第11讲_函数的图像

第11讲 幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数 最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称； 例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。

高一下册（春季）数学辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题正切函数的图像性质与最值教学内容1. 熟练掌握对数函数的性质；2. 会应用对数函数的图像与性质解决综合问题。

（以提问的形式让学生讨论完成）1. 在不同的坐标系中，分别画出正切函数图像和余切函数图像xyO xyO2. 归纳填表格：三角函数 正切函数tan y x = 余弦函数cot y x =定义域 ,2x k k Z ππ≠+∈,x k k Z π≠∈ 值域 y R ∈y R ∈最值 无最值 无最值 奇偶性 奇函数奇函数周期性 T π=T π=单调性 递增区间：2(,,)2k k x k Z ππππ-∈∈+； 没有递减区间；递减区间：(,),x k k k Z πππ∈+∈； 没有递增区间；轴对称 没有没有渐进性 渐近线：,2x k k Z ππ=+∈渐近线：,x k k Z π=∈中心对称性 对称中心是(,0)k π及(,0),2k k Z ππ+∈（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.求下列函数的定义域xy tan 11+=解：要使函数有意义，则需满足()Z k k x x ∈+≠≠+20tan 1ππ且即()()Z k k x Z k k x ∈+≠∈+≠ππππ432，且故所求函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠Z k k x k x x ，，且ππππ432试一试：求下列函数的定义域x y tan 33-=要使函数有意义，需满足,0tan 33≥-x 结合正切函数 的图像可得Z k k x k ∈+<<+-,62ππππ原函数的值域为[)+∞-,5(2)令()()011111,,tan 222=-+++-∴++-+=∴∈=y t y t y tt t t y R t x t 当y=1时,t=0,即tanx=0,当()()，时，0141122≥--+=∆≠y y y即1331031032≠≤≤∴≤+-y y y y ，且，综上所述, 原函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，. 点评：求含有正弦函数的复合函数的值域，一般采用还原法例4. 已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合． 试题分析：辅助角公式求解此类问题，为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

