）求导数()y f x ''=； （2）解方程()0f x '=；（3）使不等式()0f x '>成立的区间就是递增区间，使()0f x '<成立的区间就是递减区间.由此再结合函数的图像即可判断出结果.11. 以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上一点M 为圆心的圆与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ,且与y 轴交于P Q 、两点.若MPQ ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B D 【答案】D考点：双曲线的离心率.【思路点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，解决本题的关键是利用数形结合.首先根据题意画出示意图，由此即可求出2,b M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，然后再根据MPQ ∆为正三角形，可知正三角形MPQ ∆的边长为2b a ，所以M 到y 2b c a=，由此即可求出结果. 12．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12min )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）A ．{}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1C ．{}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1D ．⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21 【答案】A 【解析】试题分析：当02x ≤≤时，{}21,()min 21,2021,12x xf x x x x x ⎧-=--=-<≤≤≤⎨⎩．由题意定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，故函数)(x f 的周期是4，由方程0)(=-mx x f ，得()f x mx =，作出函数)(x f 和()h x mx =的图象，当0m =时，方程由无穷多个根，不满足条件，当1m =或-1m =方程0)(=-mx x f 恰有两个根若01m <<，则要使方程0)(=-mx x f 恰有2个零点，则满足()13211x h ⎧<⎪⎨>-⎪⎩即211ln 2331m m m ⎧<⇒<<⎨>⎩ 若0m <，则要使方程0)(=-mx x f 恰有2个零点，有偶函数的对称性，可知1ln 23m -<<-综上，{}111,1ln 2,,ln 233m ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选A.考点：分段函数的应用【思路点晴】本题考查了函数的图象的作法及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了直线的斜率的求法与应用，属于基础题．由题意可得函数()f x 是周期函数，从而作出函数)(x f 与()h x mx =的图象，再结合图象求出四个临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案．第二卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．【答案】32考点：简单的线性规划．14. ()()8x y x y -+的展开式中72y x 的系数为 .【答案】20-考点：二项式系数的性质．15．已知数列{}n a 满足113,2n n a a a n +=-=,则_____n a =．【答案】23()n a n n n N *=-+∈【解析】 试题分析：()()()1112232,21,22,23,n n n n n n n n a a n a a n a a n a a n +------=∴-=--=--=-21.....,2a a -=，利用累加法即可求出()()()21122124 (212)n n n a a n n n -+-⎡⎤⎣⎦-=+++-==-，所以23()n a n n n N *=-+∈.考点：数列的递推关系.【思路点睛】首先，根据题中所给的数列的递推关系式12n n a a n +-=，由此递推可写出()()()1122321,22,23,n n n n n n a a n a a n a a n ------=--=--=-21.....,2a a -=，然后再利用累加法，可得21n a a n n -=-，然后再代入1a 的值即可求出结果.16．在四面体ABCD 中，已知ABC BD BC BD AC AB 面，，⊥====43.则四面体ABCD 的外接球的半径为__________.【答案】10805考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.空间点线面之间的位置关系.【思路点睛】根据题意作出几何体的示意图，设ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，显然1O O ⊥平面ABC .设BD 的中点为E ，分别利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理即可求出结果. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2sin c A =． （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ∆a b +的值． 【答案】（1）060C =（2）5a b +=考点：1.正弦定理；2.余弦定理.18. （本小题满分12分） 袋中装有4个白棋子,3个黑棋子,从袋中随机地取出棋子,若取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分,现从袋中任取4个棋子. (1)求得分X 的分布列；（2）求得分大于6的概率. 【答案】（1）详见解析；（2）1335【解析】试题分析：（1）X 的取值为5678、、、．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列． （2）根据X 的分布列，能得到得分大于6的概率．试题解析：（1）袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分X 为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为7,4,4N M n ===的超几何分布，故得分也服从该超几何分布.132243434477314434447748(X 5);(X 6);3535121(X 7);(X 8)3535C C C C P P C C C C C P P C C ============所以X 的分布列为（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为12113(6)(7)(8)353535P X P X P X >==+==+=. 考点：1.随机变量的分布列；2.求随机变量的概率【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.19．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AAAB AC ===，,E F 分别是1,CC BC的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：AC AB ⊥ ； （2）证明：DF AE ⊥；（3）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 说明点D 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点D 为11A B 中点．（2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14，理由如下：由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = ，设面DEF 的法向量为(),,n x y z =，则n F E n D F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，考点：1、二面角的平面角及求法；2、直线与平面垂直的性质．