高一数学必修1课件 3.1.1方程的根与函数的零点(1)

1 3．1.1 方程的根与函数的零点

[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．

[知识链接]

考察下列一元二次方程与对应的二次函数：

(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；

(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；

(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.

你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？

[预习导引]

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系；

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点存在的判定方法

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数

y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．

要点一 求函数的零点

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；

(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；

(3)f(x)＝2x－1－3；

(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2. 2 规律方法

求函数零点的两种方法：

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

跟踪演练1

判断下列说法是否正确：

(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；

(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.

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函数零点及二分法

一、耕地播种

1、回顾：一元二次方程x2-2x+3=0与二次函数y=x2-2x+3=0之间的关系。

总结

2、函数的零点：

.

深入虎穴

L1：下列函数的图象中没有零点的是（ ）

3、零点的判定（零点存在性定理）：

函数零点的意义与求法

1、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点。

2、函数零点的求法：

(1)代数法：求方程f(x)=0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)=0，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

- 2 - .

注意

L2：判断下列函数在给定的区间上是否存在零点：

(1)f(x)=(x+2)(x-1),x[-1,2]; (2)f(x)=x2-x+2, xR;

(3)f(x)=(x-2)2, x[-1,5].

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教 学 目 标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.

2.掌握函数零点的判定方法

重 难 点 了解函数的零点与方程的根的联系。

【知识回顾与能力提升】

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数和自然对数

(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.

(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.

3．对数与指数的关系

当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.

4．对数的基本性质

(1)负数和零没有对数．

(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．

(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1).

5．对数的运算性质

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.

(2)logaMN＝logaM－logaN.

(3)logaMn＝nlogaM，(n∈R)．

6．换底公式

logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b>0)．

温馨提示 常用结论(1)loganbn＝logab；

- 2 - (2)logambn＝nmlogab；

(3)logab·logba＝1；

(4)logab·logbc·logcd＝logad.

7．对数函数的概念

一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

8．对数函数的图象与性质

a＞1 0＜a＜1

图象

性质 定义域 (0，＋∞)

值域 R

过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

3.1.1 方程的根与函数的零点

1．函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．

辨误区 函数的零点不是点 我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．

【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )

A．(±1,0) B．(1,0)

C．0 D．±1

解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．

答案：D

2．基本初等函数的零点

函数 零点(或零点个数)

正比例函数y＝kx(k≠0) 一个零点0

反比例函数kyx(k≠0) 无零点

一次函数y＝kx＋b(k≠0) 一个零点bk

二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a≠0 Δ＞0 两个零点－b±Δ2a

Δ＝0 一个零点－b2a

Δ＜0 无零点

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 无零点

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 一个零点1

幂函数y＝xα α＞0 一个零点0

α≤0 无零点

【例2】若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．1或2

解析：∵b2＝ac，

∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．