第11讲_函数的图像

第11讲 幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数 最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称； 例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。

高一下册（春季）数学辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题正切函数的图像性质与最值教学内容1. 熟练掌握对数函数的性质；2. 会应用对数函数的图像与性质解决综合问题。

（以提问的形式让学生讨论完成）1. 在不同的坐标系中，分别画出正切函数图像和余切函数图像xyO xyO2. 归纳填表格：三角函数 正切函数tan y x = 余弦函数cot y x =定义域 ,2x k k Z ππ≠+∈,x k k Z π≠∈ 值域 y R ∈y R ∈最值 无最值 无最值 奇偶性 奇函数奇函数周期性 T π=T π=单调性 递增区间：2(,,)2k k x k Z ππππ-∈∈+； 没有递减区间；递减区间：(,),x k k k Z πππ∈+∈； 没有递增区间；轴对称 没有没有渐进性 渐近线：,2x k k Z ππ=+∈渐近线：,x k k Z π=∈中心对称性 对称中心是(,0)k π及(,0),2k k Z ππ+∈（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.求下列函数的定义域xy tan 11+=解：要使函数有意义，则需满足()Z k k x x ∈+≠≠+20tan 1ππ且即()()Z k k x Z k k x ∈+≠∈+≠ππππ432，且故所求函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠Z k k x k x x ，，且ππππ432试一试：求下列函数的定义域x y tan 33-=要使函数有意义，需满足,0tan 33≥-x 结合正切函数 的图像可得Z k k x k ∈+<<+-,62ππππ原函数的值域为[)+∞-,5(2)令()()011111,,tan 222=-+++-∴++-+=∴∈=y t y t y tt t t y R t x t 当y=1时,t=0,即tanx=0,当()()，时，0141122≥--+=∆≠y y y即1331031032≠≤≤∴≤+-y y y y ，且，综上所述, 原函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，. 点评：求含有正弦函数的复合函数的值域，一般采用还原法例4. 已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合． 试题分析：辅助角公式求解此类问题，为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

2021年中考数学一轮复习讲练测专题11一次函数的图像与性质1、知道一次函数与正比例函数的意义．2、结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式.3、会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时,图象的变化情况).1．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B【分析】hcm注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．设水面高度为,【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·广西中考真题）直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】A【分析】由直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值．【详解】解：∵直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k +2，∴k ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．3．（2020·安徽中考真题）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4 【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．4．（2020·江苏泰州市·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【详解】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）一次函数21y x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的图象与系数的关系选出正确选项．【详解】解：根据函数解析式21y x =--，∵k 0<，∴直线斜向下，∵0b <，∴直线经过y 轴负半轴，图象经过二、三、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是能够根据解析式系数的正负判断图象的形状． 6．（2020·山东济南市·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键 ．7．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（ ）A ．m>-12B ．m<3C ．-12<m<3D ．-12<m≤3 【答案】D【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，21030m m ⎧⎨-⎩＋＞＜，解得：－12＜m ＜3. 当函数图象经过第一，三象限时，21030m m ＋＞＝⎧⎨-⎩，解得m ＝3. ∴－12＜m≤3. 故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k ，b 的符号确定：①当k ＞0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b ＝0的特殊情况.8．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm ，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x（单位：kg ）的函数图象如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据题目中的函数解析式，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令y ＝7.5，求出x 的值，即此时x 的值就是a 的值，本题得以解决．【详解】解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kx+b ，6910.5b k b =⎧⎨+=⎩， 解得，k 0.5b 6=⎧⎨=⎩， 即y 与x 的函数关系式是y ＝0.5x+6，当y ＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x ＝3，即a 的值为3，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．9．（2019·浙江杭州市·中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．【详解】符合题意的函数解析式可以是1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等，(本题答案不唯一) 故答案为如1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 10．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y ＝2x +3【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【详解】解：把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，得到y ＝2（x +1）﹣1＝2x +1，再向上平移2个单位长度，得到y ＝2x +3．故答案为：y ＝2x +3．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．11．