【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中||||cos 2121n n ⋅=ωω θ βlαn 2n 12图1 图220．（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|1F 2F |=2，点（1，23）在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若∆A 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．【答案】（1）13422=+y x ;（2）()2122=+-y x考点：(1)椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题. 21．(本小题满分12分) 已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （1）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （3）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> （*N n ∈）．【答案】（1）()f x 在区间(0,)+∞上是减函数;（2）3（3）详见解析． 【解析】（3）由（2）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++ 即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> 考点：考点：用导数研究函数的性质．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示,锐角三角形ABC 的内心为I ,过点A 作直线BI 的垂线,垂足为H ,点E 为圆I 与边CA 的切点.(1)求证,,,A I H E 四点共圆; (2)若50C ∠=︒,求IEH ∠的度数.【答案】(1)见解析;(2)25︒考点：弦切角．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点．(1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积．【答案】（1）max d =（2）1．考点：1.参数方程与普通方程的转化;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化；3.点到直线的距离公式．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42;（2）已知0a >a＋1a －2. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）法一2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴042>-a ，（2-21a a ≥+，2a ≥+1a ＋只需证22414a a+++2a +2122a ++12a a ⎫+⎪⎭＋，即证≥1a a ⎫+⎪⎭， 只需证22421a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋2212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋， 即证2221a a ≥＋，此式显然成立．∴原不等式成立．考点：1.绝对值不等式；2.分析证明.。

甘肃省天水市一中高一上学期期末考试（数学）一、选择题（本大题共10小题；每小题4分，共40分）在每小题给出的四个结论中，只有一项是符合题要求的1. α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α=( ) A ．513 B ．513- C ． 512 D ．512-2．已知函数()f x =M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=( )A.{|1}x x >- {|1}x x < C.{|11}x x -<< D.∅3.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）A.y =－xB.y = 11-x C.y =3－2x D.y =－x 2+2x +14、已知命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列复合命题中，真命题的是（ ） A.p q 且 B.p q ⌝⌝且 C.p q ⌝⌝或 D.p q ⌝或 5．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，6. 等比数列{a n }中，5451,8,16,0a a a a a n 则==>的值为 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）8. 已知55sin =α,则αα44cos sin -的值为 ( )（A ）53-（B ）51-（C ）51 （D ）539．下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<<10．已知函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是( ) A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞二、填空题（本大题共四个小题；每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上11若4sin ,tan 05θθ=->且，则cos θ= .12．已知函数))2((,0,3,0,21log )(2f f x x x x f x 则⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=的值为 。

2015-2016学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4.00分）若直线l经过原点和点A（﹣2，﹣2），则它的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．02．（4.00分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）A．B．πC．2πD．4π3．（4.00分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条4．（4.00分）已知半径为1的动圆与定圆（x﹣5）2+（y+7）2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．（x﹣5）2+（y+7）2=25B．（x﹣5）2+（y+7）2=3或（x﹣5）2+（y+7）2=15C．（x﹣5）2+（y+7）2=9D．（x﹣5）2+（y+7）2=25或（x﹣5）2+（y+7）2=95．（4.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=a，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．306．（4.00分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=07．（4.00分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（）A．（0，﹣1，0）B．（0，1，0）C．（1，0，1）D．（0，1，1）8．（4.00分）若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣39．（4.00分）给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（4.00分）若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=﹣2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k＜2 C．﹣＜k＜2 D．k＜﹣或k＞2二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4.00分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．