人教版数学必修1 3.1.1方程的根与函数的零点(共16张PPT)

“方程的根与函数的零点”教学设计

一、教学内容分析：本节内容是人教版必修一第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一个内容《方程的实数根与函数的零点》，是下一节“二分法”的知识基础。本节课的一个重要任务就是让学生学会用函数的知识去研究方程的根的问题，通过零点概念的学习，建立方程与函数在数和形上的对应，体会函数与方程的思想解决问题的基本方法。

二、教学目标分析：

知识与技能:

1、结合一元二次方程的实数根与对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，理解函数零点的定义；

2、结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3、结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.

过程与方法:

1.让学生充分体会特殊到一般的探究方法，学会从特殊现象中提炼一般的规律。

2、通过数形结合思想的渗透，提升学生对函数的认知能力。

3、零点存在性定理的探究过程和巩固练习，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

情感、态度、价值观:

1、培养学生热爱自然，保护自然的意识，让学生体会数学来源于生活，服务于生活。

2、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

3、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。

教学难点：方程的实数根与函数零点关系的灵活转化，探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

三、学生情况分析：

1、学生的知识准备：通过初中和高一上学期的学习，学生掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法。对几种初等函数的图象有了比较全面的了解，能够比较准确的判断初等函数与x轴的交点情况。学生学习函数零点有了较为充分的函数知识准备。同时学生通过对指数和对数的学习，在遇到用零点存在性定理判定超越函数在区间上是否存在零点提供了运算的知识准备。

2、心理准备：学生能够通过一元二次方程的根与对应二次函数与x轴的交点横坐标的关系理解零点的概念，但在任意函数的零点与对应方程的实数根关系的转化上还存在一定难度。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法 零点存在性的判定．

情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：

重点 零点的概念及存在性的判定．

难点 零点的确定．

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

尝试练习

探索研究

作业回馈

课外活动 结合二次函数引入课题．

二次函数的零点及零点存在性的．

零点存在性为练习重点．

进一步探索函数零点存在性的判定．

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结． 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设置 师生双边互动

创

设

情

境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

○1方程0322xx与函数322xxy

○2方程0122xx与函数122xxy

○3方程0322xx与函数322xxy

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

组

织

探

究 函数零点的概念：

对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点．

函数零点的意义：

函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标．

即：

方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．

函数零点的求法：

求函数)(xfy的零点：

○1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

3.1.1 方程的根与函数的零点

1．函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．

辨误区 函数的零点不是点 我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．

【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )

A．(±1,0) B．(1,0)

C．0 D．±1

解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．

答案：D

2．基本初等函数的零点

函数 零点(或零点个数)

正比例函数y＝kx(k≠0) 一个零点0

反比例函数kyx(k≠0) 无零点

一次函数y＝kx＋b(k≠0) 一个零点bk

二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a≠0 Δ＞0 两个零点－b±Δ2a

Δ＝0 一个零点－b2a

Δ＜0 无零点

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 无零点

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 一个零点1

幂函数y＝xα α＞0 一个零点0

α≤0 无零点

【例2】若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．1或2

解析：∵b2＝ac，

∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．

1 3.1.1 方程的根与函数的零点

A级 基础巩固

一、选择题

1．函数f(x)＝lg x＋1的零点是( )

A.110 B.10 C.1010 D．10

解析：由lg x＋1＝0，得lg x＝－1，所以x＝110.

答案：A

2．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )

A．1 B．－1 C．0 D．不能确定

解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.

答案：C

3．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋ln x，x＞0.的零点个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，

解得x＝－3或x＝1(舍)；

当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.

所以函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋ln x，x＞0.有2个零点．

答案：C

4．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为( )

A.12，0 B．－2，0

C.12 D．0

解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.

当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝12，此时无解．

综上所述，函数零点为0.

答案：D 2 5．函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是( )

A．(1，2) B．(2，3)

C.1，1e和(3，4) D．(e，＋∞)

解析：函数f(x)的图象在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以零点所在的大致区间为(2，3)．

答案：B

二、填空题

6．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．

解析：作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象，由图可知，这两个图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．