（2020·天津中考真题）将直线2y x =-向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】21y x =-+【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线2y x =-向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：21y x =-+； 故答案为：21y x =-+．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 12．（2020·山东临沂市·中考真题）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．【答案】m ＜n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解：∵直线2y x b =+中，k=2＞0，∴此函数y 随着x 的增大而增大， ∵12-＜2， ∴m ＜n ．故答案为：m ＜n ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 13．（2020·四川成都市·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为_________． 【答案】12m >【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：因为一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，所以2m-1＞0． 解得12m >. 故答案为：12m >． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降.14．（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】解：在一次函数2y x b =-+中，∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．15．（2020·江苏宿迁市·中考真题）已知一次函数y ＝2x ﹣1的图象经过A （x 1，1），B （x 2，3）两点，则x 1_____x 2（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】由k ＝2＞0，可得出y 随x 的增大而增大，结合1＜3，即可得出x 1＜x 2．【详解】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大．又∵1＜3，∴x 1＜x 2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”．16．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是__________．【答案】122y x =+ 【分析】 根据原一次函数与x,y 轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.【详解】∵一次函数的解析式为24y x =-+，∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ，∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()1-4,0B ， 令y ax b =+，代入点得12a =，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为122y x =+． 故答案为122y x =+． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．17．（2020·湖南中考真题）已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3， 把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6， 即所求的交点坐标为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．18．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）1y x =+；（2）2m ≥ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到， ∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =， ∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2）， ∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+， 又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =， ∴m 的取值范围为2m ≥． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．考点一一次函数图像与系数的关系例1．（2020·明光市明湖学校八年级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b 的取值范围确定一次函数y=bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=kx+b过一、二、四象限，∴则函数值y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交∴k＜0，b＞0，∴一次函数y＝bx+k的图象y随x的增大而增大，与y轴负半轴相交，∴一次函数y＝bx+k的图象经过一三四象限.故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．【变式训练】=+的图象如图所示，则下列结论正确的1．（2020·湖南益阳市·中考真题）一次函数y kx b是（）A ．0k <B ．1b =-C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x >时，0kx b +<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k ﹥0，且y 随x 的增大而增大，故A 、C 选项错误； 图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B 选项正确； 当x ﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有y ﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误， 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．2．（2020·江苏镇江市·中考真题）一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A ．第一 B ．第二C ．第三D ．第四【答案】D 【分析】根据一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k ＞0，与y 轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，该函数过点（0，3），∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．考点二 一次函数的性质例2． （2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数2y x =+，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,3 B ．图象与x 轴交于点()2,0- C ．图象不经过第四象限 D ．当2x >时，4y <【答案】D 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】A.图象经过点()1,3，正确；B.图象与x 轴交于点()2,0-，正确C.图象经过第一、二、三象限，故错误；D.当2x >时，y ＞4，故错误； 故选D ． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点． 【变式训练】1.（2020·广东广州市·中考真题）一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小． 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．2.