数学必修一3.1.1方程的根和函数的零点

1 3．1.1 方程的根与函数的零点

[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．

[知识链接]

考察下列一元二次方程与对应的二次函数：

(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；

(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；

(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.

你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？

[预习导引]

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系；

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点存在的判定方法

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数

y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．

要点一 求函数的零点

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；

(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；

(3)f(x)＝2x－1－3；

(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2. 2 规律方法

求函数零点的两种方法：

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

跟踪演练1

判断下列说法是否正确：

(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；

(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.

- 1 - 课题：3.1.1方程的根与函数的零点

课型：复习 设计：高忠芬 审核：毕方波 使用： 时间：月 日 学习札记

◇ 预习目标◇

1、会用函数图象的交点解释方程的根的意义.

2、能结合二次函数的图象与x轴的交点的个数，判断一元二次方程的根的存在性和根的个数.

3.了解函数的零点与对应方程根的联系.

4、理解零点的意义，会求简单函数的零点.

◇问题引导，自我探究◇

预习课本86-88

1、结论：一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根的个数及其判别式与二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的开口方向和顶点位置之间联系：设二次方程为ax2+bx+c=0（a≠0），相应的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），其判别式Δ=b2－4ac，我们有：

（1）当Δ〉0时 ；

（2）当Δ=0时 ；

（3）当Δ＜0时 。.

2、对于函数()yfx，我们把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的

3、方程()0fx有实数根 



4、勘根定理：

。

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 第三章 3.1 3.1.1

1．函数y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )

A.12，12 B．12，0，12

C．－12，－12 D．－12，0，－12

解析：由y＝2x－1＝0，得x＝12，故交点坐标为12，0，零点是12.

答案：B

2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

解析：因为f(－1)＝12－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．

答案：B

3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )

A．a＜1 B．a＞1

C．a≤1 D．a≥1

解析：由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.

答案：B

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则函数零点的个数是________．

解析：∵a·c＜0，∴Δ＝b2－4ac＞0.∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，则函数有两个零点．

答案：2

5．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．

解析：∵a≠0，∴此函数为二次函数．设另一个零点为x2，由根与系数的关系，得1＋x2＝－2aa＝－2.∴x2＝－3.

答案：－3

6．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．

解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.

则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．

可得 1＋2＝－3m＋1，1×2＝n，解得 m＝－2，n＝2. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．要求其零点，令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.

《3.1.1方程的根与函数的零点》导学案2

教学目标

[知识与技能]：理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

[过程与方法]：通过对零点定义的探究掌握零点存在性的判定方法．

[情感、态度与价值观]：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

学习重点

零点的概念及存在性的判定．

学习难点

零点的确定．

教学过程

(一) 自主探究

1、 观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数如：

方程0322xx与函数322xxy

方程0122xx与函数122xxy

方程0322xx与函数322xxy

(在下面坐标系中分别做出上述二次函数的图象，并解出的方程根)试说明方程的根与图象与x轴交点的关系.

2、利用上述关系，试说明一般的一元二次方程)0(02acbxax的根及其对应的二次函数)0(2acbxaxy的图象有怎样的关系？

3、利用以上两个问题的的发现，试总结函数)(xfy零点的定义，并说明函数)(xfy的零点，方程0)(xf实数根，函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标的关系？

(二)合作探讨

1、(Ⅰ)观察二次函数32)(2xxxf的图象 (见图1) ，完成下面各小题.

1) 在区间]1,2[上有零点______； )2(f_______，)1(f_______，

)2(f·)1(f_____0(＜或＞)．

2) 在区间]4,2[上有零点______； )2(f·)4(f____0(＜或＞)．

(Ⅱ)观察下面函数)(xfy的图象(如图)，完成下面各小题.

1)在区间],[ba上______(有/无)零点；

)(af·)(bf_____0(＜或＞)．

2) 在区间],[cb上______(有/无)零点；