12．（4.00分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣3）2+y2=25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是．13．（4.00分）过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．14．（4.00分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为cm．三、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共44分）15．（10.00分）如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切．（1）求圆C的一般方程；（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．16．（10.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．17．（12.00分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E 是PC的中点，．求证：（1）平面PAC⊥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．18．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．2015-2016学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4.00分）若直线l经过原点和点A（﹣2，﹣2），则它的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0【解答】解：根据两点表示的斜率公式得：k===1，故选：B．2．（4.00分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆柱，高和底面直径都是2．∴V=π×12×2=2π．故选：C．3．（4.00分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条【解答】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选：C．4．（4.00分）已知半径为1的动圆与定圆（x﹣5）2+（y+7）2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．（x﹣5）2+（y+7）2=25B．（x﹣5）2+（y+7）2=3或（x﹣5）2+（y+7）2=15C．（x﹣5）2+（y+7）2=9D．（x﹣5）2+（y+7）2=25或（x﹣5）2+（y+7）2=9【解答】解：由圆A：（x﹣5）2+（y+7）2=16，得到A的坐标为（5，﹣7），半径R=4，且圆B的半径r=1，根据图象可知：当圆B与圆A内切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R﹣r=4﹣1=3的圆，则圆B的方程为：（x﹣5）2+（y+7）2=9；当圆B与圆A外切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R+r=4+1=5的圆，则圆B的方程为：（x﹣5）2+（y+7）2=25．综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x﹣5）2+（y+7）2=25或（x﹣5）2+（y+7）2=9．故选：D．5．（4.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=a，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，A（a，0，0），D1（0，0，a），E（，a，0），F（0，，0），=（﹣a，0，a），=（﹣），设异面直线AD1与EF所成角为θ，cosθ=||=||=，∴θ=60°，∴异面直线AD1与EF所成角为60°．故选：B．6．（4.00分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=0【解答】解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率等于﹣2，故所求的直线的斜率等于，故过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为y﹣2=（x﹣1），即x ﹣2y+3=0，故选：C．7．（4.00分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（）A．（0，﹣1，0）B．（0，1，0）C．（1，0，1）D．（0，1，1）【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=﹣1故M（0，﹣1，0）故选：A．8．（4.00分）若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣3【解答】解：∵a=﹣2时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔解得：a=1故选：B．9．（4.00分）给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，过这条直线的平面都和已知平面垂直，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过平面外一点无数个平面与已知平面垂直．故①不正确；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，过这条直线的平面都和已知直线平行，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过直线外一点无数个平面与已知直线平行．故②不正确；过直线外一点无数条直线与已知直线垂直，故③不正确；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故④正确．故选：B．10．（4.00分）若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=﹣2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k＜2 C．﹣＜k＜2 D．k＜﹣或k＞2【解答】解：由得，由得∴﹣＜k＜2．故选：C．二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4.00分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27π．【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l==3，故答案为：27π．12．（4.00分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣3）2+y2=25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是x+y﹣1=0．【解答】解：由圆的方程得到圆心A坐标为（3，0），又P（2，﹣1），∴直线AP的斜率为=1，由P为弦的中点，得到过P的直径与该弦垂直，∴该弦所在直线方程的斜率为﹣1，则弦所在直线的方程为：y﹣（﹣1）=﹣（x﹣2），即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=013．（4.00分）过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为2．【解答】解：∵x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，∴点（0，1）在圆x2+y2=4的内部，如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，∴|AB|min=2=2．故答案为：．14．（4.00分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为13cm．