（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数2y x b =-+中， ∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．考点三 求一次函数的解析式例3（2020·湖南郴州市·中考真题）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式训练】1．（2020·江西中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB 向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+C ．12y x =+D ．2y x =+【答案】B 【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，2230x x --=，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A （0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线12bx a=-=， 经过平移，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上， ∴三角形Rt OAB 向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形Rt OAB 向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线A B ''的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5），可得254k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩，故直线A B ''的表达式为1y x =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．2．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y ＝－2x 【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解． 【详解】∵点P 到x 轴的距离为2， ∴点P 的纵坐标为2，∵点P 在一次函数y ＝－x ＋1上， ∴2＝－x ＋1，解得x ＝－1， ∴点P 的坐标为（－1，2）． 设正比例函数解析式为y ＝kx ，把P （－1，2）代入得2＝－k ，解得k ＝－2， ∴正比例函数解析式为y ＝－2x ， 故答案为：y ＝－2x ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．考点四 一次函数式图像的平移变换例4． （2020·山东日照市·中考真题）将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3 B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）【答案】A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【变式训练】1．（2020·四川内江市·中考真题）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A ．25y x =-- B ．23y x =--C ．21y x =-+D ．23y x =-+【答案】C【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．2.（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b 的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．【答案】y=2x＋7【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得2=b∴原一次函数解析式为y=2x＋2将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7 故答案为：y=2x＋7．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．。

第11讲一次函数的图象及其性质考点梳理·方法归纳学法指导四川中考1、（2016•南宁）已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（B）A ．B．3 C ．﹣D．﹣32、(2015•成都）一次函数y=6x+1的图象不经过（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、（2015•广安）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y 与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（D）A．y=0.12x，x＞0B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500D．y=60﹣0.12x，0≤x≤5004、（2016•雅安）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（C）A ．B ．C ．D ．5、（2016•眉山）若函数y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、四象限6、（2014•眉山）将直线y=2x+1平移后经过点（2，1），则平移后的直线解析式为y=2x ﹣3．7、（2016•甘孜州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是x=2．8、（2015•宜宾）如图，一次函数的图象与x 轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若C （，），则该一次函数的解析式为y=﹣x+．高频考点·讲透练活考点1一次函数的图象和性质例1、（1）（2016•玉林）关于直线l：y=kx+k （k≠0），下列说法不正确的是（D）A．点（0，k）在l上B．l经过定点（﹣1，0）C．当k＞0时，y随x的增大而增大D．l经过第一、二、三象限（2）（2016•厦门）已知一次函数y=kx+2，当x=﹣1时，y=1，求此函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出此函数图象．思路分析：（1）根据一次函数的图象和性质来判断；（2）把点的坐标代入函数解析式得到一元一次方程，求解即可得到k的值，写出解析式，根据两点确定一条直线作出图象．解：（1）D （2）将x=﹣1，y=1代入一次函数解析式：y=kx+2，可得1=﹣k+2，解得k=1∴一次函数的解析式为：y=x+2；当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣2，所以函数图象经过（0，2）；（﹣2，0），此函数图象如图所示，【对应训练】1、（2016•郴州）当b＜0时，一次函数y=x+b 的图象大致是（B）A ．B ．C ．D ．2、（2016•资阳）已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第一象限．3、（2016•贵阳）已知点M（1，a）和点N （2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是a＞b．考点2一次函数的解析式例2、（2016•宜昌）如图，直线y=x+与两坐标轴分别交于A、B两点．过A的直线l交x轴正半轴于C，AB=AC，求直线l 的函数解析式．思路分析：根据函数解析式求出点A、B的坐标，由AB=AC，A O⊥BC，可得AO为BC的中垂线，根据点B的坐标，得出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线l的函数解析式．[来源:学科网]解：对于直线y=x +，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣1，故点A的坐标为（0，），点B的坐标为（﹣1，0），在△ABC中，∵AB=AC，AO⊥BC，∴AO 为BC的中垂线，即BO=CO，则C点的坐标为（1，0），设直线l的解析式为：y=kx+b（k，b为常数），则，解得：，即函数解析式为：y=﹣x +．【对应训练】4、（2016•娄底）将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是y=2x﹣2．5、（2016•丽水）在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（A）A．