必修1-3.1.1方程的根与函数的零点(第一课时)

1

3.1.1《方程的根与函数的零点》说课稿

（第一课时）

说课人：

各位评委老师，各位同事，下午好！今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》第一课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。下面我将从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法与学法分析、教学过程设计、教学反思六个方面来进行阐述。

一、 教材分析

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个连接点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

二、 教学目标分析

根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：

知识与技能目标：理解方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：经历“类比-归纳-应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

能力与情感目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。

三、重难点分析

教学重点：判定函数零点的存在及其个数的方法。

教学难点：探究发现函数零点的存在性，及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。

2

四、教法分析和学法指导

结合本节课的教学内容和学生的认知水平：

在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。

在学法上，我体会到 “授人以鱼，不如授人以渔” ，因此我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。

五、教学过程

（一）创设情景，引出课题

问题1 求下列方程的根

(1) (2)

设计意图：由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．

思考：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？

问题2 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并说出方程的根和函数图象与x轴交点的坐标之间的关系．

一元二次方程 方程的根 二次函数 函数的图象（简图） 图象与轴交点的坐标

x2-2x-3=0

x2-2x+1=0

x2-2x+3=0

设计意图：有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．

问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

设计意图：把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．

（二）启发引导，形成概念

1．函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

辨析练习：判断下列说法的正误。函数的零点是：

3

⑴ （-1，0），（3，0）；（ ）

⑵ x=-1；（ ）

⑶ x=3；（ ）

⑷ -1和3．（ ）

2．等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

设计意图：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解。目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键。

（三）初步运用，示例练习

例1 求函数的零点．

（1）y=x2-2x+1 ；

设计意图：巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．

（四）讨论探究，揭示定理

四人小组讨论，完成探究.

问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

探究: 观察二次函数的图象，如下图，我们发现函数在区间上有零点．计算f（a）和f（a）的乘积，

你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？

猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有f（a）·f(b)<0成立，那么函数在区间(a,b)上有零点．

设计意图：通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.

1．零点定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0,

这个c也就是方程f(x) = 0的根．

2．概念辨析：

3．说明：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，不一定能得出f(a)·f(b)<0的结论，也就是说上述定理不可逆．

4

4．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象．

设计意图：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．

反馈练习：函数y=2x+9 必有一个零点的区间是（ ）．

A．(-5, -4) B．(-4,3) C．(-1, 0) D．(0,2)

分析：判断是否满足f(a)f(b)<0．

结论：若函数 在其定义域内的某个区间上是单调的，则在这个区间上至多有一个零点．

设计意图：通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题．引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的例题学习作好铺垫．

（五）体会新知,巩固深化

例2 求函数的零点个数．

F(x)=2x-5

解：计算出x、f(x)的对应值表．

x 1 2 3 4 5

f(x)

由表格可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．

问题5：你能判断函数 的单调性，并给出相应的证明吗？

判断方法：

证明：课后完成．

设计意图：引导学生思考如何应用零点定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.

（六）知识应用，尝试练习

1．判断下列方程有没有根，有几个根

y=x2-2x-3

2．判断函数f(x)=2x2+3x-8的零点个数，并指出其零点所在的大致区间．

设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的

5

小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.

（七）反思小结，培养能力

1.知识点小结：一个概念,一个等价条件,一个判定定理

2.思想方法小结：数形结合（以数解形以形解数）。

设计意图：通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.

（八）课后作业，自主学习

1．教材P102习题3．1（A组）第2题；

2．求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数，并指出其零点所在的大致区间

设计意图：巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．

七、教学反思

教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时，就不能照本宣科。

各位专家，以上就是我对这节课的教学设想，不足之处恳请各位专家批评指正．

谢谢！