【解答】解：作出圆锥的轴截面如图，设SA=y，O′A′=x；利用平行线截线段成比例，则SA′：SA=O′A′：OA，即（y﹣10）：y=x：4x，解得y=13．即圆锥的母线长为13cm．故答案为：13三、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共44分）15．（10.00分）如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切．（1）求圆C的一般方程；（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．【解答】解：（1）由题意，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切，则半径r=2所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，一般方程是：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0（2）由题意，在x轴和y轴上截距相等的直线一定为斜率为﹣1，可设为y=﹣x+b，∵直线与圆相切，∴=2，∴b=4±2，故直线方程为x+y﹣4±2=0．16．（10.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，所以BC1∥面CA1D；（2）解：AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，AA1⊥CD，AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD⊂面CA1D，平面CA1D⊥平面AA1B1B所以CD是三棱锥B1﹣A1DC的高，又=，所以=×AD==1；17．（12.00分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E 是PC的中点，．求证：（1）平面PAC⊥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．（2）如图所示，连接OE，OC．由（1）可知：BD⊥OC，BD⊥OE，∴∠COE是二面角E﹣BD﹣C的平面角．∵AB=2，∴OC=BD=．∴OC=OP，又PO⊥OC，PE=EC，∴∠COE=45°．18．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C 为（3，t ），则有32+（t ﹣1）2=（2）2+t 2，解得t=1，故圆C 的半径为，所以圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9．法二：圆x 2+y 2+Dx +Ey +F=0x=0，y=1有1+E +F=0y=0，x 2 ﹣6x +1=0与x 2+Dx +F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2， 即圆方程为x 2+y 2﹣6x ﹣2y +1=0（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其坐标满足方程组，消去y ，得到方程2x 2+（2a ﹣8）x +a 2﹣2a +1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a ﹣4a 2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x 1+x 2=4﹣a ，x 1x 2=①，由于OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y2=0，又y 1=x 1+a ，y 2=x 2+a ，所以可得2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a ﹣4a 2＞0．故a=﹣1．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2016-2017学年甘肃省高一上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案一律用2B 铅笔涂在答题卡上）1．已知扇形的圆心角为2π3 弧度，半径为2，则扇形的面积是（ ）（A ）8π3 （B ）43 （C ）2π （D ）4π32．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于（ ）（A ）12 （B ）12- （C ）32 （D ）32-3．已知θ为第二象限角，24sin()25πθ-=，则cos 2θ的值为（ ）（A ）35 （B ）45 （C ）35± （D ）45±4．设函数3y x =与21()2x y -=的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0 所在的区间是（ ）（A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4）5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝（ ）（A ）13 （B ）－13 （C ）223 （D ）－2236．比较112121,2,log 32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭的大小顺序为（ ）（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）b a c<< 7．化简tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝（ ）（A ）－1 （B ）1 （C ） 3 （D ）－38．计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为（ ）（A ）－2 （B ）2 （C ）1 （D ）－19．下列四个函数中是奇函数的个数为（ ）① f (x )＝x ·cos(π＋x )； ② f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2； ③ f (x )＝cos(2π－x )－x 3·sin x ； ④ f (x )＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个10．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数，又是周期函数，若()f x 的最小正周期为π， 且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 时，()f x ＝sin x ，则5()3f π等于（ ） （A ）－12 （B ）1 （C ）－32 （D ）3211．函数2()cos ln f x x x =-⋅的部分图象大致是图中的（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）12．若A ，B 为钝角三角形的两个锐角，则tan A tan B 的值（ ）（A ）不大于1 （B ）小于1 （C ）等于1 （D ）大于1二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。