M（2，﹣3），N（﹣4，6）B．M（﹣2，3），N（4，6）C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6）D．M（2，3），N（﹣4，6）6、（2016•温州）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（C）A．y=x+5 B．y=x+10C．y=﹣x+5 D．y=﹣x+10考点3一次函数与一次方程（组）、一次不等式的综合例3、（2016•怀化）已知一次函数y=2x+4的图象如图所示：（1）求图象与x轴的交点A的坐标，与y 轴交点B的坐标；（2）在（1）的条件下，求出△AOB的面积；（3）利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．思路分析：（1）利用函数解析式分别代入x=0与y=0的情况就可以求出交点坐标；（2）通过交点坐标就能求出面积；（3）观察函数图象与x轴的交点就可以得出结论．解：（1）当x=0时y=4，当y=0时，x=﹣2，∴A（﹣2，0）B（0，4），（2）S△AOB =×2×4=4，（3）x＜﹣2．【对应训练】7、（2016•百色）直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（A）[来源:学。

反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析【例1】下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）A ．圆的面积和半径B ．矩形的面积一定，它的长与宽C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间D ．人的身高及体重【难度】★【答案】【解析】【例2】（1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当13x =时，y =_________.【难度】★【答案】【解析】【例3】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?（1）3x y =；（2）12y x -=；（3）1(0)y k kx =≠；（4）2xy =-；（5）21y x=+．【难度】★【答案】【解析】【例4】（1）如果21(1)kk y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________；（2）已知函数210(3)my m x -=-是反比例函数，则m =_________.【难度】★★【答案】【解析】例题解析【例5】下列说法中正确的有（）个．（1）当10k y kx≠=时，是反比例函数；（2）如果2213y y x x=，那么与成反比例；（3）如果211m y m x-=+-是反比例函数，则1m =±；（4）如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】【解析】【例6】已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例8】已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的12，设下底长为x ，高为y ，求y 关于x 的函数关系式并写出这个函数的定义域．【难度】★★【答案】【解析】【例9】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程2280x x --=的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离．【难度】★★【答案】【解析】【例10】设1212k ky y x x==和，当2x =时，121213y y y y +=-=，，求12k k 、的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知122y y y =-，若1y 与x 成反比例，2y 与3x +成正比例，且当1x =时10y =，当1x =-时2y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当12y =时，x 的值．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结1.反比例函数的定义域有限制吗？请说明二、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、反比例函数的性质1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例12】（1）已知反比例函数2a y x-=图像在第二、四象限，则a 的取值范围是_______；（2）已知(0)ky k x=≠图像上有一点P （3，2），那么这个反比例函数的解析式为_________.【难度】★【答案】【解析】【例13】已知反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过经过点（1，2-），则这个函数解析式是______________；当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【难度】★【答案】【解析】知识精讲例题解析模块二：反比例函数的图像及性质【例14】当m =_______时函数231(2)mm y m x --=-是反比例函数，且当0x >时，y 值随x的值增大而减小．【难度】★【答案】【解析】【例15】已知（3，4）是反比例函数221m m y x+-=图像上的一点，则函数图像必过点（）．A ．（2，6-）B ．（6-，2）C ．（3，4-）D ．（3-，4-）【难度】★【答案】【解析】【例16】（1）已知函数1y x -=是反比例函数，则k 的取值范围是________；（2）已知反比例函数1k y x+=，点1122()()x y x y ，、，为其图像上的两点，若当12120x x y y <<>时，，则k 的取值范围是___________．【难度】★★【答案】【解析】【例17】下列函数1135y x y x y y x x=-===-，，，中，每个象限内y 的值随x 的增大而减小的有（）个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★【答案】【解析】【例18】下列函数21()a y a x--=是常数的图像上有三点A 13y （-，）、B 21y （-，）、C 32y （，），则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【难度】★★【答案】【解析】【例19】（1）已知P （1，2+1m ）在双曲线ky x=上，则双曲线的图像在第_______象限内，当x <0时，y 的值随x 的减小而________；（2）设反比例函数15510y x x -=-≤≤，当时，函数的最大值是______________．【难度】★★【答案】【解析】【例20】（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例21】函数122(4)m y m m x=+可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么?【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知反比例函数(0)ky k x=≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结2.反正比例函数的性质是什么？反比例函数和几何图形的综合【例23】已知反比例函数图像上有一点P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，如果△POH的面积为6，则反比例函数的解析式为_____________.【难度】★【答案】【解析】【例24】如图，x 轴上一点C 的坐标是（-3，0）．点P 从原点出发，沿y 轴向上运动，过点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数42y y x x =-=和的图像交于点A 、B ，在点P 从下向上移动过程中，三角形ABC 的面积（）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．