2021年中考数学一轮复习讲练测专题11一次函数的图像与性质1、知道一次函数与正比例函数的意义．2、结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式.3、会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时,图象的变化情况).1．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B【分析】hcm注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．设水面高度为,【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·广西中考真题）直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】A【分析】由直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值．【详解】解：∵直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k +2，∴k ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．3．（2020·安徽中考真题）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4 【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．4．（2020·江苏泰州市·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【详解】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）一次函数21y x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的图象与系数的关系选出正确选项．【详解】解：根据函数解析式21y x =--，∵k 0<，∴直线斜向下，∵0b <，∴直线经过y 轴负半轴，图象经过二、三、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是能够根据解析式系数的正负判断图象的形状． 6．（2020·山东济南市·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键 ．7．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（ ）A ．m>-12B ．m<3C ．-12<m<3D ．-12<m≤3 【答案】D【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，21030m m ⎧⎨-⎩＋＞＜，解得：－12＜m ＜3. 当函数图象经过第一，三象限时，21030m m ＋＞＝⎧⎨-⎩，解得m ＝3. ∴－12＜m≤3. 故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k ，b 的符号确定：①当k ＞0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b ＝0的特殊情况.8．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm ，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x（单位：kg ）的函数图象如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据题目中的函数解析式，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令y ＝7.5，求出x 的值，即此时x 的值就是a 的值，本题得以解决．【详解】解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kx+b ，6910.5b k b =⎧⎨+=⎩， 解得，k 0.5b 6=⎧⎨=⎩， 即y 与x 的函数关系式是y ＝0.5x+6，当y ＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x ＝3，即a 的值为3，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．9．（2019·浙江杭州市·中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．【详解】符合题意的函数解析式可以是1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等，(本题答案不唯一) 故答案为如1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 10．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y ＝2x +3【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【详解】解：把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，得到y ＝2（x +1）﹣1＝2x +1，再向上平移2个单位长度，得到y ＝2x +3．故答案为：y ＝2x +3．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．11．（2020·天津中考真题）将直线2y x =-向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】21y x =-+【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线2y x =-向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：21y x =-+； 故答案为：21y x =-+．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 12．（2020·山东临沂市·中考真题）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．【答案】m ＜n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解：∵直线2y x b =+中，k=2＞0，∴此函数y 随着x 的增大而增大， ∵12-＜2， ∴m ＜n ．故答案为：m ＜n ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 13．（2020·四川成都市·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为_________． 【答案】12m >【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：因为一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，所以2m-1＞0． 解得12m >. 故答案为：12m >． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降.14．（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】解：在一次函数2y x b =-+中，∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．15．（2020·江苏宿迁市·中考真题）已知一次函数y ＝2x ﹣1的图象经过A （x 1，1），B （x 2，3）两点，则x 1_____x 2（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】由k ＝2＞0，可得出y 随x 的增大而增大，结合1＜3，即可得出x 1＜x 2．【详解】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大．又∵1＜3，∴x 1＜x 2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”．16．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是__________．【答案】122y x =+ 【分析】 根据原一次函数与x,y 轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.【详解】∵一次函数的解析式为24y x =-+，∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ，∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()1-4,0B ， 令y ax b =+，代入点得12a =，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为122y x =+． 故答案为122y x =+． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．17．（2020·湖南中考真题）已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3， 把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6， 即所求的交点坐标为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．18．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）1y x =+；（2）2m ≥ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到， ∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =， ∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2）， ∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+， 又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =， ∴m 的取值范围为2m ≥． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．考点一一次函数图像与系数的关系例1．（2020·明光市明湖学校八年级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b 的取值范围确定一次函数y=bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=kx+b过一、二、四象限，∴则函数值y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交∴k＜0，b＞0，∴一次函数y＝bx+k的图象y随x的增大而增大，与y轴负半轴相交，∴一次函数y＝bx+k的图象经过一三四象限.故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．【变式训练】=+的图象如图所示，则下列结论正确的1．（2020·湖南益阳市·中考真题）一次函数y kx b是（）A ．0k <B ．1b =-C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x >时，0kx b +<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k ﹥0，且y 随x 的增大而增大，故A 、C 选项错误； 图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B 选项正确； 当x ﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有y ﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误， 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．2．（2020·江苏镇江市·中考真题）一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A ．第一 B ．第二C ．第三D ．第四【答案】D 【分析】根据一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k ＞0，与y 轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，该函数过点（0，3），∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．考点二 一次函数的性质例2． （2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数2y x =+，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,3 B ．图象与x 轴交于点()2,0- C ．图象不经过第四象限 D ．当2x >时，4y <【答案】D 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】A.图象经过点()1,3，正确；B.图象与x 轴交于点()2,0-，正确C.图象经过第一、二、三象限，故错误；D.当2x >时，y ＞4，故错误； 故选D ． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点． 【变式训练】1.（2020·广东广州市·中考真题）一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小． 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．2.（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数2y x b =-+中， ∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．考点三 求一次函数的解析式例3（2020·湖南郴州市·中考真题）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式训练】1．（2020·江西中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB 向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+C ．12y x =+D ．2y x =+【答案】B 【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，2230x x --=，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A （0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线12bx a=-=， 经过平移，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上， ∴三角形Rt OAB 向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形Rt OAB 向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线A B ''的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5），可得254k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩，故直线A B ''的表达式为1y x =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．2．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y ＝－2x 【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解． 【详解】∵点P 到x 轴的距离为2， ∴点P 的纵坐标为2，∵点P 在一次函数y ＝－x ＋1上， ∴2＝－x ＋1，解得x ＝－1， ∴点P 的坐标为（－1，2）． 设正比例函数解析式为y ＝kx ，把P （－1，2）代入得2＝－k ，解得k ＝－2， ∴正比例函数解析式为y ＝－2x ， 故答案为：y ＝－2x ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．考点四 一次函数式图像的平移变换例4． （2020·山东日照市·中考真题）将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3 B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）【答案】A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【变式训练】1．（2020·四川内江市·中考真题）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A ．25y x =-- B ．23y x =--C ．21y x =-+D ．23y x =-+【答案】C【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．2.（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b 的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．【答案】y=2x＋7【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得2=b∴原一次函数解析式为y=2x＋2将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7 故答案为：y=2x＋7．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．。