第一卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则)(B C A U ⋂=（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3 D ．{}1,3 【答案】D考点：集合的交集、补集运算 2．复数iz -=12，则复数z 的模是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22 【答案】B 【解析】试题分析：()()()2121,111i z i z i i i +===+∴=--+ 考点：复数的运算.3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①② 【答案】B考点：线性相关关系．4．已知(1,2)a =- ，(2,)b m = ，若a b ⊥ ，则||b =（ ）A ．12B ．1C 【答案】D 【解析】试题分析：,220,1a b a b m m ⊥∴⋅=-=∴= ，所以||b考点：平面向量的数量积.5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）． A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】试题分析：13533,1,a a a a ++=∴= ()15535552a a S a+⨯∴===.考点：1.等差中项；2.等差数列的前n 项和.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 【答案】D 【解析】试题分析：根据几何体的三视图，得该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为21122234S πππ=⋅+⨯⨯+⨯=+几何体，故选：D ．考点：由三视图求面积、体积．7．若动圆与圆()2224x y ++=相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．2 12120y x +-=B ．212120y x -+=C ．280y x +=D ． 280y x -= 【答案】A考点：轨迹方程．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9C ．7D ．5 【答案】B考点：程序框图．9．已知函数()()x x x x f cos cos sin +=，则下列说法正确的为（ ） A ．函数()x f 的最小正周期为π2 B ．函数()x f 的最大值为2 C ．函数()x f 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后会得到一个奇函数图像 【答案】D 【解析】试题分析：()()1111sin cos cos sin 2cos 2222242f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ ，∴将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后会得到1122284222y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此函数为奇函数，故选D. 考点：三角函数的性质.【方法点睛】三角函数图象变换： (1)振幅变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω(3)相位变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ(4)复合变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω.10．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P —ABCD ，其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，1PA =，且D A BC P A ⊥平面，则球体毛坯体积的最小值应为（ ）π33.A π3.B 43π【答案】D11．若5(3()log a f x -⎧=⎨⎩ ）A ．1,35⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．【答案】B 【解析】B ．考点：1．分段函数；调递减）12．已知()()()5g x x f f x ＝－，则F （x ）的最值是（A ．最大值为3 C ．最大值为3【答案】C考点：分段函数的应用．【思路点睛】本题考查分段函数及运用，主要考查函数最值的求法，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．根据()F x 的定义求出函数()F x 的表达式，利用数形结合即可求出函数的最值．第二卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．如果函数()3223y f x x x a ==-+的极大值为6，那么a 等于__________．【答案】6考点：函数在某点取得极值的条件．14．若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．【答案】32【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示，然后将目标函数12z x y =+进行变形为： 12y x z =-+，所以要使得目标函数12z x y =+的最小值，由图可知，当其过点(1,1)B 时，取得最小值，且为min 131122z =⨯+=，故应填32．考点：简单的线性规划．15．焦点为()3,0±，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是_________． 【答案】16322=-x y考点：双曲线方程及性质.【一题多解】由题意知，可设所求的双曲线方程是222x y k -=，∵焦点()3,0±在y 轴上，∴0k <，所求的双曲线方程是2212y x k k -=--，由2293k k c k --==∴=-，，故所求的双曲线方程是16322=-x y ，故答案为：16322=-x y ． 16．设ABC O ∆为的外心，且满足.OC OB OA =+则_____=∠ACB ． 【答案】32ACB π=∠ 【解析】试题分析：由OA OB OC +=，可知ABC ∆为钝角三角形，外心O 应在三角形的外部，且OA OB OC ==，如图，设AB 的中点为M ，则2O A O B O M +=，又 O A O B O C += ，∴2OM OC = ，即O C M ，，三点共线，且M 是OC 的中点，∴四边形AOBC 是菱形，由可得60ACO BCO ∠=∠=︒，∴120ACB ∠=︒.考点：向量在几何中的应用．【思路点睛】由题意可知外心O 应在三角形的外部，知ABC ∆为钝角三角形，且OA OB OC ==，由向量加法的平行四边形法则，可知（AB 的中点为M ）2OA OB OM +=，结合已知条件和O A OB OC +=，可得AOBC 是菱形，即可得出答案． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2sin c A =． （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ∆a b +的值． 【答案】（1）60 （2）5a b +=考点：1．正余弦定理；2．三角形面积公式18．（本小题满分12分）某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？（3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？【答案】（1）15，0.3（2）第2、5组分别抽取3人、4人．（3）67（3）设第2组的3位同学为123,,A A A ，第5组的4位同学为1234,,,B B B B ，则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：121311121314(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A B A B考点：1.分层抽样；2.古典概型概率.【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为12n ωωω 、、、；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:： ()()()12n P P P ωωω=== ； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验中，12n ωωω 、、、，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为1n，即()i P ω；第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数n ，事件A 包含的样本点数为m ，则事件A 的概率()A A A mP n ===事件包含的基本事件数有利于的基本事件数基本事件总数基本事件总数. 19．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，BE BC BA ,,两两垂直，且 2,//,//==BE AB BE CD EF AB ，1===EF CD BC ．（1）若点G 在线段AB 上，且GA BG 3 ，求证：ADF CG 平面//；（2）求多面体ABCDEF 的体积．