新人教A版必修1 3.1.1 方程的根与函数的零点

《方程的根与函数的零点》教材解析

一、教学内容解析

本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。

函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如

对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识联系的角度来引入较为适宜。

二、教学目标解析

1．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，从而了解函数的零点与方程根的联系。

2．在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想。

三、教学问题诊断分析 1．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初步树立起函数应用的意识。并从此出发，通过问题的设置，引导学生思考，再通过实例的确认与体验，从直观到抽象，从特殊到一般的学习方式，捅破学生认识上的这层“窗户纸”。

“方程的根与函数的零点”教学设计

一、教学内容分析：本节内容是人教版必修一第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一个内容《方程的实数根与函数的零点》，是下一节“二分法”的知识基础。本节课的一个重要任务就是让学生学会用函数的知识去研究方程的根的问题，通过零点概念的学习，建立方程与函数在数和形上的对应，体会函数与方程的思想解决问题的基本方法。

二、教学目标分析：

知识与技能:

1、结合一元二次方程的实数根与对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，理解函数零点的定义；

2、结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3、结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.

过程与方法:

1.让学生充分体会特殊到一般的探究方法，学会从特殊现象中提炼一般的规律。

2、通过数形结合思想的渗透，提升学生对函数的认知能力。

3、零点存在性定理的探究过程和巩固练习，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

情感、态度、价值观:

1、培养学生热爱自然，保护自然的意识，让学生体会数学来源于生活，服务于生活。

2、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

3、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。

教学难点：方程的实数根与函数零点关系的灵活转化，探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

三、学生情况分析：

1、学生的知识准备：通过初中和高一上学期的学习，学生掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法。对几种初等函数的图象有了比较全面的了解，能够比较准确的判断初等函数与x轴的交点情况。学生学习函数零点有了较为充分的函数知识准备。同时学生通过对指数和对数的学习，在遇到用零点存在性定理判定超越函数在区间上是否存在零点提供了运算的知识准备。

2、心理准备：学生能够通过一元二次方程的根与对应二次函数与x轴的交点横坐标的关系理解零点的概念，但在任意函数的零点与对应方程的实数根关系的转化上还存在一定难度。

2013-2014学年高一数学必修一导学案 编制： 王朝明 审核： 审批： 日期： 2013-10-23

自 强 不 息 务 本 求 实

1 《 §3.1.1方程的根与函数的零点》导学案

班级 小组 姓名 评价

【学习目标】

1、知识与技能：了解函数零点的概念，领会方程的根就是相应函数图像与x轴交点的横坐标。

2、过程与方法：掌握函数零点存在性判定定理和定理的推论。

3、情感、态度与价值观：通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.

预习案

1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系

函数图象

判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0

函数与x轴交点坐标

方程的根

2、函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把使_____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

3．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0______________⇔函数y＝f(x)的图象________________⇔函数y＝f(x)____________．

4．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_____________的一条曲线，并且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内_____________，即存在c∈(a，b)，使得_____________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

5. 函数零点的存在性定理的推论

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_____________的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即_______________，并且函数y＝f(x)在区间[a，b]上是单调的，那么，这个函数在(a,b)内必有_____________的一个零点。 2013-2014学年高一数学必修一导学案 编制： 王朝明 审核： 审批： 日期： 2013-10-23

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锦山蒙中高一数学导学案 姓名：

课题： 3.1.1方程的根与函数的零点

目标：（1）了解函数的零点与方程根的联系；

（2）理解并会应用函数在某区间上存在零点的判定.

重点：函数的零点与方程的根之间的联系.

难点：掌握零点存在的判定定理.

一、复习回顾

复习1：一元二次方程2ax+bx+c=0 (a0)的解法.

判别式= .

当 0，方程有两根，为1,2x ；

当 0，方程有一根，为0x ；

当 0，方程无实根.

复习2：方程2ax+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？

判别式 一元二次方程的根个数 二次函数图象

0

0

0

二、新知探究

【探究一】函数零点与方程的根的关系

问题：

① 方程2230xx的解为 ，函数223yxx的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

② 方程2210xx的解为 ，函数221yxx的图象与x轴有 个交点，第2页（共4页）

坐标为 .

③ 方程2230xx的解为 ，函数223yxx的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程20(0)axbxca的根就是相应二次函数20(0)yaxbxca的图象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到()yfx吗？