先增大，到一定程度后减小【难度】★★【答案】【解析】知识精讲例题解析ABC OPxy模块三：反比例函数的综合【例25】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x=上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例26】过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【难度】★★【答案】【解析】A B CDE OxyyABCDOx【例27】正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x =>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．【难度】★★★【答案】【解析】【例28】如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)k y k x x =>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x =>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】A BC PE FyOxyABPFOxE【习题1】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x=-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y xπ=；（6）21y x =.【难度】★【答案】【解析】【习题2】已知1y x -与成反比例，当x =1时，y =3；当x =8时，y =________．【难度】★【答案】【解析】【习题3】（1）反比例函数22(2)my m x -=-的图像在第二、四象限，则m =________；（2）若反比例函数230k y x x-+=<，当时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是____________．【难度】★【答案】【解析】随堂检测【习题4】在函数(0)ky k x=>图像上有三点112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，如果1230x x x <<<，试比较123y y y ，，大小关系___________.【难度】★★【答案】【解析】【习题5】反比例函数2121k y k x+=+-的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【难度】★★【答案】【解析】【习题6】作出反比例函数12y x=的图像，并根据图像解答下列问题：（1）当4x =时，求y 的值；（2）当2y =-时，求x 的值；（3）当2y >时，求x 的范围．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】点P 在反比例函数1y x=(x ＞0)的图像上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点'P ．求在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图像的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】已知函数12y y y =+，1y 与x 成反比例，2y 与(2)x -成正比例，当1x =时，1y =-；当3x =时，5y =，求当6x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】（1）若P 是反比例函数3ky x=图像上的一点，PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，若2POQ s ∆=，求k 的值；（2）已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴，y 轴分别做垂线，垂足分别为点B C ，，且四边形ABOC 的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】如图，点A 、B 在反比例函数(0)ky k x=>的图像上，且A 、B 横坐标分别是a 、2a (0)a >．AC ⊥x 轴，垂足为C ，三角形AOC 的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点12(2)a y a y (-，)、-，也在反比例函数的图像上，试比较12y y ，的大小．【难度】★★★【答案】【解析】A BG D EFCOxy【习题11】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数3y x =与反比例函数图像交于第一象限内的点A ，AB ⊥x 轴于点B ，AB =6．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB 上是否存在点P ，使点P 到正比例函数直线OA 的距离等于点P 到点B 的距离?若存在，求点P 坐标，若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题12】已知反比例函数4y x=与正比例函数相交与点A ，点A 的坐标是（1，m ）．（1）求此正比例函数解析式；（2）若正比例函数14y x =与反比例函数4y x=的图像在第一象限内相交与点B ，过点A 和点B 分别做x 轴的垂线，分别交x 轴与点C 和点D ，AC 和OB 相交与点P ，求梯形PCDB 的面积；（3）联结AB ，求AOB ∆面积．【难度】★★★【答案】【解析】ABOxy【习题13】如图，在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，有点1234P P P P ，，，，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x 轴和y 轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是123123S S S S S S ++，，，求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积S 一定时，它的一条边长a 和这条边长上的高h ；（2）存煤量Q 一定时，平均每天的用煤量m 与可用天数t ；（3）货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x ；（4）车辆所行使的路程S 一定时，车轮的直径d 和车轮的旋转周数n ．【难度】★【答案】【解析】【作业2】已知反比例函数(0)ky k x=<，当0x <时，它的图像在第______象限．【难度】★【答案】【解析】课后作业1234xyO 1P 2P 3P 4P 3S 2S 1S【作业3】（1）已知函数63k y x-=，如果在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是______________；（2）如果双曲线2m y x +=位于第一，三象限，那么m 的取值范围是______________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】已知点11()x y ，，22()x y ，在反比例函数2k y x-=图像上，当120x x >>时，12y y <，求k 的取值范围．【难度】★【答案】【解析】【作业5】作出反比例函数xy 4-=的图像，结合图像回答：（1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围；（3）当14y ≤<时，y 的取值范围．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴做垂线，垂足分别为点B ，且AOB ∆的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】已知函数12y y y =-，且1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且312x x =-=，时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】在反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程290x -=的两个根．求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离；（3）点1(27)3P -，是否在该反比例函数图像上?【难度】★★【答案】【解析】【作业9】等腰直角POA 的直角顶点P 在反比例函数4y x=(0)x >的图像上，A 点在x 轴正半轴上，求A 点坐标．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知，如图点P 是双曲线24y x=上的一点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线11y x=于点D 、C ．求△PCD 的面积．【难度】★★★【答案】【解析】【作业11】如图已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（0，2）．双曲线(0)ky x x=>经过点D ．（1）求双曲线的函数解析式；（2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点C 正好落在双曲线上．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDOP yxyABCDEF Ox。