【答案】（1）详见解析；（2）43考点：1、线面平行的判定定理；2、空间几何体的体积．20．O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|（1）求椭圆（2）过1F 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 【答案】（12考点：123．直线与圆的位置关系．21. 在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()g x f =（1）求实数（2）若函数（3）设1212,()x x x x <是函数()g x 【答案】（1）1a =；（2）()3,+∞；【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用求导，将1x =处的切线的斜率求出，进而求得a 的值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到有()0g x '<在()0,∞上有解，进而求得为1212,()x x x x >，由韦达定理得到应换元法进而求得其最小值．又 212221212121()1725,(1)2(1)241x x b x x b t x x t x x ⎧+=-+⎪=-++≥-=⎨=⎪⎩得 2141740,04t t t ∴-+≥∴<≤，令111()ln ()(0)24h t t t t t =--<≤ 222111(1)()(1)022t h t t t t-'=-+=-<，1()(0,]4h t ∴在单减 （12分） 115()()2ln 248h t h ≥=- 故12()()g x g x -的最小值为152ln 28- （13分） 考点：1．利用导求切线斜率；2．利用导解决单调递减区间；3．换元法．【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示,锐角三角形ABC 的内心为I ,过点A 作直线BI 的垂线,垂足为H ,点E 为圆I 与边CA 的切点.(1)求证,,,A I H E 四点共圆;(2)若50C ∠=︒,求IEH ∠的度数.【答案】(1)见解析;(2)25︒考点：弦切角．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点．(1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积．【答案】（1）max d =（2）1．考点：1.参数方程与普通方程的转化;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化；3.点到直线的距离公式．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42;（2）已知0a >a ＋1a －2. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析（2-21a a ≥+，2a ≥+1a ＋只需证22414a a +++2a +2122a ++12a a ⎫+⎪⎭＋，即证≥1a a ⎫+⎪⎭，只需证22421a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋2212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋， 即证2221a a≥＋，此式显然成立． ∴原不等式成立．考点：1.绝对值不等式；2.分析证明.。

天水市一中2016届高三第一学期第四次阶段考试试题数学（理科）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第一卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,2a A =，{},a b B =，若12⎧⎫A B =⎨⎬⎩⎭I ，则A B U 为（ ）A ．1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭2．设i 是虚数单位，复数ii z +=12，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 2 3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①② 4．等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4a （ ）A ．8B ．8-C ．8或8-D ．165．已知函数221,1(x),1x x f x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若[]2(0)4f f a =+，则实数a =（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．0或26．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )A ．3π B．4π C．2π＋4 D ．3π＋47.若动圆与圆()2224x y ++=相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2+12x-12=0B ． y 2-12x+12=0C ． y 2+8x=0D ． y 2-8x=0 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9C ．7D ．59．已知||3a =r ，||2b =r ，若3a b ⋅=-r r ，那么向量,a b r r的夹角等于（ ）.A．23π3.πB 43.πC4.πD 10．函数2ln xy x =的图象大致为（ ）11.以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上一点M 为圆心的圆与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ,且与y 轴交于Q P 、两点.若MPQ ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4 B ．7 C ．233D ．3 12．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a ≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m in )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）A ．{}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1Y Y B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1YC ．{}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1Y Y D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21Y 第二卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．14.8))(y x y x +-（的展开式中72y x 的系数为 . 15．已知数列{}n a 满足113,2n n a a a n +=-=,则_____n a =．16．在四面体ABCD中，已知ABC BD BC BD AC AB 面，，⊥====43.则四面体ABCD 的外接球的半径为__________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2sin c A =． （1）确定角C 的大小； （2）若c =ABC ∆，求a b +的值． 18. （本小题满分12分） 袋中装有4个白棋子,3个黑棋子,从袋中随机地取出棋子,若取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分,现从袋中任取4个棋子.(1)求得分X 的分布列；（2）求得分大于6的概率.19．