人教版高一数学必修1教案§3.1.1方程的根与函数的零点

“方程的根与函数的零点”教学设计

一、教学内容分析：本节内容是人教版必修一第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一个内容《方程的实数根与函数的零点》，是下一节“二分法”的知识基础。本节课的一个重要任务就是让学生学会用函数的知识去研究方程的根的问题，通过零点概念的学习，建立方程与函数在数和形上的对应，体会函数与方程的思想解决问题的基本方法。

二、教学目标分析：

知识与技能:

1、结合一元二次方程的实数根与对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，理解函数零点的定义；

2、结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3、结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.

过程与方法:

1.让学生充分体会特殊到一般的探究方法，学会从特殊现象中提炼一般的规律。

2、通过数形结合思想的渗透，提升学生对函数的认知能力。

3、零点存在性定理的探究过程和巩固练习，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

情感、态度、价值观:

1、培养学生热爱自然，保护自然的意识，让学生体会数学来源于生活，服务于生活。

2、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

3、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。

教学难点：方程的实数根与函数零点关系的灵活转化，探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

三、学生情况分析：

1、学生的知识准备：通过初中和高一上学期的学习，学生掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法。对几种初等函数的图象有了比较全面的了解，能够比较准确的判断初等函数与x轴的交点情况。学生学习函数零点有了较为充分的函数知识准备。同时学生通过对指数和对数的学习，在遇到用零点存在性定理判定超越函数在区间上是否存在零点提供了运算的知识准备。

2、心理准备：学生能够通过一元二次方程的根与对应二次函数与x轴的交点横坐标的关系理解零点的概念，但在任意函数的零点与对应方程的实数根关系的转化上还存在一定难度。

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课

一、教学目标：

① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；

② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想；

③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）

1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？

①一次函数0ykxbk：0k时，是一条递增的直线；0k时，是一条递减的直线。b是图像与y轴交点的纵坐标，如0b时，直线过原点。

②二次函数

③指数函数

④对数函数

⑤幂函数

2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理

三、教学过程

探讨1：求函数324fxxx的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性

①确定正整数k的值，使得函数324fxxx在区间,1kk上存在零点。②试画出函数3yx与24yx的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：

找出一个数0x作为函数324fxxx零点的近似值。（精度为0.1）

课堂练习：

判断下列函数的零点个数

①22fxxx

②lg2fxxx

③2log2xfxx ④2ln23fxxx

⑤32221fxxxx

课后练习：

1.函数6)(2xxxf的零点为

2.函数2)(axxf在区间)2,1(上有零点，则a的取值范围是

3.函数11ln)(xxxf的零点的个数是 （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4.设函数3yx与22xy的图象的交点为00()xy，，则0x所在的区间是 （ ）

A．(01)， B．(12)， C．(23)， D．(34)，

5.根据表格中的数据，可以判定方程20xex的一个零点所在的区间为))(1,(Nkkk，则k的值为 ；

1 高中数学 3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案

新人教A版必修1

学习目标：1、理解函数零点存在性定理

2、能应用零点存在性定理解决问题

学习重点：零点存在性定理的应用

学习过程：

一、 观察分析、探究学习

1、 判断函数183)(2xxxf在8,1x是否存在零点

法Ⅰ：

法Ⅱ：

2、 根据法Ⅱ总结零点存在定理

___________________________________________

3、 应用1：判断下列函数在给定区间上是否存在零点

（1）1)(3xxxf 2,1-x

（2）xxxf)2(log)(2 3,1x

应用2：若)(xfy的最小值为2，则1)(xfy的零点个数为______个

2 应用3：若函数)0(12)(kkkxxf在1,1-上存在一个零点，求k的取值范围

应用4：若函数mxmxxf2)1(-)(2在1,0上有且只有一个零点，求m的取值范围

二、 数形结合、深化研究

1、研究下列函数零点的个数

（1）32)(xexfx

（2）xxxf213log)(2

2、单调性、奇偶性与零点

（1）若奇函数)(xf的定义域为R，在，0上是单调递增函数，0)1(f，求)(xf在2,2-内的零点个数

3

（2）求函数24)(xxxf的所有零点之和

三、课后感悟

1、函数1,341,442xxxxxxf的图象和函数xxg2log的图象的交点个数是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

2、函数12log)(2xxxf的零点必落在区间（ ）

A.41,81 B.21,41 C.1,21 D.(1,2)

3、数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25， 则fx可以是（ ）

3.1.1 方程的根与函数的零点

1．函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．

辨误区 函数的零点不是点 我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．

【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )

A．(±1,0) B．(1,0)

C．0 D．±1

解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．

答案：D

2．基本初等函数的零点

函数 零点(或零点个数)

正比例函数y＝kx(k≠0) 一个零点0

反比例函数kyx(k≠0) 无零点

一次函数y＝kx＋b(k≠0) 一个零点bk

二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a≠0 Δ＞0 两个零点－b±Δ2a

Δ＝0 一个零点－b2a

Δ＜0 无零点

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 无零点

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 一个零点1

幂函数y＝xα α＞0 一个零点0

α≤0 无零点

【例2】若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．1或2

解析：∵b2＝ac，

∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．