第11讲一次函数的图象及其性质考点梳理·方法归纳学法指导四川中考1、（2016•南宁）已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（B）A ．B．3 C ．﹣D．﹣32、(2015•成都）一次函数y=6x+1的图象不经过（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、（2015•广安）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y 与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（D）A．y=0.12x，x＞0B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500D．y=60﹣0.12x，0≤x≤5004、（2016•雅安）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（C）A ．B ．C ．D ．5、（2016•眉山）若函数y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、四象限6、（2014•眉山）将直线y=2x+1平移后经过点（2，1），则平移后的直线解析式为y=2x ﹣3．7、（2016•甘孜州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是x=2．8、（2015•宜宾）如图，一次函数的图象与x 轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若C （，），则该一次函数的解析式为y=﹣x+．高频考点·讲透练活考点1一次函数的图象和性质例1、（1）（2016•玉林）关于直线l：y=kx+k （k≠0），下列说法不正确的是（D）A．点（0，k）在l上B．l经过定点（﹣1，0）C．当k＞0时，y随x的增大而增大D．l经过第一、二、三象限（2）（2016•厦门）已知一次函数y=kx+2，当x=﹣1时，y=1，求此函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出此函数图象．思路分析：（1）根据一次函数的图象和性质来判断；（2）把点的坐标代入函数解析式得到一元一次方程，求解即可得到k的值，写出解析式，根据两点确定一条直线作出图象．解：（1）D （2）将x=﹣1，y=1代入一次函数解析式：y=kx+2，可得1=﹣k+2，解得k=1∴一次函数的解析式为：y=x+2；当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣2，所以函数图象经过（0，2）；（﹣2，0），此函数图象如图所示，【对应训练】1、（2016•郴州）当b＜0时，一次函数y=x+b 的图象大致是（B）A ．B ．C ．D ．2、（2016•资阳）已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第一象限．3、（2016•贵阳）已知点M（1，a）和点N （2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是a＞b．考点2一次函数的解析式例2、（2016•宜昌）如图，直线y=x+与两坐标轴分别交于A、B两点．过A的直线l交x轴正半轴于C，AB=AC，求直线l 的函数解析式．思路分析：根据函数解析式求出点A、B的坐标，由AB=AC，A O⊥BC，可得AO为BC的中垂线，根据点B的坐标，得出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线l的函数解析式．[来源:学科网]解：对于直线y=x +，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣1，故点A的坐标为（0，），点B的坐标为（﹣1，0），在△ABC中，∵AB=AC，AO⊥BC，∴AO 为BC的中垂线，即BO=CO，则C点的坐标为（1，0），设直线l的解析式为：y=kx+b（k，b为常数），则，解得：，即函数解析式为：y=﹣x +．【对应训练】4、（2016•娄底）将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是y=2x﹣2．5、（2016•丽水）在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（A）A．M（2，﹣3），N（﹣4，6）B．M（﹣2，3），N（4，6）C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6）D．M（2，3），N（﹣4，6）6、（2016•温州）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（C）A．y=x+5 B．y=x+10C．y=﹣x+5 D．y=﹣x+10考点3一次函数与一次方程（组）、一次不等式的综合例3、（2016•怀化）已知一次函数y=2x+4的图象如图所示：（1）求图象与x轴的交点A的坐标，与y 轴交点B的坐标；（2）在（1）的条件下，求出△AOB的面积；（3）利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．思路分析：（1）利用函数解析式分别代入x=0与y=0的情况就可以求出交点坐标；（2）通过交点坐标就能求出面积；（3）观察函数图象与x轴的交点就可以得出结论．解：（1）当x=0时y=4，当y=0时，x=﹣2，∴A（﹣2，0）B（0，4），（2）S△AOB =×2×4=4，（3）x＜﹣2．【对应训练】7、（2016•百色）直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（A）[来源:学。