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点． （1）证明：AC AB ⊥ ； （2）证明：DF AE ⊥；（3）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|1F 2F |=2，点（1，23）在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若∆A 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程． 21．(本小题满分12分) 已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （1）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （3）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>L （*N n ∈）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）． 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示,锐角三角形ABC 的内心为I,过点A 作直线BI 的垂线,垂足为H,点E 为圆I 与边CA 的切点.(1)求证A,I,H,E 四点共圆;(2)若∠C=50°,求∠IEH 的度数.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点．(1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42;（2）已知a>0，求证：221a a ＋－2≥a ＋1a－2. 天水市一中2016届高三第一学期第四次阶段考试数学（理科）命题: 张硕光 汪生武 审核：汪生武本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第一卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． D 2． B 3．B 4． C 5． D 6． D 7. .A 8． B 9． .A 10． D 11. D 12． A第二卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13． 32． 14． 20- 15．)(32*∈+-=N n n n a n 16．10805三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17．（本小题满分12分） 【答案】（1）60o （2）5a b += 试题解析：（1）2sin c A =Q，由正弦定理2sin sin A C A =Qsin C ∴=由ABC ∆是锐角三角形， 60C ∴=o（2）1sin 2ABC S ab C ∆==Q 6ab ∴=， 2221cos 22a b c C ab +-==Q，将c =2213a b +=，()22221312255a b a b ab a b ∴+=++=+=∴+=考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角形面积公式18. （本小题满分12分）解：（1）袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分X 为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为7,4,4N M n ===的超几何分布，故得分也服从该超几何分布.132243434477314434447748(X 5);(X 6);3535121(X 7);(X 8)3535C C C C P P C C C C C P P C C ============所以X的分布列为X5678P 4358351235135（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为12113(6)(7)(8)353535P X P X P X>==+==+=19．试题解析：（1）证明：∵11AE A B⊥，11//,A B AB AE AB∴⊥，又∵11,AA AB AA AE A⊥=I∴AB⊥面11A ACC．又∵AC⊂面11A ACC，∴AB AC⊥，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111,,,D x y z A D A Bλ=u u u u r u u u u r且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y zλ-=,则11(,0,1),,,122D DFλλ⎛⎫∴=--⎪⎝⎭u u u r，∵1110,1,,0222AE DF AE⎛⎫=∴⋅=-=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，所以DF AE⊥；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余，理由如下： 由题可知面ABC 的法向量()0,0,1n =r，设面DEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，∵11111,,,,,122222FE DF λ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，∴111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+-r．∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14，∴cos ,m n m n m n ⋅==u r r u r r u r r ，即14=，解得12λ=或74λ=（舍），所以当D 为11A B 中点时满足要求． 20．（本小题满分12分）【答案】 (1) 13422=+y x (2) 2)1(22=+-y x解析：（1）椭圆C 的方程为13422=+y x（2）①当直线l ⊥x 轴时，可得A （-1，-23），B （-1，23），∆A 2F B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k （x+1）．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x +-=+，222143128kk x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12k k ++ 又圆2F 的半径r=21||2k k +，∴∆A 2F B 的面积=21|AB| r=22431||12kk k ++=7212，化简得：174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x21.【解析】（Ⅰ）由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x+++'>=-<故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数;（Ⅱ）当0x >时，()1k f x x >+恒成立，即1[1ln(1)]x k x x +<++在(0,)+∞上恒成立，取1()[1ln(1)]x h x x x +=++，则21ln(1)()x x h x x --+=， 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11xg x x x '=-=>++故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->， 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a+=++=+∈≤故max 3k = （3）由（2）知：1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x++>>⇒+>-=->-+++令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++，又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++Lln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+L1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+L1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++即：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>L请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22. 