第10讲 函数的图像【考点解读】1． 掌握基本函数图象的作法——描点法和图象变换法； 2． 会运用函数图象，理解研究函数的性质；3． 会看图得到相关信息，即学会作图、识图、用图.【知识扫描】1．基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及常用函数：y= ,y=x+ .(图象略)2.函数图象的基本作法有两种:描点法 和 图象变换法. (1)描点法作图的基本步骤是：列表、描点、连线画函数图象时有时也可利用函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等 以及图象上的特殊点、线（如对称轴、渐近线等）(2)图象的变换是指一个函数的图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象 在高考中要求学生掌握的三种变换是：平移变换、对称变换和伸缩变换 3.常用函数图象变换的规律.(1)平移变换：y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x ±a)的图象;y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x)±k.(2)对称变换:y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y 轴 对称：y=f(x)与y= -f(x)的图象关于x 轴对称；y=f(x)与y= -f(-x)的图象关于原点对称；y=|f(x)|的图象可将函数y=f(x)的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方,其余部分不变； y=f(|x|)的图象可将函数y=f(x)的图象在x ≥0的部分作出,再用偶函数的图象关于y 轴对称,作出x<0的图象.(3)伸缩变换: y=kf(x)(k>0) 的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点纵坐标变为原来的k 倍，横坐标不变而得到.y=f(ωx)(ω>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变得到；(4)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关于x =0对称,y=f(a+x)与y=(b-x)的图象关于2b ax -= 对称.【考计点拨】牛刀小试1.（2011高考陕西卷）设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是（ ）a xbc xd ++ax答案：B2.函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】∵函数()()y f x g x =⋅的定义域是函数()y f x =与()y g x =的定义域的交集(,0)(0,)-∞+∞ ，图像不经过坐标原点，故可以排除C 、D 。

第11讲一次函数的图像与性质（19大考点）考点考向1.变量与常量：（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．2.函数的有关概念：（1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．（2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．（3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．（4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．（5）函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．（6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．3.一次函数与正比例函数（1）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．（2）正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．4.一次函数的图象与性质：（1）正比例函数图象的性质正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（2）一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．（3）一次函数的图象：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．考点精讲一．常量与变量（共1小题）1．（2021秋•青田县期末）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（）A．∠BAC的度数B．AB的长度C．BC的长度D．△ABC的面积二．函数的概念（共2小题）2．（2021秋•绿园区校级期中）下列各图能表示y是x的函数是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021秋•诸暨市校级月考）“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，随变化而变化．三．函数关系式（共4小题）4．（2021秋•余杭区月考）一辆汽车从甲地以50km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150km，则汽车距乙地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数解析式是（）A．s＝150+50t（t≥0）B．s＝150﹣50t（t≤3）C．s＝150﹣50t（0＜t＜3）D．s＝150﹣50t（0≤t≤3）5．（2021秋•鄞州区校级月考）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y＝54x（x＞2）B．y＝54x+10（x＞2）C．y＝54x+90（x＞2）D．y＝54x+100（x＞2）6．（2021秋•长兴县月考）已知直角三角形两锐角的度数分别是x，y，则y与x的函数关系式是．7．（2021秋•鄞州区校级月考）将一些长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为2cm．（1）求5张白纸黏合后的长度；（2）设x张白纸黏合后的纸条总长度ycm，写出y关于x的函数关系式．（3）当x﹣20张时，y的值是多少？四．函数自变量的取值范围（共4小题）8．（2021秋•缙云县期末）函数y＝中，自变量x的取值范围是．9．（2021秋•诸暨市期末）函数y＝的自变量x的取值范围是．10．（2022秋•鄞州区校级期中）函数y＝中自变量x的取值范围是．11．（2021秋•莲都区期末）函数自变量x的取值范围是．五．函数值（共1小题）12．（2021春•福田区校级期中）根据图中的程序计算y的值，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．﹣5 B．5 C．D．4六．函数的图象（共2小题）13．（2022秋•鄞州区校级期中）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．14．（2021秋•上虞区期末）早上8点，妈妈把小明送到游泳馆训练，之后马上回家准备午饭，烧好饭后去游泳馆等小明训练结束接其回家，妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同，在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同．8点开始，妈妈离家的距离y关于时间x的函数图象如图所示，则妈妈从家出发去游泳馆等小明的路途中间的时刻（即图象中CD中点G所在的时刻）为（）A．9点B．9点10分C．9点20分D．9点30分七．动点问题的函数图象（共5小题）15．（2021秋•东阳市期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（）A．