[高中数学必修一]3.1.1 方程的根与函数的零点 练习

一．选择题

1．函数2logfxxx的零点所在区间为( )

A． 11,42 B． 11,84

C． 10,8 D． 1,12

【答案】A

2．若函数fxaxb有一个零点是2，那么函数2gxbxax的零点是( )

A． 0,2 B． 10,2

C． 10,2 D． 12,2

【答案】C

【解析】函数fxaxb有一个零点是2， 220,221,abgxaxaxaxx零点为0和12,故选C.

3．下列函数不存在零点的是( )

A． 1yxx B． 221yxx

C． 10{ 10xxyxx D． 10{ 10xxyxx

【答案】D

【解析】令0y，得A中函数的零点为1,1； B中函数的零点为1,12； C中函数的零点为1,1；只有D中函数无零点，故选D．

4．已知函数f(x)＝221,1{ 1log,1xxxx，则函数f(x)的零点为( )

A． 12 ，0 B． －2,0

C． 12 D． 0

【答案】D

5．下列函数没有零点的是( )

A． f(x)＝0 B． f(x)＝2

C． f(x)＝x2－1 D． f(x)＝x－1x

【答案】B

【解析】对于B， 2fx不能满足方程0fx，因此没有零点. 学.科网

故选B.

6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )

A． a

C． α

【答案】C

【解析】∵,是函数fx的两个零点，

∴0ff.

又20fafb，结合二次函数的图象(如图所示)可知,ab必在,之间．故选C.

1 第三章 函数的应用

3．1 函数与方程

3．1.1 方程的根与函数的零点

基础达标

1．下列图象表示的函数中没有零点的是

( )．

解析 B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．

答案 A

2．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是

( ).

x －1 0 1 2 3

ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09

x＋2 1 2 3 4 5

A.(－1,0) B．(0,1)

C．(1,2) D．(2,3)

解析 由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，

f(2)＝7.39－4＞0，

∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．

答案 C

3．函数f(x)＝x2－2x的零点个数

( )．

A．3 B．2 C．1 D．0

解析 由y＝x2与y＝2x的图象知零点个数为3个，故选A. 2

答案 A

4．函数f(x)＝x－1ln xx－3的零点是________．

解析 令f(x)＝0，即x－1ln xx－3＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.

答案 1

5．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．

解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.

答案 0

6．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

解析 由题意知，2a＋b＝0，则b＝－2a，

∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，

令g(x)＝0，得x＝0或－12.

答案 －12，0

7．判断函数f(x)＝ex－5零点的个数．

解 法一 f(0)＝－4＜0，f(3)＝e3－5＞0，

∴f(0)·f(3)＜0.

《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题

一、选择题

1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用.

答案：B.

解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间 内函数零点的个数有1个，答案选B.

2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ).

A. B.

C. D.

考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想.

答案：B.

解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，.

(方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得.

3.若是方程的解，则属于区间( ).

A. B. C. D.

考查目的：考查函数零点的存在性定理.

答案：D.

解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2).

二、填空题

4.若函数的零点位于区间内，则 .

考查目的：考查函数零点的存在性定理.

答案：2.

解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴.

5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围 .

考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想.

答案：.

解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得.

6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .

考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想.

答案：.

解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是.

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一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数f(x)＝x－4x的零点有(

)

A．0个 B．1个

C．2个 D．无数个

解析： 令f(x)＝0，即x－4x＝0.

∴x＝±2.故f(x)的零点有2个，选C.

答案： C

2．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( )

A．－1 B．1

C．－2 D．2

解析： 由根与系数的关系得

－3＋x＝－2aa，∴x＝1.

即另一个零点是1，故选B.

答案： B

3．设函数f(x)＝x3－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

解析： 方法一：令f(x)＝x3－12x－2，

则f(0)＝0－12－2＝－4<0，

f(1)＝1－12－2＝－1<0，

f(2)＝23－120＝7>0，

f(3)＝27－121＝2612>0，

f(4)＝43－122＝6334>0，

∴f(1)·f(2)<0，

故x0所在的区间是(1,2)．

方法二：数形结合法，如图所示．

答案： B

4．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 2 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

解析： y＝2x在(1，＋∞)上是增函数

y＝11－x在(1，＋∞)上是增函数

∴f(x)＝2x＋11－x在(1，＋∞)上是增函数．

∴y＝f(x)只有x0一个零点