解析:(1)由圆I 与AC 相切于点E 得IE ⊥AC,结合HI ⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E 四点共圆.(2)由(1)知A,I,H,E 四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=12∠ABC+12∠BAC=12(∠ABC+∠BAC)=12(180°-∠C)=90°-12∠C,结合IH ⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-(90°-12∠C)=12∠C,所以∠IEH=12∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解析：(1) 曲线1C 的普通方程为2212x y +=，2:cos sin 1C ρθρθ+=, 则2C 的普通方程为10x y +-=，则2C 的参数方程为：()1222x tty⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数代入1C得23140t+=，12AB t t=-==.(2)12143MA MB t t==.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）证明：证法一2,2<<baΘ，∴42<a，42<b，∴042>-a，042>-b．∴()()04422>--ba，即44162222>+--baba，∴22221644baba+<+，∴2222816484baabbaba++<++，即()()22422abba+<+，∴abba+<+42．证法二：要证abba+<+42，只需证,8168442222abbaabba++<++只需证,16442222baba+<+只需证,044162222>--+baba即()()04422>--ba．2,2<<baΘ，∴42<a，42<b，∴()()04422>--ba成立．∴要证明的不等式成立．（2≥a＋1a－2，1a ，只需证a 2＋21a ＋4＋a 2＋21a ＋2＋1a a ⎫+⎪⎭＋2，即证1a a ⎫+⎪⎭， 只需证4221a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥22212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋， 即证a 2＋21a ≥2，此式显然成立． ∴原不等式成立． 24．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y x z yz zx xy x y z≥++++． 【答案】详见解析；【解析】试题分析：两两组合，利用均值不等式证明；试题解析：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z ++++≥． 考点：1.均值不等值；2.不等式的证明；。

甘肃省天水市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合，集合，则下列结论中成立的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一上·昌平期末) 已知tanα=2，tanβ=3，则tan（α+β）=（）A . 1B . ﹣1C .D .3. （2分） (2019高一下·双鸭山月考) 下列函数中，最小正周期为的是（）A .B .C .D .4. （2分）设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（）A . （4，2）B . （1，3）C . （6,2）D . （3,1）5. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+k在一个周期内的图象如图，函数f（x）解析式为（）A . f（x）=4sin（ x+ ）﹣1B . f（x）=2sin（2x﹣）+1C . f（x）=4sin（ x+ ）D . f（x）=2sin（2x﹣）+16. （2分）已知函数f(x)＝,若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是（）A . (－∞，－1)∪(2，＋∞)B . (－1,2)C . (－2,1)D . (－∞，－2)∪(1，＋∞)7. （2分） (2019高一下·三水月考) 在中，若，则是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形8. （2分） (2016高一下·大同期末) 若＜0，则下列不等式中不正确的是（）A . a+b＜abB . ＞2C . ab＜b2D . a2＜b29. （2分） (2016高一上·沙湾期中) 已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2 ， n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A . ， 2B . ， 4C . ， 2D . ， 410. （2分）已知f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[ ，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A . [﹣2，2]B . [﹣2，0]C . [0，2]D . （﹣2，2）11. （2分）设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则（）A . 3B . 2C . 1D . 012. （2分） (2016高一上·思南期中) 在y=3x ， y=log0.3x，y=x3 ， y= ，这四个函数中当0＜x1＜x2＜1时，使f ＜恒成立的函数的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知角α（0≤α＜2π）的终边过点，则α=________14. （1分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k= ________．15. （1分）设α为第二象限角，则• =________．16. （1分） (2016高一下·高淳期末) 设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m、n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α．其中真命题的序号是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一上·潍坊期末) 已知全集U=R，集合A={x|0＜log2x＜2}，B={x|x≤3m﹣4或x≥8+m}（m＜6）．（1）若m=2，求A∩（∁UB）；（2）若A∩（∁UB）=∅，求实数m的取值范围．18. （10分） (2016高三上·平阳期中) 设函数f（x）= • ，其中向量 =（2cosx，1）， =（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值．19. （10分） (2019高一上·鹤岗期末) 已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.20. （5分） (2019高一上·汤原月考) 已知函数的定义域为A.（Ⅰ)求集合 ;(Ⅱ)若函数 ,且 ,求函数的最大最小值和对应的值；21. （15分） (2018高一上·海安月考) 设为实数，设函数，设．（1）求的取值范围，并把表示为的函数；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在使得成立，求实数的取值范围．22. （10分）(2020·漳州模拟) 已知函数．（1）求证：当时，在上存在最小值；（2）若是的零点且当时，，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19、答案：略20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。