6+2B．4+2C．12+4D．6+416．（2021秋•西湖区校级期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A 停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．2017．（2021秋•嵊州市期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y ＝x﹣3沿x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m．图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为（）A．2B．6 C．8 D．1218．（2021秋•开化县期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P从点C出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度顺时针运动一周，点P运动时线段CP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系如图2所示，若点M的坐标为（11，5），则点P运动一周所需要的时间为秒．19．（2021秋•湖州期末）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长y，且y与x的函数关系如图②所示，则四边形ABCD的周长是．八．函数的表示方法（共1小题）20．（2021秋•定海区期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：销售价/元90 100 110 120 130 140销售量/件90 80 70 60 50 40设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当x＝127时，y的值为（）A．63 B．59 C．53 D．43九．一次函数的定义（共1小题）21．（2021秋•青田县期末）一次函数y＝10﹣2x的比例系数是．一十．正比例函数的定义（共3小题）22．（2021秋•杭州期末）正比例函数y＝3x的比例系数是．23．（2022秋•南湖区校级期中）若y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，侧k＝．24．（2021秋•柯桥区期末）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则点（1﹣m，1+m）在第象限．一十一．一次函数的图象（共2小题）25．（2021秋•上城区期末）一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（）A． B．C． D．26．（2021秋•西湖区期末）当b＞0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（）A．B．C．D．一十二．正比例函数的图象（共1小题）27．（2021秋•海曙区期末）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．一十三．一次函数的性质（共5小题）28．（2021秋•湖州期末）若一次函数y＝3x+2的图象经过点（﹣1，y1），（1，y2），则y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．29．（2021秋•钱塘区期末）已知点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1与y2的大小是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不确定30．（2021秋•武义县期末）关于一次函数y＝x+2，下列说法正确的是（）A．y随x的增大而减小B．经过第一、三、四象限C．与y轴交于（0，2）D．与x轴交于（2，0）31．（2022秋•镇海区校级期中）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．32．（2021秋•诸暨市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．一十四．正比例函数的性质（共3小题）33．（2021秋•钱塘区期末）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（）A．B．C．D．34．（2021秋•义乌市期末）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k 在平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．35．（2022秋•鄞州区校级期中）已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+6，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为．一十五．一次函数图象与系数的关系（共3小题）36．（2021秋•莲都区期末）若一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．1＜m≤237．（2021秋•鄞州区期末）一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．38．（2021秋•北仑区期末）若一次函数y＝（k﹣1）x+（2k﹣6）的图象经过第一，三，四象限，则k的取值范围是．一十六．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）39．（2022秋•鄞州区校级期中）已知（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是直线y＝﹣x+2上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y240．（2021秋•莲都区期末）已知正比例函数y＝2x，下列各点在该函数图象上的是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，）D．（﹣，1）一十七．一次函数图象与几何变换（共3小题）41．（2021秋•普陀区期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（）A．函数值随自变量的增大而减小B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）C．函数的图象不经过第三象限D．图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象42．（2021秋•湖州期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点A （1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．43．（2021秋•吴兴区期末）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……9 6 3 0 3 6 9 …y1＝3|x|在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x﹣2|的图象如图所示．（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为．（2）探索思考：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x﹣m|+2的图象，其最低点为点P．①用m表示最低点P的坐标为；②当﹣1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．一十八．待定系数法求一次函数解析式（共7小题）44．（2021秋•海曙区期末）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为．x 1 2 3y 3 a 545．（2021秋•青田县期末）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6，则该直线的函数表达式是（）A．y＝x+3 B．y＝x+6 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+646．（2021秋•龙泉市期末）已知一次函数的图象经过点A（0，3），B（2，﹣3）．（1）求函数的表达式．（2）若P（1，y1），Q（3，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小关系．47．（2021秋•青田县期末）已知y是x的一次函数，当x＝﹣3时，y＝1；当x＝2时，y＝﹣14．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣2时，求函数y的取值范围．48．（2021秋•新昌县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B（1，4）两点．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出其图象．（2）当y≤0时，求x的取值范围．49．（2021秋•海曙区期末）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＝时，求函数y的值；（3）当﹣3＜y≤2时，求自变量x的取值范围．50．（2021秋•海曙区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣4）和B（2，0）．（1）求该函数的表达式．（2）若点P是x轴上一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．一十九．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）51．（2021秋•金华期末）若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，6），则k＝．52．（2021秋•余姚市期末）已知y与x成正比例，当x＝3时，y＝6，则当时，y＝．一、单选题1．（2020·浙江绍兴·八年级期中）在圆周长计算公式2C r π=中，对半径不同的圆，变量有（ ） A ．,C rB ．,,C r πC ．,C r πD ．,2,C r π2．（2020·浙江浙江·八年级期末）在①8y x =-；②8y x=-；③1y x =+；④286y x =-+；⑤0.51y x =--，一次函数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2021·浙江莲都·八年级期末）若一次函数y =（4﹣3m ）x ﹣2的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，y 1＞y 2则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜34B ．m ＞34C ．m ＜43D ．m ＞434．（2021·浙江新昌·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是( )． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 售票量x(张) 3154222452385048746564262761512714售票收入y(元) 3154200224520038540004874600564260027615001271400A ．票价B ．售票量C ．日期D ．售票收入5．（2020·浙江浙江·八年级期末）已知一辆汽车行驶的速度为50/km h ，它行驶的路程s （单位：千米）与行驶的时间t （单位：小时）之间的关系是50s t =，其中常量是（ ） A ．sB ．50C ．tD ．s 和t6．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级月考）在下列各备选答案中，不是函数关系的是（ ） A ．y =2x 23x +5B ．下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的关系． 月份m 123456789101112平均气温T3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3巩固提升（℃）C ．下图中的图象表示骑车时热量消耗W （焦）与身体质量x （千克）之间的关系．D ．7．（2020·浙江浙江·八年级期末）若点3(2,),,2A a B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在同一个正比例函数图象上，则11()()a ab b a b ---的值是（ ） A ．13B ．3-C ．3D ．43-8．（2021·浙江平阳·八年级期中）直线y =x +2与y 轴的交点坐标是（ ） A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(2，0)D ．(0，2)9．（2020·浙江浙江·八年级期中）定义：(, )A x y 为平面直角坐标系内的点，若满足x y =，则把点A 叫做“平衡点”，例如：(1,1)M ，(2,2)N --都是平衡点．当−2⩽x ⩽4时，直线2y x m =+上有“平衡点”，则m 的取值范围是（ ） A ．0⩽m ⩽4 B ．−4⩽m ⩽2C ．D ．−2⩽m ≤0二、填空题10．（2021·浙江温岭·八年级期末）将直线3y x =向下平移2个单位长度，得到直线的解析式为______． 11．（2020·浙江浙江·八年级期末）已知点()1,a 在直线33y x =-+上，则a =_______．12．（2021·浙江温岭·八年级期末）一次函数2y kx =+，当23x -≤≤时，y 有最大值为5，则k =______． 13．（2021·浙江衢江·八年级期末）甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）b ＝___米；（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则甲、乙两人相遇后，再经过 ___分钟，他们俩距离地面的高度差为70米．三、解答题14．（2021·浙江莲都·八年级期末）在国内投寄平信应付邮资如表：信件质量x （克） 0＜x ≤20 20＜x ≤40 40＜x ≤60 邮资y （元/封）1.202.403.60（1）根据函数的定义，y 是关于x 的函数吗？ （2）结合表格解答：①求出当x =48时的函数值，并说明实际意义．②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？15．（2021·浙江温岭·八年级期末）滑车以1.5米/分钟的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为6米，滑车滑行t 分钟时离终点的路程为s 米． （1）求s 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）滑行多长时间时，滑车离终点1米?16．（2021·浙江衢江·八年级期末）已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y ＝8．（1）求该函数表达式；（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设该一次函数与x轴、y轴交点分别是A、B两点，求△ABO的面积．17．（2021·浙江温岭·八年级期末）公交公司员工小明住在A站点的员工宿舍，每天早上去D站点上班，A站到D站唯一一条公交线路示意图如图1，A、B、C、D是四个公交站点，其中B、C两站相距的路程是1200米，为了健身，小明往往沿公交线路步行到B站或C站后再乘公交车上班．（1）星期一，小明步行到B站上车，记他距A站的路程为s米，离开A站的时间为t分，s关于t的函数图象如图2，求OM的解析式及公交车的速度；（2）星期二，小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到C站上车，已知公交车无论上行（A→D）还是下行（D→A）都每隔10分钟一班，每天始发时间和行车速度保持不变，乘客上下车时间忽略不计；①通过计算判断小明步行到达C站时是否恰好有上行公交车到达C站；②小明到达D站所用时间是星期一的1.5倍，求C、D两站相距的路程；③若小明步行至B站时刚好遇见一辆下行班车，这一趟上班途中，直接写出他遇到下行班车的最短间隔时间．18．（2021·浙江衢江·八年级期末）我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x （厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米） 1 2 4 7y（斤）0.75 1.00 1.50 2.25（1）在图2中将表x，y的数据通过描点的方法表示，观察判断x，y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？19．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，直线y＝kx＋b分别交x轴于点A（4，0）交y轴于点B（0，8）．（1）求直线AB的函数表达式：（2）若点P（2，m），点Q（n，2）是直线AB上两点，求线段PQ的长．。